resumen final cálculo 1

7/23/2019 Resumen Final Cálculo 1

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Resumen para fnal de Cálculo I Tomas Kancyper

Valor absoluto

o Defnición: el valor absoluto de un número a denotado |a| , se

defne:

|a|={ a sia ≥0

−as i a<0

|2 b+3|={ 2 b+3 si2 b+3 ≥ 0 →b ≥−3

2

−(2 b+3 ) si2 b+3<0 →b<−3

2

o Observaciones:

! "ara todo número real a , |a|≥ 0

#! ∀ a∈ R ,|−a|=|a|

$! ∀ a∈ R ,2

√ a2=|a|

%! ∀ a , b∈ R y b>0⟺a=b ó a=−b

&! ∀ a , b∈ R ,|a|=|b|⟺a=b ó a=−b

o Teorema: propiedades del valor absoluto! 'ean a y b

números reales y n entero

! |a . b|=|a|.|b|

#! |ab|=|a|

|b|b ≠ 0

$! |an|=|a|n

o Teorema: propiedades del valor absoluto referente a

desigualdades! 'ean a y b números reales y+¿

k ∈ R¿

! −|a|≤ a ≤|a|

#! |a|≤ k si y solo si −k ≤ a ≤ k

$! |a|≥ k si y solo si a ≥ k ó a ≤−k

%! |a+b|≤|a|+|b|desiguald ad triangular

o Distancia entre dos puntos

"á(ina




• 'ean a y b dos puntos, la distancia entre estos )denotada

d (a , b) se defne:

d (a , b)=|a−b|

d (a , b)=d (b , a)

• Funciones

o *na +unción f de un conunto X en otro conunto Y es una

correspondencia -ue le asi(na a cada elemento x∈ X e.actamente

un sólo valor y∈Y

o 'e dice -ue y es la ima(en de x bao f y se denota f ( x)

o

/otación: y=f ( x)

o 0l dominio de la +unción son los valores de x para los cuales está

defnida la re(la de correspondenciadomf = x

o 0l ran(o o recorrido de una +unción es el conunto de las imá(enes de

todos los elementos x∈domf

rgof = {f ( x ) : x∈domf }

o 0l dominio de una +unción puede estar e.pl1cito a continuación de la

re(la de correspondencia de la +unción o estar impl1cito en la ecuación-ue defne a la +unción! 0l dominio impl1cito vendr1a a ser el conunto denúmeros reales para los cuales tiene sentido la re(la decorrespondencia

o 2a (ráfca de una +unción defnida por la ecuación y=f ( x) es el

conunto de puntos { x , f ( x)} con x∈domf ! "or defnición de

+unción, cual-uier recta vertical puede cortar a la (ráfca de una +uncióncomo muc3o una sola ve4! 0s el criterio de la recta vertical

o Intersecciones con los ees:

! Vertical: es el punto (0, f ( 0 )) si 0∈domf

#! Horizontal: son los puntos (a , 0) con a∈domf ! 2as abscisas

de los puntos de intersección son las raices de la ecuación

"á(ina #




o 0l número real a es un cero de la +unción f si y sólo si a

a∈domf y f (a)=0

o "aridad:! Función par : una +unción es par si y sólo si

∀ x∈domf , f (− x )=f ( x) ! De la defnición se puede ra4onar -ue

si x∈domf ,− x tambi5n! 0s decir -ue el dominio es sim5trico

con respecto del ori(en! 6eom5tricamente, una +unción es par siy sólo si su (ráfca es sim5trica respecto del ee vertical! 'i el

punto ( x , y ) pertenece a la (ráfca, el punto (− x , y ) tambi5n!

