SCM/Notıcies

Juny 2000. Numero 13

Report de la Junta

Abans de comencar aquest repas de les acti-vitats dutes a terme els darrers mesos, volemrecordar-vos que des del dia 28 d’abril la secre-taria de la Societat Catalana de Matematiqueses troba als nous locals del carrer M. AureliaCapmany, 14–16. Es la nostra voluntat queaquest canvi d’ubicacio redundi en benefici delsserveis que la Societat ofereix a tots els seus so-cis.

Concursos de problemes

La fase catalana de la XXXVI Olimpıada Ma-tematica es va celebrar els dies 10 i 11 de desem-bre, simultaniament a Barcelona, Lleida i Tar-ragona. Els set guanyadors van participar enla fase espanyola, que va tenir lloc a les IllesBalears entre el 29 de marc i l’1 d’abril, i hanobtingut tres medalles de plata i tres de bronze.

D’altra banda, en la prova Cangur-2000, ce-lebrada el dia 16 de marc, han participat untotal de 5.906 alumnes d’educacio secundariacorresponents a 299 centres escolars de Catalu-nya i la provıncia de Castello. Aquestes quan-titats representen, respectivament, uns impor-tants augments del 42,5 % i del 22,5 % respectela participacio de l’any anterior.

Aquest any s’ha dut a terme tambe la pri-mera edicio experimental del concurs telematicde resolucio de problemes Relleus-2000, amb elqual es preten complementar la tasca que esfa amb el Cangur, fomentant la participaciocol.lectiva i l’us d’eines telematiques. En l’ac-te d’entrega dels premis Cangur, el dia 11 demaig, es van repartir tambe els premis d’aquestconcurs.

Si voleu mes informacio sobre algun delsconcursos esmentats, us recomanem que visiteules pagines web de la Societat, on trobareu ladescripcio en detall del seu funcionament, dadesestadıstiques, relacio de premiats, etc.

Premis

En l’acte d’entrega de premis de l’Institutd’Estudis Catalans, que tingue lloc el dia 26d’abril, es va fer entrega del Premi Evariste Ga-lois per a estudiants, que atorga la Societat.Enguany el premiat ha estat Manuel SanchonRodellar, amb el treball Models matematics pera la transmissio de VIH/SIDA.

El Premi Felix Klein, instaurat per la EMSi l’Institut fur Techno- und Wirtschaftsmathe-matik Kaiserlauten, s’entregara per primer copaquest any i es fara durant la sessio de premisdel 3ECM. El premi esta destinat a cientıficsjoves que hagin utilitzat metodes matematicsno trivials per resoldre problemes industrials.La Societat va considerar oportu presentar al-gun candidat i l’escollit va ser Ramon Codina,del CIMNE, pel treball Simulacio del flux ae-rodinamic en els grans edificis.

Trobada

La tercera edicio de la Trobada Matematica dela SCM es va celebrar el dia 24 de marc a l’Au-la Magna de l’edifici de La Nau de la Universi-tat de Valencia, emmarcada dins del programadels Cinc Segles d’aquesta universitat. Volemdestacar tant l’exit d’aquesta experiencia d’or-ganitzacio conjunta com l’elevat nombre de par-ticipants i la qualitat de les conferencies ques’impartiren.

2000: Any Mundial de les Matematiques

L’acte de celebracio de l’Any Mundial de lesMatematiques es va fer el dia 7 de marc alParanimf de la Universitat de Barcelona. Hi as-sistiren al voltant de cinc-centes persones i totesles valoracions rebudes han estat molt positi-ves. La nostra intencio es que les conferenciesi parlaments que es van fer en aquesta jornadaquedin recollides en una publicacio.

1

Tambe ha estat un exit de public el cicle≪Cinema i Matematiques≫ programat a la Fil-moteca de Catalunya entre el 26 i el 30 d’abril.Us convidem a continuar participant i donantdifusio a les activitats futures, entre les qualses compten les accions al Metro de Barcelona,un acte al Parlament de Catalunya i les Jor-nades de Literatura Cientıfica Literatura i ma-tematiques: geometria d’un acostament, orga-nitzades conjuntament amb l’Associacio d’Es-criptors en Llengua Catalana i l’IEC, que esfaran els dies 26 i 27 de maig.

D’altra banda, la SCM ha estat tambe re-presentada en actes commemoratius de l’AnyMundial de les Matematiques organitzats peraltres institucions, com ara la Jornada Ma-tematica al Congres dels Diputats, el dia 21 degener, o la inauguracio al Senat de l’exposicio

≪Las medidas y las Matematicas≫, el dia 17 defebrer; aixı com en el congres RSME-2000 cele-brat a Madrid entre el 27 i el 29 de gener.

Altres temes

En un escrit dirigit a l’alcalde de Barcelona,s’ha soll.llicitat la denominancio d’un carrer oplaca de la ciutat amb el nom carrer/placa deles Matematiques.

S’ha establert un conveni amb la Universitatde Barcelona per tal que els cursos organitzatsper la SCM siguin oferts com a credits de lliureeleccio als estudiants d’aquesta universitat.

La SCM va estar representada per Sebas-tia Xambo i Agustı Reventos en la reunio dedegans de Santiago de Compostela, de la qualinformarem en el proper Notıcies.

Tercer Congres Europeu

de Matematiques

Barcelona, del 10 al 14 de juliol de 2000

Ja venen!

Tot acaba arribant. Despres de quatre anys defeina molt dura, feta per molta gent, el congresja es mes amunt de la ratlla de l’horitzo. Jael veiem venir i en sentim el soroll. Ve carre-gat de promeses. Ens porta cares velles i ca-res noves. N’esperem l’arribada amb la mateixail.lusio amb que esperavem, anys enrere, que ar-ribes la cavalcada.

No us el deixeu perdre. Segur que tot-hom hi pot trobar alguna cosa que l’interes-sara molt: sentir en Wiles, veure les publi-cacions mes noves de les editorials, veure icomprar vıdeos de matematiques, sentir parlard’ordinadors quantics, participar en una taularodona sobre les matematiques del segle vint-i-u, o nomes viure l’emocio d’estar voltat delsmillors matematics d’Europa.

Inscripcions i informacio

http://www.iec.es/3ecm/

http://www.si.upc.es/3ecm/

En aquestes adreces de web trobareu fins i totels articles (en format pdf) que aniran al llibred’actes del congres.

Programa previst

Diumenge, 9 de juliol

14.00 – 20.00 recepcio dels participants.

Dilluns, 10 de juliol

08.00 – 11.00 recepcio dels participants;

11.00 – 13.00 cerimonia inaugural i lliurament de

premis;

13.00 aperitiu;

15.00 – 16.00 conferencia plenaria (Wiles);

16.15 – 17.15 conferencia plenaria (Dijkgraaf);

17.30 – 18.30 conferencia plenaria (Simo).

Dimarts, dimecres i dijous

09.00 – 09.50 conferencies invitades (5 en paral.lel);

10.10 – 11.00 conferencies invitades (5 en paral.lel);

11.30 – 13.00 minisimposis (10 en paral.lel);

13.30 – 14.30 projeccio de vıdeos.

Dimarts i dijous

15.00 – 15.45 conferencies premiats (3 en paral.lel);

16.00 – 16.45 conferencies premiats (3 en paral.lel);

17.00 – 19.00 taules rodones (3 en paral.lel);

17.00 – 19.00 demostracions de programari.

2

Dimecres

15.00 – 16.00 conferencia plenaria (Lenstra);

16.30 – 17.30 conferencia plenaria (Vigneras);

21.00 sopar al Palau de Pedralbes.

Divendres, 14 de juliol

09.00 – 10.00 conferencia plenaria (Meyer);

10.30 – 11.30 conferencia plenaria (Follmer);

12.00 – 13.00 conferencia plenaria (Viro);

15.00 – 16.00 conferencia plenaria (Manin);

16.30 – 18.30 taula rodona

(Shaping the 21st Century);

18.30 – 19.00 cerimonia de cloenda.

Us esperem al Palau de Congressos!

Any Mundial de les Matematiques 2000

Jornada Matematica al Congres dels Diputats

Per commemorar la celebracio de l’any 2000com a Any Mundial de les Matematiques, elCongres dels Diputats va organitzar el passat21 de gener, a la propia seu del Congres, con-cretament a la Sala de Columnes, un acte ambel seguent programa:

10.30 OberturaFederico Trillo-Figueroa Martınez-CondePresident del Congres dels DiputatsAngel Martın MunicioPresident de la Real Academia de CienciasExactas, Fısicas y NaturalesJose Luis Fernandez PerezPresident del Comite Espanol del Ano Mundialde las Matematicas 2000

11.15 ConferenciaJacques-Louis Lions, College de France.≪Es posible describir en lenguajes matematicoe informatico el mundo de lo inanimado y delser vivo?≫.Presentat per Jesus Ildefonso Dıaz Dıaz de laReal Academia de Ciencias Exactas, Fısicas yNaturales.

12.00 Pausa

12.30 ConferenciaDavid Nualart i Rodon, UB.≪Las matematicas en la actividad polıtica≫.Presentat per Marıa Teresa Riera i Madurell,diputada per les Illes Balears.

16.00 Taula rodona≪La ensenanza de las matematicas en Espana≫

Miguel de Guzman y Ozamiz, Real Academia deCiencias Exactas, Fısicas y Naturales.Luis Balbuena Castellano, Institut d’EducacioSecundaria Viera y Clavijo.Marıa Jesus Luelmo Verdu, Institut d’EducacioSecundaria San Mateo.

Marıa Victoria Sanchez Garcıa, Univ. de Sevilla.Sebastia Xambo Descamps, UPC.

18.00 ConferenciaJose Manuel Sanchez Ron, Universitat Autono-ma de Madrid.≪Jose Echegaray y la matematica como instru-mento de regeneracion.≫ Presentat per AntonioMartinon Cejas, diputat per Santa Cruz de Te-nerife.

ClausuraJoan Marcet i Morera, vicepresident del Congresdels Diputats.

L’acte va tenir un gran exit de public fins alpunt que la Sala de Columnes va quedar petitai molts dels assistents van haver de seguir l’actedes d’una altra sala del Congres a traves d’uncircuit tancat de televisio.

Un atemptat d’ETA a Madrid el mateixmatı del 21 de gener, el primer despres de latreva, va desviar l’atencio de la premsa aquelldia, de manera que l’acte dels matematics alCongres no va rebre el resso mediatic que bus-cava i es mereixia.

De tota manera pensem que es importantque un tal acte s’hagi celebrat, ja que es unamanera de facilitar que la societat en general ila classe polıtica en particular conegui el mon deles matematiques, els nostres problemes i am-bicions, i es valori la nostra tasca.

Felicitem doncs, els impulsors de la idea alCongres, els diputats-matematics Antonio Mar-tinon i Maria Teresa Riera, i els altres dos or-ganitzadors, en Jesus Ildefonso Dıaz i Jose LuisFernandez per la seva tasca.

L’origen d’aquest acte es en la proposicio node llei que previament havia aprovat el Parla-ment Espanyol.

3

L’acte va comencar amb unes paraules del president del Congres, Federico Trillo, que va dirque sempre havia estat partidari d’obrir el Parlament a la societat i que per aixo va donar suportincondicional a la proposta d’Antoni Martinon i Teresa Riera. Va fer una mica de broma percomentar que els parlamentaris nomes utilitzen la suma per comptar vots i que malauradamenthi ha persones que es dediquen a restar o dividir en lloc de dedicar-se a sumar. Tambe va posarde manifest que el primer acte de l’any 2000 coincidia amb l’ultim acte de la legislatura, ja ques’acabaven de dissoldre les Cambres.

Les matematiques a l’Academia de Ciencies

La conferencia d’Angel Martın Municio,president de la Real Academia de Ciencias,va consistir en un rapid repas historic des dePitagores, Arquımedes, Euclides, etc. passantper l’Ars Magna de Cardano i l’inici a Espanade la Academia Real Matematica fundada perFelip II el 25 de desembre de 1552, sent elseu primer director l’impulsor d’aquesta ideaJuan de Herrera. El 25 de febrer de 1847 esva transformar en l’actual Real Academia deCiencias Exactas, Fısicas y Naturales.

Parlant ja de matematics espanyols va glos-sar molt i molt elogiosament la figura del PremiNobel Jose de Echegaray, autor de llibres sobregeometria superior, fısica matematica i calcul

de variacions. Zoel Garcia de Galdeano, de laUniversitat de Saragossa, fundador de El Pro-greso Matematico, primera revista espanyola dematematiques. D’Eduardo Torroja va citar elseu tractat Geometrıa de la Posicion.

Pero sobretot es va centrar en les figures deRey Pastor i Puig Adam i la seva influenciaa Espanya i America. Es el moment en queels matematics espanyols comencen a relacio-nar docencia i investigacio i comencen a serconeguts fora d’Espanya.

Va acabar aquest recorregut citant el Qui-xot: ≪. . . ha de saber las matematicas, porquea cada paso se le ofrecera tener necesidad deellas≫.

L’any mundial a Espanya

A continuacio va parlar el president del Comite Espanol del Ano Mundial de las Matematicas 2000,Jose Luis Fernandez.

Va emfatitzar que les matematiques han de serconsiderades tan humanıstiques, almenys, comles disciplines que habitualment reben aquestnom. La manera logica d’organitzar-ne la in-formacio i l’analisi per extreure’n conclusionsproporciona una eina eficac per a prendre deci-sions, administrar recursos, comparar alternati-ves, etc. i per tant la matematica ha de formarpart del bagatge intel.lectual de tothom.

Va reivindicar mes hores per a l’ensenya-ment de les matematiques, tant a l’educacio ge-neral com en la formacio dels mestres. Tambeva considerar urgent una adaptacio de la ma-

tematica en general al mon dels ordinadors. Vadir que la investigacio matematica espanyolaesta particularment mal integrada amb la res-ta de la investigacio cientıfica i amb les sevespotencials aplicacions i va reclamar un Pla Na-cional de Matematiques per abordar aquestsproblemes.

Va parlar de la possibilitat d’ampliar la tra-dicional carrera de matematiques a una engi-nyeria matematica per formar professionals quepuguin desenvolupar la seva tasca professional ala industria o a les empreses. Molta feina doncsper aquest any 2000.

Descripcio del mon de l’inanimat i del ser viu en llenguatge matematic i informatic

A continuacio el professor Jacques-Louis Lions (pare del medalla field) va impartir una con-ferencia amb el tıtol ≪Es posible describir en lenguajes matematico e informatico el mundo de loinanimado y del ser vivo?≫

4

Sense voler ser exhaustius destaquem algunsdels punts abordats per Lions. A partir dela frase de Galileu ≪L’Univers esta escrit enllenguatge matematic≫ constata que les ma-tematiques i la informatica han desenvolupatun metode universal per a l’estudi dels sistemesque consta de tres etapes:

1. La modelitzacio matematica.

2. L’analisi i la simulacio.

3. El control, o intervencio, sobre els sistemes.

Un model es podria definir com un conjuntd’equacions, relacions i restriccions que conte(si el model es adequat!) tota la informacio bus-cada. El que fa possible l’existencia dels modelsson les notacions i catalogacions, per un costat,i la universalitat de les lleis matematiques perun altre. Va recordar la importancia que Leib-nitz concedia a les notacions per la possibilitatde tenir guardada molta informacio en formulessenzilles i contundents. I respecte a la univer-salitat va posar com a exemple les equacionselectromagnetiques de Maxwell i les equacions

de Fourier sobre la transmissio de la calor, queempren totes elles les mateixes eines posades enmarxa per Leibnitz.

Respecte a l’analisi i simulacio comenta queextreure informacio d’un sistema matematic nolineal es complicat i que aquı es on intervenenels ordinadors amb la seva extraordinaria capa-citat de calcul.

Respecte al control posa com a exemple lamissio Apollo de la NASA. Una sonda enviada ala Lluna ha de seguir una trajectoria calculadapreviament. Pero petites variacions, per exem-ple en l’impuls dels motors, fan necessari intro-duir correccions sobre la marxa dels calculs pre-vis. S’ha de tenir control sobre el sistema. Mesambicios es voler controlar el clima a partir delmodel i d’actuar sobre ell.

Va acabar posant exemple de ciencies comla quımica supramolecular, biologia molecular,etc. que tenen necessitat ja de models ma-tematics i de resoldre complicades equacionsmatematiques que potser en pocs anys sera pos-sible abordar.

Les matematiques en l’activitat polıtica

A continuacio en David Nualart va parlar de les matematiques en l’activitat polıtica, conferenciaque reproduım ıntegrament pel seu interes i tambe perque molt amablement ens ha brindat el text.

Com eina per a l’estudi quantitatiu i la modelit-zacio de fenomens, les matematiques estan pre-sents en totes les disciplines, i en particular enles ciencies polıtiques. Questions fonamentalscom la mesura del poder polıtic del presidentd’una nacio, el repartiment d’escons entre di-verses formacions polıtiques en funcio del nom-bre de vots, l’eleccio d’una estrategia en unasituacio de conflicte o establir un sistema devotacio just i raonable es poden abordar a par-tir de teories matematiques adequades com lateoria de jocs, la teoria de l’eleccio social o laprogramacio entera.

En aquesta conferencia intentare presentaralgunes d’aquestes questions amb l’objectiu demostrar el paper que juguen les matematiquesa la vida polıtica.

Sistemes de votacio i ındexs de poder

Un dels elements basics de la polıtica es lanocio de poder. Aquesta nocio te diversos as-pectes pero a nosaltres ens interessa el poderrelacionat amb un determinat sistema de vota-cio en que cada votant emet un SI o un NO a

una certa proposicio. Si cada votant te un solvot i s’utilitza la regla de la majoria, tots tin-dran el mateix poder. No obstant, hi ha situaci-ons en les quals no es segueix el principi d’≪unapersona, un vot≫. Per exemple, els accionistesd’una empresa tenen un numero de vots en fun-cio de les accions que posseeixen. Tambe en unaassociacio economica entre tres paısos A, B i Cpot passar que per tenir mes pes, al paıs A licorresponguin tres vots i B i C tinguin un votcadascun. Vol dir aixo que A te el triple de po-der que B o C? La resposta es clarament no,perque B i C no tenen cap poder si se segueixla regla de la majoria per a prendre acords. Estracta llavors d’introduir una mesura quantita-tiva del poder de cada votant entes com la sevacapacitat per a influir en les decisions.

Suposem que en un sistema de votacioponderat hi ha n votants A1, . . . , An i cadavotant te assignat un cert nombre de votsv(A1), . . . , v(An). Per a completar la descrip-cio d’aquest sistema de votacio s’ha d’especifi-car una quota q que es el mınim nombre de vots

5

necessaris per aprovar un acord. Representaremaquest sistema de votacio per la notacio

[q : v(A1), . . . , v(An)]

El primer ındex numeric per a avaluar el po-der en els sistemes de votacio va ser proposat el1954 per Shapley i Shubik. L’ındex de poder deShapley-Shubik d’un votant concret Ai es de-fineix com el nombre N(Ai) de permutacionsdel votants en que Ai es un element decisiu (opivot) respecte dels votants que el precedeixen,dividit pel nombre total de permutacions, es adir

N(Ai)

n!

Que Ai sigui un pivot en una ordenacio dels vo-tants vol dir que els votants anteriors a Ai noformen una coalicio guanyadora, pero en inclou-re Ai la coalicio es transforma en guanyadora.

Per exemple, examinem el cas d’un sistemade votacio ponderat amb tres votants, A, B iC, que tenen 50, 48 i 2 vots, respectivament.Podem imaginar que aquests votants son accio-nistes d’una empresa que posseeixen el 50 %, el48 % i el 2 % de les accions. Si els acords es pre-nen per majoria simple, la quota es de 51 votsi expressarem aquest sistema de votacio com[51:50,48,2]. Per calcular l’ındex de Shapley-Shubik de cada votant, en la taula seguent hemenquadrat el votant pivot en cada una de les 6possibles ordenacions:

A B C B A C C A B

A C B B C A C B A

D’aquı es dedueix que A te un ındex de poderde 4

6 = 23 , mentre que B i C tenen un ındex

igual a 16. Observem que B i C tenen el mateixındex de poder, encara que B tingui 24 vegadesmes vots que C.

L’ındex de Shapley-Shubik representa unafraccio del poder total en el sentit que la sumade tots els ındexs es 1. D’altra banda, aquestındex es pot emprar per a mesurar l’augment depoder en fer coalicions. Per exemple, conside-rem un sistema amb 100 votants en que cadas-cun te un vot. L’ındex de poder de cada votantes 0,01. No obstant, si 12 votants decideixenvotar conjuntament, l’ındex de poder d’aquestgrup de votants passa a ser de 12

89 =0,135 que esmes gran que la suma dels ındexs individuals.En general si hi ha n votants i apareix un blocde mida b, l’ındex de poder del bloc es calculamitjancant la formula b

n−b+1 , que correspon a

l’ındex d’un votant amb b vots en un sistemaon els restants n− b votants tenen un sol vot.

Un ındex de poder diferent va ser introduıtel 1965 per l’advocat dels Estats Units JohnBanzhaf. L’ındex de Banzhaf d’un votant esdefineix com el nombre de coalicions guanya-dores a que pertany aquest votant i que per-drien si desertes. En qualsevol coalicio guanya-dora, un votant que es capac de causar-li laderrota en desertar es diu un votant basculant.Contrariament al que passava amb l’ındex deShapley-Shubik, aquı les coalicions es comptensense tenir en compte l’ordenacio dels votants.En el sistema [51:50,48,2], els ındexs de Banzhafserien 3, 1, 1, ja que A es basculant en les coa-licions A,B,C, A,B i A,C, mentre queB es basculant en A,B i C ho es en A,C.L’ındex de Banzhaf s’acostuma a normalitzar,es a dir, dividir per la suma total dels ındexs,i aixı, en aquest exemple obtindrıem els ındexsnormalitzats 3

5 ,15 i 1

5 .

Aquests dos ındexs no proporcionen unasolucio perfecta al problema de la mesura quan-titativa del poder a causa de certes parado-xes. Per exemple, en passar de la distribuciode vots [8 : 5, 3, 1, 1, 1] a [8 : 4, 4, 1, 1, 1] el pri-mer votant te menys vots pero augmenta el seuındex de Banzhaf de 0,47 a 0,5 perque els tresultims votants es converteixen en innecessarisper a qualsevol coalicio guanyadora. L’ındex deShapley-Shubik no presenta aquesta paradoxa,pero pot passar que en augmentar el nombretotal de votants l’ındex d’un votant augmentiencara que la seva fraccio de vots disminueixi.D’altra banda, aquests ındexs poden donar va-lors molt diferents. Per exemple, el bloc de 12votants en un sistema de 100 membres te unındex de Banzhaf de 0,632, mentre que l’ındexde Shapley-Shubik era de 0,135.

Els ındexs de poder es poden calcular pera sistemes de votacio mes complexos que elssistemes ponderats, definits mitjancant un de-terminat conjunt de coalicions guanyadores. Esdiu que dos sistemes de votacio son equivalentssi tenen les mateixes coalicions guanyadores. Espot demostrar que hi ha sistemes equivalents aun sistema ponderat, i d’altres que no ho son.Per exemple, el Consell de Seguretat de les Na-cions Unides esta format per 15 paısos, cincd’ells, els membres permanents, amb dret a vet.Per aprovar una resolucio es requereixen 9 dels15 vots. Aquest sistema de votacio es equiva-

6

lent a un sistema ponderat de quota 39, amb 7vots per a cada membre permanent i 1 per a ca-da membre no permanent. En canvi, el sistemade votacio federal dels Estats Units d’America,en el qual el president te dret de vet excepte sis’arriba als dos tercos dels vots no es un siste-ma ponderat. Es curios observar que en aquestsistema l’ındex de Shapley-Shubik del presidentes 0,16, mentre que el de Banzhaf es 0,04.

Els ındexs de Shapley-Shubik i de Banzhafaporten una mesura del poder des de perspecti-ves diferents, essent l’ındex de Shapley-Shubikmes indicat si hi ha un ventall d’opinions so-bre la majoria de questions sobre les quals hande decidir els votants, mentre que el de Banz-haf seria preferible si la pregunta no admetesun conjunt ampli d’opinions. En conclusio, elproblema de la mesura del poder en un sistemade votacio no esta completament resolt, existintdiversos models matematics possibles.

