routh hurwitz

Departamento de Ing. Electrónica - UDLAP -Dr. José Luis Vázquez González

Capitulo 3: IE-440 Respuesta Transientede sistemas lineales

1

Estabilidad de sistemas de control lineal Las discusiones anteriores llevan a la conclusión de que la estabilidad de sistemas SISO, lineales e invariantes en el tiempo se puede determinar al verificar la ubicación de las raíces de la ecuación característica del sistema. Las regiones de estabilidad e inestabilidad en el plano s se ilustran en la siguiente figura:

Plano s

Re

ImRe

gión

Esta

ble

Región Inestable



2

Método de Routh – Hurwitz para analizar la estabilidad de un sistema de control Un sistema de control cuya ecuación característica este dada por.

Es estable, sus polos están en el semiplano izquierdo del plano s, si se cumplen las siguientes condiciones:

• Todos los coeficientes de la ecuación tienen el mismo signo

• Ninguno de los coeficientes es igual a cero

• Que todos los signos de los elementos de la primera columna del arreglo de Routh sean del mismo signo.

Además, el número de cambios de signo en los elementos de la primera columna es igual al número de raíces con partes reales positivas, es decir, en el semiplano derecho del plano s.

El arreglo de Routh se muestra a continuación.

0011

1 =++++ −− asasasa n

nn

n L



3

MM

MMM

M

L

L

0

2531

142

ss

FEDCBAs

aaasaaas

nnnn

nnnn

n

−−−−

−−−

Arreglo de Routh

1

761

1

541

1

321

−

−−−

−

−−−

−

−−−

−=

−=

−=

n

nnnn

n

nnnn

n

nnnn

aaaaaC

aaaaaB

aaaaaA

ACaAaE

ABaAaD nnnn 1513 −−−− −

=−

=



4

EjemploConsidere la ecuación:

Investigue cuantas de sus raíces están en el semiplano derecho o sobre el eje imaginario.

La ecuación tiene un coeficiente negativo por lo que el sistema será inestable, ahora para investigar el número de raíces en el semiplano derecho llenemos el arreglo de Routh.

Los elementos de la primera columna son: 1, -4, 2.5, 6, lo cuál indica dos cambios de signo lo que significa que el sistema tiene 2 raíces en el semiplano derecho del plano s.

Esto se puede comprobar obteniendo las raíces con ayuda de algún paquete matemático o calculadora.

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) 065.2

0465.2

05.24

61146411

0

1

2

3

=−−

=−−−−

s

sss

064 23 =++− sss



5

Otro Ejemplo, caso especial elemento cero en la primera columna.Considere la ecuación:


La ecuación cumple las dos primeras condiciones del criterio de Routh-Hurwitz por lo que, para investigar el número de raíces en el semiplano derecho y por lo tanto la estabilidad del mismo, llenemos el arreglo de Routh.

La primera columna indica dos cambios de signo lo que significa que el sistema tiene 2 raíces en el semiplano derecho del plano s y que por lo tanto el sistema es inestable.

0

3323021

321

0

1

2

3

4

s

s

sss

εεε

ε

−≈−≈

0322 234 =++++ ssss



6

Otro Ejemplo, caso especial renglon de ceros.Considere la ecuación:


La ecuación cumple las dos primeras condiciones del criterio de Routh-Hurwitz por lo que, para investigar el número de raíces en el semiplano derecho y por lo tanto la estabilidad del mismo, llenemos el arreglo de Routh.

La primera columna indica dos cambios de signo lo que significa que el sistema tiene 2 raíces en el semiplano derecho del plano s y que por lo tanto el sistema es inestable.

0

1

2

3

4

5

00111111

ssssss

012345 =+++++ sssss

Utilizamos la derivada del polinomio auxiliar y continuamos con el arreglo.

15.1

15.024

111111

0

1

2

3

4

5

ssssss

−



7

Aplicaciones del criterio de Routh-HurwitzDebido que los programas para computadoras para encontrar raíces pueden resolver las raíces de un polinomio con facilidad, el valor del criterio de Routh-Hurwitz está limitado a ecuaciones con por lo menos un parámetro desconocido.

Como ejemplo de esto, considere que la ecuación característica de un sistema de control en lazo cerrado es:

Se desea encontrar el intervalo de valores de K para que el sistema sea estable. La tabulación de Routh es:

Del renglón s2, la condición de estabilidad es K>0, del renglón s1, la condición de estabilidad es:

( ) 0423 23 =++++ sKKss

( )

43

42343

21

0

1

2

3

sK

KKsKs

Ks

−+

+



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Cuando las condiciones de K>0 y K>0.528 se comparan, es claro que el último requerimiento es más estricto. Por lo que para que el sistema en lazo cerrado sea estable, K debe satisfacer:

528.0 528.2

0463 2

>−<

>−+

KóKó

KK

528.0>K

routh hurwitz

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