REDES

REDES UGMA

Modelo deRedes

Se pueden representar en términos generales 

Modelo delArbol

Aplicaciones en las comunicaciones, redes electrónicas y en el transporte.

Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos

La maximización de Flujos

Modelo deRuta mas corta

El objetivo es encontrar la ruta más corta 

TrayectoriaSucesión de arcos distintos que conectan estos nodos

Editores:Mariacecilia TorrealbaGregorio MarínJosé RodríguezMaricelys Cedeño

EDITORIALREDES está diseñada para facilitar la divulgación de la investigación actual en el campo del análisis de redes. Por su carácter electrónico y su estructura organizativa pretende acortar los tiempos de publicación científica, proporcionando un sistema de referencia actualizado de su campo de estudio. La revista refleja su carácter multidisciplinar tanto en los contenidos como en la composición de sus editores.

Las redes de comunicación son uno de los sub campos dentro de la revolución de Internet que ha tenido un hiperdesarrollo, y tiende a seguir asombrando con las posibilidades que potencialmente permiten, lo que augura para el futuro la aparición de nuevo hardware y nuevos protocolos que la mente de muchos usuarios comunes no llegan a visualizar. La vida fluye día con día, a veces sin percatarnos de todo lo que con ella viene. Para algunos, saludarnos y darnos un beso de buenos días, es el alimento de nuestra alma para proseguir; para otros, el tener un buen empleo, buena posición económica y una familia, es suficiente y para otros más, es el saber que podemos estar cerca de los nuestros con el simple click de un mouse de computadora. Para todos y cada uno de nosotros, las prioridades las tenemos establecidas y eso es un aspecto que no podemos juzgar. Sin embargo, no podemos negar que la influencia de la tecnología ha cambiado invariablemente nuestra percepción de la vida.

CONTENIDOMODELO DE REDESCONCEPTOS BASICOS

RedArcos dirigidosArcos no dirigidosTrayectoria

dirigidaNo dirigida

CicloRed ConexaRuta

Longitud de una ruta

BosqueArborescenciaSubgraficaSubgrafica expandidaFunción de costoGradoGrafica BipartitaCapacidad de arcoNodo fuerteNodo demandaNodo de trasbordo

REDES DIRIGIDAS Y NO DIRIGIDASVISTA GENERAL DE PRACTICAS DE REDESOTRAS DEFINICIONESMODELOS

Modelo de flujo MáximoModelo de Ruta Mas corta

AlgoritmoIMPORTANCIA DEL PROBLEMAAPLICACIONESVARIACIONES DEL PROBLEMATIPOS DE PROBLEMASOFTWAREREFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

PAGINA040506060708080809091010101010111111111212121213141516182021232425262830

INDICE

MODELO DE REDES

La maximización de flujos

Una Red de Transporte es una grafica dirigida, simple, con pesos y que debe cumplir las siguientes:

Poseer una fuente o vértice fijo que no tiene aristas de entrada.Poseer un sumidero o vértice fijo que no tiene arista de salidaEl peso Cij de la arista dirigida de i a j llamado capacidad de “ij” es un numero no negativo.

Este es un ejemplo de una red que parte de un punto A que es un Muelle y llega a un punto Z que es una refinería.

CONCEPTOS BASICOS Y TERMINOLOGIA

Red: Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos (o vértices). Las líneas se llaman arcos (o ligaduras, aristas o ramas).Los arcos se etiquetan para dar nombres a los nodos en sus puntos terminales, por ejemplo, AB es el arco entre lo nodos A Y B.

En un problema de programación lineal, las redes pueden representar un conjunto de estaciones, campos petrolíferos, almacenes, fabricas, sucursales, ciudades, interconectadas entre si a través de caminos, conductos, tuberías que permiten fluir productos para la comercialización o la distribución.Arcos Dirigidos: Se dice que un arco es

dirigido cuando el arco tiene flujo en una dirección (como en una calle de un sentido). La dirección se indica agregando una cabeza de flecha al final de la línea que representa el arco.

Al etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodos que une, siempre se coloca primero al nodo de donde viene y después el nodo a donde va, esto es, un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otra Manera es AB.

