r_fisica

problemasde Fsicay cmo resolverlos

Por: Flix Aucallanchi Velsquez

Coleccin Racso

Problemasf S I C J A

y como resolverlos

R A C SOE D I T O R E S

Dirigido por:D r, F lix A ucallanchi V elsquez

Primera edicin en espaol Copyright 3 1993 por RACSO Editores

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier mtodo de publicacin y/o almacenamiento de informacin, tanto del texto como de logotipos y/o ilustraciones sin autorizacin escrita del autor y los editores. Caso omiso se proceder a denunciar al infractor a la INDECOPI de acuerdo a la Ley N 13714 y al articulo N 221 del Cdigo Penal vigente.

Printed in Peru - Impreso en Peru

PROLOGO DEL AUTOR

A l iniciar estas lneas me desprendo de todo pensamiento vano, y slo expreso mi profunda alegra por la satisfaccin de ver culminado un trabajo que ha tomado poco ms de 6 aos, el que en su inicio se presentara dividido en fascculos, y bajo el ttulo de Fsica para Estudiantes de Ciencias e Ingeniera, cuya primera edicin se public va Editorial Pirmide en 1986. Recuerdo entonces con nostalgia que slo fueron tres los fascculos cuyos temas abarcaron hasta Gravitacin Universal, y nunca antes al presente trabajo logr completar el curso en esa modalidad. De no haber sido por la gentil insistencia de muchsimos colegas y estudiantes, no hubiera podido terminar de escribirlos. Sin embargo, debo reconocer que es despus de haber viajado fuera del Per que recin sent la obligacin moral de publicarlo, al ver, comprobar y reconocer que referencialmente el curso de Fsica en nuestro pas se encuentra distante del que se desarrolla en otras latitudes. En el Per, nuestro curso est bastante abandonado, realidad que he comprobado en el sinnmero de visitas que vengo realizando desde hace cuatro aos a los diferentes centros de enseanza escolar, pre-universitaria, tecnolgica, pedaggica y universitaria de nuestra capital, y sobre todo del interior del pas. Con estas palabras anhelo despertar un vivo inters por parte de mis colegas y amigos lectores, en el sentido de que todos quienes vivimos de y por la enseanza de la Fsica estamos comprometidos con el desarrollo de sta y de nuestro pas. Espero que este trabajo contribuya con un grano de arena en esta fabulosa tarea.

Problemas de Fsica y cmo resolverlos es un intento importante de ordenare interconectar todo el curso en un solo volumen, en cuyo desarrollo hemos empleado nicamente el Sistema Internacional de Unidades. En esta edicin se presentan nuevos problemas y nuevas resoluciones con respecto a lo publicado en los fascculos precedentes, con lo cual creo cumplir con la expectativa que muchos colegas fijaron sobre nuestras publicaciones anteriores. Los ms de I 500 problemas se han seleccionado respetando, su carcter clsico, os de resolucin mltiple, los analticos y los infaltables originales. Buena parte de estos problemas los he ido ensayando en clase en los ltimos aos. Sin embargo, debo hacer una mencin especial de agradecimiento a los colegas y estudiantes que tuvieron a bien desarrollarlos oportunamente al ser publicados en compendios, prcticas y exmenes en distintos centros pre-universitarios, institutos y universidades.

Esta edicin tiene una nueva caracterstica, cual es la de agregar en el inicio de cada captulo un resumen terico de conceptos y principios fsicos, as como un listado de las principales frmulas del tema que en su conjunto no es ms que el desarrollo simplificado de una clase. Utilizamos este resumen en la resolucin de cada problema, mostrndole al lector el modo lgico de aplicarlas, evitando en lo posible el fro y dogmtico uso del clculo superior, empleando en cambio la amena aplicacin de la Matemtica Elemental. Aritmtica, Algebra, Geometra y Trigonometra.

Siendo el objetivo principal de esta obra el mostrar didcticamente la resolucin de ejercicios y problemas de Fsica, no hemos olvidado el carcter formativo que todo texto debe ofrece ra l lector; ello lo hemos concebido en la naturaleza misma de los problemas seleccionados, as como las notas u observaciones que colocamos al fina l de cada solucin: Para profundizar un concepto, para discutir una solucin, para buscar el aspecto general de la respuesta, y en muchos casos para mostrar un segundo mtodo de resolucin.

6En la proposicin de los problemas se ha recurrido a una divisin en prrafos de cada captulo, lo que permitir al docente hacer una seleccin adecuada de los mismos segn sea su necesidad para su clase y/o grupo de alumnos, sin olvidar ningn modelo o tema del captulo, buscando as la actualizacin que todo profesional debe tener en su campo.

Espero que el presente texto constituya la fuente del orden en temas y problemas que todo profesor busca al inicio de su carrera, alivindole de este modo su labor, pues todos por experiencia sabemos que un ejercicio o problema con caractersticas apropiadas, originales, elegantes, de resolucin a veces inesperada y directa (pero meditada), y con clculos algebraicos que siempre conducen a nmeros de fcil operatividad (sin salirse de lo fsicamente aceptable), nos permite quedar bien ante nuestros alumnos, provocando en ellos una especial atencin por nuestro curso. A todos los estudiantes de la especialidad y a los profesores que se inician en esta actividad, mi mejor deseo es que este libro sirva para tales fines.

Debo confesarle a nuestros colegas experimentados que el mayor nfasis que le he dado a la obra est en la segunda mitad del curso, lo que puede apreciarse en la extensin y profundidad de los resmenes tericos y de los problemas propuestos. Esto lo he hecho pensando en quienes hasta hoy no han tenido un orden referencial para el desarrollo de algunos temas como: Ondas Mecnicas - Sonido, Potencial Elctrico, Electrodinmica ( Im y 2* parte), Magnetismo, Electromagnetismo ( Im y 2 ^ parte), Ondas Electromagnticas, Optica Fsica (Fenmenos Ondulatorios de la Luz) y Teora de la Relatividad (Especial y General), y puedo manifestarles con mucha sinceridad el xito que en lo personal he conseguido con tal contenido en clases de ensayo

Para la confeccin y diagramacin del texto hemos utilizado lo ltimo (a la fecha) en procesamiento de textos y fotocomposicin lser, acompaados de grficos y diagramas de excelente calidad, lo que en conjunto constituyen un inmejorable marco para un trabajo que aspira a ser calificado como un libro de calidad de exportacin.

Prometo que nuestras siguientes publicaciones sern cada vez mejores, superiores siempre a las anteriores. Para ello espero contar con las siempre bienvenidas sugerencias de parte de quienes hasta hoy nos dispensan con su lectura.

Hasta la prxima publicacin!.

Lima, Marzo de 1993 Flix Aucallanchi Velasquez

AL PROFESOR

Es ya conocido por quienes nos dedicamos a la enseanza de la Fsica que uno de os principales obstculos al que nos enfrentramos continuamente es a la fa lta de un conjunto de ejercicios apropiadamente seleccionados para que nuestros alumnos intenten resolverlos, buscando con ellos aplicarlos conceptos y principios bsicos que explicamos en nuestras charlas tericas. Tal seleccin, a juicio personal, es siempre una tarea ardua que generalmente desarrollamos con mucho entusiasmo en su inicio, a continuacin con intermitencia, yfinalmente, por falta de tiempo y/o alicientes, lo dejamos incompleto.

Por haber vivido estas mismas experiencias durante cerca de 7 aos de labor docente es que decid, hace varios aos, recopilar una serie de ejercicios y problemas que en lo posible tratara de cubrir el mayor espectro de variedad que pudiera existir (hasta la fecha) en cada tema.

Los colegas que nos han dispensado con la lectura anterior de nuestro textoFsica- Curso Bsico encontrarn que los casos all resueltos y propuestos son de un nivel de dificultad bastante menor que los que aparecen en este libro; es ms, se ha tratado que los problemas no se repitan en ambos textos. Por ello, sugiero a los profesores dirigir estos ejercicios especialmente a alumnos que posean una determinada base, tanto terica como prctica, aunque ello lo dejo a criterio de cada colega, pues al revisar los contenidos encontrarn siempre problemas de aplicacin directa en el in do de la lista de los mismos; luego se proponen ejercicios de un mayor nivel de dificultad, siendo los ltimos en cada serie de una resolucin que requiere siempre de un mayor raciocinio.

De acuerdo con el contenido de este texto, los captulos del curso pueden desarrollarse en el orden que aqu se publican. Sin embargo, por razones tcnico-pedaggicas, el tiempo para su dictado, o segn sea el grupo humano y/o institucin en donde se labore, podemos recomendar el siguiente orden, sin desmedro de la efectividad de este libro. Proponemos:a) Vectores, Esttica, Cinemtica, Dinmica, Oscilaciones, Fluidos, Calor, Electricidad,

Electromagnetismo, Relatividad.b) Vectores, Cinemtica, Esttica, Dinmica, Fluidos, Calor, Electricidad, Optica,

Electromagnetismo, Oscilaciones.Finalmente, debo sealar que muchos de estos problemas pueden ser planteados tanto a

alumnos de secundaria, centros pre-universitarios, institutos pedaggicos o de universidades para los cursos de Fsica Elemental, Intermedia, Bsica y Superior respectivamente, aunque para este ltimo grupo hemos evitado en lo posible el clculo integro-diferencial. A los colegas que nos dispensan con su lectura les prometo proponer nuevos, mejores y ms problemas originales para nuestras prximas publicaciones, pues es lo menos que podemos ofrecerles por su deferencia.

Atentamente:El autor

8AL ESTUDIANTE

Siempre es grato dirigirse a los lectores que en su calidad de estudiantes del curso de Fsica aspiran encontrar en un libro la respuesta a sus dudas y solucin a sus inquietudes. Es por lo tanto un verdadero reto para un autor satisfacer tales expectativas; por ello debo confesar que estas lneas las escribo con mucho entusiasmo, y a la vez, cuidado de expresarlo justo y necesario.En primer lugar debemos reconocer que este curso requiere una especial dedicacin, pues siempre pone a prueba nuestra habilidad en aplicar un concepto o principio fsico a un caso determinado, el mismo que por estar vinculado a la realidad, es decir, a nuestra naturaleza, debe encerrar siempre o casi siempre un hecho po r dems lgico y elemental, al menos cuando los casos a resolver corresponden a un curso de Fsica Elemental o Inter-medio. Tambin es cierto qite la gran mayora de las preguntas de las prcticas y/o examenes giran en tom o a un determinado grupo de problemas llamados tipos, y el xito que tenemos al rendir tales pruebas depende en buena medida de la oportunidad que hemos tenido al haberlos revisado en su totalidad durante nuestra preparacin o entrenamiento.El presen te texto es un trabajo que trata de reunir, sino toda, la mayora de los ejercicios y problemas tipos existentes en cada tema, desde los medianamente difciles hasta los ms intrincados que demandan del estudiante una gran concentracin} destreza en los planteamientos y recursos matemticos. Cada captulo tiene un resumen terico orientado exclusivamente a los problemas propuestos, sin el cual sera prcticamente imposible su resolucin. Y a propsito de las resoluciones, stas se presentan en la seccinResolucwnes y Respuestas, los mismos que son un modelo que el estudiante puede tomar como referencia, pero no como el nico.Recomiendo a los estudiantes en general que antes de resolver un problema de Fsica (especialmente de este texto) siga las siguientes normas:

1 ) Encontrarse muy familiarizado con los resmenes tericos del captulo, y de ser posible conlos de los captulos anteriores (Esto es ms necesario cuanto ms nos sumergimos en el curso).2 ) Extraerlos datos del problema y tener en cuenta los resultados de problemas anteriores (estoltimo es muy frecuente en los "problemas laboriosos").3 o) Confeccionar un esquema (grfico) y colocar en l los datos disponibles.4) Resolver en lo posible en forma algebraica (es decir, en form a literal).5) Examinar la veracidad del resultado, eliminando los valores que no sean fsicamente aceptables.

