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interpolar linealmenteTRANSCRIPT
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin de Newton-Lagrange
Javier I. Carrero
Departmento de Ingeniera Qumica
Mtodos numricos aplicados a ingeniera qumica
Javier I. Carrero Interpolacin de Newton-Lagrange
-
Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
El siguiente tema ...
1
Interpolacin lineal y polinomial
2
Interpolacin polinmica
3
Formulacin en diferencias
4
Ejemplos
5
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin con datos igualmente espaciados
La formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)
Javier I. Carrero Interpolacin de Newton-Lagrange
-
Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin lineal ...
Dos puntos conocidos
(x
0
,f (x0
)) , (x1
, f (x1
))
Suposicin: funcin lineal
en [x0
, x1
]
Se calcula f (x) para
x
0
< x < x1
x
0
< x1
f x1
f x0
x0 x1xx
f x
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
... interpolacin lineal ...
Pendientes iguales en
[x
0
,x
1
] y [x
0
,x ]
f (x) f (x0
)
x x0
=f (x1
) f (x0
)
x
1
x0
Se puede despejar f (x)
f (x) = f (x0
)+x x0
x
1
x0
[f (x1
) f (x0
)]
f x1
f x0
x0 x1xx
f x
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
... interpolacin lineal
La interpolacin lineal no
es infalible
Sobre todo si la funcin
cambia mucho en el
intervalo
f x1
f x0
x0 x1x
f x
x
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-
Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
El siguiente tema ...
1
Interpolacin lineal y polinomial
2
Interpolacin polinmica
3
Formulacin en diferencias
4
Ejemplos
5
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin con datos igualmente espaciados
La formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)
Javier I. Carrero Interpolacin de Newton-Lagrange
-
Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
El objetivo de la interpolacin
x f (x)
x
0
f (x0
)x ?
x
1
f (x1
)x ?
x
2
f (x2
).
.
.
.
.
.
x
n
f (xn
)
Hallar valores intermedios
Por ejemplo f (x) cuando
x
0
< x < x1
x
1
< x < x2
en general
x
i
< x < xi+1
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Ejemplo de interpolacin
Hallar valores de T cuando
P = 2.7
P = 13.1
P = 30.8
P T
1 56.5
2.7 ?
5 113.0
20 181.0
30.8 ?
40 214.5
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Aproximaciones polinmicas
En lugar de una lnea se usa una funcin como
f (x) = a0
+ a1
x + a2
x
2
Si se llama f
m
a la aproximacin polinmica de grado m de f
f
1
(x) = b0
+ b1
(x x0
)
f
2
(x) = b0
+ b1
(x x0
) + b2
(x x0
) (x x1
)
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Aproximaciones polinmicas
Para un polinomio de grado 3
f
3
(x) = b0
+ b1
(x x0
) + b2
(x x0
) (x x1
) +
b
3
(x x0
) (x x1
) (x x2
)
y as hasta
f
m
(x) = b0
+ b1
(x x0
) + b2
(x x0
) (x x1
) + + bm
(x x0
) (x x1
) . . . (x xm1)
Los x
0
, x
1
, x
2
, etc. son puntos (valores) conocidos.
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
La equivalencia de los polinomios
Los a
i
se obtienen de los b
i
. Por ejemplo
f
2
(x) = b0
+ b1
x b1
x
0
+ b2
(x
2 x0
x x1
x + x0
x
1
)= (b0
b1
x
0
) + b1
x + b2
x
0
x
1
b2
(x0
+ x1
) x + b2
x
2
= (b0
b1
x
0
+ b2
x
0
x
1
) + (b1
b2
x
0
b2
x
1
) x + b2
x
2
= a0
+ a1
x + a2
x
2
a
0
= b0
b1
x
0
+ b2
x
0
x
1
a
1
= b1
b2
x
0
b2
x
1
.
a
2
= b2
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
La formulacin general
Una funcin interpolante f
m
requiere m + 1 puntos conocidos
Por ejemplo f
2
tiene 3 incgnitas (b
0
, b
1
, b
2
), requieren 3
ecuaciones
Los valores de los b
i
se obtienen evaluando f en los puntos x
conocidos
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Obtencin de los b
i
...
Por ejemplo, para f = f1
(x)
f (x) = b0
+ b1
(x x0
)
Si x = x0
f (x0
) = b0
,
luego
f (x) = f (x0
) + b1
(x x0
)
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
... obtencin de los b
i
...
Al evaluar en x
1
:
f (x1
) = f (x0
) + b1
(x1
x0
)
as
b
1
=f (x1
) f (x0
)
x
1
x0
En denitiva
f (x) = f (x0
) + (f (x1
) f (x0
))x x0
x
1
x0
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
... obtencin de los b
i
...
Para una aproximacin grado 2, f = f2
y
f (x) = b0
+ b1
(x x0
) + b2
(x x0
) (x x1
) .
