:s un programa numérico - ipen - instituto de pesquisas

J. E. N. 268Sp ISSN 0081-3397

:Sa Un programa numérico

porJ. Guasp y C. Navarro

JUNTA DE ENERGÍA NUCLEAR

MADRID, 1973

Toda correspondencia en relación con este tra-bajo debe dirigirse al Servicio de Documentación Bi-blioteca y Publicaciones, Junta de Energía Nuclear,Ciudad Universitaria, Madrid-3, ESPAÑA.

Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse aeste mismo Servicio.

Se autoriza la reproducción de los resúmenesanalíticos que aparecen en esta publicación,,

Este trabajo se ha recibido para su impresiónen Junio de 1973.

Deposito legal n° M-20099-1973. I. S.B.N. 84.500-5877-5

-1-

INDICE

1.0.- INTRODUCCIÓN

2.O.- MODELO ÓPTICO

2.1.- Promedios energéticos de las secciones eficaces.

2.2.- Potenciales del Modelo Óptico.

2.3.- Función de ondas.

2.4.- Distribución angular.

2.5.- Secciones eficaces elástica y no elástica.

2.6.- Momentos de Legendre de la distribución angular.

3.0 - RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER

3.1.- Obtención de los elementos de la matriz de colisión

3.2.- Resolución numérica de la ecuación.

4.0.- DESCRIPCIÓN GENERAL DEL PROGRAMA HADES

4.1.- Modos de funcionamiento.

4.2.- Cálculos teóricos.

5.0.- PROGRAMA DE BÚSQUEDA

5.1.- Método de miñimizacion.

5.2.- Limitaciones a la variación de los parámetros.

5.3.- Procesos opcionales de minimización.

5.4.- Criterios de convergencia e índice de error.

6.O.- DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS DE ENTRADA

1.0.- IMPRESIONES DE SALIDA

8.Oí- EJEMPLOS

8.1.- Ejemplo lfl: modo de cálculo.

8.2.- Ejemplo 2a: modo de búsqueda,

9.O.- REFERENCIAS

APÉNDICE I

-3-

1.0.- INTRODUCCIÓN

El conocimiento de las secciones eficaces correspondien

tes a las reacciones nucleares producidas por neutrones es de

sumo interés, tanto para profundizar en la comprensión de la es

tructura nuclear, como en el campo de los reactores nucleares

con el fin de construir las constantes de grupo necesarias para

su cálculo. Estas secciones eficaces deben ser obtenidas, en úl

tima instancia, mediante la experimentación; sin embargo diver

sas razones hacen aconsejable la construcción de modelos nuclea

res que las calculen. En primer lugar, un modelo permitirá, po

siblemente, confirmar o invalidar un esquema teórico explicati

vo. En segundo lugar, los conjuntos de datos experimentales po

seen numerosas lagunas, imprecisiones, ambigüedades e, inclu-

so, contradicciones (YIFTAH, S. y otros; 1960), (WESCOTT, C.H.;

1955), (HUGHES, D.J.; 1958), (SMITH, R.D.; 1966), (SCHMIDT, J.J.;

1970) que hacen necesaria la existencia de un modelo mediante

el cual comprobar, interpolar, extrapolar y, en suma, predecir

datos con cierta plausibilidad. Finalmente, la posesión de un

modelo teórico comprobado, permite el ahorro de gran cantidad

de información, ya que ésta puede ser reproducida mediante la

aplicación de aquel.

El Modelo Óptico es, de todos los modelos para reaccio

nes nucleares, el más utilizado y aunque su justificación teó-

rica es complicada (FESCHBACH, H.; 1958 a_ y b_ y LEMMER, R.H.;

1966, entre otros), su tratamiento fenomenológico es relativa-

mente sencillo. Como se expone en el texto (cf. § 2.1), este mo

délo permite predecir los promedios energéticos de las seccio-

nes eficaces correspondientes a las reacciones producidas por

neutrones rápidos en núcleos intermedios y pesados. Desde la pro_

posición del modelo por Feschbach, Porter y Weisskopf en 1954 se

ha publicado una considerable cantidad de programas numéricosTilque lo utilizan1—' , así como compilaciones de resultados , cf.

[lj Entre todos ellos citaremos: (MELKANOFF, M.A. y otros; 1961),CAUERBACH, E.H. y otros; 1964), (GOLDMAN, D.T. y otros;1965),(SMITH, W.R.; 1969 a_) , (BUCK, B. y otros; 1960), (AMSTER, H.;1957), (BEYSTER, J.R. y otros; 1957), (RAYNAL, J.; 1969),(ALLISON, A.C.; 1972), y (MELKANOFF, M.A. y otros; 1966).

-4-

p.ej. (MANÍ, G.S. y MELKANOFF, M.A.; 1963), (AUERBACH, E.H. y PE_

REY, F.G.J.; 1962), (EMMERICH, W.S.; 1963) y de valores de los

parámetros del modelo para diversas series de núclidos , cf. p.

ej. (HOLMQVIST, B.H.; 1969 a_ y b_) , (AUERBACH, E.H.; 1964), (H0DG_

SON, P.E.; 1967) y (FESCHBACH, H.; 1958 b_) . Sin embargo prevale-

ce la opinión de que cada Centro necesita programas específica-

mente concebidos con arreglo a sus necesidades e instalaciones.

Con este fin se ha desarrollado el presente trabajo.

El Modelo Óptico que, lógicamente, sólo describe un as-

pecto parcial de la realidad, tiene que ser complementado con

otros para obtener resultados más completos (cf. § 2.1). Por es

ta razón el presente programa forma parte integrante de un con-

junto más amplio que, con el propósito general de calcular teó-

ricamente el mayor número de magnitudes de interés en las reac-

ciones nucleares con neutrones rápidos, incluirá, junto a éste,

otros modelos más complicados. Como paso siguiente se ha reali-

[~2~]zado ya un programa numérico1—'que calcula las secciones efica-

ces que tienen lugar tras formación de núcleo compuesto (en par

ticular la sección eficaz elástica compuesta, necesaria para com

pletar el Modelo Óptico). Como próximo objetivo se proyecta la

realización de un modelo de canales acoplados con el fin de cal_

cular las secciones eficaces inelásticas correspondientes a la

excitación de grados colectivos de vibración o rotación del nú-

cleo blanco y en particular, su aplicación a núcleos no esféri-

cos. Así mismo se proyecta otro programa para el cálculo de rea£

ciones directas mediante el método DWBA (aproximación de Born

con ondas distors-ionadas).

En este artículo se presenta en primer lugar una breve

exposición del Modelo Óptico (§§ 2.1 y 2.2), a continuación se

establecen las fórmulas correspondientes a las magnitudes de in

teres (secciones eficaces, momentos de Legendre, etc...) (§§ 2.3,

2.4 y 3) seguidas de una descripción general del programa numé-

rico (§§ 4 y 5), de la explicación de los datos de entrada (§ 6)

e impresiones de salida (§ 7), finalizando con dos ejemplos ilus_

trativos (§ 8).

[2] Se trata del programa AQUELARRE que será objeto de publica_ción inmediata.

-5-

2.O.- MODELO ÓPTICO

2.1.- Promedios energéticos de las secciones eficaces

El Modelo Óptico considera la interacción neutron-nú

cleo reducida a un potencial global con el que el conjunto de

todos los nucleones del núcleo blanco actúa sobre el proyec-

til1—' , y prescinde, por consiguiente, de la descripción de to_

dos los canales de salida salvo del elástico. Dicha aproxima-

ción, al sustituir todos los posibles grados internos de liber_

tad del agregado neutrón-núcleo por un potencial global, es evi_

dente que no podrá dar cuenta exacta del comportamiento de las

secciones eficaces. Puede demostrarse, sin embargo, (FESCHBACH,

H. ; 1958 a_ y b_), (LEMMER, R.H.; 1966) que el modelo describe sa

tÍsfactoriamente los promedios de las secciones eficaces micros_

cópicas, es decir, de magnitudes del tipo

A Eff(Ef ) d E' (2.1)

A E_

siendo A E un intervalo de energías no excesivamente grande aun

que sí lo suficiente para que, en su interior, exista un núme-

ro relativamente elevado de resonancias del sistema neutrón-nú_

cleo. Es decir, un intervalo tal, que se verifique

r , D < á . E < < E (2.2)

donde T y D son, respectivamente, la anchura y espaciamiento me_

dio de las resonancias en esa región energética. Las secciones

eficaces así promediadas presentarán una variación suave con la

energía.

[V] Entre la numerosa bibliografía sobre el tema, mencionare-mos : (FESCHBACH, H. ; 1958 a y b y 1960), (HODGSON, P.E.;1967), (BROWN, G.E.; 1967), (LEMMER, R.H.;1966), (JACKSON,D.; 1970), (JONES, P.B.; 1963), (PRESIÓN, M.A.; 1962),(EMMERICH, W.S.; 1963).

-6-

La condición (2.2) muestra evidentemente que el Modelo

Óptico no será aplicable más que en aquella región de la ener-

gía en que las resonancias no estén muy espaciadas. Así, p. ej.,

mientras que para núcleos ligeros (cf. Tabla I) ésto no ocurre

más que a energías superiores a 1 MeV, en cambio para nüclidos

intermedios y pesados (A K 30), la relación (2.2) y, en conse-

cuencia, la región de aplicabilidad del Modelo Óptico se encuen

tra situada ya por encima de los 100 KeV, pudiéndose elegir un

intervalo A E de unos 10 KeV. Las secciones eficaces dadas para

estos núcleos por el Modelo Óptico tendrán que ser comparadas

con las secciones eficaces microscópicas experimentales prome-

diadas en un intervalo de energías de algunas decenas de KeV.

Estos promedios energéticos se realizarán bien aritméticamente,

utilizando (2.1) a partir de datos experimentales de gran reso

lución, bien directamente limitando, si es necesario, la reso-

lución de los aparatos experimentales a unas decenas de KeV.

TABLA.(a)

Núclido

25Mg

62Ni

lll*Cd

E

1 MeV

100 KeV

100 KeV

D

13 KeV

2 KeV

20 eV

r

2 KeV

100 eV

1 eV

A E

100 KeV

20 KeV

1 KeV

(a) (PRESTON, M.A.; 1962, pp. 529, 555)

El límite superior de aplicabilidad del Modelo Óptico se

encuentra a algunas decenas de MeV. A esa energía las reacciones

directas cobran importancia, exigiendo la aplicación de otros me_

todos (p. ej. DWBA).

En consecuencia, se considera aplicable este modelo a

-7-

las reacciones de neutrones con núcleos intermedios y pesados

(A K 30) en el intervalo de energías cinéticas de 100 KeV a

10 MeV.

En este intervalo de energías (en el cual r/D < 1 ) ,

la sección efi.caz elástica dada por el Modelo Óptico se iden-

tifica (FESCHBACH, H. ; 1958 b_ y HODGSON, P.E.; 1967) con la

sección eficaz- elástica potencial ("shape elastic"), mientras

que la sección eficaz de absorción del modelo corresponde a la

de formación del núcleo compuesto. Por consiguiente, para la

comparación de los resultados teóricos con los experimentales,

debe sustraerse de la sección eficaz elástica experimental (de

bidamente promediada en la energía) la parte elástica que se

produce por intermedio de núcleo compuesto ("compound elastic")

-^ ^ v.J...J....~ "_ ~w - ^ ^wv._u,.1^_^ w ^^.^WU.J.^^^ u ^ ^ u - -1 mediante

algún modelo que describa el proceso de formación y descompo-

sición delnúcleo compuesto (PRESTON, M.A.; 1962, p. 509), (MOL_

DAUER, P.A.; 1963), (AUERBACH, E.H.; y M00RE , S.O.; 1964).

Es decir, en el intervalo de energías en cuestión, se

tiene :

a . = <a > = <a > - <o >el se el ce

0abs en ne ce (.2.3)

rÍ = <aT> = <ael> + <ane:

siendo 0^,0 y a respectivamente las secciones eficaces

elástica, de absorción y total calculadas mediante el modelo

ópt ico.

[Vj El programa AQUELARRE calcula, entre otras, esta magni-tud y será objeto de una publicación inmediata.

<a >, <a >, <a > y < o T> los promedios energéticos de

6 JL Ti S C S X

las secciones eficaces experimentales elástica, no elástica (es

decir la correspondiente a todos los canales de salida salvo el

elástico), elástica compuesta y total, respectivamente.

2.2.- Potenciales del modelo óptico

Con arreglo a lo indicado, la función de ondas ¥ del sis

tema neutrón-núcleo obedecerá, en el Modelo Óptico, a una ecua-

ción de Schroedinger que, después de separar el movimiento del

centro de masas del relativo, adoptará la forma:

w 2

- — A ¥ + V ¥ = E ¥ (2.4-)2m ° p t

m m •

n ' Ndonde m = es la masa reducida del sistema neutron-nucleo

m + m>rn Nm = la masa del neutrónn

m.T = la masa atómica del núclido blancoN

E = es la energía cinética disponible en el sistema del

centro de masas, que está ligada a la del neutrón ET

en el sistema del laboratorio por la relación E =

= ti £Tm + m.T Ln N

V es el potencial global con que, en el modelo, el núo p t —•

cleo blanco actúa sobre el proyectil. Lo consideraremos local pues

puede demostrarse (PEREY, F.G. y BUCK, B.; 1962) que para todo po_

tencial no local existe siempre otro, local, equivalente dependien

te de la energía. Este potencial dependerá de la posición 'relati-

va r y, posiblemente, de algunos otros parámetros globales como p.

ej. el spin s del neutrón, el del núcleo I y posiblemente la ener

gía.