#! Función impar : una +unción f es impar si y sólo si

∀ x∈domf ,f (− x )=−f ( x ) ! De la defnición se puede ra4onar -ue

si x∈

domf ,− x tambi5n! 0s decir -ue el dominio es sim5trico

con respecto del ori(en! 'i el punto ( x , y ) pertenece a la

(ráfca, el punto (− x ,− y ) tambi5n!

o Trans+ormaciones de una (ráfca en el plano: )+unción ori(inal

y=f ( x ) , c>0 7

! Traslación 3ori4ontal c unidades a la derec3a y=f ( x−c )

#! Traslación 3ori4ontal

c

unidades a la i4-uierda

y=f ( x+c)

$! Traslación vertical c unidades 3acia arriba y= f ( x )+c

%! Traslación vertical c unidades 3acia abao y=f ( x )−c

o Clasifcación de +unciones:! 8unciones al(ebraicas )se pueden e.presar con un número fnito

de operaciones al(ebraicas• "olinómicas

f : f ( x )=an xn+an−1 x

n−1+…+a2 x2+a1 x

1+a0 an≠ 0

• Radicales

f : f ( x )= n√ x n>0

• Racionales

"á(ina $




'e e.presa como cociente de polinomios f : f ( x)=q ( x) ( x ) ,

( x ) ≠ 0

o *na +unción f es periódica si e.iste un número , no nulo tal -ue

f ( x+ )=f ( x ) ,∀ x∈domf

o 8unciones tri(onom5tricas! 'eno

• f : f ( x )=sen x

• domf = R

• rgof = [−1,1 ]

• ceros=k . ! , k ∈"

• Impar

• #eriodo=2 !

#! Coseno

• f : f ( x )=cos x

• domf = R

• rgof = [−1,1 ]

•ceros=(2 k +1 ) .

!

2 , k ∈"

• "ar

• #eriodo=2 !

$! Tan(ente

•f : f ( x )=tg x=

sen x

cos x

•domf = R−{ x=(2 k +1 ) . !

2 , k ∈" }

• rgof = R

• ceros=k . ! , k ∈"

• Impar

"á(ina %




• #eriodo=!

%! Cotan(ente

•f : f ( x )=cotg x=

cos x

sen x

• domf = R−{ x=k . ! , k ∈" }

• rgof = R

•ceros=(2 k +1 ) .

!

2 , k ∈"

• #eriodo=!

&! 'ecante

•f : f ( x )=sec x=

1

cos x

• domf = R−{ x=(

2k +

1

) .

!

2 , k ∈

"

}•

rgof = (−$,−1 ]∪ [1, $ )

• notieneceros

• "ar

• #eriodo=2 !

9! Cosecante

•f : f ( x )=cosec x=

1

sen x

• domf = R−{ x=k . ! , k ∈" }

• rgof = (−$,−1 ]∪ [1, $ )

• notieneceros

• Impar

• #eriodo=2 !

o 8unciones compuestas: sean f y g +unciones, la +unción dada por

f ∘

g : (f ∘

g)( x )=f (g ( x )) se llama +unción compuesta de f con g !

0l dominio f ∘g es el conunto de los x del dominio de la +unción

g , tales -ue g( x) está en el dominio de f

domf ∘g= { x∈domg : g ( x )∈domf }

o l(ebra de +unciones:

"á(ina &




Suma: f +g : ( f +g ) ( x )=f ( x )+g ( x ) dom ( f +g )=dom f dom g

Resta: f −g : (f −g ) ( x )= f ( x )−g ( x ) dom ( f −g )=domf domg

Producto: f . g : (f . g ) ( x )=f ( x) . g ( x ) dom ( f . g )=domf domg

Cociente:f

g

:

(

f

g

)( x )=

f ( x )

g ( x)

dom

(

f

g

)=dom f dom g−{ x : g( x )=0 }

o 8unción inversa: una +unción g es la +unción inversa de la +unción

f si y sólo si f (g ( x ))=g (f ( x ) ) ! 'e la denota f −1

y se lee ;el

inverso de f <

Observaciones:

! 'i g es la +unción inversa de f , entonces f es la

+unción inversa de g

#! 'i g es la +unción inversa de f entonces:

domg=rgof

rgog=dom f

$! 'i una +unción admite +unción inversa, esta es única

Teorema: existencia de la función inversa! *na +unción f

tiene +unción inversa si y sólo si es inyectiva en todo su dominio *na +unción es inyectiva cuando admite +unción inversa! 'e

puede determinar si una +unción es inyectiva o no mediante elcriterio de la recta 3ori4ontal, se tra4an rectas 3ori4ontales, sial(una de estas corta a la (ráfca en más de un punto, entoncesla +unción ya no es inyectiva y por lo tanto no admite +uncióninversa

