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Sp ISSN 0081-3397

porG. Vefarde

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Este trabajo se ha recibido para su impresión enFebrero de 1976

Depósito legal n2 M-14592-1976 I.S.B.N. 84-500-7555-6

JEN 334

ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES E INTEGRALES NORMALESY ADJUNTAS DEL TRANSPORTE DE NEUTRONES

PARTE I

Guillermo Velarde

ÍNDICE

i . Hipótesis simplif icativas , 1-1

II. Determinación de los parámetros nucleares II-l

III. Ecuaciones Integrodiferenciales de Boltzmann del Transporte

de Neutrones . . , , , III-l

I.- HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVAS.

1.- PROBLEMA.

Vado un H.e.actoh. de. con{¡<¿guAac¿ón y compo¿Zc¿ón conodidaé en eL Á.n¿tan_

te. ÁJÚ.CÁ0JL, y dada Za di¿>thÁhuQÁ.ón de. La fuente. ne.utn.ón¿ca e.n cada ¿notan-

te., ¿e. pn.eX.znde. deXeJmJjiaA. La de.v\&¿dad {¡¿LóZca newtn.ón¿ca e.n cada panto ¿á-

¿Zco y en. cada instante,.

1.1.-El problema así planteado, dá lugar a un sistema de ecuaciones inte-

grodiferenciales no lineales, con siete variables independientes: tres de

la posición, tres de la velocidad, y una del tiempo. Estas ecuaciones se

obtienen al establecer el balance de los neutrones, de los núcleos precur

sores de neutrones retardados, de los núcleos obtenidos en el quemado, y

de las magnitudes termohidráulicas del medio.

Las ecuaciones de balance anteriores pueden ponerse en la forma gene

ral

" | | = Bf + Q (1)

en la cual f es la densidad neutrónica, la densidad de núcleos precursores,

la densidad de núcleos del quemado, o la temperatura; y B el operador de

balance (ganancias menos pérdidas).

2.- DEFINICIONES.Sea un neutrón incidente o primario de baja energía n', que al inte-

raccionar con el núcleo blanco N! a través del canal de entrada v', según

la reacción nuclear

n+N, v=v', dispersión elástica

n'+N' ->• <¡ n+N, v^v1 , dispersión inelástica (2)

b+B, captura, fisión

dá lugar a la producción de una partícula b y de un núcleo residual B, a

través del canal de salida v. En particular, en la dispersión se produce un

neutrón secundario n y un núcleo residual N.

2.1.-VARIABLES INDEPENDIENTES.Además de la variable temporal t, se consideran las siguientes varia-

(1) Vélarde, G. - Física Nuclear, Vols. I y II - ETSII, Universidad Polite£nica de Madrid. (1973 y 1975).

I -2-

bles independientes:

->- _,r . vector posición del neutrón o del núcleo, que representa un punto

del espacio Euclídeo de tres dimensiones, llamado de configuración,

y perteneciente al subespacio constituido por el reactor considera_

do R, reí?.

v=vQ vector velocidad del neutrón o del núcleo, que representa un punto

del espacio Euclídeo de tres dimensiones, llamado de velocidades

1/xfi, vgl/, QeQ, siendo ü la superficie esférica de radio unidad.

De este modo (r,v) será un punto del espacio de las fases R

El superíndice ' se empleará para indicar la velocidad del neutrón

incidente o primario, y la del núcleo blanco; y sin prima para indicar

la velocidad del neutrón secundario, y la del núcleo residual.

Los subíndices n y N se emplearán para las magnitudes correspon-

dientes al neutrón y al núcleo; y los L y C para las magnitudes referi-

das a los sistemas del laboratorio y del centro de masas. En particular,

con objeto de simplificar la notación, se suprimirán los subíndices Ln,

es decir, v=vT .Ln

Según la clase de problema considerado, se empleará el módulo de la

velocidad v, la energía cinética E-U, o la letargía u del neutrón. Para

neutrones no relativistas, en una región de energía potencial nula U=0,

tal como se establecerá en las Hipótesis I y II de los §3.1 y §3.2, las

magnitudes anteriores estarán relacionadas entre sí, por

E = i v2, u = ln -£• = 2 ln — (3)

1 2 „

siendo E_ = y v una energía de referencia. La relación entre los elemen-

tos diferenciales será entonces

dv = v2dvdfi, du = u2dvdfi, dE = vdv, du = - dE = -— dv O )

habiéndose tomado la masa del neutrón como unidad de masa.

2.2.-FUNCIONES DE DENSIDAD.

n(r,v,t)drdv Numero probable de neutrones, que en un instante t están

situados dentro del elemento de volumen fásico drdv en el

punto fásico r,v ERxfxfi.

n(r,v,t) Densidad fásica neutrónica.

I -3-

-,v,t)=vn(r,v,t) Densidad fásica de flujo neutrónico, o densidad de

flujo, o simplemente flujo.

Número probable de núcleos de la especie i (i_sótopos),

que en el instante t están situados dentro del delemen

to de volumen fásico drdvTW en el punto fásico r,vT e

e R x v x n.

Densidad fásica de núcleos de la especie i, o simple-

mente densidad de núcleos i.

Número probable de núcleos precursores de neutrones

retardados (diferidos) producidos en la fisión induci

da por neutrones de velocidad v! en núcleos i de velo

cidad v' , que en el instante t, están situados dentro

del elemento de volumen de configuración dr, en el pun

to r e R, multiplicado por la probabilidad de que el

precursor emita un neutrón.

C (r,v',v' ,t) Densidad de núcleos precursores de neutrones retarda-

dos, o simplemente densidad de precursores.

X (v',t'->v,t ;v' .)dvdt Probabilidad de que un neutrón incidente o primario

de velocidad v', habiendo producido en el instante

t' un proceso de la clase x con un núcleo de la espe-

cie i, de velocidad v' , dé lugar a la emisión de un

neutrón secundario en el intervalo de tiempo dt en t,

y situado dentro del elemento de volumen de velocida-

des dv en el punto v £ V x ü.

i ,->• -> ->•X (v ,t'->v,t;v' .) Espectro de los 'neutrones secundarios.

El superíndice i indica el núcleo de la especie i, o simplemente núcleo

i, que sufre el proceso de la clase x.

El subíndice x representa la clase de proceso producido en la reacción

nuclear: el (elástico), in (jmelástico) , s (dispersión, scattering) -> el+in,

c (captura), f (fisión), a (absorción) -> c+f, t (total) -> a+s; o el proceso

de obtención de los neutrones secundarios: el (elástico), in (inelástico), p

(instantáneos de fisión, prompt) , d (retardados de fisión, diferidos).

2.2.1.- Si f = n, (j), N es una de las funciones de densidad definidas anterior_

mente, se verifica

f(v)dv = f(u)du = f(v,fi)dvdfi = f(u,fi)dudft = f(E,fi)dEdP. (5)

I -l+-

y según (M-), resulta

.3

f(u,ft) =u 2f(í) =-^~ f(v) = - J f(v) = - I f(v,ft) =-E f(E,Q) (6)

Si 1/ c 1/ es un intervalo g de velocidades, se empleará la siguiente

notación

f(v,fi)dvdQ = f (ü)d , para todo v e 1/ (7)

f(v,fi)dvdft = f(v)dv , para todo Ü e ü (8)

En el caso de que f sea isótropa, de (8) resulta

= UTT f(v,fi) = f(v) = > f(v,ü) = ^ f(v) (9)

2.3.-FUNCIONES FINITAS Y PARÁMETROS.

X (.v1 ,v' ) Constante de desintegración de los núcleos precursores de'neu

trones retardados producidos en la fisión inducida por neutro

nes de velocidad v' en núcleos i de velocidad v' .

v (v',v' ) Número medio de neutrones secundarios producidos por colisión

en el proceso x, entre los neutrones incidentes o primarios de

velocidad v', y los núcleos i de velocidad v' .

a (v,v-w) Sección eficaz microscópica del proceso x, entre los neutrones

incidentes de velocidad v, y los núcleos i de velocidad VTN-

Esta sección eficaz vendrá dada por (11), en función de magnitudes

bien definidas.

Se llama sección eficaz microscópica diferencial a

cT(v',t'-4,t;v¿N) = X^(v',v¿N) X^(v',t'+v5t; v¿N) (10)

2.4.-OTRAS FUNCIONES.

2.4.1.- VELOCIDAD DE REACCIÓN.

En el caso de que la interacción se produzca entre un solo neutrón y

un solo núcleo, mediante un proceso biunivoco bien definido, tal como se

establecerá en la Hipótesis III del §3.3, se obtiene que el número de

neutrones que en el-instante t producen en los núcleos i el proceso x,

por unidad de intervalo de las variables (unidades de tiempo, velocida-

des del neutrón y del núcleo, y de volumen de configuración), es igual

al número de núcleos i que sufren el proceso x por los neutrones, por

1-5-

unidad de intervalo de las variables, e igual al número de procesos x pro_

ducidos por los neutrones en los núcleos i, por unidad de intervalos de

las variables; cuya expresión, llamada velocidad de reacción, puede descom(1)" ~

ponerse en la forma

[V=[Vr n ^ . v . t i p ^ v ^ t ) c^Cv,^)] (11)

siendo

(12)v = V - VTLN

el módulo de la velocidad relativa entre el neutrón y el núcleo.

2.4.2.- FRACCIONES Y ABUNDANCIAS DE NEUTRONES.El número medio de neutrones producidos por fisión, es

v1 = vt = v1 + Y vt (13)r p L d

definiéndose como fracciones de neutrones instantáneos, y de neutrones re-

tardados d, a las razones

i i V Vjv_ _. v3 _. ^ d

D i d i Vd i pv v d v

y como abundancias relativas de neutrones retardados d,

i _ Vd _ d r i _

y Vj g1 dd d

De e s t e modo, e l espect ro de l o s neut rones de f i s i ó n v a l d r á

i _ i i r i i _ i f i s r i QÍ

3.- HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVAS PARA LAS ECUACIONES DEL TRANSPORTE DE NEUTRO-NES.El sistema de ecuaciones integrodiferenciales que resuelve el problema

considerado, puede simplificarse considerablemente, teniendo en cuenta la

naturaleza del problema físico.

De este modo se introducen una serie de hipótesis simplificativas que

(1) Velarde, G. - Véase ref. 1, pag. 1.

I -6-

permiten linealizar las ecuaciones, reducir el número de términos de cada

ecuación, reducir el número de ecuaciones, eliminar variables, y obtener

una estructura más sencilla del operador de balance B.

En este párrafo se establecerán la mayoría de las hipótesis simpli-

ficativas apropiadas para las ecuaciones del balance neutrónico y de los

precursores de neutrones retardados, y en párrafos posteriores se comple-

tarán estas hipótesis, y se establecerán las correspondientes a las ecua-

ciones del balance de los núcleos del quemado, y de la temperatura.

3.1.-CLASE DE MECÁNICA A EMPLEAR.En los reactores nucleares la energía media de los neutrones de fisión

es de unos 2 Mev, mientras que la masa del neutrón en reposo es de 939,5

Mev. Por otra parte, la energía media de los núcleos es del orden de la

fracción del ev, mientras que su masa en reposo es igual o superior a la

2del protón 938,2 Mev. Por t an to , en ambos casos se ver i f ica que E << me ,por lo cual puede considerarse la h ipó tes i s :

¿& 1. - En eJL cÁLcuLo de. hJLa.cXoh.zi, ¿e. apLíca. La mecánica, no hJi_

Lat¿v¿¿£a..

3.2.-TRAYECTORIA DE LOS NEUTRONES.

Como los neutrones no sufren interacción electromagnética, y la inte_

racción fuerte es de muy corto alcance, puede considerarse la hipótesis:

WJjpót<n,ÁÁ II.- EntAz. do¿ coLü>¿onzA ¿UCZAÍVOA , oJL nz.vJih.on eó-tó ¿omz-

t¿do a. un potencial, nato, poh. Lo que. iu movÁynLznto ¿ZAÓL h.z.cXiLtnz.0 y un¿-

{¡ohmz..

Come resultado de las Hipótesis I y II se obtienen las ecuaciones (3).

3.3.-DENSIDAD NUCLEAR.En los reactores nucleares, la razón entre la densidad neutrónica y

la nuclear, es inferior a 10 , por lo que las colisiones más probables

son entre núcleos y entre neutrones y núcleos, siendo despreciables las

colisiones entre neutrones.

Según la teoría cinética de los gases, las colisiones entre neutrones

y núcleos alteran las funciones de distribución, o sea las densidades fási_

cas neutrónica y nuclear, dando lugar a un sistema de dos ecuaciones de

Boltzmann, una para cada densidad. Sin embargo, considerando que el gas

neutrónico está enrarecido respecto al nuclear, las alteraciones sufridas

en el g£s nuclear debidas a las colisiones producidas por los neutrones,

son despreciables.

I -7-

A pesar de que la densidad de los núcleos es muy superior a la neutrón^

ca, las distancias entre núcleos son lo suficientemente grandes como para que

la interacción se produzca entre un único neutrón y un único núcleo, dando

lugar a un proceso biunívoco bien definido.

Debido a no considerar las colisiones entre neutrones, la ecuación del

balance neutrónico puede linealizarse, y debido a que la interacción se pro-

duce entre un solo neutrón y un solo núcleo puede establecerse el concepto

de sección eficaz dado en (11).

Excepto en el caso de medios constituidos por cristales distribuidos

anisótropamente, la densidad fásica nuclear es isótropa en L.

Teniendo en cuenta que el neutrón tiene spin y momento magnético, debi-

do a la interacción neutrón-núcleo, pueden obtenerse neutrones secundarios

de dispersión polarizados. Sin embargo, estos efectos son despreciables en

el cálculo de reactores nucleares

En los reactores nucleares, excepto durante el arranque, las fluctuacio_

nes de la densidad fásica neutrónica relativas a su valor medio, son peque-

ñas, por lo cual, puede emplearse la ecuación de Boltzmann del transporte de(2)

neutrones para obtener la densidad probable de neutrones

Teniendo en cuenta lo anterior, se introducen las hipótesis siguientes:

I I I . - LOÓ Ü.YIÍ&OUS coLÁÁ¿oneÁ c.oní,¿de.fiada& ¿on tnisie. do¿ nácZ&o¿>y e.ntxe. un ¿oLo ne.uXM.on y un ¿>oLo ná.cLe.0, dando Zagal a un p/ioceio b¿u.ní\joco

b¿&n d<¿yjhido, pon. eJL cuaL no ¿e, modX.{yíca La densidad ficUZca di Lo¿ YIÜ.CZZ.06.

LOA {¡Lactuac-íoneÁ d<¿ La d<¿Yii¿dad {¡cU)¿c.a nívutAónlca ¿on deJ>pn.e.c¿abL&>.

I i/.- La dzn&Zdad {ióu>Á.cia YIUCZZOA QJ> ÁÁÓtxopa zn L, te.nle.ndo La

vaAÁxibLz veJLocÁ.dad Ae.paA.abLe..

Por tanto,

3.4.-REACCIÓN NUCLEAR.

En la reacción nuclear a baja energía (2), al penetrar la onda asociada(3)

al neutrón incidente por el canal de entrada v1 puede sufrir dos procesos ':

(1) B e l l , G . I . , y Goad, W.B. - Nuc í . S c i . Eng. 2 3 , 380 ( 1 9 6 5 ) .

(2) H a r r i s , D.R. - Naval Reac to r P h y s i c s Handbook, ed . por Radkowsky I .A . -- USAEC (19614).

(3) V e l a r d e , G. - Véase r e f - 1 , p á g . 1.

I -8-

es reflejada a la entrada del canal, originando la dispersión elástica po-

tencial, o bien penetra por el canal formando el núcleo compuesto, para sa

lir después por uno cualesquiera de los canales de salida v abiertos.

• En particular, si la onda sale por el canal de entrada, v1, se obtiene

la dispersión elástica a través del núcleo compuesto, la cual se compone co_

herentemente con la potencial para dar lugar a la dispersión elástica.

Si la onda sale por otros canales distintos del de entrada, se obtiene

la dispersión inelástica, la captura, y la fisión.

El núcleo compuesto está caracterizado por las siguientes propiedades:

-14i) La vida media del núcleo compuesto es del orden de 10 seg.

ii) La formación y desintegración del núcleo compuesto son dos procesos

independientes entre sí, o sea el canal de desintegración es inde-

pendiente del de formación.

iii) El modo de desintegración del núcleo compuesto solo depende de su

.energía de excitación, spín y paridad.

3.5.-DISPERSIÓN.

El proceso de dispersión de neutrones depende principalmente de la ener_

gía del neutrón incidente, de la especie de núcleo blanco, y de sí el núcleo

blanco es libre (medio formado por un gas monoatómico) o está ligado en una

molécula o en una red cristalina. Estos efectos de ligadura solo son aprecia

bles cuando la dispersión se produce con neutrones térmicos.

En la dispersión elástica se emite un solo neutrón secundario, y según

i) del §3.4. Se emitirá en el mismo lugar e instante de la dispersión.