Para núcleos esféricos el potencial V debe poseer si-m / opt

metría de rotación y '—' dependerá de la posición, exclusivamen-

\jQ Como se indicará más adelante, la intensidad de un posibletérmino tensorial (s.r) (i.r) es inapreciable.

-9-

te a través de la distancia mutua r = [r|. En el caso de nú-

cleos no esféricos esto cesa de ser cierto. Sin embargo, sal-

vo en casos extremos, puede todavía considerarse sin gran error

que V posee simetría de rotación'—' .•

En cuanto a la dependencia respecto de los spines, de

todas las formas compatibles con la simetría de rotación (ME-

SSIAH, A.; 1959, p. 472), (FESCHBACH, H.; 1958 b_) , sólo tiene

importancia la del tipo spin-órbita del neutrón, es decir, la

forma:

ij (I . í) Vso M (2.5)

siendo 1 el operador momento angular orbital del neutrón,

s su operador momento angular de spin.

- 2 .El factor K se introduce para que V tenga dimensio

nes de energía.

Las otras formas posibles, dependientes del spin del

núcleo I, como p, ej. las interacciones spin-spin (s . I),

spin-órbita del núcleo (1 . I) o combinaciones más complica-

das (s" . í) CÍ . I), (s . r) (í . r~) (cf. nota [Y]), etc., se

ha comprobado (FESCHBACH, H.; 1958 b_) que, de existir, son de

intensidad mucho menor y que, por tanto, puede prescindirse de

ellas.

Por consiguiente, el potencial óptico podrá expresar-

se como suma de dos términos:

V ^ = V (r) + V (r) (1 . s) —•Opt C SO -ut¿

El primero, independiente de los momentos angulares y,

Qf] Se proyecta un modelo aplicable a núcleos no esféricos.

-10-

por tanto, dependiente solo de r se le denomina "central", el se

gundo, término "spin-órbita" .

Con el fin de que el potencial óptico pueda tener en

cuenta la posibilidad de que los neutrones desaparezcan del ca-

nal elástico para dar lugar a reacciones en los demás canales

abiertos, es necesario que la probabilidad total de presencia

del neutrón, es decir, la norma de la función de ondas ¥ , no se

conserve a lo largo del tiempo y, en consecuencia, que el opera

dor Hamiltoniano del sistema y, por tanto, V . sean.no hermíticosopt

(PRESTON, M.A.; 1962, p. 519); la posibilidad de excitación de

los grados internos de libertad del núcleo, viene así refleja-

da en el modelo por la no hermiticidad del potencial. Por.con-

siguiente se tendrá que permitir tanto a V como a V en (2.6)

el tomar valores complejos. Por ello, adoptaremos para V la

forma

V ,. = -V. f (r) - i W. g (r) + ~

s)TT 1 d - / x . .. I d , NV _ — f (r) + i W g (r)so , so so , s s or dr r dr

(2.7)

donde f (r), g (r), f (r), g (r) son factores de forma realesC C SO SO

y sin dimensiones.

( ) = 2 x 10 cm es el cuadrado de la longitud dem c

onda de Compton del mesón jr_ que, tradicionalmente , se separa demodo explícito; de esta manera V , W , V y W tienen dimensio-^ ' c ' c' so J sones de energía.

Dado que el potencial (2.7) es originado por los nucleo-

nes del núcleo, es de esperar que en su dependencia con r, se ase_

meje de alguna manera a la densidad nuclear, esperándose, en prin_

cipio, que aquel sea más intenso cuanto más alta sea ésta. Se acos

tumbra a adoptar diversos factores de forma para cada término del

potencial (FESHBACH, H.; 1958 b_) , (HODGSON, P.E.; 1967), los más

frecuentes son:

FACTORES DE FORMA R = 5 f , d = 0,5 f

WOODS-SAXON

Iun

10'

0.5-

00

n n— — - O "

- WOODS-SAXON DERIVATIVO

- GAUSSIANO

T9

r ( f )

FIG.-1

-11-

a) Término central real.

Este término, que habitualmente es el predominante, si

gue en esencia las características de la densidad nuclear. Es

muy utilizada la forma

f (r) =c - r - Rr

1 + e dc

con

R = r A 1 / 3 + a (2.8)c e c

que es análoga a la densidad nuclear (PRESTON, M.A.; 1962, p.

41) (A es el número másico del núcleo blanco).

La forma (2.8) conocida con el nombre de "Woods-Saxon",

toma un valor muy próximo a la unidad en el origen, decrece sua

vemente hasta alcanzar en el punto r = R - 2,2 d (véase fig.c e

1) el valor 0,9, a partir de ahí desciende bruscamente pasando

por el valor 0,5 en r = R hasta alcanzar 0,1 en r = R + 2,2 d

desde donde disminuye de un modo aproximadamente exponencial._ 3

Más allá de r = R + 7 d (en donde toma el valor 0,91 x 10 )c c

puede considerarse prácticamente nula.

Con ello el potencial central real, depende de cuatro

parámetros: intensidad V , los dos parámetros radiales r y a ,

y el denominado "difusividad", d .k ) Término imaginario central.

Contribuye a la desaparición de los neutrones del canal

elástico, es decir sintetiza, como ya se ha dicho, el efecto de

los posibles grados internos de libertad del sistema compuesto.

Se acostumbran a adoptar diversos tipos:

i) Absorción de volumen tipo Woods-Saxon

TTTT-I

-12-

R = r AV V

1 / 3 (2.9)

aquí el término de absorción se hace, simplemente, análogo a

la densidad nuclear.

ii) Absorción superficial

Existe evidencia de que, a energías no muy altas , la

absorción está concentrada, preferentemente en la superficie

del núcleo (FESCHBACH, H. ; 1958 b_) . Ello se debe a que los efe£

tos inhibidores del principio de exclusión de Pauli, limitan-

do el número de estados accesibles, son de mayor importancia

en el interior del núcleo que en su "superficie" donde la den

sidad de nucleones es menor (LEMMER, R.H.; 1959). Este efecto

es tanto más notable cuanto menor es la energía cinética del

proyectil, dado que se ocupan preferentemente los estados de

energía inferior. Por tanto, es de esperar que en el dominio

de energías en cuestión, el término imaginario central sea una

combinación de absorción superficial y de volumen con fuerte

predominio de la primera.

Se acostumbra a adoptar para la absorción superficial

formas bien del tipo llamado Woods-Saxon derivativo

g (r) =

r-Re

1 + e d

3 r

-2

1 + e d,

-1

(2.10)

con

R = r A1 / 3 + as s s

bien del tipo "gaussiano"

g (r) = es

(2.11)

La forma Woods-Saxon derivativa sólo toma valores as;

ciables en el intervalo

-13-

R < r < R + 8 ,4 d

en el cual pasa del valor unidad en r = R (cf. fig. 1) a 0,90_3 s

x 10 en los extremos. Análogamente la forma gaussiana (2.11)

puede considerarse nula fuera del intervalo

R - 2,7 d < r < R + 2,7 ds s — — s ' s

_ 3en .los extremos del cual toma el valor 0,67 x 10 y está norma

lizada a la unidad en r = R .s

c) Términos spin-órbita.

Son, según (2.5), de la forma

m cTT

, d f (r)

V i SJ2 +so ,r dr

so dr(2.12)

Estos términos están preferentemente concentrados en la

superficie del núcleo, de ahí que f acostumbre a tomarse del

tipo Woods-Saxon (2.8). Con lo cual la parte real del término de

interacción spin-órbita queda de la forma

siendo

~ (—)2 CÍJa m c

d fH(r) = i

r dr

s) V H(r)so

r-Rso

de sor d

so

r-R -,so

1 + e so

-2

(2.13)

R = r A 1 / 3 + aso so so

y expresiones análogas para la parte imaginaria.

La forma anterior denominada de Fermi-Thomas, posee

una analogía teórica con la interacción spin-órbita de los elec

trones en el átomo (MESSIAH, A.; 1959, p. 471). Se acostumbra

- 1 4 -

t o m a r f ( r ) i d é n t i c a a f ( r ) , e s d e c i r r = r , a = a ,so c ' s o c ' s o c

d = d .so c

Se ha demostrado (FERNBACH, S. y otros; 1955) que al

menos a muy alta energía, esa igualdad es consecuencia de la

interacción nucleón-nucleón.

El término imaginario spin-órbita, que puede dar lu-

gar (JACKSON, D.; 1970, p. 124) a dificultades teóricas, se

considera siempre nulo a estas energías, lo cual está de acuer

do con la experiencia.

Tenemos pues, en principio, _1_6_ parámetros para los po

tenciales: las cuatro intensidades correspondientes a los tér

minos central real, imaginario de volumen, de superficie y

spín-órbita (sólo su parte real) y los dos parámetros radia-

les y difusividades de cada uno de los cuatro términos cita-

dos .

2.3.- Función de ondas

En la ecuación de Schroedinger (2.4) para la función de

ondas que describe el movimiento, relativo del sistema neutrón-

-núcleo

w2

- - 2 — A ¥ + V ^ (r, s) ¥ = E <? (2.13)2 m ° p t

el potencial V depende, cf. (2.6), solamente de la distancia

r y del operador de spin s del neutrón a través del operador

(1 , s) , Si ] = 1 t s es el operador momento angular total del

neutrón, se tiene evidentemente la igualdad entre operadores

(1 . s) = - (í2 - 1¿ - s¿) (2.14)2

siendo ] el operador 3 . 3 , etc.

En consecuencia V conmuta con los operadores i , 1 ,+ 2

o p i-s y 3 (operador componente z de ]), es decir, los valores propios de esos operadores serán buenos números cuánticos.

-15-

Se puede entonces intentar un desarrollo de la función

de ondas Y en serie de un conjunto completo de funciones pro-

pias comunes a los cuatro operadores citados (GOLDMAN, D.T.;

1967), estas funciones propias comunes, son las ¡V ., dadas por1 ls

(BLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.; 1952, p. 790), (MESSIAH, A.; 1959,

p. 481)

+1 +1/2

*j 1 1/2 = J_1 \/2 Cl 1/2 (j' m ; "'• P ) '

• Yl (6' *} Xí/2 ' (2.15)

en donde Y. son los armónicos esféricos (MESSIAH, A.; 1959, p.

4-20) .

->•6 y cj> los ángulos polares del radio vector r

X-i/o el spinor de dos. componentes que representa la

parte spinorial de la función de ondas ¥ del neu

trón cuando éste•tiene . proyección del spin a lo

largo del eje z igual a y

C. Cj , m; m' , y) son los coeficientes de adición vec_

torial de Clebsch-Gordan (BLATT, J.M. y WEISS-

KOPF, V.F. ; 1952 , p. 789)

Se tiene, evidentemente

jl 1/2

(2-*-2s

• * 2 y"

1

1

/ 2 ~

/2 =

2

2

2

j

2

( j

+

+

1

1 ) ¡

v»mi

i

/ 2

/ 2

Jz vjl 1/2 " * '" ̂ j 1 1/2

con las limitaciones habituales

- -I i 3 1 1 + -

-16-

Con esto, se puede establecer el desarrollo:

1+1/2 +j um. (r)

n 1 / 2

1=0 j= ¡1-1/2| m=-j ' r D l 1 / 2

Puesto que al actuar el operador Cl . s) sobre las fun

ciones de base ̂ se tiene, cf. (2.14)

(í • ̂ ^ l 1/2 -f [resulta, sustituyendo en (2.13), la ecuación para u..(r)

4u tD + .2 m dr i 3 2 m r

+ V1.(r) u^.Cr) = E uj.(r) (2.18)

en donde V .(r) toma el valor

V..(r) = V (r) + - |j(j + 1) - 1(1 + 1) - 3/4. ,13 c 2 l_ J so

tfl

que es independiente del número cuántico magnético m y por con

siguiente la ecuación (2.18) adopta la misma forma para todos

los valores de in correspondientes al mismo par j, 1.

Puesto que T debe estar acotada en el origen, se debe

cumplir, cf. (2.17)

u^.(0) = 0 (2.19)

Se tendrán que encontrar, por tanto, las soluciones de

la ecuación (2.18) acotadas, continuas y con derivadas conti-

nuas (MESSIAH, A.; 1959, p. 61) que cumplan simultáneamente

C2.19), es decir, las soluciones regulares en el origen de•

(2.18). Como esta ecuación es lineal y homogénea, E (energía

disponible en el centro de masas) positiva y los potenciales

se anulan en el infinito, dicha solución existe y es única

(MESSIAH, A.; 1959, p. 88.) salvo un factor constante arbitra-

rio; es decir, dados j y 1_, las soluciones correspondientes a

los distintos valores de m sólo difieren en un factor constan

-17-

te .