Espero sinceramente que Problemas de Fsica y cmo resolverlos te ayude a conseguir un mejor dominio del curso, y de ser posible que cada uno de ustedes alcance el xito en la empresa en que se encuentren comprometidos: De lograrlo habremos conseguido darle significado a la existencia de esta modesta obra.Atentamente:

Flix Aucallanchi Velsquez

IN9ICE GENERAL jPgina

Enunciados ResolucionesCAP I - Anlisis Dimensional.................................................... 13 349CAP 2.- Anlisis Vectorial............... ............................ . . . . . . 19 360CAP 3.- Movimiento Rectilneo Uniforme............................... 34 388CAP 4.- Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado. . . . 38 398CAP 5.- Cada Libre Vertical......................................................... 43 410CAP 6.- Grficos del Movimiento Referidos a! Tiempo. . . . . . 47 422CAP 7.- Movimientos Relativos - Movimientos Dependientes.. 56 435CAP 8.- Movimientos Compuestos - Movimiento Parablico . 61 443CAP 9.- Movimiento de Rotacin........ .................................... 68 457CAP 10.- Movimiento Curvilneo Plano - Movimiento de

Rotacin y Traslacin..................................................... 73 465CAP 1 1 Esttica I .............................. 82 479CAP 12.- Esttica I I .................. 96 500CAP 13.-Centro de Gravedad...................................................... 107 519CAP 14.- Dinmica Lineal............................................... 118 531CAP 15.- Rozamiento...................... 128 548CAP 16.- Dinmica Circular. . . . . . .............. 136 563CAP 17.- Trabajo y Potencia............................ 141 570CAP 18 -Energa................ 146 578CAP 19.- Cantidad de Movimiento ............................. 154 589CAP 20.- Gravitacin Universal..................................... 162 604CAP 21.- Movimiento Armnico Simple................................. 167 612CAP 22.- Pndulo Simple.......... ....................... 173 621CAP 23.-Ondas Mecnicas - Sonido........ ............... 176 626CAP 24.- Fluidos en Reposo ............ 183 635CAP 25.- Termometra - Dilatacin........................................... 195 650CAP 26.- Calor................ 200 658CAP 27.- Teora Cintica de los Gases.................... 206 670CAP 28.-Termodinmica.......................................................... 213 679CAP 29.- Ley de Coulomb y Campo Elctrico....................... 223 689CAP 30.- Potencial Elctrico...................................................... 235 706CAP 31.- Capacidad Elctrica.................................................... 244 720

10

PginaEnunciados Resoluciones

CAP 32.- Electrodinmica (Primera Parte)............................. 257 745CAP 33.- Electrodinmica (Segunda Parte)........................... 265 754CAP 34.-Magnetismo.............................................................. 279 781CAP 35.- Electromagnetismo (Primera Parte)....................... 285 789CAP 36.-Electromagnetismo (Segunda Parte).................... 295 801CAP 37.- Ondas Electromagnticas - Ondas Luminosas . . . 305 812CAP 38.- Optica Geomtrica - Reflexin de la L uz.............. 309 816CAP 39.-Refraccin de la L uz................................................. 316 826CAP 40.- Fotometra.................................................................. 326 845CAP 41.- Optica Fsica - Fenmenos Ondulatorios de la Luz 330 850CAP 42.- Teora de la Relatividad.............................................. 338 856Bibliografa.....................................................................................865

AGRADECIMIENTOSEste texto se empez a redactar en Abril de 1992

y se culmin en Junio de 1993. Durante todo este tiempo fu necesario tener mucha dedicacin y paciencia para la composicin, diagramacin y revisin de los contenidos, sinduda una tarea verdaderamente invalorable, por lo que me siento sinceramente agradecido de la colaboracin de mis amigos:

Ing. Mecnico (UNI): Martn Casado MrquezLie. Fsico-Matemtico (UNCP): Csar RomeroQuispe

Asimismo a todos quienes contribuyeron de alguna u otra forma en la elaboracin del texto, pero muy especialmente a quienes figuran en la lista de colaboradores.

r DEDICATORIA

V

Dedico esta obra a m i familia, m i esposa Carmela, mis hijos Marin, Roco y Daniel, mis alumnos de ayer y hoy y a m i pas.

1 Edicin Diciembre - 1993 Io Reimpresin - Febrero 1994 2o Reimpresin - Abril 1994 3o Reimpresin - Junio 1994 4o Reimpresin - Agosto 1994 2oEdicin -Enero 1995 Io Reimpresin - Marzo 1996 3o Edicin - Octubre 1997 Io Reimpresin - Enero 1998 4o Edicin - Junio 1998 1 Reimpresin - Abril 1999

B AnlisisDimensional1.1. Sistema absoluto 1.2. Sistema tcnico

Sub-sistema L M TCGS cm g sMKS m kg sFPS pie Ib s

Sub-sistema 1 TL rm F TCGS cm g sMKS m kg sFPS pie Ib s

1.3. Sistema Internacional de Unidades (S.I.)MAGNITUD FUNDAMENTAL SIMBOLO UNIDAD BASICA SIMBOLOLongitud L metro mMasa M kilogramo kgTiempo T tiempo sTemperatura termodinmica e kelvin KIntensidad de corriente elctrica i ampere AIntensidad luminosa j candela cdCantidad de sustancia N mol mol

M A G N IT I!) AUXILIAR UNIDAD BASICA SIM BOLOAngulo slido radin radAngulo diedro estereorradin sr

Unidad de (x) ma.kgh.sl.Kl.Ae.cd,.molr:.radl'.sr'1.4. Frmula dimensional

M = LaMb'Tc eflN8J,f (1-1)siendo: a, b, c , ..........., g = nmeros reales.Las expresiones numricas como los nmeros reales, funciones trigonomtricas logartmicas y exponenciales, por ser adimensionales, se les representan por la unidad (1).

14 Problemas de Fsica y cmo resolverlos F. Aucallanchi V.

1.5. Frmulas dimensionales ms usualesMAGNITUD DERIVADA 1 F.D. MAGNITUD DERIVADA, - fc-Z- , . V! r . -F.D.Area L2 Periodo TVolumen L3 Frecuencia T 1Velocidad lineal L T Coeficiente de dilatacin 0 '1Aceleracin lineal L T 2 Capacidad calorfica L2M T20-'Velocidad angular T-1 Capacidad calorfica especfica L2T 2e-Aceleracin angular T 2 Calor latente especfico l 2t -2Fuerza LM T2 Carga elctrica TITorque L2M T2 Intensidad de campo elctrico LM T3! 1Trabajo o energa l 2m t 2 Potencial elctrico L2M T3r 'Potencia l 2m t 3 Capacidad elctrica L2M 'T4!2Cantidad de movimiento LM T1 Resistencia elctrica L2M T3! 2Impulso LM T1 Carga magntica LIDensidad absoluta L"3M Induccin magntica M T2 1Peso especfico l -2m t 2 Flujo magntico L2M T2TPresin L-'M T2 Iluminacin L2J

1.6. Principio de homogeneidad dimensional (Principio de Fourier).Si [A] + [B] = [D] - [E] es una ecuacin dimensionalmente correcta, entonces se verifica lo siguiente:

[A] = [B] = [D] = [E] (1.2)1.7. Frmulas empricas

Si la magnitud/? depende de las magnitudes a, b y c, entonces se deber verificar la siguiente relacin:p = k a * b ycz (1.3)

siendo k la constante numrica de proporcionalidad, y los valores de los exponentes x , y , z debern satisfacer el principio de homogeneidadPROBLEMAS -Nota: Todos los problemas se proponen para ser resueltos en el Sistema Internacional de Unidades (S.I).Frmulas dimensionales

1.1. Determinar las dimensiones de X para que la relacin: E X = Fvcos0 sea dimensionalmente correcta. Se sabe que. E = energa cintica, F= fuerza, y v = velocidad1.2. La Ley de Gravitacin Universal se plasma en la siguiente relacin:

Anlisis Dimensional 15

F = G v"h

la cual resulta ser dimensionalmente correcta si: F = fuerza, m x y m2 masas, y d = distancia. Cules son las dimensiones que debe tener G para que dicha relacin sea completamente homognea?.1.3. Para el clculo de la energa cintica promedio de las molculas de un gas ideal monoatmico se utiliza la relacin de Boltzmann :

= 3/2*7'siendo E = energa cintica, y T - temperatura absoluta. Determinar la frmula dimensional de la constante de Boltzmann.

1.4. Sabiendo que la expresinp V = n R T es dimensionalmente correcta, siendop = presin, V = volumen, n = cantidad de sustancia, y T= temperatura, se pide determinar las dimensiones de/?.

1.5. De acuerdo con la Ley de Coulomb para la interaccin de dos cargas elctricas en el vaco, se verifica lo siguiente:F = 14e0

siendo F - fuerza, q x y q2 = cargas elctricas, y d - distancia Se pide encontrar las dimensiones de la permitividad elctrica en el vaco (ec)1.6. Sabiendo que la velocidad de propagacin de las ondas electromagnticas viene dada por la relacin:

c = 1

siendo c = velocidad lineal, y ec = permitividad elctrica del vaco. Encontrar la frmula dimensional de la permeabilidad magntica del vaco (p0).1.7. Se sabe que la energa de una bobina recorrida por una corriente elctrica viene dada por:

W = ViLi2, siendo W = energa, ei intensidad de corriente elctrica. Cules sern las dimensiones del coeficiente de autoinduccin L?1.8. Cuando una corriente elctrica variable recorre una bobina, sta presenta una oposicin a su paso, que viene dada por: X L = 2nfL, siendo/= frecuencia, y L = coeficiente de autoinduccin Qu magnitud fsica representa XL? (Consultar con el cuadro 1.4).1.9. Las ondas electromagnticas transportan energa, que de acuerdo con la hiptesis de Planck, al interaccionar con los cuerpos, lo ceden en pequeas cantidades llamadas fotones. Segn esta hiptesis, la energa de un fotn viene dada por: =hf, siendo= energa, y/= frecuencia. Cules son las dimensiones de la constante de Planck (/)?.1.10. En Fotometra se sabe que la iluminacin (Y) sobre una superficie est dada por:

Y = d iSi d distancia, y Q = ngulo slido, Cul es la frmula dimensional del flujo luminoso (O)?.


Ecuaciones dimensionales1.11. Cules deben ser las dimensiones deA y B para que la ecuacin dada sea dimensionalmente

correcta?..IV sen 6m (B 2 +S)

siendo: IV = trabajo, m = masa, y S = rea.1.12. Se da la siguiente ecuacin dimensional: V = Sali3 + (h - b ) /c , siendo: V - volumen, - tiempo, h - altura ; determinar la expresin dimensional de: E = b/ac.1.13. S la rigidez (P) de una cuerda est dada por la frmula: P - aQ/R + bd2,siendo: P = fuerza en newton, R = radio, Q = presin, d = densidad . Qu dimensiones deben tener a y b para que dicha frmula sea dimensionalmente correcta?.1.14. En la siguiente frmula emprica: F - (a + b / J v )dv2L, donde: F fuerza de rozamien

to, d = dimetro de la tubera, v = velocidad lineal, L ~ longitud, a = coeficiente experimental dimensional. Determinar las dimensiones del coeficiente b.1.15. La ecuacin que permite calcular el caudal (Q) del escape de agua por un orificio es la siguiente:

Q = CAy J l- { A /B f I2gP i- R )

Ysindolas unidades de Q m3/s, C coeficiente de descarga, A = rea del tubo, g = aceleracin de la gravedad, p ] = presin en el tubo, y = OOOOpeso especfico. Considerando dimensionalmente correcta a la ecuacin dada, Cules son las dimensiones de B, C y R ?.

