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FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

MONOGRAFÍA

´MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA, DEL ÁREA DE MOMENTOS Y DE

CROOS’

AUTORE(S):

*MORENO GRAUS DAYANA GERALDINE*GÓMEZ MEDRANO PIERCARLO JOSÉ.*GAMEZ INOSTROZA RODRIGO.(mañana)

ASESOR:

ING. SEGUNDO FRANCISCO MONCADA SAUCEDO

NUEVO CHIMBOTE – PERÚ2015

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Este presente trabajo está dedicado a Dios por la sabiduría que nos da día a día.

A nuestros padres,

por brindarnos su apoyo incondicional y por estar siempre con nosotros.

A todas aquellas personas con sed de conocimiento y deseos de superación, que leen hoy estas páginas y premian el esfuerzo de este trabajo.

A nuestros profesores:

Quienes son nuestros guías en el aprendizaje, ya que nos tratan de dar los últimos conocimientos para nuestro buen desenvolvimiento en la sociedad.

DEDICATORIA

3

Estamos profundamente agradecidos con todas aquellas personas que hicieron posible la realización y culminación de este trabajo, en el especial a nuestros padres y familiares, quienes

son los que nos dan fuerzas y aliento en los momentos más difíciles; a nuestro incondicional profesor el ing. Segundo Francisco Moncada Saucedo, quien con sus enseñanzas se convirtió

en nuestra guía y por ultimo a nuestros compañeros que siempre nos brindan su apoyo moral.

AGRADECIMIENTO

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INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………………………… 5OBJETIVOSOBJETIVOS GENERALES……………………………………………………………………………….……. 6OBEJTIVOS ESPECIFICOS……………………………………………………………………………………. 6JUSTIFICACIÓN………………………………………………………………………………………………….. 7GLOSARIO DE TERMINOS………………………………………………………………………………….. 8

CAPITULO I: MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA5.1 CHIRTIAN OTTOO MOHR……………………………………………………………………….……. 105.2 DEFINICIÓN………………………………………………………………………………….……………… 115.3 VIGA CONJUGADA………………………………………………………………………….….………… 12

5.3.1 RELACIONES ENTRE LA VIGA REAL Y LA VIGA CONJUGADA……….….….…….. 135.3.2 RELACIONES ENTRE LOS APOYOS……………………………………………………….….. 13

5.4 TEOREMAS RELACIONADOS CON EL METODO DE LA VIGA CONJUGADA….….. 145.5 EJERCICIOS APLICATIVOS AL METODO DE LA VIGA CONJUGADA….………………. 16

CAPITULO II: MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS6.1 DEFINICIÓN…………………………………………………………………………………………………. 226.2 TEOREMAS APLICADOS EN EL METODO DE ÁREAS DE MOMENTOS……………. 22

6.2.1 TEOREA 1……………………………………………………………….……………………………… 226.2.2 TEOREMA 2…………………………………………………………………………………………… 23

6.3 EJERCICIOS APLICATIVOS AL METODO DE ÁREAS DE MOMENTOS….…………… 24

CAPITULO III: MÉTODO DE CROOS7.1 HARDY CROOS…………………………………………………………………………………….……… 317.2 DEFINICIÓN…………………………………………………………………………………….………….. 317.3 PASOS PARA RESOLVER UN EJERCICIO POR EL METODO DE CROOS……..……. 317.4 LIMITACIONES DE CROOS…………………..………………………………………………………. 32