Asimismo al ser E > 0 y V ^ decrecer asintóticamente1 o p t

con mayor rapidez que — (no hay interacción coulombiana para

los neutrones) el comportamiento asintótico de la solución a

(2.18) será de la forma (MESSIAH, A.; 1959, p. 299)

111 -itkr - kr -(2.20)

donde

k = 2 m E (2.21)

es el número de ondas.

A,. y S . son constantes, siendo esta última, según lo

indicado anteriormente, independiente de m.

La contribución a la función de ondas total del primer

sumando de (2.20) representa una onda esférica entrante de am-

plitud A ., la del segundo sumando representa una onda esféri-

ca emergente de amplitud proporcional a la de la incidente, la

relación entre la segunda amplitud y la primera es S . . Consi-

derado para todos los valores de 1 y j, este conjunto de cons-

tantes, constituyen los elementos de la matriz de colisión (se

trata en realidad de sus elementos diagonales pues, en este ca

so, hay conservación de j , 1 y se describe sólo el canal de

entrada) (COSTA, G.; 1964). Estas constantes son comple j as *• J y,

como veremos a continuación, determinan completamente las sec-

ciones eficaces y distribuciones angulares de la reacción.

Por tanto, se va a tratar de resolver la ecuación (2.18)

con la condición (2.19) y de la forma- asintótica de esa solu-

ción se determinará S ..

[j7j Están ligadas a los defasajes 5 . por la relación

2i

-18-

2.4,- Distribución angular

Para que la solución ¥ de la ecuación (2.13) correspon

da a la función de ondas de un proceso de colisión neutrón-nú-

cleo, su forma asintótica ha de representar al haz incidente

(onda plana) y a los neutrones dispersados (onda esférica emer

gente)5es decir (GOLDMAN, D.T.; 1967) (COSTA, G.; 1964-):

ikr

* ̂ 6 *!/2 + I ̂ ~ fpv C S> •> H/2 (2'22)

El primer término corresponde a la onda plana (la di-

rección del haz incidente se ha tomado paralela al eje z) y se

ha supuesto que en el haz incidente la proyección del spin del

neutrón sobre el eje z es y_.

El segundo término es la onda dispersada y se ha permi

tido la posibilidad de que la dirección del spin del neutrón

cambie en el proceso de colisión.

f (6, $) representa, por tanto, la amplitud de disper

sión cuando la proyección del spin del neutrón pasa del valor

JJ al v.

8]

Calculando la corriente'—'transportada por el término

emergente y dividiendo por la correspondiente al incidente es

inmediato comprobar (MESSIAH, A.; 1959, p. 315) que la sección

eficaz microscópica diferencial de difusión en la dirección ti

(cuyos ángulos polares son 8, <{>) , cuando la proyección del spin

del neutrón pasa del valor u al v, es

a ÍQ) = |f ( 0, <|>) I2 C2.23)\iV ' UV '

(prescindiremos en adelante del superíndice 0 pues queda sobre

entendido que las secciones eficaces a que aquí nos referire-

mos son las calculadas mediante el Modelo Óptico).

|~S~i El vector corriente viene definido (MESSIAH, A,; 1959, p.

102) por

J - M. Tj¡ / w - ;u S \

-19-

Puesto que en los reactores nucleares ni los haces de

neutrones ni los núcleos están polarizados no interesan, en es

te caso, las direcciones iniciales ni finales de los spines; por

tanto, se empleará la sección eficaz para haces no polarizados

que se obtiene de (2.23) (BLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.F.; 1952,

p. 4-23) sumando sobre todos los estados de spin finales y pro-

mediando para todos los iniciales, es decir,

a(ü) = i f C 9 , <j,) (2.24)2 y ,v

donde y y v toman los valores +1/2 y - 1/2.

Para calcular f (6, <j> ) en función de S . se hace uso

de la expresión asintótica (.2.20)

uT.(r)i

ll21 i

-i(kr-l7r/2)

iCkr-lir/2)mjl 1/2

( 2 . 2 5 )

que debe coincidir con la otra expresión asintótica (2.22).

De las relaciones (BLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.F.; 1952,

p.p. 320 y 791)

i k zI i 1 AirC21

k rY ? C 6 , ( 2 . 2 6 )

.l 1/2 1/2

resulta identificando los términos proporcionales a e

(2.25) y (2.22)en

J-] 2 i kx l/¿ j,B. o. „) (2.28)

con lo cual identificando ahora los términos en e se obtie

ne

- 2 0 -

y V y A T T ( 2 1¿ luí 'M / 9 ¿y

. C x 1/2 C j , m ; O, y > y n 1 /2

que en virtud de (2.15) y dado que los spinores x1 /n s o n lineal^

mente independientes, conduce a

PV 2 i k LH JC l 1/2

' Cl 1/2 ( :' m' ™ ' V ) Yl

Teniendo en cuenta las propiedades de los coeficientes

de Clebsch-Gordan referentes a los números cuánticos magnéticos

(BLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.F.; 1952; p. 790), resulta finalmen_

te

1/2

. C n , . o ( j 9 y ; y - v , v ) Yt : " ( e 5 ( í > ) (2.29)

1 1/2 1

A partir de esta expresión, sustituyendo los valores explí

citos para los coeficientes de Clebsch-Gordan (BLATT, J.M. y WEIS£

KOPF, V.F.; 1952, p. 792), es fácil comprobar que

fl/2, 1/2 = f-l/2, -1/2 = ¿ -i-" {1(1 - S ) +1 2 k x»--!/-

9) (2.30)

s iendo

P.. (eos 0) = -i— YÍ? Ce,1 Í7 X

el polinomio de Legendre de orden 1_

-21-

y

•2* r2 (2.32)

en donde

I - xdx

es un polinomio asociado de Legendre (MESSIAH, A.; 1959, pp.

4-19, 421) ligado a los armónicos esféricos por la relación

21 + 11/2

1

21 + 1

1/2

Poicos 6)

Con todo ello resulta finalmente, cf. (2.24-)

a(fl) = 1/2, 1/2 1/2 ,-1/2 (2=33)

Las relaciones (2.30) - (2.33) permiten obtener la se£

ción eficaz diferencial para haces no polarizados en función

de los elementos S . de la matriz de colisión.

2.5.- Secciones eficaces elástica y no elástica

La sección eficaz elástica total será, cf. (2.24-)

ela(fi) d Í2 = - I

2 u v Jf (9 , (|O I dfi (2.34)

4TT

Teniendo en cuenta (2.29) y utilizando las propiedades

de unitariedad de los coeficientes de Clebsch-Gordan (BLATT, J.M.

y WEISSKOPF, V.F.; 1952, p. 791) (PRESTON, M.A.; 1962, p. 605)

v p1 / 2 Cj, y; p, v) C1 1 / 2 (j 1, y'; p, v) =

(2.35)

y que (BLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.F.; 1952, p. 792)

- 2 2 -

2 j

( 2 . 3 6 )

queda finalmente

el 2 K * -1 jC2j

1 ](2.37)

Para obtener la sección eficaz de absorción, habrá que

calcular el flujo neto transportado por la función de ondas to

tal a través de una superficie esférica de radio muy grande (flu_

jo que es no nulo a causa de la no hermiticidad del potencial).

La función de ondas total tiene por expresión asintótica, segün

(2.25)

. Ij 1 m

4 1 j -i(k r - lir/2)

" S l j 6

i(kr - 1 TT/2) m] 1 1/2

y teniendo en cuenta (2.15) y (2.28) resulta

V . 1 + 1 / T T ( 2 1 + 1 ) - i ( k r - 1 T T / 2 )

j 1 V k r

r - (j, y; 0, y) .

X 1/2 í V )

= M. Imm

La corriente neta a través de la esfera mencionada vale

neta- Im ff V

Í4TT

M-7T

8 r

d fl

Dividiendo por el flujo incidente , en virtud de las

propiedades de ortogonalidad de los armónicos esféricos y de los

spinores X 1 / o y teniendo en cuenta (2.35) y (2.36), resulta fi-

-23-

nalmente

C2j + 1) (1 - |S.. 2) (2.38)abs 2R2 ^ .

con lo cual para la sección eficaz total queda:

~2 1. (2^ + D 2 Re

(2.39)

O

Al factor T,. = 1 - IS,.I se le denomina coeficiente

de transmisión y da idea de la contribución de cada onda parcial

a la sección eficaz de absorción. Como ya se ha indicado (§ 2.1),

esta sección eficaz de absorción del modelo debe compararse con

la sección efic-az de formación del núcleo compuesto, es decir,

con el resultado obtenido añadiendo a la sección eficaz experi-

mental no elástica la elástica compuesta, promediadas ambas en

energía.

2,6=- Momentos de Legendre de la distribución angular

Como se observará de (2.30) y (2.32), la sección eficaz

(2.33) es independiente del ángulo <j> y podrá, por tanto, desarro_

liarse en polinomios de Legendre en la forma

00

a(fi) = I BT Pr (eos 6) (2.40)L=0 L L

A los coeficientes B se los denomina momentos de Legen-

dre y poseen gran interés. Así p. ej. B está ligado a la sección

eficaz elástica pues, en virtud de las propiedades de ortogonali-

dad de los polinomios de Legendre (MESSIAH, A.; 1959, p. 419)

í

P(x) P. , (x) d x = 67 , (2.41)

1 X 21 + 1 X 1

y ser P (x) = 1

resulta evidentemente que

eld ÍJ = 2 ir I B

L4,

PLCx) P0(x) d x =

-1

-24-

= 4 TT B, (2.1+2 )

En cambio, B está ligado al coseno medio del ángulo de

dispersión en el sistema del centro de ma s a s , coseno que se defi

ne mediante la expresión

o(fi) eos 8 d ü

- J

y =cr(fi) d fi

2iT

4 7T B0

1L

4ir

+ 1

-1

PT(x) P,(x) dx

(2.43)

en donde se ha tenido en cuenta (2.42) y que P (x) = x.

Es, por tanto, conveniente disponer de una expresión ex-

plícita para las B , que se obtendrá comparando (2.40) con (2.29)

y (2.24). Para ello conviene tener en cuenta la propiedad de adi

ción de los armónicos esféricos (BLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.F.;

1952, p. 793)

1+1

L=0 M

(21+1) (21'+1)

_ 4TT C2L + 1 )^ lt (L,0; 0,0)

. C1 x, (L, M; m, m' ) Y"(ÍÍ)

Resulta así, tras un laborioso cálculo (BLATT, J.M. y.

BIEDENHARN, L.C.; 1952], (GOLDMAN, D.T.; 1967), (SATCHLER, G.R.j

1955 )

8k(1 j l'j'; 1/2 L)

11

. Rl --,-.)" (2.44)

donde Z.es el coeficiente de Biedenharn (BIEDENHARN, L.C. y otros;

1952) que tiene por expresión

-25-

z (i j i' i' ; s D = (21 + 1) (21' + 1) (2j +

1/2+ 1) (2jf + 1) . W(l j 1' j•; s L) C (L, 0; 0 ,0) (2.45)

'11

siendo a su vez W el coeficiente de Racah (PRESTON, M.A.; 1962,

p. 608), en particular, se tiene CFORD, K. y LEVINSON, C.;1955)

Z(l j 1' j'; 1/2 L) = (2j + 1) (2j> + 1

C. . , (L, 0; +1/2 , -1/2) si ( 1 + 1 ' + L) es par

= 0 si ( 1 + 1 ' + L) es impar

(2.46)

-27-

3.O.- RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHROEDINGER

3.1.- Obtención de los elementos de la matriz de colisión

Como se mencionó en §2.3, las constantes S . deben ob

tenerse calculando la s.olución, regular en el origen, de la ecua

ción C2.18) y comparando su expresión asintótica con (2.20), es

decir, con:

m r , .m I -iCk r - 1 ir/2)u . Crl 2i A . ' -

giCk r - 1 „,.,, ( 3 j l )

Puesto que, a partir de cierta distancia b_, V es prác_

ticamente nulo Ccf. Í2.2], podremos considerar, con gran aproxi-

mación, que la ecuación a que obedece u . en esa región es

es decir

siendo

W2 ,2a d r

2m dr'

d2 m,2 ljdz

m? ui •

1C

+ —

1 +2

Cl

2

+

m

i

1)2

r

n

K

E mUlj

. = E . (r y b ) ( 8 p 2 )

Cz > k b). (3.3)

k = /2 m E / K y z = k r (3.4)

La ecuación (3.3) posee solución analítica conocida

CBLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.F.; 1952, p. 239), (PRESTON, M.A.;

1962, p. 625), que consiste en cualquier combinación lineal de

de las funciones

F1(z) = z J

G(z) = z n.C z)

(3.5)

donde ]"(z) y r^íz) son, respectivamente las funciones de Bessel

y de Meumann esféricas (MESSIAH, A.; 1959, p. 415).

-28-

La solución F. es regular en el origen, la G irregular.

Sus propiedades más importantes son: CBLATT , J.M. y WEISS

KOPF, V.F.; 1952, p. 329), CABRAMOVITZ, M.; 1968, p. 437), (PRES-

TON, M.A.; 1962, p. 625).

