rubato composer y su uso pedagógico para conceptos ... presentaci2010-2.pdf · de escalas poco...
TRANSCRIPT
Orígenes en PRESTO, una aplicación para
computadoras desarrollada por Guerino Mazzola. RUBATO es un entorno universal de software para la
música, desarrollado desde 1992 bajo la dirección de Guerino Mazzola.
El sistema de RUBATO COMPOSER fue desarrollado en la tesis docotral de Gérard Milmeister (2006), donde implementó la Arquitectura Funtorial de Conceptos basada en el formato de datos de Formas y Denotadores. http://www.rubato.org/
Este software trabaja con componentes llamados rubettes. ( ejectuan tareas básicas para la representación musical y cuya interfaz con otros rubettes se basa en el formato universal de datos de los denotadores).
El formato de datos de denotadores usa pregavillas evaluadas en conjuntos, de la categoría de módulos con morfismos diafines. http://www.rubato.org/
Aunado a lo que RUBATO COMPOSER es para el compositor y teórico de la música, también es una herramienta excelente para aprender conceptos matemáticos sofisticados.
Las matemáticas involucradas son sofisticadas y podrían ser accesibles, de manera formal, al estudiante promedio de matemáticas en su último año, después de tener alguna experiencia con cursos tales como Álgebra Lineal, Álgebra Moderna, Análisis o Topología, pero se enseñarían, por lo general, a nivel de posgrado.
Las possibilidades de la expansion del conocimiento y nuevas aplicaciones;
El peligro de la superficialidad, contaminación y el rendimiento ante la moda;
Las posibilidades que ofrecen la Teoría Matemática de la Música y sus aplicaciones a la base de conocimientos de los estudiantes de las Matemáticas, la Música, y la Ciencia de la Computación, sin excluir los de otras áreas.
Se reconoce, en términos generales, que hay una laguna entre la formalidad de las matemáticas modernas como son concebidas y enseñadas por matemáticos entrenados y las matemáticas que se consideran relevantes por los no-matemáticos.
Cuando las matemáticas se insertan en distintos contextos prácticos, frecuentemente es más fácil lograr que los estudiantes piensen matemáticamente de manera natural.
Aun los estudiantes de matemáticas suelen tener dificultades en hallarle sentido a la presentación formal de su materia. (MacLane, 2005).
La creación de materiales didácticos y cursos interdisciplinarios, con el uso de RUBATO COMPOSER como terreno común, abre un abanico de posibilidades para la Teoría Matemática de la Música y para el desarrollo de investigadores en el campo. También se puede justificar por sí sólo, donde se concibe RUBATO COMPOSER como una herramienta de aprendizaje.
la Revista Internacional de Computadoras para el Aprendizaje de las Matemáticas “… publica contribuciones que exploran la potencialidad única de las nuevas tecnologías para profundizar nuestra comprensión del campo del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas.”
Una revisión de artículos de 2006-8, ilustra que la noción de utilizar software específicos para realzar el aprendizaje de las matemáticas tiene una historia reciente respetable y ha sido analizada empleando paradigmas de investigación bien documentados.
El uso del formalismo para construir significado es un método que presenta mucha dificultad para los estudiantes , pero es la única forma de aprender una gran parte de las matemáticas.
El escribir programas de computación para expresar conceptos matemáticos puede ser una manera efectiva de alcanzar esta meta de aprendizaje de las matemáticas avanzadas. (Dubinsky, 2000)
El software RUBATO COMPOSER abre la posibilidad de crear significado para los formalismos de ciertas áreas de las matemáticas y de acelerar los procesos de aprendizaje y comprensión.
Estas áreas matemáticas (Álgebra Abstracta más allá de la Teoría de Grupos, Teoría de Categorías y Topos) no son consideradas en la literatura sobre aprendizaje basado en la computadora, o en el aprendizaje de las matemáticas universitarias en general.
El aprendizaje basado en la computadora en la Música usualmente se relaciona con el entrenamiento en las habilidades auditivas, la lectura y otras áreas esenciales al estudiante de la Música.
Lenguajes de respresentación Musical , como Common Music, OpenMusic, y Humdrum, para la composición y el análisis, que sí requieren conocimiento de la programación.
RUBATO COMPOSER ofrece a los estudiantes de la Música la oportunidad de introducirse a las matemáticas de alto nivel, involucradas in la Teoría Matemática de la Müsica moderna.
Esto puede realizarse de una manera relativamente (no completamente) “sin dolor”, en comparación con lo que significa aprender este material de forma tradicional.