Els sistemes de votacio SI-NO son casosparticulars de jocs de n persones, i l’ındex deShapley-Shubik procedeix de la nocio de valorShapley del joc. La teoria de jocs proporcio-na un model matematic simple per a situacionsde conflicte, que en alguns casos ha aportat unnou punt de vista a successos que en un prin-cipi semblaven intractables per la seva enormecomplexitat.

La teoria de l’eleccio social

Fins ara hem considerat sistemes de votacioamb dues alternatives: SI i NO. Si existeixenmes de dues alternatives el problema es tornames complicat. Cada individu tindra un certordre de preferencia entre les diferents alter-natives i es planteja el problema de convertirles diferents preferencies individuals en una so-la eleccio per a tot el grup. Aquesta es la ques-tio basica en la denominada teoria de l’elecciosocial. Per a il.lustrar aquest problema, consi-derem el cas de tres opcions a, b i c, i suposemque les sis possibles ordenacions de preferenciaentre elles tenen els seguents percentatges d’ac-ceptacio:

abc acb bac bca cab cba22 % 23 % 15 % 29 % 7 % 4 %

Observem que l’alternativa a es preferida sobreles altres per un 45 %, l’alternativa b per un44 % i l’alternativa c per un 11 %, no obstantl’ordenacio abc no es la que te mes vots. Per

tant no queda clar com elegir una ordenacio apartir de les preferencies particulars.

Una regla o procediment d’agregacio quepermeti elegir una ordenacio entre les alterna-tives a partir de preferencies particulars es diufuncio de benestar social. Com exemples de fun-cions de benestar social poden citar-se:

(a) El metode de la majoria relativa consisteixen ordenar les alternatives segons el nombrede vegades que apareixen com millor opcio.En primer lloc apareixera l’alternativa ambmajor nombre de vots encara que no tingui lamajoria absoluta. A l’exemple anterior, l’or-denacio guanyadora seria la abc.

(b) El procediment denominat ındex de re-compta de Borda consisteix a puntuar de 1a n les alternatives de cada llista individual,i despres sumar els punts de cada alternativaper arribar a una classificacio final.

(c) El metode de comparacio per parelles col-loca l’alternativa x davant de l’alternativa ysi mes del 50 % dels individus prefereixen xa y. En l’exemple anterior, a guanya a b per52 % a 48 %, a guanya a c per 60 % a 40 %,i b guanya a c per 66 % a 34 %. Per tant l’or-denacio final es abc. El problema amb aquestmetode es que la relacio obtinguda pot no sertransitiva, es a dir, pot passar que a guanyi ab, b guanyi a c i, no obstant, a no guanyi a c.

Donada aquesta diversitat de metodes, espoden apuntar diverses propietats que hauriade tenir un metode raonable:

(i) Domini universal: Qualsevol preferencia in-dividual es legıtima.

(ii) El principi Pareto: Si hi ha unanimitat deconsiderar una alternativa millor que una al-tra llavors el procediment d’agregacio hauriade col.locar sempre l’alternativa millor davantde la pitjor.

(iii) Independencia d’alternatives irrellevants:L’ordenacio social de dues alternatives nomesdepen de la seva ordenacio en cada llista in-dividual i no de la seva relacio amb altresalternatives.

El 1951, l’economista Kenneth Arrow va de-mostrar un teorema d’impossibilitat que afirmaque si hi ha mes de dues alternatives, qualsevol

7

funcio de benestar social que compleixi les pro-pietats anteriors coincideix amb les preferenciesd’un cert individu, que varia segons quina siguila funcio, i podrıem parlar d’una certa dictadu-ra. Aquest resultat es sorprenent i ens diu quees impossible trobar un metode d’agregacio justi raonable.

A partir d’aquest teorema, diversos autorshan intentat obtenir resultats positius modifi-cant les propietats anteriors. Per exemple, hiha situacions en que la hipotesi de domini uni-versal no te sentit. Aixo passa, en particular,quan les possibles alternatives estan ordenadesde forma natural com l’ordenacio d’esquerra adreta dels partits polıtics. En tal cas, se suposaque les preferencies individuals son unimodalsrespecte a tal ordenacio, la qual cosa significaque fixada la millor alternativa per a un indivi-du, en allunyar-nos en qualsevol de les dues di-reccions trobem alternatives menys preferides.En aquesta situacio, Black demostra el 1958 quela relacio obtinguda mitjancant el metode decomparacio per parelles es transitiva i per tantconstitueix el metode mes apropiat en aquestcas.

El 1966 es va introduir una nocio de co-herencia que reflecteix d’una altra manera laidea de similitud entre llistes i que tambeimplica la transitivitat de la llista obtingudamitjancant el metode de comparacio per pare-lles. Podem concloure per tant que, encara queno hi ha un metode matematicament perfecte,en alguns casos poden trobar-se procedimentsd’agregacio que funcionen be.

El repartiment proporcional d’escons

De forma mes concreta, les matematiquesintervenen en el problema del repartiment pro-porcional d’escons entre diverses formacionspolıtiques en funcio del nombre de vots. Aquestes un cas particular del problema de l’assigna-cio proporcional entera. Problemes analegs seri-en l’assignacio d’escons del Congres dels Dipu-tats a les provıncies en proporcio a la poblaciode cadascuna d’elles o l’assignacio de llocs esco-lars als pobles en proporcio a la poblacio. Moltsproblemes d’assignacio de recursos en economiaadmeten plantejaments semblants.

Suposem que s’ha de repartir una quantitath d’escons a n formacions polıtiques. A partirdel numero de vots v1, . . . , vn, poden calcular-se les quotes, definides com la part del nombre

d’escons proporcional al nombre de vots:

qi =vi

v1 + · · · + vnh .

Aquestes quotes sumen h, pero, en general,no son nombres enters. Una solucio al problemade l’assignacio proporcional entera consistira entrobar numeros enters a1, . . . , an proxims a lesquotes i que sumen h.

Es planteja llavors el problema de com cons-truir un metode adequat d’assignacio proporci-onal entera. Al llarg de la historia s’ha utilitzatessencialment el metode basat en les restes i elsmetodes basats en divisors. L’assignacio obtin-guda en cada cas surt d’una idea simple i acabaessent la solucio d’un problema d’optimitzacio.

El metode mes simple es el dels RestantsMajors. S’assigna en primer lloc a cada partitla part entera de la seva quota [qi], despres s’or-denen de major a menor els restants qi − [qi]i s’assigna un esco mes a cadascun dels par-tits amb major resta fins a completar els h es-cons. Aquest metode te la bona propietat quedona solucions que difereixen de la quota enmenys d’un esco. No obstant, presenta para-doxes inacceptables com que en augmentar elnumero d’escons de la circumscripcio hi hagipartits que rebin menys representants. Aquestaes la denominada paradoxa d’Alabama ja queel 1880 aquest Estat tenia dret a 8 represen-tants si la mida de la Cambra era de 299, peronomes a 7 representants si la mida era de 300.En aquest cas, el Congres dels Estats Units vaelegir una mida de 325 escons, amb la qual co-sa es va produir un repartiment just. D’altrabanda, pot passar que en comparar dues elec-cions diferents un determinat partit hagi ob-tingut mes vots pero menys escons. A aquestaparadoxa se la denomina paradoxa dels vots.Aquestes paradoxes qualifiquen el metode delsRestants Majors de poc raonable i condueixena la recerca de metodes alternatius.

El denominat metode dels divisors te dosingredients: per una part s’elegeix una formad’arrodonir fraccions a quantitats enteres. Engeneral, l’arrodonit d’un numero real x sera unnumero enter que designarem per [x]red que di-ferira de x en menys d’una unitat. Fixat undivisor d, es divideix el numero de vots de cadapartit vi per d, i s’arrodoneix el resultat. La so-lucio s’obte llavors elegint un divisor d de formaque la suma de les fracciones arrodonides [vi

d ]red

8

sigui igual al nombre d’escons a repartir h, es adir,

n∑

i=1

[vi

d]red = h .

Existiran tants metodes diferents com formesd’arrodonir. Els exemples d’arrodoniment messimples son:

(i) La part entera del numero, [x], o arrodoni-ment cap avall.

(ii) La part entera mes una unitat, [x] + 1, oarrodoniment cap amunt.

(iii) La part entera del numero mes 0,5,[x+ 0,5], que es l’enter mes proxim a x.

En general, una forma d’arrodonir ve definidaper l’eleccio d’uns numeros r(s) compresos en-tre cada parell d’enters consecutius s i s+ 1:

0 ≤ r(0) ≤ 1 ≤ r(1) ≤ 2 ≤ r(2) ≤ 3 ≤ . . .

Es defineix llavors l’arrodoniment d’unnumero real x compres entre r(s) i r(s+1) coms+ 1.

El cas particular d’una funcio additiva deltipus r(s) = s + m, on m es un valor fixatde l’interval [0,1], dona lloc a l’arrodoniment[x]red = [x−m] + 1.

Un procediment practic per aplicar elmetode dels divisors associat a l’arrodonimentdel tipus r(s) consisteix a fer una taula de lesfraccions vi

r(j) , per a i = 1, . . . , n, i j = 1, . . . , h.A continuacio es localitzen a la taula les h frac-cions mes grans i s’assignen al partit i tantsescons com el nombre d’aquestes fraccions quetinguin per numerador vi.

S’han utilitzat historicament diverses funci-ons r(s):

(i) El metode associat a r(s) = s + 1 es elconegut metode de d’Hondt i fou introduıtper Jefferson per al repartiment d’escons enel Congres dels Estats Units en 1794. L’arro-doniment utilitzat en aquest metode es sim-plement la part entera.

(ii) Si r(s) = s+ 0,5, s’obte el metode St. La-gue, desenvolupat per Webster com alterna-tiva al metode de Jefferson que afavoria alsgrans Estats.

(iii) Si prenem r(s) = s, tindrem el metodedels Divisors Petits o d’Adams.

(iv) El metode associat a r(s) = s + 0,4, fouinventat per Condorcet.

En relacio a metodes mes complicats potcitar-se el de Hill-Huntington o de la MitjaGeometrica que utilitza els numeros r(s) =√

s(s+ 1), i el de Dean o de la Mitja Harmonica

basat en r(s) = 2s(s+1)2s+1 . Des d’un punt de vista

matematic el problema de l’assignacio propor-cional entera es pot atacar com un problemade programacio entera. Es a dir, es tracta d’op-timitzar una determinada funcio objectiu, so-ta un conjunt de restriccions que en el nostrecas consistiran a imposar que el vector solucio(a1, . . . , an) tingui les components enteres nonegatives i de suma h. La funcio objectiu de-pendra de cada metode. Per exemple, el metodedels Restants Majors correspon a la minimitza-cio de la funcio

n∑

i=1

|ai − qi|

igual a la suma dels valors absoluts de les di-ferencies entre les assignacions i les quotes. Elmetode de la Mitja Geometrica correspon a laminimitzacio d’una funcio definida com la su-ma ponderada dels quadrats de les diferenciesentre el nombre de vots per esco de cada par-tit, vi

ai

, i la mitjana de vots per esco vh , on

v = v1 + · · · + vn es el nombre total de vots.Es a dir, la funcio

n∑

i=1

ai(vi

ai− v

h)2 .

Donada la diversitat de metodes, com elegi-rem el mes raonable? Un procediment habitu-al en matematiques consisteix a imposar certespropietats desitjables, com en el cas de l’elecciosocial, i despres buscar un metode que complei-xi. Entre aquestes propietats podem citar:

1. Verificacio de la quota: cap diferencia entreescons i quota es superior a la unitat.

2. Monotonia respecte a la quantitat d’escons:en augmentar el numero h d’escons de la cir-cumscripcio cap partit hauria de rebre menysescons, per a una distribucio fixada de vots.

3. Monotonia respecte als vots: en comparar elsresultats de dues eleccions, si el nombre devots d’un partit augmenta i el d’un altre dis-minueix, no ha de passar que el primer tinguimenys escons i el segon mes.

4. Homogeneitat: la solucio no s’altera si es mul-tiplica el nombre de vots per un factor λ > 0.

9

El 1982, els matematics Balinski i Youngvaren demostrar que no es possible definirun metode d’assignacio que sigui homogeni,monoton respecte als vots i verifiqui la quota.Es tracta, per tant, d’un teorema d’impossibi-litat semblant al d’Arrow que ens porta a pres-cindir d’alguna de les propietats anteriors.

Verificar la quota implica exigir molt alspartits grans i poc als petits. Si a un partit quete quota de 0,5 se li assigna un esco, rep el do-ble i es verifica la quota, mentre que a un altrepartit al qual correspongui una quota de 13,5pot rebre com a maxim 14 escons per verificarla quota, cosa que no sembla justa. Per tant, leslimitacions que marca la quota no corresponena la idea de proporcionalitat. D’altra banda, unmetode d’assignacio que no sigui monoton essusceptible de manipulacio polıtica en beneficid’un o diversos partits.

Per tot aixo sembla mes important la mo-notonia que la verificacio de la quota.

Altres dues propietats interessants son laconsistencia i l’exactitud.

Que un metode sigui consistent significa queles parts proporcionals d’una assignacio han deser proporcionals. Es a dir, si en una eleccio enque participen mes de dos partits, als partits Ai B se’ls atorga a1 i a2 escons, respectivament,llavors, si nomes haguessin participat aquestsdos partits i el numero d’escons a assignar ha-gues estat a1 + a2, l’assignacio hauria de serla mateixa. L’exactitud significa que si les quo-tes son enteres el metode d’assignacio hauria dedonar com a solucio les mateixes quotes.

Balinski i Young van demostrar tambe quesi un metode es exacte, monoton, consistent,homogeni i continu respecte als vots, ha de sernecessariament un metode de divisors. D’aixoes dedueix que els metodes de divisors son elsunics candidats raonables com a metodes d’as-signacio proporcional entera.

Dintre dels metodes de divisors, semblen es-pecialment interessants els metodes basats en lafamılia parametrica de funcions r(s) = s + µon µ es un numero entre 0 i 1. Una analisimes a fons d’aquests metodes es pot fer intro-duint una nocio de biaix com a mesura de latendencia sistematica a afavorir uns partits acosta d’altres: grans en front de petits, o vice-versa. Es diu que un metode de divisors basaten r(s) es no esbiaixat si fixada una assignacioa = (a1, . . . , an) i un divisor d, la mitja dels vec-

tors de vots (v1, . . . , vn) que donen per soluciol’assignacio a amb el divisor d es igual al vec-tor (da1, . . . , dan), suposant que els vots vi sonquantitats aleatories amb distribucio uniformeen l’interval [dr(ai−1), dr(ai)], per i = 1, . . . , n.Es a dir, un metode de divisors basat en r(s)sera no esbiaixat si es compleix

ai =r(ai − 1) + r(ai)

2,

per tot i = 1, . . . , n.

Es pot demostrar que l’unic metode de di-visors no esbiaixat es el corresponent a r(s) =s + 0,5. D’altra banda, si ens restringim alsmetodes de la forma s+m, sim > 0,5, el metodees esbiaixat a favor dels partits mes votats i sim < 0,5 el metode es esbiaixat a favor dels par-tits menys votats.

En el nostre paıs, l’eleccio del Congres delsDiputats comporta dos problemes d’assignacioque es resolen mitjancant metodes diferents.Per una part, la distribucio dels escons entreles provıncies, deixant a part Ceuta i Melillai els 2 escons que automaticament rep cadas-cuna de les altres provıncies, es fa mitjancantel metode dels Restants Majors. D’altra banda,l’assignacio d’escons als partits s’efectua mit-jancant el metode de d’Hondt, amb una bar-rera inicial del 3 % per poder participar. Comhem vist, el metode de d’Hondt es el metodede divisors associat a l’arrodoniment cap avall.La utilitzacio d’aquest metode no esbiaixat queafavoreix els grans partits es justifica per raonsd’estabilitat del sistema.

Un examen global dels resultats de les seteleccions generals que hi ha hagut en el nostrepaıs mostra una baixa proporcionalitat entre elnombre total de vots i el nombre total d’esconsrebuts per cada partit.

Si es sumen les quotes i els vots de cada cir-cumscripcio a que es presenta cada partit, s’ob-serva que els partits d’ambit autonomic rebenun nombre d’escons semblant a la seva quota,els dos partits mes votats d’ambit nacional enreben mes que la seva quota, el tercer partitd’ambit nacional rep aproximadament la mei-tat dels escons que corresponen a la seva quotai els restants partits d’ambit nacional tendeixena desapareixer. Aquesta baixa proporcionalitatno es deu nomes al metode de d’Hondt sinoprincipalment a l’existencia de moltes circums-cripcions petites. La combinacio d’aquests dos

10

factors pot donar lloc a situacions paradoxalscom ara que un partit tingui globalment mesvots pero menys diputats, com ha succeıt re-centment a les eleccions de Catalunya.

En un interessant estudi publicat recent-ment a la revista de la Sociedad Espanola deMatematica Aplicada, Balinski i Ramırez pro-posen diverses modificacions al sistema electo-ral espanyol en el marc de la Constitucio, ambl’objecte d’augmentar la proporcionalitat. Con-cretament, aquests autors suggereixen augmen-tar la mida de la Cambra al maxim i assig-nar unicament un esco inicial per provıncia,repartint els altres mitjancant el metode deSt. Lague. A mes, com alternativa al metodede Hondt per a repartir els escons en funcio delnombre de vots, proposen el metode de divisors

basat en l’arrodoniment s+ 23 . Aquest metode,

es el que afavorint els partits grans, perjudi-ca menys el tercer partit, suposant que com amolt tres partits aconsegueixin representacio.En efecte, es pot demostrar que 2

3 es el valormınim de µ per al qual un metode del tipuss + µ no primi el restant del tercer partit so-bre els altres dos ni el restant del segon partitsobre el del primer. D’altra banda, amb aquestmetode el tercer partit obte un esco sempre quela seva quota superi el valor 2

3 .En conclusio, l’eleccio d’un metode de re-

partiment es una decisio polıtica ja que noexisteix cap metode optim, encara que les ma-tematiques puguin ajudar a trobar la solucioque millor s’ajusti a unes circumstancies deter-minades.

Taula rodona

Transcrivim ıntegrament la intervencio del president de la Societat Catalana de MatematiquesSebastia Xambo pel seu interes i tambe perque molt amablement ens ha brindat el text. ≪Eldesenvolupament de la societat i les matematiques a la Universitat≫

Com a matematic vull expressar primer la me-va satisfaccio, i m’agradaria que aquest fos elsentiment de tothom, pel fet que el Congresdel Diputats reacciones davant l’≪Any Mundi-al de les Matematiques≫, en que acabem d’en-trar, donant suport a les seves finalitats, primeraprovant la corresponent proposicio no de llei, iara amb l’organitzacio d’aquesta Jornada Ma-tematica. Per a les persones que de polıtica notenim mes nocio que la transmesa per la te-levisio i els diaris, aquest fet resulta fins i totsorprenent, ja que la fructificacio d’aquest tipusd’iniciatives tan sols sembla concebible si la vi-da parlamentaria ordinaria es mes rica i mati-sada del que permeten entreveure els mitjansde comunicacio.

En tot cas es un deure congratular elCongres dels Diputats, i totes les persones quehan fet possible aquesta Jornada, encara quenomes fos pel fet que, se sigui o no conscientd’aixo, el tema de les matematiques, i la se-va ensenyanca a tots els nivells, es importantper a la societat en general. Les iniciatives delcongres reconeixen implıcitament aquesta valo-racio, la qual cosa, d’altra banda, es troba enlınia amb el segon punt de la declaracio de Rio

de Janeiro, es a dir, amb promulgar que la ma-tematica es una de les principals claus per aldesenvolupament.

Aquesta afirmacio adquireix substancia tansols recordant el paper que historicament hanjugat les matematiques a la Ciencia, particu-larment la fısica, i en la tecnica. Va ser Gali-leu el primer que va constatar la importanciad’aquest paper amb una expressiva metafora:≪el llibre de la natura esta escrit amb caractersmatematics≫. Aquest es sens dubte el cas del’extens primer capıtol sobre la ≪naturalesamecanica≫, que es la que escrutava Galileu, laimportancia fonamental de la qual en la socie-tat actual es visible per qualsevol, sigui en eltransport, la industria, o els viatges interplane-taris.

La metafora va reapareixer en el capıtol so-bre la ≪naturalesa electrica≫, iniciat en el se-gle passat, l’escriptura del qual ha prosseguitamb vigor creixent durant el segle xx. Es clarque l’actual civilitzacio no seria possible sensela comprensio i domini de l’electricitat i el mag-netisme, a totes les escales, i al mateix tempsaquesta comprensio i domini no serien possiblessense les matematiques.

11

A aquest paper instrumental de les ma-tematiques s’hi ha d’afegir un paper encara mescentral que ha emergit ≪progressivament≫ enles ultimes decades amb les noves tecnologies in-formatiques i de comunicacio. Totes les analisisindiquen que ens dirigim cap a un mon digital,un mon en el qual la part mes important del’economia estara formada per productes digi-tals i del qual tenim ja indicis amb els discoscompactes, la telefonia mobil i la televisio digi-tal. Ara be, aquesta digitalitzacio massiva capon tendeix el mon es en bona part un procesmatematic: la informacio digitalitzada (inclo-ent el diner) de fet no es mes que numeros, i elstractaments als quals s’ha de sotmetre aques-ta informacio per a la seva transmissio, ≪em-magatzament≫ i us no son mes que operacionsmatematiques sobre aquests numeros. Encarames, la garantia que aquestes operacions sonsegures i eficients ve proporcionada per teore-mes matematics, el descobriment i demostraciodels quals no va tenir, en general, res a veureamb les aplicacions.

En tot cas vivim un moment historic enque les ciencies fısiques, la tecnologia i les ma-tematiques convergeixen en un punt que fa pos-sible objectes com el disc compacte o el telefonmobil. El paper de les matematiques aquı noes instrumental, sino un component mes delssistemes. En els dos casos citats, per exemple,la qualitat del funcionament depen de maneramolt crucial de l’us de codis autocorrectors, queson esquemes matematics de codificacio i desco-dificacio descoberts durant les ultimes decadesi que permeten que la qualitat de la musica deldisc compacte no es vegi alterada de manera in-acceptable per defectes de la superfıcie del disco per la seva gradual deterioracio per l’us.

El mon digital a que ens hem referit, dis-tribuıt en la xarxa, es diu ciberespai, i es par-la obertament de la seva colonitzacio. Es parlatambe, mes enlla de la societat de la informacio,de la del coneixement. Crec que aquest fenomens’ha de veure com una oportunitat historicaper a un paıs com el nostre on la tradicio ma-tematica no ha tingut la forca de la d’altrespaısos, pero que afortunadament en el darrerquart de segle ha remuntat fins arribar a ni-vells internacionals molt respectables. Altres jas’estan movent organitzadament, i no veig caprao perque aquı no puguem fer el mateix, per-

que no puguem donar el passos adequats perocupar un lloc en la societat del coneixement.

D’acord amb el que he exposat, resulta clarque es important per al paıs, sobretot pel que faa la seva futura economia, que siguin capacosde garantir que el ciutada corrent tingui unsconeixements adequats de matematiques (era-dicar l’anumerisme hauria de ser l’objectiu) i,al mateix temps, que el nombre i qualitat delsmatematics (juntament amb el de cientıfics ienginyers), i dels mitjans a la seva disposicio,siguin suficients.

Pero en les actuals circumstancies no sem-bla facil assolir plenament aquests objectius. Siper un costat hi ha indicis fidedignes que el crei-xement (almenys quantitatiu) de la investigacioen matematiques ha estat espectacular, ja queactualment Espanya produeix el 4 % dels arti-cles en aquesta materia, i que l’ensenyanca enles facultats te molts aspectes positius, hi haun bon nombre de dificultats i problemes diver-sos. Intentare destacar-ne uns quants dels queem semblen mes importants, i suggerir, encaraque sigui de manera molt preliminar i a tıtol di-alectic, algunes de les idees i lınies de treball queem semblen indispensables per poder avancaren el sentit esmentat.