Ia Expresiones asintóticas

C3.6)

F (z ) ^L s e n Cz - 1 TT/2 )

G Cz) <v eos Cz - 1 TT/2 )1

2° Propiedad del Wronskiano

dF dGG . . Fx = 1 C3.7)

dz dz

32 Relaciones de recurrencia

F i C z ) " Fi-i C z } C 3' 8 )

d F 1 ( Z )

~dz

con relaciones idénticas para G .

Las funciones de orden inferior

F (z) = sen z , G0^

z^ = c o s z

„ f •. sen z n f \ eos z

F.Cz) = - cos z , G.(z) = + sen z

(3.10)

Por tanto se tendrá que la solución a la ecuación (3.2)

será de la forma

u l j C r ) = Mlj F 1 C R r l + Ml" G l C k r ) Cr > b ) (3.11)

y teniendo en cuenta los desarrollos asintóticos (3.6), comparan-

do con (3.1) se oñtiene

-29-

m 1 .m . ,.m+ M

..m . ..mN. . - i M.

J j l

(3.12)

N. . + i M1 1]

Para la región "interna" r < b, V no puede conside-opt

rarse nulo, la solución a la ecuación de Schroedinger ha de ob_

tenerse, en general, numéricamente (cf. § 3.2) y los coeficien_

tes M y N de (3.11) se calcularán estaBleciendo la continuidad

de la función u y de su derivada en el punto r = b ó, lo que es

equivalente, de la derivada logarítmica.

Sea por tanto

m rx_ ,u l j C b ]

md u^Cr)

dr(3,13)

r=b

la derivada logarítmica obtenida de la solución numérica corres^

pondiente a la ecuación (2.18) en la zona interna (r < b ) , d.. .

es independiente de in pues, como se ha indicado y a , § 2.3, la so

lución regular es independiente de m salvo un factor constante

que no afecta a la derivada logarítmica.

Resulta entonces de la continuidad de la derivada loga-

rítmica en r = b que

. .

lj F l C z ) + N l z = kb

con

Fj_Cz) =d F1(z)

dz

De aquí puede calcularse la relación M../N . y con ella,

a través de (3.12) las constantes S ., obteniéndose finalmente

(3.14)

siendo (BLATT, J.M. y WEISSKOPF, V.F.; 1952, p. 332)

- 3 0 -

; = kb ( 3 . 1 5 )

= k b ( 3 .1 6 )

1 í'l + '( 3 . 1 7 )

; = Rb

51 =G, - i F.

G, + i F.(3 .18 )

= kb

Por consiguiente, bastará conocer la derivada logarítmi-

ca ¿L . en el punto r = b para, mediante (3. 14-), (2.44) y (2.40)

obtener las distribuciones angulares y las secciones eficaces.

3.2.- Resolución numérica de la ecuación

En la zona interna, la ecuación de Schroedinger se con-

vierte en

2 2U á m / x

2 U Ü ^ +

2m dr

+ i )

2 m r"• + V l j C r )

mE „ - ( r ) (r < b) (3.19)

Es de c i r

m", .u l j C r )

m= ü Cr] u - ..

C 3 . 2 0 )

s iendo

- V f ( r ) - i V g ( r ) +ce ce

X 2 1 d f s o ( r l r+ v {-£-)¿ ± 12 RCj + i ) - i Ci + i )so , •—me r d r- 3A]|

( 3 . 2 1 )

La ecuación (3.20) ha de ser resuelta numéricamente en

-31-

el intervalo 0 < r < h con la condición

= o (3.22)

En el programa HADES, se ha seguido el método de Nume-

rov modificado por Raynal CRAYNAL, J.; 1971 ] , CMELKANOFF, M.A.

y otros; 1966). Para ello se divide el segmento (0, b) en inter

valos de anchura h y se hace uso de la relación CHILDEBRAND, F.

B. ; 1956 , p. 223)

uCr - h) - 2 u O ) + uCr + h) =

u"Cr - h) + 10 u"Cr) + u"Cr + h)12

h6 VI. ,u (r)

240(3.23)

(en adelante los índices, j, 1 y m quedan sobreentendidos).

Si ahora consideramos la magnitud:

2 2wCr) = uCr) - — u"Cr) = Cl - — UCr) ) u(r) (3.24)

12

se tiene en virtud de (3.23)

12

wCr + h) = 2 - w(r - h) + vCr)

uVI(r)240

s iendo

v(r) =

- L_ u(r)12

con lo cual

wCr)

(3.25)

u(r) = wCr) = wCr) +

UCr)

vCr)

12

12

C3.26)

El método de Numerov modificado, consiste en aproximar

-32-

las relaciones (3.25) por las

w(r + h) = 2 w(r) - w(r - íi) + v(r) (3.27)

v(r) = h U(r).2

1 + £_ u(r) wCr) (3.28)_ 12

y utilizar

u(r) = w(r) + — vCr) (3.29)12

Puesto que V . y u . son funciones complejas, la ecua-

ción (3.20) es en realidad un sistema de dos ecuaciones diferen

ciales acopladas para la parte real e imaginaria de u. En este

caso, el método de Numerov modificado aquí descrito, es más rá

pido que el ordinario (RAYNAL, J.; 1971).

Por tanto, la solución numérica de C3.19) se obtiene de

la ley de recurrencia (3.27), C3.28) y (3.29) y bastará conocer

el valor de la función de ondas en los dos primeros puntos del

intervalo. Para el primer punto, en virtud de (3.22) se tiene

u(0) = 0, es decir

w(0) = 0 (3.30)

Para el segundo punto, dado que la solución está defini_

da unívocamente salvo un factor constante (cf. § 2.3) que no afee

ta a la derivada logarítmica, se podrá tomar para la función de

ondas en ese punto y, por tanto para w, un valor arbitrario e

w(h) = e (3.31)

en el programa HADES, se ha tomado

e = (1 + i) . 10"6

Con estos valores de partida (3.30), (3.31), el proceso

de recurrencia (3.27), (3.28) y (3.29), puede proseguirse hasta

r = b t 2 h.

Para el cálculo de la derivada logarítmica (3.13) en r =

-33-

= b, se emplea la formula de derivación en 5 puntos (ABRÁMO-

VITZ, M.A.; 1968, p. 914)

u'(b) «v — — |uCb - 2 h) - 8 uCb - h) +12 h

u(b + h) - uCb + 2 h)

Todos los cálculos se realizan, en el programa HADES5

en doble precisión, separando previamente partes reales e ima

ginarias.

-35-

4.O.- DESCRIPCIÓN GENERAL DEL PROGRAMA HADES

El programa HADES calcula, mediante un modelo óptico

local, las secciones eficaces microscópicas elástica potencial

("shape elastic"), no elástica (en rigor la de formación del nú

cleo compuesto), las distribuciones angulares (referidas al cen

tro de masas) y sus momentos de Legendre para reacciones produ-

cida por neutrones rápidos (100 KeV - 10 MeV) en núcleos inter-

medios y pesados (A > 30).

i+ . 1 . - "Modos" de funcionamiento

El programa puede funcionar en dos "modos" alternati-

vos .

a) En "modo" de cálculo (NSCH = 0 en tarjeta 10 cf.

§ 6.0) el programa computa los resultados teóricos para los po_

tenciales suministrados como datos de entrada. Estos cálculos

pueden ser efectuados para toda una serie de masas atómicas y

de energías distribuidas uniformemente en un cierto intervalo.

Los parámetros del potencial son los mismos para todos los nú_

clidos , pero se permite la variación de las intensidades con

la energía; esta dependencia se considera descrita por una cú-

bica:

Intensidad = VO . CUO + Ul . E t U2' . E2 +

+ U3 . E3) C+.l)

siendo: E la energía cinética disponible en el centro de ma-

sas

V0 el parámetro correspondiente a la intensidad del

potencial en los datos de entrada

U0 - U3 los coeficientes de la cúbica que han de pro-

porcionarse al programa.

Cuando el programa funciona en este "modo", la distri-

bución angular se calcula para ángulos (o cosenos del ángulo)

equidistantes. Sin embargo, esta limitación, y así mismo la co_

rrespondiente a distribución uniforme de masas atómicas y ener

-36-

gías, puede paliarse utilizando el "modo" de büsqueda.

b) "Modo" de búsqueda

En este caso (NSCH = 1 en tarjeta 10, cf. § 6.0) se pe£

mite la variación automática de los parámetros del potencial con

el fin de obtener aquellos valores que produzcan la mayor concor

dancia entre los cálculos teóricos y datos experimentales previa

mente suministrados.

El número de parámetros del potencial que pueden ser aju_s_

tados es, como máximo, de _1_6_, cada uno de ellos tiene asignado un

índice de identificación que corresponde al orden de colocación

en la siguiente matriz (contada por filas)

V W W VC V S SO

r r r rc v s so

d d d dC V S S O

a a a ac v s so

Cada columna corresponde a un término del potencial, es

decir, (de izquierda a derecha): central real, imaginario de vo-

lumen, imaginario de superficie y spin-órbita. Cada fila a una1/3

magnitud del potencial: Intensidad, coeficiente de A en la ex_

presión del radio cf. (2.8), difusividad y término radial inde-

pendiente .

El ajuste de los parámetros es realizado por el programa

RIFT que será descrito en § 5. Este programa parte de los valores

proporcionados a la entrada y permite la posibilidad de mantener

a todo lo largo de la búsqueda varios' parámetros iguales entre si

Por ejemplo, es muy frecuente tomar r = r v d = d , e s de-J r ' J so c J so c'

cir el parámetro na 8 igual al nfl 5 y el 12° al 9fl (se dirá enton

ees, para abreviar,que entre esos parámetros existe una "correla-

ción").

Como ya se ha indicado, el ajuste de parámetros se real_i_

-37-

za comparando los cálculos teóricos con datos experimentales que

hay que proporcionar al programa, estos datos pueden consistir,

al igual que los teóricos, en secciones eficaces elásticas ("sha

pe elastic"), no elásticas Cde formación del núcleo compuesto),

totales, distribuciones angulares (en centro de masas) o sus mo-

mentos de Legendre. Dichos datos pueden proporcionarse para una

serie de masas atómicas , de energías y de ángulos que ya no es-

tán sujetos a la limitación de poseer una distribución uniforme;

el programa puede entonces, bien reelaborar las distribuciones

angulares para reconvertirlas a ángulos equidistantes, bien cal-

cular directamente para ese conjunto de ángulos. En el primer ca

so la reelaboración se efectúa mediante el programa SAKUSK que

calcula los momentos de Legendre de la distribución angular ex-

perimental mediante un ajuste por mínimos cuadrados pudiéndose

escoger en las opciones de entrada (cf. tarjeta 16 § 6.0) el pe

so asociado a cada dato y a continuación, mediante la serie de

polinomios de Legendre así construida, se calcula la distribución

angular para ángulos equidistantes. Este procedimiento es muy de

licado y debe utilizarse con suma precaución. Es preferible, por

ello, utilizar el segundo.

De esta manera, cuando funciona en "modo" de búsqueda,

el programa puede efectuar- los cálculos para series de masas,

energías y ángulos no equidistantes. Al igual que en el "modo"

de cálculo el conjunto de parámetros del potencial se mantiene

idéntico para todos los núclidos permitiéndose solamente a las

intensidades variar con la energía con arreglo a la expresión

(4.1) . Sin embargo, los coeficientes de la cúbica se mantienen

invariables a lo largo del ajuste.

El "modo" de búsqueda permite paliar las limitaciones

referentes a distribución uniforme de masas, energías y ángulos

inherente al "modo" de cálculo. Basta para ello utilizarlo (NSCH

= 1 tarjeta 10 § 6.0) con indicador de opción NOP = 0 (cf. tarj£_

ta 10 § 6.0). El programa se limita entonces a calcular los resul_

tados teóricos para el conjunto inicial de parámetros sin prose-

guir la búsqueda, obteniéndose las impresiones de salida muy con[9"]

densadas . En este caso los datos experimentales deben suminis

La información completa se alamcena en un fichero temporal

que eventualmente puede imprimirse (cf. Apéndice I).

-38-

trarse necesariamente en la cantidad y forma requeridas, aunque

sus valores efectivos sean irrelevantes.

La información referente a masas , energías y ángulos su

ministrada junto con los datos experimentales invalida y susti-

tuye a toda otra (cf. observación final § 6.0).

Las magnitudes calculadas teóricamente, así como las ex

perimentales , se ordenan con arreglo al siguiente criterio: pa-

ra cada núclido y en cada uno de ellos para cada energía el or-

den de clasificación es: I2 sección eficaz elástica potencial,

2a sección eficaz no elástica, 3a sección eficaz total y a con-

tinuación los valores correspondientes a la distribución angular

según ángulos crecientes. El número máximo de núclidos y de ener

gías que pueden ser utilizados es, en conjunto, de 100 , mientras

que el número total de datos experimentales que se pueden sumis-

trar ha de ser inferior a 600.