7.5 EJERCICIOS APLICATIVOS AL METODO DE CROOS………………………………………. 38

CONCLUSIONES…….…..…………..…………………………………………………………………………. 41WEBGRAFÍA………………………………………………………………………………………………………. 42ANEXOS

ÍNDICE

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El presente trabajo se basa en la investigación para conocer un poco más sobre otro de los

métodos que permite encontrar giros y desplazamiento en cualquier punto de la elástica de

una viga, también para determinar la flecha y la pendiente, también halla vigas estáticamente

determinadas; en referencia al método de la viga conjugada, el método del área de momentos

y el método de croos. Dando a conocer la definición de estos métodos, su utilización, y

procesos aplicativos, aplicación en diversas estructuras, términos como viga ficticia y sus

relaciones con una viga real y, por último diferencias con el método de área de momentos. En

la definición, se explicará a qué se le llama “viga conjugada”, en qué fundamentos teóricos se

basa, que tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero,

por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la

elástica y que se utiliza en vigas y columnas estáticamente determinadas. También, se

determinará a través de un gráfico que una viga ficticia es aquella que se carga con el diagrama

de momentos reducidos de la viga real, y por consiguiente guardan relación de donde se

obtiene las analogías que se utilizan para resolver los ejercicios. La convención de signos en

este método se fundamenta en el resultado de haber encontrado el momento o la fuerza

cortante de la viga ficticia, pues según sea el signo de la respuesta, se sabrá el signo de la

flecha o del giro en la viga real.

INTRODUCCIÓN

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OBJETIVO GENERAL:

Al término de estos temas el alumno estará en la capacidad de analizar cómo actúa los

elementos en una construcción, manejando bien los temas conceptuales que llevará al

alumno a comprender la solución de los problemas.

OBJETIVO ESPECIFICO:

Dar a conocer todo lo referente al método de Viga Conjugada, el área de momentos, y el método de croos.

Analizar toda la teoría a fin de no tener problemas al momento de resolver los ejercicios.

Resolver ejercicios utilizando el método de Viga Conjugada, el área de momentos, y el método de croos.

Conocer la teoría o conceptos básicos del método de la viga conjugada , método del

área de momentos, método de croos, para así poder dar solución a problemas

relacionados con la pendiente y la deflexión en vigas, pero también hallar la flecha y la

pendiente

Analizar los diagramas de momentos de la viga la que se deforma debido a las cargas

existentes para así saber cómo diseñar estructuras considerando la deformación que

pueda tener al ser sometido a cargas.

El tema del método de la viga conjugada, el método de áreas de momentos, y el método de croos, lo preparara al alumno a tener un mentalidad sobre el comportamiento de los materiales al ser manipulado por ciertas fuerzas y así el alumno tendrá la capacidad de desarrollo de los problemas.

OBJETIVOS

JUSTIFICACIÓN

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Viga conjugada.- Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y cuya carga es

el diagrama de momento flector reducido aplicada del lado de la compresión.

Fuerza cortante.- La fuerza cortante viene a ser el resultado de la acción de fuerzas

verticales que actúan en una sección determinada de una viga y tiende a cortar la viga.

Momento flector.- Se denomina momento flector un momento de fuerza resultante

de una distribución de tensiones sobre una sección transversal de un prisma mecánico

flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se

produce la flexión.

Deflexión de una viga.- Es el desplazamiento de un punto sobre la superficie neutra de

una viga de su posición original bajo la acción de las fuerzas aplicadas.

θAB: es la pendiente de dos puntos de la viga

TB/A: desviación tangencial de B con respecto a una tangente trazado desde A.

X: distancia del centroide del área al eje vertical

Módulo de elasticidad: (E)

El módulo de elasticidad o módulo de Young es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. Siendo una constante independiente del esfuerzo y es siempre mayor que cero.

Eje neutro:

Es la intersección de la superficie neutra (superficie que no sufre deformación e=0) con la sección transversal.

GLOSARIO DE TÉRMINOS

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c) Curva elástica:

Llamada también Elástica. La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final.

d) Giro (θ):

Al trazar rectas tangentes a la curva elástica estas forman con la horizontal ángulos muy pequeños, estos ángulos son los ángulos de giro de la curva elástica.

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CAPITULO I

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MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA

5.1 CHRISTIAN OTTO MOHR

Nacido de los terratenientes Holstein EL 8 de octubre DE 1835, en la costa del Mar del Norte, Otto Mohr se convirtió en uno de los ingenieros más condecorados de Europa del siglo 19. Al principio de su carrera, mientras trabajaba para los ferrocarriles en Hannover y Oldenburg, diseñó algunas de las primeras vigas de acero, así como algunos de los puentes más famosos de Alemania. Durante esos años, Mohr también comenzó su trabajo teórico en la mecánica y la resistencia de los materiales.