Una primera questio es la preparacio delsestudiants que arriben a la universitat. Aquestpunt va ser el focus, en el Regne Unit, del’informe Howson encarregat per la Socie-tat Matematica de Londres, l’Institut de Ma-tematiques i les seves aplicacions i la Real So-cietat d’Estadıstica (Tackling the Matemathi-cal Problem, 1995). No tenint constancia de l’e-xistencia d’un informe global sobre la mateixaquestio a Espanya, pero havent detectat certa-ment una preocupacio general sobre el proble-ma, son necessaris alguns comentaris.

En el cas del Regne Unit, s’afirma queels canvis recents en l’ensenyanca de les ma-tematiques a primaria i secundaria poden haverestat avantatjosos per a alguns estudiants, perono han construıt els fonaments per a mante-nir la quantitat i qualitat dels matematicamentcompetents i han estat altament desavantatjo-sos per a tots els que han de continuar la se-va formacio matematica despres de secundaria.Es bastant segur que una bona part d’aques-tes afirmacions son aplicables al nostre siste-ma educatiu i que l’actual situacio afavoreix latendencia que ho siguin.

12

Per exemple, sembla que actualment, al-menys en algunes comunitats autonomes, hi hames demanda que oferta per les places d’ense-nyanca de les matematiques, de manera que unnombre significatiu queda cobert per especia-listes en altres materies. Sigui com sigui, potserseria convenient, per sortir de dubtes d’una ma-nera objectiva i lluny de qualsevol apriorisme,que un grup de treball qualificat pogues deli-near i formular amb precisio quina es la nostrasituacio real.

Les recomanacions de l’informe Howson va-ren ser que es crees una comissio encarregadade presentar sinteticament l’estat de l’educaciomatematica des de primaria fins a la universitati d’assegurar directrius solides i adequat suporta totes les persones que la imparteixen, o que es-tan involucrades en la seva organitzacio. Aquestgrup hauria d’assegurar que les diverses questi-ons siguin debatudes obertament i extensamentper tots els sectors implicats. A mes, el procesper identificar representants apropiats de l’e-ducacio terciaria hauria d’incloure consultes asocietats cientıfiques i professionals.

Es donen actualment les condicions per aque una iniciativa d’aquesta envergadura tinguisentit en el nostre paıs? Jo crec que sı, i que valla pena examinar-la amb cura. Es difıcil imagi-nar avencos significatius sense un coneixementdetallat de la nostra realitat i dels nostres pro-pis problemes.

Ara voldria fer uns comentaris sobre la ques-tio de la matematica pura versus la matematicaaplicada. No voldria que la meva posicio a fa-vor d’explorar totes les possibles aplicacions dela matematica, i que els esforcos en aquesta di-reccio augmentin substancialment en els anysvenidors, fos entesa com una oposicio al desen-volupament de la matematica pura. Mes aviates el contrari: ja que la historia ens mostra queles aplicacions de les idees matematiques acos-tumen a apareixer molt despres del seu desenvo-lupament teoric, considero obligat que les admi-nistracions publiques tinguin sempre en comp-te aquest fet en la distribucio dels recursos i enl’avaluacio dels resultats. Amb una visio me-rament utilitaria i curta de mires, els estudisdel grec Apol.loni sobre les seccions coniques,que mes d’un mil.lenni varen ser la clau que vapermetre a Kepler descobrir les seves famoseslleis, es valorarien com irrellevants; els treballsde Galois sobre les condicions de resolubilitat

de les equacions algebraiques, en que es vanintroduir els cossos finits que actualment s’u-tilitzen per a la construccio efectiva de codisautocorrectors, s’haurien deixat de costat ambsimples disquisicions teoriques; o els treballs deRiemann sobre les idees fonamentals subjacentsa la geometria, que varen ser la base, entre al-tres, de les teories d’Einstein, s’haurien consi-derat meres especulacions. El tempo de les ma-tematiques sol ser, doncs, molt mes llarg que eld’un mandat electoral o fins i tot que el d’unao diverses generacions, i crec que per a un paısseria insensat ignorar-ho a l’hora de prioritzarel destı dels recursos.

Un altre aspecte que cal comentar es el delbinomi docencia-investigacio. A l’estudi encar-regat per la Societat Matematica Americanaamb l’objectiu de donar recomanacions utils pera la direccio de departaments de matematiquesen la proxima decada (Towards Excellence: Le-ading a Mathematics Department in the 21st

Century, 1999, referencia que agraeixo a Ma-nuel de Leon) s’aposta per un perfil de depar-tament tal que la seva missio inclogui un com-promıs d’excel.lencia tant en la investigacio comen la docencia. Encara que el model en questiono es directament transferible al nostre entorn,algunes de les seves caracterıstiques sı que hoson, amb totes les matisacions que es vulgui.

Per un costat es continua afirmant que ala universitat s’ha de continuar amb la recercade qualitat. Pero es ben conegut que aquestafany comporta sovint que la docencia siguiconsiderada com una molestia per a la carre-ra investigadora i que, consequentment, la se-va qualitat sigui baixa en moltes ocasions. Larecomanacio de l’informe es precisament queaquesta tendencia s’ha d’invertir si es desitjaque el departament sobrevisqui saludablementals canvis a mig i llarg termini.

S’ha de fer notar que per docencia s’entenno nomes la de les assignatures de la llicen-ciatura propiament dita, sino tambe les ques’imparteixen en altres estudis (docencia ex-terna) i les incloses en els estudis propis pera preparar els estudiants respecte de les feinesreals que trobaran. De fet, es considera indis-pensable incloure en el pla docent una propor-cio equilibrada dels tres tipus d’assignatura, jaque en general resulta ser la manera mes as-sequible de concretar la necessaria contribuciodes de la docencia de les matematiques a la

13

realitzacio de la missio de la universitat. S’in-sisteix, a mes, que el millor perfil del docent esel d’un professor amb curiositat intel.lectual so-bre l’ensenyanca, amb una dedicacio adequada,i que es a mes responsable de tirar endavant unbon programa d’investigacio.

Per a promoure la innovacio en la docencia,poden tenir un paper molt important les novestecnologies i per aixo convindria que tots elscentres poguessin disposar dels mitjans apro-piats. Avui, per exemple, es pot impartir unaclasse, o una sessio de laboratori, mitjancant unvideoprojector amb el qual es presenten, segonsconvingui, els conceptes i resultats matematics,en hipertext i grafics d’alta qualitat; o l’ex-pressio transparent dels algorismes pertinents,mitjancant llenguatges d’ultima generacio; ol’execucio dels mateixos in situ, invocant unprograma apropiat. Pero en general el profes-sorat no disposa d’aquests mitjans, ni d’unaconnexio a Internet des de l’aula, per la qualcosa ha de retrocedir al sistema classic de guixi pissarra, o a tot estirar al projector de trans-parencies.

En la innovacio en materia d’investigacioconsidero que es molt important que en els es-tudis de llicenciatura s’introdueixin elementsd’iniciacio a la investigacio, ja que l’inici for-mal a aquestes feines segons els programes dedoctorat passa en una edat que considero mas-sa tardana. El model de Projecte Tecnologicintroduıt a la Facultat de Matematiques i Es-tadıstica de la Universitat Politecnica de Ca-talunya es un pas positiu en la direccio in-dicada, ja que l’estudiant que elegeix aquestamodalitat ha de presentar un projecte, ha dedesenvolupar-lo (sota la supervisio d’un tutor)i ha de redactar i defensar una memoria sobreel treball realitzat i els resultats aconseguits.S’obte aixı una preparacio excel.lent, compara-ble a la del projecte de fi de carrera d’un en-ginyer o un arquitecte, tant per prosseguir lainvestigacio en matematiques com per a acce-dir a altres treballs. Pero possiblement s’hagid’anar mes enlla, no en el sentit d’allargar-ho ode complicar el projecte tecnologic, sino en elde fomentar l’esperit crıtic i l’actitud investiga-dora davant qualsevol problema o situacio.

Taula rodona. Continuacio

La intervencio a la taula rodona de Miguel de Guzman, de la Real Academia de Ciencias, vaversar sobre ≪El sentit de l’educacio matematica i l’orientacio actual del nostre sistema educatiu≫.

Va parlar dels Pitagorics, de com van comencara percebre en la seva contemplacio matematicales harmonies mes profundes presents a l’Uni-vers en que vivim. I de com en aquesta con-templacio basaven la seva vida etica i religio-sa, de manera que la matematica era en cer-ta manera una guia de contemplacio i de com-portament que els portava a respectar tots elsessers vius i a afavorir les relacions amb tots elssers tan humans com divins. Una llico d’huma-nisme ecologic que hem desaprofitat, convertintl’educacio matematica en una rutina buida enel moment en que seria mes necessari fer us dela capacitat forjadora i integradora del quefermatematic.

Pensa que la matematica es capac d’estimu-lar alguns dels aspectes etics importants queuna educacio moderna hauria de contemplarcom a objectius. Per justificar aquesta afirma-cio comenta que el matematic accepta amb gau-banca una veritat cientıfica sigui qui sigui quil’hagi trobat i contradigui o no les seves expec-tatives previes, sent aixo un signe de generosi-tat. El sentiment de profunda humilitat davant

la multitud de veritats encara per descobrir esuna de les actituds etiques importants que lamatematica pot estimular. El fet que els teore-mes dels grecs siguin avui igualment valids fasentir una responsabilitat comuna de fer pro-gressar la nostra cultura.

Tambe l’acceptacio del consens, que enmatematica podria ser l’acceptacio del siste-ma axiomatic on ens situem, es un concepteimportant a la nostra societat que la ma-tematica pot fomentar.

Tambe la matematica es llibertat, com ja vadir Cantor, i aventura.

Va acabar citant alguns elements de l’es-tructura del sistema educatiu que impedeixenque els joves rebin en la seva educacio ma-tematica els grans beneficis que aquesta els potproporcionar.

1. La formacio que reben els professors d’ense-nyament primari es insuficient.

2. La formacio dels professors de secundaria iuniversitat omet molts dels punts que te-nen a veure amb la visio integral de les ma-tematiques.

14

3. El temps dedicat pels estudiants de primariai secundaria a l’estudi de les matematiques esmolt insuficient.

4. Mala adaptacio a l’extensio de l’ensenyamentobligatori fins als 16 anys.

A continuacio va parlar Luis Balbuena de l’Institut Viera y Clavijo de La Laguna.

Va declarar nomes comencar que comparteix lanecessitat de la Reforma aixı com els grans prin-cipis que la van inspirar. No obstant de segui-da es va queixar que de les quatre hores set-manals de matematiques al BUP s’ha passat anomes tres amb la LOGSE. Va posar de mani-fest que aixo va contra els propis informes dela UNESCO, citant l’informe L’educacio ≪en-cierra?≫ un tresor de la comissio internacionalsobre l’educacio en el segle xxi presidida perJaques Delors. Tambe diu que la reducciohoraria va en contra de les directrius meto-dologiques de la propia llei que preten que elsestudiants tinguin temps per poder accedir alscontinguts i a les seves aplicacions.

Critica que les empreses editores de llibresde texts s’han limitat a adaptar, amb lleugersretocs, els llibres que s’utilitzaven en l’anteriorsistema. Tambe el tractament de la diversitatha quedat fora d’aquests llibres, que de mane-ra general han deixat de banda les questionsmetodologiques.

La Reforma considera un principi basic ofe-rir a cada alumne l’ajuda pedagogica que ne-cessiti en funcio de la seva capacitat d’aprenen-

tatge, de les seves motivacions i interessos. Esnormal trobar a l’aula una gran diferencia tanten el desenvolupament de capacitats com de ni-vells de coneixement. A mes hi ha problemes denatura social, cultural i humana que incideixentambe en la creacio de diversitat a l’aula. Elprofessor de matematiques, pel fet de ser pro-fessor, no pot passar per alt tot aixo. No pot ac-tuar com si els seus alumnes fossin un conjuntde robots aliens a la seva propia existencia. Noha de ser insensible davant un alumne trist orebel sobretot tenint en compte que en aques-tes edats s’esta formant un projecte huma pera tota la vida.

Tambe va destacar el paper de la famılia.Creu que les ciencies i la matematica en parti-cular haurien de formar part de la cultura fami-liar i apareixer com un tema mes de conversacioi comunicacio, tasca a la qual pot ajudar la ce-lebracio de l’Any Mundial de les Matematiques.

Finalment, va destacar la importancia de lesnoves tecnologies en l’ensenyament de les ma-tematiques, i va acabar animant els professio-nals de la docencia a mantenir sempre la il.lusioi l’esforc del primer dia.

Maria Jesus Luelmo, de l’Institut San Mateo de Madrid, va parlar dels ≪Reptes actuals del’educacio matematica a secundaria≫

Considera que la Reforma hagi unificat els doscicles de l’ESO i que s’imparteixi en un mateixcentre amb el mateix tipus de professorat es unfet especialment positiu per a les matematiques,perque una bona sequencia i organitzacio delscontinguts de matematiques es molt important.Tambe considera positiu que els alumnes esti-guin en un sistema d’ensenyament fins a unaedat en la qual les seves opcions academiques iprofessionals son mes conscients.

No obstant, la permanencia en un mateixsistema no s’ha de traduir en un ensenyamentuniforme per a tothom, i apel.la novament a ladiversitat.

Insisteix en que la teoria de la LOGSEpreveu situacions, com la diversitat, que des-pres en la practica no son possibles. Es queixa

tambe de la manca de material adequat i obvia-ment de la manca d’hores lectives assignades amatematiques, que no permeten a la majoriade l’alumnat aprendre satisfactoriament el queesta previst en les programacions.

Va fer tambe unes consideracions sobre lacoordinacio entre la secundaria i la universitattenint en compte que el tipus de prova obli-ga a proposar questions objectives, de mane-ra que indirectament s’afavoreixen els aspectesmes rutinaris de les matematiques en detrimentd’altres tan interessants com les aplicacions ola resolucio de problemes. Creu que els equipsde coordinacio de les PAAU no tenen prou encompte els canvis que hi ha hagut tant en el ti-pus d’alumnat com en els objectius i contingutsmatematics de la secundaria en el seu conjunt.

15

El fet de transformar una prova de madu-resa en una selectivitat vicia el plantejamentinicial i no compleix tampoc la funcio de selec-cio, ja que permet entrar a matematiques ambun 5 amb el posterior fracas gairebe garantit.

Propugna finalment un currıculum de ma-tematiques dinamic que es pugui, doncs, modi-

ficar gradualment per adaptar-lo a un entornamb perspectives socials i cientıfiques canvi-ants. Proposa que es dugui a terme a Espanyaun estudi similar a l’Informe Cokgroft, que esva realitzar l’any 1977 al Regne Unit demanatpel Parlament al Govern, per tal de saber lesnecessitats matematiques de la societat.

Una conferencia sobre Jose Echegaray i la matematica com instrument de regeneracio a carrec deJose Manuel Sanchez Ron de la Universitat Autonoma de Madrid i unes paraules de cloendapronunciades pel vicepresident del Congres Joan Marcet i Morera van cloure l’acte.

Una recopilacio de les intervencions que aquı ressenyem ha estat publicada pel propi Congres ila podeu trobar a ISBN: 84-7943-138-5.

L’ensenyanca de les matematiques a Espanya: conclusions

Els components de la taula rodona sobre l’en-senyanca de les matematiques a Espanya, des-pres d’haver discutit internament les ponenciespresentades, han decidit unanimement ressaltarcom a prioritaris els tres punts seguents:

• La necessitat de canvis profunds en la nos-tra educacio matematica pel que fa als nivellsobligatoris, amb especial atencio al temps dededicacio a la matematica i a la diversitatd’interessos dels alumnes.

• La necessitat de realitzar importants trans-formacions en la preparacio del professorat deprimaria i secundaria pel que fa a la forma-cio relacionada amb la matematica i la sevadidactica amb la finalitat que el nostre siste-

ma educatiu pugui afrontar amb competenciaels canvis necessaris.

• La necessitat d’establir un ampli dialeg en-tre la comunitat matematica i els diferentsagents socials, per tal d’arribar a acordsexplıcits sobre les competencies basiques ne-cessaries a la ciutadania i sobre els modesde fer possible que siguin abastades. Per aaixo sera necessari que es creı un organismeadequat o una comissio especial que doni su-port i estimuli aquest dialeg. Aquest organis-me hauria d’identificar tambe els problemesque afecten la nostra universitat pel que fa adocencia en el nivell superior i promoure lesmesures oportunes per a la seva solucio.

M. de Guzman, L. Balbuena, M. J. LuelmoM. V. Sanchez S. Xambo

Acte al Paranimf

El dia 7 de marc de 2000 va tenir lloc un ac-te al Paranimf de la Universitat de Barcelo-na per commemorar l’Any Mundial de les Ma-tematiques.

La mesa estava presidida per:

Prof. Andreu Mas Collell, Comissionat d’Uni-versitats i Recerca, en representacio del pre-sident de la Generalitat.

Prof. Antoni Caparros, rector de la universitatamfitriona (UB).

Prof. Sebastia Xambo, president de la SocietatCatalana de Matematiques.

Prof. Joaquim M. Ortega, president de la co-missio per l’Any Mundial de les Matemati-ques.

Sr. Pere Sola, director general d’OrdenacioEducativa, en nom de la consellera.

Sr. Vladimir de Semir, regidor ponent de la Ciu-tat del Coneixement, en nom de l’alcalde.

Va presentar l’acte el Dr. Joaquim M.Ortega Aramburu, president de la comissioper l’Any Mundial de les Matematiques.

Excm. I Magc. RectorSr. Comissionat per a Universitats i Recerca.

16

Sr. Director General d’Ordenacio EducativaIl.lm. Sr. Regidor Ponent de la Ciutat del Co-neixement

Excm. Sr. President de la Divisio IIIDignıssimes autoritatsSres, Srs, amigues, amics

La Unio Matematica Internacional en la se-va proclamacio del 2000 com l’Any Mundial deles Matematiques va fixar com a objectius:

• La determinacio dels grans desafiaments delsegle xxi.

• El reconeixement de les matematiques com aelement clau per al desenvolupament amb lesseves consequencies en el terreny de l’educa-cio i la cooperacio.

• Millorar i estendre la presencia de les ma-tematiques en el conjunt de la societat.

A l’acte d’avui intentem fer arribar a lapropia comunitat matematica i a la societaten general aquests objectius. Joan Sola-Moralesens parlara de les matematiques com a claudel desenvolupament, Jaume Llibre sobre ma-tematiques i cooperacio, Marta Berini sobre l’e-ducacio en matematiques i Jorge Wagensberg,ens donara el seu punt de vista sobre la imatgesocial de les matematiques. No tractarem di-rectament dels grans desafiaments matematicsdel segle xxi. No seria possible ni adequat perla naturalesa d’aquest acte. Agraeixo a tots elsconferenciants que hagin acceptat parlar sobreels temes que els hem proposat.

Vull esmentar alguns dels aspectes que emsemblen rellevants en aquest acte: el primerd’ells es que hem tractat que sigui un acte departicipacio de l’espectre mes ampli possible dela Comunitat Matematica. Aixı, al costat delprofessorat de les universitats amb estudis enmatematiques participa tambe una professorad’ensenyament secundari, vicepresidenta de laFederacio d’Entitats per a l’Ensenyament de lesMatematiques a Catalunya. Estudiants de ma-tematiques de les tres universitats ens llegirantres de les resolucions sobre el AMM. La cap dela Biblioteca de Matematiques de la UB llegirala resolucio del Parlament de Catalunya, sim-bolitzant el recolzament als objectius del AMMdels no matematics, pero que pertanyen a lanostra comunitat i que amb el seu treball fanpossible la nostra tasca.

El segon aspecte es que es tracta d’un ac-te academic pero que al mateix temps vol te-nir un cert aire de celebracio, de festa de les

matematiques. Per aixo, seguint una tradiciod’incorporar la musica a les celebracions ma-tematiques, gaudirem d’un petit concert d’ar-pa i flauta i de la participacio de la Coral deMatematiques de la UB.

La celebracio de l’Any Mundial de les Ma-tematiques tindra la seva continuıtat amb di-verses activitats al llarg de l’any. Trobareu in-formacio en la pagina web del AMM a mesuraque es vagin concretant. Entre aquestes activi-tats vull mencionar el cicle sobre matematiquesi cinema a la Filmoteca de la Generalitat queesta previst just despres de la Setmana Santa;les jornades sobre Literatura i Matematiquesque organitzara l’Institut d’Estudis Catalans afinals de maig o Operacio Matematiques al Me-tro. Aquesta ultima activitat consta d’una cam-panya de posters als vagons del Metro que facinveure els fonaments matematics de l’alta tec-nologia que ens envolta en la vida diaria, aixıcom la presentacio d’algun exemple del pensa-ment matematic. Es preveuen altres activitatsen el Metro com l’edicio de targetes de Me-tro amb motius matematics com el teorema dePitagores, la construccio del circumcentre o al-tres.

Per acabar, una molt breu reflexio sobre elque ens agradaria que aquesta i totes les diver-ses activitats que tinguin relacio amb els ob-jectius de l’Any Mundial poguessin comportar.Llegim la resolucio sobre el AMM del Parla-ment de Catalunya; en el seu ultim paragrafens diu que:

El Parlament dona suport a la celebraciode l’Any Mundial de les Matematiques d’acordamb els seus objectius. Aquesta celebracio potsignificar un impuls per a la recerca matematicaen el segle xxi, fomentar la cooperacio interna-cional i aixı mateix promoura la divulgacio deles matematiques i de les aplicacions que tenen,i tambe de l’educacio matematica a Catalunya.

Els nostres objectius no podien ser diferentsd’aquests. Ens agradaria que es fes camı enaquesta direccio. Que es doni un impuls a larecerca matematica, que es fomenti la coope-racio internacional, que arribi a mes gent laimportancia de les matematiques. Per ultim, ipotser el mes important en aquest moment, ensagradaria que es fes alguna accio per fomentari millorar l’educacio matematica en el nostrepaıs.

J. M. OrtegaUB

17

A continuacio va parlar en Joan Sola-Morales, de la UPC, sobre el tema ≪Les matematiquescom a aspecte essencial per al desenvolupament (Abans i ara)≫.

La meva petita contribucio a aquest acte de re-coneixement del paper de la matematica, ambmotiu de la celebracio de l’any mundial que lies dedicat, sera parlar uns minuts sobre el seupaper com a instrument imprescindible en eldesenvolupament. En el desenvolupament indi-vidual, personal, cultural, cientıfic i educatiu deles persones, pero mes principalment em refe-rire al tema mes prosaic, i que mes sovint esoblidat, d’instrument per al desenvolupamentsocial, economic, tecnologic i industrial de lessocietats humanes, dels pobles i dels paısos.

La matematica es una ciencia molt antiga.Tal com l’entenem actualment, te al menys dosmil cinc-cents anys d’antiguitat, i durant totsaquests segles ha participat activament en elnaixement i tambe en la mort de moltes teori-es, de moltes tecnologies i de moltes creacionsde la humanitat.

Tambe ha vist neixer i morir cultures, civi-litzacions, imperis i fins i tot llengues. I enmigde tants canvis, ha sabut en cada moment tro-bar la manera de despertar l’interes de la genti, molt especialment, de demostrar la seva uti-litat. Aixo ha obligat la matematica a posar-se contınuament al dia, a abordar nous pro-blemes i a construir noves teories, i per tanta canviar i renovar-se, pero demostrant tambecontınuament la utilitat de mantenir i conser-var allo que es permanent: el seu metode, i lamanera matematica de pensar.

Res no seria mes agradable en aquest mo-ment que parlar de les grans realitzacions fe-tes durant aquest segles d’historia. Parlar, perexemple, de quan al segle vi de la nostra era elsmatematics Artemi de Tral.les i Isidor de Miletper encarrec de l’emperador Justinia van disse-nyar i dirigir la construccio de la impressionantcupula de la basılica de Santa Sofia a l’actualciutat d’Istanbul. Aquell fou un exercici magis-tral de geometria, de mecanica i d’estereotomia,que ha resistit als terratremols, i que amb lesseves dimensions impressionants encara carac-teritza la silueta d’aquella magica ciutat, portad’orient, lloc de pelegrinatge cultural durant se-gles de molts esperits sensibles.