4.2.- Cálculos teóricos

La ecuación de Schroedinger se resuelve numéricamente se_

gún el método de Numerov modificado descrito en § 3.2, el límite

de la zona interna b se obtiene mediante el siguiente procedimien_

to: se calcula para cada uno de los cuatro términos del potencial,

la magnitud

b . = r . A1 / 3 + a. + 6. d. (4.2)1 1 1 1 1

donde r., a. y d. son los parámetros radiales y difusividades de

cada término del potencial

con (cf. § 2.2)

(5 . = 7 cuando el factor de forma correspondiente es del

tipo Woods-Saxon o Woods-Saxon-Thomas.

3. = 8,4 para el tipo Woods-Saxon derivativo.

3. = 2,7 para el tipo gaussiano.

hecho esto, se toma para b_ el máximo de los valores de b.

b = Max {b.}

-39-

En esta zona interna se permite hasta un máximo de 300

puntos '- - . La obtención de la solución y el cálculo de los ele

mentos de la matriz de colisión S . (cf. i 3.1) se efectúa sepa

rando partes reales e imaginarias y utilizando doble precisión.

El valor máximo del momento angular orbital 1 en el de

sarrollo en ondas parciales (2.17) está limitado automát icamen_

t e a :

max= [l. 5 k b + 1. 5j (4.3)

donde [_ J indica parte entera y k_ es el número de ondas cf.

(3.4). Además s 1 no supera nunca el valor LM dado explícita_

mente en las opciones de entrada (cf. tarjeta 3, § 6.0) y en

cualquier caso _L_M_. ha de ser inferior o igual a 20. En consecuen

cia, el número de momentos de Legendre necesarios para el cálcu

lo de la sección eficaz diferencial ha de ser como máximo de 41

(L £ 4 0 en (2.40 )).

Las distribuciones angulares se calculan para el siste_

ma de ángulos determinado en las opciones de entrada. En "modo"

de cálculo (NSCK = 0) este sistema ha de corresponder a ángu-

los (o cosenos) equidistantes (cf. § 4.1) mientras que en "mo-

do1' de búsqueda (NSCH = 1) el sistema de ángulos viene determi

nado junto con los datos experimentales y no necesita poseer

distribución uniforme. En cualquier caso el número de ángulos

de cada distribución angular está limitado a un máximo de 50.

Los polinomios de Legendre se calculan con arreglo a

las relaciones de recurrencia ascendentes (MESSIAH, A.; 1958,

p „ 420 )

P.Cx) = -21 ~ 1 x P.-.U) - X " 1 P (x) 1 >_ 2

PQ(x) = 1 , P^x) = x

Las funciones F , G y sus derivadas que aparecen en

Q.OJ En rigor, si se toman N puntos para la resolución de la

ecuación, el valor (4.2) corresponde al (N-5 )-ésimo pun_

to .

-40-

(3,14) - (3.18) pueden calcularse por dos procedimientos. En el

primero (NCLM = 0 en Tarjeta 7 cf. 06.0), que es el más rápido,

se utilizan las relaciones de recurrencia ascendentes (3.8) -

- (3.10). Sin embargo, este procedimiento tiene el inconvenien-

te de que es inestable para F , ya que en esa función se produ-

ce acumulación de los errores de redondeo a medida que la recu-

rrencia avanza (ABRAMOVITZ, M.A.; 1958, p. xiii), por lo cual es_

te método no debe utilizarse más que cuando el número de ondas

parciales que se necesitan sea pequeño (baja energía) y aún así

con precaución. El segundo procedimiento para el cálculo de F ,

G y sus derivadas CNCLM = 1) se basa en el método de Miller

(BUCK, B. y otros; 1960), CFRÓ'BERG , C E . ; 1955), (.TAMURA, T.;

1969) que hace uso de las relaciones de recurrencia descenden-

tes para F y de sus propiedades para 1_ muy elevado y aunque es

más lento que el primero debe ser utilizado preferentemente.

• Finalmente para el cálculo de los coeficientes de Clebsch-

- Gordan y de Racah se ha seguido el método de Tamura (TAMURA, T.;

1965) .

-41-

5.O.- PROGRAMA DE BÚSQUEDA

Como se ha indicado, cuando el programa funciona en "mo

do" de búsqueda, se intenta encontrar los parámetros del poten-

cial que produzcan el mejor acuerdo entre datos experimentales

y resultados teóricos. Se consideran parámetros óptimos los que

minimizan la función

N D - T C x ]/(x) = J- C-i i r (5.1)

i = l e i

donde :

x = (x,, x?,..., x N R) son los parámetros del potencial

que han de ajustarse independientemente.

D.= datos experimentales. *

T.= resultados teóricos.1 i = 1, 2....M

E.= "peso" Cen realidad peso inverso)

asociado al dato D.. .

NR= número de parámetros independientes.

N = número de datos experimentales.

Los "pesos" suelen tomarse proporcionales a las incer-

tidumbres experimentales de los datos, y entonces deben leerse

con ellos (cf. EPW, tarjeta 19 £ 6.0), pero opcionalmente pue-

den tomarse también uniformes o proporcionales a los datos (cf.

NPW, tarjeta 16 § 6.0).

PulLos métodos usuales de minimización •- J , por generales,

requieren mucho tiempo de cálculo, por lo que se ha preferido

elaborar la subrutina RIFT siguiendo el método de Maddison (MA_

DDISON, R.N.; 1962), (SMITH, W.R.; 1969 b_) que aprovecha la sim2

plicidad de la función \ para una minimización rápida evitando

cálculos innecesarios. En las secciones siguientes se expone el

método de minimización, la conveniencia de limitar la variación

de los parámetros opcionales de minimización en RIFT, y otros

detalles de la subrutina.

ÍJ-'Q Citaremos entre los más clásicos: (DAVIDON, W.C.; 1959),

(POWELL, M.J.D.; 1964), (FLETCHER, R. y POWELL, M.J.D.;

19.63). y (DAVIDON , H . C . ; 1968)..

-42-

5.1.- Método de minimizacion

Sigue .esencialmente el método descrito en (SMITH, W.R.;

1969 b).

2En el mínimo de x se debe cumplir:

N3 2 n -

X = O =i - Ti)

3X et

3T.i

3X; r= 1,2,..NR (5.2)

r i r

Si se tiene una estimación inicial de los parámetros,

X , suficientemente buena, se podrá escribir:

X = X + As s • s

s = 1, 2,..., NR (5.3)

N R 3T .T. * T

1 X s=l 3Xi = 1, 2,..., N C5.4)

O

3T . % 3T.

3X 3Xs s

Sustituyendo estos desarrollos en C5.2 } , se obtiene

N

et

N R 3T .D. - TV - y c—i.)i i " 0

s = l 3X

3T .

3X0

(5.5)

de donde

N R

Is = l

3T .

i=l et 3X

3T.

3Xs —'

n

3Xr = 1 , 2 NR (5.6)

Queda pues un sistema de NR_ ecuaciones algebraicas li-

neales en las NR incógnitas A , que resuelto dará en primera1 S

aproximación la distancia de los parámetros estimados a sus va

lores óptimos. Hay que calcular la matrizN . 3T. 3T .L V l Q K.

e. sx., j ,k= 1, 2,. . .NR C5.7)

-1+3-

H R í 5 ' 7 )

resolver con ella el sistema (5.6) y añadir los desplazamientos

A a la estimación inicial de los parámetros» La. iteración desestos cálculos tomando como punto de partida el resultado ante»

2rior nos acercara cada vez mas al mínimo de x •

Las derivadas en (5.7) se calculan por diferencias dan-

do a los parámetros pequeños desplazamientos; la simetría de

B. , simplifica notablemente los cálculos.

A cada cálculo de los desplazamientos mediante el siste

ma (5.6) le denominaremos en adelante "ciclo".

5.2.- Limitaciones a la variación de los parámetros

En el proceso de búsqueda, la elección inadecuada de

los parámetros iniciales, puede dificultar considerablemente

el éxito del ajuste. Afortunamente existen indicaciones físicas

que permiten estimar el orden de magnitud de los parámetros del

potencial. Así, parece lógico esperar que la intensidad del po-

tencial central real, sea del orden de la que se utiliza en el

modelo de capas, del cual el Modelo Óptico es,en cierto modo,

una extrapolación a energías positivas (PRESTON, A,M.; 1962, p-

54-1+), resulta entonces para V unos 40 o 50 MeV. Así misino el

término spin-órbita tendrá que ser de un orden de magnitud anjá

logo al del modelo de capas, es decir V ^ 8 a 10 MeV. En cuan

to al término imaginario, no tiene analogía en el modelo de ca

pas pero puede estimarse a través de los órdenes de magnitud de

las secciones eficaces no elásticas en unos 10 MeV. Por su par-

te los parámetros radiales deben dar lugar a potenciales cuyo

radio sea algo mayor que el correspondiente a la distribución

de masas del núcleo. Con ello, los valores de r_ (cf. 2) resul-

tan ser de unos 1,3 f y las difusividades d de unos 0f5 f.

No es razonable aceptar, como resultado de un ajuste,

valores de los parámetros que difieran considerablemente de

esos órdenes de magnitud. Sin embargo, la práctica indica que

X posee, en general, mínimos secundarios y la posibilidad de

que un ajuste vaya a parar a alguno de ellos, debe evitarse de

-44-

alguna manera.

La presencia de mínimos secundarios es previsible teóri

camente. Se demuestra, en efecto (JACKSON, D.; 1970, p. 167),

(HODGSON, P.E.; 1967), que gran cantidad de magnitudes físicas

son sólo sensibles a ciertas combinaciones de parámetros. Por

ejemplo (la más importante) la combinación V .r siendo V_c la in

tensidad central real, rcel parámetro radial correspondiente y

Y un exponente del orden de 2. Así mismo aparecen periodicida-

des aproximadas al variar la intensidad V .

Estas relaciones y otras análogas, pueden dar lugar a

ambigüedades en los potenciales, pues producen resultados casi

equivalentes para diferentes conjuntos de parámetros. Sólo un

conocimiento de su verdadero orden de magnitud puede resolver

tales ambigüedades.

Por esta razón, conviene limitar durante la búsqueda la

zona accesible a los parámetros al interior de una región de la

cual tengamos razones suficientes para sospechar que contiene

un sólo mínimo, el correspondiente a los valores correctos de

los parámetros. Una elección plausible para esta región "físi-

ca" es la tomada por Holmqvist (HOLMQVIST, B. ; 1969 b_) donde se

considera que para un amplio conjunto de núclidos los paráme-

tros han de tomar solamente valores situados en los siguientes

intervalos

40 < V < 60 MeV , 5 < W < 15 MeV— c — — s —

1.0 < r < 1.5 f , 1.0 < r < 1.5 f (5.8)— c — — 's —

0 . 55 <_ d <_ 0 . 8 f , 0. 3 6 <_ d <_ 0. 52 £

(Holmqvist utiliza potenciales tipo Woods-Saxon, Woods-

-Saxon derivativos y f = f ).so c

En la subrutina RIFT se ha previsto la necesidad de res

tringir los valores de los parámetros al interior de una zona fí

sica. Para ello deben proporcionarse como datos de entrada (cf.

tarjeta 12 i 6) los valores máximo y mínimo del intervalo acep-

table para cada parámetro. Si en el curso de la búsqueda uno (o

-1+5-

varios) de los parámetros adquiere un valor en el exterior de

la región física, se asigna automáticamente un nuevo valor a

ese (o esos) parámetros igual al correspondiente al centro de

su intervalo de variación. De esta manera la búsqueda siempre

se efectúa en el interior de la zona física. Una elección de£_

afortunada de esa región puede dificultar el logro del ajuste.

Los valores dados en (5.8) han mostrado Cen nuestro caso) ser

muy adecuados.

En cualquier caso, un ajuste no debe darse por concluí

do hasta haber obtenido resultados concordantes partiendo de

varios puntos distintos.

5.3.- Procesos opcionales de minimización

La subrutina RIFT tiene un índice de opción NOP (cf.

tarjeta 10, §6.0) al que se puede dar a la entrada uno de los

cuatro valores 0, 1, 2, y 3. En cada caso la minimización adop_

ta las siguientes características:1

NOP = 0 No hay modificación de los parámetros. Se calculan2

solamente los resultados teóricos y x j cálculos co-

munes a todas las opciones. En realidad, en este ca-

so, el programa general funciona en "modo" de cálcu-

lo, pero con las ventajas del "modo" de búsqueda si-

mulado Ccf. 5 4.1).

NOP = 1 Ajuste sin subciclos. En cada ciclo de la iteración

en el2 (1

se recuerda el punto de partida X obtenido en el

ciclo anterior y su correspondiente valor de x

Se calculan entonces los desplazamientos de los pará-

metros resolviendo el sistema (5.6), con ellos el nue__(2 2

vo punto X y el correspondiente valor de x • Se ini_cia un nuevo ciclo:

a) Si algún parámetro sale de la zona física (cf.

§ 5.2).