A los 32 años, Otto Mohr se convirtió en educador, primero como profesor de mecánica en el Stuttgart Polytechnikum y, más tarde, en Dresden Polytechnikum. A pesar de una entrega sin pulir, sus conferencias fueron bien recibidos por los estudiantes debido a su simplicidad, claridad y concisión. Siendo tanto un teórico e ingeniero practicante, Mohr sabía que su tema a fondo y siempre fue capaz de llevar algo fresco e interesante para la atención de sus alumnos.

Además de un libro de texto único, Mohr publicó muchos trabajos de investigación sobre la teoría de las estructuras y resistencia de materiales. Soluciones gráficas a problemas específicos eran un tema común en muchos de ellos. Tomando prestado al trabajo anterior de Karl Culmann, amplió la representación gráfica de la tensión alrededor de un punto a tres dimensiones. Más tarde, utilizando los "círculos de estrés" con las que su nombre está asociado, Mohr desarrolló la primera teoría de la fuerza sobre la base de esfuerzos cortantes.

Después del retiro de la Polytechnikum, Mohr se mantuvo en la zona de Dresden, donde continuó su labor científica hasta su muerte.

A partir de la historia de Resistencia de Materiales, por SP Timoshenko, McGraw-Hill, 1953.

El famoso ingeniero civil alemán Otto Mohr cristiana era a la vez un teórico y un diseñador práctico. Fue profesor en el Stuttgart Polytechnikum y más tarde en el Dresden Polytechnikum. Desarrolló el círculo de estrés en 1882. El círculo también se describe en el libro de Mohr. Mohr hizo numerosas contribuciones a la teoría de estructuras, incluyendo el diagrama Williot-Mohr para desplazamientos entramados, el método momento-área de deflexiones de vigas, y el método de Maxwell-Mohr para el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. (Joseph Victor Williot, 1843-1907, fue un ingeniero francés, y James Clerk Maxwell, 1831-1879, fue un famoso científico británico.)

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5.2 MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA

Es un método que nos permitirá calcular giros y flechas de los elementos horizontales denominados vigas y para el caso de las columnas, nos permitirá calcular giros y desplazamientos.La relación entre ordenadas, pendientes y momentos son los mismos los que existe entre momentos, fuerza cortante y carga. Esto sugiere que puede aplicarse el método de área de momentos para determinar el momento flector, partiendo del diagrama de cargas de la misma manera que se ha empleado para determinar las coordenadas a partir del diagrama de momentos.

E I Y = Deformación (ordenada de la elástica).

EI dydx = Pendiente

El d2 yd x2

= Momento = M

EI d3 yd x3

= Fuerza Cortante = V = dMdx

EI d4 yd x4

= Carga = dydx =

d2Md x2

La relación entre ordenadas, pendientes y momentos son las mismas que las que existen entre momento, fuerza cortante y carga. Esto sugiere que puede aplicarse el método de área de momentos para determinar el momento flector, partiendo del diagrama de cargas, de la misma manera que se ha empleado para determinar las ordenadas a partir del diagrama de momentos. La analogía entre las relaciones entre carga-fuerza, cortante-momento flector y entre momento-pendiente-ordenadas, sugiere que éstas últimas se puedan establecer con los métodos de diagramas de fuerza cortante y momento flector para calcular la fuerza cortante y momento flector a partir de las cargas. Para ello hay que suponer que la viga está cargada, no con las cargas reales sino con el diagrama de M/EI correspondiente a dichas cargas. Considerando entonces este diagrama de M/EI como una carga ficticia, se calcula la fuerza cortante y momento flector ficticios, en un punto cualquiera, que se corresponden con la pendiente y la ordenada de la elástica en los mismos puntos de la viga inicial. A este método se le denomina Método de la Viga Conjugada. Aplicando a una viga cargada con el diagrama de M/EI los principios estudiados para hallar la fuerza cortante y momento flector se tiene:

1. Pendiente real = Fuerza Cortante Ficticia.

2. Ordenada real = Momento Flector Ficticio.

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5.3 VIGA CONJUGADA

Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado del lado de la compresión. La viga conjugada es siempre una viga estáticamente determinada. El método de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma. Este método consiste en cambiar el problema de encontrar, las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistemas de cargas aplicadas. Tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la elástica.