RUBATO COMPOSER se basa en el formato de datos de Formas y Denotadores.
Las Formas son espacios matemáticos con una estructura precisa y los Denotadores son objetos en los espacios de Formas.
La Teoría de Categorías es el fundamento matemático sobre el cual esta base conceptual particlar de la Teoría Matemática de la Música se construye.
En la arquitectura de RUBATO COMPOSER los
módulos son un elemento básico, similar a los tipos
primitivos en los lenguajes de programación.
La estructura recursiva de una Forma, si no es
circular, “parará” eventualemente en una Forma
Simple que, en efecto, es un módulo.
Los morfismos entre módulos (cambios de
dirección), son parte del software.
En el desarrollo de los sistemas de manejo de las bases de
datos, los objetos deben nombrarse y definirse de
manera recursiva y deben admitir tipos, que en este
contexto, son tales como límite, colímite, y potencia.
Es necesario trabajar con las estructura algebráica de
módulos, y a la vez formar construcciones cuyos
prototipos se encuentran en la categoría de conjuntos.
Esta es la razón por la cual que, en el contexto de
RUBATO COMPOSER, el enfoque es trabajar en la
categoría de pregavillas sobre módulos (cuyos objectos
son funtores ).
Por medio de la creación de denotadores, y las estructuras recursivas de tipos cuando trabajando con Formas,el estudiante de matemáticas acostumbrado al formalismo de las matemáticas abstractas, tiene la oportunidad de participar en la implementación concreta de estos conceptos.
El estudiante de matemáticas que todavía batalla para encontrar significado en el formalismo abstracto, puede encontrar un vehículo por medio del cual este proceso se acelere.
La mayoría de los rubettes disponibles en este momento son de “nivel bajo”.
Uno de los objectivos de los diseñadores de RUBATO COMPOSER es crear más rubettes de alto nivel que presenten interfaces más “amigables” y un lenguaje para el usuario no matemático, en particular el compositor o musicólogo.
Sin embargo, los músicos interesados en usar la tecnología de manera inovadora no pueden aislarse de las matemáticas usadas para crear sus herramientas.
El análisis musical en sí y mucho de la ontología musical están relacionados de manera intrincada con el marco matemático.
El estudiante de Música no tiene que tratar los objectos matemáticos de la misma forma como el estudiante de matemáticas (tampoco el estudiante de ciencias de la computación). Sin embargo, si quiere seguir el desarrollo de la investigación en la Teoría Matemática de la Música, necesita una comprensión del lenguaje y los conceptos detrás de las herramientas.
Esto es especialmente cierto en el caso de RUBATO COMPOSER, el cual ha sido diseñado como el resultado de un enfoque definido con precisión y, tal vez, revolucionario hacia el análsis musical.
Aun con los rubettes de alto nivel que están y estarán disponibles, es posible trazar los pasos y descubrir las matemáticas detrás de su construcción.
Cuando la terminología cambia de ‘transposición’ a ‘traslación’ y, en general, de la ‘inversión’, ‘retrógrada’, ‘aumentación’ musicales al lenguaje de las transformaciones matemáticas, o morfismso, se le presenta al estudiante de Música la oportunidad de desarrollar una comprensión del significado detrás del formalismo.
En RUBATO COMPOSER no sólo traslaciones, sino morfismos afines en general, pueden ser empleados para generar la ornamentación musical.
El “Wallpaper” rubette, desarrollado por Florian Thalmann, también abre la posibilidad de generar morfismos en cualquier espacio n-dimensional (por ejemplo, empleando las cinco Formas Simples del denotador Nota - Onset, Pitch, Duration, Loudness, Voice- una transformación en 5D puede ser definida).
Cuando se trabaja con transformaciones afines en 2D, se puede dar una orden por medio de ‘arrastrar’ el ratón, en vez de definir los morfismos.
Una unidad donde se introducen los conceptos básicos del Álgebra Lineal, Teoría de Grupos y Geometría que se necesitan para estudiar la Teoría Matemática de la Música, como se ha desarrollado durante los últimos 40 años, podría ser creada.
El ejemplo más ‘extremo’, hasta ahora, el BigBang rubette, también desarrollado por Florian Thalmann, en el contexto de La Teoría Matemática de Gestos y la Semiótica Computacional.
Basado en un marco general para técnicas de composición geométricas.
Dado un conjunto de notas, su imagen se calcula por medio de transformaciones invertibles en espacio n-dimensional.
Hay un teorema que enuncia que una transformación afín invertible en n dimensiones puede ser escrita como una composición de transformaciones, cada una actuando sobre sólo una o dos de las n dimensiones.