2b) Si x ha disminuido.

oel Tras un proceso de subdivisión, si x n o hubiera

-46-

disminuido•

El proceso de subdivisión consiste en buscar el punto(3 Cl C2

medio X del segmento que une X y X , y comparar2 2 ( 1

el correspondiente valor de x con x CX ) . Si el nue2 ( 3 ~~

vo valor, x CX ), fuese menor, se hace una aproxima-

ción parabólica antes de iniciar un nuevo ciclo. En ca

so contrario se sigue subdividiendo , hallando el punto(1 (3medio del segmento X X . Se hacen a lo - sumo 5 subdi

visiones sin éxito, terminando en cualquier caso conuna aproximación parabólica. Esta aproximación toma los

(1 (2 (3tres últimos puntos X , X y X ., hace pasar por los

2correspondientes valores de x una parábola y busca sumínimo, situado en X . El nuevo ciclo parte del punto

2 ( 1 ( 2que dé el menor valor para x de esos cuatro (X , X ,x(3, x C m].

NOP = 2 Ajuste con subciclos. Al iniciar cada ciclo se calculan

los desplazamientos de los parámetros como para NOP = 1.

Si todos los desplazamientos son inferiores al 10% del

valor del parámetro correspondiente, no hay diferencia

con la opción anterior. En otro caso, el programa calcu

la un factor de reducción inferior a la unidad con el que

se reducen los desplazamientos, iniciándose subciclos en

los que se repiten sucesivamente a lo largo de la misma

dirección estos desplazamientos reducidos. Los subciclos

terminan, dando paso a un nuevo ciclo:

a) Por salir de la zona física algún parámetro (cf. 5.2)

er 2b) Tras subdivisiones, si en el 1 subciclo x crece.

2c) Tras aproximación parabólica si x crece después de

haber disminuido.

2d) Tras cinco subciclos y aproximación parabólica si x

disminuye continuamente.

NOP = 3 Ajuste con desplazamientos reducidos. Empezando cada ci-

clo como con NOP = 2 (desplazamientos inferiores al 10%),

no se repiten los desplazamientos sino que se procede co

-1+7-

mo con NOP = 1 para iniciar nuevos ciclos. Esta ha

mostrado ser, en nuestro caso, la opción más adecúa

da para el ajuste de parámetros del Modelo Óptico.

5 . M-. - Criterios de convergencia e índice de error

Se considera que se han alcanzado los valores óptimos

cuando :

2 N Dia) El valor de x e s inferior a y= £i = 1 (100 e . ) 2

Para ello bastaría que el error relativo de cada

uno de los resultados teóricos respecto de los expe-

rimentales . fuese inferior al 1%.

2b}. La variación relativa de x entre dos ciclos conconsecutivos, 6

2 2

S = 1 + 1, 2 i . (5<9)

_ 3es por dos veces sucesivas inferior a 10

- 3Las cotas que intervienen en esos criterios, 100 y 10 ,

pueden modificarse fácilmente alterando en RIFT una sentencia

DATA.

A la salida de RIFT, se obtiene el índice de error IER

cuya clave es:

IER = - 1 Aparece cuando NOP = 0, es decir si ajuste, la bus

queda se abandona tras calcular los resultados co-

rrespondientes a los parámetros iniciales.

IER = 0 Se ha superado algún test de convergencia.

IER = 1 Imposibilidad de resolver el sistema de ecuaciones

que calculan los desplazamientos.

IER = 2 Superado sin convergencia un número máximo de ci-

clos (situado en 10).

-49-

6.O.- DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS DE ENTRADA

El programa HADES ha sido escrito en Fortran V para

Univac 1108/6. El usuario necesita proporcionar las tarjetas

de control de acceso al programa Ccf. Apéndice I) y los datos

de entrada.

Con el fin de economizar al máximo el tiempo de eje-

cución del programa, se separan explícitamente en las opcio-

nes de entrada los diversos casos de distribución del siste-

ma de ángulos según sean estos equidistantes o no y conforme

a su variación con la masa y la energía.

En la descripción de los datos de entrada que se da a

continuación, las tarjetas están ordenadas siguiendo un esque

ma decimal, una letra indicará un valor entero variable, su

margen de variación vendrá dado a continuación entre párenteti. K

sis. Así el número de tarjeta { ,'V_A , , indica en realidad ellis.-1 , 4 J

conjunto de cuatro tarjetas 4.1, 4.2, 4,3 y 4.4. Cuando en la

denominación de una tarjeta aparezcan varias letras, se sobre

entenderá que la situada más a la derecha es la que recorre pri

mero su margen de variación. Las variables serán reales o ente

ras conforme a la asignación alfabética implícita utilizada en

el lenguaje Fortran.

El orden en que los datos experimentales deben suminis

trarse queda aclarado en un esquema al final de este parágrafo.

Pueden consultarse en el í 8 dos ejemplos ilustrati-

vos .

DATOS DE ENTRADA

Numerode

tarj eta

1

2

3

Datos

Rótulo

A?DA,AF

N,LM,LTM

(Formato) Interpretación, Limitaciones,Coment arios.

(12A6) Cualquier texto con un máximo de 72 ca-

racteres .

(3F11.6) A = Masa atómica del núclido inicial(en unidades atómicas).

DA = Incremento de la masa atómica.

AF = Masa atómica final.

El número de incrementos ha de ser < 100.

Si el cálculo se efectúa para un sólo núcli-

do, DA y AF pueden dejarse en blanco.

Ver observación final.

(314) N = Número de puntos utilizado en la re-solución de la ecuación de Schroedinger. N < 300.

LM = Valor máximo del momento angular or-bital 1 en el desarrollo en ondas parcialesT LM <_ 20 .

LTM = Orden máximo en el desarrollo en polinomios de Legendre de la distribuciónangular . LTM <_ 40 .

Normalmente LTM = 2.*LM

IenO

Númerode

tarjeta

5

Dato s

El,EF,NE

NCT ,NTE,NCM

(Formato) Interpretación, Limitaciones.Comentarios.

C2F1Q.4 ,16 ) El = Energía inicial (en MeV).

EF = Energía final

NE = Número de puntos equidistantesen energías para los cuales serealiza el cálculo. NE <_ 100.

Si NE = 1,EF puede dejarse en blanco.


(314) NCT = Número de ángulos equidistantes enlos que se calcula la distribuciónangular. NCT <_ 5 0 •

NTE = Para cada núclido sólo se calculanlas distribuciones angulares cadaNTE valores de la energía.

(sólo actúa en "modo" de cálculo).

NCM = 1. Las energías de la Tarj. 4 (olas de los datos experimentales)están referidas al sistema cen-tro de masas.

= 0. Id. sistema del laboratorio.

Para NCT y NTE ver observación final.

Ien

Númerode

tarj eta

6

7

8 . K(K = 1,4)

Datos

NANG,NW

NCLM

KE5VO,KT,RO,D5RZ


(.214-) NANG = 0 No se calculan distribucionesangulares.

= 1 Se calculan para puntos distribuidos uniformemente en el coseno del ángulo.

= 2 Id. distribuidos uniformementeen el ángulo.

NW = 0 Impresiones de salida reduci-das .

= 1 Id. ampliadas Cdescomposicionen ondas parciales).

(14) NCLM = 0 Cálculo de F y G mediante relaciones de recurrencia ascen-dentes .

= 1 Id. descendentes (aconsejable).

(19 ,F11.4,13,3F10.4)

Parámetros iniciales del potencial: 4 tarjetas,

una por cada término aún cuando alguno fuera de in

tensidad nula.

En principio (.aunque no necesariamente) estos

Ien

Númerode

tarj eta

8.K

CK- =1,4)

(Continuación )

Datos

KE,VO,KT,RO,D,RZ

(Continuación)


términos pueden corresponder a:

K = 1 Término real central.

= 2 Id. imaginario de volumen.

= 3 Id. imaginario de superficie.

= 4 Id. real spin-orbita.

KE = 1 Los potenciales no_ varían con la energía.

= 0 Varían con la energía (dependenciacúbica con E), cf. (4.1).

VO = Intensidad (en MeV).

Si es nula, el resto de la tarjeta puede dejar_

se en blanco.

KT = Forma del potencial.

= 1 Pozo rectangular.

= 2 Woods-Saxon, cf. (2.8).

= 3 Gaussiano, cf. (2.11).

= 4 Woods-Saxon derivativo, cf. (2.10).

= 5 Woods-Saxon-Thomas (para término spín-

en

I

Númerode

tarj eta

8. K(K = 1,4)

(Continuación )

9.L

(L = 1,4)

(Opcional

ia

Dat os

KE,VO,KT,RO,D,RZ

(Continuación )

UO,U1 ,U2,U3

NSCH,NOP


-órbita), cf. (2.12).

1/3RO = Coeficiente de A en el radio del po-

tencial, cf. (2.8) (en fermis).

D = Difusividad (en fermis).

RZ = Término independiente en la expresióndel radio (normalmente nulo para neu-trones ) .

El radio del potencial tiene por expresión cf.

(2.8)

R = RO - A 1 / 3 + RZ

(10X,4F10.4) Coeficientes de la variación ener-

gética de la intensidad de cada potencial, cf.

(4.1).

Sólo se incluye para aquellos términos en que

KE = 0.

(213) NSCH = 0 Modo de cálculo. No hay búsquedade parámetros. Salida normal.

= 1 Modo de búsqueda. Variación auto

Ien-PI

Númerode

tarjeta

10

CCont inuación )

11

12. K(K= 1,NR)

Datos

NSCH,N0P

(.Continuación)

NR,NTP1,NTP2,.

NP,PMIN,PMAX

(Formato) Interpretación, Limitaciones.Coment ario s.

mática de parámetros. Salida bi-furcada Ccf. Apéndice I).

NOP = 0 El programa RIFT cesa la búsque-da inmediatamente después de efectuar el cálculo con el conjuntode parámetros iniciales. (Puedeutilizarse para simular modo decálculo con masas, energías o ángulos distribuidos no uniforme-mente 1.

NOP 4 0 Búsqueda de parámetros con opciónNOP en RIFT (cf. § 5.3).

Si NSCH = 0 (modo de cálculo) Fin de los datos

de entrada.

(1713) NR = Número de parámetros independien-tes que han de ser ajustados. NR <<_ 16_.

NTP1 , etc... = Número de identificaciónde cada parámetro independienteque se vaya a ajustar cf. § 4.1b.

(110 , 2F10.4 ) Delimitación de la zona física:NR tarjetas, una para cada para-

enen

Númerode

tari eta

12.K(K= l.NR)

(Cont inuación )

13

11. K

(K=l ,NCOR)

Datos

NP,PMIN,PMAX

(Continuación)

NCOR

NP,NP1,..


metro independiente.

NP = Número de identificación del parametro.

PMIN,PMAX = Valores mínimo y máximo delparámetro NP (cf. § 5.2)

Las NR tarjetas han de ir ordenadas según índi-

ce NP creciente.

(13) NCOR = Número de correlaciones entre losparámetros. NCOR < 6.

Si NCOR = 0 las tarjetas del tipo 14 se supri-

men .

(i+IU) NCOR tarjetas

Los parámetros números NP1 , etc..., se mantie-

nen a lo largo del ajuste iguales al NP. •

Hay posibilidad de hasta 6 correlaciones de 4

parámetros.

IenenI

Númerode

tarj eta

15

16

Datos

NTB1,NTB2,NTB3,.NTB4

NOX,NWX,NPW,NANX


(413) NTB1 = 0 La sección eficaz diferencialno contribuye al ajuste.

= 1 SÍ que contribuye.

Análogamente NTB2 se refiere a la inclusión o

exclusión de la sección eficaz elástica en el ajus

te.

NTB3 a la no elástica.

NTB4 a la total.

(HI3) NOX = 0 Los datos experimentales que siguencorresponden a los ángulos(o cosenos) equidistantes indicados en las opciones dadas enlas tarjetas 5 y 6.

= 1 Las distribuciones angularesque siguen se reelaboran paraconvertirlas a los ángulos equidistantes de las tarjetas 5 y_6_, utilizando el programa SA-KUSK de ajuste por mínimos cuadrados (cf. 1.1b). En este ~ajuste todos los pesos se to-man iguales entre si.

= 2 Igual al caso anterior pero con

en<!1

Númerode

tarjeta

16

(cont inuación )

Datos

NOX ,NWX,NPW,NANX

(.Continuación )


pesos proporcionales a los da-

tos.= 3 Id. pero con pesos leidos en

las tarjetas que contienen lasdistribuciones angulares expe-rimentales

NOX = 5 El cálculo se efectúa para elmismo sistema de ángulos sumi-nistrado junto con los datos experimentales (no hay reelabora-ción.


NWX = 0 No se imprimen los datos experimentales.

= 1 Se imprimen sólo los datos ree-laborados.

= 2 Se imprimen tanto los experimentales como los reelaborados.

NPW Determinación de pesos utilizadosen el ajuste de parámetros.

= 0 Los pesos leidos junto con losdatos experimentales.

enCDI

Númerode

tarj eta

16

CCont inua_c ion }

Datos

NOX,NWX,NPW,NANX

(Continuación)

(Formato). Interpretación,' Limitaciones.Comentarios.

NPW = 1 Pesos iguales para todos los da-tos.

= 2 Pesos proporcionales a cada da-to .