A BAB

Arcos No Dirigidos: Si el flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones (como una tubería que se puede usar para bombear fluido en ambas direcciones), se dice que es un arco no dirigido.También se les llama ligadura. Aunque se permita que el flujo a través de un arco no dirigido ocurra en cualquier dirección, se supone que ese flujo será en una dirección, en la seleccionada, y no se tendrá flujos simultáneos en direcciones opuestas.

A BAB

Trayectoria: Una trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos que conectan estos nodos. Por ejemplo, una de las trayectorias que conectan los nodos O y T en la figura 1 es la sucesión de arcos OB-BD-DT (OBDT), y viceversa.Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos, se hace la distinción entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas.

Trayectoria Dirigida: Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) es hacia el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j, a través de esta trayectoria es factible.

Trayectoria No Dirigida: Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) pueden ser hacia o desde el nodo j. Con frecuencia alguna trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos hacia el nodo j y otros desde él (es decir, hacia el nodo i).

Ciclo: Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. En la red no dirigida que se muestra en la figura 5 existen muchos ciclos, OA-AB-BC-CO.

Red Conexa: Una red conexa es una red en la que cada par de nodos está conectado. Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. Se debe resaltar que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red sea dirigida. La figura 1 representa una red conexa.

Ruta: Una ruta en una gráfica dirigida es una secuencia de nodos y arcos, además se requiere que todos los nodos sean diferentes. En el caso de que algunos nodos o arcos se repitan en la secuencia, se conoce como camino.

Longitud de una Ruta: La longitud de una ruta con la secuencia de arcos a1, a2,…, an es la suma de las longitudes de todos los arcos de la ruta, l(a1) + l(a2) +…+ l(a i j n). En general, la ruta más corta del nodo ai al nodo aj existe si y sólo si existe al menos una ruta entre ambos nodos. La distancia entre los nodos ai y aj será la longitud de la ruta más corta ai aj, y se denotará como d(ai , aj). Si la ruta ai aj no existe, entonces d(a , a ) es infinito (∞).Bosque: Es una gráfica sin ciclos, se considera también como un conjunto de árboles.

Arborescencia: Es un árbol dirigido con un nodo llamado raíz.

Subgráfica: Es un subconjunto de nodos y arcos de una gráfica. Si un arco se incluye, los dos nodos incidentes también se incluyen.

Subgráfica Expandida: Una subgráfica que contiene todos los nodos de la gráfica original.

Función de Costo: Sea c una función que asocia a cada elemento de E un costo respectivo. La función puede representar: costo, distancia, tiempo, etc.

Grado: Es el número de arcos incidentes en un nodo. En una digráfica existen: el grado interior, es el número de arcos que entran en un nodo. En la figura 1.3, el nodo d tiene grado interior de 2. ° ° y el grado exterior, es el número de arcos que salen de un nodo. En la figura 1.3, el nodo d tiene grado exterior de 1.

Gráfica Bipartita: Los nodos de la gráfica se dividen en dos conjuntos, con la característica de que todos los arcos conectan a los nodos desde un conjunto al otro.

Capacidad de Arco:

Es la cantidad máxima de flujo (quizás infinito) que puede circular en un arco dirigido.

Nodo Fuente: Nodo de origen tiene la

propiedad de que el flujo que sale del nodo excede al flujo que entra a él.

Nodo Demanda:(o nodo destino) es el

caso contrario al nodo fuente, donde el flujo que llega excede al que sale de él. Nodo de

Trasbordo:satisface la

conservación del flujo, es decir, el flujo que entra es igual al que sale.

REDES DIRIGIDAS Y NO DIRIGIDAS

Red Dirigida: Es una red que tiene solo arcos dirigidos.En una red dirigida, un ciclo puede ser dirigido o no dirigido, según si la trayectoria en cuestión es dirigida o no dirigida. (Como una trayectoria dirigida también es no dirigida, un ciclo dirigido es un ciclo no dirigido, pero en general el inverso no es cierto.) Por ejemplo en la figura 9 DE-ED es un ciclo dirigido. Por contrario, AB-BC-CA no es un ciclo dirigido puesto que la dirección del arco AC es opuesta a la de los arcos AB y BC. Por otro lado, AB-BC-AC no es un ciclo dirigido porque ABCA es una trayectoria no dirigida.