Recordando las relaciones entre carga, cortante y momento tenemos:

d2Md x2

=w dMdx

=v dvdx

=w

La pendiente del diagrama de momentos es el cortante:

dM=V∗dX

La pendiente del diagrama de cortante es la carga

dV=W∗dX

Variación del momento = área bajo la curva de cortante

Para hallar el momento se integra la curva de cortante

∆V=área bajola curvadecarga

V= para hallar el cortante se integra la curva de carga.

d2 yd x2

= MEIdθdx

=MEI

∆ y=árebajoel diagramade cortantede la viga cargada con:W=MEI

y = Diagrama de momentos de la viga conjugada

∆θ=Diagramadecorte de la viga conjugada.

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5.3.1 RELACIONES ENTRE LA VIGA REAL Y LA VIGA CONJUGADA. a. La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma.

b. La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real.

c. La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el mismo punto de la viga real.

d. El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el mismo punto de la viga real.

e. Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada.

f. Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga conjugada.

g. Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado.

h. Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulación en la viga conjugada.

5.3.2 RELACIONES ENTRE LOS APOYOS

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5.4 TEOREMAS RELACIONADOS CON EL METODO DE LA VIGA CONJUGADA

* Tercer Teorema De Mohr, Teorema De La Viga Conjugada.

Definimos como viga conjugada de otra dada a la misma viga con idénticas condiciones geométricas y de sustentación, pero con un sistema de cargas que coincide con el diagrama de momentos flectores de la primera. Así, por ejemplo, si tenemos una viga en ménsula con una carga puntual en el extremo, la viga conjugada se obtendría de la siguiente manera:

Una vez que tenemos calculado el diagrama de momentos flectores, la viga conjugada de ésta, sería otra ménsula idéntica, pero con el esquema de cargas coincidente con el diagrama de momentos flectores obtenido. Y como éste es negativo, para seguir con el convenio de signos adoptado, las cargas serían hacia abajo.

Si se quiere calcular el giro en cualquier sección de la viga primera, pero utilizando el método de la conjugada, éste sería igual al valor del cortante dividido por “EI” en la conjugada.

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Si lo que queremos calcular es la flecha en una sección cualquiera de la viga primera, ésta sería igual al valor del Momento flector dividido por “EI” en la conjugada.

*Teoremas De Mueller Braslow.

En este método, se supone una viga ficticia llamada viga conjugada que tiene el mismo claro que la viga original cuyas condiciones de apoyo respetan las deformaciones que aparecen en los apoyos de la viga real de forma tal que si la viga conjugada se carga con el diagrama M/EI de la viga real, la fuerza cortante de la viga conjugada en una sección cualquiera es igual a la pendiente de la tangente de la viga real en ese punto; mientras que el momento flexionarte de la viga conjugada en un punto cualquiera es igual al desplazamiento de ese punto en la viga real.

En la figura se muestran los tipos de apoyo en las vigas reales y su equivalente en la viga conjugada.

En general, se puede establecer:

1. Un apoyo simple extremo de la estructura real se transforma en un apoyo simple en la viga conjugada.2. Un apoyo de empotramiento en la estructura real se transforma en un extremo libre en la viga conjugada y viceversa.3. Un apoyo interior en la estructura real se transforma en una articulación en la viga conjugada y viceversa.

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5.5 EJERCICIOS APLICATIVOS AL MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA.