Las funciones componentes (actúan sobre sólo una o dos de las n dimensiones) representadas geométricamente como cinco operaciones matemáticas estándares que tienen su representación musical:
Traslación (transposición en la Música)
Reflección (inversion, retrógrada en la Música)
Rotación (inversión-retrógrada en la Música)
Dilataciones (aumentaciones en la Música )
Shear (arpeggios).
Una Muestra de una Unidad y su Enfoque en las Diferentes Disciplinas
Una unidad de muestra se crea para ilustrar cómo el
análisis y creación de un objeto musical pueden darles a los esutdiantes de diferentes disciplinas, en particular Matemáticas, Ciencias de la Computación y Música, una comprensión más profunda de las matemáticas abstractas, mientras satisface los intereses estéticos.
Descripción del Módulo: El desarrollo de una frase melódica, transformada recursivamente por transformaciones en el plano como ornamentación, empleando el Wallpaper rubette en RUBATO COMPOSER
Objectivos y Actividades:
Todos los estudiantes podrán:
Identificar las transformaciones rígidas en el plano y darle un significado musical. Por ejemplo:
Traslaciones matemáticas – transposiciones musicales;
Reflexiones matemáticas – inversión, retrógada musicales;
Rotación matemática– inversion-retrógrada musicales;
Dilatación matemática – aumentación en tiempo musical ;
Shearing matemática – arpeggios musicales en tiempo.
Todos los estudiantes podrán:
Usar el software RUBATO COMPOSER y, en particular, el Wallpaper rubette, para generar ornamentación musical por medio de diagramas de morfismos (funciones).
Crear e interpretar transformaciones, y composiciones de transformaciones, como la siguiente, en la cual es una rotación de 180 seguida por una traslación, y es una translación.
1f
2f
Seleccionar cualesquiera de las coordenadas de el denotador Note (que es de dimension 5) y combinarlas.
Cuando se escogen dos coordenadas, digamos, Onset y Pitch, los estudiantes las relacionarán con las transformaciones rígidas del plano euclidiano.
Los estudiantes de Matemáticas (y los de las Ciencias de la Computación) construirán los morfismos fomralmente; los estudiantes de Música pueden utilizar la sucesión de transformaciones primitivas, arrastrando el ratón.
Los estudiantes de Matemáticas podrán: Construir los morfismos de módulos de la Forma Nota a la
Forma Nota. Por ejemplo, utilizando las coordenadas Onset y Pitch, pueden construir las siguiente composición de inclusiones, proyeciones y transformaciones afines.
La creación de una frase melódica donde e son las inyeciones y es la inclusión . La transformación (una
ornamentación musical, como se vio en la transparencia previa) se aplica , y para que las coordenadas regresen a los morfismos de módulos.
y las proyecciones y se aplican, donde c representa cuantizada a
1i 2i2
2e
nonp
1p2p
= ○ f ○ (( ○ o) + ( ○ ○ p)): A →
=c ○ ○ f ○ ((i1 ○ o) + ( ○ ○ p)): A →
no 1p1i 2i 2e
2p2i 2enp
Tópicos Generales Temas Sobresalientes
(Matemáticas)
Temas Sobresalientes
(Música)
Teoría Transformacional Teoría de Grupos, Teoría de
Conjuntos, Teoría de
Funciones, Geometría,
Topología.
Análisis de obras musicales
de todos los géneros. En el
caso de la música Clásica, el
análisis de la música moderna
atonal que no se puede
analizar con las herramientas
tradicionales de la teoría
musical.
Subdivisión de la Octava;
Conjuntos Máximamente
Pares.
Teoría de Grupos, Teoría de
Números, Ecuaciones
Diferenciales, Fracciones
Contínuas.
Exploración de escalas
diferentes y exóticas;
Composición con el empleo
de escalas poco usuales.
Formas y Denotadores; El
Software RUBATO
COMPOSER
Teoría de Categorías y
Funtores, Teoría de Topos,
Conjuntos y Módulos,
Transformaciones Lineales,
Afines y Diafines, Algebra
Lineal, Geometría, Teoría
Matemática de los Gestos.
Composición Musical,
Ornamentación de la música
existente; Algoritmos para la
Composición; Teoría de
Contrapunto.
MacLane, Saunders. Despite Physicists, Proof is Essential in Mathematics. Synthese 111, 2, 147-154 (May, 1997).