Red No Dirigida: Es una red donde todos sus arcos son no dirigidos. La figura 10 representa una red no dirigida.

VISTA GENERAL DE ALGUNAS APLICACIONES PRÁCTICAS DE LA OPTIMIZACIÓN DE REDES

Diseño de redes de telecomunicación (redes de fibra óptica, de computadores, telefónicas, de televisión por cable, etc.)

Diseño de redes de transporte para minimizar el costo total de proporcionar las ligaduras (vías ferroviarias, carreteras, etc.)

Diseño de una red de líneas de transmisión de energía eléctrica de alto voltaje.

Diseño de una red de cableado en equipo eléctrico (como sistemas de computo) para minimizar la longitud total del cable.

Diseño de una red de tuberías para conectar varias localidades.

Diseño de una red de tuberías de gas natural mar adentro que conecta fuentes del golfo de México con un punto de entrega en tierra con el objetivo de minimizar el costo de construcción.

Determinación de la ruta más corta que une dos ciudades en una red de caminos existentes.

Determinar la capacidad anual de máxima en toneladas de una red de conductos de pasta aguada de carbón que enlaza las minas carboneras de Wyoming con las plantas generadoras de electricidad Houston. (Los conductos de pasta aguada de carbón transportan éste bombeando agua a través de tubos adecuadamente diseñados que operan entre las minas de carbón y el destino deseado.)

Determinación del programa de costo mínimo de los campos petrolíferos a refinerías y finalmente a los campos de distribución. Se pueden enviar petróleo crudo y productos derivados de la gasolina en buques tanque, oleoductos y/o camiones. Además de la disponibilidad de la oferta máxima en los campos petrolíferos y los requisitos de demanda mínima en los centros de distribución, deben tomarse en cuenta restricciones sobre la capacidad de las refinerías y los modos de transporte.

OTRAS DEFINICIONESRed Residual: Una red residual muestra las capacidades restantes (llamadas capacidades residuales) para asignar flujos adicionales.Trayectoria de Aumento: Una trayectoria de aumento es una trayectoria dirigida del nodo fuente al nodo destino en la red residual, tal que todos los arcos en ese trayectoria tienen capacidad residual estrictamente positiva. El mínimo de estas capacidades residuales se llama capacidad residual de la trayectoria de aumento porque representa la cantidad de flujo que es factible agregar en toda la trayectoria. Por lo tanto, cada trayectoria de aumento proporciona una oportunidad de aumento más el flujo a través de la red original.

MODELOS:Los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de uno de estos cuatro modelos:

Modelo de minimización de redes (Problema del árbol de mínima expansión).

El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en al solución del problema.

Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características:

Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y tiempo.)

Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos.

El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red.

Una red con n nodos requiere sólo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante formen un árbol de expansión. Por tanto el problema es hallar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras.

Algoritmo para construir el árbol de expansión mínima:

1. Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano.

2. Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que todos los nodos están conectados.

3. Empates: los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el nodo no conectado más cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar a una solución optima. No obstante, estos empates son señal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones optimas múltiples. Todas esas soluciones se pueden identificar si se trabaja con las demás formas de romper los empates hasta el final.

.

Árbol de Expansión: es una red conexa para los n nodos, que contiene ciclos no dirigidos. Todo árbol de expansión tiene justo n-1 arcos, ya que este es el número mínimo de arcos necesarios para tener una red conexa y el máximo numero posible para que no haya ciclos no dirigidos.

Modelo de Flujo MáximoSe trata de enlazar un nodo fuente y un

nodo destino a través de una red de arcos dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible. El objetivo es el de obtener la máxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino.

Características:

Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino.

Los nodos restantes son nodos de trasbordo. Se permite el flujo a través de un arco sólo en

la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dad por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia fuera. En el destino, todos señalan hacia el nodo.

El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino.

El problema de flujo máximo se puede formular como un problema de programación lineal, se puede resolver con el método símplex y usar cualquier software. Sin embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas mucho más eficientes. El algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de red residual y el de trayectoria aumentada.Algoritmo de la trayectoria de aumento para el

problema de flujo máximo:•Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva. (Si no existe una, los flujos netos asignados constituyen un patrón del flujo óptimo).•Se identifica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento encontrando el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se aumenta en c* el flujo de esta trayectoria.•Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. Se regresa la paso 1.