1.16. Si la ecuacin dada es dimensionalmente correcta, se pide encontrar la frmula dimensional de E.P-Q { 1 log4R v -a E l E (F + Q )

siendo P = peso, R = trabajo, v = velocidad y a = aceleracin.1.17. Sabiendo que la ecuacin: F = qE + qvB es dimensionalmente correcta, determinar la frmula dimensional de B, siendo E - intensidad de campo elctrico, y v = velocidad lineal.1.18. Determinar la frmula dimensional de A en la siguiente ecuacin dimensionalmente correcta: A = B k - Ck3, siendo B = calor especfico, y C = aceleracin angular.1.19. La ecuacin propuesta es dimensional mente correcta, siendo :p = presin, B = dimetro,

A - rea, m y n = adimenstonales. Cules deben ser las dimensiones de C, H y DI.p = C (B - nH) [m + (nA / D )2]D y2

1.20. De la siguiente ecuacin dimensionalmente correcta, hallar= (jc - p )t z , si:

1 = (p n.cose X - Rn-VCOsQn-l r(P n.senen Z- K - 1 -s e n e J p

Anlisis Dimensional 17

siendo: / = momento de inercia = masa, (longitud)2 ; m = masa ; R: Rr = radios; 0r, 0n = ngulos.1.21. Bajo qu condiciones la ecuacin propuesta es dimensionalmente correcta?.

( W p x e o s ) + S m g = ( w p v y ) iC0Se

siendo: W = peso, m = masa, g ~ aceleracin, v = velocidad, 0 = n/3 rad, p = 4,44 mr.kg/s.1.22. Determinar el valor de R = x + y + w + r + z, si la ecuacin es dimensionalmente correcta.

acosec30 - Pt = n m vy d z.pw . b ' / j 2siendo: P= potencia, t = tiempo, m = masa, v = velocidad, d = densidad, p = peso especfico,

b = espacio recorrido, a = magnitud desconocida.1.23. Si la expresin propuesta es dimensionalmente correcta, hallar la frmula dimensional de Q.

II/ a . r , sec 60' _W = m v + Agh - B x + PCEn donde : W = trabajo, m = masa, v = velocidad, g = aceleracin de la gravedad, h = altura,

x = distancia, P = potencia.Q = A V b / ^

1.24. Si la siguiente expresin contiene n trminos y es dimensionalmente correcta:

W = k,v, + ^2V22 ! k3!siendo: W = energa, v. velocidad, n\ = factorial de n, ki = constante fsica. Determinar la

frmula dimensional de E, si E = k9 . k xlkn .1.25. En un experimento de Fsica se comprob que la relacin: p F = (F A V )vna es dimensionalmente correcta, siendo p = presin, F = fuerza, A - rea, V - volumen y U = energa.Cules son las dimensiones de NI.1.26. Determinar las dimensiones de A e y para que la expresin: y = A.p. c(4mA/l) sea

dimensionalmente correcta, siendo: p = presin, m = masa, v = velocidad, y e = base de los logaritmos neperianos.2 \ X1.27. Si la ecuacin dimensional: m v sen(coy - ) = n .jy

es dimensionalmente correcta, determinar las dimensiones de x e y, siendo m - masa, v = velocidad y ( = velocidad angular.1.28. Determinar las dimensiones de E, si: E = xz/y2, sabiendo asimismo que la expresin:

dv\og(mxlt) - ytg(0 + y miz)es dimensionalmente correcta, siendo d = densidad, m = masa, v = velocidad y t - tiempo.

18 Problemas de Fsica y cmo resolverlos F Aucallanchi V.

Frmulas empricas1.29. La relacin de Louis de Brogle para la interpretacin fsica de la dualidad onda-partcula establece que cualquier masa o partcula que se mueve a cierta velocidad tiene asociada una onda electromagntica cuya longitud de onda (X) depende de la constante de Planck (h) y de su cantidad

de movimiento (P), tal que: X=hx.Py Cules son los valores de x e y que logran homogenizar la frmula dada?.

1.30. La potencia (Pot) que requiere la hlice mayor de un helicptero viene dada por la siguiente frmula : P ot= kR *( D zsiendo: k = nmero; R = radio de la hlice; t = velocidad angular, d = densidad del aire. Hallar la expresin final de la frmula emprica.

1.31. La presin (p) que ejerce un chorro de agua sobre una placa vertical viene dada por la siguiente frmula emprica:p = kQ *dy A z

siendo k - constante numrica; d - densidad del agua; A = rea de la placa; Q caudal en nr/s. Determinar la expresin final de la frmula.1.32. La frecuencia de oscilacin (/) en s '1 de un pndulo simple depende de su longitud / y de la aceleracin de la gravedad (g) de la localidad. Determinar una frmula emprica para la frecuencia.1.33. El periodo de un planeta que gira en una rbita circular depende del radio de la rbita (/?), de la masa de la estrella (A/) y de la constante G. Sabiendo que G es la constante de Gravitacin Universal, determinar una frm ula emprica para el periodo.1.34. Roco, una eficiente enfermera, ha observadoquelapotencia(P) conque aplica unanyeccin depende de la densidad (d) del lquido encerrado, de la velocidad (v) del mbolo al expulsar el lquido y del tiempo de aplicacin de la inyeccin (r). Martn, un ingeniero de la UNI le ha conseguido una frmula con los datos que ella le ha proporcionado. Si d - 0,8 g/cm3, v = 5 cmls, y t = 2s, entonces P

= 0,9 watts. Cul ser la frmula descubierta?.1.35. Si se tomaran como magnitudes fundamentales la aceleracin (A ), la masa (A/) y el tiempo (T), Cul sera la frmula dimensional de la constante de gravitacin universal (G)?. Sugerencia: Utilizar el resultado del problemal.21.36. Se forma un sistema de unidades tomando como unidades fundamentales: U(L) = 3m; U(A)

= 5 kg-, U(D = 3s. Si la unidad de potencia en el Sistema Internacional es el watt, hallar la relacin con la unidad de potencia U(P) del nuevo sistema formado.1.37. Se forma un sistema cuyas unidades son:

a) Velucio (Velocidad de la luz = 300 000km/s).b) Gravio (Aceleracin igual a la gravedad).c) Trevio (Trabajo necesario para elevar una masa de 1 kg hasta una altura de 1 m.

Hallar la equivalencia entre la unidad de masa del sistema dado y la unidad de masa del sistema CGS absoluto.1.38. La resistencia W que ofrece el aire en kg/m1 est dada por. W = 0,05 v2, siendo v la velocidad en km/h. Cul ser la expresin que nos permite calcular W en N/m2 cuando v se da en

mis? (1 kg = 9,8 N; 1 km = 103 m; 1 h = 3 600 s).

AnlisisVectorial2.1. Vector fII15* (2.1)

siendo V el mdulo del vector, y 0 el ngulo direccional. 2.2. Adicin de vectores

2.2.a. Mtodo del paralelogramo (Fig. 2.1)R = A + B (2.2)R = yA2 + B2+ 2ABcose (2.3)

R , = A + B A T t Bmax (2.4)R - A - B e=> A t l Brrun (2.5)

siendo A y B los mdulos de los vectores, y siempre de signo positivo.

DFig. 2.1 Fig. 2.2 Fig. 2.3

2.2. b. Mtodo del tringulo.-El vector resultante es aquel que cierra el tringulo (Fig. 2.2).2.2. c. Mtodo del polgono (Fig. 2.3).- El vector resultante es el que cierra el polgono:

R = A + B + CNota: Si el polgono vectorial es cerrado, la resultante es nula.2.3. Sustraccin de vectores (Fig. 2.4)

D = A - B (2.6)D = J A 2 + B 2 -2 A B c osG (2.7)


D . - A + B o A t i BmaxD . = A - B T TT B

2.4. Multiplicacin de un vector por un escalarP - nVP = n . VP TT V n (+) P t i V n (-)

2.5. Vector unitario (Fig. 2.5)- V = m = 1/0

donde ii y V son siempre codirigidos.2.6. Condicin de codireccionalidad

Dos vectores A y B sern codirigidos si presentan la misma direccin, de modo que sus vectores unitarios sern iguales. Entre los vectores y sus longitudes se verificar que:

lA

B

(2.8)

(2.9)

(2.10)(2. 11)

(2.12)(2.13)

(2.14)

(2.15)

A . - Bh ~ LA B2.7. Descomposicin rectangular

(2.16)Fig. 2.6

y = v x + v y (2.17)Vx = (Veos 0)t (2.18)Vy = (VsenB) j (2.19)

r

Anlisis Vectorial 21

siendo i y j los vectores unitarios en los ejes cartesianos X e Y respectivamente (Fig. 2.7).

Fig. 2.72.8. Composicin rectangular

R = R + R* yR = V ; R = Vx x y ym = i r x2 + Ry2 tg0 = R /R

siendo 0 el ngulo que se mide desde el eje X en sentido antihorario.2.9. Vectores en el espacio

V = V I +V~j +V kx y J z

cosa = V / V ; cos|3 = V IV ; cosy = V' /Vx y zcos2a + cos2p + cos2y = 1

(2.20)(2.21)

(2.22)(2.23)

(2.24)(2.25)(2.26) (2.27)

siendo k el vector unitario en el eje de las cotas Z. Asimismo,a, p y yson los ngulos directores{Fig. 2.8).2.10. Vector posicin (r) (Fig. 2.9)

r - x i +y j +zk (2.28)r = (x;y;z)

2.11. Producto escalar (Fig. 2.10)Datos: A = 64x, Ay; Az) a B = (fi,, By; Bz)

A .B = ABcosG (2.29)A . B = A B +A B + A B (2.30)x x y y z z v Fig. 2.9


2.12. Producto vectorialDatos: A = (A%, Ay\ A J a B = (fx; By: B J

C = x B

|c|= |A |.|flU i0

A Ay z A Ax z A Ax yA x B = i B By z - j B Bx z

+ k B Bx y

(2.31)

(2.32)

(2.34)

F ig 2.10 Fig. 2.11

PROBLEMAS Mtodo del paralelogramo

2.1. Dos vectores de la misma naturaleza poseen mdulos A = 6 y B = 10, formando entre s un ngulo 0. Determinar la medida del ngulo 0, si su resultante es R = 14.2.2. Dados los vectores: A = 18 /20, y B= 24 (\ 10, determinar el mdulo de la resultante y su correspondiente direccin.2.3. Dos vectores A y B tienen una resultante mxima de 16 y una mnima de 4. Cul ser el mdulo de la resultante de dichos vectores cuando stos formen 127 entre s?2.4. Dos vectores/! y B originan una resultante mnima de valor 3. Hallar sus mdulos, si cuando forman un ngulo de 60, la resultante es 39.2.5. Dos vectores coplanares y concurrentes forman entre s un ngulo de 60, y poseen una resultante que mide 35. Sabiendo adems que uno de ellos es los 3/5 del otro, Cual es la suma de los mdulos de dichos vectores componentes?


2.6. La resultante de dos vectores mide 21, y es perpendicular a uno de ellos. S el otro mide 35,Qu ngulo forman entre s los vectores componentes?2.7. Se descompone un vector F en dos vectores paralelos a las rectas X( e Y(. Se sabe que F = 8, y su componente paralela a Y( tiene una magnitud igual a 6. Determinar la magnitud de la otra

componente.2.8. Determinar el mdulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado, si A = 10, E = 6.

Fig. Prob. 2.7 Fig. Prob. 2.82.9. La figura muestra tres vectores de mdulos iguales. Hallar el valor del ngulo 0, tal que la resultante de los vectores sea mnima.2.10. Se tienen dos vectores compuestos: (2P + Q) y (3P - Q), que forman entre s un ngulo de 53, siendo sus mdulos respectivos iguales a 15 y 7 unidades. Cul es el mdulo del vectorP l.2.11. Sabiendo que IA - 2fl = 5, y 13 A + 5BI = 6, calcular 15 + B\.

Fig. Prob. 2.9 Fig. Prob. 2.11

Mtodo del tringulo2.12. Determinar el mdulo y direccin de la resultante total del conjunto de vectores mostrado.2.13. Se tiene tres vectores a = 3, b = 4, y c = 5, tal que a + b = c. Determinar el mdulo de x,

si: x - (5/3)a + 3b


2.14. Determnese el vector x en funcin de los vectores A y B (Ver figura)2.15. Encontrar una expresin para el vector x en funcin de los vectores A y B. La figura es un paralelogramo

B= 14

Fig. Prob. 2.12 Fig. Prob. 2.14 Fig. Prob. 2.152.16. Determinar x en funcin de A y B, si ABCD es un paralelogramo (M y N son puntos medios).2.17. Hallar el mdulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado, sabiendo que PM = 2, MQ = 7 y MS = 1.