NANX = 0 de ángulosnúclídos y

sir

= 11

El mismo conjuntove para todos losenergías (Si NOX= 5, se tomanlos que aparecen junto con losdatos experiméntale correspon-dientes a la primera energíadel primer núclido).

Se utilizan los mismos ángulospara todas las energías peropueden variar con cada núclido(Se toman los correspondientesa la primera energía de cadanüclido ) .

Para cada energía y cada núcli-do hay un conjunto de ángulosdiferentes, que es leido en lastarjetas que contienen las dis-tribuciones angulares experimentales .

ien10I

Número ',de .

tarj eta

17

18

19. K

K=l,NA)

19.K.L.1

(L=l,NEA)

i

Datos

Rotulo

NA

A,NEA

E.

(Formato) Intepretación, Limitaciones.Comentarios.

(12A6) : Cualquier texto de hasta 72 caracteresque identifique los datos experimenta-les que siguen.

(.13) : Número de núclidos para los cuales sedan datos experimentales y se realizael ajuste. NA < 100.


(FIO.4 ,14)

A: Masa atómica del núclido (en unidadesatómicas).

NEA: Número de puntos de la energía corres-pondientes a ese núclido.

El número total de energías, sumando las de to-

dos los núclidos, ha de ser < 100.


(FIO.4-) Energía (.en MeV) a que corresponden losdatos experimentales que siguen (referida al sistema centro de masas o del la-boratorio según el valor de NCM en tar-

ICJ)oI

Númerode

tarj eta

19.K.L.1

(L=l,NEA)(Cont inuacion )

19.K.L.2

1 9 , K. L , 3

Datos

E

CContinuacion)

SEL,EPW,SNE,EPW,

STT,EPW.

NDIS,NDT ,NCS

(Formato) Interpretación, Limitaciones.Coment arios.

jeta 5 ) .


(19X,6F 10.5} Datos y pesos experimentales correspondientes, respectivamente, a las seccioneseficaces elástica, no elástica y total.

Si NPW 4 0 (.Tarjeta 16), los pesos puedendejarse en blanco.

Esta tarjeta se incluye si, al menos, unade esas magnitudes entra en el ajuste (cf. Tar-jeta 15). Aquellas que no contribuyan al ajustepueden dejarse en blanco. (#)

(313). Opcional: solo si las distribuciones anguiares entran en el ajuste (es decirNTB1 4 0 en tarjeta 15 y NANG / 0 en lanü V-NDIS = 1 Los datos de las tarjetas si-

guientes corresponden a las dis-tribuciones angulares experimen-tales .

= 22 Id. a los momentos de Legen-dre .

IO)

>i las distribuciones angulares no entran en el ajuste (NTB1 = 0, NANG = 0) finle los datos de entrada.

Númerode

tarj eta

19.K.L.3

(Cont inuación )

19.K.L.Ja

(j = H 3 +

+ NDT)

(Opcional

Datos

NDIS ,NDT ,NCS

(Continuación)

THE,SIGD,EPW


NDT = Número de datos angulares (es de-cir: número de ángulos si NDIS == 1 o de momentos si = 2).

Si NOX = 0 ha de hacerse NDT = NCT de tarjeta

5 .


NCS = 1 La primera columna de los datosque siguen corresponde a ángulosen grados.

= 2 Id. al coseno del ángulo.

Sólo actúa en el caso NDIS = 1.


(9X,3F10.5) Sólo para NDIS = 1 (cf. tarjetaanterior).

Datos y pesos experimentales correspondientes a

la distribución angular. Una tarjeta para cada án-

gulo (en total NDT).

Númerode

tarjeta

19.K.L.Ja

(J= 14,4 ++ NDT)

(Opcional)

(Continuación )

19.K.L.Jb

(J = 4,4 ++ NDT)

(Opcional/

Datos

THE,SIGD,EPW

(Continuación)

L,B

(Formato) Interpretación, Limitaciones.Coment arios.

THE = (si NCS = 1) ángulo en grados.

= (si NCS = 2) coseno del ángulo.

SIGD= Sección eficaz microscópica diferen-cial potencial elástica ("Shape elastic'') experimental (en barn/sr y re-ferida al centro de masas) correspondiente al ángulo anterior.

EPW = Peso asociado a la magnitud anterior.(.Si NPW 4 0 y NOX 4 3, cf.tarjeta 16,puede dejarse en blanco).

(9X,I5 ,5X ,F10.5) Sólo para NDIS = 2

B = Momento de Legendre de la distribuciónangular experimental correspondienteal orden L.

Han de estar ordenados según L creciente e in-

cluir todos (en número NDT) incluso aquellos que

sean nulos

I

FIN DE LOS DATOS DE ENTRADA

-64-

Las tarjetas tipo 19_ que contienen los datos experimen_

tales, se ordenan por núclidos, dentro de éstos (NA en total)

por energías y para cada una de ellas (en total NEA) se inclu-

yen primero las secciones eficaces totales (Tarjeta 19.K.L.2),

a continuación las opciones angulares (19.K.L.3) y finalmente

las NDT tarjetas correspondientes a las distribuciones angula-

res experimentales (19.K.L.J. a o b).

Todo ello queda ilustrado en el siguiente esquema:

Grupos de

núclidos

e r1 Núclido

K - ésimonúclido

Ultimo núcli-do (NA)

Grupos de

energías

A,NEA

1- Energía

L - és imaEnergía

Ultima ener-gía (NEA)

Tarj etas

E

SEL ,

NDIS

1 e r

J-és

—

EPW,SNE,etc

,NDT,NCS

ángulo

— — _

imo ángulo

— —

Ultimo ángulo(NDT)

1

-65-

Observación final

Debe tenerse en cuenta que en modo de búsqueda (NSCH =

= 1 en tarjeta l_0_) , la información referente a masas y energías

corresponde a la suministrada junto con los datos experimenta-

les (tarjeta L̂_8_ y Jl_9_) y sustituye e invalida a la que pudiera

fiaberse dado previamente en las tarjetas 2 y 4 . Además, en es-

te caso, la opción NTE de la tarjeta _5_ no actúa. Análogamente

sucede cuando se toma, además, la opción NOX = 5 en la tarjeta

16, con la información referente al sistema de ángulos; en ca-

so contrario, este sistema para el cual se realiza el cálculo

es el indicado en la tarjeta 5, y por tanto, corresponde a di^

tribución uniforme.

-67-

1.0.- IMPRESIONES DE SALIDA

En "modo" de cálculo, las impresiones de salida consis

ten en la repetición de los datos de entrada y de las magnitu-

des teóricas (incluidos los coeficientes de transmisión T,. =

2 . 11= 1 - |S .| para cada onda parcial) en forma autoexplicativa

Cver ejemplo lü § 8.1). Si se utiliza la opción NW = 1 (cf. tar

jeta 6) aparecen además las contribuciones a las secciones efi-_

caces de cada onda parcial.

En modo de búsqueda (ver ejemplo 2a § 8.2) además de la

representación de los datos de entrada, incluidos (si NWX = 2

en tarjeta 16) los experimentales, aparece:

Primero, una línea con las magnitudes

NTH,NTA,NTB2,NTB3 , NTB4

siendo :

NTH = Número total de datos experimentales que inter-

vienen en el ajuste.

NTA = ídem, de datos angulares.

NTB2,NTB3,NTB4 tienen el mismo significado que la entra

da (cf. tarjeta 15 ).

En las líneas siguientes se imprimen los valores inicia_

les de los NR parámetros independientes que van a ser ajustados.

A continuación (en el caso en que NWX i- 0) NTH líneas

numeradas correlativamente conteniendo los datos experimentales

que intervienen en el ajuste junto con sus pesos asociados, or

denados conforme al esquema descrito en §4.1.

Finalmente aparecen los resultados de la búsqueda en

la siguiente forma:

1- Línea IER,KCL,JST,N0P

-68-

donde

IER Es un índice de error (cf. § 5.4).

= 0 significa ajuste terminado con éxito.

= 1 ajuste interrumpido por dificultades en el sis

tema de ecuaciones (5.6) en RIFT (cf. § 5.1).

= 2 convergencia no conseguida. Número máximo de ci_

clos superado.

= -1 corresponde a NOP = 0 (no hay ajuste).

KCL = Número de ciclos (cf. § 5.4) que han sido necesa-

rios para el ajuste.

JST = Número de llamadas al programa que calcula los re_

sultados teóricos realizadas durante el ajuste.

NOP = Posee el mismo significado que a la entrada (Op-

. ción para el método utilizado en RIFT. Tarjeta

10). .

2- línea: CHID5DEL

CHID = Valor final de x2 , :. C5.1))

DEL = Valor final de x (cf. (5.9))

siendo

3- Línea: Aparecen los valores finales de los NR paráme_

tros independientes que han intervenido en el

ajuste .

NTH = Líneas siguientes : I,T ,EPS

EPS.

Resultado teórico número I, correspondiente a los

valores finales de los parámetros del potencial.

Estos resultados teóricos se ordenan de modo idén_

tico a los datos experimentales que intervienen en

el ajuste.

Desviación relativa resultante de la comparación

de Tj con el dato experimental correspondiente.

-'6 9-

Penúltima línea: NPW,ERQ

NPW tiene el mismo significado que a la entrada (tar_

jeta 16) e indica el sistema de pesos escogido pa

ra la búsqueda.

ERQ es una magnitud que corresponde a la desviación

relativa media conseguida en el ajuste, teniendo

en cuenta el conjunto de todos los datos. Tiene

por exprés ion:

NTH EPS,2

ERQ1 = 1 NTH

Ultima línea: Tiempo total del procesador central (C.

P.U.) empleado en la ejecución, medido

en segundos.

Si se desea, puede imprimirse un resumen del desarrollo

de la búsqueda, en el cual aparecen los valores de los paráme-2

tros y el de x correspondientes a cad

programa de búsqueda (cf. Apéndice I).

2tros y el de x correspondientes a cada paso realizado por el

-71-

8.O.- EJEMPLOS

Los dos ejemplos que se exponen seguidamente, tienen

por objeto aclarar la elaboración de los datos de entrada y

de las impresiones de salida, no intentan por tanto represen

tar ningún .caso real.

8.1.- Ejemplo 1Q, modo de cálculo.

Consiste en la aplicación de dicho modo al caso de po-

tenciales rectangulares , lo cual permite además una comparación

entre la solución numérica y la analítica.

Para la solución numérica, los datos de entrada vienen

reproducidos a continuación. Se observará que se han utilizado

100 puntos para la resolución de la ecuación de Schroedinger," . . . 5 9

con 7 ondas parciales, que para el ejemplo escogido (Co a 8.05

MeV) son suficientes. Las distribuciones angulares se calculan

para 11 ángulos equidistantes en eos 9. Los potenciales tienen

todos forma rectangular (por tanto difusividad nula) y el mis-

mo parámetro radial.

Debido a la fuerte discontinuidad que presentan los po

tenciales rectangulares, es necesario, para que la solución nu

mérica se calcule correctamente, que el punto de discontinuidad

esté situado en el centro de alguno de los intervalos utiliza-

dos en la resolución de la ecuación de Schroedinger, el progra_

ma efectúa automáticamente una descomposición en intervalos coin

patible con la condición anterior, siempre que alguna de las d_i_

fusividades sea muy reducida (comparable a la anchura h_ del in-

tervalo, cf. § 3.2).

Tras los datos de entrada, aparece una reproducción de

la 2- parte de los resultados de salida (la primera consiste,

simplemente, en una repetición de los datos de entrada).

En las impresiones de salida reproducidas aparecen las

siguientes magnitudes.

En primer lugar los coeficientes de transmisión T co-

72 . S —

CC<ÜJ—iUID

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EC

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. 51. 51. 52. 52. 53.53. 54. 54. 55. 55. 56. 5

EL

8.0500

.91975+00

.78969+00

.67022+00

.61494+00

.38879+00

.73925+00

.3765 5+00

.68254-01

.25359+00

.29952-02

.12158-01

.12190-03

.75863-03

EC AC

7.9145 59

MUCM

.7226

MULAB

.7358

SEL

.14572+02

SNE

. 90464 + 00

STOT

.23617+01

DISTRIBUCIÓN ANGULAR

MU T SIGDIF

-1

00008000600040002000000020004000600080000000

35679

1011121418

. 006. 873. 136. 428. 460. 001. 543. 586. 873.130. 00

. 15726 + 01

. 32081 + 00

.40855-01

.30500-01

.44563-01

.35063-01

.16824-01

.85923-02

.14951-01

.26144-01

.21536-01

BL

.11595+0025134+OQ27934+0017283-0111029=04

eoi

32771+0018806+0023142-0251944-06

31881+0071720-0121723-0330239-07

-74-

rrespondientes a cada onda parcial L, J.

A continuación:

EL = Energía cinética del neutrón en el sistema del

laboratorio.

EC = Energía cinética disponible en el centro de ma

sas .

MUCM = Coseno medio del ángulo de dispersión en el cen

tro de masas.

MULAB = Id. en el laboratorio.

SEL = Sección eficaz elástica Cen barn ) •

SC = Id. de absorción del modelo.

STOT = Id. total.