Modelo de la ruta más corta

Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino.

Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino.

ALGORITMO DE LA RUTA MAS CORTA:

Objetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen. (Este paso se repetirá para n=1,2,… hasta que el n-ésimo nodo más cercano sea el nodo destino.)

Datos para la n-ésima iteración: n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos.)

Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano: Cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un candidato, y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales.)

Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta más corta es la que genera esta distancia.

El problema de la ruta más corta es uno de los problemas más importantes de optimización combinatoria con muchas aplicaciones, tanto directas como subrutinas en otros algoritmos de optimización combinatoria. Los algoritmos para este tipo de problemas han sido estudiados desde la década de los 50’s y continúan siendo un área activa de investigación. De hecho, ha sido el objetivo de una investigación extensiva durante muchos años y ha dado como resultado la publicación de un gran número de documentos científicos.

Encontrar la ruta más corta entre dos nodos de una red, en la cual cada arco tiene un costo (o longitud) no negativo es un problema que a menudo se presenta en cierto tipo de actividades. El objetivo es minimizar el costo (tiempo o longitud) total.

El ejemplo más sencillo para explicar el problema de la ruta más corta es tomar el viaje de una persona que quisiera ir de la Ciudad de México a la ciudad de Monterrey, Nuevo León, podría tener varias alternativas dependiendo de sus intereses, es decir, si deseara llegar más rápido (minimizando el tiempo o la distancia) o de una forma más económica (minimizando el costo), toda vez que cada carretera tiene una longitud específica (kms.) y un precio por el derecho de transitar en ella (costo).

Entonces, el problema consiste en encontrar la ruta más eficiente (la ruta mínima) con base en la longitud o el costo. Este problema se representa por una red, donde las ciudades son identificadas por nodos y las carreteras por arcos.

IMPORTANCIA DEL PROBLEMA

El problema de la Ruta más Corta es fundamental en muchas áreas, como son: investigación de operaciones, ciencia de la computación e ingeniería. Algunas de las razones son:

i. La amplia variedad de aplicaciones prácticas como es el envío de algún material entre dos puntos específicos de la forma más eficiente, económica o rápida.

ii. Existen métodos de solución eficientes, los cuales al ser aplicados a una red con características específicas (acíclica y con costos no negativos), proveen una solución exacta a un tiempo y costo razonables.

iii. Se puede utilizar como inicio en el estudio de modelos complejos de redes, esto es, cuando no se conoce la estructura de la red se pueden aplicar algoritmos para conocer algunas características de la red (presencia de ciclos negativos).

iv. Se utiliza frecuentemente como subproblemas (subrutinas) en la solución de problemas combinatorios y redes, así en el caso de problemas para los cuales no existe un algoritmo de solución exacto (p. e. problemas NPcompletos), la aplicación de algoritmos de ruta más corta, resultan auxiliares para encontrar una buena solución.

APLICACIONES

El problema de ruta más corta tiene muchas aplicaciones prácticas, algunas son: encontrar la ruta más corta o más rápida entre dos puntos en un mapa, redes eléctricas, telecomunicaciones, transporte, planeación de tráfico urbano, trasbordo, diseño de rutas de vehículos, planeación de inventarios, administración de proyectos, planeación de producción, horarios de operadores telefónicos, diseño de movimiento en robótica, redes de colaboración entre científicos, reemplazo de equipo, etc.

Además, como se mencionó anteriormente los algoritmos de solución pueden adaptarse en la búsqueda inicial de una solución aproximada de problemas complejos, esto significa que la aplicación consiste precisamente en proveer estructura para varios problemas de optimización combinatoria como: el problema de la mochila, secuencia de alineación en biología molecular (secuenciación del ADN), el problema del agente viajero, etc.

VARIACIONES DEL PROBLEMA

Las diferentes formas que puede presentar el problema de la ruta más corta son:

Del nodo fuente s al nodo sumidero t. Para que exista solución se debe cumplir:

i. Existe al menos una trayectoria entre s y t.

ii. No existen circuitos negativos tales que haya una ruta de s a algún nodo del circuito y otra de algún nodo del circuito a t.