S

Fig. Prob. 2.16 Fig. Prob. 2.172.18. Encontrar el mdulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado, si ABCD es un trapecio, siendo M y N puntos medios, y adems BC = 8, y AD =12.2.19. Encontrar la resultante del conjunto de vectores mostrado.



2.20. Expresar el vector* en funcin de a y b , si se sabe tambin que: AQ/QB = 2/3, AP/PC - 3/5.2.21. Determinar * en funcin de los vectores a y b, si G es el baricentro del tringulo.

Mtodo del polgono2.22. Determinar el vector R, si R = A B + C - D , siendo conocidos los vectores A .B ,C y D,

tal como se indica en la figura.

Fig. Prob. 2.20 Fig. Prob. 2 21 Fig. Prob. 2.222.23. Determinar la resultante del grupo de vectores mostrado, indicando su mdulo y direccin.

A = \ 0 , B = 16, C= 13.2.24. Si ABCDEF son los vrtices de un hexgono regular, determinar la resultante de los vectoresmostrados.2.25. Elallar el mdulo de la resultante para el conjunto de vectores mostrados.

A

Fig. Prob. 2.23 Fig Prob 2.242.26. Hallar la resultante de los vectores mostrados.2.27. Si C - 6>/3, hallar el mdulo de R , si R = A - B +2C - 2 D2.28. Dados los siguientes vectores, hallar el mdulo de la resultante de los vectores mostrados,

s i/= 3, y d = 4, siendo / y d perpendiculares.2.29. Determinar la resultante R en base al conjunto de vectores mostrados, sabiendo que:

R - p - q + m - d + s.


Fig. Prob. 2.282.30. Hallar el mdulo de la resultante de los vectores mostrados2.31. Determine el mdulo del vectorresultante para el conjunto de vectores mostrados, si se sabe que AB = 2AC = 20 cm, y O es el centro de la circunferencia. D

Fig Prob. 2.29 Fig. Prob. 2.30 Fig. Prob. 2.312.32. Hallar elmdulo de la resultante del conjunto de regular mide 6v3 cm. vectores mostrado, si el lado del hexgono

2.33. Dos hombres y un muchacho desean jalar un fardo en la direccin marcada con X en la figura. Ambos hombres jalan con las fuerzas F{ y Fv cuyos valores y sentidos estn indicados en la figura Encontrar la magnitud y direccin de la fuerza mnima que debe ejercer el muchacho.Sustraccin de vectores

2.34. Dos vectores de mdulosA = 50, y B = 14 forman 74 entre s. Cul es el mdulo del vector diferencia D, si D = A - t !.

2.35. Dos vectores coplanares y concurrentes tienen una resultante que mide 74 unidades, y su correspondiente vector diferencia mide 37 unidades Qu ngulo forman dichos vectores, si se sabe adems que sus mdulos son iguales?.2.36. Calcular el mdulo de la diferencia ( A - t) de los vectores mostrados, y su direccin respecto de la horizontal, si se sabe que A - 16, y B - 12.2.37. Conociendo los vectores P y Q, determinar la expresin vectorial de.r en funcin de ellos, sabiendo adems que P = Q.


Fig. Prob. 2.32 Fig. Prob. 2.33 Fig. Prob. 2.362.38. Determinar x en funcin de A y B.2.39. Para el grupo de vectores mostrado, determinar el vector* en funcin de a y b , sabiendo adems que G. Baricentro del tringulo PQR, y RN = 4NQ.

O

Fig. Prob. 2.392.40. Dos vectoresA y B cuyos mdulos son 15 y 7 respectivamente, tienen un vector diferencia cuyo mdulo es 20. Cul es la medida del ngulo que forman dichos vectores?.2.41. Se tienen dos vectores compuestos (A + 3 B ) y ( A + 2 b) , que forman entre s un ngulo

8 = 37. S adems se sabe que IA + 3l = 40 u , y \ A + 2B\ = 14 u, calcular Iffl.Vector unitario

2.42. Sabiendo que ABCD es un cuadrado de lado-, determinar un vector unitario en la direccinde la diagonal AC y DB.2.43. Sabiendo que ABCD es un cuadrado, determinar una expresin vectorial para x en funcin

de los vectores M y N .2.44. Determinar * + y en trminos de A y B, sabiendo que PQRS es un cuadrado.2.45. Determinar una expresin vectoi al para * en funcin de los vectores A y B, sabiendo que

PQRS es un cuadrado.Descomposicin rectangular

2.46. Determinar el mdulo de la resultante de los vectores trazados sobreel rectngulo mostrado


Fig. Prob. 2.42 Fig. Prob. 2.43 Fig. Prob. 2.442.47. Calcular la resultante del conjunto de vectores mostrado, sabiendo que ABCD es un cuadrado de 4 cm de lado, siendo M y N puntos medios.

Fig. Prob. 2.45 Fig. Prob. 2.46 Fig. Prob 2.472.48* Dado el sistema de vectores mostrado, calcular la magnitud de la resultante: A = 6 ,B = 2,2.49. Determinar el mdulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado, si A = 4, B = 8,

C= 5.

Fig. Prob 2.48 Fig. Prob. 2.49 Fig. Prob. 2.50


2.50. Calcular el mdulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado. A = 55, B = 2 5 ^ 2 , C = 15.

2.51. Para el sistema vectorial mostrado, se sabe que A = 2 ^ 2 , B = 6, y C= 5. Cul es el mdulo de la resultante?.2.52. En la circunferencia de 1 m de radio se encuentran los vectores A , B, C , D y E , donde

B = D , y 0 = 30. Cul es el mdulo de su resultante, si la escala es 50 c m o 1 N. O: Centro de la circunferencia.2.53. Sabiendo que la resultante de los vectores mostrados es horizontal, se pide calcular el mdulo del vector C. Adems: A = 18, B = 10.

Fig. Prob. 2.52 Fig. Prob. 2.532.54. Para el conjunto de vectores mostrado, calcular el mdulo de su resultante, sabiendo quetiene direccin horizontal. Adems P = 30.2.55. La resultante de los vectores mostrados est en la direccin positiva del eje X, y su mdulo es 4. Si adems A = 20 J l , y C = 52, se pide:a) El mdulo de B.b) La medida del ngulo 0.2.56. Si la resultante del sistema vectorial esten la direccin de B, siendoC=2, yD= 12, calcular

el mdulo de A .\ y \

c

Fig. Prob. 2.54 Fig. Prob. 2.55 Fig. Prob. 2.562.57. Parael sistema vectorial mostrado, determinarci mdulo del vector resultante, sabiendo que su direccin es vertical.


2.58. Para el sistemamostrado, hallar el valor deaparaque laresultante sea vertical y haciaamba, y cuyo valor exceda en 20% a A.2.59. Hallar el valor de a para que la resultante del sistema forme 53 con el eje positivo de X(P = 37).

Fig. Prob. 2.582.60. Calcular D, si + B + C + D = 0, sabiendo adems que /\ = 5 V3, y B = 2.2.61. En la figura mostrada, se sabe que A + B + C + D - 0 , B - 3 , C - 5 y 3 y D = 8. Calcular:a) El mdulo del vector A .b) La medida del ngulo 0.2.62. Si la resultante del sistema mostrado est en el eje X, y es igual a 3 900 N , encontrar:a) Las tensiones (1) y (2), si a = 74.b) Qu valor debe tener a para que T2 sea mnima?.

Fig. Prob. 2.60 Fig. Prob. 2.61 Fig. Prob. 2.62Vectores unitarios cartesianos en el plano

>2.63. Determinar un vector unitario en la direccin de AB2.64. Calcular el mdulo del vector diferencia A - B, si se sabe que: A - x + y \ B - P + Q .2.65. Determinar el vector X = A - B + C - D.

> > >2.66. E1 vector A C se ha descompuesto en 2 vectores paralelos a AM y A N ,siendoMyN puntosmedios. Cul es la magnitud del vector paralelo a AM *?


4

>2.67. En la figura mostrada, consideremos que ON mOM + n OM '. Hallar (ni + n), si se sabe que OM' - 100 es el vector ortogonal a O M .

Fig. Prob. 2.672.68. Los vectores A = 9 i + I 2 j y B = I2 i - m j son codirigidos. Calcular el valor de m.

Vectores en el espacio2.69. Determinar la expresin vectorial para el vector V , si V= 75.2.70. Hallar el mdulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado.

Fig. Prob. 2.69 Fig Prob. 2.70

W


2.71. Determinar una expresin vectorial para la fuerza Q, cuyo modulo es 30 N2.72. Hallar el vector F , si F = T + P, sabiendo adems que T = 50 N ,y P - 5 2 N.

Fig Prob. 2.71 Fig Prob. 2.722.73. Hallar el mdulo y los cosenos directores del vectora, que vadesde (1; -1,3) al punto medio del segmento comprendido entre el origen y el punto (6; -6; 4).2.74. Hallar el vector resultante, si: A = 6 + 10 j + 16 A ; B = 2 - 2 j , y C = \0 -j2 .2.75. Si a = b = c = 60, determinar la resultante del conjunto de vectores mostrado.

2.76. Hallar la expresin vectorial de la fuerza resultante de F y T , s\ F - 25 N, y T - 30 N.2.77. Calcular el ngulo que forman los vectores A y B, si A = 8i - 6 j , y B = 24/ + 7 j .? > >2.78. Determinar el coseno del ngulo que forman los vectores PM y ( PT + P U ). ST - SU. y

4- TSU = 742.79. Calcular la menor distancia que existe entre el punto P y la recta que pasa por el origen de

coordenadas y el punto A, sabiendo que sus coordenadas son (2; 2; 1) y (4; 3; 12) respectivamente.2.80. Un vector P tiene una direccin perpendicular al tringulo ABC, y posee un mdulo de

5- / T . Determinar una expresin vectorial cartesiana para P.



x /kFig. Prob. 2.80

2.81. Calcular la mnima distancia existente entre el punto P (2; 3; -1) y el plano que contiene a los puntos A, B y C, siendo sus coordenadas (-4; 3; -2), (1; 1; 0) y (2; -3; 1) respectivamente.2.82. Calcular la mnima distancia que existe entre dos rectas V', y P2, si se sabe que los puntos A (-2; 0; 3) y B (4; 1; -2) estn contenidos en la recta y los puntos C(0; 1; -2) y D (-1; 1; 1) estn

contenidos en la recta Jtr

Movimiento Rectilneo Uniforme3.1. Conceptode velocidad lineal ( v )

v = vector desplazamiento jtiempo

- f (r,pid=z=ito

Movimiento Rectilneo Uniforme 35

3.6. Tiempo de alcance(vi > v2)

siendo c la velocidad de la luz, cuyo valor es 3.108 mis en el vaco.(3 .10 )

PROBLEMAS3.1. Un automvil posee una velocidad de 12km!h, y avanza contra una pared tal como se indica en la figura. Despus de cuntos segundos se encontrar a 40 m de dicha pared?.3.2. Los mviles 1 y 2 se desplazan uniformemente con velocidades de 12 mis y 8 mis respectivamente. Al cabo de qu tiempo mnimo ambos mviles equidistarn del muro P a partir de lasposiciones indicadas en la figura?.