En la dispersión inelástica de neutrones de baja energía, generalmente

se emite un solo neutrón. Sin embargo, cuando la energía del neutrón incideri

te es suficientemente grande, después de haberse emitido el primer neutrón,

el núcleo residual puede quedar en un estado excitado tal, que su energía de

excitación sea superior a la de separación de un neutrón, en cuyo caso se

emitirá un segundo neutrón, dando lugar a la reacción (n',2n) con la emisión

de dos neutrones secundarios. Aunque esta reacción es importante en el Be,

puede despreciarse en los materiales que componen los reactores nucleares.

Según i) del §3.4, el neutrón será emitido en el mismo lugar e instante de

la dispersión.

De lo anterior, puede introducirse la siguiente hipótesis:

WÁspótzÁÁA V.~ En la. cLú>p2A¿Zón &Mó¿cca. e Á.ntlÁ¿t£Á,ca. t>i emitz un ¿,olo

nzutnón en eJL mtirno lugaA e -¿notante. e.n que. ¿e. produce, la cotú-Cón.

I -9-

Por tanto,

= el, in (18)

ó(t-t'),

3.5.1.- DISPERSIÓN ELÁSTICA CON NÚCLEOS LIBRES.

En la dispersión elástica, según (2) y el §3.4, el núcleo no pierde su

identidad, emitiéndose el neutrón por el canal de entrada, es decir, el nú-

cleo residual queda en el mismo estado cuántico que el del núcleo blanco.

Como los núcleos están libres, la dispersión elástica es azimutalmente

simétrica en L, pero debido a la dispersión elástica potencial, no será coal_

turalmente simétrica en C ni en L. Si 8 p es el ángulo de dispersión, al de-

sarrollar x en serie de polinomios de Legendre, resulta

X~1 A&n ">= I i, - X~\ o. -, P-,A e l p o t Cn , L_ 4TT A e l p o t 1 11=0

6n )Cn

(.20)

habiéndose omitido las restantes variables. Si se expresa la energía del ne\a(12) " ~

tron en Mev, se obtiene que cuando ' :

„„ ,2

A2/3 Ael pot 1

0 (21)

habiéndose tabulado en la Tabla I.

TABLA I

10 I 2 A" 2 / 3

A1

1

2

3

4

1

10

40

90

160

12

1.91

7.63

17.17

30.52

23

1.21+

4.95

11.13

19.78

58

0.67

2.67

6.01

10 .6 8

238

0.26

1.04

2.34

4.17

Aunque la expresión (21) es únicamente válida para la dispersión elásti

ca potencial, como la dispersión elástica a través del núcleo compuesto es

(1) Velarde, G. - Véase ref. 1, pág. 1.

(2) Davison, B. - Neutrón Tra.nsport Theory - n - (1957).

I - 1 0 -

pequeña frente a la potencial, la expresión (21) puede emplearse para la

dispersión elástica en general.

_ , „ , , , . , , _ r 10 Mev para núcleos ligerosEn la labia I se observa que cuando E < in „_ ., ^ ., , ,

^ 0.26 Mev para núcleos pesados

la dispersión elástica es isótropa en C, y la reacción nuclear solo se pro-

duce con neutrones S. Teniendo en cuenta que la energía media de los neutro

nes de fisión es de unos 2 Mev, se obtiene que la dispersión elástica en

los núcleos ligeros es isótropa en C, produciéndose solo con neutrones S,

mientras que en los núcleos pesados es añisótropa en C, aunque solo basta

considerar dos o tres términos en el desarrollo del espectro en polinomios

de Legendre, pero en este caso los neutrones P, D, . . . intervienen en la reac

ción nuclear.

En el caso de los reactores nucleares térmicos, debido al empleo de ma

teriales moderadores de número másico pequeño, la población neutrónica ten-

drá una energía media del orden de los ev, por lo que la dispersión elásti-

ca sera prácticamente isótropa en C y solamente intervendrán los neutrones

S. En el caso de los reactores nucleares rápidos, al evitar en los posible

el empleo de materiales moderadores, y emplear en cambio materiales de ele

vado número másico, la población neutrónica tendrá una energía media algo

inferior a los 2 Mev, por lo que la dispersión elástica sera añisótropa en

C, interviniendo los neutrones P, D,...

Debido a lo anterior, se obtiene la siguiente hipótesis:

1/1,- La dí¿peA¿<¿ón ztcUtlca. e¿> az<muta£m&nte. ¿Ámí&L¿ca <¿n L.

En oZ QJXMO d<¿ núc£.eo¿ LígeAo¿ o¿> ÁAó&iopa en C, ptiodü.cÁ.indo&<¿

pon. neiL&ione¿> S.

Por tanto,

^ f r 5 / = ¿ x^CV - v, $> .fi; v¿/ 'N) C22)

que para el caso de núcleos ligeros, se reduce a

4 ( v ¿ n ^ n * V c J W V¿N^N} = ¿ 4 C v ¿ n * VCn' V¿n) (23)

3.5.2.- DISPERSIÓN INELASTICA CON NÚCLEOS LIBRES.

En la dispersión inelástica, el núcleo tampoco pierde su identidad, pe

ro el neutrón es emitido por un canal distinto del de entrada, es decir, el

núcleo residual queda en un estado cuántico distinto que el del núcleo blan

co. Por tanto, la dispersión inelástica solo puede producirse cuando la ener

I -li-

gia del neutrón incidente es superior a la del primer estado excitado del nú

cleo blanco. Para núcleos ligeros muy simétricos, como el C y el 0, la ener-

gía del primer estado excitado es del orden de los Mev, disminuyendo algo a

medida que se consideran núcleos ligeros menos simétricos. Para núcleos pesa

dos, es prácticamente del orden de los 40 Kev. Por tanto, como la energía me

dia de los neutrones de fisión es de unos 2 Mev, la dispersión inelástica só

lo es apreciable en los núcleos pesados.

Como según el §3.4, la dispersión inelástica es un proceso a través del

núcleo compuesto, será isótropa en C, y como en el caso de núcleos libres,

solo es apreciable en los núcleos pesados, en los cuales los sistemas L y C

coinciden, se obtiene la siguiente hipótesis:

Á Vil.- La &Up2M<Lón ¿yieZcUstica. i,oto ó& donkJL&QJioJiá. en Zo¿> nú

&n L.

Por tanto,

4 C V ' ^ * V¿N N } = W xÍnCV-v; v¿N) (24)

3.5.3.- DISPERSIÓN CON NÚCLEOS LIGADOS.

En la dispersión elástica, además de cumplirse las condiciones dadas en

el caso de núcleos libres, la molécula o el cristal residual quedan en el mis

mo estado cuántico vibracional y rotacional que la de la molécula o el cris-

tal blanco.

Cuando la energía del neutrón incidente es inferior a la del primer ni-

vel excitado del núcleo blanco,- no puede producirse la dispersión inelástica

en el sentido indicado en el §3.5.2, pero puede ser suficiente para modificar

el estado cuántico vibracional o rotacional de la molécula o del cristal, dan

do lugar a una dispersión inelástica.

En el caso de un reactor nuclear empleando los refrigerantes y moderado

res habituales, el estado de ligadura de los núcleos no afecta prácticamente

a la reactividad ni a los otros parámetros integrados que intervienen en su

operación, por lo cual puede considerarse que el medio está formado por nú-

cleos libres, efectuando posteriormente determinadas correcciones para el ca

so frecuente de que el reactor tenga como refrigerante o moderador agua lige

ra o pesada.

3.6.-FISIÓN.En la fisión , el núcleo compuesto se desintegra en dos núcleos llama-

(1) Velarde, G. • Véase ref. 1, pág. 1.

I -12-

dos, uno ligero y otro pesado. Ambos tienen exceso de neutrones y se encuen

tran en sendos estados altamente excitados, tanto más excitados cuanta mayor

sea la energía del neutrón incidente. Para la fisión inducida por neutrones

térmicos, la energía de excitación media del núcleo ligero puede ser de unos

11 Mev, y la del pesado de unos 11 Mev.

Como la energía de separación de un neutrón para estos núcleos es del

orden de 5,5 Mev, se desexcitarán emitiendo sendos neutrones, los cuales sor-

emitidos con una energía media de 1 Mev relativa al sistema solidario al frag

mentó. Después de haber emitido su primer neutrón, la energía de excitación

del núcleo ligero será de 14-(5,5+l) =7,5 Mev, suficiente para emitir un se-

gundo neutrón, después de lo cual, tendrá una energía de excitación de 7,5 -

-(5,5+1) =1 Mev, insuficiente para emitir un tercer neutrón. Después de emi-

tir su primer neutrón, la energía de excitación del núcleo pesado será de

ll-(5,5+l) =4,5 Mev, insuficiente para emitir un segundo neutrón.

A partir de entonces continúan desexcitándose, emitiendo un total de

unos 6 fotones, de casi 1 Mev cada uno.

A todos estos núcleos se les llama fragmentos primarios de fisión, y a

los neutrones y fotones emitidos por los fragmentos primarios de fisión al-14

ser producidos con una vida media del orden de 10 seg, se les llama neu-

trones y fotones instantáneos de fisión.

Una vez que los fragmentos primarios han emitido estos neutrones y fo_

tones instantáneos, se obtienen los dos núcleos precursores, el ligero y

el pesado, a cada uno de los cuales les sobra todavía un promedio de tres

neutrones, deshaciéndose de este exceso de neutrones mediante sucesivas emi

siones g , con vidas medias de hasta varios minutos. De esta forma, cada

uno de los precursores encabeza su correspondiente serie radiactiva, con

emisiones 3 , y, y en el caso poco frecuente de que uno de los núcleos de

la serie tenga una energía de excitación superior a la de separación de un

neutrón, emitirá el correspondiente neutrón. Este núcleo que emite el neu-

trón se le llama padre, y al precursor de la serie en la cual se emite un

neutrón, se le llama precursor de neutrones retardados.

A todos los núcleos de ambas series se les llama fragmentos secunda-

rios de fisión. Aunque el padre emite el neutrón con una vida media de unos-14

10 seg, este padre se ha formado a partir del precursor mediante transi_

ciones g con vidas medias de hasta varios minutos, por lo que estos g , y,

n son emitidos con retardos medios de hasta algunos minutos, llamándoseles

retardados.

I -13-

Los precursores de neutrones retardados, y por tanto sus constantes de

desintegración, son prácticamente independientes de la especie del núcleo

que sufre la fisión, y de las velocidades del neutrón incidente y del núcleo

blanco. De este modo, los diversos precursores de neutrones retardados obte-

nidos en las fisiones, pueden clasificarse en un determinado número de gru-

pos, los cuales son prácticamente los mismos para todos los núcleos fisiona-

bles, cualesquiera que sean las velocidades del neutrón incidente y del nú-

cleo blanco, obtenidas en los reactores nucleares.

Según lo anterior, teniendo en cuenta que la fisión solo se produce en

núcleos pesados, en los cuales los sistemas L y C coinciden, que el camino

recorrido por los fragmentos de fisión es despreciable, y de acuerdo con los

valores experimentales de las funciones y parámetros dados en las Tablas del

cap. II , se obtienen las siguientes hipótesis:

H¿pótzt>ii VIH.- En La {¡Z&Zón? todoi Loi ne.utA.onej, ÍZ enUtzn en eZ nuj>-

mo LugaA. en oJL que. ÁZ pJiodu.ce. La coLÁJ,Á.6n. Loi nzutxonzi ¿nitantánzoi ion eme

tídoi ¿nitantánzamzntz. Loi ne.vutA.on.ej> n.ztan.dadoi ¿>on zmitldoi con un n.etand.o

mzdío de. \~~.a

H-LpóteAÁJ, IX. - EL númzno mzdto de. ne.u£A.oneJ> ¿.nitantánzoi de. fiZbZón, ¿o-

Lo de.pe.nde, de. La. ziptciz I de. nu.cLe.oi, que ¿e, pilonan, y de,L móduLo de. La ue_

LociAad fieJLoJJjoa. znt/te. e£ ne.uZn.5n Ln.QA.de.nte. y eX nácLzo que. ¿u{¡A.e. La {¡ZiZón.

EL núme.n.0 me.dio de, ne.utn.onej, n.eXa.n.dado¿> de. {¡¿¿¿ón, do.pe.nde, ademáj, deJL gnupo

dz ne.utn.onej, n.eXjxn.dadoi> con¿¿dtn.a.do.

Wi,póteJ,ÍÁ X. - EL eJ,pe.c£n.o de. Lo¿ ntutn.one.6 de. ii&ián ej> ÁÁÓtXopo en L.

EL eApe.ctn.0 de. Lo¿ ne.uth.one.& ¿nétantánzoi de. {¡¿¿¿ón, de.pe.nde, ¿oLo de. La eópe_

cLe, Á, de, núcLzo¿> que, ¿u^A-m La {¡ÁJ>¿ón y de.L móduLo de. La. veJLocX.da.d deZ ne.u-

txón ie.cundaAÁ.0 emiti-do. EL eApe.ctA.0 de. Lo¿ ne.utn.one,¿ A.etaxdadoi> de. {ÁÁÁJón,

de.pe.nde. ¿oLo deZ gn.upo de. ne.utn.onej, A.<itaA.dadoi con¿>¿de.n.ado y deJL móduLo de.

La \ieZocÁ.dad del. ne.utn.6n ¿e.cundaA¿o exnitZdo.

WJjpóteÁÁJ, X I . - La inacción de, neutAonej, n.etan.dado¿ de.pe.nde. de. La ej,pz-

cle. Á. de. núcLzoi que. ¿u{¡A.e.n La ^ij,Á,ón, ¿Á.e,ndo Znde.pe.ndÁ,e.nte. de. La¿> vetocída-

deJ> deZ ne.utn.6n y deZ núcLzo.

U¿póteJ>-iA X I I . - Lo¿ pn.e,cuAÁon.eÁ dz Laj, AznÁ.z& na.dia.ctiuaÁ, y en paAt¿cu_

LOA. LO¿ dz Lo¿ nzutn.onz¿ netan.da.doi ¿z ¿uponzn en Kzpoio.

HZpótzAÁJ, X I I I . - Loi QA.upoi dz nzutn.onzi n.ztan.dadoi, y pon. tanto LOA dzn_

¿¿dadej, dz Loi pn.zcunAon.zi dz nzutnonzi n.ztan.dadoi y ÍUÍ conitantzi dz dziin-

tzgnaclón, ion ¿.ndzpzndizntzi dz La zipzcíz dzl núctzo quz iu^nz La ¡yóó-tón y

I - 1 4 -

de. la¿ vzLocA.dad.QA deJL ne.utn.6n Á.nc¿dznte. y d&l núcJLzo b¿anco, de.pe.ndie.ndo

ú.YÚ.came.nte. d&L gAupo de. ne.ath.oneA h.e£an.dado¿,.

Según las hipótesis anteriores, resulta

^ ' f r ^ L N ^ = Vp(vr} (25)

^ ' ^ ¿ N ^ = Í^V (26)

xj(v'fi',t' +vfi,t; v¿N n¿N) = ¿ X p ( v ) ó(t-t') (27)

(28)

6 ^ ' ' ^ N ) = BÍ ' X = P' d (29)

C^í.v'.^.t) = Cd(?,t) (30)

XÍ^'> ^ N } = Ad (31)

3.7.- SECCIONES EFICACES.Respecto a la dependencia energética de las secciones eficaces no dife_

renciales definidas en (11), puede admitirse la hipótesis:

XIt/.- La& ¿eccxoneó z.^-ícaaej, m¿cAo¿cóp<Lca¿>, no

de.pznde.n cíe la e¿pzc¿& -i de. ndcle.o¿ que -óu^en la colisión, dzl px.oc&>o x

c.on6<ídeAa.do, y doJL módulo de. la veJLoddad nilatíva. zntnz eJL ne.atn.6n Á,ncÁ,de.Yi_

te. y el. nácJL&o blanco.

Por lo tanto,

O Í ( V ^ ' VLN "LN} = < ( v r } (32)

3.8.-CLASIFICACIÓN DE LAS HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVAS.

Las hipótesis simplificativas anteriores pueden clasificarse en dos

grupos:

En el primer grupo se incluyen las Hipótesis I, II, III, V, VIII, XII

y XIII, las cuales son necesarias para formular las ecuaciones de Boltzmann

del transporte de neutrones, en la forma dada en los cap. III y cap. IV.

En el segundo grupo se incluyen las restantes hipótesis, las cuales

aunque están prácticamente de acuerdo con las medidas experimentales, no

son estrictamente necesarias para obtener las ecuaciones de Boltzmann men-

cionadas anteriormente.

II -1-

II.- DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS NUCLEARES.

1.- CONSIDERACIONES GENERALES.Para poder resolver las ecuaciones del transporte de neutrones, es nece

sario conocer previamente las funciones empleadas como coeficientes en dichas

ecuaciones, llamadas impropiamente parámetros nucleares.

En el Cap. I se considero que estos parámetros cumplían ciertas hipóte

sis simplificativas, pero en realidad, o no las cumplen, o solo lo hacen en

determinados intervalos de las variables. Por tanto, es preciso efectuar un

análisis de los parámetros nucleares, y de sus intervalos de validez.