"ara obtener la +unción inversa, se deben reali4ar los si(uientespasos :

! 0.presar x en t5rminos de y

#! Cambiar x por y , e y por x

o 8unciones tri(onom5tricas inversas: )nin(una de las 9 +unciones

tri(onom5tricas admite +unción inversa ya -ue al ser periódicas no soninyectivas! "ero restrin(iendo adecuadamente su domino, se puedendefnir +unciones tri(onom5tricas inversas7

Denición Dominio Rangoarc sen : y=arc sen x⟺ x=sen y [−1, 1 ] [−!

2 ,

!

2 ]

"á(ina 9




arc cos: y=arc cos x⟺ x=cos y [−1, 1 ] [ 0, ! ]

arc tg: y=arctgx⟺ x=tg y R [−!

2 ,

!

2 ]arc cotg : y=arc cotg x⟺ x=cotg y R [0,! ]

arc sec : y=arc sec x⟺

x=sec y (−$ , −1 ]∪ [1 , $) 0, ! 2¿

!

2 , ! ]

¿

arc cosec : y=arc cosec x⟺ x=cos ec y (−$ , −1 ]∪ [1 , $ ) −!

2 ,0

¿

0, !

2 ]¿

• !mites

o Defnición intuitiva: el l1mite de f ( x) cuando x tiende a c es l

y lo denotamoslim x→ c

f ( x )=l , si y sólo si cuando x se apro.ima a

c por derec3a y por i4-uierda, con x ≠ c , f ( x) se 3ace

arbitrariamente pró.imo a l , tan pró.imo como se -uiera

"á(ina =




o Teorema: unicidad! 'i el l1mite e.iste, entonces es únicoo Teorema: l!mite de funciones elementales

•

lim x→ c

b=b

•

lim x→ c

x=c

•

lim x→ c

xn=c

n

•

lim x→ c

n√ x= n√ c

o Teorema: propiedades de los l!mites! 'ean f y g # +unciones

tales -ue

lim

x→ c

f ( x )

y

lim

x→ c

g( x)

e.isten, entonces:

•

lim x→ c

k . f ( x )=k . lim x → c

f ( x) l1mite de una constante por una

+unción

•

lim x→ c

f ( x)% g ( x) =lim x → c

f ( x)% lim x → c

g( x) l1mite de una suma o di+!

•

lim x→ c

[ f ( x ) . g ( x) ]= lim x → c

f ( x) . lim x → c

g( x ) l1mite de un producto

•

lim x→ c

f ( x )

g( x )=

lim x→ c

f ( x)

lim x →c

g ( x) ,sig

( x)

≠ 0

l1mite de un cociente

o Teorema: l!mite de las funciones trigonom"tricas

•

lim x→ c

sen x=senc ,∀ c∈dom sen

•

lim x→ c

cos x=cos c ,∀ c∈domcos

"á(ina >




•

lim x→ c

tg x=tgc, ∀ c∈domtg

•

lim x→ c

cotg x=cotgc,∀ c∈dom cotg

•

lim x→ c

sec x=secc,∀ c∈dom sec

• lim x→ c cosec x=cosecc, ∀ c∈domcosec

o Teorema: l!mite de las funciones trigonom"tricas inversas

•

lim x→ c

arc sen x=arc sen c ,∀ c∈domarc sen

•

lim x→ c

arccos x=arccos c , ∀ c∈domarc cos

•

lim x→ c

arc tgx=arc tg c ,∀c∈dom arc tg

•

lim x→ c

arc cotg x=arccotgc,∀ c∈domarc cotg

•

lim x→ c

arc sec x=arc sec c ,∀ c∈domarc sec

•

lim x→ c

arc cosec x=arc cosec c ,∀ c∈dom arc cosec

o Teorema: l1mite tri(onom5trico +undamental

•lim x→ 0

sen x x

=1

o Teorema: l1mite de la +unción compuesta! 'i f y g son +unciones

tales -ue ellim x→ c

g( x)=l y el

lim x→ l

f ( x )=f (l) entonces:

g ( x)lim

x → c

¿

¿lim x→ c

(f ∘g)=lim x→ c

f (g( x ))=f .¿

o !mites laterales:

"á(ina ?