20m 30jm

Fig. Prob. 3.1 Fig. Prob. 3.23.3. Dos mviles estn separados 168 km, y se mueven al encuentro llegando a cruzarse al cabo de 7 h. Calcular la velocidad del ms veloz, si la velocidad del otro es 2 kin/li menos?.3.4. El tiempo que demoran en encontrarse dos autos que viajan en sentidos contrarios, y separados inicialmente 160 ni es 20 s. Si viajasen en el mismo sentido, el de mayor velocidad alcanza al otro en 80 s. Hallar la velocidad de cada auto.3.5. Dos trenes que viajan en sentidos contrarios y hacia el encuentro. lo hacen con velocidades de 11 kmlh y 33 kmlh. Cuando estn separados 88 km, del ms lento sale volando un pjaro hacia el otro tren a una velocidad de 88 kmlh respecto a Tierra. Cuando llega al otro tren, el pjaro emprende el retomo, y as hasta que stos se encuentran. Qu espacio recorri dicho pjaro durante todo este tiempo?.3.6. Un hombre viaja con MRU, y debe llegar a su destino a las 7 p.m. Si viajara a 40 kmlh llegara 1 h despus, y si viajara a 60kmlh llegara 1 h antes. Qu velocidad debi llevar para llegar a su destino a la hora fijada?.3.7. Una persona dispone de 5 h para dar un paseo. Hasta qu distancia podr hacerse conducir por un automvil que va a 54 kmlh, sabiendo que ha ele regresar a pie a la velocidad de 6 kmlh?.3.8. Un pibe se encuentra sobre la playa de Las Malvinas, percatndose que mar adentro se produjo una explosin Reconoce que la diferencia de los tiempos de llegada de los sonidos por el agua y el aire es de 11 s. A que distancia del pibe se produjo la explosin, sabiendo que las velocidades del sonido en el aire y en el agua son de 340 mis y 1 440 mis respectivamente?.3.9. Dos puntos A y B situados en lnea recta se encuentran separados 120 km. Del punto A parteun mvil Mj que avanza hacia B a 5 kmlh. Dos horas despus, de B sale otro mvil M2 que va al


encuentro del mvilM] a 8km/h. Despus de qu tiempo de partirM ambos mviles se encontrarn a 20 km alejndose entre s?.3.10. Se tiene 3 mviles A, B y C. El mvil A parte a las 8:00, B a las 9:00 y C a las 10:00, con velocidades de 40,45 y 51 km/h respectivamente. S i van por la misma trayectoria e igual sentido, A qu hora B equidistar de A y C?.3.1 l.Unmuchachoque camina sobre unaescaleradetenidase de mora en llegar arriba 90.v. Cuando est abajo sobre la escalera en movimiento se demora en llegar arriba 60s. Qu tiempo demorar en llegar arriba si camina sobre la escalera en movimiento?. "3.12. Dos mviles parten desde un mismo punto siguiendo trayectorias rectilneas per-pendiculares, con velocidades de 6 mis y 8 m/s. Despus de qu tiempo ambos mviles estarn separados 200m?3.13. Dos mviles siguen trayectorias que se cortan formando un ngulo de 106 S desde la interseccin de las trayectorias se desplazan con velocidades constantes de 40 m/s y 80 m/s, hallar la velocidad de un tercer mvil que parte del mismo punto y se desplaza por la bisectriz de este ngulo, para que en cualquier instante equidiste de los otros dos.3.14. La vela de la figura se consume uniformemente a razn de 0,5 cmls, y est delante de una pared P que posee una rendija que se encuentra a la misma altura inicial de la vela. Con qu velocidao se desplazar el haz luminoso que incide sobre la pared Q?3.15. Dos velas de igual altura/i se encuentran separadas por una distancian. Con qu velocidad se mueve la sombra de las velas a lo largo de las paredes, si una de ellas se apaga en un tiempo ( y la otra en t{!.

Fig. Prob. 3.14 Ftg. Prob. 3.153.16. Un mnibus va por la carretera a razn de 16 m/s. Un hombre se encuentra a 60 m de la carretera, y en cierto instante a 400 m del mnibus En qu direccin indicada por a debe correr el hombre a razn de 4 m/s para llegar a encontrarse justamente con el mnibus, o antes que ste pase frente a l (Ver figura)3.17. Un punto A dista 140 km de un punto B. Dos Mviles parten a la vez de A, y se dirigen hacia B con velocidades de 30 km/h y 40 km/h. Cuando llegan a B emprenden el retorno, manteniendo la misma rapidez, y al llegar a A vuelven hacia B, y as sucesivamente. Determinar al cabo de qu tiempo ambos mviles se vuelven a encontrar en A para repetir el ciclo de movimientos.3.18. Cuando un tren se desplaza sobre la va se escucha un ruido caracterstico de origen metlico. Si el nmero de golpes que se escuchan en 45 s (cuando las ruedas pasan de uno a otro riel) da el valor de la velocidad en km/h, Cul es la distancia entre rueda y rueda?.

Movimiento Rectilneo Uniforme 37

3.19. Un tren demora 8 s en pasar frente a un alumno, y luego recorre ntegramente un tnel de 160 m de longitud en 48 s con velocidad constante. Cul es la longitud del tren?.

Fig. Prob. 3.16 Fig. Prob. 3.183.20. Un observador que mira con un solo ojo se encuentra a 30 cm frente a una ventana de 20 cm de ancho, y a 12 m de el pasa un camin con una velocidad constante de 20 mis. Si el observador lo vi durante 1 s, Cul es la longitud del camin?.3.21. Un mvil viaja con velocidad constante de laciudad A a la ciudad B. Luego de 3 h de viaje se detiene en P durante 20 min, y contina con 1/3 menos de su velocidad original, llegando a B con un retraso de 50 min. Se sabe que si se hubiera detenido 10 km ms all de P, slo se hubiera retrasado 45 min. Cul es la distancia entre las ciudades?.3.22. Dos coches partieron al mismo tiempo: Uno de A en direccin a B, y el otro de B en direccin a A Cuando se encontraron, el primero haba recorrido 36 km ms que el segundo. A partir de este momento (en que se encontraron) el primero tard una hora en llegar a B, y el segundo 4 h en llegar a A. Hallar la distancia entre A y B3.23. En la Figura se da una fotografa "borrosa" de un avin reactor en vuelo. La longitud del avin es 30 m, y la de la seccin de la nariz 10 m. Si el tiempo de exposicin del obturador de la cmara fotogrfica es 0,1 s, haciendo uso de esta "fotografa, calcular la velocidad del avin. La lnea de trazos muestra la forma del avin.3.24. Un automvil se acerca hacia una tapia a una velocidad constante de 10 mis. Si en deter-minado instante el chofer del automvil hace sonar la bocina, y al cabo de 10 s escucha el eco, calcular a qu distancia se encontraba el mvil cuando el chofer hizo sonar la bocina (considerarque la velocidad del sonido es 340 mis).

3.25. (Principio de Fermat) Una pelota de bisbol debe ser lanzada desde un punto A, chocar en un muro P y llegar hasta un punto B empleando el menor tiempo posible. La pelota mantiene siempre la misma rapidez en cualquier direccin que se mueva, y es de 2,6 mis (con-siderar que el choque de la pelota con el muro es completamente elstico). S la distancia de A hacia el muro es 3 m, de B al muro es 2 m, y la distancia entre los pies de las perpendiculares trazadas desde dichos puntos es 12 m, Cul es dicho tiempo?.

IIJ Movimiento Rectilneo iM Uniformemente Variado4.1. Concepto de aceleracin lineal ( a )_ Av _ [ Variacin del vector velocidad

a =

At ^vf ~ Vo

Tiempo empleado

f - ' ovf V / \

= - l y - S L ( fo = 0 A ff = )

(4.1)

(4.2)

(4.3)4.2. Unidades de aceleracin

En el S I. la aceleracin se expresa en m/s Tambin se puede expresar en cm/s2, km/h2, pie/s2.4.3. Tipos de movimientos variados

A) Movimiento acelerado B) Movimiento desacelerado

v c > -

Fig. 2.14.4. Ecuaciones escalares del MRUV

vf = v0 + atv2 = v2 + 2ae f oe= vD + 1/2 cr t

\

e = vo + v,r t

en = vQ + 1/2 a (2n-l)

Fig. 2.2

(4.4)(4.5)(4.6)

(4.7)(4.8)

El s ig n o de la aceleracin a e s p ositivo (+ ) s el m ovim ien to es acelerado, y negativo (-)

Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado 39

si el movimiento es desacelerado. Asimismo, e , representa el espacio recorrido en el n-simosegundo.4.5. Ecuaciones vectoriales del MRUV

vf - v0 + a t (4.9)

je = Jc0 + vD.t+ \ /2 t2 (4 .10 )en los cuales todos los trminos, salvo el trmino t tienen signo, y ello segn la direccin que poseen los vectores en un marco de referencia elegido.4.6. Los nmeros de Galileo

Todo mvil que parte del reposo con aceleracin constante tendr la caracterstica de recorrer, en tiempos iguales, distancias proporcionales a los nmeros 1, 3, 5 , 7 , 9 , ---------, (2n -1).

v = 0C) OFig. 2.3

4.7. Ley de las areas para el MRUVSi el mvil de la figura parte del reposo, entonces, en tiempos iguales su radio vector posicin barre areas proporcionales a los nmeros de Galileo.

2n 1 ( 4 .11)

Fig. 2.4 v = 0

PROBLEMAS Ecuaciones escalares

4.1. Un mvil se desplaza con MRUV; al pasar por un punto A su velocidad es v, y 4 s despus pasa por otro puntoB con una velocidad 3v. Si el mvil experimenta una aceleracin de 2m!s, Qu


velocidad poseer 3 s despus de haber pasado por B?.4.2. El automvil de la figura se desplaza a razn de 108 km/h y hacia un precipicio. El conductor aplica los frenos a partir del punto A de tal modo que experimenta un movimiento retardatriz con aceleracin o. Cul debe ser el mnimo valor de a para que el automvil no caiga por el precipicio?.4.3. Una pelota es pateada horizontalmente sobre un piso, experimentando una aceleracin retardatriz de - 6 mis2. Si al ser pateado parte con una velocidad de 72 mis, Qu distancia recorre en los 2 primeros segundos de su movimiento?.4.4. Un mvil que viajaconMRUV triplicasu velocidadluegode recorrer200/n, empleando 10s. Cul es la aceleracin que posee?.4.5. Un vehculo se desplaza con aceleracin constan tea = 3 m/s . Luego de recorrer 96 m alcanza una velocidad de 90 km/h. Cunto tiempo demor el vehculo en realizar este recorrido?.4.6. Un mvil parte del reposo y acelera uniformemente, tal que en los 2 primerossegunfos de su movimiento recorre 6 m. Qu espacio logra recorrer en los 4 segundos siguientes?.4.7. Un auto se desplaza a razn de 108 hnJh. A continuacin aplica los frenos y retarda su movimiento uniformemente a razn de 4 m/sL. Qu espacio logra recorrer en el 412 segundo de su movimiento?.4.8. Durante qu segundo un mvil que parte del reposo y que tiene MRUV recorrer el triple del espacio recorrido durante el quinto segundo?.4.9. Un mvil parte del reposo, y recorre en 2 5 consecutivos de su movimiento las distancias de 26m y 30 m. Si su movimiento es uniformemente acelerado, En qu segundo de su movimiento recorre 46 m?.4.10. Un mvil que se desplaza con movimiento rectilneo uniformemente desacelerado recorre 35 m en t segundos de su movimiento, y en los siguientes t segundos 25 m. Si todo el movimiento dura 41 segundos, Qu espacio recorri en los ltimos t segundos antes dedetenerse?. 4.11. Tres mviles parten de un mismo punto en la misma direccin; los 2 primeros con velocidades constantes de 50 mis y 80 mis respectivamente, y el tercero parte del reposo con una aceleracin de 13 m/s2. Al cabo de qu tiempo los otros dos mviles se encontrarn equidistantes

del tercero?.4.12. Dos automviles se acercan el uno hacia el otro a 40 m/s y 30 m/s respectivamente. Cuando se encuentran separados 280 m, los dos conductores se dan cuenta de la situacin y aplican los frenos, llegando al reposo al mismo tiempo precisamente antes de chocar Si la desaceleracin es constante para los dos automviles, hallar la distancia recorrida por cada uno durante la frenada.4.13. Un mvil parte de un punto con una velocidad vj = 20mis. Cuando posee la mitad de dicha

velocidad pasa por su lado otro mvil en sentido opuesto, el cual llega al punto de partida del primero luego de 2 s. Calcular la velocidad del segundo mvil en el momento del cruce, si los dos poseen aceleraciones del mismo mdulo: 10 m/s2.