En este capítulo se han incluido diversas formulas empíricas y valores

numéricos de los parámetros "~ , con objeto de analizar las variables de que

dependen, y justificar algunas hipótesis simplificativas introducidas. Por

tanto, en la resolución de las ecuaciones del transporte de neutrones deben

emplearse los valores numéricos más apropiados.

En los párrafos siguientes se considerará solamente que el medio está

formado por núcleos libres (.gas monoatómico], dejando para otro informe el

caso de que los núcleos formen parte de una molécula o de una red cristali-

na .

2.- DENSIDAD FÁSICA NUCLEAR.

Según la Hipótesis IV, la densidad fásica nuclear es isótropa en L, te_

niendo la variable velocidad separable,

siendo N (r,t) la densidad nuclear, o sea el número de núcleos i que en el

instante t hay en la unidad de volumen en r, y N (VTW) el espectro nuclear

de velocidades.

2.1.-DENSIDAD NUCLEAR.En el arranque del reactor, la densidad nuclear N (r,t) es función de

r debido a las heterogeneidades del medio, y durante la operación del reac-

tor, será función de t debido a las transiciones 3 y a las reacciones nuclea_

res inducidas por los neutrones en los núcleos del medio.. La densidad nuclear

(1) Reactor Physics Constants - AWL 5800 (1963).

II -2-

en función del tiempo se obtendrá de las ecuaciones del quemado ( ,VI).

En general, la densidad nuclear puede ponerse en función del número

de Avogadro, de la densidad másica y del peso atómico, por medio de

i pl N A -3

N = ; , átomos i • cm del medio (2)

a

siendop = densidad másica de los átomos i, o sea g de átomos i por cm

-3del medio, g-crn

24- ., -1N = numero de Avogadro = 0,6025*10 átomos» (_átomo-gramol

A = peso atómico del átomo i, g«(átomo-gramo)a *

En particular, pueden considerarse los siguientes casos:

2.1.1.- Si el medio es un gas monoatómico, como a la temperatura y presión

normales un átomo-gramo ocupa 22400 cm , será A~/p = 2240.0, luegoci

i p NA . -3N - átomos i • cm

. -3

3 átomos i • cm de gas monoatómico (.3122400

2.1.2.- Si el medio es un compuesto químico de densidad p, peso molecular

A , y con un número de átomos i por molécula a , se tienea

a } átomos i • cm de compuesto químico • . (.4-1A

a

2.1.3.- Si el medio es una mezcla de isótopos de densidad p, peso atómico

medio <A >, y con un enriquecimiento del isótopo i, o sea, con una razóna .

entre el número de átomos i al total dado por e , se obtienei p NA i -3

N = e , átomos i • cm de mezcla (.5)<A >a

2.1.4.- Si el medio es una aleación de densidad p, y con unas ppm de átomos

i, o sea g de i por T de aleación dado por p , resulta

p NN = — (p '10 ), átomos i • cm de aleación (6)

A1

a

2.2.-ESPECTRO NUCLEAR EN UN MEDIO CON NÚCLEOS LIBRES.Según la Hipótesis III, las colisiones neutrón-núcleo no modifican el

espectro nuclear, y si además de considerar que los núcleos están libres

(gas monoatómico), se cumplen las condiciones siguientes:

II -3-

i) Medio homogéneo,

ii) Medio infinito,

iii) No "hay fuentes ni sumideros de núcleos,

los núcleos seguirán la distribución maxwelliana dada por la mecánica clási-

ca para un sistema de partículas idénticas pero discernibles, en equilibrio

termodinamico con el medio,

M1 2

Mi, s , , M1 ,3/2 2 . VLN% ,_.N (VLN} = (271<f) VLN 6 XP (- - ^ - } (7)

la cual está normalizada a la unidad (1), siendo M la razón entre la masa

del núcleo i y la del neutrón, K la constante de Boltzmann, y T(r,t) la tem

peratura local del medio, la cual se determinará a partir de las ecuaciones

termohidraulicas del reactor ( ,VI).

La velocidad más probable de los núcleos i, viene dada por

LN y M

a la cual corresponde una energía dada por

'LN'TJ = I M Í ( V L N ) 2 = K T (9)

La velocidad media de los núcleos i, será

a la cual corresponde la energía

E ( < V L N > ) ^ M ^ v ^ 2 = Í K T (11)

2.2.1.- De todas las condiciones impuestas anteriormente para la obtención

del espectro nuclear, la más restrictiva es la de considerar los núcleos li

bres, de tal modo que si el medio es hetereogéneo, finito, y con fuentes y

sumideros de núcleos, pero formado por núcleos libres, puede suponerse que

el espectro nuclear sigue siendo maxwelliano.

3.- NUMERO MEDIO DE NEUTRONES EMITIDOS POR FISIÓN.

El número medio de neutrones instantáneos y retardados emitidos por fi

sión puede ajustarse a los dos primeros términos del desarrollo en serie de

Taylor en E 1

vi(E) = v*(E) + I vj(E) = v W ) +pv ' % dv ' ' u' üE E~ u

di (E-E*) + ... . (12)

u

siendo E 1 la energía umbral del neutrón, para la fisión del núcleo i.

II -M~

Si el núcleo es fisionable con neutrones térmicos se toma E = 0 , mien

tras que en los restantes casos se toma para la energía umbral la que da lu

gar a una sección eficaz de fisión detectable.

* * • A

En la Tabla I se dan los valores de E , v (E ) , -TTTu u dE

i, para los prin

cipales núcleos.

La ecuación (12), justifica la parte correspondiente de la Hipótesis IX.

TABLA I

Núcleo i

u 2 3 3

u 2 3 5

u 2 3 8

Pu 2 3 9

E 1, Mev

0

0

1.1

0

vV)u

2.50

2.H3

2.Í+1

2.87

dv1

dE E i , Mevu

0.115

0.135

0.139

0.111

3.1.-El número medio de neutrones retardados d, emitidos por fisión v , en

unión de (t. / o ) , , A , a,, ¿ vj5 vienen dados en la Tabla II, en función del1/ ¿ a a a ^ agrupo de neutrones retardados, para los principales núcleos fisionables.

Del examen de esta tabla, se pueden justificar las Hipótesis XIII y IX,

ya que prácticamente X es independiente de la especie de núcleo fisiona-

ble i, y de la energía del neutrón incidente, por lo que pueden considerar^

se los mismos 6 grupos de neutrones retardados, para los divei-sos núcleos

fisionables con neutrones de cualquier energía.

También puede justificarse la Hipótesis XI , ya que 3 no varía apre_

ciablemente con la energía del neutrón incidente.

4.- ESPECTRO DE LOS NEUTRONES DE FISIÓN.

4.1.-Entre las diversas fórmulas empíricas empleadas para representar el

espectro de los neutrones instantáneos de fisión, puede considerarse la si_

guíente

P v^E 1)u

I I - 5 -

TABLA I I

i

•

vm

OO

•H u235

P-

1CO&

0

£ pu2S9

s

K = fTv-d G

0.0066 ± 0.0003

0.0158 ± 0.0005

0.0061 ± 0.0003

d

i

2

34

5

6

1

2

34

56 '

1

2

34

56

(tl/2

55.00 ±20.57 ±

5.00 ±2.13 ±

0.615 ±0.277 ±

55.72 ±22.72 ±

6.22 =2.30 ¿0.61 ±0.23 ±

54.28 ±23.04 ±

5.60 ±2.13 ±

0.618 ±0.257 ±

} d

0.540.380.210.200.2420.047

1.280.710.230.090.0830.025

2.341.670.400.240.2130.045

0.0126 ± 0.00020.0337 ± 0.00060.139 ± 0.0060.325 ± 0.030

1.13 ± 0.402.50 ± 0.42

0.0124 ± 0.00030.0305 ± 0.00100.111 ± 0.0040.301 ± 0.012

1.13 ± 0.153.00 ± 0.33

0.0128 ± 0.00050.0301 ± 0.00220.124 ± 0.0090.325 ± 0.036

1.12 ± 0.392.69 ± 0.47

0.0860.2990.2520.2780.0510.034

0.0330.2190.1960.3950.1150.042

0.0350.2980.2110.3260.0860.044

X

±

±±±dt

±±

±

±±x

X

±±

±

±±

ú1

Q -

0.0030.0040.0400.0200.0240.014

0.0030.0090.0220.0110.0090.008

0.0090.0350.0480.0330.0290.016

0.057 ± 0.0030.197 ± 0.0090.166 ± 0.0270.184 ± 0.0160.034 ±0.0160.022 ± 0.009

0.052 ± 0.0050.346 ± 0.0180.310 ± 0.0360.624 ±0.0260.182 ± 0.0150.066 ±0.008

0.021 ± 0.0060.182 ± 0.0230.129 ± 0.0300.199 ± 0.0220.052 ±0.0180.027 ± 0.010

CO

o• H

a-«TiK

enQ)co£_,+J--i

O)

u 2 3 3

u 2 3 5

Pu239

0.0070 ± 0

0.0165 ± 0

0.0412 ± 0

0.0063 ± 0

.0004

.0005

.0017

.0003

123456

1

2

3

456

1

2

3

4

56

12

' 3456

55.1120.74

5.302.29

0.5460.221

54.5121.84

6.002.23

0.4960.179

52.3821.58

5.001.930.49

0.172

53.7522.29

5.192.09

0.5490.216

±

±±

±

±a.

±

±

±

±

±

±±

±

±±

±

±

1.860.860.190.180.1080.042

0.940.540.170.060.0290.017

1.290.390.190.070.0230.009

0.950.360.120.080.0490.017'

0.01260.0334

0.1310.302

1.273.13

0.01270.03170.1150.311

1.403.87

0.01320.03210.1390.358

1.414.02

0.01290.03110.1340.331

1.263.21

±

±

±

±

±±

±

±

±

±

±

±X

±x

±

0.00040.00140.0050.0240.2660.675

0.00020.00080.0030.0080.0810.369

0.00030.00060.0050.0140.0670.214

0.00020.00050.0030.0120.1150.255

0.0860.2740.2270.3170.0730.023

0.0380.2130.1880.4070.1280.026

0.0130.1370.1620.3880.2250.075

0.0380.2800.2160.3280.1030.035

±

±±±±

±±±±x

±

±±±±±

±X

±±±±X

0.0030.0050.0350.0110.0140.007

0.0030.0050.0160.0070.0080.003

0.0010.0020.0200.0120.0130.005

0.0030.0040.0180.0100.0090.005

0.06 ± 0.0030.192 ± 0.0090.159 ± 0.0250.222 ± 0.0120.051 ± 0.0100.016 ± 0.005

0.063 ± 0.0050.351 ± 0.0110.310 ± 0.0280.672 ± 0.0230.211 ± 0.0150.043 ± 0.005

0.054 ± 0.0050.564 ± 0.0250.667 ± 0.0871.599 ± 0.0810.927 ± 0.0600.309 ± 0.024

0.024 ± 0.0020.176 ± 0.009.0.136 ± 0.0130.207 ± 0.0120.065 ± 0.0070.022 ± 0.003

II -6-

que al normalizarla a la unidad, se obtiene la relación entre a y b ,

= iv (Eu)

La energía más probable de los neutrones instantáneos, viene dada por

(15)

dE

la cual vale unos 0.6 5 Mev.

La energía media de los neutrones instantáneos, se obtiene por

_ iV E ) d E " » v i ( E i , - 2 h (16)

la cual tomará valores alrededor de los 2 Mev.

En la Tabla III, se dan los valores de a , b , E y <E>1 para los prinP * ~~

cipales núcleos fisionables.

Teniendo en cuenta que a~ y b , prácticamente no dependen de la ener_

gía del neutrón incidente, puede justificarse la parte correspondiente de

la Hipótesis X.

TABLA III

i

u 2 3 3

u 2 3 5

Pu 2 3 9

1

1

2

ia

.888

.872

.121

b

1

1

1

~ ,Mev

.306

.290

.333

E1

P

0

0

0

, Mev

.653

.645

.667

<E>

1

1

2

, Mev

.957

.936

.002

4.2.-El espectro de los neutrones retardados de fisión X J ( E ) , se ha represen( 1 2 ) . ~

tado ' en la fig. 1, para los cuatro primeros grupos de neutrones retar-

dados, indicando la energía media en cada grupo.De este modo queda justificada el resto de la Hipótesis X.

(1) Keepin, G.R. - Delayed Fission Neutrons - IAEA (1968).

(2) Keepin, G.R. - Physics of Nuclear Kinetics - Addison Wesley (1965).

II -7-

5.- ESPECTRO DE LOS NEUTRONES DE DISPERSIÓN ELÁSTICA EN NÚCLEOS LIBRES.Según la Hipótesis VI, la dispersión elástica en núcleos ligeros es Iso_

tropa en C, y en general, teniendo en cuenta la ecuación (.21,1), cuando se

verifica que

2

E(Mev) < - ;° "L = > X ^ -, 0 (.17)

es decir, el termino l~simo del desarrollo en polinomios de Legendre del án-

gulo de dispersión en C, del espectro de los neutrones de dispersión elásti-

ca , es nulo.

Por tanto, la anisotropía en la dispersión elástica es tanto más impor-

tante cuanto mayor sea la masa del núcleo y la energía del neutrón incidente.

Por un lado, en los reactores rápidos han de tomarse dos o tres términos del

desarrollo, mientras que en los reactores térmicos basta con uno, es decir,

la dispersión elástica es isótropa en C. Por otro lado, en la moderación pue_

den influir los efectos de anisotropía, mientras que en la termalización la

dispersión elástica es Isótropa en C.

Como según (.17), puede limitarse el número de términos del desarrollo,

y especificar determinadas leyes de dispersión en C, mientras que la formula

ción de las ecuaciones del transporte de neutrones se efectuará en L, es ne-

cesario establecer las fórmulas de transformación del sistema C al L.

5.1.-FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA C AL L.Las fórmulas de transformación del sistema C al L se obtienen partiendo

(1)de las ecuaciones de conservación de la energía y del impulso , dadas enla Tabla IV, y teniendo en cuenta que

velocidad en L = velocidad en C + velocidad en L del centro de masas (18)

El tercer miembro de (21) es debido a la definición de velocidad en L

del centro de masas, la cual toma los valores

íl) Velarde, G. - Véase ref. 1, pág. 1.

II -8-

TABLA IV

^^\sistemaley \ ^

Conservación

de la energía

cinética

Conservación

del impulso

L

1 ,2 1 ..i , 2 1 2 l..i 27T V T + 7T M VJ . = -r- V_ + 7T M V T „

2 Ln 2 LN 2 Ln 2 LN

(19)

-> i-> -> í-> i -vvi +M vi =vT +M v =(1+M )v_ „Ln LN Ln LN LnN

(21)

C

1 .2 1 ..i ,2 1 2 1 ..i 2— v +— M v =— v i— M v2 Cn 2 CN 2 Cn 2 CN

(20)

¿n + M^CN = \n + M^CN = °(22)

1 •+.VJ

LnN 1 + Mi Ln 1 + M

1+M1 V L r

v'i LN

1 -y M 1 - -9", M 1 •+. ->— V + V ~ V — V — V

. ,,1 Ln . .,i LN Ln „ ,,i Lr Ln1+M 1+M 1+M

(23)

La anulación del impulso en C, expresado en (22), es debida a que pa_

ra pasar del sistema C al L hay que efectuar una translación v , es de-

cir

V = V — VCn Ln LnN 1+M

V = VCn

siendo

-y ->-v' = vLr

Lo"

t

Ln

VLnN

VLN'

M

1+M1

^Lr =

V.Lr

-y

VLn

-5-

' vc

"^LN

™ V — V

LN LnN

VLN VLnN

1

1+M"

1

1+M1

Lr

vLr

(24)

(25)

(26)

con lo cual, al sustituir (24- y 25) en (21), se obtiene (22).

Por tanto, vjl, y v' tienen sentidos opuestos, y lo mismo v_ y v_M,

con lo cual puede construirse parte de la fig. 2.

Eliminando v' y v entre las ecuaciones (20 y 22), se obtieneCN CN

v = vCn Cn

1+MvJ

i LrVi = V :Lr Lr

V — VCN CN 1+M

vJi Lr

(27)

luego, el módulo de las velocidades enC ,y el módulo délas velocidades relativas

en L, son invariantes en la dispersión elástica, es decir, los lugares geo

métricos de las v y v son sendas circunferencias de radios v' y v'\~* i i v^ 1N V-* 11 \*-x s

II -9-

y centro en v , con lo cual puede completarse la fig. 2.

De lo anterior resulta que dadas las velocidades en L antes de la dis-persión v' y v' , por (23) se obtiene v , por (24 y 25) se obtienen v' y

Ln LIIN " LnJN - Lnv' , y por (27) se obtienen los módulos vp = v' y v • = v' .

Sin embargo, queda indeterminada una de las siguientes magnitudes: 8. ,

6 , 6 , 6~,T, v , v , es decir, dada una cualesquiera de ellas, quedan deJ-JIN un CN Ln LÍN ~ —~

terminadas todas las restantes. A continuación se establecerán las relacio- :

nes entre las magnitudes correspondientes al neutrón.