•

x → c+¿¿ l1

lim¿¿ recibe el nombre de l1mite lateral derec3o de f en

c y es cuando x se apro.ima a c por valores mayores, es

decir por derec3a! f ( x) se 3ace arbitrariamente pró.imo a

l1 , tan pró.imo como se -uiera

• x → c

−¿¿ l2

lim¿

¿ recibe el nombre de l1mite lateral i4-uierdo de f

en c y es cuando x se apro.ima a c por valores menores,

es decir por i4-uierda! f ( x) se 3ace arbitrariamente pró.imo a

l2 , tan pró.imo como se -uiera

• Teorema: existencia del l!mite! 0l l1mite si y sólo si ambosl1mites laterales e.isten y valen lo mismo

x → c+¿

f ( x )=l∧ lim x → c

−¿f ( x )=l

¿

f ( x )=l⟺ lim¿

¿

lim x →c

¿

• #bservaciones:! 'i los l1mites laterales son distintos, no e.iste el l1mite#! 'i al(uno de los l1mites laterales no e.iste, no e.iste el

l1mite en el punto• !mites innitos

o Defnición intuitiva:

•

lim x→ c

f ( x )=+$ si y sólo cuando x se apro.ima a c por

derec3a y por i4-uierda, la +unción crece sin l1mite

•

lim x→ c

f ( x )=−$ si y sólo si cuando x se apro.ima a c por

derec3a y por i4-uierda, la +unción decrece sin l1mite

o "ara determinar el s1mbolo de $ se 3ace un análisis de si(no

o Defnición intuitiva de l1mites laterales infnitos

•

x → c+¿

f ( x )=+$

lim¿

¿ si y sólo si cuando x se apro.ima a c por

valores mayores )por derec3a7, la +unción crece sin l1mite

"á(ina @




•

x → c+¿

f ( x )=−$

lim¿


valores mayores )por derec3a7, la +unción decrece sin l1mite

•

x → c−¿

f ( x )=+$

lim¿


valores menores )por i4-uierda7, la +unción crece sin l1mite

•

x → c−¿

f ( x )=−$

lim¿


valores menores )por i4-uierda7, la +unción decrece sin limite

o Teorema: propiedades de l!mites innitos$ Dadoslim x→ c

f ( x )=+$ y

lim x→ c

g( x)=l

• lim x→ c f ( x)% g ( x) =+$

•lim x→ c

[ f ( x) . g ( x)]={+$ s i l>0

−$ s i l<0

•lim x→ c

g( x )f ( x )

=0

o Defnición de as1ntota vertical: si x → c

+¿f ( x )=+$

lim¿¿ ó

x → c+¿ f ( x )=−$

lim¿

¿ ó x → c−¿ f ( x )=+$

lim¿

¿ ó x → c−¿ f ( x )=−$

lim¿

¿ , entonces

la recta de ecuación x=c es una as1ntota vertical de la +unción

o Defnición de punto vac1o: silim x→ c

f ( x )=l ó

x → c+¿

f ( x )=l

lim¿

¿ ó

x → c−¿

f ( x )=l

lim¿

¿ entonces el punto (c ,l ) es un punto vac1o de la

(ráfca de f ! A además se debe cumplir -ue f (c)≠l o f no estar

defnida en l

• !mites en el innitoo Defnición intuitiva:

"á(ina




•

lim x → $

f ( x)=l , si y sólo si cuando x crece sin l1mite, la +unción

se 3ace arbitrariamente pró.ima a l , tan pró.ima como se

-uiera

•

lim x →−$

f ( x)=l , si y sólo si cuando x decrece sin l1mite, la

+unción se 3ace arbitrariamente pró.ima a l , tan pró.ima

como se -uierao Observación:

•

lim x →+$

f ( x )=l ó

lim x →−$

f ( x)=l si(nifca -ue el l1mite e.iste

• 0l teorema propiedades de los l1mites tambi5n es válido para losl1mites en el infnito

o Teorema:

•lim

x →+$

f ( x )= c

xr ,r>¿

@

•lim

x →−$

f ( x)= c

xr , r>¿ @

o "ara el caso de lim x → $

( x)q ( x)

• 'e debe sacar +actor común x en el numerador y en el

denominador! 'e pueden presentar $ casos!