Igual que en el caso anterior, si x = x0
b
0
= f (x0
)
Si x = x1
f (x1
) = f (x0
) + b1
(x1
x0
)
b
1
=f (x1
) f (x0
)
x
1
x0
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
... obtencin de los b
i
...
Si x = x2
(recordar, hacen falta 3 valores)
f (x2
) = b0
+ b1
(x2
x0
) + b2
(x2
x0
) (x2
x1
)
lleva a
b
2
=f (x2
) b0
(x2
x0
) (x2
x1
) b1 (x2 x0)
(x2
x0
) (x2
x1
).
.
.
=1
x
2
x0
[f (x2
) f (x1
)
x
2
x1
+
(1 x2 x0x
1
x0
)f (x1
) f (x0
)
x
2
x1
]
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Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
... obtencin de los b
i
Se simplica usando este resultado
1 x2 x0x
1
x0
=x
1
x0
x2
+ x0
x
1
x0
=x
1
x2
x
1
x0
para obtener
b
2
=1
x
2
x0
[f (x2
) f (x1
)
x
2
x1
f (x1) f (x0)x
1
x0
].
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
El siguiente tema ...
1
Interpolacin lineal y polinomial
2
Interpolacin polinmica
3
Formulacin en diferencias
4
Ejemplos
5
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin con datos igualmente espaciados
La formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Diferencias divididas nitas ...
Las DDF se denen como
f (xi
) = f [xi
]
f [xi
, xj
] =f (xi
) f (xj
)
x
i
xj
f [xi
, xj
, xk
] =f [xi
, xj
] f [xj
, xk
]
x
i
xk
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Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
... diferencias divididas nitas ...
Por ejemplo, en diferencias respecto a x
0
f (x0
) = f [x0
] ,
f [x1
, x0
] =f (x1
) f (x0
)
x
1
x0
f [x2
, x1
, x0
] =f [x2
, x1
] f [x1
, x0
]
x
2
x0
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Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
... diferencias divididas nitas ...
Las DDF son relaciones recursivas
Obtener f [x2
, x1
, x0
] requiere calcular f [x2
, x1
] y f [x1
, x0
]
f [x2
, x1
, x0
] =f [x2
, x1
] f [x1
, x0
]
x
2
x0
En general entonces
f [xm
, xm1, . . . , x1, x0] =f [xm
, xm1, . . . , x1] f [xm1, xm2, . . . , x0]x
m
x0
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Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
... diferencias divididas nitas
y con m datos (x , f (x)) se pueden obtener DDF hasta de orden m
x
i
f (xi
) f [ , ] f [ , , ] f [ , , , ]
x
0
f (x0
) f [x1
, x0
] f [x2
, x1
, x0
] f [x3
, x2
, x1
, x0
]x
1
f (x1
) f [x2
, x1
] f [x3
, x2
, x1
]x
2
f (x2
) f [x3
, x2
]x
3
f (x3
)
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Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Relacin polinomios interpolantes - DDF
Las DDF aparecen en los polinomios interpolantes
b
0
= f (x0
) = f [x0
] ,
b
1
=f (x1
) f (x0
)
x
1
x0
= f [x1
, x0
] ,
b
2
=1
x
2
x0
[f (x2
) f (x1
)
x
2
x1
f (x1) f (x0)x
1
x0
]=f [x2
, x1
] f [x1
, x0
]
x
2
x0
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
... polinomios interpolantes - DDF ...
Luego se extrapola a polinomios de cualquier grado
b
0
= f (x0
)
b
1
= f [x1
, x0
]
b
2
= f [x2
, x1
, x0
]
.
.
.
b
m
= f [xm
, xm1, . . . , x1, x0]
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
... generalizacin de las DDF ...
La formulacin original es
f
m
(x) = b0
+ b1
(x x0
) + b2
(x x0
) (x x1
) + + bm
(x x0
) (x x1
) . . . (x xm1)
Un polinomio interpolante depende de las diferencias diviidas nitas
f
m
= f (x0
)+(x x0
) f [x1
, x0
]+(x x0
) (x x1
) f [x2
, x1
, x0
]+ + (x x0
) (x x1
) . . . (x xm1) f [xm, xm1, . . . , x0]
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
... generalizacin de las DDF
Las DDF se construyen recursivamente
Con m datos (x , f (x)) se pueden obtener DDFs hasta deorden m
x
i
f (xi
) f [ , ] f [ , , ] f [ , , , ]
x
0
f (x0
) f [x1
, x0
] f [x2
, x1
, x0
] f [x3
, x2
, x1
, x0
]x
1
f (x1
) f [x2
, x1
] f [x3
, x2
, x1
]x
2
f (x2
) f [x3
, x2
]x
3
f (x3
)
Una funcin interpolante f
m
requiere m + 1 puntos conocidos
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
El siguiente tema ...