5.1.1.-RELACIÓN ENTRE vLn y

Del triangulo de lados v , v , v , en la fig. 2, se obtieneLn LnM Ln

2 2 2v = vn + v. ., + 2 vo vT eos 6n (28)Ln Cn LnN Cn LnN Cn

y como eos 8 puede tomar todos los valores entre -1 y +1, los valores extre_2 „

mos de vT , seránLn

eos 6. = 1 ==> (vT ) = v- + vT „ (29)Cn Ln max Cn LnN

eos 6n = -1 = 7 ' (vT ) . = v_ - vT M (30)Cn Ln m m Cn LnN

en las cuales v y v se calculan por (24 y 23), ambas en función de v'

y V' . De (29 y 30), resulta

VCn ~ 2" _ Ln max + Ln minj ' VLnN ~ ~2 [ Ln max ~ Ln minj '

Cn LnN 4 ¡ Ln max Ln minj

Haciendo • •

(v ) (v ) (v ) (v ) 2

Ln max . Ln max „ " Ln m m i Ln m m ,m-lN2m + 1 = , m - 1 = 2 = •—, a = r— =v v v \ v JLnN LnN LnN Ln max .

la ecuación (28) toma la forma

i r, ^2 , • .2 ~\ i r

= 2 •L(vLn)n.aX+(vLn)minJ + 2 L('

vT2 = ^ | ( v T ) ' + ( v . ) \ I + ~ | ( v T ) " - ( v . ) ' .

. L n 2 |_ L n m a x L n m i n j 2 |_ L n m a x L n min_ C O S 9Cn

= - (v )2 ^ Ln max

2m +2m eos 8 +1i m +2m eos 8 +1

(1+a1) td-a 1) eos 9P = (v. T ^=H-_ (33)Cnl Ln max 2P = (v. TCnl Ln max (1+m)

1 2o bien, representando por E = - v. , la energía cinética del neutrón en L,

II -10-

la ecuación anterior toma la forma

E= -r (1+a1) + (1-a ) eos

Cn

2m + 2m eos Qn +1

Cn

max(1 + m)2

los cuales relacionan v_ ó E con eos 6_ .Ln Cn

5.1.2.- RELACIÓN ENTRE v,_n y 8 L n.Considerando el mismo triángulo que en el párrafo anterior, resulta

v^ = v2 +v^ ..-2 vT vT .. eos 6, (35)Cn Ln LnN Ln LnN Ln

y teniendo en cuenta (31), se obtiene

v v — v v ( v ) ( v ) .Ln Cn LnN Ln Ln max Ln min

y = eos 8. = = ———— =i ¡v

2 v 2 v v 2 v ? v vLnN Ln LnN LnN Ln LnN

m+1 Ln m-1 Ln max ,~^_ _ _ _ _ _ _ _____ (3o)

Ln max Ln

la cual relaciona v. con y.Ln

5.1.3.- RELACIÓN ENTRE 8 P n y 8, .un Ln

Puede obtenerse eliminando v entre (33 y 36), o bien directamenteLn

de la fig. 1, proyectando el triángulo considerado en los párrafos ante_

riores, sobre el eje v y su perpendicular,v sen 8

t g e = , — — (37)vT „ t vo eos 8O

LnN Cn Cnluego de (31 y 32), resulta

tg 8T 1 + m eos 8_o ° Ln Cn f„0sy = eos eT = = ;•- (38)L n - - •- "VI + tg2 8. /nr + 2m eos Q + 1

que establece la relación entre y y eos 8 .

5.2.-LEY DE DISPERSIÓN ELÁSTICA.

Dada la ley de dispersión elástica en C, y conocidas las fórmulas de

transformación del sistema C en el L, obtenidas en el §5.1, puede calcular

se el espectro de los neutrones de dispersión elástica en L.

5.2.1.- CASO DE DISPERSIÓN ELÁSTICA ISÓTROPA EN C.Al seT1 la dispersión elástica isótropa en C. la probabilidad de que un

II -11-

neutrón de velocidad vJ al chocar con un' núcleo i de velocidad v' , el neu-Ln LN

trón dispersado tenga una dirección dentro de áüp en Qp , es

Cn(39)

Tomando como dirección de referencia la de fiT .T, como dfi_ =d(cos Qn )dcj>.LnN Cn Cn

siendo é el azimut y 0 la coaltura de Q , y al ser la dispersión elástica

azimutalmente simétrica, al integrar (39) para todos los azimutes, resulta

X e l ( c O S 9¿n * COS 9Cn; *Ln'COS 9Cn = f d COS 6Cn (40)

es decir, todos los valores de eos 6_ son igualmente probables, pero no los

de y=eos 0 , ya que según (38) la relación entre eos 8^ y y no es lineal.Ln ' Ln

5.2.1.1.- Las probabilidades de que un neutrón incidente' de velocidad v' al

chochar con un núcleo i de velocidad v' , de lugar a la emisión de un neutrón

dispersado elásticamente dentro de <

d eosCn

d v

d ELn en <

eos eCn

LnE

y

, son iguales,

ya que el problema queda perfectamente determinado al fijar una cualesquiera

de las magnitudes anteriores.

Por tanto

Xel(coS 6¿n - COS 9Cn; Ln' \^ d cosCn

dvLn

E; Phn, \^) dE X Í 1 ^ ' y, Ln» LN ) d y

Como el primer miembro se conoce por (40), y las relaciones entre cos 6- ,

v , E, y vienen dadas en el §5-1, pueden obtenerse las restantes probabilida-Lndes .

De (33), resulta

(v ) 2

, Ln max 4 m 1 ,d vL = _ < - — - d c o s eCn

(v ) 2

Ln max iN 1)

2 vT (1+m)'Ln

2 v9Cn

Ln

d E = Emax (1+m)

- I d cos 8, = E (1 - a1) ~ d cos 9P2 2 Cn max 2 Cn (43)

De (38) se obtiene dy en función de dcos 0 , dando lugar a una expre-

sión complicada en y.

II -12-

Sustituyendo (40, 42 y.43) en (41), resulta

X ¡ 1 ( C O S COS (44)

X , (v' -> vT ; v' , v' ) = <"el Ln Ln Ln LN |

X¡1(E' L ' VLN) =

2 vLn (1+m)'

(v. )Ln max

2 vLn9

Ln max1 -

(v ) . < v < (v )Ln min — Ln — Ln max

(45)

O, v, • (v ) . ,

Ln Ln min Ln v. )Ln max

(46)

5.2.1.2.- Dadas las velocidades iniciales, antes de la dispersión, vj yLn

v' , la probabilidad de que el neutrón dispersado elásticamente tenga lavelocidad dentro de d v T en vT , viene dada en (45). Pero una vez filada

Ln Lnla velocidad v , su ángulo de dispersión 8. queda perfectamente determi

Ln * Ln ~ ^ ~~nado por ( 3 6 ) , es decir, fijada v. la probabilidad de que el neutrón sea

Ln

dispersado elásticamente dentro de dy en y , vendrá dada por una delta de

Dirac, ó(y- y) dy, siendo y uno cualesquiera de los valores de y dados en

(36).

Por tanto, la probabilidad de que un neutrón incidente de velocidad

v' til al chocar con un núcleo i de velocidad v' . £2' de lugar a un neuLn Ln LN LN ° —

trón dispersado elásticamente dentro de dv_ d£L en vT ÍL , seráLn Ln Ln Ln

"Ln Ln LN L Ln 'Ln 2TT Ln Ln

<$(\i - y) dv_ dy déLn

(47)

Sustituyendo (45) en la ecuación anterior, se obtiene el espectro

buscado de los neutrones de dispersión elástica isótropa en C,

I I - 1 3 -

X1-,(vT' Ü! ->vT ttT , v' i ! ' )=<e l Ln Ln Ln Ln LN LN ^

2 V Ln

(v )Ln max

2 vr

1 Ln211 (v. ) 1 - a 1

Ln max

r ó(y-y)

( V ) . < V < (VT )

Ln min— Ln — Ln max

(48)

O, vLn

vT ) . , vTLn min Ln v T )Ln max

y análogamente para la energía

Xel Ln Ln LN LN

E 4mmax

1 1

ó(p-p)

6(u-p)

E . < E < Emin — — max

271 E 1 - a 1

max

0, E < E . , E •• Emin max

(49)

con

y =m+1 Ln

( T )Ln max

m-1 Ln max

Ln

m+1 (50)

5.2.1.3.-Es conveliente determinarlos valores propios de las siguientes magnitudes

empleando el espectro de los iieutior.es dispersados elásticamente.

max max

; v' , v' ) d cos 9i Ln LN Cn

ii)

-1

E> - <u -u> =

E m X ~ J-l

(1+a1) + (1-a1) cos 6P d cos 6. = i (1-a1) (51)Cn Cn 2

ln

max

• d cos f

• 1

1 = 1 + — 2 — _ l n ax

Cn . i1-a

Üi) xel ( c° S 9Cn 8Cn;

+ (1-a ) cos

(52)

d c o s 9 Cn

_12

1 + m cos Qc

2m cos Bn + 1Cn

d cos 0. = -r—Cn 3m

(53)

5.2.2.-CASO DE DISPERSIÓN ELÁSTICA ANISOTROPA EN C.Cuando la dispersión elástica es anisotropa en C, la ecuación (40) deja

i i -14-

de cumplirse. Desarrollando el primer miembro de (40), en serie de polino-

mios de Legendre, resulta

4 ( C O S 9Cn •* COS 9Cn' \n> LN} = A ^ xel(^Ln' LN) Pl ( c O S W1 - 0 (54)

De (54 y 41) , se obtiene

i , , -*, ~*~, \ Ln 1 v- 2 1 + 1 i ,-»-, ->, sXel (vLn - VLn; VLn' VLN} = 2 ^ ~ J ] jo ~T~ * e l X ¿ n ' V¿N

Ln max

• P1(cos 9Cn) (55)

y de (47), resulta

Ln'VLNi¿LX e l^ V Ln 2 Ln VLn Ln'VLN i ¿LN ; , , 2 , i n ¿ n 4TT X e l V\n> VLNJ

(v. ) 1 - a 1=0Ln max

• P1(cos 6Cn) ó(y - y) (56)

Teniendo en cuenta la expresión de eos 6,, en función de vT dada enCn Ln

(33)

2 v2

eos 9 = 1 - ilgL (1 í£~) (57)Cn 2m . ^ ¿

Ln max

el espectro buscado, de los neutrones de dispersión elástica anisótropa en

C, valdrá

X ( n " n fi)^ Xel l(v¿n' VLN} '

—2

Ln max

^ i ^ n X el l ( v ¿ n ' VLN

vT ) 1 - a 1=0Ln max-

- y ) , (vT ) . < vT < (vT ) (58)' Ln mm — Ln — Ln max

anulándose para vT < (vT ) . y vT > (v. )Ln Ln mm J Ln Ln max

Del mismo modo se obtiene para l a ene rg ía ,

x - > - > • - » • " * • •> 2 1 r 2 1 + 1 iY ( E ' Q' ~** F Q v 1 Q' ) = i \ y

n E 1 - a 1 1=0max

[ 2 - i

1 _ (-1^m^ ( l — ) 5 ( y - y ) , E . < E < E ( 5 9 )2m J mm — max

maxanulándose para E < E . y E > E

r m m maxEn las ecuaciones anteriores y viene dada en (50).

II -15-

5.3.-ESPECTRO DE LOS NEUTRONES DE DISPERSIÓN ELÁSTICA EN LA TERMALIZACION.

En el caso de termalizacion, de (17) se obtiene que la dispersión elás-

.tica es isótropa en C, por lo cual los desarrollos en serie de polinomios de

Legendre del §5.2.2, quedan reducidos al primer término, o bien el espectro

de los neutrones de dispersión elástica viene dado en (.4-8 y 49).

5.4.-ESPECTRO DE LOS NEUTRONES DE DISPERSIÓN ELÁSTICA EN LA MODERACIÓN.

En el caso de moderación, de (17),la cual está tabulada en la Tabla 1,1,

se obtiene que la dispersión elástica puede ser anisotropa en C, aunque solo

basta considerar dos o tres términos del desarrollo en serie de polinomios

de Legendre.

Como entonces la velocidad de los núcleos es despreciable frente a la de

los neutrones, basta hacer en las ecuaciones de los §5.1 y §5.2 v' - 0 , luego

v' = vT' , vT = —i-r- vT' (60)Lr Ln LnN . ,,i Ln

1+M

v' = ^ r v' = -vT „ (.61)i+M1 L n' CN „ .wi Ln LnN

VCn = vCn = ~ T VLn' VCN = VCN = 7 7 T vLn (62)

1+M 1+M

o b t e n i é n d o s e l a f i g . 3 , 1 1 .

5 . 4 . 1 . - RELACIÓN ENTRE v, y e r .

Del §5.1.1 , se obtiene

i(vT ) = v' , E =E! , (v_ ) . =—: v' = /ai v' , E . = a E' (.63)Ln max Ln max " Ln m m Mi Ln Ln m m

i i n1-^ 9m = M , a = (iVi) (64)

v = — v' (1+a ) + (1-a ) eosLn 2 Ln [_

i2M + 2M~ eos Q + 1

n:

M l 2 + 2M1 eos 6 + 1eos 6 = r~^ (66)CnJ 1 2

5.4.2.- RELACIÓN ENTRE vLp y

De (36), resulta

2 2 ¡v —v' 'ct-- i v i v'

. Ln Ln M +1 Ln M -1 Ln= eos 6 = — — = —

LXi vT vi (1 - 41) ¿ y' ¿ vT

Ln Ln Ln Ln

II -16-

5.4.3.- RELACIÓN ENTRE 6 r n y e . .un L n

De (38), se obtiene

1 + M1 eos 8U = eos 0 = (68)

/Mi2 + 2M1 eos 6Cn + 1

5.4.4.- CASO DE DISPERSIÓN ELÁSTICA ANISOTROPA EN C.

En este caso, de (58 y 59) se obtiene

^ Xv' 1 - a 1=0

2

2M VTLn

anulándose para vT < /a1 v' , vr > v'Ln Ln Ln Ln

1 - a 1=0

P1 2M

i

(69)

ó(y - y), a1 E' < E < E' (70)

anulándose para E < a E' y E > E ' .

En (69 y 70) y viene dada en (.50).

Los valores medios (51 a 53) son en este caso

<£-> = ~ (1 - a1), <ln -> = 1 + — ,- ln a1, <y> = -\ (71)L ¿ ¿ 1 - a 3M

5.5.-ESPECTRO DE LOS NEUTRONES DE DISPERSIÓN ELÁSTICA EN NÚCLEOS DE MASA

INFINITA.Cuando se supone que M =°°, de los párrafos anteriores se obtiene

V"' — V — V ~ \r ~ v — 0 VT = V V — V

LN LN LnN CN CN ' Ln Cn' Ln Cn'

vi = v' ='vT = vn (72)Ln Cn Ln Cn

y los sistemas L y C coinciden

(vT ) = (vT ) . = v. , a = 1 (73)Ln max Ln m m Ln

El espectro correspondiente, valdrá

II -17-

1(vJ 9' -*• vT nT , 0) = ~ 6(vJ - vT )l Ln Ln Ln Ln M-TT Ln Ln

6.- ESPECTRO DE LOS NEUTRONES DE DISPERSIÓN INELASTICA CON NÚCLEOS LIBRES.

Al no tener en cuenta la modificación de los estados cuánticos vibracio-

nal o rotacional de la molécula o del cristal, la dispersión inelástica solo

se produce cuando el núcleo residual queda en un estado excitado.

En este caso de considerar los núcleos libres, según la Hipótesis VII,

la dispersión inelástica solo se aplicará a los núcleos pesados, siendo isc

tropa en L.

6.1.-Cuando el núcleo compuesto está altamente excitado, y por tanto, los ni-

veles energéticos son tan densos que pueden considerarse como continuos, el(1)

modelo de evaporación del núcleo compuesto , da resultados aceptables. En

este modelo, la emisión de los neutrones de dispersión elástica puede asimi-

larse a la evaporación de las moléculas de una gota líquida, la cual se ajus-

ta a una distribución maxwelliana, caracterizada por una temperatura nuclear

dada por

0 =3.226

Mev (75)

En estas condiciones, el espectro de los neutrones de dispersión inelás-(2)

tica, viene dado por

>4(.E' - E, 0) = fCE) ~ E / 0 (76)

siendo

f(.E) =

1, E > 0.5 Mev

Jl 15

, E < 0.5 Mev (77)

'O 0el cual se ajusta a las medidas en reactores rápidos.

(1) Velarde, G. - Véase ref. 1, pág. 1.

(2) Okrent, D., Avery, R., Hummel, H.H. - Proc. Int. Conf. Ginebra 5, 357

(1955).

O 0.2 0.4 0.5 0.8 1.0 1.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.5

Fig.- 1,11

sistema L

sistema C

núcleo antes dela dispersión

neutrón antes dela dispersión

neutrón despuésde la dispersión

núcleo ,despuésde la/dispersión

FIG. 2,11

neutrón antesde la dispersión

ViLn

neutrón despuésde la dispersión

\ "'\de la dispersión

\

\

\

\

núcleo despuésde la dispersión

\

FIG. 3, II

III -1-

III.-ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES DE BOLTZMANN DEL TRANSPORTE DE NEUTRO-

NES.