! 'i el (rado de

es mayor -ue el (rado de

q

entonces el l1mite es i(ual a @ )cero7

#! 'i el (rado de es menor -ue el (rado de q

entonces el l1mite es infnito, por lo tanto no e.iste

$! 'i el (rado de es i(ual al (rado de q entonces el

l1mite es i(ual a l

o Defnición de as1ntota 3ori4ontal: la recta 3ori4ontal de ecuación y=l

es as1ntota vertical de una +unción si se cumple -ue : lim

x →+$

f ( x )=l

ó

lim x →−$

f ( x)=l! 2a (ráfca de una +unción posee dos as1ntotas

3ori4ontales a lo sumo

"á(ina #




• Continuidado Defnición intuitiva: una +unción es continua si y sólo si su (ráfca no

presenta interrupciones )puntos vac1os, as1ntotas, saltos fnitos einfnitos, etc!7

o Defnición de continuidad en un punto: una +unción f es continua en

un punto c si y sólo si cumple con todas las si(uientes condiciones:

! f (c) está defnida, y c∈domf

#! lim

x→ c

f ( x ) e.iste y

x → c−¿

f ( x) x → c

+¿f ( x )=lim

¿¿

lim¿

¿

$! lim

x→ c

f ( x)=

f (

c)

o Teorema %c&demo': continuidad de las funciones polinomiales!*na +unción polinomial es continua en todo su dominio

o Teorema %c&demo': continuidad de las funciones racionales! *na+unción polinomial es continua en todo su dominio

o Teorema: continuidad de las funciones radicales! 0l dominio de las

+unciones radicales de la +orma f : f ( x)= n√ x son todos los números

reales c si n es impar, y todos los c>0 si n es par

o Teorema %c&demo': continuidad de las funcionestrigonom"tricas! 2as +unciones tri(onom5tricas son continuas en todopunto de su dominio

o "ropiedades de las +unciones continuas: si f y g son continuas en

a

! 2a +unción kf es continua en c

#! 2as +unciones f +g , f −g y f . g son continuas en c

$! 'i ademásg(c )

es distinta de cero,

f

g es continua enc

o Teorema %c&demo': continuidad de la función compuesta! 'i g

es una +unción continua en c , y f es continua en g(c ) , entonces

la +unción continua f ∘g es continua en c

"á(ina $




o Teorema: continuidad en un intervalo abierto! *na +unción f es

continua en un intervalo abierto (a , b ) si y sólo si f es continua en

todos los puntos pertenecientes a dic3o intervalof es continua en (a , b )⇔∀ c∈ (a , b ) , lim

x→ c

f ( x )=f (c)

o Teorema: continuidad en un intervalo cerrado. *na +unción f es

continua en un intervalo cerrado [ a , b ] si y sólo si es continua en

todos los puntos pertenecientes a dic3o intervalo, y además se cumple-ue:

x → b−¿

f ( x)=f (b) x → a

+¿f ( x)=f ( a ) y lim

¿¿

lim¿¿

o

Teorema: continuidad en un intervalo semiabierto$ *na +unciónf es continua en el intervalo

a , b[¿ si y sólo si es continua en el

intervalo abierto (a , b) y además se cumple -ue el

x → a+¿

f ( x)=f (c)lim¿

¿ ! "ara el caso del intervaloa , b ]¿ , f es continua

si y sólo si es continua en todo el intervalo abierto (a , b) y además

x → b−¿

f ( x)=f (b)lim¿

¿

o Teorema: continuidad de la función inversa! 'i f es una +unción

inyectiva y continua en todo su dominio, entonces la +unción inversa de

f , es decir f −1

será continua en todo su dominio

o Teorema: continuidad de las funciones trigonom"tricas inversas!2as +unciones tri(onom5tricas inversas son continuas en todo su

dominio

• Discontinuidad

"á(ina %




o Defnición intuitiva: una +unción f es discontinua en un punto c si

y sólo si f no es continua en c , es decir, no se cumple por lo

menos una de las $ condiciones de continuidado Clasifcación

! 0vitable:

• Cuando lim x→ c f ( x )=l , es decir e.iste, pero f no está

defnida en c

• Cuandolim x→ c

f ( x ) e.iste, pero distinto a f (c)

• 'e llama evitable ya -ue se puede defnir una nueva

+unción -ue est5 defnida en c

#! /o evitable:

•

8inita: -ue el

lim

x→ c

f ( x )

no e.ista debido a -ue

x → c−¿

f ( x ) x → c

+¿f ( x )≠ lim

¿¿

lim¿

¿! Como los saltos fnitos

• Infnita: -ue ellim x→ c

f ( x ) no e.ista debido a -ue al menos

uno de sus l1mites laterales sea infnito! Como las as1ntotasverticales

• Teorema del valor intermedioo 'i f es una +unción continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y k es

un número entre f (a) y f (b) , entonces e.iste por lo menos un

número c∈ [ a , b ] tal -ue f (c)=k

o 0l teorema ase(ura -ue e.iste al menos un número c tal -ue

f (c)=k , pero puede 3aber más de uno!

o 0ste es un teorema de existencia, es decir -ue nos ase(ura la

e.istencia de un c , pero no nos proporciona un m5todo para

encontrarloo 0l teorema del valor intermedio se usa normalmente para locali4ar los

ceros de una +unción continua en un intervalo cerrado! 'i f es

"á(ina &




continua en el intervalo cerrado [ a , b ] , y además f (a) y f (b)

tienen si(no distinto, entonces el teorema nos (aranti4a la e.istencia de

un número c∈ [ a , b ] tal -ue f (c)=k =0

• Derivadas

o "ara 3allar la ecuación de la recta tan(ente a la (ráfca de arriba,primero se debe tener en cuenta la recta secante -ue pasa por dospuntos! 2a ecuación de su pendiente es la si(uiente:

mrsec=

& y

& x=

f ( c+' x )−f (c )' x

'iendo el punto (c , f ( c )) el punto de tan(encia, mientras menor sea

' x más se apro.imará la recta secante a la recta tan(ente, y

tambi5n la pendiente de la recta secante se apro.imará a la de la rectatan(ente! 0s decir -ue:

"á(ina 9




mrtg= lim

' x→ 0

mr sec= lim

' x →0

f ( c+' x )−f ( c )' x

o Derivada de una +unción en un punto

Defnición: sea f una +unción defnida en un intervalo abierto

-ue contiene a c ! 2a derivada de f en c , denotada como

f ( (c) es i(ual a:

f ) (c )= lim

' x →0

f ( c+' x )−f ( c )' x

'iempre y cuando e.ista el l1mite! f ) (c) representa la

pendiente de la recta tan(ente a la (ráfca de f por el punto

#(c , f ( c ))

o 2a ecuación de la recta tan(ente a la (ráfca f -ue pasa por el punto

(c , f ( c )) es:

y− f ( c )=f ( (c ) . [ x−c ]

o Defnición de tan(ente vertical: si f es una +unción continua en c

y el lim' x →0

|f ( c+' x )− f ( c )' x |=$ , entonces la recta x=c es tan(ente

vertical a la (ráfca de f en el punto de abscisa c ! 0l l1mite no

e.iste ya -ue ambos l1mites laterales son infnitos

o 8orma alternativa de la derivada de una +unción en un punto: si f es

una +unción defnida en un intervalo abierto -ue contiene a c ,

entonces la derivada de f en c se puede calcular de la si(uiente

manera:

f ) (c)=lim

x→ c

f ( x )−f (c )

x−c

"á(ina =




o Defnición derivadas laterales:

'i x → c

+¿ f ( x )−f (c) x−c

lim¿

¿ e.iste, se llama derivada lateral derec3a y

se denota+¿( (c )

f ¿

'i x → c

−¿ f ( x )−f (c) x−c

lim¿

¿ e.iste, se llama derivada lateral i4-uierda y

se denota−¿( (c)

f ¿

o Teorema: existencia de derivada! 2a derivada de f en c e.iste

si y sólo si−¿

(

(c)+¿( (c )=f ¿

f ¿! 'i son distintas entre s1, o al menos una de las

laterales no e.iste, entonces no e.iste la derivada en ese puntoo Función derivada