Mazzola, G, Milmeister, G, Morsy, K., Thalmann, F. Functors for Music: The Rubato Composer System. In Adams, R., Gibson, S., Müller Arisona, S. (eds.), Transdisciplinary Digital Art. Sound, Vision and the New Screen, Springer (2008).
Milmeister, Gérard. The Rubato Composer Music Software Component-Based Implmentation of a Functorial Concept Architecture. Springer-Verlag (2009).
Thalmann, Florian and Mazzola, Guerino. The BigBang Rubette: Gestural Music Composition with Rubato Composer ICMC 2008 http://classes.berklee.edu/mbierylo/ICMC08/defevent/papers/cr1316.pdf
Thalmann, Florian. Musical Composition with Grid Diagrams of Transformations, Masters Thesis, Bern (2007)
International Journal of Computers for Mathematical Learning, http://www.springer.com/education/mathematics+education/journal/10758
Creating and Implementing a Form Space and Denotator for Bass Using
the Category-Theoretic Concept Framework
The Dilemma
• The dilemma resides in how to maintain the algebraic structure of the category of modules(over any ring, with diaffine morphisms) and, at the same time, construct such objects as limits, colimits, and power, and classify truth.
The Dilemma
• The functorial approach leads to the resolution of this dilemma by working in the category of presheaves over modules (whose objects are the functors F: Mod → Sets, and whose morphisms are natural transformations of functors) and which will be denoted as Mod@.
• This category is a topos, which means that it allows all limits, colimits, and subobject classifiers Ω, while retaining the algebraic structure that is needed from the category Mod.
My Research
• My research consists of creating a form broad enough for the majority of simple electric bass scores, and a denotator which represents the jazz song “All of Me”. The recursivity of the mathematical definitions of form and denotator are made evident in this application
Bass Score Form
Name Form Bass Score
GeneralNotes
SimpleNote
Denotator “SimpleNote”
• For an example of how to build a denotator I will take a small part of my denotator named “SimpleNote”
Creating the Denotator of “All of Me”
• A single denotator N1 of the form: SimpleNote is created from the coordinates of the denotator which themselves are forms of type simple: Onset, Pitch, Duration, Loudness, and Voice.
Creating the Denotator of “All of Me”
• As we don't have time to see how all of the module morphisms are constructed we will build the pitch module morphism “mp”.
• All the others are built analogously.
Bassline for “All of Me”
Creating the Denotator in Rubato Composer
• To create the denotator for the Jazz song “All of Me” we must first create the Module Morphisms
Creating the Denotator in Rubato Composer
• Once we've opened our module morphism builder in Rubato Composer we will start creating a module morphism for pitch.
• First we must create “mp2” and “mp1”
and then they will be used to make “mp”, which is a composition of the two.
Creating the Denotator in Rubato Composer
• For mp2 the domain is determined from the number of musical notes in the bass line.
• For instance, the bass line I wrote for “All of Me” contains 64 notes.
• We establish the first note as the anchor note, so for our domain we use Z63.
Creating the Denotator in Rubato Composer
• mp2 is an embedding of the canonical vectors plus the zero vector, that goes from Z63 → Q63.
mp1
• mp1 will take us from Q63→ Q.
• We will set up the module morphism in the same way as mp2, except we will select affine instead of canonical.
mp1
mp
• To create mp, we bring up the module morphism builder, and create a module morphism with the domain of mp2 and a codomain of mp1.
• Which results in mp1○mp2 = mp.
mp
mp
• mp: Z63 → Q63 → Q: x → (4, 7, 9, 7, 4, 0, 2, 4, 8, 11, 8, 4, 2, -1, -4, -3, -1, 1, 4, 7, 6, 5, 4, 2, 5, 9, 12, 11, 9, 5, 2, 4, -8, 3, 4, 8, 4, 0, -1, -3, -1, 0, 4, 9, 7, 5, 4, 2, 6, 12, 11, 9, 6, 0, 2, 5, 9, 2, 6, 7, -5, -1, 2)●x + 48
• Example, when x=(0,...,0)
(4,..., 2)●(0,...0) + 48 → 0+48 → 48
Which is the first note in our bassline.
Module Morphisms
• All of the Module Morphisms are made in the same way.
• Once all of the Module Morphisms are built we can arrange them using the denotator builder.
Denotator Builder
Creating Denotator
Using Rubettes in Rubato Composer
• To play our bass line in Rubato Composer, we must create a network using rubettes.
• We will need to set up three rubettes; the Source rubette, the @AddressEval rubette, and the Scoreplay rubette.
Source
Source
Source
@AddressEval Rubette
• Next open the @AddressEval Rubette.
