Orígenes en PRESTO, una aplicación para

computadoras desarrollada por Guerino Mazzola. RUBATO es un entorno universal de software para la

música, desarrollado desde 1992 bajo la dirección de Guerino Mazzola.

El sistema de RUBATO COMPOSER fue desarrollado en la tesis docotral de Gérard Milmeister (2006), donde implementó la Arquitectura Funtorial de Conceptos basada en el formato de datos de Formas y Denotadores. http://www.rubato.org/

Este software trabaja con componentes llamados rubettes. ( ejectuan tareas básicas para la representación musical y cuya interfaz con otros rubettes se basa en el formato universal de datos de los denotadores).

El formato de datos de denotadores usa pregavillas evaluadas en conjuntos, de la categoría de módulos con morfismos diafines. http://www.rubato.org/

Aunado a lo que RUBATO COMPOSER es para el compositor y teórico de la música, también es una herramienta excelente para aprender conceptos matemáticos sofisticados.

Las matemáticas involucradas son sofisticadas y podrían ser accesibles, de manera formal, al estudiante promedio de matemáticas en su último año, después de tener alguna experiencia con cursos tales como Álgebra Lineal, Álgebra Moderna, Análisis o Topología, pero se enseñarían, por lo general, a nivel de posgrado.

Las possibilidades de la expansion del conocimiento y nuevas aplicaciones;

El peligro de la superficialidad, contaminación y el rendimiento ante la moda;

Las posibilidades que ofrecen la Teoría Matemática de la Música y sus aplicaciones a la base de conocimientos de los estudiantes de las Matemáticas, la Música, y la Ciencia de la Computación, sin excluir los de otras áreas.

Se reconoce, en términos generales, que hay una laguna entre la formalidad de las matemáticas modernas como son concebidas y enseñadas por matemáticos entrenados y las matemáticas que se consideran relevantes por los no-matemáticos.

Cuando las matemáticas se insertan en distintos contextos prácticos, frecuentemente es más fácil lograr que los estudiantes piensen matemáticamente de manera natural.

Aun los estudiantes de matemáticas suelen tener dificultades en hallarle sentido a la presentación formal de su materia. (MacLane, 2005).

La creación de materiales didácticos y cursos interdisciplinarios, con el uso de RUBATO COMPOSER como terreno común, abre un abanico de posibilidades para la Teoría Matemática de la Música y para el desarrollo de investigadores en el campo. También se puede justificar por sí sólo, donde se concibe RUBATO COMPOSER como una herramienta de aprendizaje.

la Revista Internacional de Computadoras para el Aprendizaje de las Matemáticas “… publica contribuciones que exploran la potencialidad única de las nuevas tecnologías para profundizar nuestra comprensión del campo del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas.”

Una revisión de artículos de 2006-8, ilustra que la noción de utilizar software específicos para realzar el aprendizaje de las matemáticas tiene una historia reciente respetable y ha sido analizada empleando paradigmas de investigación bien documentados.

El uso del formalismo para construir significado es un método que presenta mucha dificultad para los estudiantes , pero es la única forma de aprender una gran parte de las matemáticas.

El escribir programas de computación para expresar conceptos matemáticos puede ser una manera efectiva de alcanzar esta meta de aprendizaje de las matemáticas avanzadas. (Dubinsky, 2000)

El software RUBATO COMPOSER abre la posibilidad de crear significado para los formalismos de ciertas áreas de las matemáticas y de acelerar los procesos de aprendizaje y comprensión.

Estas áreas matemáticas (Álgebra Abstracta más allá de la Teoría de Grupos, Teoría de Categorías y Topos) no son consideradas en la literatura sobre aprendizaje basado en la computadora, o en el aprendizaje de las matemáticas universitarias en general.

El aprendizaje basado en la computadora en la Música usualmente se relaciona con el entrenamiento en las habilidades auditivas, la lectura y otras áreas esenciales al estudiante de la Música.

Lenguajes de respresentación Musical , como Common Music, OpenMusic, y Humdrum, para la composición y el análisis, que sí requieren conocimiento de la programación.

RUBATO COMPOSER ofrece a los estudiantes de la Música la oportunidad de introducirse a las matemáticas de alto nivel, involucradas in la Teoría Matemática de la Müsica moderna.

Esto puede realizarse de una manera relativamente (no completamente) “sin dolor”, en comparación con lo que significa aprender este material de forma tradicional.

RUBATO COMPOSER se basa en el formato de datos de Formas y Denotadores.