Seria molt agradable, sı. Tambe seria moltinteressant de parlar dels problemes de la na-vegacio del segle xvii, i de com la creacio perpart d’Isaac Newton del calcul infinitesimal es-tava lligada a aquests problemes, clarament co-

mercials. Pero tinc poc temps per parlar, i ames no vull que la meva intervencio pugui so-nar, ni remotament, com un plany d’enyorancade glorioses epoques passades. Res d’aixo. Lamatematica avui en dia es mes viva que mai ies mes important que mai. Aixo es perque lacreativitat humana es avui mes important quemai, fins i tot des del punt de vista de l’acti-vitat economica, i tambe a causa que els actu-als mitjans de calcul automatic, que han estatproporcionats per la informatica, han produıtuna autentica explosio en la utilitzacio de po-derosıssimes tecniques matematiques que finsara podien haver estat considerades com de po-ca utilitat practica a causa de l’enormitat delscalculs que involucraven.

Repeteixo: la matematica avui es mes im-portant que mai. Com a instrument educatiuen el desenvolupament personal, sı, pero tambemolt especialment com a eina per al desenvolu-pament social i economic.

Per a que serveix la matematica?

L’activitat economica acostuma a dividir-seper sectors. Per sectors d’activitat. Aixı acos-tumem a parlar del sector de l’automocio, dela construccio, del comerc, de l’energia, de laindustria, la informatica, la telecomunicacio, eltransport, etc. Jo crec que una de les carac-terıstiques mes importants de la matematica esque no te un sector especıfic d’aplicacio, peroque es present, i de forma destacada, a tot ar-reu. Vegem alguns exemples.

La matematica serveix, per exemple, per aldisseny de la forma geometrica de les carrosseri-es dels avions, per a disminuir el fregament ambl’aire, sense produir inestabilitat ni vibracions.Pero al mateix temps serveix a les companyiesd’aviacio per a una cosa completament diferent:per a dissenyar els horaris dels vols per satis-fer les demandes previstes dels usuaris, compe-tint amb exit amb altres companyies, pero fentcompatibles aquests horaris amb les restricci-ons imposades per la capacitat, seguretat, man-teniment i disponibilitat. La matematica ser-veix per a tot aixo: els models matematics dela mecanica de fluids, basats en equacions enderivades parcials, i el disseny geometric, queutilitza la geometria diferencial i la interpolaciografica, serveixen per a dissenyar el perfil delsavions, i la teoria de grafs i l’optimitzacio com-

18

binatoria serveixen per a dissenyar horaris devols. Tot aixo per no parlar de molts altres te-mes relacionats amb l’aviacio on la matematicatambe te un paper molt important, com araels sistemes de control i estabilitzacio del mo-viment, els sistemes de navegacio i posiciona-ment, etc., etc.

I en medicina, la matematica es la que hadissenyat els rıgids protocols estadıstics queels governs de tot el mon imposen als medi-caments abans que en sigui autoritzat el con-sum public i la comercialitzacio. I al mateixtemps que l’estadıstica s’aplica al control del’us dels medicaments, una altra branca com-pletament diferent de les matematiques, la teo-ria espectral d’operadors, s’utilitza avui en diacada cop mes i amb resultats espectaculars, aldisseny amb ordinador de molecules noves, ex-traordinariament complexes, de composts bio-quımics amb finalitats terapeutiques, atenent al’estabilitat de la seva composicio i a la del seuproces de fabricacio. I encara una altra branca,l’analisi harmonica, es la peca clau en el proces-sat dels senyals per als moderns procedimentsdiagnostics, com ara la tomografia axial com-puteritzada, de tant d’us a la medicina actual.

En el camp de la informatica, la geome-tria te un paper decisiu en tots els temes d’in-formatica grafica, de representacio d’objectesde tres dimensions, en aquestes tecniques quegenericament es denominen de realitat virtu-al: representacio de superfıcies, determinacio decares ocultes, simulacio de textures i il.lumina-cions, etc. I al mateix temps, altres branquesde la matematica, aparentment molt allunyadesde la geometria com son l’aritmetica i l’algebraintervenen tambe de forma determinant en elproblema importantıssim de la compressio, lacodificacio i la transmissio electronica segura deles enormes quantitats d’informacio contingudaen els arxius que son resultat de les representa-cions grafiques que hem esmentat.

En tots aquests camps, i en moltıssims mesque no tenim temps d’explicar, la matematicate avui en dia un paper molt important. Toti aixo, soc conscient que alguns dels que m’es-colten deuen pensar que les coses que descriccorresponen a camps que no son estrictamentla matematica, i que, de fet tenen nom pro-pi: els exemples que he exposat correspondri-en aixı a l’enginyeria aeronautica, la logıstica,la farmacia, la bioquımica, la teoria del senyal,l’enginyeria informatica o la telematica i pot-ser molts d’altres. No ho nego pas, pero vull

entretenir-me especialment en aquest punt: enrelacio amb aixo, vull dir que la matematica,principalment pel que fa a les seves aplicaci-ons, no es patrimoni exclusiu, ni molt menys,dels matematics. Que els fısics, els enginyersindustrials, els de camins, o de telecomunica-cions, els informatics, els quımics, els biolegs ibiotecnolegs, els economistes, els geografs, elssociolegs son avui en dia usuaris directes i in-directes de la matematica, i precisament d’unamatematica que no es pas senzilla. A mes a mes,actualment a tot el mon cada cop hi ha mesi mes matematics que s’incorporen als equipsmultidisciplinaris que treballen en aquests te-mes, ja sigui en centres de recerca o en empre-ses, i aporten el seu coneixement mes precıs iaprofundit per a ajudar a resoldre els problemesque es plantegen.

Aquesta es la segona caracterıstica que vo-lia destacar de la matematica dels nostres dies,pel que fa a les seves aplicacions i a les sevesrelacions amb l’activitat economica. He dit quela primera caracterıstica era que la matematicano s’aplicava actualment a un unic sector del’activitat productiva o del coneixement, sinoque s’aplicava a molts d’ells, per no dir a tots. Ila segona caracterıstica es que les seves aplica-cions les duen a terme cientıfics o tecnolegs queno son necessariament matematics en el sen-tit tradicional de la seva formacio, i que sovintnecessiten del concurs dels matematics per afer-ho.

La matematica es el llenguatge de la ciencia i latecnologia.

Fa molts anys Galileu va dir que el llibrede la naturalesa estava escrit en llenguatge ma-tematic. Jo crec que avui entenem molt be elque volia dir, i que li donem la rao mes quemai. Pero avui podem fer una lectura moltmes ingenua i literal de la seva frase, i quetambe es certa: els llibres que parlen de la na-turalesa i de la tecnologia estan plens, estanfarcits, de llenguatge matematic. Els llibresd’electromagnetisme, de microones, de lasers,d’antenes, de tractament i transmissio de se-nyals, d’optica, d’acustica, de superconduccio,de termodinamica, d’astrofısica, de gravitacioo de mecanica, d’algorısmica, de paral.lelitza-cio de computadors, de robotica, de codifica-cio i criptografia, d’informatica grafica i trac-tament d’imatges, d’intel.ligencia artificial, devisio per computador, d’estructures de la cons-truccio, d’hidrologia, de resistencia del terreny,

19

d’enginyeria marıtima, de models de poblacionsbiologiques, de quımica fısica i molecular, defenomens de transport, de control, de logıstica,d’electrotecnia, de resistencia de materials, demecanica de fluids i de solids, de vibracions,de sistemes, d’enginyeria nuclear, de nous ma-terials, de molts temes de l’economia i les fi-nances, etc., etc., etc., estan, dic, tots aquestsllibres plens, a cada pas, de conceptes, termes imetodes matematics.

Us convido que feu aquest exercici. Es moltfacil. Aneu a qualsevol biblioteca que tingui lli-bres de ciencia i tecnologia de nivell superior id’ambit internacional i obriu-ne un a l’atzar. Elque observareu, i no sera pas per casualitat, esque no passaran massa paragrafs sense que co-mencin a sortir coses com una estadıstica, unaintegral, un sistema d’equacions, una equaciodiferencial ordinaria o en derivades parcials, ungradient, un rotacional o un flux, una interpola-cio, una optimitzacio, un metode numeric, unaserie de potencies, una serie de Fourier, una fun-cio de Bessel, una matriu, un valor o un vectorpropi, un concepte geometric, com una parame-tritzacio, una curvatura, un tensor o un produc-

te escalar, un tema combinatori, de matematicadiscreta, o de teoria de grafs, un polinomi, unafactoritzacio, una equacio diofantina, una dis-tribucio de probabilitats, un model estocasticetc., etc.

Conclusio

La matematica es present pertot arreu. Pelque fa al mon de les empreses i l’activitateconomica, es present especialment i de manerainsubstituıble en les activitats de recerca i in-novacio. A tot el mon veiem que les empresesdediquen cada cop mes recursos a la investiga-cio i la innovacio propies, i en aquest camp lautilitzacio de la matematica es insubstituıble. Iaixo ens porta a una conclusio, que jo voldriaque fos important, almenys per a la nostra so-cietat: si un paıs no es resigna a ser nomes fontde ma d’obra no qualificada i vol tenir algunacosa a dir en el mon de la tecnologia actual, ne-cessita de manera imprescindible tenir recursosmatematics poderosos suficients, i, en particu-lar, necessita cuidar de la cultura matematicade la seva poblacio com d’un dels seus valorsmes preuats. Moltes gracies.

J. Sola-MoralesUPC

A continuacio va parlar en Jaume Llibre, de la UAB, sobre el tema ≪Les matematiques, unlloc per a la cooperacio.≫

Amb aquest breu interval de temps en que par-lare sobre les matematiques, un lloc per a lacooperacio, ens centrarem a parlar de les ma-tematiques com a lloc de cooperacio principal-ment, entre els mateixos matematics, i una mi-ca, entre els matematics i persones mes afins,com ho puguin ser els cientıfics en general.

Durant aquest segle, que ara estem acabant,si tenim en compte l’augment espectacular dela poblacio mundial, la quantitat d’universitats,de centres de recerca, i de tota mena d’institu-cions que puguin albergar matematics o perso-nes afins fent alguna mena de recerca en ma-tematiques, no ens equivocarem en afirmar queaquest segle xx ha tingut mes matematics de-dicats a les matematiques que els darrers 30 se-gles. Amb altres paraules, durant aquest seglehem tingut mes matematics que durant tota lahistoria de la humanitat.

Aquesta ≪abundancia≫ de matematics hafomentat mes que mai la cooperacio entre els

matematics, mitjancant reunions, congressos,escoles, tallers de treball, etc. Actualment potsemblar exagerat el nombre tan gran d’aquestsesdeveniments matematics.

Aquesta cooperacio facilita la difusio delsconeixements, enriqueix els punts de vista, ge-nera noves idees, accelera la realitzacio dels tre-balls, etc.

A part d’aquesta cooperacio diguem-ne decaire col.lectiu, n’hi ha una altra de mes indivi-dual, em refereixo a la d’abordar un problemanou amb col.laboracio amb altres companys dela professio. Estaria be disposar d’estadıstiquessobre el nombre d’autors que figuren en els arti-cles de matematiques, crec que confirmarien latendencia que cada vegada es treballa mes encol.laboracio, encara que aixo s’accentua mes enunes arees que en d’altres.

Aquesta cooperacio, tant la col.lectiva comla individual, s’ha vist enormement potenci-ada aquests darrers 20 anys, i especialment

20

aquest darrers 10 anys per l’us massiu d’Inter-net. Ara podem cooperar, com aquell que diu,instantaniament amb qualsevol matematic delmon, es clar sempre que els dos tinguem accesa la xarxa i ens agradi utilitzar-la. Per exem-ple, jo mateix l’any 98 vaig publicar al Pa-cific Journal of Mathematics un article ambcol.laboracio amb en Branko Grumbaum. EnBranko es un especialista forca bo en geometriacomputacional que treballa a la Universitat deWashington a Seattle, i que per desgracia en-cara no conec personalment, pero arran d’unapregunta que li vaig fer amb un e-mail, vam aca-bar escrivint un article conjuntament. Es clarque per acabar l’article moltes versions previesd’aquest van anar i venir entre Barcelona i Se-attle per la xarxa.

A continuacio llegire algunes cites sobre di-versos aspectes de les matematiques com un llocper a la cooperacio que han fet diferents ma-tematics; aquestes cites les he tret d’una reco-pilacio mes extensa de cites que han fet n’Ar-mengol Gasull i na Maria Jolis de la UniversitatAutonoma.

Una cita sobre la cooperacio amb el mon engeneral:

David Hilbert: ≪Les matematiques no co-neixen races o fronteres geografiques; per a lesmatematiques el mon de la cultura es un paıs.≫

Set cites sobre la cooperacio amb les cienci-es:

Galileu Galilei: ≪L’univers no es pot lle-gir fins que no hem apres el seu llenguatge iens hem familiaritzat amb els caracters en elsquals esta escrit. Ell esta escrit en llenguatgematematic, i les lletres son els triangles, els cer-cles i altres figures geometriques, sense les qualses humanament impossible entendre una simpleparaula.≫

Charles Darwin: ≪Les matematiques sem-blen dotar-nos amb una especie de nou sentit.≫

Emmanuel Kant: ≪La ciencia de les ma-tematiques presenta l’exemple mes brillant decom la rao pura pot ampliar amb exit el seudomini sense l’ajut de l’experimentacio.≫

Nikolai Lobatxevski: ≪No hi ha cap brancade les matematiques, per abstracta que sigui,que un dia no pugui ser aplicada a fenomensdel mon real.≫

Henri Poincare: ≪Els descobriments mate-matics, grans o petits mai neixen per genera-cio espontania. Sempre pressuposen un terraplantat amb el coneixement preliminar i benpreparat amb el treball tan conscient com sub-conscient.≫

Albert Einstein: ≪Com pot ser que les ma-tematiques, essent despres de tot un produc-te huma, independent de l’experimentacio, s’a-daptin admirablement als objectes de la reali-tat?≫

Jacques Hadamard: ≪L’aplicacio practicano es troba buscant-la i es podria dir que totel progres de la civilitzacio es basa en aquestprincipi.≫

No tothom ha vist en les matematiques unlloc per a la cooperacio, com ho proven les duesseguents cites de sant Agustı i Charles Darwin.

Sant Agustı: ≪El bon cristia hauria de tenircompte dels matematics i de tots aquells quefan profecies buides. Ja existeix el perill que elsmatematics hagin fet un pacte amb el diableper enfosquir l’esperit i confinar-nos a les pro-funditats de l’infern.≫

Darwin devia tenir els seus pros i contresamb les matematiques, abans l’hem citat per-que deia que les matematiques li donaven unnou sentit per entendre la natura, ara el citemper tot al contrari.

Charles Darwin: ≪Un matematic es un ho-me cec en una habitacio fosca buscant un gatnegre que no es a l’habitacio.≫

Es evident que Darwin quan va fer aquestacita no veia amb les matematiques la llum quenosaltres hi veiem. No puc acabar amb aquestacita tant fosca sobre les matematiques, per tantho fare amb tres cites sobre la cooperacio de lesmatematiques amb la bellesa:

Aristotil: ≪Les ciencies matematiques mos-tren entre altres coses, ordre, simetria i restric-cions, i aquestes coses son les grans formes dela bellesa.≫

David Hilbert: ≪La bellesa de les matema-tiques consisteix a trobar quin es el cas especialque conte tots els germens de generalitat.≫

Arthur Caley: ≪A les matematiques els pas-sa com a moltes altres coses: la bellesa es potpercebre, pero no explicar.≫

J. LlibreUAB

21

A continuacio n’Albert Mora (flauta) i Abigaıl Prat (arpa) ens van delectar amb la Sonata en solmenor BWM 1020 de J. S. Bach, amb Entreacte de J. Ibert, i finalment amb el Cant dels ocells.

El director del Museu de la Ciencia, Jorge Wagensberg, ens va parlar sobre ≪La imatge socialde les matematiques≫ pero no ha estat possible aconseguir de moment les seves paraules.

La professora Marta Berini, presidenta de l’ABEAM i vice-presidenta de la FEMCAT va parlarde ≪L’educacio en matematiques. Reflexions sobre la gestio de la classe.≫

L’ampliacio de l’etapa d’escolaritzacio obli-gatoria i l’augment de taxes d’escolaritza-cio postobligatoria ha obligat la comunitateducativa a replantejar-se els continguts ques’han d’ensenyar a les escoles i als centres d’e-ducacio secundaria i, entre d’altres questions,ha fet reflexionar el professorat sobre quinapot ser la millor manera de presentar a clas-se aquests continguts i com treballar-los ambels i les alumnes. Cal tenir en compte que quitenim a les nostres classes son persones en for-macio, adolescents amb tot el que significa d’im-maduresa pero tambe de potencialitat d’apre-nentatge, individus amb diferents necessitats idiverses expectatives, pero que seran els futurstreballadors i treballadores de la societat.

Aprofitant aquest any 2000, declarat AnyMundial de les Matematiques per la Unio Ma-tematica Internacional (UMI), gaudim d’unaocasio perfecta per tal que tota la societat, i enparticular el professorat de matematiques, refle-xioni sobre una de les directrius que ha donatla UNESCO a l’hora de donar suport a aquestany i que es la seguent: ≪La societat te la pa-raula en tots els ambits i pot dir que es el quecreu que haurien d’haver apres els ciutadansi les ciutadanes adults d’avui dia; en particu-lar, te la paraula en l’ambit de l’educacio ma-tematica.≫ Per tant, es evident que cal una dis-cussio a fons sobre quines son les necessitats so-cials a les quals ha de respondre l’ensenyamentde les matematiques (matematiques necessariesper poder desenvolupar-se en la vida quotidia-na, en el treball, en els estudis posteriors. . . )i quines han de ser les caracterıstiques de l’a-prenentatge en aquestes edats. Ja el 1981, l’In-forme Cockcroft (informe sobre l’ensenyamentde les matematiques a Anglaterra i al Paıs deGales, encarregat a W. H. Cockcroft i que vaser elaborat per ell mateix i 24 professionalsmes relacionats amb l’ensenyament i en les ma-tematiques, despres de 3 anys de treball) feiapaleses unes necessitats i donava unes direc-

trius a tenir en compte en el moment d’ense-nyar matematiques, a partir de dues preguntesclau pel que fa al seu ensenyament: quines ma-tematiques han d’aprendre els i les alumnes? icom han d’ensenyar-se aquestes Matematiques?

Respecte a quines matematiques han d’a-prendre tenim potser les idees mes clares i nodubtem a l’hora de fet un llistat i una sequen-ciacio dels continguts.

Crec que el problema apareix quan el profes-sorat intenta respondre a la segona d’aquestespreguntes: com han d’ensenyar-se aquestes ma-tematiques? Quan intenta fer-ho, immediata-ment li apareix una preocupacio: ≪cal prendrela decisio sobre quin tipus de material lliurara al’alumnat i com gestionara la classe, per tal d’a-conseguir els objectius que s’ha marcat.≫ Pertant em centrare en ella i intentare donar algu-nes indicacions a que he arribat despres de mol-tes reflexions, diverses experiencies i bastantsanys de treball a l’aula:

Pel que fa al material que lliurem a classe ila manera de fer del professorat, hauria de:

• ser adequat per a la majoria de l’alumnat ino nomes per a aquelles persones mes avan-tatjades

• tenir en compte els conceptes previs de l’a-lumnat sobre el tema a treballar

• permetre realitzar una part del treball de for-ma autonoma

• potenciar les discussions a classe, amb el pro-fessorat actuant mes com a conductor, quecom a participant

• potenciar l’analisi crıtica sobre les informaci-ons que rep del mon extern a l’escola

• induir els i les alumnes a reflexionar cons-tantment sobre el seu proces d’aprenentatge,tant en el moment de la resolucio de proble-mes, com en el de matematitzacio

• no presentar les matematiques com una teo-ria ordenada i encotillada, explicada pel pro-fessorat (cosa que provoca una actitud to-talment passiva de l’alumnat) sino proposar

22

situacions problematiques i demanar que in-tentin resoldre-les amb la finalitat d’implicar-lo en el seu propi proces d’aprenentatge

• fer emergir la intuıcio, la improvisacio, l’ela-boracio i comprovacio d’hipotesis, fer-los ferpetites investigacions, recomanar les aproxi-macions, el tempteig, les analogies. . .

• ≪obligar≫ l’alumnat a verbalitzar constant-ment els seus raonaments

• donar a l’alumnat exercicis que puguin te-nir diferents itineraris de resolucio i posteri-orment permetin comentar les diferents es-trategies utilitzades

• ajudar a fer servir els coneixements adquiritsen contextos similars

• garantir una visio interdisciplinaria i globa-litzadora dels continguts

• presentar les matematiques com un conjuntde coneixements que han estat i estan encontınua evolucio

• fer visibles les matematiques en tots els as-pectes de la vida quotidiana en que apareixen

• presentar els continguts matematics mes coma ≪instrument de coneixement≫ que com a≪objecte d’estudi≫

• pero, no oblidar mai el fet de mostrar la be-llesa intel.lectual de les Matematiques, i en-grescar una part de l’alumnat a gaudir del’abstraccio que n’hi ha a dins.

Tot aquest llistat de suggeriments no hau-ria d’angoixar ningu. No cal que a cada mo-ment haguem de lliurar a l’alumnat materialsde treball que contemplin tots aquests aspectes.El que haurıem de poder aconseguir es assegu-rar que al llarg de tota una unitat didactica,un mes, un trimestre, un curs,. . . la nostragestio de la classe hagi estat de tal manera,que haguem presentat situacions que permetintreballar-los tots.

Referent a l’aspecte: potenciar l’analisicrıtica sobre les informacions que rep del monextern a l’escola vull comentar dues expe-riencies que vaig tenir fa uns anys a les mevesclasses.

En primer lloc la que va ser consequenciade llegir al suplement d’≪Educacio≫ d’un diariun article titulat Los alumnos ponen la nota ique es referia al fet posaven la nota al seu pro-fessorat de la universitat.

Hi havia un paragraf on estava escrit: ≪lavaloracio anava de l’1 al 7. . . la nota mitja-na que va obtenir el professorat era un 5≫,i va afegir el periodista: ≪es a dir un apro-vat justet.≫ Vaig voler que a les meves clas-ses es critiques aquesta informacio i vaig do-nar fotocopia de l’escrit, demanant una crıticad’aquell paragraf. Rapidament l’alumnat va co-mencar a criticar el professorat: ≪Marta, quedolents que son!, nomes un 5!, tu ens dius queun 5 es molt poc. . .≫ Vaig haver de rectificarla meva demanda i dir que el que jo volia erauna crıtica sobre la informacio matematica quehi apareixia. I va ser llavors quan algu va dir:≪A mi em sembla que un 5 no es un aprovatjustet en una escala de l’1 al 7, mes aviat ha deser un be≫. La qual cosa va donar lloc a tot unseguit de reflexions. Varem redactar una car-ta entre tots i, despres de comprovar que capprofessor o professora de la universitat haviafet una replica, la varem enviar a la seccio de≪Cartes al director≫.

La segona experiencia fa referencia a la in-formacio sobre els ındexs d’audiencia de les di-ferents cadenes de televisio que va publicar-se atots els diaris i que nomes mirar-la feia mal a lavista, ja que l’antiproporcionalitat entre els per-centatges d’audiencia i la longitud de les barresera esfereıdora. Naturalment vaig donar-ne fo-tocopia als meus i a les meves alumnes i quanvan tenir-la davant, tothom va dir: esta mal fe-ta, no hi estic d’acord. . . i jo rapidament, moltcontenta, vaig demanar que tothom escrivıs perque creien que no era correcta. Quan varen co-mencar a llegir el que havien escrit, les resposteseren: ≪no es veritat que TV1 sigui la mes vistaperque a casa tothom veu Farmacia de Guardia,la meva veına tambe, es veritat, es veritat≫. . . iuna altra vegada vaig haver de demanar unacrıtica sobre la informacio matematica. De se-guida varen comencar a sortir les reflexions: nopot ser que al 7,9 % li correspongui nomes eldoble del que li correspon al 2,2 %, que a un6 % li correspongui nomes el doble del que licorrespon a un 1,3 % . . . La cosa no va acabaraquı, ja que varem redactar la carta i la varemenviar, i una setmana despres, mentre feia clas-se, em varen trucar del diari i la persona ambqui vaig parlar em va dir: ≪moltes gracies perla seva carta, dema la publicarem, pero crecque hi ha un error en el seu escrit perque vostediu que si a 26,9 % li corresponen 11,8 cm a

23

26 % li han de correspondre 11,18 cm, i estaclar que aixo no pot ser, ja que 11,18 es mesgran que 11,8.≫ Jo em vaig quedar esbalaıda ino sabia exactament que respondre per no ferirla persona amb la que estava parlant, i l’unicacosa que vaig saber dir va ser: ≪miri, es queen matematiques s’acostuma a no escriure elszeros que hi ha al final d’un nA7 amb comes,pero el 11,8, el podrıem escriure 11,80”; Ah,ja ho entenc, em va dir de seguida, i 11,80 sıque es mes gran que 11,18. ¿Li importa si a lacarta escrivim 11,80?≫. Que havia de dir sino,em semblava perfecte que ho escrivıs d’aquestamanera? I aixı la varen publicar.

