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L A U T I L I Z A C I Ó N D E L A S

C O O R D E N A D A S P O L A R E S

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N

M i é r c o l e s 2 4 , d e s e p t i e m b r e d e l 2 0 1 4

E L M A T E M A T I C O

E L M A T E M A T I C O

Sistema de

coordenadas

polares

1

Graf icas de

ecuaciones en

coordenadas

polares

2

Intersección de

Gráf icas en

Coordenadas

Polares

3

Calcular e l

Área de una Re-

gión Plana en

Coordenadas

Polares

3

Sistema de

coordenadas

c i l índricas.

4

Sistema de

coordenadas

esféricas

5

Como cambiar

de coordenadas

polares a es fé-

r icas y c i l indr i-

6

¿Que son las coordenadas polares?

Las Coordenadas polares es un sistema

que define la posición de un punto en un

espacio bidimensional, el cual cada punto

en el plano se define por un ángulo con el eje

polar (θ) y una distancia al polo (d).

Un sistema de coordenadas es un conjunto

de valores en el cual se puede definir unívoca-

mente la posición de cualquier punto de un

espacio geométrico, respecto de un punto

denominado origen. Posee un conjunto de

ejes, puntos o planos que confluyen en el ori-

gen y a partir de los cuales se calculan las

coordenadas de cualquier punto, constituyen

lo que se denomina sistema de referencia.

Es muy útil utilizar las coordenadas cartesianas

para definir una función en el plano o en el

espacio.

Aunque en muchos otros, definir ciertas fun-

ciones en dichas coordenadas puede resultar

muy tedioso y complicado.

En estos casos, se debe hacer uso de las coor-

denadas polares o esféricas, hacer uso de estas

puede simplificarnos la vida.

A lo largo de nuestra vida hemos usado siem-

pre coordenadas cartesianas. En ocasiones es

conveniente usar otros sistemas de las mis

mas. Por ejemplo, en el plano podemos usar

las coordenadas polares, que permiten expre-

sar ciertas curvas en forma mucho más simple

que las ecuaciones que ligan sus coordenadas

cartesianas. En el espacio, en lugar de usar las

cartesianas, podemos usar las coordenadas

cilíndricas o esféricas.

Formado por dos ejes en el plano, tres en el

espacio, mutuamente perpendiculares que se

cortan en el origen. Las coordenadas de un

punto cualquiera vendrán dadas por las pro-

yecciones de la distancia entre el punto y el

origen sobre cada uno de los ejes.

Este sistema de referencia está constituido por

un eje que pasa por el origen.

La primera coordenada es la distancia existen-

te entre el origen y el punto, mientras que la

segunda es el ángulo que forman el eje y la

recta que pasa por ambos puntos.

Eje x

Eje y

Origen

d

θ

Página 1

Las calculadoras dibujan

gráficas de r = f (θ) al

hallar el valor de f

(θ) para numerosos va-

lores de θ a intervalos

espaciados regularmente,

y dibujando luego los

puntos resultantes (x,y).

Usted debe ser cons-

ciente de que la aparien-

cia de la gráfica en calcu-

ladora depende de la

ventana de graficación

especificada x-y, y tam-

bién del rango de los

valores mostrados de θ.

Cuando se dibujan

gráficas en coordenadas

polares, debe identificar-

se algunos valores mos-

trados de θ correspon-

dientes a r = 0 o donde r

alcanza un máximo o un

mínimo. Además, debe

identificar el rango de

valores de θ que produ-

cen una copia de la curva

polar, cuando ésta es

apropiada. Se deduce

que muchas curvas fami-

liares tienen ecuaciones

polares sencillas

Gráfica de una Ecua-

ción Polar

La gráfica de una

ecuación polar r = f(θ)

es el conjunto de puntos

(x,y) para los cua-

les x = r cos

θ , y = r sen θ y r = f

(θ). En otros términos,

la gráfica de una ecua-

ción polar es una gráfica

en el plano xy de todos

los puntos cuyas coorde-

nadas polares satisfacen

la ecuación dada.

Comience por dibu-

jar dos gráficas sencillas

( y familiares). La clave

para dibujar las mismas

de una ecuación polar, es

mantener siempre pre-

sente que representan

las coordenadas polares.