Las Formas son espacios matemáticos con una estructura precisa y los Denotadores son objetos en los espacios de Formas.

La Teoría de Categorías es el fundamento matemático sobre el cual esta base conceptual particlar de la Teoría Matemática de la Música se construye.

En la arquitectura de RUBATO COMPOSER los

módulos son un elemento básico, similar a los tipos

primitivos en los lenguajes de programación.

La estructura recursiva de una Forma, si no es

circular, “parará” eventualemente en una Forma

Simple que, en efecto, es un módulo.

Los morfismos entre módulos (cambios de

dirección), son parte del software.

En el desarrollo de los sistemas de manejo de las bases de

datos, los objetos deben nombrarse y definirse de

manera recursiva y deben admitir tipos, que en este

contexto, son tales como límite, colímite, y potencia.

Es necesario trabajar con las estructura algebráica de

módulos, y a la vez formar construcciones cuyos

prototipos se encuentran en la categoría de conjuntos.

Esta es la razón por la cual que, en el contexto de

RUBATO COMPOSER, el enfoque es trabajar en la

categoría de pregavillas sobre módulos (cuyos objectos

son funtores ).

Por medio de la creación de denotadores, y las estructuras recursivas de tipos cuando trabajando con Formas,el estudiante de matemáticas acostumbrado al formalismo de las matemáticas abstractas, tiene la oportunidad de participar en la implementación concreta de estos conceptos.

El estudiante de matemáticas que todavía batalla para encontrar significado en el formalismo abstracto, puede encontrar un vehículo por medio del cual este proceso se acelere.

La mayoría de los rubettes disponibles en este momento son de “nivel bajo”.

Uno de los objectivos de los diseñadores de RUBATO COMPOSER es crear más rubettes de alto nivel que presenten interfaces más “amigables” y un lenguaje para el usuario no matemático, en particular el compositor o musicólogo.

Sin embargo, los músicos interesados en usar la tecnología de manera inovadora no pueden aislarse de las matemáticas usadas para crear sus herramientas.

El análisis musical en sí y mucho de la ontología musical están relacionados de manera intrincada con el marco matemático.

El estudiante de Música no tiene que tratar los objectos matemáticos de la misma forma como el estudiante de matemáticas (tampoco el estudiante de ciencias de la computación). Sin embargo, si quiere seguir el desarrollo de la investigación en la Teoría Matemática de la Música, necesita una comprensión del lenguaje y los conceptos detrás de las herramientas.

Esto es especialmente cierto en el caso de RUBATO COMPOSER, el cual ha sido diseñado como el resultado de un enfoque definido con precisión y, tal vez, revolucionario hacia el análsis musical.

Aun con los rubettes de alto nivel que están y estarán disponibles, es posible trazar los pasos y descubrir las matemáticas detrás de su construcción.

Cuando la terminología cambia de ‘transposición’ a ‘traslación’ y, en general, de la ‘inversión’, ‘retrógrada’, ‘aumentación’ musicales al lenguaje de las transformaciones matemáticas, o morfismso, se le presenta al estudiante de Música la oportunidad de desarrollar una comprensión del significado detrás del formalismo.

En RUBATO COMPOSER no sólo traslaciones, sino morfismos afines en general, pueden ser empleados para generar la ornamentación musical.

El “Wallpaper” rubette, desarrollado por Florian Thalmann, también abre la posibilidad de generar morfismos en cualquier espacio n-dimensional (por ejemplo, empleando las cinco Formas Simples del denotador Nota - Onset, Pitch, Duration, Loudness, Voice- una transformación en 5D puede ser definida).

Cuando se trabaja con transformaciones afines en 2D, se puede dar una orden por medio de ‘arrastrar’ el ratón, en vez de definir los morfismos.

Una unidad donde se introducen los conceptos básicos del Álgebra Lineal, Teoría de Grupos y Geometría que se necesitan para estudiar la Teoría Matemática de la Música, como se ha desarrollado durante los últimos 40 años, podría ser creada.

El ejemplo más ‘extremo’, hasta ahora, el BigBang rubette, también desarrollado por Florian Thalmann, en el contexto de La Teoría Matemática de Gestos y la Semiótica Computacional.

Basado en un marco general para técnicas de composición geométricas.

Dado un conjunto de notas, su imagen se calcula por medio de transformaciones invertibles en espacio n-dimensional.

Hay un teorema que enuncia que una transformación afín invertible en n dimensiones puede ser escrita como una composición de transformaciones, cada una actuando sobre sólo una o dos de las n dimensiones.

