s03 ad4001 v2_ss

Sesión 3Sesión 3TLC, TLC,

Intervalos de Confianza y Intervalos de Confianza y pruebas de Hipótesispruebas de Hipótesis

Estadística en las organizaciones AD4001

Dr. Jorge Ramírez Medina

Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School

x

Distribución Normal


Valores Z

Se interpreta como la cantidad de desviaciones Se interpreta como la cantidad de desviaciones estándar que dista xestándar que dista x ii del promedio. del promedio.

sxx

z ii

sxx

z ii


Z-scores

¿cómo comparar peras con manzanas?


Un ejemplo

60 en estadística 60 en ética

Para entender; Grafiquémoslo

• Tipo de datos– Numéricos– Medidas de tendencia central (media)– Medidas de variabilidad (desviación estándar)


Primera idea


Nada es verdad, nada es mentiraTodo es según el cristal en que se mira

(Popular)

Segunda idea


X Xz

SD

Tercera idea


Cuarta idea


Z = (Score - Mean)/SDZ = (60 - 50) / 10Z = 1

Z = (Score - Mean)/SDZ = (84 - 50) / 10Z = 3.4

Z = (60 - 70) / 10Z = -1.0

Z-scores

• Z-score puede ser positivo o negativo– Positivo es arriba de la media– Negativo es abajo de la media

• La media de un Z-score es siempre cero• Si se tiene el promedio, el Z-score =0• La desviación estándar de una distribución Z =1



425 430 430 435 435 435 435 435 440 440440 440 440 445 445 445 445 445 450 450450 450 450 450 450 460 460 460 465 465465 470 470 472 475 475 475 480 480 480480 485 490 490 490 500 500 500 500 510510 515 525 525 525 535 549 550 570 570575 575 580 590 600 600 600 600 615 615

Para el ejemplo de la sesión 1

= .865


Valores z

• z-Score del valor más pequeño (425)

-1.20 -1.11 -1.11 -1.02 -1.02 -1.02 -1.02 -1.02 -0.93 -0.93-0.93 -0.93 -0.93 -0.84 -0.84 -0.84 -0.84 -0.84 -0.75 -0.75-0.75 -0.75 -0.75 -0.75 -0.75 -0.56 -0.56 -0.56 -0.47 -0.47-0.47 -0.38 -0.38 -0.34 -0.29 -0.29 -0.29 -0.20 -0.20 -0.20-0.20 -0.11 -0.01 -0.01 -0.01 0.17 0.17 0.17 0.17 0.350.35 0.44 0.62 0.62 0.62 0.81 1.06 1.08 1.45 1.451.54 1.54 1.63 1.81 1.99 1.99 1.99 1.99 2.27 2.27

Valores estandarizadosValores estandarizados


0z

La letra z es utilizada para designar a la variable normal aleatoria estandarizada.

Distribución de probabilidad Normal

estandarizada

xz

Distribución de probabilidad Normal

estandarizadaFunción de densidad normal

estándar

donde:z = (x – )/ = 3.14159e = 2.71828


2

2

2

1)(

z

exf

2

2

2

1)(

z

exf

Distribución de Distribución de probabilidad Normal probabilidad Normal

estandarizadaestandarizadaFunción de densidad normal

estándar

donde:z = (x – )/ = 3.14159e = 2.71828


2

2

2

1)(

z

exf

2

2

2

1)(

z

exf

Distribución de Distribución de probabilidad Normal probabilidad Normal

estandarizadaestandarizadaEjemplo: “El tuercas”

• Punto de reorden 20 litros

• La demanda durante el tiempo de resurtido esta distribuida normalmente

• Media 15 lts, desv. est. 6 lts

Eltuercas

5w-20Motor Oil


zz = ( = (xx - - )/)/ = (20 - 15)/6= (20 - 15)/6 = .83= .83

Paso 1: Convierta Paso 1: Convierta xx a la distribución normal estándar a la distribución normal estándar

ElTuercas

5w-20Motor Oil

Paso 2: encuentre el área bajo la curva normal Paso 2: encuentre el área bajo la curva normal estandarizada a la izquierda de z = .83.estandarizada a la izquierda de z = .83.