Arran d’aquestes experiencies, i d’altres quesegur que tothom esta recordant en aquest mo-ment, es clar que continua sent necessaria unareflexio sobre quines matematiques cal ensenyari com fer-ho.

En aquest sentit, aprofito aquesta oca-sio i com a vicepresidenta de la Federaciod’Ensenyants de Matematiques de Catalunya,vull presentar-los el Congres d’Educacio Ma-tematica, cem 2000 que es celebrara els dies4, 5 i 6 de juliol de 2000 a Mataro i que sera

congres satel.lit del 3 Congres Europeu de Ma-tematiques.

El congres te com objectiu discutir so-bre una serie de questions com: quines sonles demandes que la societat fa en rela-cio a l’educacio matematica? Que pot ofe-rir el professorat de matematiques en respos-ta a aquestes demandes? Existeixen unes ma-tematiques invisibles fora de l’escola que calmostrar? Totes elles sempre centrades en el de-bat matematiques/societat en l’escolaritzacioobligatoria.

Dins el congres hi haura taules rodones(una d’elles amb participants aliens al monde les matematiques, que donaran el seu puntde vista sobre les questions clau del congres);conferencies plenaries, grups de debat on elsparticipants puguin discutir sobre les idees apa-regudes; comunicacions i tallers, i una segonataula rodona que comptara amb professionalsde l’ensenyament de les matematiques que do-naran la seva opinio sobre tot allo que ha anatsorgint al llarg de les activitats del congres. Es-teu convidats a participar-hi.

M. BeriniABEAM

Per concloure l’acte es van llegir les seguents declaracions institucionals:

Declaracio de l’IMU de Rio de Janeiro.Lector: Daniel Cuadras (estudiant de la UB).

Declaracio de la Unesco.Lector: Oriol Coma (estudiant de la UAB).

Proposicio no de llei del Congres dels Diputats.Lectora: Silvia Ferrando (estudianta de la UPC).

Declaracio institucional del Parlament de Catalunya.Lectora: Carme Navajas (cap de la Biblioteca de Matematiques de la UB).

Declaracio de Rio de Janeiro sobre les matematiques

El 6 de maig de 1992, a Rio de Janeiro, du-rant la celebracio del 40e aniversari de l’IMPA(Institut de Matematiques Pures i Aplicades),el professor Jacques-Louis Lions, president del’IMU (International Mathematical Union), vadeclarar, en nom d’aquesta Unio, que l’any 2000seria l’Any Mundial de les Matematiques. Ladeclaracio de Rio de Janeiro assenyala tres ob-jectius:

• Els grans desafiaments del segle xxi.

• Les matematiques, peca clau per al desenvo-lupament.

• La imatge de les matematiques.

Els grans desafiaments del segle xxi

Durant la seva famosa conferencia de Parıs,l’any 1900, David Hilbert va enunciar una llis-ta de problemes fonamentals, que presentavacom a desafiaments per al segle que ara acaba.

24

L’AMS va suggerir, l’any 1990, durant l’Assem-blea General de l’IMU reunida a Kobe (Japo),que els matematics del mes alt rang que erenmembres del Comite per al Canvi de Segle fes-sin una tasca semblant i coordinessin els es-forcos per tal d’enunciar els grans desafiamentsque l’any 2000 ens plantejara.

Les matematiques, peca clau per al desenvolupa-ment

Les matematiques pures i aplicades son undels recursos fonamentals per a la comprensioi per al desenvolupament del mon. Per aquestarao, es essencial que els paısos que son membresde la UNESCO arribin, gradualment, a obtenirun nivell en matematiques que faci possible que

siguin admesos en l’IMU. Per aixo, el segon ob-jectiu que marca la Declaracio de Rio de Janeiroes que la majoria de membres de la UNESCOassoleixin aquest nivell amb el canvi de segle.Aixo implica enormes esforcos addicionals enels camps de l’educacio, de l’aprenentatge i del’acces a la informacio cientıfica.

La imatge de les matematiques

La Declaracio de Rio de Janeiro marca, coma tercera fita, tambe de la maxima importancia,una presencia sistematica de les matematiquesen la ≪societat de la informacio≫ a traves d’e-xemples i aplicacions que siguin, alhora, cien-tıficament exactes i accessibles al maxim nom-bre possible de persones.

Declaracio de la UNESCO. 11 de novembre de 1997

Prenent en consideracio la importancia cab-dal de les matematiques i les seves aplicacionsen el mon d’avui pel que fa a la ciencia, la tec-nologia, les comunicacions, l’economia i moltsaltres camps.

Constatant que les matematiques tenenarrels profundes en moltes cultures i quela majoria d’eminents pensadors d’arreu delmon han contribuıt, durant milers d’anys, adesenvolupar-les.

Atenent el fet que el llenguatge i els valorsde les matematiques tenen caracter universal,i aixo les fa ideals per a la cooperacio interna-cional.

Ressaltant el paper clau de l’educacio ma-tematica, en particular en l’ensenyament pri-mari i secundari, tant pel que fa a la comprensiodels conceptes matematics basics com pel quefa al desenvolupament del pensament racional.

La Conferencia General de la UNESCO,Impulsa la iniciativa de l’IMU de declarar

l’any 2000 com a Any Mundial de les Ma-tematiques i de promoure, en aquest marc, lesmatematiques en tots els nivells i arreu del mon;i

Decideix donar suport a la iniciativa de con-siderar l’any 2000 com a Any Mundial de lesMatematiques.

Proposicion no de Ley sobre el Ano Mundial de las Matematicas 2000

Acuerdo adoptado por unanimidad el 9 de fe-brero de 1999.

La Comision Mixta de Investigacion Cien-tıfica y Desarrollo Tecnologico, ante la celebra-cion en Espana del Ano Mundial de las Ma-tematicas 2000.

A) Considera que las matematicas

• Son una de las maximas expresiones de la in-teligencia humana y un magnıfico ejemplo dela belleza de las creaciones intelectuales.

• Constituyen un eje central de la historia dela cultura y de las ideas.

• Gracias a su universalidad, se aplican en lasotras ciencias, de la naturaleza y sociales, y

en las distintas ramas del saber y en los dis-tintos tipos de actividad humana, de modoque resultan fundamentales en el desarrolloy el progreso de los pueblos.

• Constituyen una herramienta basica para quela mayoria de las personas puedan compren-der la sociedad de la informacion en la queviven.

• Han desempenado, y deberan seguir hacien-dolo, un destacado papel en los sistemas edu-cativos y en el aprendizaje de los escolares.

• Se convierten en uno de los ambitos mas ade-cuados para la cooperacion entre todos lospueblos por su lenguaje y valor universales.

25

B) Apoya dicha celebracion, ya que

• Es un impulso para la investigacion ma-tematica.

• Intensifica la conexion de las matematicascon sus aplicaciones, lo que permitira aumen-tar la importancia en nuestro paıs de las ma-tematicas aplicadas.

• Es una oportunidad para mejorar la forma-cion matematica de los escolares.

• Facilita la divulgacion del conocimiento ma-tematico y de las caracterısticas propias delas matematicas entre la poblacion en gene-ral, entre los profesores y entre los propiosinvestigadores matematicos.

• Permite ampliar la cooperacion con losdemas paises, particularmente con los ibero-americanos.

C) Invita

• A las instituciones y sociedades cientıficasa que celebren el Ano Mundial de las Ma-tematicas 2000 con el animo de alcanzar losobjetivos de la Declaracion de Rio de Janeiro.

• A los profesores de matematicas de todos losniveles educativos a que aprovechen la ce-lebracion para aumentar su propio nivel ci-entıfico y los metodos de ensenanza y apren-dizaje, entendiendo las matematicas comodisciplina cientıfica esencial para la forma-cion del espıritu de los ninos y jovenes.

• A los Gobiernos de las Comunidades Auto-nomas y a las Corporaciones Locales a quepresten su apoyo a las instituciones y socieda-des que en sus ambitos territoriales planteenactividades en el marco de la celebracion.

• A los medios de comunicacion a que se ha-gan eco de las actividades que se realicen, y

trasladen a la sociedad aquellos aspectos delas matematicas que tengan mas interes parala mayoria de los ciudadanos.

D) Insta al Gobierno a que, dentro de suambito de competencias y de acuerdo, en sucaso, con las Comunidades Autonomas,

• Apoye, decidida y eficazmente, a las Socie-dades e Instituciones que desarrollen activi-dades con tal motivo, particularmente al Co-mite Espanol del Ano Mundial de las Ma-tematicas 2000.

• Favorezca programas de investigacion en elambito de la didactica de las matematicas.

• Fomente la organizacion de actos culturales,academicos y ludicos entre los estudiantes detodos los niveles educativos, tal como se haceen los demas paıses europeos.

• Favorezca la investigacion matematica y larelacion de esta con las aplicaciones, tanto lasde caracter cientıfico, como las industriales,empresariales o tecnologicas en general.

• Colabore a la divulgacion de las matematicasy, a tal fin, promueva desde los medios de co-municacion de titularidad publica el mayorconocimiento de las matematicas por partede la poblacion en general.

• Contribuya al conocimiento y al reconocimi-ento social de la obra historica mas relevantede los matematicos espanoles.

• Establezca lıneas de cooperacion con otrospaıses, especialmente los iberoamericanos, enlos ambitos de la investigacion matematica yde la educacion matematica.

E) Acuerda sumarse a dicha celebracion me-diante la organizacion de actividades en las se-des de las Cortes.

Finalment, la Coral de Matematiques de la UB, dirigida per Jordi Marın, va interpretar magnıfi-cament Iam lucis orto sidere d’A. Bruckner, Cantares de J. M. Serrat, L. Cangiano i, com no, elGaudeamus Igitur.

26

Cinema i matematiques

Del 26 al 30 d’abril va tenir lloc a la Filmote-ca de la Generalitat de Catalunya un cicle decinema i matematiques.

La sessio inaugural va ser a carrec de:Pilar Bayer, professora de la UB, Ramon Font,coordinador de la Filmoteca i Joaquim Ortega,president de la CAMM 2000.

Es van projectar les seguents pel.lıcules:

• Donald in Mathmagic land, de Hamilton Luske(1959), (VOSC).

• Cube, de Vincenzo Natali (1997), (VOSE).

• Evariste Galois, d’Alexandre Astruc (1965),(VOSC).

• C’est la tangente que je prefere, Charlotte Sil-vera (1997), (VOSC).

• The dot and the line, de Chuck Jones i Mau-rice Noble (1965), (VOSC).

• Berget pa Manens Baksida, de Lennart Hjus-ltrom (1983), (VOSC), (tıtol angles: A Hill onthe Dark Side of the Moon).

• Torn curtain, d’Alfred Hitchcock (1966),(VOSC).

• Contact, de Robert Zemeckis (1997), (VO-SE).

Comissio perl’Any Mundial de les Matematiques

Concurs de fotografia matematica 2000

Com ja anunciavem en el nostre butlletı num. 5, l’ABEAM organitza un concurs de fotografiamatematica.

1. En aquest concurs hi poden participar alum-nes de primaria i de secundaria i els profes-sors i professores del centre.

2. Hi haura cinc nivells:Nivell 1: cicle superior de primaria.Nivell 2: 1r cicle d’ESO.Nivell 3: 2n cicle d’ESO.Nivell 4: Batxillerat i Cicles formatius.Nivell 5: professors/es.

3. Les fotos podran ser en blanc i negre o color(recomanem la grandaria 13x18).

4. Cada foto haura de dur un tıtol que faci re-ferencia, d’alguna manera, al contingut ma-tematic de l’obra, amb gracia i originalitat.

5. Cada foto haura d’anar enganxada en unacartolina DIN A4 en la qual ha de constar eltıtol de la foto, un pseudonim, el nivell i elnom del centre.

6. Caldra presentar un sobre tancat per a ca-da foto on dins hi hagi el nom i fora elpseudonim.

7. Hi haura les fases seguents:1a fase: En tots els centres de primaria o se-cundaria que participin en el concurs de fo-

tografia matematica es convoca un concursintern en alguna data en que el centre faciuna jornada cultural (per exemple la data enque es convoquen concursos literaris o simi-lars). Cada centre, internament, donara elspremis que cregui convenient a les millors fo-tografies de cada categoria.2a fase: Cada centre selecciona les 4 millorsfotografies de cada nivell i les envia de l’1 al15 de juny a l’ABEAM.3a fase: A partir del 15 de juny un jurat del’ABEAM determina les millors fotografies.El veredicte del jurat i el repartiment de pre-mis es fara durant el Congres d’Educacio Ma-tematica (4, 5 i 6 de juliol). Totes les fotogra-fies presentades seran exposades els dies enque es realitzara el Congres.

8. Inscripcio.La inscripcio del centre per participar enel concurs de fotografia matematica es faraabans del dia 15 de febrer a:

pfiguer1@pie.xtec.es

i caldra enviar les dades seguents: centre,adreca, telefon, fax, persona responsable,e-mail de la persona responsable.

27

Despres de fer la inscripcio el centre rebra (sili interessa) una proposta de bases pel con-curs intern i unes fotografies a tall d’exemple.Tambe s’enviara als centres inscrits informa-

cio mes detallada sobre les diferents fases delconcurs i sobre els premis que s’atorgaran.

M. BeriniABEAM

Maths Quiz 2000

Quin es el nombre maxim de camps vectorials ortonormalsa l’esfera de dimensio 139263?

Si una sextica plana no te cap altra singularitat llevat de 9cuspides, quantes tangents dobles te?

Son dues preguntes que us semblaran bensenzilles. . . si s’escau que entren dins del vos-tre camp de coneixements matematics. En can-vi, aquestes mateixes preguntes requeriran uncert esforc de recerca bibliografica si la vostraactivitat matematica esta allunyada, en aquestexemple concret, de la geometria algebraica i latopologia algebraica.

El dia 17 d’octubre d’aquest any tots elsmatematics del mon estan convidats a partici-par en un concurs matematic singular en el qualse’ls demanara que contestin el maxim nombrepossible de questions com aquestes dues que, atall de mostra, us acabem de proposar. En diemMaths Quiz 2000 i es una contribucio ludicadel Centre de Recerca Matematica a la ce-lebracio de l’Any Mundial de les Matematiques.

Estem parlant d’un concurs de preguntes irespostes que tindra, pero, algunes particulari-tats interessants. Comentem-ne algunes. Tal icom conve al tema —les matematiques— i a lacelebracio —l’any mundial—, sera un concursglobal i simultani. Tots els participants hi ju-garan simultaniament i en temps real a travesd’Internet. El joc comencara a les dotze horesde temps universal del 17 d’octubre d’enguanyi tindra una durada d’exactament vint-i-quatrehores ininterrompudes. Aquesta durada s’ha es-collit per tal de donar les mateixes oportunitatsa tots els matematics, independentment de lafranja horaria on visquin i, a mes, perque vo-lem que el joc sigui tambe una petita prova deresistencia.

Ja us hem donat una mostra de la menade preguntes que es formularan. Son preguntesque en podrıem dir well known. Ens referim apreguntes que un especialista en el tema pot

contestar amb una certa facilitat pero ates quees mouran al llarg de totes les arees de la ma-tematica, respondre-les sera un bon repte pera qualsevol matematic professional. Aquest fet,juntament amb la durada del joc, fa preveu-re que els qui optin als premis principals se-ran, molt probablement, petits equips de qua-tre o cinc matematics que, conjuntament, pu-guin cobrir una bona part dels coneixementsmatematics basics. No hem de descartar, tam-poc, que hi hagi algun departament de ma-tematiques on tots els seus membres uneixin elsseus esforcos i actuın com un unic jugador quetindra, no cal dir-ho, grans possibilitats d’exit.

No es tractara pas de problemes, ni de ques-tions mes o menys enginyoses, de la mena deles que apareixen a les competicions de tipusolımpic. Caldra, aixo sı, tenir una cultura ma-tematica al mes amplia possible, ser forca habilen la recerca bibliografica i tenir a l’abast, tan-mateix, una biblioteca de qualitat.

Aproximadament una quarta part de lespreguntes tindra un cert component historic.Moltes d’aquestes, pero, no seran pas preguntesd’autentica historia de la matematica, sino quemes aviat es referiran a certs coneixements wellknown que, nogensmenys, no son facilment lo-calitzables als llibres d’historia. Parlem de pre-guntes com ara aquesta:

El 21 d’agost de 1947, dos escaladors d’altnivell van aconseguir la primera ascensio dela cara sud del Bietschhorn, una munta-nya alta i difıcil dels alps suıssos. Un d’a-quests escaladors era un matematic excel-lent, conegut arreu del mon. Quin any vallegir la tesi doctoral?

28

Mes enlla del plaer de vencer el repte, quinarecompensa tindran els que juguin i guanyin?Hi haura dues menes de premis. Els cinc parti-cipants que obtinguin les puntuacions mes altesrebran sengles workstations subministrades perl’empresa Sun, que es la patrocinadora princi-pal del concurs. D’altra banda, per tal d’espe-ronar tots els participants, encara que estiguinlluny de les posicions capdavanteres, al llarg dela competicio s’aniran sortejant un nombre im-portant de tickets de 100 euros que han estatoferts per Birkhauser i que es podran utilitzaren la compra de llibres d’aquesta editorial.

El maths quiz 2000 tindra una estructuraque recordara, d’una banda, el joc del bingo i

de l’altra, els jocs d’ordinador en que cal anarpujant de nivell per tal de poder obtenir premis(en forma de punts) cada cop mes elevats. Laprogramacio del joc ha estat feta per la Uni-versitat Oberta de Catalunya.

Marqueu, doncs, la data del 17 d’octubreal vostre calendari. Busqueu un petit grup decompanys i visiteu la pagina del maths quiz2000:

http://www.mq2000.org

Alla hi trobareu la butlleta d’inscripcio i tota lainformacio que us caldra per a jugar. Endavant!

J. Aguade, UABR. Serra, Fundacio Blanquerna

Articles

Numeros canten

El 25 de setembre passat Manuel Castellet pu-blicava un article al diari El Paıs titulat ≪Te-nemos lo que nos merecemos≫. L’article, basaten els resultats d’una convocatoria de la Co-munitat Europea dins el programa ImprovingHuman Capital, analitzava la poca participa-cio espanyola —tant en les sol.licituds com enels resultats— en relacio amb la bona acolli-da que havien tingut els projectes presentatsper investigadors catalans; pero anava una micames enlla i apuntava ja la immillorable situacio—sempre en el context de la convocatoria ob-jecte d’estudi— de les matematiques, en l’ambiteuropeu i en l’ambit catala.

Des d’aleshores s’han resolt tres noves con-vocatories que afecten particularment els cien-tıfics teorics: la de ≪xarxes de recerca europe-es≫, la dels Marie Curie Training Sites i la cor-responent a l’organitzacio de cursos avancatsi congressos, anomenada High Level Scienti-fic Conferences. Nomes disposem d’informacioparcial sobre la primera i ens consta que un bonnombre de grups de recerca matematica cata-lans formen part de xarxes financades per laComunitat Europea; pero sı que tenim infor-macio fiable i completa sobre les altres dues.

Els Marie Curie Training Sites son grups

de recerca que la Comissio Europea considerad’excel.lencia per a la formacio de doctors. Calque el grup tingui una certa reputacio interna-cional i una bona experiencia en doctorats, tantdel propi paıs com d’arreu. Els grups seleccio-nats acullen durant quatre anys estudiants dedoctorat europeus, financats per la Comunitat,i reben una quantitat important d’euros per afacilitar el treball d’aquests estudiants. En laconvocatoria de la tardor passada foren selec-cionats nomes dos grups de l’Estat espanyol itots dos son de Catalunya. Enhorabona, doncs,als topolegs algebraics i als analistes de teoriad’operadors!

Molt recentment s’ha resolt la segona con-vocatoria de les High Level Scientific Conferen-ces. Els resultats son espectaculars: de tot l’es-tat espanyol es van presentar 32 propostes, deles quals 18 eren de Catalunya (bona propor-cio!) i 7 eren de matematiques (millor propor-cio encara, 7 sobre 32!). D’aquestes 7, 6 forenpresentades pel Centre de Recerca Matematicade l’Institut d’Estudis Catalans, amb connexioamb investigadors de la Universitat Autonomade Barcelona, de la Universitat Politecnica deCatalunya, de la Universitat de Barcelona i dela Universitat Jaume I de Castello.

29

De les 18 de Catalunya, n’han estat con-cedides 10 (totes les de matematiques) per unimport d’uns 317.000 euros, dels quals corres-ponen a les propostes del CRM 233.255 euros.

Les grafiques que reproduım son prou il.lus-

tratives, tant la que fa referencia a les sol.lici-tuds presentades per institucions de Catalunya,com la que resumeix totes les propostes de ma-tematiques de la Comunitat; un 23 % cap a casano esta gens malament.

Els matematics (com a dones i homes) i lesmatematiques (com a ciencia) estem d’enhora-bona a Catalunya. Cal, pero, que seguim treba-

llant en aquesta lınia i comencar el segle que vetan be com acabem aquest.

Premis i concursos

Premi Evariste Galois de la SCM, 1999

El Premi Evariste Galois 1999 ha estat concedit a Manuel Sanchon Rodellar, pel treball

Models matematics per a la transmissio del VIH/SIDA

La nostra enhorabona!A mes va ser l’encarregat de fer la conferencia en representacio de tots els estudiants premiats

per l’IEC a l’acte de lliurament de premis.

30

Acta de la Comissio Avaluadora del Premi Evariste Galois de la SCM convocatoria1999.

En la present convocatoria s’han presentat elsseguents treballs:

Monica Blanco Abellan, Analisi de la con-troversia L’Hopital-Bernoulli.

Laura Prat Baiget, Comparacio entre la capaci-tat analıtica γ i la capacitat analıtica real γRe.Versions discretes i conjunts de tipus Cantor.

Manuel Sanchon Rodellar, Models matematicsper a la transmissio del VIH/SIDA.

Xavier Vindel Losilla, Teoria computacional degrups.

David Galindo Chacon i Xavier Lopez Martınez,Construccions amb regle i compas a la lemnis-cata.

Examinats els treballs la comissio acordaatorgar el Premi Evariste Galois al treball pre-sentat per: Manuel Sanchon Rodellar.

A causa de l’alt nivell dels cinc treballs pre-sentats la decisio final de la Comissio s’ha prestenint en compte les aportacions originals decada memoria, la claredat d’exposicio dels ob-jectius perseguits i de les tecniques utilitzades.

Barcelona, 29 de febrer de 2000President: A. Reventos

Vocals: J. AmorosP. Viader

Premi Iberdrola 1999

La nostra revista volia retre un petit homenatge al nostre company David Nualart per haver rebutel Premi Iberdrola. La casualitat ha fet coincidir en el temps aquesta voluntat amb la presentacioque de David Nualart va fer la diputada Maria Teresa Riera a l’acte al Congres dels Diputats. Ensva agradar tant que hem decidit utilitzar-la, amb el permıs de l’autora, com a reconeixement alDavid. En presentem un resum.

Presentacio de la Conferencia impartida pel Prof. David Nualart: ≪Las Matematicasen la actividad polıtica≫, per Teresa Riera i Madurell

Es per a mi un honor i un motiu d’orgull moltpersonal presentar-vos avui, en aquesta casa,el professor David Nualart, persona sobre laqual, sens dubte, existeix consens en afirmarque es tracta d’un dels matematics actuals mesprestigiosos del nostre paıs, a qui tinc el pla-er de coneixer des de la nostra epoca d’estudi-ants. Matematic excel.lent i a la vegada perso-na compromesa i bona coneixedora de l’activi-tat polıtica, la seva presencia en aquesta jorna-da matematica organitzada en el Congres delsDiputats amb motiu de la celebracio de l’AnyMundial de les Matematiques 2000, contribueixen gran mesura a donar-li la importancia i re-llevancia que tots els que amb entusiasme hemparticipat en la seva organitzacio volıem.