Las funciones componentes (actúan sobre sólo una o dos de las n dimensiones) representadas geométricamente como cinco operaciones matemáticas estándares que tienen su representación musical:

Traslación (transposición en la Música)

Reflección (inversion, retrógrada en la Música)

Rotación (inversión-retrógrada en la Música)

Dilataciones (aumentaciones en la Música )

Shear (arpeggios).

Una Muestra de una Unidad y su Enfoque en las Diferentes Disciplinas

Una unidad de muestra se crea para ilustrar cómo el

análisis y creación de un objeto musical pueden darles a los esutdiantes de diferentes disciplinas, en particular Matemáticas, Ciencias de la Computación y Música, una comprensión más profunda de las matemáticas abstractas, mientras satisface los intereses estéticos.

Descripción del Módulo: El desarrollo de una frase melódica, transformada recursivamente por transformaciones en el plano como ornamentación, empleando el Wallpaper rubette en RUBATO COMPOSER

Objectivos y Actividades:

Todos los estudiantes podrán:

Identificar las transformaciones rígidas en el plano y darle un significado musical. Por ejemplo:

Traslaciones matemáticas – transposiciones musicales;

Reflexiones matemáticas – inversión, retrógada musicales;

Rotación matemática– inversion-retrógrada musicales;

Dilatación matemática – aumentación en tiempo musical ;

Shearing matemática – arpeggios musicales en tiempo.

Todos los estudiantes podrán:

Usar el software RUBATO COMPOSER y, en particular, el Wallpaper rubette, para generar ornamentación musical por medio de diagramas de morfismos (funciones).

Crear e interpretar transformaciones, y composiciones de transformaciones, como la siguiente, en la cual es una rotación de 180 seguida por una traslación, y es una translación.

1f

2f

Seleccionar cualesquiera de las coordenadas de el denotador Note (que es de dimension 5) y combinarlas.

Cuando se escogen dos coordenadas, digamos, Onset y Pitch, los estudiantes las relacionarán con las transformaciones rígidas del plano euclidiano.

Los estudiantes de Matemáticas (y los de las Ciencias de la Computación) construirán los morfismos fomralmente; los estudiantes de Música pueden utilizar la sucesión de transformaciones primitivas, arrastrando el ratón.

Los estudiantes de Matemáticas podrán: Construir los morfismos de módulos de la Forma Nota a la

Forma Nota. Por ejemplo, utilizando las coordenadas Onset y Pitch, pueden construir las siguiente composición de inclusiones, proyeciones y transformaciones afines.

La creación de una frase melódica donde e son las inyeciones y es la inclusión . La transformación (una

ornamentación musical, como se vio en la transparencia previa) se aplica , y para que las coordenadas regresen a los morfismos de módulos.

y las proyecciones y se aplican, donde c representa cuantizada a

1i 2i2

2e

nonp

1p2p

= ○ f ○ (( ○ o) + ( ○ ○ p)): A →

=c ○ ○ f ○ ((i1 ○ o) + ( ○ ○ p)): A →

no 1p1i 2i 2e

2p2i 2enp

Tópicos Generales Temas Sobresalientes

(Matemáticas)

Temas Sobresalientes

(Música)

Teoría Transformacional Teoría de Grupos, Teoría de

Conjuntos, Teoría de

Funciones, Geometría,

Topología.

Análisis de obras musicales

de todos los géneros. En el

caso de la música Clásica, el

análisis de la música moderna

atonal que no se puede

analizar con las herramientas

tradicionales de la teoría

musical.

Subdivisión de la Octava;

Conjuntos Máximamente

Pares.

Teoría de Grupos, Teoría de

Números, Ecuaciones

Diferenciales, Fracciones

Contínuas.

Exploración de escalas

diferentes y exóticas;

Composición con el empleo

de escalas poco usuales.

Formas y Denotadores; El

Software RUBATO

COMPOSER

Teoría de Categorías y

Funtores, Teoría de Topos,

Conjuntos y Módulos,

Transformaciones Lineales,

Afines y Diafines, Algebra

Lineal, Geometría, Teoría

Matemática de los Gestos.

Composición Musical,

Ornamentación de la música

existente; Algoritmos para la

Composición; Teoría de

Contrapunto.

MacLane, Saunders. Despite Physicists, Proof is Essential in Mathematics. Synthese 111, 2, 147-154 (May, 1997).

Mazzola, G, Milmeister, G, Morsy, K., Thalmann, F. Functors for Music: The Rubato Composer System. In Adams, R., Gibson, S., Müller Arisona, S. (eds.), Transdisciplinary Digital Art. Sound, Vision and the New Screen, Springer (2008).