Distribución de Distribución de probabilidad probabilidad

Normal estandarizadaNormal estandarizada


Tabla de probabilidad acumulada para la distribución normal estandarizada

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

. . . . . . . . . . .

.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224

.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549

.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7704 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852

.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133

.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389

. . . . . . . . . . .

P(z < .83)P(z < .83)



ElTuercas

5w-20Motor Oil

http://www.fisterra.com/mbe/investiga/distr_normal/distr_normal.htmDr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School

P(z > .83) = 1 – P(z < .83) P(z > .83) = 1 – P(z < .83) = 1- .7967= 1- .7967

= .2033= .2033

Step 3: Calcule el área bajo la curva normal estandar a la derecha de z = .83.

Probabilidad deProbabilidad de faltantesfaltantes P(x > 20)P(x > 20)

ElTuercas

5w-20Motor Oil




0 .83

Area = .7967Area = 1 - .7967

= .2033

z

ElTuercas

5w-20Motor Oil




Si se desea que la probabilidad de faltantes no sea más de 0.05, cuál deberá ser el punto de reorden?

ElTuercas

5w-20Motor Oil




0

Area = .9500

Area = .0500

zzz.05

ElTuercas

5w-20Motor Oil




Paso 1: encuentre el valor de z que corta un área de .05 en la cola derecha de la distribución normal estándar.

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

. . . . . . . . . . .

1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441

1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545

1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633

1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706

1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767

. . . . . . . . . . .Buscamos el Buscamos el

complemento de el área complemento de el área en la cola (1 - .05 = .95)en la cola (1 - .05 = .95)

ElTuercas

5w-20Motor Oil




paso 2: Convierta z.05 al correspondiente valor de x.

x = + z.05= 15 + 1.645(6) = 24.87 o 25

Un punto de reorden de 25 litros llevará la probabilidad de faltantes durante el reabasto (poco menos de) .05.

ElTuercas

5w-20Motor Oil




Distribución de muestreo de la media

muestral• Es la distribución de probabilidad de

la población de todas las posibles medias muestrales que pueden ser obtenidas de todas las posibles muestras del mismo tamaño.

Dr. Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School

Forma de distribución Forma de distribución muestral demuestral dexx


Si se usa una muestra aleatoria simple grande (n > 30) el teorema del límite central nos permiteconcluir que la distribución de puede seraproximada como una distribución normal.

Cuando la muestra aleatoria simple es pequeña (n < 30), la distribución de muestreo de puede serconsiderada normal sólo si asumimos que lapoblación tiene una distribución normal.

Forma de distribución Forma de distribución muestral demuestral dexx


xx

xx

Una Una estimación del intervaloestimación del intervalo se puede calcular se puede calcular por sumar y restar un por sumar y restar un margen de errormargen de error del estimador del estimador puntual:puntual:

Estimador puntual +/- Margen de Error

Margen de Error y Margen de Error y estimación de intervalosestimación de intervalos

Por ejemplo la forma general de una estimación delPor ejemplo la forma general de una estimación del intervalo para una media poblacional es:intervalo para una media poblacional es:

Margen de Error


xx

Estimación de intervalo Estimación de intervalo de la media de una de la media de una

Población Población : conocidaconocida

El margen de error puede ser calculado con:– La desviación estándar de la población

, o– La desviación estándar de la muestra s

raramente se conoce con exactitud, se pueden obtener estimados de datos históricos.


Para el ejemplo de los autos


/2/2 /2/2


Población : Población : conocidaconocida

x


Distribución de Distribución de Muestreo deMuestreo de

1 - de todos los valoresde x

xz 2/ xz 2/

intervalointervaloincluye incluye

mm

intervalintervaloonono

incluye incluye mm

http://onlinestatbook.com/stat_sim/conf_interval/index.html

• Estimación de intervalo de

donde: es la media muestral 1 - es el coeficiente de confidencia z/2 es el valor z que provee un área de /2 en la cola superior de la distribución

de probabilidad normal estandarizada es la desviación estándar de la población n es el tamaño de la muestra



x


nzx

2/

nzx

2/

• Selección del tamaño de la muestra

en la mayoría de las aplicaciones, un tamaño de en la mayoría de las aplicaciones, un tamaño de muestra de n = 30 es adecuado.muestra de n = 30 es adecuado.