Con estos conceptos

básicos de localización

de puntos en el sistema

de coordenadas polares,

podemos graficar funcio-

nes y no sólo puntos. En

este tipo de funciones la

variable independiente

es θ y la dependiente es

r, así que las funciones

son del tipo r = r(θ). El

método para graficar

estas funciones es el si-

guiente, primero grafica-

mos la función r = r(θ)

en coordenadas rectan-

gulares y a partir de esa

gráfica trazamos la co-

rrespondiente en pola-

res. Guiándonos con la

dependencia de r con

respecto a θ.

Recordemos que θ

es la variable indepen-

diente y generalmente va

de 0 a 2π.

Continúe viendo la

información en el archi-

vo que esta al final de la

unidad.

G r a f i c a s d e e c u a c i o n e s e n

c o o r d e n a d a s p o l a r e s

El calculo

vectorial es una

herramienta

fundamental

para el

desarrollo

intelectual e

incremento del

conocimiento.

Página 2 E L M A T E M A T I C O

Ahora que ya conoces

las coordenadas polares

y observó una variedad

de gráficas de las mis-

mas, el próximo paso

consiste en extender las

técnicas del cálculo al

caso de intersección de

ecuaciones en dichas

coordenadas polares,

con el propósito de bus-

car todos los puntos de

dicha intersección.

Puesto que un punto

puede representarse de

formas diferentes en

coordenadas polares,

debe tenerse especial

cuidado al determinar

los puntos de intersec-

ción de dos gráficas pola-

res, por lo que se sugie-

re realizar el dibujo de

las ecuaciones, inclusive

cuando más adelante

calculemos el área de

una región polar.

De igual forma el

problema de hallar los

puntos de intersección

de dos gráficas polares

con el de encontrar los

puntos de colisión de

dos satélites en órbita

alrededor de la tie-

rra, dichos satélites no

entrarían en colisión en

tanto lleguen a los pun-

tos de intersección en

tiempos diferentes

(valores de q).

La colisión se produ-

cirá solamente en aque-

llos puntos de intersec-

ción que sean "puntos

simultáneos", aquellos a

los que se llega en el

mismo instante (valor

de q).

I n t e r s e c c i ó n d e G r á f i c a s e n

C o o r d e n a d a s P o l a r e s

Página 3 E L M A T E M A T I C O

C a l c u l a r e l Á r e a d e u n a

R e g i ó n P l a n a e n C o o r d e n a d a s

P o l a r e s

Consideremos la función

dada por r= f(q), donde f

es continua y no negativa

en el intervalo [ a , b ] .

La región limitada por la

gráfica para hallar el área

de esta región, partimos

el intervalo [ a , b ] en n

subintervalos igua-

les a = q < q < q <.....

...< q < q = b

A continuación apro-ximamos el área de la región por la suma de las mismas de los n secto-

res,

El desarrollo de una fór-

mula para el área de una

región polar va paralelo

al de zonas en sistema

de coordenadas rectan-

gulares, pero con secto-

res de un círculo en lu-

gar de rectángulos como

elementos básicos de

dicha área. En la figura se

observa que la superficie

de un sector circular de

radio r viene dada por:

Luego de haber nota-

do el teorema anterior,

podemos decir que usar

la fórmula para hallar el

área de una región limi-

tada por la gráfica de una

función continua no ne-

gativa. Sin embargo, no

es necesariamente válida

si f toma valores positi-

vos y negativos en el

intervalo [ a , b ] .

E L M A T E M A T I C O Página 4

S i s t e m a d e c o o r d e n a d a s c i l í n d r i c a s

Es un sistema de

coordenadas para de-

finir la posición de

un punto del espacio

mediante un ángulo,

una distancia con res-

pecto a un eje y una

altura en la dirección

del eje.

Las coordenadas cilín-

dricas son muy conve-

niente en aquellos ca-

sos en que se tratan

problemas que tie-

nen simetría de ti-

po cilíndrico, Se trata

de una versión en tres

d i m e n s i o n e s d e

las coordenadas pola-

res.

Estas son muy útiles

para definir la posi-

ción de un punto del

espacio mediante un

ángulo. Una distan-

cia con respecto a

un eje y una altura

en la dirección del

eje.