1.- ECUACIÓN DEL BALANCE DE NEUTRONES.

La ecuación correspondiente a la densidad fásica neutrónica, se obtie-

ne al plantear el balance entre las pérdidas y las ganancias de neutrones.

Esta ecuación se establecerá para la densidad n(r,vfi,t), en vez de para

n(r,v,t), con objeto de evitar el factor v en los espectros de neutrones

secundarios.

Sea R. un subespacio arbitrario de R y SQ SU superficie exterior, con

re Ro c R.

Se considera una determinada clase de neutrones, caracterizados por

que en el instantet, tienen un modulo de velocidad dentro de dv en v y una

dirección dentro de dfi en ti.

1.1.'-PERDÍDAS POR FUGAS.

El número de neutrones de la clase considerada, perdidos por fugas a

través de la superficie exterior S_, durante dt, es

n(ro,v^,t)dvdí2 dt dSQ = -dvd dt fi-Vv n(r,vn,t)dr (1)

con la integración extendida para todo re Rn, r.e5_.

1.2.-PERDIDAS POR COLISIONES.

Cualquier neutrón que sufra una colisión, deja de pertenecer a la cla-

se de neutrones considerada, ya que es absorbido, o sufre una dispersión, en

la cual modifica el módulo de su velocidad, su dirección, o ambas cosas. El

número de neutrones de la clase considerada, perdidos por colisiones en R ,ü

durante dt, es

^(í,ví,vLNíLN,t)d?c-I R^(í,vQ,vLN0LN,t)d?dvdí2dvLNdnLNdt = -dvdíídt n(rsvft,t) I J ~ N1(r,t)

. N ^ v ) a*(v )v dvTM dP, T dr" (2)

LN t r r LN LN

con la integración extendida para todo re Rfi; v tiT 6 Vxti.

1.3.-GANANCIAS POR DISPERSIONES Y FISIONES.Un neutrón incidente o primario de velocidad v' al producir en el ins-

III -2-

t' un proceso de dispersión o fisión, con un núcleo i de velocidad v' ,

puede dar lugar a neutrones secundarios de la clase considerada. El núme_

ro de neutrones secundarios de la clase considerada, producidos por las

dispersiones y fisiones en RQ, durante dt, es

^ J / [^v'fr.f-vS, t;

con la integración extendida para todo r e R ; v'ü' , v' ü' e Vxíí ; t' >t,

y siendo x = s,f; p,d.

1.3.1.- Para los neutrones de dispersión, teniendo en cuenta (17,1; 18,1;

19^1 y 32,1), el término anterior toma la forma

dvdfldt i i ± ^(v,t) NX(v¿N) a¡CvM x^v'í'-.víj v<Jí'w) v¿ n(?,v'^',t).

• dv dí2 dv ÚQJ dr (4-)LN LN

1.3.2.- Para los neutrones instantáneos de fisión, teniendo en cuenta (25,1

y 27,1), el término (3) vale

dvdfidt Y ji- x1( v) T^T N1(r,t) N1(v'T) v^v

1) a^(v' ) v1

h 4-ir p J 4ÍT LN p r f r i

1.3.3.- Para los neutrones retardados de fisión, teniendo en cuenta (26,1

y 28, I), el término (3) se transforma en

dvdfidt I ¿:X d (i,d J

t-X'1) dv'dft'dv' Tdí2' dr (6)d LN LÍN

El término anterior puede sustituirse por otro más apto para el estu-

dio de la cinética neutrónica, teniendo en cuenta que A,C,(r,t)drdt es el

número de precursores d desintegrados dentro de dr en r, en el intervalo dt

en t, y que según la definición de C,, dada en el §2.2, I, es igual al núme

ro de neutrones retardados d emitidos dentro de dr en r, en el intervalo dt

en t. El número de neutrones retardados d, pertenecientes a la clase de neu_

trones considerados en este balance, producidos en R , durante dt, serán eii

tonc.es

III -3-

A,C,(r,t)drdtd d

7— xJ(v)dvdí2 = dvdQdt I •— X x H ( v ) C ( r , t ) d r (7)d

con la integración extendida para todo r e R .

1.4.-GANANCIAS POR FUENTES INDEPENDIENTES.

Sea Q(r,vO,t) la densidad fásica de fuente neutronica independiente,

o simplemente densidad de fuente. El número de neutrones de la clase con-

siderada, emitidos por la fuente en R , durante dt, es

Q(r,vfi,t)drdvdQdt = dvdftdt Q(r,v^,t) dr (8)

1.5.-El balance neutrónico se establece al igualar la suma algebraica de

las pérdidas y las ganancias de neutrones, a la variación temporal de la

densidad fásica neutronica (1, I). Como R un subespacio arbitrario de R,

resulta,

^-n(r,vfi,t) =-n.Vvn(r,vn,t) -n(r,v«,t) \ N^r.t) ~ N ^ v ^ ) ° Í ( vr) •

o_(v ) v n( i" .v ñ , t ) dv dü dvi dü + ) -,— y , v v ) A, C , ( . r , t ; +f r T> ' ' JJN LN T 4TT d d d

d

Q(r,vfi,t) (9)

Ecuaciones análogas a la anterior, pueden obtenerse para las densida-

des neutrónicas n(r,EÍ2,t), n(r,uíí,t), n(r,v,t), n(r,u,t), y para las de los

flujos correspondientes <j> =vn.

La ecuación anterior es una ecuación integrodiferencial lineal, llama-

da ecuación general de Boltzmann del transporte de neutrones, la cual debe

completarse con la correspondiente para la densidad de precursores de neu-

trones retardados, que se obtendrá en el párrafo siguiente.

1.5.1.- En vez de v~ y v,, se suelen emplear las fracciones de neutrones re_

tardados (14, I) y la v1,

Vp(v;) = fsjj vi(v;)= (i-e1) v V ) , vj(v;) = ej vV;) do)

III -1+-

2.- ECUACIONES DEL BALANCE DE PRECURSORES.

La ecuación correspondiente a la densidad de precursores de neutrones

retardados, se obtiene, análogamente al caso anterior estableciendo el ba-

lance entre las pérdidas y ganancias de estos precursores.

Se consideran los precursores d, que en el instante t están situados

enR Q.

2.1.- PERDIDAS POR FUGAS.

De acuerdo con la Hipótesis XII, los precursores de neutrones retarda-

dos se consideran en reposo, por lo que las perdidas por fugas a través de

S. serán nulas.

2.2.-PERDIDAS POR DESINTEGRACIONES.

El número de precursores d, perdidos por desintegración en R , durante

dt, es

-|Xd Cd(r,t) drdt = -dt Cd(r,t) dr (11)

2.3.-GANANCIAS POR FISIONES.

El número de precursores d producidos por fisiones en R~ , durante dt,

es igual al número de fisiones originadas en R durante dt, multiplicado

por la probabilidad de que en la fisión se emita un precursor d. Teniendo

en cuenta que en la definición de C-, dada en el §2.2,1, se incluía la pro_

babilidad de que el precursor d emitiese un neutrón, se obtiene que el nú-

mero de precursores d es igual al número de neutrones retardados produci-

dos por fisiones en R.., durante dt, o sea

.,t) vj(v') d?dv'díl'dv' d$i' dt=dt Idfl^

V dv'

2.4.- El balance de precursores d, se obtiene, análogamente al caso de

los neutrones, igualando la suma algebraica de las pérdidas y ganancias,

a la variación temporal de la densidad de estos precursores (1,1). Al ser

R_ arbitrario, resulta

£ Cd(?,t) =-Ad Cd(?,t) vhv,t) f ¿r ) vj(v') aj(v') v' n(r,v'3't)

(13)

III -5-

obteniéndose ecuaciones análogas para las restantes densidades de neutrones

y de flujo.

Las dos ecuaciones lineales anteriores (9 y 13) forman el sistema de ecua

ciones integrodiferenciales generales de Boltzmann del transporte de neutro^-

nes, que en unión de las ecuaciones del quemado ( ,VI) y de las ecuaciones

termohidráulicas ( ,VI), constituyen las ecuaciones generales del reactor.

3.- CONDICIONES GENERALES, DE CONTINUIDAD, DE CONTORNO, E INICIALES.Teniendo en cuenta la naturaleza física del problema, la densidad fá-

sica neutrónica debe cumplir determinadas condiciones. Ademas, para poder

resolver el sistema de ecuaciones integrodiferenciales (9 y 13) debe espe-

cificarse las condiciones de contorno e iniciales.

3.1.-CONDICIONES GENERALES Y DE CONTINUIDAD.Estas son:

i) n(r,vQ,t) debe ser real, finita, y no negativa, para todo v,vü

eRxl/xfi, t > t .

ii) n(r,vQ,t) debe ser función continua de r en la dirección ti, para

todo r,vti e R x 1/ xfi, t > t .

La condición ii) se aplica a todo el reactor cuando las fuentes neu-

trónicas son continuas. En particular, puede aplicarse a la superficie S~ ,

supuesta sin fuentes, que separa dos regiones del reactor con materiales

distintos, es decir, en la superficie de discontinuidad de las secciones

eficaces que intervienen en las ecuaciones del transporte de neutrones. EnR'

estas condiciones, el número de neutrones por unidad de tiempo en t que- * • - » • - > - > •

atraviesan la unidad de superficie normal a ü en r' = r. - R'íí, debe ser

igual al número de neutrones por unidad de tiempo en t + — que atraviesan

la unidad de superficie normal a ti en r = r +RS¿, cuando R,R' -»• 0, fig. 1.

0 de otro modo, las densidades fásicas de flujo o de neutrones, <Hr + Rfi,

vfi, t + —) = vn(rn+Rfi, vfi, t + —) deben ser funciones continuas de R para

R=0, y para todo r eSQ, vti e V xü, t > t .

Nótese que n(r, víí, t) no necesita que sea función continua de v,fí,

ya que por ejemplo, en el caso de un haz colimado de neutrones en un medio

no dispersor ni fisionable y sin fuentes neutronicas, para valores de ti di

ferentes de los de propagación del haz, n(r,vfi,t) se anula, presentando una

discontinuidad.

Cuando existen fuentes puntuales o superficiales, la densidad fásica

neutrónica es discontinua, pero el problema puede solucionarse expresando

III -6-

las fuentes mediante las correspondientes deltas de Dirac.

3.2.-CONDICIONES DE CONTORNO.

La superficie exterior S de R, es decir, la superficie exterior del

reactor considerado, debe cumplir las siguientes condiciones:

i) Ser una superficie bien definida, es decir, la densidad nuclear

en todo punto exterior a la superficie debe ser despreciable com

parada con la interior.

ii) No tener entrantes, es decir, todos los puntos de cualquier seg-

mento que una dos puntos del reactor, pertenecen al reactor. Si

la superficie real del reactor tuviese entrantes, se consideraría

como superficie exterior del reactor a una superficie ficticia,

sin entrantes, en cuyo interior se encontraría todo el reactor y

parte de la región vacía incorporada al reactor original al su-

primir los entrantes.

3.2.1.- Si se supone que no hay fuentes de neutrones fuera del reactor, o

sea exteriores a R, ni sobre S, a la superficie S se la llama superficie

libre, indicando con ello que se verifican las dos condiciones anteriores

i) y ii) y que no existen neutrones entrantes en el reactor.

La condición de contorno correspondiente a la superficie libre, es

n(r ,vfi,t) = 0, para n • ü < 0, r e S (14)s s s

siendo n la normal exterior a S en r .s s

3.2.2.- Si el reactor se extiende al infinito, aunque en el existiesen

fuentes de neutrones, se supone que el número de neutrones que vienen di-

rectamente del infinito a la región considerada, sin sufrir colisión, es

nulo.

3.3.-CONDICIONES INICIALES.En los problemas temporales, es necesario especificar las condicio-

nes iniciales, o sea los valores de n(r,ví2,0) y C,(r,0).

3.4.-ESPACIO DE FUNCIONES.

El conjunto de funciones que cumplen las condiciones generales, de

continuidad, y de contorno anteriores, definen el espacio de funciones F.

Mientras que las que cumplen solamente las condiciones de continuidad y

contorno definen el F C F.c

4.- FORMAS COMPACTAS DE LAS ECUACIONES GENERALES DE BOLTZMANN DEL TRANS-

PORTE DE NEUTRONES.

Con objeto de evitar la laboriosa formulación de las ecuaciones (9 y

III -7-

13), se suelen emplear en forma más compacta, tal como se hace a continuación.

4.1.-SECCIONES EFICACES EVALUADAS A LA VELOCIDAD DEL NEUTRÓN.

En las ecuaciones (9 y 13) se ha expresado explícitamente la dependencia

de las diversas magnitudes con la velocidad de los núcleos y con la velocidad

relativa del neutrón respecto del núcleo. Teniendo en cuenta que en estas ecua

ciones v. „ y Í2. „ son variables mudas, es conveniente efectuar el siguiente cam

bio de notación

• dvLN dííLN

R*(r,vfi,t)o (v) - -,— = - U L N ^ V - . . ) <T(V ) v dvT.T díl T (16)

N a ( ? ) (?vSt) V N LN X P r LN LN

a1 ( v ' ) = v 1 ( V ) a 1 ( V ) = - i - \~ Na(vJM) v 1 ( v t ) a

1 ( v ' ) v ' dvT\, do_'v v v v !

U-IT I,N v r> x^ x v ' u x v " ' v x s " ' u x s " y ~ v ! IU-TT *' V " L N ' v x w r ' u x v " r ' " r ^ " L N "°°LN

a 1 ( v ' ). s

• v^ dv¿ N dpJ>T, IxtCv'n1 -> vfi) dv dü = 1 (18)

Las a (v) se llaman secciones eficaces microscópicas del proceso x en

los núcleos i, evaluadas a la velocidad del neutrón, las cuales dependen, a

través de N (V-N) de la temperatura del medio T(r,t), y demás parámetros que

intervienen en el espectro nuclear. En determinados casos particulares,

den simplificarse considerablemente

i) Fuera de las resonancias, las secciones eficaces microscópicas de

captura y fisión siguen la ley 1/v, luego

p v 0 Q = 12. CTi(Vo), x = c, f

ii) Fuera de las resonancias, como la sección eficaz microscópica de dis

t>ersión es una función suave de v , se tiener

i/- \(3 V , V >> VT „, V ^ V

n- s r ' LN' ro~(v) = (20)

f(T,v), v % v L N

iii) Dentro de las resonancias, como entonces a (v ) no es una función sua

ve de v , aunque sea v 'v v, la sección eficaz no puede sacarse del

integrando, con lo cual

III -8-

a (v) = f(T, v, parámetros de la resonancia) (21)

4.1.1.- Con objeto de simplificar la notación, se introducen las secciones

eficaces macroscópicas del proceso x en los núcleos i, por

lX(v,v,t) = NX(r,t) aa(v), x = s,c,f (22)X X

y1(r,v'Q'-^vn. t)=y (r,v',t) x"L(v'^'-> vü) ,''S ' S S J <-'S

-> vñ,t) ávdü = y1(r,v' t) (23)

Además se suprimirán los superíndices i, indicativos de la especie del

núcleo blanco, mediante la notación

i i i

Por último se hará,

Pd(r\v,t) = xd(v) Cd(r,t) , P = I ?d (25)d

4.1.2.- Al sustituir las expresiones anteriores en (9 y 13) se obtienen las

ecuaciones generales de Boltzmann del transporte de neutrones, en forma coii

densada

1 3 - > - v # / • • * • * " V •*" ^ ^ í v ^ ^ v 3t * r' V ' * r' V ' ¿t

l-r5v5 <p(.r,v , j¿s(.r,v -> v ,

t — 1 Xá Pd(r,v,t) + Q(r,v^,t), 4> e F (26)d

• - Pd(r,vst) =-X P (r,v,t) +xd(v) Bd v(v') ^f(r,v',t) ^>(r,v'^',t) dv'dfi',

<j> e F (27)

4.1.3.- Eliminando X,P,, y teniendo en cuenta (16, I ) , resulta

v 3t ' ' 4-TT 3t ' ' ' ' "t ' ' ' '

III -9-

( ? ' f i 1

v(v') If(r,v! ,t) •

<}>(?,v'fi1 ,t) dv'dfi' + Q(r,vft,t), <j) e F (28)

en unión de la ecuación (28).