Del nodo fuente s a todo nodo de la red i. Para que exista solución se debe cumplir:

i. Existen rutas de s a i.

ii. No existen circuitos negativos en la red.

Entre todo par de nodos. Para que exista solución se debe cumplir:

ii. Existe, al menos, una trayectoria entre todo par de nodos.

ii. No existen circuitos negativos en la red. Conceptos Básicos

TIPOS DE PROBLEMASLas rutas a encontrar pueden ser: a. formadas por un simple arco, (s, t), o b. la ruta del nodo s al nodo t que atraviesa por otros nodos. Además de forma independiente de la variación del problema, se pueden tener los siguientes casos:

El tipo más sencillo del problema de la ruta más corta es cuando la longitud de cada arco es 1. Esto significa que la longitud de la ruta es exactamente el número de arcos que contiene.

Cuando todos los arcos tienen distancias (costos) no negativas y no existen circuitos en la red.

Cuando no existen ciclos dirigidos.

Cuando no existen ciclos dirigidos con longitudes negativas.

Ruta más corta en gráficas no dirigidas con longitudes de los arcos no negativas. En este caso, se reemplaza cada arco no dirigido uv por dos arcos dirigidos uv y vu, con la misma longitud que uv.

Cuando existen arcos con costos negativos. Actualmente no se conoce un algoritmo que resuelva este tipo de problema polinomialmente, y la teoría de la complejidad computacional parece indicar que no existe un algoritmo. En gráficas no dirigidas con al menos un arco con longitud negativa. En este caso, al reemplazar el arco uv por uv y vu, juntos forman un ciclo

La teoría de la Complejidad Computacional sirve para evaluar la eficiencia de los algoritmos, pero también ayuda a clasificar los problemas de tal manera que puede saberse previamente si la búsqueda de un algoritmo es posible o no, evitando así trabajo innecesario.

SOFTWAREAl igual que un equipo no puede trabajar sin un

sistema operativo, una red de equipos no puede funcionar sin un sistema operativo de red. Si no se dispone de ningún sistema operativo de red, los equipos no pueden compartir recursos y los usuarios no pueden utilizar estos recursos.

Dependiendo del fabricante del sistema operativo de red, tenemos que el software de red para un equipo personal se puede añadir al propio sistema operativo del equipo o integrarse con él.

RetDare de UNIX es el ejemplo más familiar y famoso de sistema operativo de red donde el software de red del equipo cliente se incorpora en el sistema operativo del equipo. El equipo personal necesita ambos sistema operativos para gestionar conjuntamente las funciones de red y las funciones individuales.

Es un componente software de una computadora que tiene como objetivo coordinar y manejar las actividades de los recursos del ordenador en una red de equipos. Consiste en un software que posibilita la comunicación de un sistema informático con otros equipos en el ámbito de una red.

Dependiendo del fabricante del sistema operativo de red, tenemos que el software de red para un equipo personal se puede añadir al propio sistema operativo del equipo o integrarse con él. RetNare de UNIX es el ejemplo más familiar y famoso de sistema operativo de red donde el software de red del equipo cliente se incorpora en el sistema operativo del equipo. El equipo personal necesita ambos sistema operativos para gestionar conjuntamente las funciones de red y las funciones individuales.

El software del sistema operativo de red se integra en un número importante de sistemas operativos conocidos, incluyendo Windows 2000 Server/Professional, Windows NT Server/Workstation, Windows 95/98/ME y Apple Talk.

Cada configuración (sistemas operativos de red y del equipo separados, o sistema operativo combinando las funciones de ambos) tiene sus ventajas e inconvenientes. Por tanto, nuestro trabajo como especialistas en redes es determinar la configuración que mejor se adapte a las necesidades de nuestra red.

REFERENCIASBIBLIOGRAFICAS

http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/xmlui/bitstream/handle/132.248.52.100/539/A4.pdf?sequence=4

https://angelux07.wordpress.com/investigacion-de-operaciones/

http://www.monografias.com/trabajos16/flujo-redes/flujo-redes.shtml

Frederick S. Hiller y Gerald J. Liberman. Investigación De Operaciones. McGraw-Hill. Séptima Edición. 2002.

http://es.slideshare.net/crisrm1/expo-1-modelo-de-redes