Uno de los ejemplos

más sencillos de uso

de las coordenadas

cilíndricas lo propor-

cionan las grúas. Para

controlar la posición

de la carga, es preci-

so indicar el ángulo

d e g i r o d e

la flecha (el brazo de

l a g r ú a ) , d a d o

por , la altura a la

que se sube la carga (

), y cuanto hay que

desplazarla a lo largo

de la flecha ( ).

Por lo tanto las

coordenadas cilíndri-

cas son de mucha

ayuda para la elabo-

ración de diversos

trabajos que se efec-

túan en dicha empre-

sa.

Las coordenadas ci-

líndricas es el equiva-

lente en 3D a la in-

troducción de coor-

denadas polares en

2D. Especifica una

coordenada adicional

en un eje perpendi-

cular al plano XY. Las

coordenadas cilíndri-

cas definen puntos

mediante la distancia

desde el origen SCP

en el plano XY, el

ángulo desde e l

e j e X e n e l

plano XY y el valor Z.

Nota

Son aplicables

aquí los mismos

conceptos y no-

ciones respecto

a sistema de

coordenadas

curvilíneas orto-

gonales.

E L M A T E M A T I C O Página 5

S i s t e m a d e c o o r d e n a d a s e s f é r i c a s

E l s i s t e m a

de coordenadas esfé-

ricas se basa en la

m i sm a i d e a que

las coordenadas pola-

res y se utiliza para

determinar la posición

espacial de un punto

mediante una distan-

cia y dos ángulos.

En consecuencia, un

punto P queda repre-

sentado por un con-

junto de tres magnitu-

des: el radio ,

e l á n g u l o p o -

lar o colatitud θ y

el azimut φ.

Algunos autores utili-

zan la latitud, en lugar

de colatitud, en cuyo

caso su margen es de

-90° a 90° (de -π/2 a

π/2 radianes), siendo

el cero el plano XY.

También puede variar

la medida del acimut,

según se mida el ángu-

lo en sentido reloj o

contrarreloj, y de 0° a

360° (0 a 2π en radia-

nes) o de -180° a

+180° (-π a π).

Coordenadas esféricas

son útiles en sistemas

que tienen un cierto

grado de simetría al-

rededor de un punto,

tal como integrales de

volumen dentro de

una esfera, el campo

de energía potencial

que rodea una masa

concentrada o cargo,

o simulación de tiem-

po global en la atmós-

fera de un planeta

analizar. Una esfera

que tiene la ecuación

cartesiana x2 y2 z2 =

c2 tiene la simple

ecuación r = c en

coordenadas esféricas.

El sistema de coorde-

nadas esféricas también

de uso general en el

desarrollo de juegos

3D para rotar la cáma-

ra alrededor de la posi-

ción del jugador.

Autores

Luis Rodríguez 22195160

Kal ianton i Chir inos 24399497

Pedro de la Rosa 24386434

E L M A T E M A T I C O

Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/

Coordenadas_esf%C3%

A9ricas

http://centrodeartigo.com/

articulos-utiles/

article_121389.html

http://ocw.uc3m.es/ingenieria

-mecanica/astronomia-

mecanica-celeste-y-

exploracion-espacial/material

-de-clase-1/

Te-

ma_1_2_La_observacion_del

_cielo.pdf

file:///C:/Users/Tesalio/

Downloads/El%20Calculo%

20-%20Louis%20Leithold.pdf

http://

www.wikimatematica.org/

index.php?

title=Coordenadas_Cil%C3%

¿Cómo cambiar el tipo de

coordenadas?

A medida que el sistema de

coordenadas esféricas y cilín-

dricas son sólo sistemas de

coordenadas tridimensionales,

existen ecuaciones para la

conversión de coordenadas

entre el sistema de coordena-

das esféricas y cilíndricas.

De esféricas y cilíndricas a po-

lares

En coordenadas esféricas, un

punto se puede obtener a par-

tir de sus coordenadas carte-

sianas por fórmulas.

Así la tangente inversa deno-

tado en f = arctan debe ser

adecuadamente definido, te-

niendo en cuenta el cuadrante

correcto

En este punto podemos decir

que las coordenadas polares

son muy útiles a la hora de

resolver problemas en 3 di-

mensiones, también se puede

llevar mediante las formulas a

coordenadas polares.

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas

E L M A T E M A T I C O