 PROBLEMA N°1

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PROBLEMA N°2

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PROBLEMA N°3: Determinar el giro en B y la fleca en C de la siguiente estructura:

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P

PROBLEMA N°4: Determinar el giro en B y la fleca en D de la siguiente estructura:

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METODO DE ÁREA DE MOMENTOS

6.1 Definición:

Es un procedimiento que generalmente es muy útil cuando se desea obtener las pendientes y

las deflexiones solamente en ciertos puntos seleccionados a lo largo de la viga.

CAPITULO II

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Este método se basa en la relación que existe entre el momento M y la curvatura y

proporciona medios prácticos y eficientes para calcular la pendiente y la deflexión de la curva

elástica de vigas y pórticos.

El método tiene dos teoremas. El primero relaciona la curvatura con la pendiente de la curva

elástica y el segundo la curvatura con la deflexión.

De la ecuación general de flexión tenemos:

Integrando:

Tengamos presente que curvatura de un elemento viga.

6.2 TEOREMAS APLICADOS EN EL MÉTODO DE AREAS DE MOMENTOS

6.2.1 TEOREMA 1:

El área bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.

: Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A.Se mide en radianes.Áreas positivas indican que la pendiente crece.

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6.2.2 TEOREMA 2:

Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:

, si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B.

Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva

de entre A Y B.

El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área bajo

la curva entre los puntos Ay B con respecto a un eje A.Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por articulaciones.Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha.

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6.3 EJERCICIOS APLICATIVOS AL MÉTODO DE ÁREAS DE MOMENTO.

PROBLEMA N°1

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PROBLEMA N°2:

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PROBLEMA N°3:

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PROBLEMA N°4:

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CAPITULO III

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METODO DE CROSS

7.1.- HARDY CROSS

Hardy Cross (nacido en Nansemond County (Virginia), 1885-1959), fue un ingeniero de estructuras estadounidense y el creador del método de cálculo de estructuras conocido como método de Cross o método de distribución de momentos, concebido para el cálculo de grandes estructuras de hormigón armado. Este método fue usado con frecuencia entre el año 1935 hasta el 1960, cuando fue sustituido por otros métodos. El método de Cross hizo posible el diseño eficiente y seguro de un gran número de construcciones de hormigón armado durante una generación entera.

Además también es el autor del método de Hardy Cross para modelar redes complejas de abastecimiento de agua. Hasta las últimas décadas era el método más usual para resolver una gran cantidad de problemas.

7.2.- DEFINICIÓN

También llamado el Método de redistribución de momentos es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y marcos/pórticos planos, desarrollado por Hardy Cross. Fue publicado en 1930 en una revista de la ASCE. El método solo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales ycortantes, lo cual es suficiente para fines prácticos en barras esbeltas. Desde 1930 hasta que las computadoras comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseño y análisis de estructuras, el método de redistribución de momentos fue el más ampliamente usado en la práctica. Posteriormente otros métodos como el método matricial de la rigidez que se puede programar de manera mucho más sencillo han llegado a ser más populares que el método de redistribución de momentos de Cross.

7.3.- PASOS PARA RESOLVER UN EJERCICIO POR EL MÉTODO DE CROSS

1) Momentos de “empotramiento” en extremos fijos: son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas están fijas.

2) Rigidez a la Flexión: la rigidez a la flexión (EI/L) de un miembro es representada como el producto del Módulo de Elasticidad (E) y el segundo momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la razón aritmética de rigidez de todos los miembros.

3) Factores de Distribución: pueden ser considerados como las proporciones de los momentos no balanceados llevados por cada uno de sus miembros.

4) Factores de Acarreo o Transporte: los momentos no balanceados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando la junta es liberada. La razón de momento acarreado sobre el otro extremo, al momento en el extremo fijo del extremo inicial es el factor de acarreo.

5) Convención de Signos: un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la convención de signos usual en ingeniería, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianas.