4.14. Un automvil viaja a razn de 72 km/h. De pronto el conductor ve delante de l la luz roja

Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado 41


donde x se expresa en cm, y t en segundos, En qu instante se encontrar el mvil pasando por un punto ubicado a 56cm hacia la derecha del origen de coordenadas X, y qu velocidad tendr en dicho punto?.4.23. Hallar el instante en que un mvil pasa por el origen de coordenadas, sabiendo que su posicin x en metros viene dado por :

x = 24 - 10t + t2siendo el instante en segundos.

4.24. Una partcula avanza en lnea recta sobre el eje X, y posee un movimiento que viene dado por la siguiente ley :x= I 2 t - 135 + 3/2

en los cuales* est dado en metros, yt en segundos. Cul es la velocidad que posee la partcula cuando pasa por el origen de coordenadas?.4.25. Dos autos se mueven con MRUV, y en el instante mostrado poseen iguales velocidades (mdulos) con aceleraciones permanentes y

constantes: a = 2 mis2, = 4 mis2. A qudistancia de A se encontrarn los autos, si sto sucede luego de 10 s?.4.26. La ley de movimientos para dos mvilesA y B viene dado por:

A * = 4Z2 + 5 - 1 ; B x = 3Z2 + 5 + 8en los cuales * est en metros y t en segundos. Hallar la velocidad de A en el momento en que secruzan.

4.27. Un carrito de demostraciones se mova a lo largo de una regla con aceleracin constante. Cuando el cronmetro marcaba j = 7 s, el carrito se encontraba en el punto jq - 70 cm; cuando t j = 9 s, Xj = 80 cm; y en el momento

Cada LibreVertical5.1 Valores de g

g: Ac eleracin de la gravedad En los polos: g = 9,83 mis1 En el ecuador, g = 9,78 mis1A 45 de latitud Norte: g = 9,805 mis1 (valor estndar)En Lima - Per: g = 9,8 mis2 (ubicado a 12 de latitud Sur).

5.2. Movimientos verticalesa) Hacia arriba: Movimiento desacelerado.b) Hacia abajo: Movimiento acelerado.

Del ejemplo de la figura:I o) Ivjl = lv5l ; lv , l= lv 4l

2o) v3 = 0 (Altura mxima)3 ) t4 > tj = tj

5.3. Ecuaciones escalares de la cada libre vertical

C

- : W v - ..... vVJ

F ig 5.1

vr = vo St (5.1)

vf2 = 2 g h (5.2)

h = v ot 1/2 g t2 (5-3)

v +v. t

hn.= Vo l /2 g (2 n - 1)

(5.4)

(5.5)El signo (+) se usar si el movimiento es descendente, y el signo (-) si el movimiento es ascendente. El trmino h representa la distancia vertical entre dos puntos de la trayectoria.

Asimismo, hn es el desplazamiento vertical en el n-simo segundo.


5.4. Ecuaciones vectoriales de cada libre verticalvf = vo+g. (5.6)

Cada Libre Vertical 45

5.7. Desde el piso se lanza una pelota verticalmente hada arriba a razn de 20 mJs. Al cabo de qu tiempo como mximo se encontrar a 15 m de altura?.

5.8. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con vq - 30 mis. Al cabo de qu tiempo dicho cuerpo se encontrar a 80 m debajo del punto de lanzamiento?.

5.9. Una piedra es lanzada desde el suelo verticalmente hacia arriba. Si demora 0,2 s en pasar por una ventana de 1,8 m de altura, Con qu velocidad fue lanzada la piedra, si el borde inferior de la ventana est a 40 m del suelo?.

5.10. Un observador que mira a travs de una rendija muy angosta ve pasar un cuerpo verticalmente hacia arriba, y 8 s despus lo ve pasar hacia abajo. Si dicho cuerpo fu impulsado desde el piso con una velocidad de 60 mis, A qu altura del piso se encuentran los ojos del observador?.5.11. Un hombre lanza una pelota verticalmente hacia ari iba. Dos segundos ms tarde lanza una segunda pelota, y con la misma velocidad inicial que la primera, y observa que las pelotas chocan 0,4

s despus que la segunda pelota fu lanzada. Cul es la velocidad inicial de ambas pelotas?.5.12. Dos cuerpos se encuentran en una misma vertical en la Luna. En determinado instanteestn separados por una distancia de lOOm, y tienen velocidades iniciales opuestas de 10 mis. Al cabo de cunto tiempo se encontrarn?.5.13. Desde el borde de un acantilado de 50,2m de altura una persona arrojados bolas iguales, una hacia arriba con una velocidad de 19,6 mis, y la otra hacia abajo con la misma velocidad. Con

qu retraso llegar la bola lanzada hacia arriba al suelo? (g 9,8 mis1).5.14. Dos muchachos estn en el ltimo piso de un edificio. El primer muchacho suelta un vaso fuera de la ventana. Tres segundos despus el otro muchacho arroja otro vaso hacia abajo fuera de la ventana. Ambos vasos llegan a Tierra al mismo tiempo. Si los vasos partieron desde una altura de 125 m, Cul ser la velocidad inicial del segundo vaso?.5.15. Una piedra A es lanzada hacia arriba. Tres segundos ms tarde otra piedraB es tambin lanzada hacia arriba, dando alcance a A cuando sta alcanza su altura mxima. Calcular en cunto tiempo B alcanza a A (Velocidad inicial de A = 50 mis).5.16. Una piedra es soltada en un lugar cerca a la superficie terrestre. Si en el ltimo segundo de su cada recorre la mitad de su altura de cada, Cul es el valor de dicha altura? {g 9.8 us2).5.17. Despus de soltarse de un helicptero, un paracaidista cae 80 m en forma libre, y abre en ese instante el paracadas, lo cual le produce un retardo en su velocidad de Im /s1, llegando al suelo con una velocidad de 2 mis. Cunto tiempo estuvo en el aire?.5.18. Un piloto suelta una bomba desde un helicptero esttico en el aire, y despus de 120

s escucha la detonacin. Si la velocidad del sonido la supondremos igual a 300 mis, hallar la velocidad de la bomba al tocar Tierra.5.19. Cul deber ser el valor de H para que el cuerpo in recorra el plano inclinado liso en el menor tiempo posible, si parte del reposo en 0?.(Ver figura)5.20. Una esferilla se deja caer de la parte superior de un cilindro hueco inclinado un nguloa en el preciso instante que ste arranca con una aceleracin a - 3,75 mis1. Hallar el ngulo a para que la bola no toque el cilindro hasta que impacte en su base5.21. Un ascensor de 3nide al tura se mueve verticalmente hacia arriba con aceleracin retardalriz de 4 mis2. Cuando su velocidad era de 3 m/s una lmpara se desprende del techo interior. Al cabo de

qu tiempo chocar contra el piso del ascensor?. Indicar adems si para un observador ubicado en la Tierra la lmpara estaba subiendo o bajando, o se encontraba en reposo en el momento del impacto.


5.22. Un globo aerosttico sube verticalmente con una velocidad Vj = 30 mis. El piloto al encontrarse a una altura h = 240 m lanza verticalmente hacia abajo una bolsa de arena, con una velocidad respecto a su mano v, = 20 mis. Al cabo de qu tiempo la bolsa tocar el suelo?.

5.23. Un globo aerosttico se mueve verticalmente hacia abajo con una velocidad de 20 mis. En un instante dado el piloto lanza una manzana con una velocidad de 35 mis hacia arriba (respecto a su mano). Qu aceleracin retardatriz deber imprimir al globo para detenerse justo cuando la manzana vuelve a pasar frente a l?.5.24. Sobre una placa elstica caen libremente dos bolas metlicas, tal como se muestra en la figura. La bola B cae T segundos despus que A (T> 0). A! pasar cierto tiempo "despus" de T. las velocidades de las bolas coinciden (en todo). Determinar:a) El lapso Tb) El intervalo de tiempo durante el cual las velocidades de dichas bolas cumplen con la condicin antes dicha.5.25. En el pozo de la figura caen gotas de agua a razn de 1 gota/s. Un objeto asciende a una velocidad constante de 10/m/j , y es alcanzado por una gota cuando est a una profun-didad6 = 500

m. Cunto subir el objeto aproximadamente hasta ser alcanzado por la siguiente gota?.A


B Grfcos de MovimientoReferidos al Tiempo6.1. Movimiento rectilneo uniforme6.1.a. Posicin-vs-tiempo

(*) Es una lnea recta inclinada (Fig. 6.1).(*) La pendiente de la lnea recta nos da la velocidad.

tg0 = vLa ley del movimiento es:

x = x + v iO O6.1.b. Velocidad-vs-tiempo

(*) Es una lnea recta paralela al eje del tiempo (Fig. 6.2).

(*) Area = d (desplazamiento) (6.3)(*) Area = e (espacio) (6.4)

6.2. Movimiento rectilneo uniformemente variado6.2.a. Posicin vs. tiempo

(*) Es una parbola (Fig. 6.3).(*) La pendiente de la recta tangente a la parbola la da la velocidad instantnea.(*) Ley del movimiento:

1 2x = x + v t + a to o 2 (6.5)

AREA = [-*o+y+2 af2l2( Vo + a )

Fig.63


6.2. b. Velocidad vs. tiempo(*) Es una lnea recta inclinada (Fg. 6.3).(*) La pendiente de la recta nos da la aceleracin del movimiento:

tga = a (6.7)(*) Ley de la velocidad:

v = vD + at (6 .8)6.2. c. Aceleracin vs. tiempo

(*) Es una lnea recta paralela al eje del tiempo (Fig. 6.5).(*) El rea bajo la curva d el cambio producido en la velocidad:

Area = Dv (6.9)

6.3. Movimiento rectilneo variado linealmente (MRVL)b = B-celeracin: Magnitud fsica que mide la rapidez con que cambia la aceleracin.

b = A a /A t (6.10)6.4. Leyes del MRVL

b = constante: a = a + bt (6 .11)

v = v o + aot + { b tl

x = *0 + V + 2 ao' 2 + 6 fcf3

(6.12)

(6.13)

Grficos del Movimiento Referidos al Tiempo 49

PROBLEMASPosicin - vs - tiempo

6.1. Un mvil se desplaza a lo largo del eje X, y su posicin viene dada por la siguiente ecuacin:jc = 2 4 -6

donde jc est en metros, y t en segundos. Se pide determinar:a) La velocidad del mvil.b) La grfica espacio - temporal.c) El instante en el cual el mvil pasa por el origen de coordenadas.d) La pendiente de la curva en t = 4 s.6.2. Dado el grfico x - v s - t , determinar:a) La ecuacin que define la trayectoria espacio - temporal.b) La posicin del mvil en t = 10 s.6.3. Una partcula mvil se desplaza a lo largo del eje X, y su posicin para todo instante! viene dado por la siguiente ley:

jc = 4 5 - 6 - 3J2donde jc est en metros y ten segundos. Se pide determinar:a) Su grfica espacio - temporal.b) La pendiente de la curva en = 0 s y en t = 5 s.c) El instante en el cual el mvil pasa por el origen de coordenadas.6.4. Dada la grfica posicin - vs - tiempo de un mvil, se pide determinar:a) La aceleracin del mvil.b) La pendiente de la curva en / = 8 s, si en t = 0 s , tgG = - 8 mis.b) El significado de que la curva toque al eje del tiempo en t = 4 s.

6.5. Dado el grfico jc - vs - 1 para un mvil, se pide determinar:a) La aceleracin del mvil y su velocidad en t = 0 s.b) La posicin del mvil en t = 4 s.c) El significado de que la curva corte al eje t en dos puntos.