4.1.4.- Resolviendo la ecuación (27), según (14,IV), resulta

-í- -> ~Xñt i1 -x,(t-t!) (-Pd(r,v,t) =Pd(r,v,0) e + dt' e xd(v) &á v(v') £f(r",v',t') •

• <Kr,v'n! ,t' ) dv'dn1 (29)

que sustituida en (26), dá

i ~ (?(?,vQ,t) =-n-V <f>(r,vfi,t) -lt(r,v,t) <j)(?,v^,t) + I s ( r " ,v ' f i ' •*• vfi , t) •

• «Kr .v 'n ' , t ) dv'dfi1 + ¡— X (v) (1-B) Iv (v ' ) ^ f ( r , v ' , t ) ó ( ? ,v ' f i ' , t ) dv 'dñ ' +

rt -A ( t - f ) (- _ ^ ^+ — ^ I d t ' e Xd x d (v ) ed v ( v ' ) y . f ( r , v ' , t ' ) ^ ( r ^ ' Q 1 , t ! ) dv'da'+

- X , t "i

Q(r,v^,t) + — I X¿ Pd(r,v,0) e |, <j> e F (30)

d J

4.2.- OPERADORES DE EVOLUCIÓN.Las ecuaciones del transporte de neutrones (26 y 27) o las (28 y 27) pue

den expresarse en forma más compacta, definiendo los siguientes operadores de

evolución:

L = -Ú V operador diferencial lineal de fugas (losses), definido en R.(31)

R --¿ (r,v,t) operador numérico de extracción (removal), con x = a3s,t.X X ~ (32)

S = dv'dfi' ¿ (r,v'fi' ->ví2,t)* operador integral lineal de dispersión (sca-J s ~

ttering), definido en V x fi. (33)

F = T r X (v) B dv'dQ' v(v') £(r,v',t)* operador integralJí 4" t! X X J J»

lineal de fisión, definido en V x fi, con x = p,d, y sin subíndice

para x = f. (34)

M = L + R + S (35)

B = M+F = L+R^ + S + F operador de balance o de Boltzmann (36)

habiéndose representado por • la función sobre la que operan S y F .

Con objeto de indicar las variables indpendientes que intervienen, si 0

es uno cualesquiera de los operadores anteriores, se empleará la notación

0 <¡> 5 0 cj>(r,vf2,t) = (0 <f>) (r,vÓ,t), suprimiéndose el argumento cuando no dé

III -10-

lugar a confusión.

4.2.1.- Al sustituir estos operadores en (26 y 27), se obtienen las ecua-

ciones generales de Boltzmann del transporte de neutrones, en forma opera_

cional

v 1 4z ó = (L+R. +S+F )(j)+7f-yx, P, + Q= (M+F )dt ' T p 47T ^ Q Q P

Dd = - Í7 Xd Pd + Fd *' * e F

4.2.2.- Eliminando X P , o bien de (28 y 27), resulta

•¿r * + ¿r 4r P = (L+R.+S+F) 4> + Q =

= (M+F) <j> + Q =

(37)

(38)

e F (39)

4.3.-MATRICES DE EVOLUCIÓN.Las ecuaciones (37 y 38) pueden expresarse en forma matricial, defi-

niendo las siguientes matrices de evolución, cuyos elementos son los ope-

radores de evolución anteriores:

V =

V

0

0

0

0

1

0

0

o ;0 j

1

i ;

o !

0

0

0

1

(40)

C =

(M+F )"• ' P

F l

F 2

dm

- x !

0

0

0

~X2

0

Xdm

0

0

y los vectores

1

Air

m

s =

Q0

(42)

llamándose a C matriz cinética y a s vector fuente. Sustituyendo estas ma

trices en (37 y 38) se obtiene la ecuación general de Boltzmann del trans-

porte de neutrones, en forma matricial

ot

5.- ELIMINACIÓN DE VARIABLES Y FUNCIONES.

Los métodos de resolución de las ecuaciones generales de Boltzmann del

transporte de neutrones, se basan en un proceso sucesivo de promedio de se£

ciones eficaces. Para lo cual se parte de las ecuaciones anteriores aplica-

das a casos particulares, después de haber eliminado algunas variables. De

este modo, su resolución es menos laboriosa.

En este párrafo se incluyen las eliminaciones directas de las variables

que intervienen en el problema, dejando para otros capítulos los desarro-

llos de las funciones de densidad (desarrollo de la dependencia angular, por

ejemplo, en armónicos esféricos; desarrollo de la dependencia espacial en s_e_

rie de Fourrier,...).

5.1.-ELIMINACIÓN DE LA POSICIÓN.

Cuando se verifica que:

i) Medio homogéneo, N (r,t) =N (t) £ (r,v,t) =£ (v,t).

ii) Medio infinito.

iii) Fuentes uniformes, Q(r,v°, ,t) = Q(vQ,t) .

iv) Densidades iniciales de flujo y de precursores uniformes, <j>(r,vfi,0) =

= <j>(vñ,0), C,(r,0) = C,(0,0) = constante distinta para cada clase d.

no habrá en el medio ningún punto preferente o de referencia, con lo que el

flujo deberá ser uniforme.

En este caso las ecuaciones (28 y 27) se simplifican en

P(v,t) =-L(v,t)

•dv'dQ' +~ xf(v) v(v') lf (v1 ,t) cKv'fi'jt) dv'díí' + Q( vfl,t) , <f> e F

- r Pd(v,t) =-XdPd(v,t) +Xd(v) Bd ív(v')

(f> e F

y las (39 y 38), en

III -12-

v 1-|^(|)(vn,t) +~ j£ P(v,t) = ((Rt+S+F)(j)) (vfi,t) +Q(vfi,t), M F

¿ ^ Fd(v,t)=-¿-XdPd(v5t)+(Fd «,) (v,t), * 6 F (47)

5.2.-ELIMINACIÓN DE LA DIRECCIÓN DE LOS NEUTRONES.

Como las secciones eficaces no diferenciales, y las densidades de nú

cieos se han supuesto isótropas en L (32,1 y 17,1), llamando a

J(r,v,t) = m <j)(r,vfi,t) dtt (.4-8)

densidad de corriente neutrónica, o simplemente corriente, y teniendo en

cuenta que

[ (r,v'ti1 -*• ví2,t) áti = I (r,v! -> v,t)s s

al integrar las ecuaciones (28 y 27) para todo ti e ti, resulta

- T - (r,v,t) + T - P(r,v,t) — ? J(r,v,t) - L(r,v,t) <¡>(r,v,t) +

V O t 01 L

^(r,vT •*• v,t) é(r,v',t) dv' +Xx:(v) Nív') ¿jr(r5v' »"t) <|>(r,v't) dv'

+ Q(r,v,t) , <j) 6 F . (50)

^ Pd(?,v,t) =-X d Pd(r,v,t) +x d(v) 3 d (v(v') ^f(?,v't) <ji(?,v' ,t) dv',

<f> £ F (51)

y análogamente para las (39 y 38),

- -¿r <f>(r,v,t) + ~ P(r,v,t) =-V J(r,vst) + ((R.+S+F)*) (r,v,t) +V O L 01 T-

+ Q(?,v,t), (j) e F (52)

(í¿••¿Pd(?,v,t)=¿rAdPd(?,v,t) + (Fd *) (í,v,t), *e F

5.2.1.-Cuando, según el problema considerado, no se precise conocer la de

pendencia angular del flujo, pudiera parecer a primera vista que la solu-

ción de las ecuaciones (50 y 51) es más fácil que la de las (28 y 27), ya

III -13-

que se han eliminado dos variables independientes. Sin embargo, está simpli_

ficación es solo aparente, ya que para poder resolver las ecuaciones (50 y

51) se precisaría conocer J(r,v,t), para lo cual habría que resolver prime_

ramente las ecuaciones (26 y 27), luego por (4-8), obtener J(r,v,t), y por fin

resolver las (50 y 51) ', cuando en realidad, una vez resueltas las (28 y 27)

se obtendría directamente <j>(r,v,t) = <j>(r,vfl,t) dti. No obstante, en la prác-

tica, la simplificación puede ser importante, ya que en algunos casos partí

culares es posible sustituir aproximadamente J por una función sencilla de

<j>, tal como sucede en la aproximación de la difusión.

5.3.-ELIMINACIÓN DE LA VELOCIDAD NEUTRONICA. MULTIGRUPOS.Al integrar las ecuaciones generales de Boltzmann para toda v e V C V,

siendo V el segmento de extremos v ., v , con g = 1, 2, . . . , s indicando

el grupo energético de neutrones, y v. =co, v_ +j_ = 0, se" obtienen expresionesl fem

f CT _i. y

de l a forma ° ¿ ( r , v 5 t ) cj>(r3vn5t) d.v5 l a s cuales pueden descomponerse enJvg+i x

el producto de un flujo integrado en el grupo g

O"

<j>(r,vfi,t) dv C5M-)

Viy de una sección eficaz macroscópica promediada en el grupo g

I (r,v,t) (j)(r,vO,t) dv

(55)

De este modo, el sistema de 1+d ecuaciones generales de Boltzmann (28

y 27) se transforma en g +d ecuaciones con <p , P,, g = l,2,..., g , d= 1,2,

Xdg..., d incógnitas, ya que P, = — - P, .. Este nuevo sistema de ecuaciones,

m & y H dg xd i dg'

se llama de multigrupos energéticos de neutrones.

5.3.1.- Lógicamente, para obtener los ¡j> (r,fi,t) habría que calcular previa-

mente los <¡>,(r,vñ,t) resolviendo el sistema (28 y 27), luego se obtendrían

las \ (r,u,t) por (55), y por último se resolverían las ecuaciones de mul-xg

tigrupos anteriores, siguiendo un proceso innecesario, ya que obtenidos los

<j>(r,vfi 5 t ) , por (54) se calcularían los <j> (r,Q,t).o

En la práctica, se sigue un proceso sucesivo de promedio de secciones

eficaces. Primeramente, se emplean las secciones eficaces microscópicas di-

III -11+-

rectamente obtenidas de las librerías primarias (con varios miles de gru-

pos de neutrones), y con ellas se resuelven las ecuaciones (28 y 27) apljL

cadas a casos muy simplificados: régimen estacionario; medio homogéneo e

infinito o seminfinito; eliminación de la dependencia angular o desarro-

llo de la dependencia angular del flujo, por ejemplo en armónicos esféri

eos; valores asintóticos del flujo,... Con los flujos obtenidos en estas

condiciones, se promedian las secciones eficaces microscópicas, condensar^

do el número de grupos a unos pocos (la unos 30)

rv

-X.(v) dv

g+1

V

ó (v) dv (56)

g+1

siendo <j> el 1-simo término del desarrollo angular del flujo, y g el or-

den del grupo en un sistema de pocos grupos. Partiendo de estas secciones

eficaces microscópicas se obtienen las macroscópicas, que son los coefi-

cientes del sistema de ecuaciones (28 y 27). Por último, se resuelve este

sistema de ecuaciones aplicado a la configuración y composición real del

reactor.

5.3.2.- SECCIONES EFICACES FUNCIÓN ESCALERA DE LA VELOCIDAD NEUTRONICA.En el caso ficticio de que las secciones eficaces fuesen función es

calera de la velocidad del neutrón, las ecuaciones de multigrupos en régi

men estacionario, suponiendo que se verifica la Hipótesis VI, toman una

forma muy simplificada.

En este caso, se tiene

. jv^-h =

y haciendo

= v x ( v )

(r,v'-*-v, n 1 -ü) dv

e+1

*(?,«) = <}>(r,ví2)dv,xg

ñ+1

•v

X x(v)dv, Q

g+1

(57)

(58)

Q(r,vQ)dv

(59)

con v'e 1/ ,, ve \¡ ==> v !+1f. v'^v 5 v + 117£

V » a l integrar la ecuacióno o o '1 & o -I- g

(28) en régimen estacionario, en el grupo g, se obtiene

Q< = 1 '

III -15-

g

+ ¿Fxfg f_ V ^fg'(?) K' ( ?^ M dü' + Qg<^>=°. *g e F

y para el caso de eliminar la dependencia angular, integrando (60) para to

do ü e ü, resulta

Sm+ xfg L v W ( ? ) v ( í ) + Qg(?) = °' *ge F

En las ecuaciones anteriores cuando no hay dispersión con ganancia"de

energía, se verifica

W = o ' v-n-'g^8' <g (62)

Ig,.g = 0 , vg, < v g + 1 = = > g ' >g (63)

5.3.2.1.- Aparte de las consideraciones sobre la densidad de corriente, da-

das en el §5.2.1, el suponer que las secciones eficaces son función escale-

ra de la velocidad del neutrón, supone una aproximación rudimentaria al mé-

todo indicado en el §5.3.1. El suponer que se cumple la expresión (58), in-

troduce otra aproximación más burda, ya que cuando el neutrón incidente tie

ne la velocidad v', el dispersado elásticamente tendrá la velocidad v, la

cual, según se demostró en (.63,11)., estará situada en el intervalo va1 v'<

<_ v < v' . Si por ejemplo, v' está comprendida en el grupo g-1, o sea v <O

< vT < v , dividiendo este intervalo en dos subintervalos: v < vT <

— y — T % < v' < v , , resultará que cuando v' pertenezca al primero, v

estará situada en Va1 v < v < —==, y (58) tomará cierto valor: mientras queg - - /ax

cuando v1 pertenezca al segundo subintervalo, v estará situada en v < v <

f_v y (58) será nula. Por tanto, para dos valores de v' en el grupo g, le

corresponden dos valores diferentes de (58), en contra de lo supuesto.

5.4.-ELIMINACIÓN DE LA VELOCIDAD NUCLEAR. MODERACIÓN.En los reactores nucleares, las energías medias de los núcleos, corres

pondientes a la temperatura del medio, son inferiores a 0.1 ev. Por otro la

do, la probabilidad de que un neutrón de fisión tenga una energía inferior

a los 1.6 ev, es menor del 1% . Por tanto, puede establecerse una energía in1 2 ~

termedia E. =— v. , tal que para v < v., se desprecien los neutrones de fi-1 A X " — 2.

sión, y para v > v, se consideren los núcleos en reposo, salvo en la región

I I I -16-

de las resonancias, que se tratarán por separado.

El valor de E. es arbitrario, y según las librerias de secciones efi-

caces condensadas en pocos grupos, se suele tomar en E. =0,625 ev.

En estas condiciones, el flujo puede descomponerse en un flujo de mode

ración § , y otro de termali zacion o térmico <j> ,

=<v. £ v

$_(r,vO,t) , 0 < v < v.i — — i

(64)

(65)

empleándose en las ecuaciones de Boltzmann, con las condiciones

X (v) = 0, v < v . ; v = v , v > v .X — -i I — 1

(66)

5.4.1.- ECUACIONES DE BOLTZMANN PARA LA MODERACIÓN DE NEUTRONES.Estas ecuaciones se obtienende las (28 y 27), teniendo en cuenta (6M- a

66),

-•g- <f>M(r,vfl9t) + ¿ -g- P(r,v,t)

(r,v'íl' -> vñ,t) ¿ X-(V) v(v!

'dfi' +Q(r,vQ,t) F (67)

Pd(r\v,t) =-Xd Pd(?,v,t) +xd(v) 3d ív(v') ( ? J v I n ' s t ) d v I d n l

Q d T ( r " , v , t ) , i ; (j)M, <j)T e F (68)

siendo Q^ la densidad de fuente de neutrones debida a las dispersiones y a

las fisiones producidas por neutrones incidentes de velocidad v' < v., y

Q,™ la debida a los neutrones retardados d producidos por neutrones inci-

dentes de velocidad v' < v.,

QT(r,vfi,t) = .v'S1 ,t) dv' dfl1 +^ xf (v) v(v')

í> T (? ,v 'Q ' , t ) dv 'dí l1 , v >_v i5 v1 < v i? <j>T 6 F (69)

QdT(r,v,t) =xd(v) Bd v(v') 3v'Q' ,t)dv'dn' , v

III -17-

<I>T e F (.70)

Análogamente, las ecuaciones de moderación en forma operacional (39 y

38), son

V - 1 7 F *M + W £ P = B *M + Q + QT ' V 1 V V' > V ' *M' ^T £ R 7 1 )

I 5 T W P d = - ¿ A d P d + F d * + W Q d T ' V > V i ' V' ^ V * T 6 F ( 7 2 )

con

€ F (73)

En el caso de que no se considere la dispersión con ganancia de energía,

el primer término de (69 y 73) sería nulo.

5.4.2.- ECUACIONES DE BOLTZMANN PARA LA TERMALIZACION DE NEUTRONES.Partiendo de las ecuaciones (28 y 27), y teniendo en cuenta (64 a 66),

resulta

^ — 4>T(?,ví3,t) +~ P(r,v,t) =-fi-V(t)T(r,vn,t) - (r.v.t) í>T(r,vfi,t) +

'dQ1 + Q(r ,vtt,t) + Q^ir ,vfi,t) , v v.

siendo QM la densidad de fuente de neutrones debida a las dispersiones pro-

ducidas por neutrones incidentes de velocidad v1 > v.,

gCr.v'ft1 -»-vfl,t) (r.v'íí1 ,t) dv'dfl1 , v<_vi, v'>v., ^ ^ 6 F

(76)

Análogamente, la ecuación de termalización en forma operacional (39 y

38), es

v , <|)M, e F (77)

con

I I I - 1 8 -

QM = S ^M ' V - V i ' V' > V i ' ^M £ F ( 7 8 )

5.4.3.- Las ecuaciones de moderación (69 y 70) son de estructura más senci

lia que las generales (28 y 27), debido a que fuera de las resonancias se

suponen los núcleos en reposo. Las de termalización (75 y 76) carecen del

termino de fisión. En realidad, lo que se ha hecho es transformar un siste

ira de 1 + d ecuaciones Íntegrodiferenciales (28 y 27), en un sistema de

2(1 +d ) ecuaciones Íntegrodiferenciales (69, 70, 75 y 76) más sencillas,

que pueden resolverse por un procedimiento iterativo.