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7.4.- LIMITACIONES DEL MÉTODO DE CROSS

Debido a que este método es una solución a las ecuaciones del método de pendiente deflexión, tiene las mismas limitaciones de este:

Se desprecian las deformaciones axiales de los elementos Se desprecian las deformaciones por cortante Estructuras construidas con materiales elásticos y que no salgan de este rango. Deformaciones pequeñas

Adicionalmente el método tiene sus propias limitaciones:

Solo trabaja con las ecuaciones de equilibrio rotacional en los nudos No da una solución directa cuando están involucrados grados de libertad

traslacionales. Se limita a determinar cómo es la distribución de los momentos en los elementos que

llegan a un nudo No plantea ecuaciones de compatibilidad de deformaciones para grados de libertad

traslacionales

Sin embargo todas estas limitaciones el método revolucionó el análisis de estructuras en el año 1930.

Repasemos un poco los pasos a seguir en el método de la rigidez utilizando las ecuaciones pendiente deflexión:

1. Planteamiento de ecuaciones de equilibrio en los grados de libertad libres2. Planteamiento de las ecuaciones pendiente deflexión: corresponden a expresar los

momentos de extremo de los elementos en función de unos momentos de empotramiento perfecto y de los giros y desplazamientos de cada extremo del elemento. La formulación de estas ecuaciones se hace partiendo de asumir el elemento empotrado en sus dos extremos y de ir soltando cada grado de libertad y corrigiendo estos momentos por estos posibles movimientos.

3. Se reemplazan las ecuaciones de pendiente deflexión en las ecuaciones de equilibrio y se resuelve para los giros y desplazamientos.

4. Se encuentran los momentos de extremo en función de los giros y desplazamientos hallados.

Repasemos el método de solución iterativa de un sistema de ecuaciones: se asume que todas las incógnitas menos una son iguales a cero, entonces se encuentra el valor de esta incógnita en una de las ecuaciones. Este valor se reemplaza en las otras ecuaciones y se encuentra el valor de las otras incógnitas cuando todas menos ella y la primera son iguales a cero. Los valores encontrados representan una primera solución al sistema de ecuaciones planteado. Estos valores vuelven a reemplazarse en la primera ecuación para encontrar un nuevo valor de la primera incógnita, con el cual se vuelven a encontrar las otras incógnitas. En este proceso iterativo los resultados cada vez van difiriendo en menor cantidad lo que nos indica que nos acercamos a la respuesta que satisface todas las ecuaciones.

Teniendo presente este método iterativo podemos observar que él parte de asumir que todas las incógnitas son cero menos una, en nuestro sistema esto indica que partiendo de elementos empotrados en sus extremos, liberamos un solo grado de libertad de toda la estructura, por

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ejemplo para una viga de dos luces sin considerar posibles desplazamientos relativos, podríamos liberar el giro en b, θb, y encontramos el valor de ese giro necesario para que se cumpla que la suma de momentos en B es cero, esto es, que momento adicional debo agregar en b para que se produzca un giro que equilibre el nudo, siempre que θa y θc sean iguales a cero (empotramiento a ese lado).

Al aplicar el momento adicional en B se puede encontrar por medio de la ecuación de equilibrio en B, el valor de θb. Con este valor puedo encontrar los momentos que se generan en los extremos opuestos de los elementos manteniendo sus giros iguales a cero. En este paso se ha hecho cumplir una de las ecuaciones de equilibrio (ΣMb=0) pero las otras dos ecuaciones no se satisfacen. Se procede a soltar otro grado de libertad, por ejemplo θa manteniendo los otros dos valores iguales a cero. Para satisfacer su ecuación de equilibrio se debe aplicar un momento externo igual y de sentido contrario al momento desequilibrado en ese nudo. Se encuentra el valor del giro debido a este momento y se halla el momento del elemento en el extremo contrario B. Otra vez se desequilibró el nudo B. Si analizamos de nuevo la estructura pero esta vez soltando el nudo B sometido al momento contrario al generado en la segunda iteración estaríamos equilibrando el nudo B.

Este proceso continúa hasta que los momentos que tenemos que equilibrar en cada paso se van haciendo menores.