Defnición: sea f una +unción defnida en un intervalo * , con

x , x+' x∈ * ! 2a +unción derivada f denotada f ( , se

defne:

f ( : f )

( x )= lim' x →0

f ( ' x+ x )−f ( x )' x si ell+mite existe

domf ) ={ x∈domf : lim' x → 0

f ( ' x+ x )−f ( x)' x

existe} /otación: la derivada de y=f ( x) se puede denotar de muc3as

maneras

"á(ina >




•f ) ( x) )se lee: f prima de x 7

•

dy

dx )se lee: derivada de y con respecto de x 7

•

d [ f ( x)]dx

• y (

o Re(las de derivación: Teorema %c&demo': la derivada de una constante es cero

d

dx [ k ]=0

Teorema: regla de las potencias

d

dx [ xn ]=n . x

n−1, n∈

Teorema %c&demo': regla de una constante por una

función! 'i f es una +unción derivable entonces la +unción

k . f tambi5n es derivable, y se cumple -ue:

d

dx [k . f ( x )]=k . f ) ( x )

Teorema %c&demo': regla de la suma ( la diferencia! 'i

f

y g son +unciones derivables entonces las +unciones f +g y

f −g tambi5n son derivables, y se cumple -ue:

d

dx [f ( x )+g ( x ) ]=f ( ( x )+g ( ( x )

d

dx [f ( x )−g ( x) ]=f ( ( x )−g ( ( x)

Teorema: regla del producto! 'i f y g son derivables,

entonces la +unción f . g es derivable, y se cumple -ue:

d

dx [f ( x ) . g( x )]=f ( ( x ). g ( x )+ f ( x ). g ( ( x)

"á(ina ?




Teorema: regla del cociente! 'i f y g son derivables,

entonces la +unción f /g es derivables en todos los valores de

x tal -ue g( x) sea distinto de @, y se cumple -ue:

d

dx

[f ( x )/g ( x)]= f ( ( x ) . g ( x )−f ( x ) . g ( ( x)

[g( x )]2

o Teorema %c&demo': derivadas de las funciones trigonom"tricas

x

dx [sen x ]=cos x

x

dx [cos x ]=−sen x

x

dx [tg x ]=sec

2 x

xdx

[cotg x ]=−cosec2 x

d

dx [ sec x ]=sec x. tg x

d

dx [ cosec x ]=−cosec x.cotgx

/ota: la derivada de las +unciones -ue tienen prefo co , son

todas ne(ativas

o Teorema %c&demo': derivabilidad implica continuidad$ 'i f es

derivable en x=c , entonces f es continua en el punto x=c !

0sta relación no es rec1proca, es decir -ue una +unción puede sercontinua en un punto pero no derivable en ese punto! 2os casos dondela +unción es continua pero no derivable son los si(uientes:

Donde 3ay puntos an(ulosos, como por eemplo x=0 en una

+unción valor absoluto f ( x )=| x|

Donde la recta tan(ente es vertical, como por eemplo x=0 en

una +unción racional de 1ndice impar f ( x )=3√ x

o Defnición de +unción derivable en un intervalo abierto: una +unción f

es derivable en un intervalo abierto (a , b) si y sólo si se cumple -ue:

"á(ina #@




f es deri-able en( a ,b )⇔∀ c∈ (a , b ) , lim x → c

f ( x )−f ( c ) x−c

existe

o Defnición de +unción derivable en un intervalo cerrado: una +unción

f es derivable en un intervalo cerrado [ a , b ] si y sólo si se cumple

-ue:

f es deri-able en [a , b ]⇔∀ c∈ [ a , b ] , limn→ $

f ( x )−f ( c ) x−c

existe

−¿(b)+¿ (a ) y f ( ¿

y adems existenf ( ¿

o Teorema auxiliar )e.i(e continuidad en c 7

'i f es una +unción continua en c y e.iste x → c

+¿f ( x )

lim¿

¿

entonces: x → c

+¿f ( ( x )