BL = Momentos de Legendre de la distribución angular2

multiplicados por 2K cf (2.21).

Finalizan con la distribución angular en barn/sr.

La solución analítica es sencilla, ya que si ja es el ra-

dio del pozo y K ., dado por

. = — 4 V + i W + V] 2 m] c jCj +1) - 1U +1) - - + E

es el número de ondas correspondiente a la energía cinética del

neutro'n en el interior del pozo, entonces la solución en la zo-

na interna r <_ a es simplemente (cf. § 3.1) F (K . r ) , con lo

cual la derivada logarítmica en r = a, vale

d. . = a K1] JD

F[ Czf

clj a

Bastará calcular la función F y su derivada para valo-

res complejos del argumento, ésto puede realizarse con los mis-

mos métodos utilizados para argumento real (cf. § 4-. 2 ) . Con el

valor de d . así obtenido y mediante las fórmulas del § 3.1 pu£

-7 b-

den obtenerse las secciones eficaces correspondientes a la so-

lución analítica.

El resultado de la comparación entre los cálculos del

programa HADES y los obtenidos de la solución analítica es el

s iguiente:

COMPARACIÓN ENTRE LAS SOLUCIONES NUMÉRICA Y ANALÍTICA

SOLUCIÓN ANALÍTICA

SEL : .14570+01

SNE : .90492+00

STOT: .23620+01

MU SIGDIF

1 . 00 .15728 + 01

. 80 . 32082 + 00

.60 .40863-01

.40 .30486-01

.20 .44550-01

.00 .35046-01

. 20 . 16807-01

.40 .85853-02

.60 .14945-01

.80 .26140-01

-1.00 . 21513-01

DIFERENCIAS

ABSOLUTAS

+ . 00001 + 01

- . 00028+00

-.00003+01

-.00002+01

-.00001+00

+.00022-01

+.00014-01

+.00013-01

+.Q0017-01

+.00017-01

+.00128-02

+.00006-01

+.00004-01

+.00023-01

RELATIVAS (#• )

+0.069

-0.309

-0.127

-0.131

-0.031

-0.538

+0.459

+0.292

+0.486

+ 1 .011

+1.491

+0.401

+0.153

+ 1 . 069

Muestra, por tanto, una notable concordancia, la máxi-

ma desviación relativa se produce para el mínimo de la distri-

bución angular y en cualquier caso es inferior al 2%-o. Consti-

tuye ésto una prueba de la bondad del método numérico de reso-

lución de la ecuación de Schroedinger.

-76-

Junto con ésta, se han efectuado otros tipos de pruebas

de coherencia para el programa HADES, p. ej. se ha comprobado

que las funciones F , G , sus derivadas, los coeficientes de

Clebsch-Gordan y de Racah y los polinomios de Legendre coinci-

den con los dados en las tablas.

Así mismo se ha comprobado que la distribución angular

calculada mediante la serie de polinomios de Legendre coincide

con la obtenida de la aplicación directa de la fórmula (2.33),

que cuando todos los potenciales son de intensidad nula, las sec

ciones eficaces también lo son (en rigor se obtienen valores in-_ 7

feriores a 10 imputables a errores de redondeo), etc.

En todas las pruebas realizadas, se han obtenido resul-

tados muy satisfactorios.

8.2.- Segundo ejemplo: modo de búsqueda

Se intenta, en este caso, ajustar _5_ parámetros del poten

cial (V , W , r , r y d ) con el fin de obtener concordancia con

datos tomados de (HOLMQUIST, B. y WIEDLING, T.; 1969 a_) atribui-5 9

dos al Co a 8,05 MeV (energía en el sistema del laboratorio),

que no representan, en realidad, datos experimentales.

Los pesos asociados a los datos (ver reproducción de la

hoja de entrada), se toman proporcionales a éstos. El cálculo se

efectúa para el sistema de 1_9̂ ángulos leido junto con los datos,

se toman 100 puntos para la obtención de la función de ondas y 7

ondas parciales.

Los potenciales son del tipo Woods-Saxon, Woods-Saxon de

rivativo y Woods-Saxon-Thomas, y aunque a la entrada el término

spin-órbita posee parámetros radiales diferentes del real central

(cf. tarjetas 8.1 y 8.4-), el haber establecido correlaciones en-

tre ambos términos (cf. tarjetas 13 y 14) hace que se ignore esa

disparidad y que aquellos se mantengan iguales entre sí.

Los resultados de salida se reproducen a continuación.

77-

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-79-

DISTRIBUCIONES ANGULARES EXPERIMENTALES REELABORADAS

22

50

1234567

910111213141516171819202122

19 1

0000060000

.19000+01

. 14600 + 01

. 33600 + 01

. 11000 + 01

.39000+00

. 11500 + 00

. 24000-01

. 70000-02

. 12000-01

. 20000-01

. 25000-01

. 26000-01

. 25000-01

. 22000-01

. 19000-01

. 14000-01

. 10000-01

. 63000-02

. 37000-02

.44000-02

. 94000-02

. 20000-01

10.00000 1. 25000

.89118+01

.68480+01

.157 6 0+02

.51595+01

.18293+01

.53940+00

. 11257 + 00

. 32833-01

. 56285-01

.93808-01

.11726+00

.12195+00

.11726+00

.10319+00

. 89118-01

. 65666-01

.46904-01

. 29550-01

. 17355-01

. 20638-01

.44090-01

. 93808-01

1 . 25000

0 37

. 36441-03

48 ,

123456789.

10111213141516171819202122

4670362374

9. 96482 1.23347

19471+0114729+0134200+0111251+0139979+0011598+0024540-0170571-0212031-0119870-0124800-0126225-0125015-0122158-0118393-0114212-0199862-0261940-0237337-0241690-0294850-0220454-01

24785-0188692-0217869-0122777-0125097-0185104-0222489-0181541-0225673-0265168-0279842-0286651-0261410-0371678-0231938-0115171-Q113797-0216820-0191207-02,52497-0190434-0222712-01

. 16971-05

1.1716 3

19089-01 36,80 SEG

-80-

El ajuste se consigue (cf. § 7.0) en _6_ ciclos, habiénd£

se realizado _3_7_ llamadas al programa que calcula los resultados

teóricos, la desviación relativa media entre datos experimenta-

les y teóricos resulta ser de un 2%, la máxima desviación (-6%)

tiene lugar para el mínimo de la distribución angular. En el pro

ceso de ajuste se ha empleado un tiempo CC.P.U.) de unos 37 seg.

en UNIVAC 1108.

-81-

Al.- APÉNDICE I

Para acceder al programa HADES desde el terminal DCT

2000 de la J.E.N., el usuario debe proporcionar la siguiente

secuencia de tarjetas de control:

'B RUN

3>ASG,A JEN-GEN/NEJL/NEJE

"o)USE AQ,JEN-GEN

cÍELT5I .DATHADES

Tarjetas conteniendo los

datos de entrada (cf.§6)

5)ADD AQ.RGHADES1

O) FIN

Debe tenerse en cuenta que cuando el programa funciona

en modo de búsqueda, las impresiones de salida se reducen con-

siderablemente (cf. § 7) pues casi toda la información que se

imprime normalmente en modo de cálculo, sufre aquí una bifurca_

ción Csentencia S3BRKPT) y se sitúa en un fichero temporal que

puede imprimirse si así se desea. En consecuencia debe conside_

rarse que el número límite de páginas solicitado en la tarjeta

¿ÍRUN, incluye las que corresponden a la información almacenada

en ese fichero aun cuando este no se imprima, por consiguiente

para evitar que el programa se corte por exceso de páginas, d_e_

be suministrarse un valor límite suficientemente elevado.

Asimismo las incidencias de la búsqueda se almacenan

en el archivo temporal HIST que puede imprimirse mediante la

sentencia de control £)DATA,L HIST, en este caso se escribe,

tras el valor y del § 5 . M-, una relación de los valores de los2

parámetros (con el x correspondiente) para cada paso del aju£_

te incluyendo los puntos utilizados para el cálculo de deriva-

das en (5.7).

-82-

Análogamente, para tener acceso al programa HADES en

la UNIVAC 1106 de la JEN son necesarias las siguientes tarje

tas de control:

3 RUN

O)ASGSA HADES/HELL

5>ELT,I.DATHADES

Datos de entrada

3) ADD HADES .HADES/S

O) FIN

-83-

9.O.- REFERENCIAS

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Junta de Energía Nuclear, División de Física Teórica,.Madrid."HADES. Un programa numér ico p a r a e l cálculo

de secciones eficaces neut rónicas mediante el Mo-delo Óptico".GUASP, J . y NAVARRO, C. (1973) 86 pp. 1 f i g . 55 reís.

Se describe un programa numéricc escrito en FCRTRAN V para UMIVAC 1108/6,que utilizando un Modelo Óptico local con interacción spin-órbita, calcula lassecciones eficaces, distribución angular y los momentos de Legendre, correspondientes a reacciones entre neutrones rápidos y núcleos esféricos de numero másj.co intermedio o elevado.

El programa permite la variación automática de los parámetros del potencialhasta lograr el máximo acuerdo entre los resultados teóricos y datos experimen-ta les.

J.E.N. 268

Junta de Energía Nuclear, División de Física Teórica, Madrid.

"HADES. Un programa numérico para el cálculode secciones eficaces neutronicas mediante el Mo-delo Óptico".GUASP, J . y NAVARRO, C. (1973) 86 pp. 1 f i g . 55 refs.

Se describe un programa numérico escrito en FORTRAN V para UNIVAC 1108/6,que utilizando un Hodelo Óptico local con interacción spin-órbita, calcula lassecciones eficaces, distribución angular y los momentos de Legendre, corresporidientes a reacciones entre neutrones rápidos y núcleos esféricos de número másj,co intermedio o elevado.

El programa permite la variación automática de los parámetros del potencialhasta lograr el máximo acuerdo entre los resultados teóricos y datos experimentales.

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Se describe un programa numérico escrito en FGRTRAN V para UNIVAC 1108/6,que utilizando un Modelo Óptico local con interacción spin-órbita, calcula lassecciones eficaces, distribución angular y los momentos de Legendre, correspon-dientes a reacciones entre neutrones rápidos y núcleos esféricos de número inási-co intermedio o elevado.

El programa permite la variación automática de los parámetros del potencialhasta lograr el máximo acuerdo entre los resultados teóricos y datos experimen-ta les .

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Junta de Energía Nuclear, División de Física Teórica, Madrid


Se describe un programa numérico escrito en FORTRAN V para UNIVAC 1108/6,que utilizando un Modelo Óptico local con interacción spin-órbita, calcula lassecciones eficaces, distribución angular y los momentos de Legendre, correspon-dientes a reacciones entre neutrones rápidos y núcleos esféricos de número másj_co intermedio o elevado.

El programa permite la variación automática de los parámetros del potencial

hasta lograr el máximo acuerdo entre los resultados teóricos y datos experimen-tales.

J.E.N. 268 J.E.N. 268

Junta de Energía Nuclear, División de Física Teórica, Madrid."HADES. A computer code for fast neutrón c r o s s

section from the Optical Model".GUASP, J . , NAVARRO, C. (1973) 86 pp. 1 f i g . 55 refs.

A FORTRAN V computer code for UNIVAC 1108/6 using a local Optical Model with

spin-orbit interaction i s described. The code calculates fast neutrón cross

sections, angular d ist r ibut ion, and Legendre moments for heavy and intermedíate

spherical nuclei. I t allows for the possibi l i ty of automatic variation of po-

tent ia l parameters for experimental data f i t t í n g .


section from the Optical Model".GUASP, J . , NAVARRO, C. (1973) 86 pp. 1 f i g . 55 refs.

A FORTRAN V computer.code.for UNIVAC 1108/6 using a local Optical Hodel with

spin-orbit interaction i s described. The code calculates fast neutrón cross

sections, angular d is t r ibut ion, and Legendre moirents for heavy and intermedíate

spherical nuclei. I t allovis for the possibi l i ty of automatic variation of po-

tent ia l parameters.for experimental data f i t t i n g .

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"HADES. A compu te r code for fast n e u t r ó n c r o s ssect ion f rom the Opt ica l Mode l" .GUASP, J., NAVARRO, C. (1973) 86 pp. 1 fig. 55 refs.

A FORTRAN V computer code for UNIVAC 1108/6 using a local Optical Hodel withspin-orbit interaction is described. The code calculates fast neutrón crosssections, angular d ist r ibut ion, and Legendre moments for heavy and intermedíatespherical nuclei. I t allows for the possibi l i ty of automatic variation of po-tent ia l parameters for experimental data f i t t i n g .

J.E.N. 268


section from the Optical Model".GUASP, J . , NAVARRO, C. (1973) 86 pp. 1 f i g . 55 r e f s .

A FORTRAN V computer code for UNIVAC 1108/6 using a local Optical Model withspin-orbit interaction is described. The cede calculates fast neutrón crosssections, angular d istr ibut ion, and Legendre moments for heavy and intermedíatespherical nuclei. I t allows for the possibi l i ty of automatic variation of po-tent ia l parameters for experimental data f i t t i n g .

:s un programa numérico - ipen - instituto de pesquisas

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