6.6. Una partcula se desplaza a lo largo del eje X, y su posicin respecto al tiempo viene dado por el cuadro de datos mostrado. Determinar:a) El grfico espacio - temporal (discutir).b) La velocidad media entre = 1 j y t = 5 s.c) La velocidad instantnea en t = 5 s (aproximar).

t( s ) 0 1 2 3 4 5x (m ) 0 2 8 18 32 50

6.7. La grfica espacio - temporal que se muestra describe el desplazamiento de un objeto con respecto a un cierto marco de referencia. Determinar el valor y signo de la mayor velocidad que se presenta a lo largo de todo el movimiento, y adems, la velocidad meda en el intervalo de tiempode 4 a 10 s.

Fig. Prob. 6.5 Fig. Prob. 6.76.8. Dados los grficos posicin - vs - tiempo de dos mviles A y B, se pide determinar:a) El valor y signo de sus velocidades.b) El instante en que los mviles se cruzan, y a qu distancia del origen de coordenadas lo hacen6.9. Un mvil parte del reposo con aceleracin constante a,= 4 mis2, la cual mantiene durante

6 s, despus de los cuales continua con MRU durante 4 s, y finalmente contina con movimiento rectilneo uniformemente retardado, recorriendo 24;n hasta detenerse. Se pide determinar la grfica posicin - vs - tiempo, si se sabe que el mvil parti del origen de coordenadas con direccin hacia el eje + X.

6.10. Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con vo = 20 mis desde la posicin y = 60 rn, en un lugar donde g = 10 mis2. Se pide construir la grfica posicin (y) - vs - tiempo hasta el instante en el cual la piedra toca el piso.

Nota: Considere que el origen de coordenadas (y = 0) se ubica sobre el piso.6.11. Dado el grfico jr - vs-t para una partcula que se desplaza rectilneamente con aceleracin constante a = 8 cmls2. Cul es la velocidad en el instante t en que el rea sombreada sea 64 cm.s?.


Velocidad - vs - tiempo6.12. El grfico muestra la velocidad de un mvil a travs del tiempo. Se sabe que originalmente

el mvil se encontraba en la posicin xo ~ - 10 m. Se pide determinar:a) La ley del movimiento: x = f(t) .b) La aceleracin del mvil.c) El desplazamiento producido entre f = Os y f = 8 i.d) La posicin del mvil en t = 8 s.6.13. Dado el grfico velocidad - vs - tiempo, hallar:a) La aceleracin del mvil.b) Su velocidad en t = 12 s .c) Su desplazamiento entre r = 0 s y = i 2 .sd) La posicin del mvil en t = 12 s, si jc = - 8 m.

v(m/s)

9 ------

t(s ) t( s )

Fig. Prob. 6 .126

Fig. Prob. 6.13


6.14. Si el grfico v - vs - 1 corresponde al mov imiento unidimensional de una partcula, se pide determinar:a) El desplazamiento y espacio recorrido entre t = Os y t = 10 s.b) La ley del movimientox = f( t) , si adems se sabe que el mvil se encontraba inicialmente en

XB 12'w-6.15. Un mvil se desplaza a lo largo del eje X, y se sabe que en el instante / = 0 s se encuentra

en jc = + 9 ni Sabiendo adems que su velocidad es variable, y viene dada por la grfica de la figura, En qu instante dicho mvil logra pasar por segunda vez por el origen de coordenadas?v,(m/s)

6.16. Los ascensores de algunos edificios estn diseados para aceleraciones constantes que permiten alcanzar velocidades mximas de 9 mis en 6 s, o desacelerar desde esta velocidad hasta detenerse tambin en 6 s. Cul ser el tiempo mnimo para ir desde el primer piso hasta el ltimo, situado a 180 m del primero?.6.17. En la figura se muestra la grfica velocidad - vs - tiempo de un mvil Detem linar la posicin del mvil para t = 4 s, si para t= Os el mvil est en x = - 2 m.6.18. Un mvil parte del reposo con una aceleracin constante de 10 mis2. Luego de transcurrir cierto tiempo el mvil empieza a desacelerar a razn de 5 m/s1 hasta detenerse. Si el tiempo total empleado es 30 s, calcular el espacio total recorrido.6.19. El grfico mostrado da la velocidad de un mvil para todo instante? Encontrar la velocidad media entre t 2 s y t - 6 s.

I v (m/s)


6.20. Dos mviles M y N se mueven sobre una misma recta y en el mismo sentido, siendo las grficas de sus velocidades las que se muestra en la figura. En qu instante t sus velocidades coincidirn en todo?.

6.21. Dos mviles A y B parten desde jr = 10 m, y jco = - 800 ni respectivamente, siendo sus grficas velocidad -v s - tiempo la que se muestra en la figura. Qu distancia los separa cuando sus velocidades se igualen?.

6.22. En la figura se muestra las grficas v - vs - 1 de los movimientos rectilneos de dos mviles A y B. Con qu velocidad inicial parti B. si cuando sus velocidades se igualaron por segunda vez sus desplazamientos tambin se igualaron?. Considerar n ~ 22/7.6.23. El grfico mostrado corresponde a la velocidad en el transcurso del tiempo de un objeto lanzado desde la azotea de un edificio hasta el instante en que toca el piso. Calcular la altura del edificio (g = 10 mis1).

t ([m/s)

Fig. Prob. 6.226.24. Un mvil posee una velocidad variable, segn muestra la grfica. Determinar la aceleracin en el instante t - 16 s.

r

54 Problemas de Fsica y cmo resolverlos F Aucallanchi V,

Aceleracin - vs - tiempo6.25. Un mvil parte del reposo y con una aceleracin que viene dada por la grfica a - vs - f mostrada. Se pide determinar la velocidad del mvil en r = 4 s, t - 7 s , y t - 12 s.

Fig Prob. 6.24

t (mis)

6.26. Si un mvil parte con vQ = -12 m /s , y se desplaza sobre el eje X desde *0 - 18 m, se pide construir un grfico velocidad - vs - tiempo, y el correspondiente grfico* - vs - t, sabiendo que su aceleracin viene dada por el grfico mostrado.

6.27. En la figura se muestran la posicin de un mvil (1) con respecto al tiempo, y la aceleracin de un segundo mvil (2) con respecto al tiempo. Se sabe adems que parar = Os el mvil (2) se ubica en x = 0, y con velocidad v = 0. Determinar en qu instante se vuelven a encontrar ambos mviles

a (m/s2)

2

0 2 t (s)

Fig. Prob. 6.24

a2

(2)(m/s2)

t (s)

Fig. Prob. 6.256.28. Un auto parte del reposo en un punto A, y se desplaza 1 800 m a lo largo de una pista en la cual se detiene en un puntoB. Cul ser el tiempo mnimo que emplea el auto en ir desde A hasta B , si la aceleracin que lo afecta est dada por el grfico mostrado?.6.29. Una partcula se mueve a lo largo de una lnea recta con una aceleracin en funcin del tiempo, segn se muestra en la figura. Si parat = Os, vD = 4 m /s . Calcular la velocidad de la partcula cuando r = 4 s.


a (mis2)

t (.*)

6.30. Se tiene el grfico aceleracin - vs - tiempo de un mvil que se desplaza sobre una recta. Si para t = 0 s la velocidad es v, y para t = 4 s la velocidad es 3 v, determinar su velocidad para t~ 6 s .6.31. Se tiene las grfcasa - vs -t y v - vs - /de un mvil que en el instanter=0 tiene una posicin

xQ = - 39 m . Cul ser su posicin en el instante t 1 s'i.a (mis2) V (mis)

22 \

t(s) \0 0 3 y w-1

Fig. Prob. 6.316.32. Una partcula se mueve en lnea recta Cuando t - 0 s su velocidad es 1 mis en direccin del eje (+ X), y tiene una aceleracin variable, segn se muestra erf la figura. Determinar el espacio recorrido hasta el instante f = 4 j .

a (m/s2)

Fig Prob. 6.30

Movimientos Relativos Movimientos Dependientes7.1. Principio de relatividad de Galileo

"No existe un sistema de referencia privilegiado ni form a alguna de determinar una velocidad absoluta".7.2. Posicin relativa

r2 - r, + r2/, hn = ~r2 - ?\

h / i ! = J r f + r - 2 ,r r,.cs 0

7.3. Velocidad relativa^2 = ^1 + ^2/1

V2/l - V,

|v2/l |= )/ V1 + v2 2vr V2 COS 6 V2/l = V1 + V2 V2v2/i - V, - V2 V, t t v2

(7.1)(7.2)

(7.3)

(7.4)(7.5)(7.6)(7.7)(7.8)

siendo vj/i la velocidad relativa del cuerpo 2 respecto al cuerpo 1; este ltimo es el lugar donde se ubica el observador. Asimismo, v, y v2 son las velocidades de dichos cuerpos respecto a Tierra, y 0 es el ngulo que forman sus direcciones Cuando la velocidad se mide respecto a Tierra se denomina velocidad absoluta.7.4. Aceleracin relativa

a2 = d, + dm (7.9)^2/1 = a2 - a^ (7.10)

Movimiento Relativos y Movimiento Dependientes 57

k / l = + C 2 ~ 2 av a r COS 0 ( 7 . 1 1 )

a2J = a \ + t2 t, t i r a 2 ( 7 .1 2 )Cl-jiy flj - 2 ^ ^ | T T 2 ( 7 .1 3 )

7.5. Poleas mvilesd3 = 1/2 (j, + d 2)Vj = 1/2 (v, +v2)

3 = l /2 (flI + a2)

(7 .14 )

(7 .15 )

(7 .16 )

PROBLEMASMovimientos relativos

7.1. Se tiene dos mviles A y B (A detrs de B) que se desplazan uniformemente en la misma direccin y sentido con velocidades absolutas vA = 40 mis y vB = 15 mis, los cuales se encuentran micialmente separados 75 m. Se pide calcular:

a) La velocidad relativa de A respecto a B.b) Al cabo de qu tiempo A pasar al lado de B.

7.2. Dos coches P y Q se desplazan uniformemente en la misma direccin (P detrs de Q) con velocidades vP = 10 mis y Vq = 30 mis , separados inicialmente una distancia d = 40 m. Se pide calcular:

a) La velocidad de Q respecto a P.b) El tiempo que emplean para estar separados una distancia 3d.

7.3. Dos coches 1 y 2 que se desplazan uniformemente en la misma recta y en direcciones opuestas tienen velocidades constantes V| = 5 mis y v2 = 3 mis . Estos mviles estn inicialmente separados por una distancia de 16 m . Se pide calcular:

a) La velocidad de 2 respecto a 1.b) Al cabo de qu tiempo se cruzan.c) Despus de cunto tiempo estarn separados por una distancia d7 = 40 m.

7.4. En la figura se dan tres mviles con velocidades relativas y direcciones conocidas: vA/r = 6 mis , vB/A = 3 mis , y vP/B = 2 mis . Se pide calcular:

a) La velocidad del hombre P respecto al piso.b) La velocidad del hombre P respecto al coche A.7.5. Un auto viaja a razn de 90 kmlh , y lo hace paralelamente a un tren de pasajeros que viaja en el mismo sentido a razn de 72 kmlh. Cunto tiempo emplear el auto en adelantar al tren?