En la práctica la simplificación es más importante, ya que en el cál-

culo de reactores es suficiente emplear valores asintóticos para los flujos

4>M y <j> que intervienen en las fuentes 0,,, Q™, Q,_.

5.5.-ELIMINACIÓN DE LOS NEUTRONES RETARDADOS.

En el caso de la cinética de reactores es importante la contribución

de los neutrones retardados, por lo que ha de tenerse en cuenta la ecuación

(27 ó 38).

Si no se consideran los neutrones retardados, la ecuación general (26),

se simplifica en:

^ TTT <j>(r9vft,t) = -fi'V <f>(r,v£2,t) - I (r,v,t) $(r,vü,t)

• (Kr.v'ft' ,t) dv'díí' + ~ Xf(v) v(v') ^f(r,v',t) ^(r.v'n' ,t) dv'dfi'

+ Q(r,vQ,t), tj) £ F (79)

y l a e c u a c i ó n g e n e r a l o p e r a c i o n a l ( 3 7 ) , p r e s c i n d i e n d o de l o s a r g u m e n t o s , en

v ' 1 -— $ = (L+R.+S+F) <j) + Q = (M+F) <¡>+Q=B<j>+Q, § e F ( 8 0 )ot t

5.5.1.- En los casos particulares considerados en los §5.1 a §5.4, se obtie_

ne para la ecuación operacional:

i) Reactor homogéneo, infinito, con fuente uniforme C+6)

v"1 ^(j)(vÍt) = ((R,+S+F)í)) (vü,t) +Q(vñ,t), (f> £ F (81)

ii) Caso de eliminar la dirección de los neutrones (52)

III -19-

v 1 j£ <K?,v,t) =-V J(r,v,t) + ((Rt+S+F)(p) (r,v,t) +Q(í,v,t), <j>eF

(82)

iii) Moderación de neutrones (71 y 73)

( 8 3 )

QT = (S+F) 4>T, v >_ v.., v' < v.., (J)T S F (84)

iv) Termalización de neutrones (77 y 78)

v"1 ~ «1>T = M <j)T +Q +Q M, v <_ viS v» <_ vi, <j)T 6 F (85)

QM = S $M, v 1 V i , V > v ^ <j.M £ F (86)

5.6.-ELIMINACIÓN DEL TIEMPO. REACTORES CRITICO Y ESTACIONARIO.El análisis de la dependencia temporal del flujo comprende el estudio

de los reactores crítico y estacionario incluidos en este párrafo, de los

reactores virtualmente críticos dados en el §6, y de la cinética de reacto-

res desarrollada en el cap. VI.

5.6.1.- REACTOR CRITICO.Se dice que el reactor es crítico en el instante t , cuando se verifi-

ca que

~ $(v,vü,tQ) = 0, ^P(r,vQ,t 0) = 0 (87)

en cuyo caso, las ecuaciones de Boltzmann del transporte de neutrones (28- y

27), se reducen a

\.v'n' ,tQ)

^ Xf(v) jv.dv'dQ' + ^ Xf(v) jv(v') £ f(r\v',tQ) (K?,v'Q',t0) dv'dfi1 +Q(í,vfi,t0) = 0

cf> £ F (88)

y l a s (39 y 38) a

(B ó) ( r , v f i , t 0 ) + Q ( r , v f i , t 0 ) = 0 , (J) e F (89)

III -20-

5.6.2.- REACTOR ESTACIONARIO.Se dice que un reactor está en régimen estacionario, o es un reactor

estacionario, en el intervalo de tiempo (t1, t"), cuando es crítico en cada

instante t de dicho intervalo.

Si para todo t , t' <_ tQ <_ t" se verifica:

i) Reactor con configuración y composición independientes del tiempo

en el intervalo considerado, o sea N~(r,t0) =N~(r) =]> £ (r,v,t ) =

ii) Fuentes independientes del tiempo en el intervalo considerado, o

sea Q(r,vfi,t0) = Q(r,vQ).

iii) Reactor crítico en un instante cualquiera t. del intervalo, o sea

£*c?,vfi,t0) = o, ¿ p t M . y = o.al derivar sucesivamente, respecto al tiempo, las ecuaciones (39 y 38), se

obtienen las derivadas sucesivas de <£ y P como funciones homogéneas de — c*>3

Y TT Pj p°r lo que al anularse estas en t., se anularán todas las derivadas.o t 0

Como una función que tiene en el instante t todas sus derivadas nulas, de_

be ser independiente de t, se obtiene que si el reactor es crítico en un ins_

tante cualquiera t del intervalo (t',t"), lo será en todo instante de dicho

intervalo, mientras perduren las condiciones i) y ii).

6.- REACTORES VIRTUALMENTE CRÍTICOS. ECUACIONES DE VALORES PROPIOS.Sea un reactor real sin fuentes independientes, cuyo flujo evoluciona

con el tiempo según las ecuaciones del transporte de neutrones. Se conside-

ra un reactor ficticio, idéntico al real en un cierto instante, pero con un

parámetro determinado modificado por un sumando o factor constante, de modo

que el reactor así obtenido sea crítico en el instante considerado, por lo

cual se le llama reactor virtualmente crítico.

Procediendo de esta manera, se consigue transformar las ecuaciones tern

porales de Boltzmann, en una ecuación estacionaria de valores propios.

6.1.-REACTOR VIRTUALMENTE CRITICO CON K.

Se define como reactor virtualmente crítico conk, en el instante t-,

al reactor que tiene la misma configuración y composición que tiene el reac

tor real en el instante t , excepto que el número de neutrones emitidos por

fisión queda dividido por un factor constante k, de tal modo que el reactor

virtual así obtenido sea crítico, es decir, tenga un flujo que cumpla la

condición (87).

La ecuación integrodiferencial de Boltzmann del reactor virtualmente

III -21-

crítico, será entonces (28)

v(v') If(í,v',t0) $k(í,v'Q') dv'dJÍ' = 0 , <j>k 6 Fc (90)

o en forma operacional (39), prescindiendo de los argumentos,

s ) ^ F F * k = M \ 4 F \ ; 0 ' *ke Fc ' (91)

Introduciendo la reactividad p definida por

(92)

la ecuación (91) se transforma en

B <j>k = p F (J)k, $ke Fc (93)

6.1.1.- ECUACIÓN DE VALORES PROPIOS EN K.Las ecuaciones (90, 91 y 9 3) son ecuaciones de valores propios genera-

lizadas, las cuales pueden transformarse en ordinarias. Teniendo en cuenta

que el operador F puede ser singular, mientras que el M no lo es, admitirá

inverso M , y la ecuación (91) toma la forma de una ecuación integral

K ¿ k = k <|>k, <j>ke F c ( 9 4 )

siendo K el operador de criticidad desarrollado en serie de Neumann en (66,

IV), y dado por

K = -(L+F^+S)"1 F = -M"1 F (95)

Por tanto, el problema queda reducido a determinar los valores propios

k. y las funciones propias <j>k. e F del operador K.

6.1.2.- ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE VALORES PROPIOS.Es de gran importancia determinar en que condiciones los valores propios

son simples o múltiples, reales o complejos, discretos o continuos, y si exis

te uno de módulo predominante. También interesa determinar las condiciones de

existencia y unicidad de soluciones pertenecientes a F, es decir, cuando exis

te y es única una función propia, que además de satisfacer las condiciones

de continuidad y contorno que satisfacen todas las funciones propias cumpla

la condición de ser real, finita, y no negativa en todo el reactor. Por últi

mo, es conveniente determinar en que casos las funciones propias forman un

conjunto completo respecto a las funciones pertenecientes a F .

III -22-

6.1.2.1.- Con respecto a los valores propios y a la existencia y unicidad

de soluciones en F, se han analizado las ecuaciones anteriores de valores

propios aplicadas a casos particulares: condiciones restrictivas sobre con_

tinuidad (Shikhov , Vladimirov y Ebersoldt ), multigrupos (Borysie-

vicz y Mika ), difusión en multigrupos (Habetler y Martino ,.. Mien-

tras no exista un análisis completo de las ecuaciones generales, se consi_

derará la siguiente hipótesis:

HÁ.pótQJ>ÁJ¡ Xl/. - Ex¿ó¿e un valoh. pfiopí.o k , pohÁJtivo y ¿Xmptz. tal que.

k >|k | , n^O, al cual cohXZÁpowLn una {¡uncÁón pftopia ^ e F pana, todo r ,

vfi e R x [/ x ti. Ade/nU, cj> e¿> Za única función pnop¿a cíe ¿-¿gno donhtan-

t<¿ en R x V x ti.

Por tanto, todas las «ji .e F , y únicamente <j> £ F.

6.1.2.2.- Con respecto a las funciones propias, se han obtenido los siguien_

tes resultados:

i) La condición necesaria, pero no suficiente, para que las funciones

propias formen un conjunto completo , es que se incluyan las in

finitas funciones propias correspondientes al valor propio infini_

tamente degenerado k = 0.

ii) En el caso de que los parámetros nucleares no dependan de la velo-(2)

cidad del neutrón, y después de eliminar la dependencia angular ,las <j>, (r) forman un conjunto completo de funciones propias respec-kto a las funciones pertenecientes a F .

iii) En el caso general existen serias dudas de que las funciones pro-

pias formen un conjunto completo.

Cuando se verifican las condiciones necesarias y suficientes para que

las 4>, formen un conjunto completo, cualquier función fe F , puede desarro

liarse en la forma

f = a, <j>. +• S a. é, + S an én (96)kn

rk. ,n , k ,m Yk ,m m 0,m Y0,m0 0 n;¿0,k n n n n mn ' n ' n

mn

habiendo separado los términos de L y k = 0, y representando el subíndicem las diversas funciones propias (ta m linealmente independientes, corres-n n' n

pondientes al mismo valor propio k .

(1) Shikhov, S.B. - Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 7_, 1, 113 (1967).(2) Vladimirov, V.S. - AECL 1661 (1963).(3) Ebersoldt, F. - Jul 711 MA (1970).(4) Borysievicz, M. Mika, J. - Tran. Theo. and Stat. Phy. 2, 3, 243 (1972).(5) Habetler, G.J. y Martino, M.A. - KAPL 1886 (1958).(6) Henry, A. - Nuclear Reactor Analysis - MIT Press (1975).

III -23-

6.1.3.- RELACIÓN ENTRE REACTOR CRITICO Y REACTOR VIRTUALMENTE CRITICO.Si el reactor sin fuentes independientes, es crítico en el instante t , ten

drá por ecuación la (81) B<j>=0, que comparada con la (93), dará entonces el valor

propio Pn=0, k =1, y el reactor virtual coincidirá con el real. Pero no recípro_

camente, ya que si p =0, k =1, como la ecuación B<}>-, =0 es distinta de la (39)- 1 3 1*9 °

v -KI: 41 + Tt—"•^rP=^(íl> s e rá <j>, ¿$, no teniendo por que verificar <j> la condicióndt H Tí ot Kn

de criticidad (87). En resumen, en un reactor sin fuentes independientes, si escrítico se verifica que Pn

=0, k =1; pero s i Pn=05 ^ = 1 , n o e s e s t i co , aunque

según ( 5VI) (j> tiende asintoticamente a <j>, .K0

6.1.4.- SIGNIFICADO FÍSICO DE KQ.Integrando (90) en todo el espacio fásico R x V x Q, y teniendo en cuenta

que según (23) después de la integración, el tercer término se anula con la com-

ponente de dispersión del segundo, resulta

fv(v') £f(r\v',tQ) *k (r.v'ft1) dv' dfl' dr

<j>k (r,vfi) dvdfidr + h ( r , v , t Q ) <f>k (r,vfi) dvdfidr

( 9 7 )

La ecuación anterior representa la razón entre el número de neutrones produ_

cidos por fisión en el reactor, por unidad de tiempo, y el número de neutrones

perdidos por fugas a través de la superficie libre del reactor y por absorción

en el reactor, en la unidad de tiempo. Debido a esto, KQ se llama factor efectivo

de multiplicación del reactor.

Nótese que en (97) los parámetros nucleares son los del reactor real, mien-

tras que los flujos corresponden a los del reactor virtualmente crítico.

6.2.- REACTOR VIRTUALMENTE CRITICO CON a.Cuando:

i ) La configuración del reactor es independiente del tiempo,

i i ) Las densidades nucleares son independientes del tiempo, o sea N ( r , t ) =

al efectuar la transformada de Laplace de (43), resulta

= 0 (98)

que desarrollada y eliminando P,, o directamente hallando la transformada de La

place de (28 y 27) y eliminando P,, resulta

'Q' ->-vfi)

• dv'dfi' + ± [xf(v) - I l ^ .

III -24-

f ? l £ F (99)d \* i /\ -. K± 1 Ct

o en forma o p e r a c i o n a l , pa r t i endo de (39 y 38)

)(B- ^

v a i a+A, d ad d

Q (r,vfi,a)+ — é(r,vQ,O)+ ;— > — r — P,(r,v,O)d d

=o, * eFa

(100)

siendo f la transformada de Laplace de parámetro ex. La ecuación anterior es

de forma análoga a la ecuación del reactor crítico (88), con tal de susti-

tuir

•(?,vft,towa(r,vn,co, lt -»• lt + , Xf •+ xf - I - xd, Q(?,vn,t0) -»•d ' d

-»• Qd(?,vn,a) + i (j)(?,v ,0) + ^ ~ r Pd(?,v,0) (101)d d

6.2.1.- ECUACIÓN DE VALORES PROPIOS EN a.

Para que la (98) sea una ecuación de valores propios, es necesario que .

i) <j)C?,v^,O) = Pd(r,vft,0) = 0

ii) Q(r,vfi,t) = 0

luego

C | = a V"1 i> (102)a a

Para que las (99 y 100) lo sean, ha de verificarse además que

iii) No se consideran los neutrones retardados,

con lo cual se obtiene

-ít-V <f>a(r,vfi,a) - I t ( r ,v ) <¡> (r,v£!,a) + I s ( r , v 'ü ' -»• vfi) ^ ( r j v ' ñ ' . a ) dv'dQ' +

+ I ~ Xf(v) Jv(v ' ) I f ( r , v ' ) <j>a(r,v'n',a) dv' «• = a i ^ ( r . v ^ a ) , ^ e FQ

( 1 0 3 )

o en f o r m a o p e r a c i o n a l

B <f> = a — é = = > ( v B) <)) = a é , 4> e F ( 1 0 4 )a v T a a a a c

Por tanto, el problema queda reducido a calcular los valores propios a., y

las funciones propias íjj ,• $ e F de los operadores VC y vB.

III -25-

Las ecuaciones (102 y 10 3) corresponden al caso de un reactor virtual-

mente crítico con a, cuya criticidad se ha conseguido incrementando las sec_

ciones eficaces de captura en cx/v.

6.2.1.1.- ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE VALORES PROPIOS.Análogamente al caso de la ecuación de valores propios en k, §6.1, in-

teresa determinar la clase de espectro del operador vB, la existencia y uni_

cidad de soluciones pertenecientes a F, y en que caso las funciones propias

forman un conjunto completo respecto a las funciones en F .

(1 2 3'+)Respecto a los valores y funciones propias se ha obtenido ' ' ' en

general que:

i) Existe un valor propio ctn, real y simple tal que OL. > Re a , n/0, al

cual corresponde una función propia <j) e F, para todo r, vfi e R «0

x 1/ x Q, Además, (j> es la única función propia de signo constante

en R x V x ü. Por tanto, todas las cj)a e F , y únicamente <}>a e F.

ii) Si el reactor es finito, el espectro de valores propios es discreto,

existiendo un límite inferior de an dado por an > -lim (v ¿+(v)).0 - u — ^+Q t

Si el reactor se extiende al infinito, al menos en una dirección, el

espectro tiene una parte discreta para a >_ -(v ^,(v)) . , y el res-

to es continuo.

iii) Si el reactor es finito, las funciones propias forman un conjunto

completo, respecto a las funciones pertenecientes a F .

La sección eficaz ¿ (v) se considera promediada en todas las cuerdas

del reactor.

En casos extremos, algunos de los resultados anteriores pueden dejar de

cumplirse. A medida que el tamaño del reactor disminuye, a tiende a dismi-

nuir, luego para reactores suficientemente pequeños, pudiera ocurrir que no

exista ningún valor propio a que cumpla la condición a > -lim (v ¿,(v));(5) U ~ v-X) t

sin embargo , en estas circunstancias, este limite inferior deja probable-

mente de existir. En el caso de que el reactor esté formado por dos regiones

separadas por una totalmente negra, el valor propio a_ puede dejar de ser sim

pie.

(1) Habetler, G.J. y Martino, M.A. - Proc. Symp. Appl. Math. XI, Am. Math.Soc. (1962).