Milmeister, Gérard. The Rubato Composer Music Software Component-Based Implmentation of a Functorial Concept Architecture. Springer-Verlag (2009).

Thalmann, Florian and Mazzola, Guerino. The BigBang Rubette: Gestural Music Composition with Rubato Composer ICMC 2008 http://classes.berklee.edu/mbierylo/ICMC08/defevent/papers/cr1316.pdf

Thalmann, Florian. Musical Composition with Grid Diagrams of Transformations, Masters Thesis, Bern (2007)

International Journal of Computers for Mathematical Learning, http://www.springer.com/education/mathematics+education/journal/10758

Creating and Implementing a Form Space and Denotator for Bass Using

the Category-Theoretic Concept Framework

The Dilemma

• The dilemma resides in how to maintain the algebraic structure of the category of modules(over any ring, with diaffine morphisms) and, at the same time, construct such objects as limits, colimits, and power, and classify truth.

The Dilemma

• The functorial approach leads to the resolution of this dilemma by working in the category of presheaves over modules (whose objects are the functors F: Mod → Sets, and whose morphisms are natural transformations of functors) and which will be denoted as Mod@.

• This category is a topos, which means that it allows all limits, colimits, and subobject classifiers Ω, while retaining the algebraic structure that is needed from the category Mod.

My Research

• My research consists of creating a form broad enough for the majority of simple electric bass scores, and a denotator which represents the jazz song “All of Me”. The recursivity of the mathematical definitions of form and denotator are made evident in this application

Bass Score Form

Name Form Bass Score

GeneralNotes

SimpleNote

Denotator “SimpleNote”

• For an example of how to build a denotator I will take a small part of my denotator named “SimpleNote”

Creating the Denotator of “All of Me”

• A single denotator N1 of the form: SimpleNote is created from the coordinates of the denotator which themselves are forms of type simple: Onset, Pitch, Duration, Loudness, and Voice.

Creating the Denotator of “All of Me”

• As we don't have time to see how all of the module morphisms are constructed we will build the pitch module morphism “mp”.

• All the others are built analogously.

Bassline for “All of Me”

Creating the Denotator in Rubato Composer

• To create the denotator for the Jazz song “All of Me” we must first create the Module Morphisms

Creating the Denotator in Rubato Composer

• Once we've opened our module morphism builder in Rubato Composer we will start creating a module morphism for pitch.

• First we must create “mp2” and “mp1”

and then they will be used to make “mp”, which is a composition of the two.

Creating the Denotator in Rubato Composer

• For mp2 the domain is determined from the number of musical notes in the bass line.

• For instance, the bass line I wrote for “All of Me” contains 64 notes.

• We establish the first note as the anchor note, so for our domain we use Z63.

Creating the Denotator in Rubato Composer

• mp2 is an embedding of the canonical vectors plus the zero vector, that goes from Z63 → Q63.

mp1

• mp1 will take us from Q63→ Q.

• We will set up the module morphism in the same way as mp2, except we will select affine instead of canonical.

mp1

mp

• To create mp, we bring up the module morphism builder, and create a module morphism with the domain of mp2 and a codomain of mp1.

• Which results in mp1○mp2 = mp.

mp

mp

• mp: Z63 → Q63 → Q: x → (4, 7, 9, 7, 4, 0, 2, 4, 8, 11, 8, 4, 2, -1, -4, -3, -1, 1, 4, 7, 6, 5, 4, 2, 5, 9, 12, 11, 9, 5, 2, 4, -8, 3, 4, 8, 4, 0, -1, -3, -1, 0, 4, 9, 7, 5, 4, 2, 6, 12, 11, 9, 6, 0, 2, 5, 9, 2, 6, 7, -5, -1, 2)●x + 48

• Example, when x=(0,...,0)

(4,..., 2)●(0,...0) + 48 → 0+48 → 48

Which is the first note in our bassline.

Module Morphisms

• All of the Module Morphisms are made in the same way.

• Once all of the Module Morphisms are built we can arrange them using the denotator builder.

Denotator Builder

Creating Denotator

Using Rubettes in Rubato Composer

• To play our bass line in Rubato Composer, we must create a network using rubettes.

• We will need to set up three rubettes; the Source rubette, the @AddressEval rubette, and the Scoreplay rubette.

Source

Source

Source

@AddressEval Rubette

• Next open the @AddressEval Rubette.