Fig. Prob. 7.4 Fig. Prob. 7.57.6. Dos trenes corren en direcciones opuestas con velocidades Vj = 36 kmlh y v2 = 54 kmlh. Un pasajero del primer tren nota que el tren 2 demora 6 s en pasar por su costado. Se pide calcular:

a) La longitud del segundo tren.b) Cunto tiempo demoran los Irenes en cruzarse?.7.7. Un automvil que viaja por una carretera con neblina con una velocidad de 30 mis avista repentinamente un camin a 52 m delante de l, viajando en la misma direccin y a la velocidad constante de 10m /s . El conductor del auto pierde 0,6 s mientras reacciona y aplica los frenos. Cul debe ser la desaceleracin mnima que debe aplicar el auto para evitar el choque?.7.8. Un mnibus viaja por una carretera horizontal con una velocidad de 72 kmlh. Las gotas de lluvia caen uniformemente a razn de 15 mis. Se pide calcular:

a) La velocidad relativa de las gotas respecto a un pasajero del mnibus.b) Qu ngulo forman con la vertical los trazos de las gotasde lluvia con las ventanas laterales del mnibus.7.9. Un pasajero de un automvil observa que los trazos de las gotas de lluvia forman 37 con la vertical en un momento dado, y luego de 10 .$ stos forman 53 con la misma vertical. Cul fu la aceleracin media que experiment el automvil, si se sabe adems que las gotas caen un formemenle a razn de 24 mis respecto a Tierra y en forma vertical?.7.10. Un tren de 196 m de longitud viaja a una rapidez constante de 30m /s , y cruza una carretera segn se indica en la figura. Si el automvil A que viaja a 25 m/s se encuentra a 35 m del cruce en el instante que el frente del tren alcanza el cruce, calcular:

a) La velocidad relativa del tren respecto al automvil.b) La distancia entre el automvil y el extremo del ltimo vagn del tren en ese instante.


Movimiento Relativos y Movimiento Dependientes 59

7.11. Dos mviles 1 y 2 salen simultnemante de un punto O con velocidades constantes vt =14 cm/s y v2 = 50 crnls, cuyas direcciones forman un ngulo de 74. Calcular:

a) La velocidad relativa de 1 respecto a 2b) El tiempo despus del cual la distancia relativa entre ambos sea 960 cm.7.12. Dos argollas se desplazan por dos carriles que se cortan en ngulo recto con velocidades

constantes vA = 12 mis y vB = 9 cm/s. A partir de las posiciones mostradas se pide calcular:a) La distancia mnima a la que se encontrarn los cuerpos durante sus movimientos.b) El tiempo necesario para que se presente la distancia mnima.

7.13. Un barco en el Ecuador navega hacia el Este con una velocidad v = 7 mis. Desde el Sureste hacia el Ecuador sopla un viento con una velocidad v = 15 mis, formando un ngulo = 53 con el Ecuador. Hallar la velocidad v del viento respecto al barco y el ngulo entre el Ecuador y la direccin del viento en el sistema de referencia ligado con el barco.7.14. Un automvil parte del reposo con una aceleracin a, = 6 mis1 en el preciso instante que

pasa por su costado y en el mismo sentido un mnibus que acelera a razn de a2 = 7 mis2. Determinar la aceleracin que tiene el automvil para un pasajero que va en el mnibus.7.15. Un automvil sube por una pendiente inclinada 30 con la horizontal con una aceleracin

constante de 6 mis1 Si el conductor ve caer una gota de lluvia delante de l, Cul es la aceleracinrelativa de la gota para el conductor?, g = 10 mis1.Movimientos dependientes

7.16. El bloque 2 de la figura se mueve con una aceleracin a2 = 6 mis2. Calcular la aceleracin que poseer el bloque 1, si en todo momento las cuerdas que los unen se mantienen tensas, y adems los dos inician sus movimientos simultneamente.

H iIFig. Prob 7.16

7.17. Dado el conjunto de bloques mostrado, se pide determinar la aceleracin del bloque B, s el bloque A desciende con una aceleracin nA = 8 mls~.

7.18. Tres bloques 1, 2 y 3 se mueven en un plano horizontal con aceleraciones conocidas i = 5 mis2 y a2 = 3 mis2 respecto a un sistema de referencia fijo a Tierra. Cul deber ser la aceleracin del bloque 3 para que las cuerdas que los relacionan se mantengan tensas?.


7.19. Una cua 1 se encuentra entre dos muros horizontales y se apoya sobre la cara inclinada de una cua 2, la que se desplaza horizontalmente con una aceleracin a2 = 8 m/s1. Calcular la aceleracin con la cual desciende la cua 1 (0 = 37).Nota Los movimientos se realizan en el plano horizontal.

Fig. Prob. 7.187.20. Una cua 2 se desplaza con una velocidad v7 = 6 m/s. Cul ser la velocidad con la cual el bloque 1 se deslizar sobre la cara inclinada de la cua 2 desde un sistema de referencia ubicado en el piso?, a =60.

Fig. Prob. 7.19 Fig. Prob. 7.207.21. Cuando el bloque2 se encuentra sobre el suelo, el otro extremo est sujetando al bloque 1 en A. Si ste se

mueve horizontalmente con una velocidad constante v)t determinar la velocidad del bloque2 para todo instanter.

O Movimientos Compuestos - Movimiento Parablico8.1. Movimientos compuestosdT = d t + d2 + ..... (8.1)vT = v, + v2 + ..... (8 .2)d j - d l + a2 + ..... (8.3)

donde d, , a son respectivamente el desplazamiento, velocidad y aceleracin en un movimiento componente definido.8.2. Principio de independencia de los movimientos (Galilco)

Los movimientos componentes en un movimiento compuesto se desarrollan independientemente uno de otro, es decir, el desarrollo de un movimiento no se ve alterado por la presencia de otro".8.3. Movimiento parablico

Cuando un cuerpo se mueve en un campo gravitatorio, este movimiento es una cada libre, siendo su trayectoria una lnea curva llamada parbola.8.3. a. Caso 1 (Figura 8.1)

Tiempo de vuelo: 7 = 2v0 . sen0 8 (8.4)

Altura mxima: H =1 . sen20

2 8 (8.5)

Alcance horizontal: L = 2v2 . sen0 . cos0 8v2 . sen 20

8Relacin entre H y TRelacin entre H y L tg

8.3.b. Caso 2. (Figura 8.2)Movimiento horizontal:

H= 118 g T 20 = 4H /L

vx = vo cos0 - constante

(8.6)

(8-7)(8.8)

(8.9)(8.10)x v. . /


Movimiento vertical voy = vQ . sen0 (8.11)= % + g t (8.12)

y'= voy - i - 1/2 gr2 (8.13)

Fg. 8.1 Fig. 8.2

Ecuacin de la trayectoria : y = v tg 0 g2vcos0 y = x (1 - x/L) tg 0

Velocidad total: vT = y + vy

(8-14)

(8.15)(8.16)

Nota En las ecuaciones presentadas se considera que el movimiento se inicia en el origen de coordenadas

PROBLEMASMovimientos compuestos

8.1. Un bote anclado en el medio de un ro inicia su movimiento ro abajo, y luego de cierto tiempo da la vuelta y se mueve ro arriba. Si la velocidad del bote respecto al no es 5 mis, y de aquel respecto al fondo es 3 mis. Cules son las velocidades del bote ro abajo y ro arriba?.8.2. Unalanchaque navegaroabaiodejatrs una balsa en un puntoA. Transcurrido 1 h lalancha dio la vuelta y volvi a encontrar a la balsa 6 km ms abajo del puntoA. Calcularla velocidad de la corriente, si a lo largo del trayecto el motor trabaj por igual.8.3. Un bote sale del punto A de la orilla de un ro que tiene 144 ni de ancho y cuyas aguas tienen una velocidad de 5 mi sen unadireccin AB perpendicular a las orillas. Si la velocidad del bote respecto a las aguas es 12 m is, calcular:

a) En cunto tiempo cruza el ro.b) A qu distancia del punto B logra desembarcar.

Movimientos Compuestos - Movimiento Parablico 63

8.4. Un bote navega a una velocidad de 6mis respecto a las aguas de un ro, que asu vez se desplaza a razn de 3 mis. Qu ngulo debe mantener el bote respecto a la corriente para que sta lo arrastre lo menos posible?.8.5. Una lancha de motor cruza un ro perpendicularmente respecto a su corriente que acelera

sus aguas a razn de 4 m/s2. Si la velocidad que le produce el motor a la lancha es 6 ruis, Qu trayectoria describe el movimiento de aquella, y cuntos metros fu arrastrada por la corriente hasta que lleg a la otra orilla?. El ancho del ro es 60 m.8.6. Una lancha sale perpendicularmente de un punto A de la orilla de un ro cuyo ancho es 90

m, y parte del reposo con una aceleracin de 5 mis2. Sabiendo que llega a la otra orilla en un punto B distante 144 m de un punto C, el mismo que dista 90 m del punto A, calcular la aceleracin de la corriente de agua.Movimiento parablicoNota: Para todos los problemas considerar g = 10 mis , salvo que se diga lo contrario.

8.7. Desde el borde de la azotea de un edificio se lanza horizontalmente una piedra a razn de 8 mis. Si la azotea est a 80 rn del piso, calcular a qu distancia del pie del edificio logra caer la piedra.8.8. Un avin bombardero avanza horizontal mente a una altura de 500 m y con una velocidad de HOkmlh. A qu distancia horizontal de un blanco que tiene adelante deber soltar una bomba para eliminarlo por completo?.8.9. Desde lo alto de una torre de 100 m de altura se lanza una piedra horizontalmente con una velocidad de 30 mis. Cuando han transcurrido 4 s, se pide determinar:

a) La distancia horizontal avanzada.b) La altura a la que se encuentra respecto al piso.c) La velocidad total del proyectil.8.10. Un hombre que viaja horizontalmente sobre una plataforma lanza hacia arriba un llavero con la velocidad de 10 mis. A qu velocidad deber viajar la plataforma para que el llavero logre caer sobre las manos del hombre despus que la plataforma haya avanzado 40 m i.8.11. Un proyectil es lanzado desde el piso (punto (0, 0) m), y alcanza su altura mxima en el punto (30; 20) rn. Calcular:

a) El ngulo de lanzamiento 0.b) La velocidad de lanzamiento vQ.8.12. Un avin est volando horizontalmente a una altura de 490 m con una velocidad de 98 mis . En el instante que el avin est directamente sobre un can antiareo, ste dispar un proyectil contra el avin Calcular el ngulo de disparo, sabiendo que la velocidad inicial del proyectil es mnima para dar en el blanco (g 9,8 mis).8.13. Un mortero de trinchera dispara un proyectil con un ngulo de 53 con la horizontal con una velocidad de 50 mis . Un tanque est avanzando directamente hacia el mortero sobre un piso a nivel con una rapidez de 5 m/s. Cul debe ser la distancia del mortero al tanque en el instante que aquel dispara de modo que logre hacer blanco?.8.14. Un jugador polaco arremete con todo su coraje contra la valla peruana. El loco Quiroga, arquero de la seleccin nacional, se encuentra en el punto A (saque de fondo), y se sabe que puede correr como mximo a razn de 10m/s en sus momentos de desesperacin. Sabiendo que el delantero logra impulsar el baln mediante una "chalaca" a razn de lOni/s, Qu podramos afirmar?.


a) Ser gol. ,b) Pasa por encima del parante.c) Quirooacoge la bola con suma facilidad.d) La pelota cnoca en el vrtice.e) Quiroga coge la bola con las justas.8.15. Desde el pie de una loma se dispara una pelota con una velocidad vG = 1 OOmJs, segn se indica

fcA qu distancia del pie de la loma impacta la pelota sobre ella?.

8.16. Dos proyectiles se lanzan simultneamente desde A y B con velocidades vj y vj respectivamente, y con ngulos de disparos a y P (a > P). A qu distancia horizontal x se producir el impacto entre los proyectiles?. Dar la respuesta en trminos de h, a y p.8.17. En el Grfico mostrado dos mviles son lanzados simultneamente, y chocan en el puntoM. Si el que sale de A lo hace con una velocidad de 50 mis y un ngulo de 37, Cul debe ser el ngulo y velocidad de lanzamiento del mvil que sale de B?.

Fig Prob. 8.16

M

8.18. Un muchacho de 1,5 m de estatura y que est parado a una distancia de i 5 m frente a una cerca de 5,25 m de altura lanza una piedra bajo un ngulo de 45 con la horizontal. Con qu velocidad mnima debe lanzar la piedra para que sta pase por encima de la cerca?

Movimientos Compuestos - Movimiento Parablico 65

8.19. Se lanza una pequea piedra con una velocidad vG = 10 mis en la forma mostrada en la figura. Si la piedra se introduce en un tubo que

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