(2) Henry, A. - Véase ref 6, pág 22.(3) Davison, B. - Véase ref. 2, pág. 8,1.(4) Bell, G.I. y Glasstone, S. - Nuclear Reactor Theory - Van Nostrand (1970)(5) Albertoni, S. y Montagnini, B. - J. Math. Anal. Applic. 13, 19 (1966).

III -26-

Generalmente se tiene que lim (v £ Cv)) = (.v £+Cv)l - , y los dos límites

de ii) y iii) coinciden. Según i) los valores propios pueden ordenarse según

valores decrecientes de su parte real a. > Re o, > Re a....

La existencia de estos límites de a, puede obtenerse partiendo de la

ecuación integral del transporte de neutrones. Para que T(r!-*-r,v), dado en

(24,IV), sea finito

i) Si el reactor se extiende al infinito, como en este caso r-r' puede

hacerse infinito, deberá ser .(v) + — >_0—Xa >_ -(v £.(v)) . .

ii) Si el reactor es finito, cuando v -> 0, £ (v) + — se hace infinito,

luego deberá ser an>_-lim (v £.(v)).v-HD

6.2.1.2.- DETERMINACIÓN DEL FLUJO.

Si <f>a (r ,vú) es una de las funciones propias correspondiente al valorn' n

propio degenerado a , la solución general de (103 ó 104), será

<j> (r,vfi,a)=a <j> (v ,vñ) ó(a-a n) + S a <j> (r,vQ) ó (a-a ) (105)a a a 0 ¿n a ,m Ya ,m n0 0 n?u n n n n

mn

cuya transformada inversa de Laplace, da el flujo obtenido bajo las condicio-

nes i) y ii) del §6.2, y las i), ii) y iii) del §6.2.1.

$(r,vñ,t) = a (f> (r,v!5) e + S a <j> (r ,vfi) e n (106)a0 0 n/0 an'mn an'mn

mn

habiendo ordenado los valores propios, según se indico en el párrafo anterior.

Como a > Re a , n^0, al cabo de un tiempo suficientemente grande, todos los

términos serán despreciables frente al primero, con lo que (106) toma la for-

ma asintótica

(j)(r,ví2,t) =a <j) (r,vfi) e , t » 0 =^> an = — (107)a0 % é (?,vfl,t)

0Análogamente, cuando se consideran los neutrones retardados, se obtiene

a t a t\¡) = a i> e + S a <f> e " (108)

a. van n ¿ n a ,m ya ,m0 0 n ^ u n n n n

mntendiendo asintoticamente como

V4i - a tjj e (109)

ao aoEn (86 V y 92 V) se obtendrán estos desarrollos siguiendo otro procedi-

miento .

6.2.1.3.- RELACIÓN ENTRE REACTOR CRITICO Y REACTOR VIRTUALMENTE CRITICO.En el caso de que se cumplan las condiciones de los §6.2 y §6.2.1,

III -27-

si el reactor es crítico, según (81) tendrá por ecuación B = 0, que compara

da con la (103), dará el valor propio a = 0, y el reactor virtual coincidi-

rá con el real. Pero no recíprocamente, ya que si a>= 0, como la ecuación-1 8

B <j> = 0 es distinta de la (39) v — <j> = B<j>, será $a f <J>, no teniendo00 , . . ,

porque verificar § la condición de criticidad (79).0

Comparando estos resultados con los del §6.1.2, se obtiene que si el

reactor es crítico an= 0, p = 0, k_ = 1.

6.3.-REACTOR VIRTUALMENTE CRITICO CON X.

Se define como reactor virtualmente crítico con X, en el instante t ,

al reactor que tiene la misma configuración y composición que tiene el reac

tor real en el instante t , excepto que el numero de neutrones secundarios

emitidos por colisión queda dividido por un factor constante X, de tal modo

que el reactor virtual así obtenido sea crítico, o sea, tenga un flujo que

cumpla la condición (87).

La diferencia entre un reactor virtualmente crítico con X y uno con k,

radica en que en el primer caso la criticidad se alcanza modificando el nú-

mero de neutrones secundarios emitidos por colisión, es decir, por dispersión

y por fisión, mientras que en el segundo caso se alcanza modificando solamen_

te los de fisión.

La ecuación integrodiferencial de Boltzmann del reactor virtualmente

crítico, sera (28)

-Ü-V ;t(?,v,t0: h(íM) + { (r ,

v(v') = 0,

)dv'

(110)

o en forma operacional (39)

(L+Rt) ~ (S+F) = o, (lil)

La ecuación de valores propios generalizada (111), puede transformarse

en una ordinaria, teniendo en cuenta que el operador (L+R,) no es singular,

por lo que admitirá inverso (L+R ) , el cual es un operador integral cuyo

núcleo es la función de Green del problema de contorno del §5,IV. De esta for

ma, se obtiene la ecuación integral

-(L+R.)T

(S+F) = X (112)

III -28-

El problema queda reducido a calcular los valores propios X. y las

r -i i 1

funciones propias (j> e F del operador -(L+R ) (S+F)^ )

6.3.1.- ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE VALORES PROPIOS.

El análisis de la ecuación de valores propios en A es análogo al

efectuado en el §6.1.2, resultando

i) Existe un valor propio X~ , positivo y simple tal que Xfi > |x |,

n^O , al cual corresponde una función propia <j>, £ F para todo

r,?!Í £ R x 1/ x Q, Además, <j>, es la única función propia de sig-0

no constante en R x 1/ x fi. Por tanto, todas las <ji e F , y úni-

camente <j)-\ 6 F.

0

6.3.2.- RELACIÓN ENTRE REACTOR CRITICO Y VIRTUALMENTE CRITICO.Comparando los resultados anteriores, se obtiene que si el reactor

es crítico aQ= 0, pQ= 0, kQ= 1, XQ= 1.

6.4.-COMPARACIÓN ENTRE LAS ECUACIONES DE VALORES PROPIOS CON k, a y A.El empleo de la ecuación de valores propios con k~ tiene la ventaja

frente a las correspondientes con a_ y \~ , en que para k_^ 1 lo único que

se hace es modificar convenientemente el número de neutrones emitidos por

fisión, lo cual afecta poco al espectro neutrónico, mientras que para a^¿

t 0, lo que se hace es introducir núcleos cuya sección eficaz de captura

siga la ley 1/v, lo cual afecta considerablemente al espectro neutrónico,

y para \~f 0, se modifica el número de neutrones emitidos por dispersión

£• •- i-. > r, -y J -, J--, • • -, J ^ -endurecido^y rision. Para a. < 0, el espectro del fluno virtual quedara ( , , , , )J 0 ^ ' v J - ablandadorespecto al del flujo real.

Debido a lo anterior, el caso de empleo más frecuente, es el de

reactor virtualmente crítico con k, empleándose también, en cinética de

reactores, el virtualmente crítico con a.

6.4.1.- Teniendo en cuenta que las únicas funciones propias pertenecientes

a F son las <L , <ji , <K , se empleará indistintamente la condición <f>. ,k0 aQ AQ k

Ae F, o bien el subíndice 0. Respecto a las restantes funciones pro

—pias pertenecientes a F , y correspondientes a los valores propios k., ct.,

X., se representarán por <j> = (j>., <j>a = <¡»., (}>. =<!>•, mientras no de lu-i k i i ± x Ai i

gar a confusión.

ITT - 2 9 -

Fig. 1,111

Ap.I -1-

APENDICE I.

1.- ECUACIONES CONJUGADAS Y ADJUNTAS.Empleando el formalismo de Dirac, sea O un operador lineal, y x> y y>

dos kets cualesquiera pertenecientes al espacio donde 0 está definido, de mo

do que

0 x> = y> (1)

En álgebra lineal, a cada espacio vectorial le corresponde un espacio

vectorial dual, es decir, al espacio de los kets |x> le corresponde el espa-

cio dual de los bra <x , diciéndose que <x es el bra conjugado del ket ix>.

Análogamente, <y será el bra conjugado del ket ¡y>. Como los kets |x> y ¡y>

están relacionados por el operador lineal 0, los bra <x| y <y , estarán rela-

cionados por un operador lineal 0 llamado hermítico conjugado o adjunto de 0,

<x 0 = <y (2)

y como <y| es el bra conjugado del ket |y>, <x¡0' será el bra conjugado del

ket 0|x> y las ecuaciones (1 y 2) serán conjugadas una de la otra.

Multiplicando (1) por el bra arbitrario <z| perteneciente al espacio don

de 0 está definido, y (2) por el ket conjugado |z> del bra anterior, y tenien

do en cuenta la propiedad del producto escalar <z|y> = <y z> , resulta

<z O x> = <x = <o'z|x> (3)

ecuación que sirve también, para obtener el operador adjunto.

Recíprocamente, si se define como operador adjunto del 0, el 0' obtenido

por (3), como |x> y z> son kets arbitrarios, se obtiene que <xjo es el bra

conjugado del ket 0|x>, según se consideró al pasar de (1) a (2)

Nótese que los kets |x> y |z> son arbitrarios, y si el medio es finito,

satisfarán, en general, condiciones de contorno distintas.

2.- ECUACIONES DE VALORES PROPIOS.Si |y> = o|x>, se tiene que <y| = <x o , y las ecuaciones (1 y 2) se trans

forman en ecuaciones de valores propios,

Velarde, G. - Véase ref. 1, pág. 1, I.

Ap.I -2-

0|x> = o|x> ===> <x | O ' = <x|o

siendo una conjugada de la otra, y |x> los kets propios de 0 y <x| los bras

propios de 0' .

Prescindiendo de que 0' sea el adjunto de 0, la ecuación de valores

propios de 0 piendo |x'> sus kets propios, y la de 0 siendo <x'| sus bras

propios, serán

0 ! I x ' > = o ' j x ' > = = > <x' I 0 = <x ' I o ' ( 5)

siendo una conjugada de la otra, y o ' y o: los valores propios correspon-

dientes .

-primera, .,.,,,., .. . - , - ^ J T ,primera.La ( , ) ecuación de (5) se llama ecuación adjunta de la (' , )segunda J ^ segunda

de (4-), por lo cual se dice que las condiciones de contorno de |x'> son ad-

juntas de las de |x>, y al problema correspondiente a la ecuación (5) con

sus condiciones de contorno, problema adjunto del correspondiente a la ecua

cion'(4) con sus propias condiciones de contorno.

2.1.-ORTONORMALIZACION.Particularizando la primera ecuación (4-) para el valor propio o., y la

segunda ecuación (5) para el o'., al multiplicar la primera por <x^ | y la se

gunda por |x.>, y restar los resultados, se obtiene

— 5'i 4-

(o . - o '. ) <x . | x.> = 0 (6)

Si los kets propios |x.> forman un conjunto completo, todos los o', es

tan entre los o. ,y si los kets propios |x".> forman un conjunto completo, todos

los o. están entre los o. ; ya que por ejemplo, si los |x.> forman un conjun

to completo, y o no está entre los o., de (6) se obtiene que <x¿|x.> = 0,k ^ i K i

es decir,el ket propio |x, > es ortogonal a cada ket x.> de un conjunto com

pleto, luego debe ser idénticamente nulo contra lo supuesto.

2.1.1.- En mecánica cuántica, los operadores asociados a observables son auto

adjuntos o hermíticos O1 = 0, luego |x'>= |x>, <x'| =<x|, o' = o' = o =

= o , y de (6) se obtiene que los kets propios pueden ortonormalizarse,

<x. |xi> = 5(i-j) (7)

BIBLIOGRAFÍA DE LIBROS CONSULTADOS SOBRE TEORÍA YCALCULO DE REACTORES

1.- Bell, 6.1. y Glasstone, S. NUCLEAR REACTOR THEORYVan Nostrand (1970).

2.- Case, K.M. y Zweifel, P.F. LINEAR TRANSPORT THEORYAddison Wesley (1967).

3.- Henry, A. NUCLEAR REACTOR ANALYSIS. The MIT Press (1975).

4.- Akcasu, Z., Lellouche, G.S. y Shotkin, L.M. MATHEMATICALMETHODS IN NUCLEAR REACTOR DYNAMICS. Academic Press (1971),

5.- Velarde, G. TEORÍA DE REACTORES. IEN, JEN (1960).

6.- Greenspan H., Kelber, G.N. y Okrent, D. COMPUTING METHODSIN REACTOR PHYSICS. Gordon and Breach (1968).

7.- Clark, M. y Hansen, K.F. NUMERICAL METHODS OF REACTORANALYSIS. Academic Press (1964).

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J.E.N. 334 J.E.N. 334

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"Ecuaciones integrodiferenciales e integralesnormales y adjuntas del transporte de neutrones"(Parte I)

VELARE, G. (1976) 60 pp. 3 f i gs . 8 refs.

Basándose en diversas hipótesis simplif icativas se obtienen las diferentes

ecuaciones integrodiferenciales de Botlzmann del transporte de neutrones, ap l i -

cándolas posteriormente a algunos casos particulares: moderación, termal i zación,

muí t i grupos, y reactores crí t icos y virtualmente crít icos con k, ©c y X

CLASIFICACIÓN INIS Y ESCRIPTORES.- E-21; Neutrón Transport Theory; Boltzmann

Equation; Integral Equations; Slowing-Down; Muliigroup Theory; Eigenvalues;

Eigenfunctions,,


"Ecuaciones integrodiferenciales e integralesnormales y adjuntas del transporte de neutrones"(Parte I) -

VELARE, G. (1976) 60 pp. 3 f i gs . 8 refs.

Basándose en diversas hipótesis simplif icativas se obtienen las diferentes

ecuaciones integrodiferenciales de Botlzmann del transporte de neutrones, ap l i -

cándolas posteriormente a algunos casos particulares: moderación, termal ización,

multigrupos, y reactores crít icos y virtualmente crí t icos con k, o¿- y 'X.

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- E-21; Neutrón Transport Theory; Boltzmann

Equation; Integral Equations; Slowing-Down; Multigroup Theory; Eigenvalues;

Eigenfunctions.

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VELARE, G. (1976) 60 pp. 3 figs. 8 refs.Basándose en diversas hipótesis simpl i f i cativas se obtienen las diferentes

ecuaciones integrodiferenciales de Botlzmann del transporte de neutrones, ap l i -cándolas posteriormente a algunos casos particulares: moderación, termal i zación,multigrupos, y reactores crít icos y virtualmente crí t icos con k, aC y X



Eigenfunctions.

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VELARE, G. (1976) 60 pp. 3 figs. 8 refs.Basándose en diversas hipótesis simplif icalívas se obtienen las diferentes

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Eigenfunctions.

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"Normal and adjoint integral and integrodifferen-tial neutrón transport equations" (Part I)

VELÁRDE, Q. (1976) 60 pp. 3 f i g s . 8 r e f s .Using some simplifying hypotheses, different expressions of the BoHzraarin

1 ntegrodifferential equation are obtained. Posterior!1/, they are applied to

some particular cases: slowing down, themia'iization, niultigroups, c r i t i ca ! reac-

tors and virtual c r i t i ca ! reactors with k, o C and X

INIS CLASSIFICATION AND DESCRIPTORS.- E-21; Neutrón Transport Theory; BoltzniannEquations; Integral Equations; Slowing-Down; Hultigroup Theory; Eigenvalues;Eigenfunctions.


"Normal and adjoint integral and integrodifferen-tial neutrón transport equations" (Part I)

VELARDE, 6 . (1976) 60 pp. 3 f i g s . 8 re f s .Using some simplifying hypotheses, different expressions of the Boltzniann

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some particular cases: slowing down, thermalization, multigroups, c r i t i ca l reac-

tors and virtual c r i t i ca l reactors with k, .^C and Á.

INIS CLASSIFICATION AND DESCRIPTORS.- E-21; Neutrón Transport Theory; BclizmannEquations; Integral Equations; Slov/ing-Down; Multigroup Theory; Eigenvalues;Eigenfunctions.

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Junta de Energía Nuclear, División de Tecnología de Reactores, Hadrid.

"Normal and adjoint integral and integrodifferen -tial neutrón transport equations" (Part I)

VELARE, 6. (1976) 60 pp. 3 f i gs . 8 refs.

Using some simpllfying hypotheses, dif ferent expressions of the Boltzmann

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tors and vir tual c r i t i ca l reactors with k, oC and A .

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Equations; Integral Equations; Slowing-Down; Multigroup Theory; Eigenvalues;

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; " N o r m a l and adjoint i n t e g r a l and in t eg rod i f f e r en -tial neutrón transport equations" (Part I)

i VELARE, G. (1976) 60 pp. 3 f i gs . 8 refs.

Using some simpligying hypotheses, different expressions of the Boltzniann

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J some particular cases: slowing down, thermalization, multigroups, c r i t i ca l reac-i tors and virtual c r i t i ca l reactors with k, o£ and Xi

; INIS CLASSIFICATION AND DESCRIPTORS.» E-Zi; Neutrón Transport Theory; Boltzmann

i Equations; Integral Equations; Slowing-Down; Multigroup Theory; Eigenvalues;

Eigenfunctions.

por g. vefarde - ipen - instituto de pesquisas ...del espacio euclídeo de tres dimensiones, llamado...

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