En David Nualart es un dels investigadorsmes brillants i productius del nostre paıs. Teun currıculum com a professor, investigador,autor, editor i divulgador de les matematiques

veritablement impressionant. Catedratic de laUniversitat de Barcelona, ha dirigit nombro-sos i importants projectes d’investigacio fi-nancats per institucions espanyoles i internaci-onals. Col.labora regularment amb universitatsde tot el mon. Ha participat en incomptablescongressos i reunions cientıfiques. Ha publicatmes de cent cinquanta treballs en les publica-cions mes prestigioses. Es membre de les mesimportants institucions matematiques del mon.Participa en la publicacio de nombroses revis-tes especialitzades i ha contribuıt com a editora enriquir els fons de referencies utilitzats perestudiants i investigadors.

Resulta del tot impossible resumir en po-ques lınies les aportacions i merits de DavidNualart, la importancia de la seva tasca do-cent i investigadora. Va comencar treballanten processos estocastics multiparametrics. El1980 va resoldre en sentit negatiu una conjec-

31

tura pendent en aquesta teoria, es tractava dedemostrar que hi havia martingales amb dosparametres que no eren fortes i que tenien vari-acio quadratica independent del camı. Nualartva demostrar que existeixen aquestes martinga-les, en contra del que es pensava. Martingales ıvariation independante du chamin, com ell ma-teix afirma va ser el seu ≪primer treball d’uncert interes≫ que va presentar en un congres aParıs sobre processos amb dos parametres i quefou publicat el 1981 a Lecture Notes in Mathe-matics 863.

Durant els anys 80 va treballar en el calculde Malliavin i en les seves aplicacions. El cal-cul de Malliavin es un calcul diferencial en di-mensio infinita (sobre l’espai de Wiener) que esva construir a partir d’un treball de Malliavinpresentat en el symposium de Kyoto el 1976.David Nualart va desenvolupar aplicacions delcalcul de Malliavin a la resolucio d’equacionsen derivades parcials estocastiques, a Randomnonlinear wave equations: propagation of sin-gularities, treball realitzat amb Rene Carmonai publicat a Probability Theory and Related Fi-elds 79, en 1988.

Posteriorment ha treballat en dues lıniesd’investigacio en les quals ha realitzat impor-tants contribucions:

1. El calcul estocastic anticipatiu, que vatenir com a punt de partida l’article ≪Stochas-

tic calculus with anticipating integrands≫ de1988 publicat amb Etienne Pardoux a Probabi-lity Theory and Related Fields 78, article consi-derat com la referencia que ha motivat el desen-volupament d’aquest calcul.

2. L’estudi de la propietat de Markov mit-jancant tecniques de transformacions anticipa-tives de la mesura de Wiener. El treball prin-cipal es l’article ≪Boundary Value Problemsfor Stochastic Differential Equations≫ publicatamb Pardoux l’any 1991 a Annals of Probability19.

Els treballs sobre el calcul de Malliavin vanculminar amb la publicacio de la monografiaThe Malliavin Calculus and Related Topics aSpringer-Verlag l’any 1995.

Recentment esta treballant en equacions enderivades parcials estocastiques com per exem-ple l’equacio de la calor i de les ones pertorba-des per soroll aleatori gaussia. Ha iniciat tambela construccio d’un calcul estocastic respecteel moviment brownia fraccionari que es un te-ma de moda per les seves aplicacions a la ma-tematica financera.

Haig de dir-los que en David Nualart va es-tudiar a la Facultat de Matematiques de la Uni-versitat de Barcelona, que era d’una promocioanterior a la meva i que entre 1973 i 1976 varemcoincidir en el Departament de Matematiquesde l’Escola Tecnica Superior d’Arquitectura dela Universitat Politecnica de Catalunya. Coma estudiant de doctorat vaig assistir a dos delsseus cursos i des de la seva primera estada l’any1976 a LAAS de Toulouse amb una beca post-doctoral, on un grup d’amics el varem visitar,fins a la concessio el darrer any de l’importantPremi Iberdrola de Ciencia i Tecnologia, he se-guit amb atencio la seva brillant carrera impos-sible de descriure en unes breus lınies.

Pero, encara que fos possible, el simplerelat de la seva trajectoria intel.lectual i profes-sional no donaria la justa mesura de les carac-terıstiques mes importants de la seva persona-litat i de la seva humanitat, plena d’anecdotes imatisos que desmenteixen, un cop mes, el topicdels savis que viuen exclusivament en el nuvolde la ciencia i demostra la inquietud social dela comunitat cientıfica pel futur de l’home ide la civilitzacio.

T. RieraDiputada

32

Premis CIRIT, 1999

El passat dia 18 de desembre es va fer el lliura-ment dels Premis CIRIT per fomentar l’esperitcientıfic del jovent 1999. L’acte estava presiditpel president de la Generalitat, Sr. Jordi Pu-jol, i comptava amb la presencia, entre d’altresautoritats, del Comissionat de Recerca i Uni-versitats, Sr. Andreu Mas-Colell.

Els premis CIRIT tenen ja una llarga tradi-cio. Es convoquen cada any des de 1982. Comel seu nom indica, pretenen ≪fomentar l’espe-rit cientıfic del jovent≫. Any rera any han anatadquirint mes resso, amb un augment de parti-cipacio i de, al meu entendre, qualitat dels tre-balls presentats. De fet han agafat una gran vo-lada des de la implantacio del batxillerat LOG-SE, amb l’obligatorietat per a tots els alumnesde realitzar un treball de recerca durant els seupas per aquesta etapa. Aixo ha comportat que,malgrat que els premis son oberts a tot l’alum-nat de secundaria, la gran majoria dels premisrecauen a treballs de recerca d’alumnes de bat-xillerat.

En relacio a aquest punt, em sembla que, enun moment de crıtica per part d’alguns sectorsal nou —per alguns, per d’altres no tant— bat-xillerat, es important no estalviar la denunciad’allo que no funciona, pero tambe, i sobretot,cal destacar el que ha aportat de positiu res-pecte als antics ensenyaments. Jo penso que,indiscutiblement, el treball de recerca es un pasendavant. Obliga els nois i noies de secundariaa sortir del mon a vegades excessivament tancatde les materies que estant aprenent, havent-sede plantejar problemes reals i espavilar-se pertrobar-hi solucions. Sens dubte el que els ma-tematics portem fent des de l’antigor, encaraque, malauradament, no sempre ha quedat prouben reflectit en els nostres currıculums.

Aquest any, dels setanta premis conceditsn’hi ha hagut quatre per treballs de tema ma-tematic. Un d’ells ha estat compartit per duesalumnes de 2n de batxillerat de l’IES Vilatza-ra, l’Esther Arnalte, que va presentar un tre-ball titulat Programacio de metodes numerics, il’Aina Faura, amb el treball La successio de Fi-bonacci. Un altre premi ha estat pel treball Ladoble helix pels alumnes de 4t de formacio pro-fessional de l’IES Llobregat, Jose Daniel Gas-ca, Javier Garcıa, Juan Plaza i Sergio Lopez.Tambe han hagut de compartir premi els tre-balls Estudi topologic de les superfıcies, realit-zat pels alumnes Sonia Estrade i Joan Alemany,i el treball Nusos, realitzat per les alumnes Mar-

ta Reyero i Helena Guinjoan, tots quatre de 1rde batxillerat de l’Aula Escola Europea. I, final-ment, el treball El teorema dels quatre colors,realitzat pels alumnes Albert Solernou i IngridRodrıguez, de 2n de batxillerat de l’IES PiusFont i Quer.

Per donar una idea del contingut dels tre-balls, i de la capacitat dels nostres alumnesde secundaria per buscar i crear, vull acabaraquest article amb una breu ressenya del con-tingut dels treballs del primer dels premis es-mentats. Sota el tıtol Programacio de metodesnumerics, l’Esther va abordar primer l’estudidels metodes mes coneguts pel calcul de ze-ros de funcions. Val a dir que en comencar eltreball practicament no havia fet cap progra-ma informatic previament. En el treball imple-menta els algorismes dels diferents metodes ien fa una comparacio, tant des del punt devista teoric com de la seva aplicacio a exem-ples concrets. Despres aborda, el que es elcos del treball, l’estudi de metodes d’integracionumerica. Comenca comparant els mes senzillsi coneguts —trapezi, Simpson, etc.— i passa adescriure i a implementar el metode de Mon-tecarlo, forca menys conegut, pero de granimportancia practica, alhora que bastant atrac-tiu des d’un punt de vista pedagogic: il.lustramolt be el que es un calcul d’arees. El tre-ball acaba amb el calcul numeric dels primersdecimals d’alguns nombres irracionals, a par-tir de la resolucio numerica d’algunes integrals.El merit del treball recau, d’una banda, en eltreball personal de busqueda i estudi de lainformacio existent i el desenvolupament delsprogrames escaients —en tots dos aspectes vamostrar una gran autonomia— i, en segon lloc,l’escriptura d’una memoria molt didactica i en-tenedora. Sens dubte una bona referencia per aun estudiant de batxillerat que estigui interes-sat en aquests temes escrita per una altra estu-dianta de la mateixa etapa.

El treball La successio de Fibonacci es uncompendi de propietats de la famosa succes-sio, alguns prou coneguts pero molts d’ells notant, com, per exemple, el problema proposatper Paul Dixon conegut com la terra de Leo-nardo. El treball es recrea tant en les propi-etats purament matematiques de la successio,tant pel que fa a ella mateixa com de la sevarelacio amb altres aspectes de les matematiques—triangle de Pascal, nombres primers,. . . —com la seva relacio amb fenomens de la natura

33

—la rosa salvatge, les llavors de gira-sol. . . Eltreball acaba amb alguns trucs de ≪magia≫ quetenen com a base propietats de la successio.Aquı el merit ha estat, sens dubte, la grantasca de recerca d’informacio —en bona partvia Internet— i el seu assimilament, especi-

alment pel que fa a les propietats mes ≪ma-tematiques≫. I tambe que ha sabut transme-tre el seu entusiasme pel tema en una memoriamolt personal i d’una gran frescor, molt agra-dable de lectura.

J. ComellasIES La Mina

Premi P. Erdos de la WFNMC al professor Francisco Bellot

La Word Federation of National Mathemati-cal Competitions atorga cada dos anys els pre-mis D. Hilbert i P. Erdos per reconeixer lescontribucions dels matematics que han tin-gut un paper significatiu en el desenvolupa-ment de les competicions matematiques enl’ambit internacional o nacional, respectiva-ment. Podeu trobar-ne informacio a l’adrecahttp://www.amt.canberra.edu.au/amtintaw.html

Aquest any 2000, el Premi P. Erdos ha estatadjudicat als professors Francisco Bellot Rosa-do (Espanya), i Istvan Reiman i Janos Suranyi(Hongria).

Francisco Bellot es professor de l’IES Emi-lio Ferrari, de Valladolid, i ha estat l’anima del’organitzacio de l’Olimpıada Matematica Es-panyola durant molts anys, i ha fet classes depreparacio a tots els nivells i especialment alscomponents dels equips espanyols que han par-ticipat a diverses conteses internacionals, siguinOlimpıades Internacionals o Iberoamericanes.

Ha estat delegat o cap d’equip espanyol durant10 anys.

Els problemes de F. Bellot, tant proposatscom resolts, apareixen sistematicament al AMMonthly, Mathematics Magazine i molt especi-alment al Crux Mathematicorum, del qual n’escol.laborador habitual i destacat.

La SCM i el qui signa han d’agrair al profes-sor Bellot tot l’ajut que els ha donat en formade consell, informacio i documentacio. La sevaamplıssima col.leccio de problemes i bibliogra-fia ha estat a la nostra disposicio sempre que lihem demanat. Tot aixo ha estat de gran ajutals inicis de les Sessions de Preparacio per al’Olimpıada Matematica i tambe de les provesCangur.

Des d’aquı encoratgem el professor Francis-co Bellot a seguir treballant, li donem l’enho-rabona pel merescut premi, i li reiterem unavegada mes la nostra gratitud.

J. GraneUPC

XXXVI Olimpıada Matematica Espanyola, Palma de Mallorca

Els passats dies 29, 30 i 31 de marc i 1 d’a-bril es va celebrar a Palma de Mallorca l’edicioXXXVI de l’Olimpıada Matematica Espanyola,organitzada per la Real Sociedad MatematicaEspanola i la Universitat de les Illes Balears.

Hi van participar 108 estudiants de totesles Comunitats Autonomes d’Espanya; 99 d’a-quests concursants eren de 2n de batxillerat (oCOU) i 9 de primer de batxillerat (o 3r deBUP). Segons les dades repartides a la reuniode la Comision de Olimpiadas de la RSME aPalma, a la primera fase hi van participar, atot Espanya, un total de 2.349 concursants, dis-tribuıts per comunitats autonomes de la formaseguent: Galicia 135, Asturias 132, Cantabria

42, Paıs Vasco 60, Navarra 60, La Rioja 78, Ca-talunya 71, Castilla-Leon 308, Aragon 148, Ma-drid 197, Extremadura 74, Castilla-La Mancha42, C. Valenciana 246, Balears 25, Murcia 70,Andalucıa 604, Melilla 3, Canarias 54.

Els concursants, que eren els guanyadors dela fase catalana del concurs, van ser: Jordi RiusPascual, Stephan Lesaffre, Miquel Oliu Barton,Xavier Martınez Palau, Juanjo Rue Perna, Jo-an Alemany Flos i Fabrice Lesaffre; els va acom-panyar el professor Carles Romero Chesa, elqual va participar tambe en tasques tecniquesa Palma.

L’equip catala va obtenir sis medalles: tresde plata i tres de bronze. Els guanyadors de me-

34

dalla de plata van ser Xavier Martınez, JuanjoRue i Jordi Rius, i els de medalla de bronzeMiquel Oliu, Joan Alemany i Stephan Lesaffre.Podeu trobar per Internet els problemes i dadesestadıstiques a l’adrecahttp://www.uib.es/XXXVIOME.

Ultra l’activitat estrictament matematica,tots els participants i convidats vam gaudir d’u-na magnıfica acollida per part del comite orga-nitzador i de les entitats que hi donaven suport,especialment de la Universitat de les Illes Bale-ars. Volem transmetre des d’aquı la nostra gra-titud i felicitacio a totes les persones i institu-cions que van fer possible una organitzacio tan

acurada i acollidora; i en particular ho agraımal cap del Comite Organitzador, representantdel Govern Balear, el professor Miquel Amen-gual Coves, membre de la nostra Societat.

Encara no esta decidida la seu i universi-tat que organitzara l’any que ve la XXXVIIOlimpıada Matematica Espanyola, ja que himes d’una candidatura. En qualsevol cas, totsels estudiants que cursin 2n o 1r de batxilleratel curs vinent hi son, des d’ara, convidats! LaSCM continua i continuara fent classes de pre-paracio per a tots els nois i noies que vulguinparticipar-hi, o simplement, que vulguin apren-dre mes matematiques.

J. GraneUPC

Premi Ferran Sunyer i Balaguer

L’Institut d’Estudis Catalans concedeix per vuitena vegada el Premi internacional Ferran Sunyer iBalaguer.

Els professors Juan-Pablo Ortega i Tu-dor Ratiu, ambdos de l’Ecole PolytechniqueFederale de Lausanne, han estat els guanyadorsdel Premi internacional Ferran Sunyer i Bala-guer 1999 per l’obra

Hamiltonian Singular Reduction.

El premi, creat per la Fundacio Privada Fer-ran Sunyer i Balaguer i l’Institut d’Estudis Ca-talans i dotat amb 10.000 euros, s’atorga anu-alment a l’autor d’una monografia que presen-ti els darrers avencos en una area activa de lesmatematiques en la qual l’autor hagi tingut im-portants contribucions.

Ferran Sunyer i Balaguer fou un matematiccatala, tetraplegic, que morı el 1967. Ha estatsens dubte un dels millors investigadors en ma-tematiques que ha tingut el paıs i, malgrat laseva discapacitat, va publicar nombrosos arti-cles de recerca valorats internacionalment.

La monografia guanyadora del premi, quesera publicada per Birkhauser-Verlag dins laserie Progress in Mathematics, constitueix unavaluosa i original aportacio a l’estudi de la re-duccio dels sistemes hamiltonians.

L’acte de lliurament del premi tindra lloc elproper 10 de juliol durant el 3ecm que es fa aBarcelona del 10 al 14 de juliol.

Matematiques i ensenyament

Fem matematiques

La FEEMCAT encomana cada curs l’organitza-cio del Fem matematiques 2000 a una de lesassociacions que la conformen i enguany ho vafer a l’ABEAM (Associacio de Barcelona per al’Estudi i l’Aprenentatge de les Matematiques).Com ja sabeu, aquesta activitat va dirigida alsalumnes de 6e d’EP i de 1r i 2n d’ESO, i esdesenvolupa en tres fases.

En la primera fase, que es fa en els centres,els alumnes en grups de 3 o 4 han d’enfrontar-se amb 3 problemes i presentar un informe dela seva resolucio (tenen prop de dos mesos per

fer-ho). Enguany hi ha participat un total de3.620 alumnes repartits de la forma seguent:1.073 de 6e, 1.445 de 1r d’ESO i 1.102 de 2nd’ESO. Aquest curs ens ha ajudat a donar-nosa coneixer (malgrat que tambe ens ha suposatalguns entrebancs) i poder fer la inscripcio perInternet des del portal del PIE. Tambe ens hiha ajudat el fet de poder accedir a la informa-cio de l’activitat des de les pagines que l’AntoniGoma mante per informar de les proves Can-gur i de l’activitat RELLEUS 2000. Esperemque els alumnes que avui participen en el Fem

35

matematiques siguin una part dels qui demaparticiparan en el Cangur i en les proves perRELLEUS que organitza la SCM.

Any rera any, des del seu inici, el Fem ma-tematiques va consolidant i ampliant la par-ticipacio. Aquest fet, juntament amb la milloraconstant de la qualitat dels treballs presentatsfa que, algunes associacions, tinguin cada ve-gada mes difıcil la seleccio dels grups que hande participar en la segona fase. La voluntat queaquesta activitat sigui mes participativa que nopas competitiva, a l’estil dels RELLEUS 2000,ens obliga a plantejar, de cara al proper curs, lapossibilitat d’ampliar el nombre de centres quehi accedeixin.

La segona fase, que ja s’ha realitzat, l’orga-nitza cada associacio durant una jornada. En

aquesta fase, fins ara, hi havia una prova a ferper grups, i una altra d’individual, que era laque ens permetia seleccionar els participantsper la fase final de Catalunya. La comissio or-ganitzadora del Fem matematiques 2000 havolgut potenciar una mica mes el treball engrup i ha proposat a les altres associacions queen la segona fase els alumnes de 6e d’EP no fa-cin prova individual. Els alumnes d’aquest ni-vell van haver d’enfrontar-se a dues proves engrup, en la segona barrejant alumnes de dife-rents escoles, i la classificacio individual es vafer atenent a la millor puntuacio obtinguda enel conjunt de les dues proves.

Ara ja estem pendents de la fase final quees fara a Esplugues de Llobregat durant el dis-sabte 6 de maig.

D. BoschABEAM, FEEMCAT

Quines matematiques necessita la societat?

El passat dimecres 1 de marc va tenir lloc aTelevisio de Mataro un debat sobre ≪quinesmatematiques necessita la societat?≫. Al de-bat hi van ser convidats sis participants: dosde l’ambit universitari, dos de l’ambit de l’e-ducacio secundaria i dos de ≪fora≫ de l’ambitmatematic (podrıem dir que hi eren com a re-presentants de la societat civil).

Es va organitzar aquest debat televisiu pertal d’anar creant l’ambient de debat i discussioque es vol tenir en el Congres d’Educacio Ma-tematica ≪cem2000≫ que tindra lloc a Mataroels dies 4, 5 i 6 de juliol d’enguany. De fet, seriainteressant que aquesta iniciativa no es quedesen una anecdota local, car hi ha moltes asso-ciacions i televisions locals en les que plantejardebats semblants. No estem a l’Any Mundial deles Matematiques?

El debat va aprofitar la pregunta plante-jada inicialment (realment ambiciosa) per tald’anar abordant temes mes concrets, i no peraixo menys interessants. Aixı, es va afirmar quela matematica es l’essencia de la ciencia, tantper la seva capacitat d’abstraccio com pel seullenguatge universal, que permet descriure elsfenomens cientıfics. Pero tambe es va dir que ladivisio tradicional entre ciencies i lletres no escorrespon amb la realitat, ja que aquests ≪dosmons≫ estan mes interrelacionats del que s’en-senya i, de fet, molta gent “de lletres”ho sonprecisament per un rebuig de les ciencies, pro-

vocat per un mal ensenyament de les cienciesen general i de les matematiques en particular.Les matematiques que s’ensenyen no s’associena un mon real i tendeixen a ser una col.lecciode tecniques i conceptes per dominar. Nomesqui els arriba a dominar te les portes obertes auna primera comprensio de la importancia deles matematiques, i a aquest estadi hi arribapoca gent. Per aixo la gent veu mes les ma-tematiques com una muralla per franquejar quecom un coneixement util per a la comprensio dela realitat.

Aixı, les conclusions del debat van ser quecalia motivar mes a l’alumnat en l’ensenyamenti aprenentatge de les matematiques, contex-tualitzant el que s’esta fent, acostant les ma-tematiques a la poblacio, pero sense deixar debanda el rigor en els seus plantejaments i desen-volupaments; tambe es va fer esment a una mo-dificacio en la didactica habitual dels profes-sors, al fet de treballar en equip, a la necessitatd’adequar continguts i metodologies a la rea-litat canviant i, per tant, a la decisio que caltenir per tirar endavant tot aixo.

Un debat televisiu no sol respodre directa-ment a la pregunta plantejada, i tampoc no solarribar a unes conclusions ben clares i defini-des. No per aixo son una perdua de temps. Elconjunt d’intervencions que es donen en el de-bat serveixen per fer rumiar l’espectador, pot-ser per fer-lo dubtar dels seus plantejaments i,

36

per tant, per esperonar-lo a arribar a les sevesconclusions. Aquest proces de reflexio l’haurıemde fer tots mes sovint, i per aixo seria desitjableque actes com aquest es fessin mes sovint.

Tambe es va parlar que calia motivar mesl’alumnat potser modificant la didactica habi-tual dels professors i encorretjant el treball enequip dins els departament.

Jaume SerraIES Vilatzara (Vilassar de Mar) APaMMs

Llibres

Proofs from The Book

Autor: Martin Aigner i Gunter M. Ziegler.

Springer (1998).

Aquest llibre es el resultat d’un projecte ini-ciat fa uns anys pels autors, reconeguts inves-tigadors en combinatoria i geometria, amb elgran Paul Erdos. La idea es simple: fer unrecull de demostracions perfectes de teoremesmatematics. Que es una demostracio perfecta?Aquella que es fruit d’una idea brillant, d’unaobservacio particularment penetrant o be d’unraonament meravellosament simple. Segons liplaıa de dir a Erdos, hi ha un llibre, El Lli-bre, que recull totes aquestes proves; Deu manteaquest llibre i, molt de tant en tant, ens permetfer-hi una ullada. El text que avui comentem esuna aproximacio al Llibre. Malauradament, lamort d’Erdos l’estiu de 1996 li va impedir deveure’n el resultat final, publicat dos anys mestard. Pero la seva participacio, tant en l’estilcom en la seleccio dels temes, hi es ben visible.

El llibre es divideix en cinc parts: teoria denombres, geometria, analisi, combinatoria i te-oria de grafs. Cada part conte al voltant d’u-na mitja dotzena de teoremes, cadascun d’ellsamb una, o mes d’una segons el cas, demos-tracio perfecta. La seleccio dels resultats ha es-tat limitada pel fet que les proves havien deser accessibles amb un mınim d’algebra lineal,aritmetica i analisi basica; i amb una dosi d’allotan difıcil de definir que anomenem maduresamatematica.

