UNIVERSIDAD ANDRES BELLOFACULTAD DE CIENCIAS EXACTASDEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Ensayo Solemne 1 Clculo II - FMM129

1. Dada la funcin de produccin de Cobb-Douglas Q(K,L) = 10K0,4L0,6 de una empresa, donde K y Lrepresentan los insumos de capital (en millones de pesos) y mano de obra (en cientos de trabajadores),respectivamente:

a) Es una funcin homognea? Verifica el teorema de Euler?b) Para K = 8 y L = 20, hallar la productividad marginal del capital y de la mano de obra, y

determinar la razn de cambio de la produccin, sabiendo que el nmero de trabajadores disminuyea razn de 11 por ao, y que los insumos de capital aumentan a razn de $300000 anuales.

2. Sea z = f(x, y) una funcin diferenciable, donde x = r cos , y = r sen . Demostrar que

frr = fxx cos2 + 2fxy sen cos + fyy sen

2

3. Una panadera tiene en una gran ciudad un total de tres locales A, B y C, cuyas ubicaciones relativas enla ciudad se muestran en el grfico siguiente.

La gerencia est ubicada en el origen G del sistema coordenado representado por el grfico anterior. Paramejorar la gestin, se ha decidido trasladar la gerencia a un lugar de la ciudad que verifique la condicin deque la suma de los cuadrados de las distancias de cada local a la gerencia sea mnima. En qu coordenadas,con respecto a la actual gerencia, debe ubicarse la nueva gerencia? Considere que cada unidad de los ejescoordenados representa una cuadra y que el norte est en el sentido positivo del eje Y .

4. Una fbrica de vehculos produce dos modelos A y B. Su funcin de costos de produccin totales mensual,en millones de dlares, es C(x, y) = 6x2 + 10y2 xy + 30, donde x e y representan las cantidadesproducidas de A yB respectivamente. La industria tiene la poltica de que la cantidad mnima de vehculosproducidos al mes debe ser de 34 unidades. Determinar la cantidad de unidades mensuales a producir decada modelo que minimiza el costo de produccin.

Tiempo: 90 minutos. No hay consultas. No se permite celulares encendidos. Escribir todoslos desarrollos necesarios para justificar su respuesta.Cada problema vale 15 puntos.