Note que en este proceso cada iteración es independiente de la anterior y corresponde a una corrección de los momentos finales en los extremos, por eso y por superposición los momentos finales corresponden a la suma de los momentos generados en cada iteración.

Cuando tenemos una estructura con un nudo al cual le llegan varios miembros el proceso de equilibrio en ese nudo nos lleva a repartir ese momento en todos los elementos, esa repartición se hace de acuerdo con la rigidez a rotación de cada elemento. Mostraremos con el siguiente ejemplo la forma en que se reparten los momentos en un nudo.

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Grado de libertad libre= θb

Ecuaciones de equilibrio en el sentido del grado de libertad libre:

Ecuaciones pendiente deflexión:

note que los momentos están dados solamente en función del giro en b ya que los otros grados de libertad son cero.

Si llamamos al termino la rigidez rotacional del elemento a un giro, K, podemos expresar la ecuación de equilibrio como:

despejando para θb, tenemos:

reemplazando en la ecuación de cada momento nos queda:

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Notamos que el momento en el nudo se distribuye de acuerdo con la relación , a la cual le damos el nombre de factor de distribución. Los factores de distribución de los miembros que llegan a un nudo deben sumar uno. (por qué?). El elemento que tenga mayor rigidez tiene mayor factor de distribución por lo tanto se lleva mayor parte del momento. Para elementos con EI constantes el miembro mas rígido es aquel que tiene menor longitud.

Cuando en un nudo solo llegan dos elementos con EI iguales, se puede expresar el factor de distribución en función de las longitudes:

y

Analicemos que pasa con los momentos generados en los otros nudos no libres, en este caso los extremos de elemento empotrados:

Por ecuaciones pendiente deflexión

esto nos muestra que el momento generado en un extremo fijo cuando el otro extremo se libera es igual a la mitad del momento del lado que giró.

Esta conclusión nos ayuda mucho en el proceso iterativo porque nos da el valor del momento generado en el extremo opuesto al liberado, a este valor se le llama momento trasladado.

Para este ejemplo ya llegamos al final de su solución encontrando los momentos de empotramiento en los extremos fijos.

Supongamos que el apoyo A no sea un empotramiento sino una articulación, entonces el momento mab tiene que ser cero, en este caso podemos volver a analizar toda la estructura aplicando un momento en A igual a –mab para que ese nudo se encuentre en equilibrio y considerando el nudo b rígido. A este paso se le llama equilibrio del nudo A.

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donde mab´ corresponde al momento en A en esta iteración.

Este caso genera un momento en el extremo B de ese elemento igual a la mitad del momento en A que volvió a desequilibrar el nudo B.

Al aplicar equilibrio en B nos damos cuenta que se debe aplicar un momento igual a mba´ pero con signo contrario y que este momento se debe distribuir en todos los elementos de acuerdo con el factor de distribución. Esto correspondería a un equilibrio en el nudo B, o sea aplicar un momento externo que equilibre el generado en A.

Se continua con las iteraciones de traslado y equilibrio en cada nudo hasta que los momentos trasladados y de equilibrio sean muy pequeños. Al final se suman todos los momentos de cada iteración con su respectivo signo para hallar el momento final.

En este proceso iterativo nos damos cuenta que las ecuaciones pendiente deflexión usadas no involucran desplazamientos relativos de los extremos de elementos ni tienen en cuenta ecuaciones de equilibrio en los grados de libertad correspondientes a desplazamientos. El método solo trabaja aplicando ecuaciones de equilibrio rotacional a los nudos. Esta razón hace que el método de Cross no se pueda usar directamente para resolver estructuras con desplazamientos laterales. Como alternativa para solucionar este problema se presenta un método por superposición que se explica mas adelante.

Se debe tener en cuenta que el método de distribución de momentos es una forma de resolver las ecuaciones pendiente deflexión por lo tanto no es un método diferente.

MODIFICACIÓN DEL FACTOR DE DISTRIBUCIÓN CUANDO HAY UN EXTREMO ARTICULADO:

Para elementos con una articulación en un extremo podemos modificar el factor de distribución del nudo opuesto de tal manera que este no le traslade momentos al extremo articulado. Note que el extremo articulado lo único que haría sería devolver este momento ya que él no puede absorber ningún momento. Caso opuesto a un extremo empotrado en el que cualquier momento que llegue se queda en él.