Tot seguit comentem alguns dels resultatsdels capıtols de combinatoria i de geometria.La part de combinatoria comenca amb una pe-tita curiositat: si tenim n + 1 enters diferentsentre 1 i 2n, llavors n’hi ha dos que son primersentre sı. La prova no pot ser mes simple, nomescal observar que necessariament n’hi ha dos queson consecutius. El segon resultat ja te mes suc:en les mateixes condicions, cal provar que n’hiha dos tals que un divideix l’altre. Considereuper a cada enter a el nombre senar m mes granque el divideix, es a dir, a = 2km per algun k.Hi ha nomes n possibles valors per a m, perocom que tenim n+1 enters, n’hi ha d’haver dosamb la mateixa m i es clar que un d’ells (elmes petit) divideix l’altre. Si voleu iniciar unjove estudiant a la magia de les matematiques,penseu a proposar-li aquest problema.

El resultat que ve a continuacio es el famos:

Teorema d’Erdos-Szekeres. Tota successio demn + 1 nombres reals diferents conte una sub-successio creixent de longitud m + 1, o be unasubsuccessio decreixent de longitud n+ 1.

La demostracio perfecta es un xic massallarga per reproduir-la aquı; direm nomes que estambe una aplicacio brillant del principi de lescaselles, segons el qual, si hi ha mes fitxes que

37

caselles, alguna casella ha de contenir mes d’u-na fitxa. Mes endavant, el mateix principi pro-porciona una prova molt simple del fet seguent:si t(n) es el nombre de divisors de n i

t(n) =1

n

n∑

j=1

t(j),

llavors t(n) ∼ log n, amb un error mes petitque 2. Resultat, d’altra banda, inesperadamentsimple si considerem el comportament forca ir-regular de t(n).

Mes endavant trobem, oh sorpresa!, el teo-rema del punt fix de Brouwer: tota aplicaciocontınua del disc unitat en si mateix te un puntfix. La prova es de Sperner (1928) i fa servirun petit lema combinatori sobre 3-acolorimentsde triangulacions planes; la resta es un bonici elemental argument de compacitat. El ma-teix Sperner reapareix poques pagines mes enllaamb un famos teorema que tambe va demostrarl’any 1928, quan tenia 23 anys.

Teorema de Sperner. Si F es una famılia de sub-conjunts de 1, 2, . . . , n tal que cap conjunt deF en conte un altre, llavors |F| ≤

( n⌊n/2⌋

)

.

Es clar que la famılia de tots els subcon-junts de mida ⌊n/2⌋ assoleix la fita. El proble-ma es veure que no n’hi ha de mes grans. Si noconeixeu el teorema i mireu de demostrar-lo,apreciareu de seguida la dificultat que s’amagadarrera un enunciat tant simple. La prova quepresenten els autors, deguda a Lubell (1966), esd’una perfeccio cristal.lina.

Passem ara a l’apartat de geometria, i hofem amb un problema que Sylvester va plante-jar al The Educational Times l’any 1893.

Problema de Sylvester. Donats n punts en el pla,no tots ells sobre una recta, proveu que hi hauna recta que conte exactament dos d’aquestspunts.

No sabem del cert si Sylvester tenia una so-lucio, pero anys despres en van apareixer algu-nes. Considereu la seguent, deguda a Kelly: siP es el conjunt de punts i L el conjunt de rec-tes determinades per parelles de punts de P,preneu, entre tots els parells (P, l) amb l ∈ L iP 6∈ l, un parell (P0, l0) tal que la distancia deP0 a l0 sigui mınima. Deixem al lector el plaerde concloure el raonament, tot demostrant quel0 es una solucio.

El teorema de Sylvester permet provar moltfacilment el teorema seguent, que es un cas par-ticular d’un famos teorema d’Erdos i de Bruijn:

n punts en el pla, no tots ells sobre una recta,determinen com a mınim n rectes diferents. Laprova es per induccio sobre n, comencant pelcas evident n = 3. Amb les notacions anteri-ors, sigui |P| = n+ 1. Pel teorema de Sylvesterexisteix una recta l0 ∈ L que conte exactamentdos punts P i Q de P. Sigui P ′ = P\Q i L′

el conjunt de rectes determinades per P ′. Si elspunts de P ′ no estan tots sobre una recta, perinduccio tenim que |L′| ≥ n i la recta l0 ensdona |L| ≥ n + 1. Altrament, tenim un feix derectes i |L| = n+ 1.

Mes endavant trobem una segona prova delteorema de Sylvester com a aplicacio de laformula d’Euler per a grafs planars. La formulad’Euler, saviament aplicada, serveix tambe perprovar el seguent: donat un conjunt de puntsen el pla de colors roig i blau, no tots ells sobreuna recta, existeix una recta determinada perdos d’ells que nomes conte punts d’un color.Si penseu que el problema es senzill, podrıeutrobar-vos amb una sorpresa.

L’ultim problema que comentarem es elseguent:

Problema dels sımplexs mutuament adjacents.Quin es el maxim nombre de sımplexs de di-mensio d que es poden situar a Rd de formaque cada dos d’ells es toquin, es a dir, es tallinen una seccio de dimensio d− 1?

Si f(d) es aquest nombre, es conjectura quef(d) = 2d. Es clar que f(1) = 2 i es senzillveure que f(2) = 4. Joseph Zaks (1991) va pro-var que f(3) = 8 en una monografia de mes de100 pagines. El mateix Zaks havia provat deuanys abans que f(d) ≥ 2d. No es coneixia capfita superior raonablement bona fins que MichaPerles (un matematic singular a qui debem re-sultats de primera lınia que sovint no publica)va provar que f(d) ≤ 2d+1 en un article de du-es pagines l’any 1984. La prova es un autenticprodigi d’elegancia i simplicitat.

El llibre es ple de moltes altres gemmes queel lector, no ho dubtem, s’apressara a admirarun cop hagi obert el llibre per la primera paginaque, molt encertadament, comenca amb la pro-va d’Euclides de la infinitud dels primers.

Finalment, cal destacar que l’estil i la pre-sentacio del material son excel.lents. Algunsdels capıtols es completen amb apendixs on esrevisen conceptes basics, com ara els polinomisde Txebitxev, els cardinals infinits, o conceptesbasics de probabilitat i de teoria de grafs. D’al-tra banda, l’edicio es acuradıssima; la tipogra-

38

fia i la composicio impecables, i les nombrosesil.lustracions molt reeixides. Qualitats molt d’a-grair en aquests temps moderns, en que la pro-

fessionalitat en l’edicio de textos matematicssembla en perill d’extincio.

M. NoyUPC

A History of Algorithms

Autors: Jean-Luc Chabert et al.Springer 1999.

Els algorismes han estat utilitzats d’enca elprincipi dels temps i existeixen molt abans quetinguessim un nom especial per descriure’ls. Ini-cialment els algorismes van ser simplement unconjunt d’instruccions, que un cop realitzadesprodueixen un determinat resultat. Mes enda-vant la idea de finitud va entrar en la nociod’algorisme d’una manera essencial. Aixı l’En-ciclopedia Britanica descriu un algorisme com:un procediment matematic sistematic que pro-dueix en un nombre finit de passos la respostaa una questio o la solucio a un problema.

Mes modernament un algorisme ha estatformulat pels informatics: un programa d’ordi-nador es simplement un algorisme i un llenguat-ge d’ordinador es un llenguatge per escriure al-gorismes que un ordinador es capac de llegir iexecutar. Pero la idea de finitud no s’adaptacompletament be a la d’algorisme. Molts algo-rismes no acabarien mai, com un algorisme pera calcular les xifres decimals del nombre pi, peroels parem quan el valor aproximat de pi difereixde pi en una quantitat previament fixada. Aixı

la idea d’iteracio, recurrencia o recursivitat jugaun paper fonamental en la nocio d’un algorismei en el seu estudi teoric.

Els algorismes tractats en aquest llibre sonalgorismes numerics, no inclouen algorismesd’altres arees de les matematiques com puguinser la geometria o la logica.

Cada capıtol esta organitzat al voltant d’unnombre de textos originals seleccionats que re-flecteixen diferents aspectes d’un mateix tema.El criteri utilitzat per seleccionar els textos,a part de la seva originalitat i del seu intereshistoric, ha estat que siguin accessibles als es-tudiants de matematiques, encara que els dar-rers capıtols estan mes pensats per a estudiantsuniversitaris de matematiques. Les referenciesal final de cada capıtol intenten proporcionaral lector un punt de partida per ampliar la sevavisio en els temes tractats en el capıtol.

Els temes tractats son els seguents:1. Operacions aritmetiques elementals.2. Quadrats magics.3. Metodes de falsa posicio.4. Algorisme d’Euclides.5. Determinacio del valor de pi.6. Metode de Newton.7. Aproximacions successives.8. Algorismes aritmetics.9. Sistemes lineals.10. Interpolacio.11. Quadratures.12. Equacions diferencials.13. Aproximacio de funcions.14. Acceleracio de la convergencia.15. El concepte d’algorisme.

Els vuit primers capıtols es centren en ques-tions que tenen un origen molt antic, i queson essencialment problemes sobre nombres.Els darrers capıtols tenen a veure amb algoris-mes per manejar conceptes mes complexos. Unaullada rapida als temes tractats pot fer pen-sar que aquest llibre es un llibre estandard so-

39

bre l’analisi numerica, pero aquest no es el cas.L’emfasi esta posat en la introduccio historicade les tecniques, intentant descriure quina era laintencio de l’autor en introduir un nou algoris-me o una idea nova en un algorisme ja existent.

El contingut del llibre arriba essencialment

nomes fins als algorismes desenvolupats fins afinals del segle xix o com a molt fins a prin-cipis del segle xx. El llibre esta adrecat alsestudiants, als professors i mes generalment aqualsevol persona interessada en els algorismesnumerics i en la seva historia.

J. LlibreUAB

Jornades Cientıfiques IEC. Physics and Geometry

Editors: David Jou i Sebastia Xambo.

IEC, 1999.

Aquest llibre conte els textos de les conferencies corresponents a les Jornades de Fısica iGeometria que van tenir lloc a l’IEC els dies 2 i 3 de desembre de 1996.

Les conferencies van ser les seguents:

1. Quantum Mechanics of Riemannian Geo-metry, a carrec d’Abhay Ashtekar delCentre de Fısica Gravitacional i Geometriade la Universitat de Pensilvania.

2. Brisure de Symetrie Spontanee et Geometriedu Point de Vue Spectral, a carrec d’Alain

Connes de l’Institut d’Alts Estudis Cien-tıfics de Parıs (IHES).

3. Studying the Evolution of Cosmological Mo-dels, a carrec de Georg F. R. Ellis de laUniversitat de Capedown, Africa del Sud.

4. The Geometry of Quasicrystals, a carrecde Christian Janot de l’Institut Laue-Langevin de Grenoble.

5. Topological Quantum Field Theory: A Pros-perous Link Between Physics and Mathema-tics, a carrec de Jose M. L. Labastida dela Universitat de Santiago de Compostela.

6. Unanswered Mathematical Questions Raisedby Fractal Geometry, a carrec de Benoıt

B. Mandelbrot de la Universitat de Yale.

7. Fractal Geometry and Physical Phenomena,a carrec de Luciano Pietronero de la Uni-versitat de Roma.

Abans d’analitzar per separat cada una d’a-questes set conferencies, haurıem de dir queconstitueix un vertader plaer trobar junts unstextos tant diversos, tots d’una altıssima qua-litat, amb el comu denominador de relacionarles matematiques i la fısica.

Quan vaig llegir el tıtol de la primera con-ferencia vaig pensar que estava mal escrit per-que no l’entenia. Que vol dir Mecanica Quanticade la Geometria Riemanniana? Ara us ho in-tentare explicar breument. Diu l’autor que ladescripcio de la materia com un continu s’harevelat extraordinaria a gran escala, pero quela fısica a escales inferiors als 10−33 cm no teres a veure amb la fısica contınua que tots hemestudiat. L’autor diu que de manera analoga hihauria d’haver una geometria que fos com unaquantitzacio de la geometria riemanniana habi-tual. L’autor, que es fısic, diu que s’hauria decopiar en geometria el que es fa en fısica quanes quantitza la relativitat general (teoria cone-guda per quantum gravity). La dificultat mesgran al meu entendre es que la quantum gra-vity que es preten copiar encara no es una te-oria ben establerta, sino en formacio. L’articlete dues parts. En la primera s’indica com espot reformular la relativitat general de mane-ra que tingui l’aspecte d’una teoria gauge. Enla segona part s’indica com aquesta descripciode la relativitat general condueix a una teoriaquantica de la geometria. Aquest punt de vistaporta a considerar les quantitats classiques dela geometria riemanniana, com longituds, areesi volums, d’una nova manera, com operadorsamb valors propis discrets.

La segona conferencia, d’Alain Connes,esta molt relacionada amb l’anterior quant alsobjetius, pero difereix en el punt de vista adop-tat. El text es una reproduccio de l’article pu-blicat originariament a Asterisque 241 (expose

40

816, p. 313–349, 1996). L’objectiu principal del’exposicio es la presentacio d’una nocio novad’espai geometric en la qual s’abandona el pa-per central que en la geometria classica juguenels punts de l’espai. La nova visio permet unadescripcio satisfactoria de l’espaitemps de la re-lativitat per a fenomens a escala molt petita.L’autor defineix el concepte d’espai geometriccom una terna (A , H , D), on A es una algebrainvolutiva d’operadors en un espai de HilbertH, i D es un operador autoadjunt no acotat deH. Per tal d’interpretar aquesta definicio l’au-tor recorda que quan l’algebra A es commu-tativa, la seva clausura segons la norma de Hes l’algebra de les funcions contınues sobre unespai compacte M , i un punt de M es pot in-terpretar com un caracter de A, es a dir, unhomomorfisme χ : A → C. En el cas general(en que A no es commutativa) aquesta nociode punt te poc interes. En canvi la de mesurade probabilitat conserva tot l’interes. Una talmesura ϕ es una forma lineal positiva sobre Atal que ϕ(1) = 1. En lloc de mesurar distanciesentre punts es mesuren distancies entre estatsϕ i ψ sobre A per la formula

d(ϕ,ψ) = Sup |ϕ(a) − ψ(a)| ;a ∈ A , ||[D,a]|| ≤ 1 .

Es pot comprovar que aquesta formula donala distancia geodesica usual en el cas riemannia.La nocio de dimensio d’un espai ha de ser subs-tituıda en aquesta nova visio per un espectrede dimensio (un subconjunt acotat de C la partreal del qual es acotada superiorment per α > 0si λ−1

n = O(n−α), on λn es l’enesim valor propide |D|).

El problema principal d’aquesta nova visioes el d’adaptar el calcul infinitesimal classic aaquest quadre general. El formalisme operacio-nal de la mecanica quantica junt amb l’analiside les divergencies logarıtmiques dels opera-dors, dona la generalitzacio buscada del calculdiferencial i integral.

La tercera conferencia, de George

F. R. Ellis, s’aparta molt de la tematica deles dues anteriors: constitueix un survey so-bre alguns aspectes dels models cosmologics dela relativitat general (classica) i la classificaciod’aquests models segons les simetries que tenen.Els universos dits de Bianchi son analitzats de-talladament (models cosmologics amb un grupG3 d’isometries que actua transitivament sobreles superfıcies espacials del model, de manera

que aquestes son homogenies). S’estudia comaquests models evolucionen en el temps i comels atractors i els punts d’equilibri inestableajuden a conjecturar quines son les mes proba-bles configuracions d’aquests moldels. Tambees parla de l’evolucio de models mes generals(no homogenis i anisotrops).

La quarta conferencia, de Christian Ja-

not, esta dedicada a la geometria dels quasi-cristalls. Es tracta d’una nova forma de l’estatsolid que difereix de les altres dues formes cone-gudes (cristal.lina i amorfa). Per donar una ideade que es un quasicristall podem dir que un cris-tall es caracteritza per una repeticio per trans-lacio d’una mateixa mostra (un enrajolat). Perexemple, si tinguessim una mostra en dimensio1 formada per un segment llarg L i un de curtC, la mostra s’aniria repetint per translacions isortiria un cristall que es podria descriure per

· · ·LCLCLCLCLC · · ·Els quasicristalls s’han de pensar tambe com es-tructures repetitives, pero en les quals la mos-tra no es repeteix per translacions sino per unesaltres regles de substitucio ben determinades.Per exemple, si la mostra es LC, podrıem con-venir que la regla per produir una nova ca-dena es substituir cada L per LC i cada Cper L. D’aquesta manera en la primera subs-titucio passarıem de LC a LCL. En la sego-na substitucio obtindrıem LCLLC. En la ter-cera, LCLLCLCL, etc. En cada pas s’obteuna successio determinista de L i de C sensecap senyal aparent de periodicitat (en aquestcas s’obte una cadena de Fibonacci). Es donen

41

molts exemples de quasicristalls en dimensions2 i 3 i se n’estudia la geometria.

La cinquena conferencia, de Jose M. F.

Labastida, te per objecte explicar per quela topologia de dimensions baixes es rellevanten mecanica quantica. Es fa un rapid recorre-gut pels invariants Seiberg-Witten, per la teo-ria gauge de Chern-Simons i per la teoria desupersimetria de Donalson-Witten, al mateixtemps que es relaciona tot aixo amb la mecanicaquantica.

Les dues ultimes conferencies estan dedi-cades a la geometria fractal. La penultima, acarrec de Benoıt B. Mandelbrot, el crea-dor de la teoria, te per objecte la descripciod’un gran nombre de problemes oberts relaci-onats amb aquesta materia. El text no es decap manera de caracter expositori, sino que esredueix a una enumeracio de problemes oberts

de geometria fractal que apareixen en contex-tos molt diversos, cada un d’ells acompanyat decomentaris.

L’ultima conferencia, a carrec de Luciano

Petronero, sı que es de caracter expositori.Te per objectiu la descripcio de diverses situa-cions de naturalesa fractal que es presenten enel mon real. Situacions que abans de l’apariciode la geometria fractal no es podien reconeixer.Per exemple, la distribucio de galaxies i cumulsde galaxies a l’Univers, a diverses escales, sem-bla tenir naturalesa fractal. A part de la des-cripcio de models d’aquest tipus que aparei-xen a l’Univers, la pregunta cabdal es com lanaturalesa produeix aquests tipus de fenomensfractals. El text de la conferencia, de caractercol.loquial, fa un breu viatge per tots aquestsproblemes i en dona referencies precises pera aquells que desitgin profunditzar en algunsd’ells.

J. GirbauUAB

Problemes

Podeu trobar informacio sobre la XXXVI Olimpıada Matematica (fase catalana) celebrada el passatdesembre a l’adreca

\texttthttp://www.iec.es/scm/olimp_c.htm

I podeu trobar les solucions dels problemes de les Olimpıades a l’adreca:

\texttthttp://pie.xtec.es/recursos/mates/aqui/agenda.htm#OLIMP

on, per cert, trobareu una col.leccio interessantıssima de problemes.Us recomanem tambe que visiteu el web de la SCM

http://www.iec.es/scm/indpro_c.htm

on trobareu els enunciats i solucions de les proves Cangur 2000 celebrades el passat mes de marca Catalunya, les Illes Balears i Castello.

A la mateixa pagina hi trobareu el concurs telematic Relleus–2000 que ha comencat en-guany com un complement per equips al Cangur, i tambe hi trobareu informacio sobre el Femmatematiques organitzat per la FEEMCAT (Federacio d’Entitats per a l’Ensenyament de lesMatematiques a Catalunya).

Tambe preguem als nostres lectors que si fan servir Tex o Latex per escriure les seves solucions,les enviın per mail a l’adreca:

pelegri.viader@econ.upf.es

aixı com qualsevol proposta o suggeriment.

42

Problemes proposats

Us suggerim uns quants problemes que van ser proposats per diversos centres de secundaria ambmotiu del Concurs Relleus–2000 organitzat per la SCM com una mena de ≪Cangur col.lectiu≫.Gairebe una trentena de centres de tot Catalunya han participat telematicament en la contesa.Cada sessio consta de quatre problemes, la solucio dels quals es necessaria com a dada del seguentproblema (la idea del relleus). Cada centre pot crear equips de quatre estudiants (tants com elcentre vulgui) per treballar els problemes. Esperem que el concurs arreli entre els nostres centresi constitueixi, junt amb el Fem Matematiques, el Cangur i la Olimpıada, una part important del’oferta ludica matematica del nostre paıs.

A40. (Proposat per l’IES de la Bisbal.) El Pen-tadescomponible. Per quins valors de l’enter Nes possible trobar un enter positiu mes petit queN i nomes un, que accepti ser descomposat de5 maneres diferents com a suma d’enters conse-cutius? (Del diccionari: Suma: agregat de doso mes nombres.)

A41. (Proposat per l’IES Francisco de Goya.)En un full de paper quadriculat simularem al-gunes jugades de billar. En aquest full dibui-xarem un rectangle ABCD de 10 quadradetsde llarg per 6 quadradets d’amplaria. Sigui I elpunt mitja del costat AB. Sobre aquest puntcol.loquem una bola de billar i la colpejem ambel tac cap al costat AD. Quan la bola toca perprimera vegada el costat AD, haura descrit unsegment de recta de pendent n.

Proveu que, si a les nostres jugades n essempre un nombre natural i no existeix frega-ment de la bola amb la superfıcie de la taula,la bola sempre retorna a I, descrivint una tra-jectoria periodica.

Al llarg del seu viatge a traves de la taula,la bola nomes toca en un nombre finit de puntsdiferents a les bandes.

n

B

I

A

C

D

Demostreu que la quantitat de punts que ha to-cat la bola la banda AB es la mateixa que laquantitat de punts tocats per la bola a la ban-da DC i calculeu aquests nombre de punts enfuncio del valor de n.

A42. (Proposat per l’IES Joanot Martorell.) Sitirem quatre daus enlaire, quina es la probabili-tat que despres de tirar puguem triar dos dausde manera que la suma dels punts que mar-quen aquests dos daus sigui 7? I si en tirem nen comptes de 4?

Solucions

Problemes proposats a SCM/Notıcies 11

A36. (Proposat per Josep Pla de la UB.) Unamica de papiroflexia. En un full blanc de paperdibuixeu-hi un punt. Trieu una vora del full iporteu el punt sobre la vora, tot doblegant elfull i marcant be el doblec. Repetiu l’operacioamb diferents llocs de la mateixa vora. Podrıeucaracteritzar la famılia de rectes (doblecs) quequeden marcades al full?

Solucio: (Antoni Goma de l’IES Joanot Mar-torell). Despres d’uns quants doblecs fets en unpaper es pot intuir que la resposta al proble-ma plantejat es: la famılia de rectes que resultaes l’envolupant de la parabola que te per fo-cus el punt i per directriu la vora triada. Es

pot provar analıticament. Si prenem coordena-des de manera que el punt sigui el (0, a) i lavora sigui la recta y = −a, la parabola indica-da te com equacio y = 1

4ax2. Si portem el punt

inicial sobre el punt (2b,−a) de la vora, el do-blec te per equacio y = b

a(x − b) i un senzillcalcul mostra que aquesta recta es la tangent ala parabola en el punt de la parabola d’abscissa2b. Recıprocament, es comprova que la tangenta la parabola en el punt d’abscissa 2b es el do-blec (es a dir, l’eix de simetria) que transformael punt (0, a) en el punt (2b,−a). Pero tambe esbonic fer-ho sinteticament, recordant la propie-tat que caracteritza la tangent a una parabola

43

en un punt, que es la bisectriu de l’angle que for-men la perpendicular a la directriu per aquellpunt i el radi–vector del punt.

Si portem el punt P sobre el punt P ′ de lavora v el doblec sera la mediatriu d del segmentPP ′. Sigui N el punt mitja de PP ′. Per P ′ tra-cem la perpendicular a la recta v, que talla d enel punt M . Es senzill de veure que els trianglesMNP ‘ i MNP son rectangles i iguals. Per tantd(M,P ) = d(M,P ′) = d(M,v) i aixo demostraque M es un punt de la parabola de focus P idirectriu v. Aixı mateix, la recta doblec d es labisectriu de les rectes MP i MP ′ i, per tant esla tangent a la parabola indicada en el punt M .La mateixa figura ens serveix per raonar que,recıprocament, qualsevol tangent a la parabolaes l’eix de simetria que permet portar el puntP sobre un punt P ′ de la vora.