Si la distribución de la población es de un alto sesgoSi la distribución de la población es de un alto sesgo o contiene outliers, se recomienda un tamaño de o contiene outliers, se recomienda un tamaño de muestra de 50 ó más.muestra de 50 ó más.




• Selección del tamaño de la muestra

si la población no está normalmente distribuida perosi la población no está normalmente distribuida pero es simétrica (+/-) un tamaño de muestra pequeño es simétrica (+/-) un tamaño de muestra pequeño de 15 es suficiente.de 15 es suficiente.

Si se cree que la distribución de la población esSi se cree que la distribución de la población es aproximadamente normal, se puede utilizar unaproximadamente normal, se puede utilizar un tamaño de muestra de menos de 15.tamaño de muestra de menos de 15.


Población :Población : conocidaconocida


• Ejemplo: DiscoSuena



n=36U= $31,100S= $4,500Intervalo de confianza del 95%

x


95% de las medias muestrales, están dentro de un + 1.96 de la media poblacional . x x

El margen de error es:



La estimación del intervalo para es: $31,100 + $1,470

o$29,630 to $32,570

470,136

500,496.12/

nz


• Si no se puede tener un estimado de ladesviación estándar de la población se utiliza la desviación estándar s de la muestra para estimar .

• En este caso, la estimación del intervalo para está basada en la distribución t.


Población :Población : desconocidadesconocida


La distribución t es una familia de distribuciones deLa distribución t es una familia de distribuciones de probabilidad similares.probabilidad similares.

Una distribución t específica depende de unUna distribución t específica depende de un parámetro conocido como grados de libertad.parámetro conocido como grados de libertad.

Los grados de libertad se refieren a el número deLos grados de libertad se refieren a el número de piezas independientes de información que se usan piezas independientes de información que se usan en el cálculo de s.en el cálculo de s.

Distribución t


Conforme la distribución t tiene más grados de Conforme la distribución t tiene más grados de libertad, ésta tiene menos dispersión.libertad, ésta tiene menos dispersión.

Conforme se incrementan los grados de libertad, Conforme se incrementan los grados de libertad, la diferencia entre la distribución t y la distribuciónla diferencia entre la distribución t y la distribución de probabilidad normal estandarizada se hace más de probabilidad normal estandarizada se hace más pequeña.pequeña.

Distribución t

William Sealy Gosset William Sealy Gosset


Distribución t

distribución

normalestándar

Distribución Distribución tt

(20 grados(20 gradosde libertad)de libertad)

Distribución t

(10 grados de libertad)

0

z, t


Para más de 100 grados de libertad, el valor de zPara más de 100 grados de libertad, el valor de z normal estandarizado, da una buena aproximaciónnormal estandarizado, da una buena aproximación del valor t.del valor t.

Los valores z normal estandarizados, se pueden Los valores z normal estandarizados, se pueden encontrar en la tabla t, con infinito grados de libertad.encontrar en la tabla t, con infinito grados de libertad.

Distribución t


Degrees Area in Upper Tail

of Freedom .20 .10 .05 .025 .01 .005

. . . . . . .

50 .849 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678

60 .848 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660

80 .846 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639

100 .845 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626

.842 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576

Valores znormal estandarizados

Distribución t


Pruebas de hipótesisPruebas de hipótesis

• Una cola– Cola superior– Cola inferior

conocida desconocida

• Dos colas conocida desconocida


Reject H0

Reject H0

Do Not Reject H0Do Not Reject H0

zz

Hipótesis nula y alternativa

Hypothesis testing can be used to determine whether a statement about the value of a population parameter should or should not be rejected. The null hypothesis, denoted by H0 , is a tentative assumption about a population parameter. The alternative hypothesis, denoted by Ha, is the opposite of what is stated in the null hypothesis. The alternative hypothesis is what the test is attempting to establish.


• Testing Research Hypotheses

Planteamiento de Hipótesis

• The research hypothesis should be expressed as the alternative hypothesis.

• The conclusion that the research hypothesis is true comes from sample data that contradict the null hypothesis.