• This rubette will be directly connected to the Source rubette.

Scoreplay Rubette

• To play our bassline we need to open the scoreplay rubette and connect it to the @AddressEval rubette.

• This is done the same way as the Source and @AddressEval rubettes.

Finished Network

Pianola

Rubato Composer and its

Functorial Approach:

From Morphisms to Gestures through

Rubettes

Jonathan Cantrell

Junior Mathematics

Georgia State University

Diaffine Transformations

Working in the category Mod of modules over

any ring whose morphisms are diaffine

transformations which gives us the ability to

perform operations from one module to another

Diaffine transformations are module morphisms

plus a translation

A dilinear homomorphism from an R-module M to an

S-module N plus a translation in N

Why Topoi?

Rigidly defined categories which are a

generalization of the category of Sets

Allows the composer to perform set-valued

operations where the elements in the sets are

module morphisms over any ring

Sets are required within the framework of the

Form and Denotator concept as the evaluation

of the colimit of Score:Note

Geometric Representation

Module morphisms in n-dimensional space

embedded into a Form of type Simple

Any diaffine transformation h in n-dimensional

space can be written as a composition of

transformations hi which involve only one or two

dimensions of the n dimensions and leave the

others unchanged

In our particular example, we are in ℝ5 we want

to operate exclusively on pitch and onset,

therefore we apply this construct to work in ℝ2

The Functorial Approach

Our work focuses on the category of

presheaves over modules

The objects of this category are the functors that

take us from Mod to Sets

The morphisms in this category are called Natural

Transformations

The functorial approach respects the

composition of the modules themselves while

affording us the versatility of sets

My Research

I have developed an example of a 12-note

melodic phrase recursively transformed using

the Wallpaper rubette. I further generalize this

series of transformations using the high-level

tool of the BigBang rubette available in Rubato

Composer

Compound Transformations

An example of two translations applied

recursively.

For a specific Note denotator, we operate

exclusively on the module morphisms Onset

and Pitch

Compositions

As stated, the module morphisms contained in

the Simple forms Onset, o: A → ℝ and Pitch,

p: A → ℚ are extracted from the Note denotator

We now need to compose these module

morphisms as follows

Compostitions

This is described by the following compositions:

i₁ ○ o : A → ℝ2,

i₂ ○ e₂ ○ p : A → ℝ2,

Where i₁ and i₂ are the injections ℝ → ℝ2, and e₂ is the

embedding ℚ → ℝ.

In order to combine these two morphisms into a

single instance of ℝ2 we must sum them such

that onset and pitch become respective axes in

ℝ2

Compositions

The transformation f is then applied, and finally,

to return the coordinates to the module

morphisms on and p

n, we apply the projections

p1 and p

2 as follows where c represents ℝ

quantized to ℚ

on = p

1 ○ f ○ ((i

1 ○ o) + (i

2 ○ e

2 ○ p)): A → ℝ

pn = c ○ p

2 ○ f ○ ((i

1 ○ o) + (i

2 ○ e

2 ○ p)): A → ℚ

Tracing the modules on which these

compositions take place we have

onset: ℤ11 → ℝ11 → ℝ → ℝ2 → ℝ2 → ℝ

pitch: ℤ11 → ℚ11 → ℚ → ℝ → ℝ2 → ℝ2 → ℝ → ℚ

Morphisms to Gestures

The Wallpaper rubette is an example of a low-

level process

We are working in a very mathematical context

For the composer, this will not always be

appropriate, as mathematics may be a means

rather than an end

For this reason Gesture Theory is being

developed by Dr. Guerino Mazzola and Florian

Thalmann as implemented in the BigBang

rubette

Gestures as curves in topological space

Future Applications

The Rubato Framework gives the composer an

alternate view of composition, working from a

functorial perspective

Also the musician can gain insight into a branch

of mathematics using intuition as a guide

opening up exciting educational avenues

The highly characterizable nature of the

category theoretic framework opens up the

opportunity for any system to modeled

effectively

Bibliography

– Milmeister, Gérard. The Rubato Composer Music Software: Component-Based Implementation of a Functorial Concpet Architecture Zürich: 2006

– Thalmann, Florian and Mazzola, Guerino. The BigBang Rubette: Gestural Music Composition with Rubato Composer

– Thalmann, Florian. Musical Composition with Grid Diagrams of Transformations Bern: 2007

– “Pro Tools.” http://www.digidesign.com/

– “Logic.” http://www.apple.com/logicstudio/

– “Cubase.” http://www.steinberg.net