1
Interpolacin lineal y polinomial
2
Interpolacin polinmica
3
Formulacin en diferencias
4
Ejemplos
5
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin con datos igualmente espaciados
La formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Velocidad cada libre
La aceleracin gravitacional es contrarrestada por la resistencia
F = mdv
dt
= mg r
La velocidad depende de la resistencia al avance del objeto
La resistencia depende de la forma y rea
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
... velocidad cada libre
La velocidad depende del tiempo de cada
Datos
t/s 1 3 5 7 13v/ (m/s) 8.00 23.10 30.90 39.40 47.55
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Presin de vapor vs. temperatura
La presin de vapor depende de T
En el laboratorio tambin se puede medir la T de ebullicin a
P ja
Datos
T/C 56.5 113.0 181.0 214.5P/atm 1 5 20 40
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Temas propuestos
Comparar interpolaciones de distinto grado
Interpolar omitiendo algunos puntos
Extrapolar
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin con datos igualmente espaciados
La formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)
El siguiente tema ...
1
Interpolacin lineal y polinomial
2
Interpolacin polinmica
3
Formulacin en diferencias
4
Ejemplos
5
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin con datos igualmente espaciados
La formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)
Javier I. Carrero Interpolacin de Newton-Lagrange
-
Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin con datos igualmente espaciados
La formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)
DDF con separacin uniforme
Si el espacio entre datos es uniforme, es decir
x
i+1 xi = has
x
1
= x0
+ h
x
2
= x0
+ 2h.
.
.
x
m
= x0
+mh
Y las DDF se pueden simplicar
f [x1
, x0
] =f (x1
) f (x0
)
x
1
x0
=f (x1
) f (x0
)
h
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Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin con datos igualmente espaciados
La formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)
... DDF con separacin uniforme
La segunda DDF es entonces
f [x2
, x1
, x0
] =f [x2
, x1
] f [x1
, x0
]
x
2
x0
=f [x2
, x1
] f [x1
, x0
]
2h
=f (x2
) f (x1
)
2h
2
f (x1) f (x0)2h
2
=f (x2
) 2f (x1
) + f (x0
)
2h
2
.
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-
Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin con datos igualmente espaciados
La formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)
La notacin 4 ...
Se dene para f (x)
f (x) = f (x + h) f (x)
luego
f (x0
) = f (x0
+ h) f (x0
)
= f (x1
) f (x0
)
El operador es recursivo
i f (x) = (i1f (x)
)
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin con datos igualmente espaciados
La formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)
... notacin 4 ...
La segunda recursin es
2f (x0
) = (f (x0
)) = (f (x1
) f (x0
))
= f (x1
)f (x0
)
= f (x2
) f (x1
) (f (x1
) f (x0
))
= f (x2
) 2f (x1
) + f (x0
)
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-
Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin con datos igualmente espaciados
La formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)
... notacin 4
Por lo tanto
f [x1
, x0
] =f (x0
)
h
f [x2
, x1
, x0
] =2f (x0
)
2h
2
y en general
f [xm
, xm1, . . . , x1, x0] =
mf (x0
)
m!hm.
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin con datos igualmente espaciados
La formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)
Aplicando los 4
Un polinomio de grado n, generalizado, se escribe as
f
n
(x) = f (x0
)+f (x0
)
h
(x x0
)+2f (x0
)
2!h2(x x0
) (x h x0
) +
3f (x0
)
3!h3(x x0
) (x h x0
) (x 2h x0
) + . . .
+nf (x0
)
n!hn(x x0
) (x h x0
) . . . (x (n 1) h x0
)
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin con datos igualmente espaciados
La formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)
Otra forma de plantear la interpolacin
Considerando la interpolacin lineal,
f (x) = f (x0
) + [f (x1
) f (x0
)]x x0
x
1
x0
Se puede reescribir f (x) = f1
(x) haciendo
f
1
(x) =x x1
x
0
x1
f (x0
) +x x0
x
1
x0
f (x1
)
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Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin con datos igualmente espaciados
La formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)
... otra forma de plantear
Y tambin, si f (x) = f2
(x)
f
2
(x) =(x x1
) (x x2
)
(x0
x1
) (x0
x2
)f (x0
) +
(x x0
) (x x2
)
(x1
x0
) (x1
x2
)f (x1
) +(x x0
) (x x1
)
(x2
x0
) (x2
x1
)f (x2
) .
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-
Interpolacin lineal y polinomial
Interpolacin polinmica
Formulacin en diferencias
Ejemplos
Otras formulaciones polinmicas
Interpolacin con datos igualmente espaciados
La formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)
Los polinomios de Lagrange
En forma generalizada f
n
(x) se reescribe como
f
n
(x) =ni=0
L
i
(x) f (xi
)
donde L
i
es la productoria
L
i
(x) =nj = 0j 6= i
x xj
x
i
xj
Estos son los polinomios de Lagrange
Pero en esencia es el mismo mtodo de interpolacin de
Newton.
Javier I. Carrero Interpolacin de Newton-Lagrange
Interpolacin lineal y polinomialInterpolacin polinmicaFormulacin en diferenciasEjemplosOtras formulaciones polinmicasInterpolacin con datos igualmente espaciadosLa formulacin de Lagrange (de los polinomios de Newton)