Errores


Type I and Type II Errors

CorrectDecision

Type II Error

CorrectDecisionType I Error

Reject H0

(Conclude > 12)

Accept H0

(Conclude < 12)

H0 True( < 12)

H0 False( > 12)Conclusion

Population Condition


ErroresErrores

Error Tipo I

Because hypothesis tests are based on sample data, we must allow for the possibility of errors. A Type I error is rejecting H0 when it is true.

The probability of making a Type I error when the null hypothesis is true as an equality is called the level of significance.

Applications of hypothesis testing that only control the Type I error are often called significance tests.


A Type II error is accepting H0 when it is false.

It is difficult to control for the probability of making a Type II error.

Statisticians avoid the risk of making a Type II error by using “do not reject H0” and not “accept H0”.

Error Tipo II


One-tailed(lower-tail)

One-tailed(upper-tail)

Two-tailed

Summary of Forms for Null and Alternative Hypotheses about a

Population Mean The equality part of the hypotheses always appears in the null hypothesis. In general, a hypothesis test about the value of a population mean must take one of the following three forms (where 0 is the hypothesized value of the population mean).


0 0: H 0 0: H

0: aH 0: aH 0 0: H 0 0: H

0: aH 0: aH 0 0: H 0 0: H

0: aH 0: aH

The rejection rule:The rejection rule: Reject Reject HH00 if the if the pp-value -value << ..

Compute the Compute the pp-value-value using the following three steps: using the following three steps:

3. Double the tail area obtained in step 2 to obtain3. Double the tail area obtained in step 2 to obtain the the pp –value. –value.

2. If 2. If zz is in the upper tail ( is in the upper tail (zz > 0), find the area under > 0), find the area under the standard normal curve to the right of the standard normal curve to the right of zz.. If If zz is in the lower tail ( is in the lower tail (zz < 0), find the area under < 0), find the area under the standard normal curve to the left of the standard normal curve to the left of zz..

1. Compute the value of the test statistic 1. Compute the value of the test statistic zz..

p-Value para la prueba de Hipótesis de dos

colas


The critical values will occur in both the lower andThe critical values will occur in both the lower and upper tails of the standard normal curve.upper tails of the standard normal curve.

The rejection rule is:The rejection rule is:

Reject Reject HH00 if if zz << - -zz/2/2 or or zz >> zz/2/2..

Use the standard normal probability Use the standard normal probability distributiondistribution table to find table to find zz/2/2 (the (the zz-value with an area of -value with an area of /2 in/2 in the upper tail of the distribution).the upper tail of the distribution).

p-Value para la prueba de Hipótesis de dos

colas


Step 1. Step 1. Develop the null and alternative hypotheses. Develop the null and alternative hypotheses.

Step 2. Step 2. Specify the level of significance Specify the level of significance ..

Step 3. Step 3. Collect the sample data and compute Collect the sample data and compute the test statistic.the test statistic.

pp-Value Approach-Value Approach

Step 4. Step 4. Use the value of the test statistic to compute theUse the value of the test statistic to compute the pp-value.-value.

Step 5.Step 5. Reject Reject HH00 if if pp-value -value << ..

Pasos de la prueba de Hipótesis


Critical Value ApproachCritical Value Approach

Step 4. Step 4. Use the level of significanceUse the level of significanceto to determine the critical value and the determine the critical value and the rejection rule.rejection rule.

Step 5. Step 5. Use the value of the test statistic and the Use the value of the test statistic and the rejectionrejection

rule to determine whether to reject rule to determine whether to reject HH00..

Pasos de la prueba de Hipótesis


Ejemplo: Pasta de dientes

• Two-Tailed Test About a Population Mean: Two-Tailed Test About a Population Mean: Known Known

oz.

GlowGlow

Quality assurance procedures call forQuality assurance procedures call forthe continuation of the filling process if thethe continuation of the filling process if thesample results are consistent with the assumption thatsample results are consistent with the assumption thatthe mean filling weight for the population of toothpastethe mean filling weight for the population of toothpastetubes is 6 oz.; otherwise the process will be adjusted.tubes is 6 oz.; otherwise the process will be adjusted.