A37. (Competicio nacional russa. Final 1984.Nivell 16 anys.) Sense utilitzar calcul diferenci-al, qui es mes gran 2/201 o ln(101/100)?

Solucio: (Antoni Goma de l’IES Joanot Mar-torell). Amb una calculadora es comprova que2/201 = 0.00995024 i que ln(101/100) =0.00995033 i aixo ens diu que caldra ≪afi-nar≫ molt per provar que 2/201 < ln(101/100).

Per demostrar-ho podem veure, de mane-

ra equivalent, que e2

201 < 101100 o tambe que

e2 < (1 + 1100 )201.

Ara be, e2 es el lımit de la successio de ter-me general (1 + 1

n)2n pero tambe ho es de la

que te per terme general (1 + 1n)2n+1. Si agafeu

un llibre de 2n de BUP antic i mireu com es faper demostrar que la successio de terme general(1 + 1

n)n es estrictament creixent, veureu queparaula per paraula us serveix per demostrarque (1 + 1

n)2n defineix tambe una successio es-

trictament creixent i, en canvi, que (1+ 1n)2n+1

defineix una successio estrictament decreixent.

I llavors, com que (1+ 1100 )201 es el terme que

correspon a n = 100 en aquesta ultima succes-sio que te lımit e2 i es estrictament decreixent,qualsevol terme sera mes gran que el lımit. Iaixı es demostra el que volıem.

A38. (Competicio nacional russa. Final 1962.Nivell 16 anys.) Quina es la maxima area quepot tenir un triangle si els costats a, b, c han decomplir 0 < a ≤ 1 ≤ b ≤ 2 ≤ c ≤ 3?

Solucio: (Antoni Goma de l’IES Joanot Mar-torell). Comencem per veure que la maximaarea d’un triangle que te dos costats de mides xi y s’obte quan el triangle es rectangle de catetsx, y. Llavors, l’area maxima es xy/2.

Efectivament, l’area d’aquest triangle esA = xy·sinC

2 que sera maxima, evidentment,quan sinC = 1 essent C l’angle que formen elscostats coneguts.

Si ho apliquem al triangle de l’enunciat, elque tingui area maxima sera un triangle rectan-gle de catets a i b i hipotenusa c i la maximaarea sera el maxim valor que pugui tenir ab/2.

Si a ≤ 1 i b ≤ 2 es clar que el valor maximdemanat es 1.

A39. (Competicio nacional russa. Final 1965.Nivell 16 anys.) Un turista arriba a Moscou entren. Durant tot el dia passeja a l’atzar pels car-rers de la ciutat. Sopa a prop de la Placa Roja idecideix tornar a l’estacio caminant per aquellscarrers que nomes hi ha passat un nombre im-parell de vegades. Pot fer-ho?Solucio: (Redaccio). Sempre es possible fer-ho. Si hem arribat a un determinat punt (res-taurant) de la Placa Roja per un carrer deter-minat, o be hem passat per aquest carrer unnombre imparell de vegades o be, si hi hem pas-sat un nombre parell de vegades, hem passatper un altre un nombre imparell de vegades.Aixo es facil de demostrar pensant que cadacop que arribem al restaurant en questio perun carrer sumem +1 a un comptador i cadacop que en sortim (pel mateix carrer o un al-tre) en sumem −1 al comptador. Cada cop queens trobem davant del restaurant hem de tenirun +1 al comptador. El mateix raonament s’a-plica a la cruılla anterior i aixı fins a arribar al’estacio de partida.

Altres idees: L’Antoni Goma tambe ha donatla solucio sense massa explicacions. Opina quel’enunciat del problema es ambigu.

P. ViaderUPF

44

Tesis

• Carme Florit Selma va llegir la seva tesi, dirigida per David Nualart Rodon, titulada Problemade martingala i aproximacio en llei per difusions amb dos parametres, el dia 18 de marc de 1999.La tesi correspon al Departament d’Estadıstica de la Universitat de Barcelona.

La memoria es divideix en dues parts:A la segona part s’obte un resultat d’aproxi-

macio de difusions per a una equacio estocasticahiperbolica en el pla governada per un proces deWiener amb dos parametres. La llei lımit que-da caracteritzada com la solucio d’un problema

de martingala. Es demostra l’equivalencia en-tre existencia i unicitat de solucio feble per auna equacio diferencial estocastica en el pla iexistencia i unicitat de solucio del corresponentproblema de martingala per a processos ambdos parametres.

• Jose M. Gallardo Molina va llegir la seva tesi, dirigida per Xavier Mora Gine, tituladaEcuaciones diferenciales con condiciones de contorno no-separadas. Generacion de semigruposanalıticos, el dia 14 de juliol de 1999. La tesi correspon al Departament de Matematiques de laUniversitat Autonoma de Barcelona.

Estudiem la generacio de semigrups analıtics enLp(a, b). 1 ≤ p ≤ ∞, per operadors diferencialsde segon ordre: l(u) = u′′ +p(x)u′ + q(x)u, ambcondicions de contorn B1(u) = B2(u) = 0. Ca-da condicio de contorn pot ser: (a) No-separada:αu(a)+βu′(a)+γu(b)+δu′(b) = 0. (b) Integral:∫ ba R(t)u(t)dt +

∫ ba S(t)u′(t)dt = 0.

En el cas de dues condicions no-separadesobtenim que l’operador associat genera un se-

migrup analıtic en cada espai Lp(a, b), 1 ≤ p ≤∞, quan les condicions de contorn son Birk-hoff-regulars.

Quan alguna de les condicions de contorn (oambues) es integral, obtenim resultats analegsen L1(a, b).

Per ultim, estudiem una generalitzacio delsresultats anteriors al cas n-dimensional.

• Natalia Castellana Vila va llegir la seva tesi, dirigida per Carles Broto Blanco, tituladaRepresentacions homotopiques de grups p-compactes, el dia 26 de novembre de 1999. La tesicorrespon al Departament de Matematiques de la Universitat Autonoma de Barcelona.

La nocio de grup de Lie va ser introduıda elsegle passat i, des de llavors, el seu estudi haesta una de les grans arees d’interes dins de lamatematica. Un grup de Lie G es una varietatdiferenciable amb una estructura de grup talque les aplicacions producte i invers son dife-renciables.

Als anys 30 es consolida el programa per en-tendre les propietats homotopiques dels grupsde Lie que els caracteritzen, es a dir, interpre-tar les propietats dels grups de Lie en termespurament homotopics, amb els treballs sobre laseva homologia i cohomologia.

Sigui p un nombre primer fixat. Un grup p-compacte es una tripleta (X,BX, e) on X es unespai Fp-finit (H∗(X; Fp) es un Fp-espai vecto-rial finit), BX es un espai puntejat p-complet(BX ≃ BXp) i e : X → ΩBX es una equi-

valencia.

Primer de tot cal observar que si G es ungrup de Lie compacte tal que π0G es un p-grup,aleshores (Gp, BGp, ep) es un grup p-compacte.Moltes propietats dels grups de Lie compac-tes es poden reinterpretar com a propietats ho-motopiques dels seus espais classificadors, demanera que la propietat corresponent esten ala categoria dels grups p-compactes. Per exem-ple, tot grup p-compacte te un tor maximal igrup de Weyl WX .

A partir d’ara p sera un numero primer se-nar. El principal resultat del treball es la demos-tracio de l’existencia d’un monomorfisme en ungrup unitari per tot grup p-compacte simple-ment connex i la factoritzacio d’aquest mono-morfisme a traves d’una grassmanniana p-adicade Quillen.

45

Teorema 1. Tot grup p-compacte simplementconnex admet un monomorfisme en U(n)p peralgun n.Teorema 2. Tot grup p-compacte simplementconnex admet un monomorfisme en una grass-

manniana p-adica de Quillen.

• Monica Sarra Rovira va llegir la seva tesi, dirigida per Marta Sanz Sole, titulada Densitats itrajectories d’equacions diferencials anticipatives i equacions en derivades parcials estocastiques,el dia 4 de febrer de 2000. La tesi correspon al Departament d’Estadıstica de la Universitat deBarcelona.

La tesi consta de dues parts independents. Laprimera part es una contribucio a l’estudi deles propietats d’una famılia de solucions d’u-nes equacions diferencials estocastiques antici-patives. Considerem la famılia Xε

t , t ∈ [0, 1]de processos estocastics a R

d indexada pelparametre ε ∈ (0, 1], solucio de l’equacio di-ferencial estocastica anticipativa

Xεt = Xε

0 +√ε

∫ t

0

k∑

j=1

σj(Xεs ) dW j

s

+

∫ t

0σ0(X

εs ) ds.

A aquesta equacio W = W jt , 1 ≤ j ≤ k, t ∈

[0, 1] =82s un moviment Brownia estandardk-dimensional, σj : R

d → Rd, j = 0, . . . , k i

Xε0 , ε ∈ (0, 1] son vectors aleatoris no ne-

cessariament adaptats a la filtracio associadaal proces de Wiener. El terme de la integralestocastica es definida com una integral de Stra-tonovich anticipativa. Sigui t ∈ (0, 1], y ∈ R

d idenotem per pε

t (y) la densitat de la llei de Xεt

en y, si existeix. El nostre proposit es trobarEstimacions de Varadhan per pε

t (y) quan ε ↓ 0.

Es a dir, trobarem l’estimacio de la fita superi-or per lim sup

ε→0ε log pε

t(y), i una estimacio de la

fita inferior per lim infε→0

ε log pεt(y).

La segona part es una contribucio a l’es-tudi de les equacions estocastiques en deriva-des parcials. Estudiarem la propietat de Holder,continuıtat d’una classe de processos Gaussiansobtinguts per la integral estocastica d’algunesfuncions deterministes a valors en l’espai de dis-tribucions respecte d’alguna mesura martinga-la blanca en temps i correlacionada en espai.Les condicions estaran donades en funcio de lacovariancia de l’integrador. Com aplicacio estu-diarem la Holder continuıtat en espai i en tempsde la solucio de l’equacio d’ona semilineal ambdimensio del parametre espai d ∈ 1, 2, 3. Uti-litzarem el criteri de continuıtat de Kolmogorovi tecniques d’analisi harmonic. Finalment, estu-diarem la Holder continuıtat en temps i espaide la solucio de l’equacio de la calor no linealamb d ≥ 1. En aquest cas utilitzarem la pro-pietat de semigrup de la solucio fonamental del’equacio de la calor, el metode de factoritzacioi el criteri de Kolmogorov.

• Amauri Gutierrez Hernandez va llegir la seva tesi, dirigida per Anna Sanchez Llado, ti-tulada Descomposiciones de grafos regulares, el dia 17 de febrer de 2000. La tesi correspon alDepartament de Matematica Aplicada II, de la Universitat Politecnica de Catalunya.

El treball desenvolupat a la present tesi tractatres problemes classics de la teoria de grafs enel context de grafs regulars: descomposicions,empaquetaments i generalitzacions del concep-te de graf lınia.

El capıtol 2, esta dedicat a l’estudi de lesdescomposicions minimals de grafs regulars enarbres. Una descomposicio en arbres d’un grafG, es una famılia d’arbres aresta-disjunts tals

que els seus conjunts d’arestes recobreixen elconjunt d’arestes de G. El nombre mınim d’ar-bres en una descomposicio d’aquest tipus es de-nota per τ(G). Demostrem, fent us de les con-nectivitats d’ordres superiors, que τ(G) = α(G)per a tot graf regular de n vertexs i graud ≥ n/2, sent α(G) l’arbrecitat del graf. Donema mes, una famılia de grafs que mostren queaquesta fita es la millor possible. El capıtol con-

46

clou amb l’estudi de descomposicions de grafsde Cayley en boscos isomorfs. Demostrem quesi S es un conjunt generador quasiminimal d’ungrup Γ i F es un bosc orientat amb |S| arestes,llavors el graf de Cayley Cay(Γ,S) admet unaF-descomposicio.

En el capıtol 3 tractem el problema dels em-paquetaments de grafs regulars. Es planteja elproblema de determinar, donat un graf regularG, el menor enter N0(G) per al qual existeix ungraf connex regular G-descomponible diferentde G. Per analitzar aquest problema, s’introdu-eix un nou parametre, el numero d’empaque-tament d’un graf. S’utilitza aquest parametre,per a obtenir fites generals de N0(G), i es donen

fites ajustades pels valors de N0(G) per a grafsregulars densos.

Finalment, en el capıtol 4, estudiem una deles generalitzacions del graf lınia recentment in-troduıda per Bagga, Beineke i Varma, que esconeix com super graf lınia. Ens plantegem elproblema de la determinacio, en grafs densos icomplets bipartits, del numero de completitudlc(G) d’un graf G, o sigui, el menor enter r, talque el super graf lınia d’ındex, Lr(G), es un grafcomplet. Introduım un nou parametre, el nom-bre residual d’arestes d’un graf, per a l’estudid’aquest problema. S’obte una expressio per alc(G), i fites superiors ajustades de tipus espec-tral.

• Joan Gimbert Quintilla va llegir la seva tesi, dirigida per Miguel Angel Fiol Mora , tituladaAplicacions de la teoria espectral a l’estudi dels dıgrafs densos, el dia 5 d’abril de 2000. La tesicorrespon al Departament de Matematica Aplicada i Telematica de la Universitat Politecnica deCatalunya.

Una de les aplicacions de la teoria de grafs,com es la modelitzacio de xarxes d’interconne-xio, va motivar la formulacio de certs proble-mes d’optimitzacio discrets, entre ells el proble-ma grau/diametre, i el conseguent interes perl’estudi de certes classes de dıgrafs anomenatsdensos. Contribuir a aquest estudi —pel quefa a questions d’existencia, enumeracio i obten-cio d’invariants grafics— emprant basicamenteines algebraiques (espectrals) ha estat l’objec-tiu principal d’aquesta tesi. Per fer-ho hem tra-duıt les questions anteriors en termes matricialsi aritmetics.

El problema grau/diametre per a dıgrafsconsisteix a determinar el nombre maxim devertexs que pot tenir un dıgraf fixats el seu graumaxim de sortida i diametre. Es coneix una fitanatural per aquest ordre optim, anomenada fitade Moore, la qual nomes es assolida pels dıgrafscicles i pels dıgrafs complets. Aquesta limitaciosuggereix estudiar per a quins valors dels grau idiametre existeixen dıgrafs d’ordre proper (unaunitat menys) a la inassolible fita, anomenatsdıgrafs quasi de Moore. Aixo equival a cercarmatrius binaries que satisfacin una equacio deltipus on J es la matriu tota d’uns i P es unamatriu de permutacio que commuta amb A; esa dir, P representa un automorfisme del dıgrafque te a A com a matriu d’adjacencia. Relaci-onant l’espectre d’una possible solucio A ambl’estructura cıclica de la permutacio associada

a P , hem deduıt noves condicions necessariesper a l’existencia d’un dıgraf quasi de Moore ihem conclos la seva enumeracio per a diametredos, en la qual ens ha aparegut l’estructura dedıgraf lınia com una propietat extremal. Arrand’aquest fet hem estudiat per a quines equa-cions matricials i polinomiques del tipus potgarantir-se que totes les seves (0, 1)-solucionscorresponen a dıgrafs lınia.

En el cas bipartit tambe es disposa d’u-na fita tipus Moore per a l’ordre, en funciodels graus maxims de sortida i del diametre k,la qual unicament s’aconsegueix per a k = 2(dıgraf bipartit complet) i k = 3, 4. Emprantla teoria de matrius circulants hem reformu-lat la cerca de nous dıgrafs bipartits optims dediametre tres en termes additius i aixo ens hapermes construir noves solucions per a graus noprimers. L’interes per aquestes solucions es veureforcat pel fet de constituir la base de novesfamılies de dıgrafs bipartits densos, resultantsd’aplicar la tecnica del dıgraf lınia iterat, i perla caracteritzacio que hem deduıt relativa alsdıgrafs bipartits optims de diametre k = 4, 5, laqual ens remet la seva enumeracio al cas k = 3.

Pel que fa a la determinacio de propietatsgrafiques deduıbles de l’espectre, hem presen-tat un metode per al comput dels anomenatscicles curts, el qual apliquem a certes famıliesde dıgrafs asimptoticament optims com son, perexemple, els dıgrafs de Kautz.

47

• Jose A. Lubary Martınez va llegir la seva tesi, dirigida per Joan de Sola-Morales i Rubio,titulada Multiplicidad y valores propios no reales en problemas de contorno para ecuacionesdiferenciales definidas sobre redes, el dia 10 d’abril de 2000. La tesi correspon al Departamentde Matematica Aplicada I, de la Universitat Politecnica de Catalunya.

Considerem una xarxa connexa finita de Mbracos i N nusos, en que admetem la possibili-tat que els bracos siguin multiples, es a dir, quehi hagi diversos bracos que uneixen la mateixaparella de nusos; o tambe que siguin bucles, esa dir, que uneixin un nus amb ell mateix, i queels nusos siguin terminals, es a dir, rebin un solbrac.

Els bracos podran ser, en principi, arcs queconnecten parelles de nusos, o un nus amb ellmateix. En qualsevol cas, acceptarem que po-den ser parametritzats de forma que es pu-guin identificar com intervals reals [−li, li], (i =1, . . . ,M).

Aquest treball esta dedicat, per una part, al’estudi de la multiplicitat de solucions del pro-blema estacionari

ai(x)u′′i (x) + bi(x)u′i(x) + ci(x)ui(x)

+ f i(x) = 0 , x ∈ [−li, li] , (i = 1, . . . ,M),(1)

sota les condicions

uj1(ej1) = uj2(ej2) = · · · = ujk(ejk) (2)

per a cada nus interior j en que conflueixenels bracos j1, j2, . . . , jk coincidint els extremsej1, ej2 . . . , ejk, i

αj1u(e)j1 (ej1) + · · · + αjku

(e)jk (ejk)

+ βju(j) = 0 (3)

en tots els nusos, on u(e) significa derivada ex-terior o cap el nus de coincidencia j , i u(j) esel valor comu en j, d’acord amb (2).

S’estudia tambe el problema de valors pro-pis associat:

ai(x)u′′i (x) + bi(x)u′i(x) + ci(x)ui(x)

+ λui(x) = 0 , (i = 1, . . . ,M), (4)

sota les condicions (2) y (3).

En el capıtol 2 s’obte una cota superior pelnombre de solucions independents del proble-ma estacionari citat anteriorment, i es veu queaquesta fita es optima en el sentit que s’agafasi s’elegeixen adequadament els coeficients deles equacions diferencials definides en un grafdonat.

El capıtol 3 esta dedicat a estudiar condi-cions perque els operadors associats a aquestsproblemes siguin autoadjunts respecte d’algunametrica.

En el capıtol 4 s’estudia amb certa profun-ditat el problema quan el graf es al mes simplepossible amb cicles, i s’obtenen diversos resul-tats sobre existencia d’infinits valors propis iinfinits valors propis no reals, i les seves res-pectives multiplicitats geometrica i algebraica,mostrant, en particular, el caracter no autoad-junt, respecte de cap metrica, de l’operador as-sociat en determinades condicions.

Finalment, el capıtol 5 mostra que la condi-cio necessaria i suficient perque qualsevol ope-rador diferencial de segon ordre definit sobrecert graf sigui autoadjunt, respecte d’algunametrica, es que aquest graf sigui un arbre.

48

123

Please order fromSpringer · Customer ServiceHaberstr.7 · 69126 Heidelberg,GermanyTel:+49 6221 345200Fax:+49 6221 300186e-mail:orders@springer.deor through your bookseller

* Recommended retail prices. Prices and other details are subject to change without notice.In EU countries the local VAT is effective. d&p · 006677_001x_1c

The Mathematics Book of the Century

B. Engquist,W. Schmid (Eds.)

Mathematics Unlimited - 2001 and Beyond

2000.Approx.800 pp.120 figs.,40 in color.Hardcover

*DM 79;£ 27;FF 298;Lit.87.250

ISBN 3-540-66913-2

Due Fall 2000

This is a book guaranteed to delight the reader. This

veritable treasure trove not only depicts the state of

mathematics at the end of the century, but is also full of

remarkable insights into its future development as we

enter a new millennium. True to its title, the book

extends beyond the spectrum of mathematics, both

pure and applied, to include contributions from other

related sciences. Whatever your field of expertise, you

will enjoy reading the many stimulating contributions

and, in so doing, gain insights into the astounding

progress of mathematics and the perspectives for its

future over the next 100 years.

One of the editors, Björn Engquist, is a world-

renowned researcher in computational science and

engineering, and professor at the University of Califor-

nia in Los Angeles, as well as a member of the Execu-

tive Committee of the International Mathematical

Union. The second editor, Wilfried Schmid, is a distin-

guished mathematician of Harvard University. Like-

wise, the authors are all foremost mathematicians and

scientists, and their biographies and photographs

appear at the end of the book.

Unique in both form and content, this is a “must-read”

for every mathematician and scientist and, in particu-

lar, for graduates still choosing their specialty.

For further information and some abstracts of

this book please visit us at:

http://www.springer.de/math/wmy2000/2000book/

Societat Catalana de Matematiques

President Sebastia Xambo DescampsVicepres. Joaquim Ortega AramburuTresorer Xavier Martınez-AlbenizSecretaria Anna Rıo DovalVocals Jaume Aguade Bover

Claudi Aguade BruixJosep Grane Manlleu

Anna Pol MasjoanAgustı Reventos Tarrida

Pelegrı Viader CanalsXavier Vilella Miro

Delegatde l’IEC Joan Girbau i Bado

Comunicacions

Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel. 932 701 620Fax 932 701 180e-mail scm@iec.es

Secretaria Nuria FusterHorari de 10 a 17h

SCM/NotıciesJuny 2000. Numero 13

Edita:Societat Catalana de Matematiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en capAgustı Reventos Tarrida

agusti@mat.uab.es

Comite de RedaccioSebastia Xambo Descamps

Antoni Goma NasarreJosep Grane Manlleu

Carles Casacuberta Verges

Compost en LATEX: Maria Julia

Index

Report de la Junta 1

Tercer Congres Europeu de Matematiques 2

Any Mundial de les Matematiques 2000 3Jornada Matematica al Congres dels Diputats 3Acte al Paranimf 16Cinema i matematiques 27Concurs de fotografia matematica 2000 27Maths Quiz 2000 28

Articles 29Numeros canten 29

Premis i concursos 30Premi Evariste Galois 30Premi Iberdrola 31Premis CIRIT 33Premi P. Erdos de la WFNMC 34XXXVI Olimpıada Matematica Espanyola 34Premi Ferran Sunyer i Balaguer 35

Matematiques i ensenyament 35Fem matematiques 35Quines matematiques necessita la societat? 36

Llibres 37Proofs from The Book 37A History of Algorithms 39Jornades Cientıfiqeus IEC.

Physics and Geometry 40

Problemes 42Problemes proposats 43Solucions 43

Tesis 45

Societat Catalana de Matematiques

Sol.licitud d’inscripcio com a soci de la SCM i/o de l’EMS,o actualitzacio de dades

Tipus de soci: Ordinari Estudiant(cal acreditacio)

Institucio

Desitjo fer-me soci de: SCM EMS SCM i EMS

Nom i cognomso denominacio de la institucio

:

Adreca: Telefon:

Fax: Correu electronic:

Codi postal: Poblacio:

Lloc d’estudi o de treball:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Butlleta per a la domiciliacio de la quota de soci de la SCM i/o de l’EMS

La persona sotasignada autoritza que anualment es faci efectiu el rebut de soci de la Societat Catalana

de Matematiques/Societat Matematica Europea a nom de

a la llibreta d’estalvi/el compte corrent/la targeta de credit que s’indica seguidament:

Titular del compte:

Entitat bancaria:

Codi de l’entitat bancaria:

Adreca de l’oficina:

Codi de l’oficina i dıgits de control:

Numero del compte o llibreta:

Targeta de credit:

Valida fins al:

Data: DNI:

Signat:

Signatura

La quota actual de la SCM es de 4.000 PTA per a socis ordinaris, de 2.000 PTA per a estudiants i

8.000 PTA per a institucions. La quota de l’EMS es de 2.500 PTA.

SCM/Notıcies/13Edita la Societat Catalana de Matematiques

Filial de l’Institut d’Estudis Catalans