• This rubette will be directly connected to the Source rubette.
Scoreplay Rubette
• To play our bassline we need to open the scoreplay rubette and connect it to the @AddressEval rubette.
• This is done the same way as the Source and @AddressEval rubettes.
Finished Network
Pianola
Rubato Composer and its
Functorial Approach:
From Morphisms to Gestures through
Rubettes
Jonathan Cantrell
Junior Mathematics
Georgia State University
Diaffine Transformations
Working in the category Mod of modules over
any ring whose morphisms are diaffine
transformations which gives us the ability to
perform operations from one module to another
Diaffine transformations are module morphisms
plus a translation
A dilinear homomorphism from an R-module M to an
S-module N plus a translation in N
Why Topoi?
Rigidly defined categories which are a
generalization of the category of Sets
Allows the composer to perform set-valued
operations where the elements in the sets are
module morphisms over any ring
Sets are required within the framework of the
Form and Denotator concept as the evaluation
of the colimit of Score:Note
Geometric Representation
Module morphisms in n-dimensional space
embedded into a Form of type Simple
Any diaffine transformation h in n-dimensional
space can be written as a composition of
transformations hi which involve only one or two
dimensions of the n dimensions and leave the
others unchanged
In our particular example, we are in ℝ5 we want
to operate exclusively on pitch and onset,
therefore we apply this construct to work in ℝ2
The Functorial Approach
Our work focuses on the category of
presheaves over modules
The objects of this category are the functors that
take us from Mod to Sets
The morphisms in this category are called Natural
Transformations
The functorial approach respects the
composition of the modules themselves while
affording us the versatility of sets
My Research
I have developed an example of a 12-note
melodic phrase recursively transformed using
the Wallpaper rubette. I further generalize this
series of transformations using the high-level
tool of the BigBang rubette available in Rubato
Composer
Compound Transformations
An example of two translations applied
recursively.
For a specific Note denotator, we operate
exclusively on the module morphisms Onset
and Pitch
Compositions
As stated, the module morphisms contained in
the Simple forms Onset, o: A → ℝ and Pitch,
p: A → ℚ are extracted from the Note denotator
We now need to compose these module
morphisms as follows
Compostitions
This is described by the following compositions:
i₁ ○ o : A → ℝ2,
i₂ ○ e₂ ○ p : A → ℝ2,
Where i₁ and i₂ are the injections ℝ → ℝ2, and e₂ is the
embedding ℚ → ℝ.
In order to combine these two morphisms into a
single instance of ℝ2 we must sum them such
that onset and pitch become respective axes in
ℝ2
Compositions
The transformation f is then applied, and finally,
to return the coordinates to the module
morphisms on and p
n, we apply the projections
p1 and p
2 as follows where c represents ℝ
quantized to ℚ
on = p
1 ○ f ○ ((i
1 ○ o) + (i
2 ○ e
2 ○ p)): A → ℝ
pn = c ○ p
2 ○ f ○ ((i
1 ○ o) + (i
2 ○ e
2 ○ p)): A → ℚ
Tracing the modules on which these
compositions take place we have
onset: ℤ11 → ℝ11 → ℝ → ℝ2 → ℝ2 → ℝ
pitch: ℤ11 → ℚ11 → ℚ → ℝ → ℝ2 → ℝ2 → ℝ → ℚ
Morphisms to Gestures
The Wallpaper rubette is an example of a low-
level process
We are working in a very mathematical context
For the composer, this will not always be
appropriate, as mathematics may be a means
rather than an end
For this reason Gesture Theory is being
developed by Dr. Guerino Mazzola and Florian
Thalmann as implemented in the BigBang
rubette
Gestures as curves in topological space
Future Applications
The Rubato Framework gives the composer an
alternate view of composition, working from a
functorial perspective
Also the musician can gain insight into a branch
of mathematics using intuition as a guide
opening up exciting educational avenues
The highly characterizable nature of the
category theoretic framework opens up the
opportunity for any system to modeled
effectively
Bibliography
– Milmeister, Gérard. The Rubato Composer Music Software: Component-Based Implementation of a Functorial Concpet Architecture Zürich: 2006
– Thalmann, Florian and Mazzola, Guerino. The BigBang Rubette: Gestural Music Composition with Rubato Composer
– Thalmann, Florian. Musical Composition with Grid Diagrams of Transformations Bern: 2007
– “Pro Tools.” http://www.digidesign.com/
– “Logic.” http://www.apple.com/logicstudio/
– “Cubase.” http://www.steinberg.net