The production line for Glow toothpasteThe production line for Glow toothpasteis designed to fill tubes with a mean weightis designed to fill tubes with a mean weightof 6 oz. Periodically, a sample of 30 tubesof 6 oz. Periodically, a sample of 30 tubeswill be selected in order to check thewill be selected in order to check thefilling process.filling process.


Two-Tailed Test About a Population Mean: Two-Tailed Test About a Population Mean: Known Known

oz.

GlowGlow Perform a hypothesis test, at the .03Perform a hypothesis test, at the .03level of significance, to help determinelevel of significance, to help determinewhether the filling process should continuewhether the filling process should continueoperating or be stopped and corrected.operating or be stopped and corrected.

Assume that a sample of 30 toothpasteAssume that a sample of 30 toothpastetubes provides a sample mean of 6.1 oz.tubes provides a sample mean of 6.1 oz.The population standard deviation is The population standard deviation is believed to be 0.2 oz.believed to be 0.2 oz.

Ejemplo: Pasta de dientes


1. Determine the hypotheses.1. Determine the hypotheses.

2. Specify the level of significance2. Specify the level of significance..

3. Compute the value of the test statistic.3. Compute the value of the test statistic.

= .03= .03

p –Value and Critical Value Approachesp –Value and Critical Value Approaches

GloGloww

HH00: :

HHaa:: 6 6

Prueba de dos colas de µ:

conocida


74.2302.

61.6 nxz/

0

GloGloww

5. Determine whether to reject H5. Determine whether to reject H00..

p –Value Approachp –Value Approach

4. Compute the p –value.4. Compute the p –value.

For For zz = 2.74, cumulative probability = .9969 = 2.74, cumulative probability = .9969

pp–value = 2(1 –value = 2(1 .9969) = .0062 .9969) = .0062

Because Because pp–value = .0062 –value = .0062 << = .03, we reject = .03, we reject HH00..

We are at least 97% confident that the We are at least 97% confident that the mean filling weight of the toothpaste mean filling weight of the toothpaste

tubes is not 6 oz.tubes is not 6 oz.


conocida


GloGloww

/2 = .015

00z/2 = 2.17

zz

/2 = .015

p-Value Approachp-Value Approach

-z/2 = -2.17z = 2.74z = -2.74

1/2p -value= .0031

1/2p -value= .0031


conocida



conocida


Critical Value ApproachCritical Value Approach

GloGloww

5. Determine whether to reject H5. Determine whether to reject H00..

We are at least 97% confident that the We are at least 97% confident that the mean filling weight of the toothpaste mean filling weight of the toothpaste

tubes is not 6 oz.tubes is not 6 oz.

Because 2.47 Because 2.47 >> 2.17, we reject 2.17, we reject HH00..

For For /2 = .03/2 = .015, /2 = .03/2 = .015, zz.015.015 = 2.17 = 2.17

4. Determine the critical value and rejection rule.4. Determine the critical value and rejection rule.

Reject Reject HH00 if if zz << -2.17 or -2.17 or zz >> 2.17 2.17


conocida


/2 = .015

00 2.17

Reject H0Do Not Reject H0Do Not Reject H0

zz

Reject H0

-2.17

GloGloww

Critical Value ApproachCritical Value Approach Samplingdistribution

of

Samplingdistribution

of

/2 = .015

nxz/

0

Prueba de Hipótesis de µ:

desconocida

• Test StatisticTest Statistic


This test statistic has a This test statistic has a tt distribution distribution with with nn - 1 degrees of freedom. - 1 degrees of freedom.

txs n

0/

txs n

0/

Rejection Rule: p -Value ApproachRejection Rule: p -Value Approach

HH00: : Reject Reject HH0 0 if if tt >> tt

Reject Reject HH0 0 if if tt << - -tt

Reject Reject HH0 0 if if tt << - - tt or or tt >> tt

HH00: :

HH00: :

Rejection Rule: Critical Value ApproachRejection Rule: Critical Value Approach

Reject Reject HH0 0 if if p p –value –value <<

Prueba de Hipótesis de µ:

desconocida


Asignación para la siguiente sesión


Fin Sesión Tres

s03 ad4001 v2_ss

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