Tomemos una viga sencilla

Ecuaciones de equilibrio

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Ecuaciones pendiente deflexión para el tramo AB:

reemplazando en las ecuaciones de equilibrio:

y volviendo a reemplazar en las ecuaciones de momentos:

o lo que es lo mismo

esto quiere decir que hemos modificado la rigidez del elemento AB para tener en cuenta el hecho de que su extremo B está articulado. Así los factores de distribución en el nudo B ya tienen en cuenta que los momentos en B son cero y que por lo tanto cualquier momento generado para equilibrio en el nudo A no se traslada al nudo B.

CASOS CON DESPLAZAMIENTO RELATIVO ENTRE LOS EXTREMOS DE ELEMENTOS

Cuando un extremo se desplaza con respecto al otro en forma perpendicular al elemento, se

generan momentos en los extremos dados por . Este valor se encuentra en las ecuaciones de pendiente deflexión modificando los momentos de extremo. Si el desplazamiento es conocido, como por ejemplo un asentamiento de un apoyo, simplemente se evalúa el momento de empotramiento generado por este desplazamiento y se resuelve la estructura con estos momentos iniciales. Si el desplazamiento no se conoce, como en el caso de un pórtico no simétrico, el método de cross ya no se puede usar directamente porque los factores de distribución de momentos tendrían que involucrar la rigidez a desplazamientos relativos y los momentos trasladados ya no obedecerían al factor de ½.

El método que se plantea es por superpoción, resolviendo primero la estructura con una reacción ficticia que impida el desplazamiento y después sumándole los efectos de analizar la estructura con una fuerza igual al negativo de la reacción hallada en el primer paso. Este método se deja para que ustedes lo estudien, para mi parecer en vez de estar facilitando los procedimientos se complican mas por lo tanto podemos considerar que no es relevante presentarlo.

Dejamos también la inquietud de que pasa con elementos inclinados en el método de pendiente deflexión y por ende en el método de la distribución de momentos.

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7.5.- EJERCICIOS APLICATIVOS DE MÉTODO DE CROSS

PROBLEMA N°1:

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PROBLEMA N°2:

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PROBLEMA N°3:

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Mediante este método nos permitirá calcular giros y flechas de los elementos horizontales denominados VIGAS.

Una vez analizada la teoría ya sabremos lo que es la práctica sin tener problemas.

La relación entre ordenadas, pendientes y momentos son los mismos los que existe entre momentos, fuerza cortante y carga.

La viga conjugada es siempre una viga estáticamente determinada

CONCLUSIONES

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http://charito-resistenciademateriales2.blogspot.com/2008/06/mtodo-de-la-viga-conjugada.html

http://ingcivil-2008.blogspot.com/2008/06/gh.html

http://www.academia.edu/7412236/_METODO_DE_LA_VIGA_CONJUGADA_

http://gregoriluqueunsm.blogspot.com/2008/06/metodo-de-la-viga-conjugada.html

http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/metodos%20geometricos/deflexiones%20geometricas.htm

http://ingcivil-2008.blogspot.com/2008/05/mtodo-de-area-de-momentos.html

https://sjnavarro.files.wordpress.com/2010/04/metodo-de-cross.pdf

https://www.u-cursos.cl/fau/2009/1/AO505/1/material_docente/bajar?id_material=451192

WEBGRAFIA

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ANEXOS

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MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA

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MÉTODO DE AREA EN MOMENTOS

El techo proporciona una carga distribuida a la viga, siendo ésta menor en los extremos y mayor en el centro de la viga, a esto se suma el peso propio del techo. La acción del viento sobre el techo también presenta un tipo de

carga distribuida sobre la viga.

La viga transmite la carga a la columna, en los apoyos de esta la deflexiónes nula.

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MÉTODO DE CROOS