+¿(c)=lim¿¿

f ( ¿

'i f es una +unción continua en c y e.iste x → c

−¿f ( x )

lim¿

¿

entonces: x → c

−¿f ( ( x )

−¿(c)=lim¿ ¿

f ( ¿

6enerali4ación: si f es una +unción continua en c y

lim x→ c

|f ) ( x )|=$ entonces la recta de ecuación x=c es

tan(ente vertical a la (ráfca de f

o Teorema: derivación de la función compuesta )re(la de la cadena7

'i y= f (u) es una +unción derivable de u , y u=g ( x) es

una +unción derivable de x , entonces la +unción f ∘g es

derivable respecto de x y se cumple -ue:

d

dx [( f ∘ g)( x)]= d

dx [ f (g ( x ))]=f

) ( g ( x ) ). g ( ( x )

"á(ina #




o Teorema %c&demo': regla del valor absolutod

dx| x|= x

| x|s i x ≠ 0

o Teorema: generali)ación del valor absoluto

'i g : g ( x)=|f ( x )| y f es una +unción derivable en x ,

entonces se cumple -ue:g ( ( x )=

f ( x )

|f ( x )|. f

) ( x ) si f ( x)≠0

o Teorema: derivada de la función inversa

'ea f una +unción defnida por la ecuación y=f (c ) -ue

admite +unción inversa f −1

, con derivada f ( ( x )≠0 entonces

la +unción f −1

es derivable y se verifca -ue:

( f −1) ( ( y)= 1f ( ( x)

o Teorema %c&demo': derivadas de las funciones trigonom"tricas

inversas

x

dx [arc sen x ]= 1

√ 1− x2

x

dx [ arccos x ]= −1

√ 1− x2

x

dx [arctgx ]= 1

1+ x2

x

dx [ arc cotg x ]= −1

1+ x2

d

dx [arc sec x ]= 1

| x|.√ x2−1

d

dx [arc cosec x ]= −1

| x|.√ x2−1

"á(ina ##




o Derivadas de orden superior )derivadas sucesivas7

2a derivada de y=f ( x) tambi5n recibe el nombre de derivada

primera de y=f ( x) ! 2a derivada se(unda de y=f ( x) es la

derivada de la derivada primera! 2a derivada tercera de

y=f ( x) es la derivada de la derivada se(unda y as1

sucesivamente /otaciones:

• Derivada primera: y ( ( , f ) ) ( x) ,d

2 y

d x2 ,

d2

d x2 [ f ( x)]

• Derivada se(unda: y ( ( ( , f ( ( ( ( x ) ,d

3 y

d x3 ,

d3

d x3 [ f ( x) ]

o Derivación impl!cita

2a mayor1a de las +unciones anteriores están e.presadas en la

+orma e.pl1cita, como por eemplo y= x3+5 ! 0n esta +orma, la

variable y está escrita e.pl1citamente como +unción de x !

0n los casos donde la +unción no está e.presada e.pl1citamente,

al(unas veces se puede directamente despear y como

+unción de x ! 0n al(unos casos más complicados donde no sepuede despearla, se aplica la derivación implícita

'e usa este procedimiento )-ue presupone -ue y es una

+unción derivable de x 7 -ue consiste en derivar ambos

miembros respecto de x ! 2os t5rminos -ue contienen

solamente x se derivan como de costumbre, mientras -ue

para derivar los t5rminos -ue contienen a y se usa la re(la de

la cadena! "or eemplo:d

dx [ y3+4 y

2+ x2−4 ]= d

dx [0 ]

d

dx [ y 3 ]+ d

dx [ 4 y

2 ]+ d

dx [ x2 ]− d

dx [ 4 ]= d

dx [ 0 ]

"á(ina #$




3 . y2

.dy

dx+8. y .

d y

dx+2 x−0=0

3. y2

. y ( +8. y . y ( +2 x=0

"asos para derivar impl1citamente! Derivar impl1citamente ambos lados de la ecuación

respecto de x

#! B(rupar todos los t5rminos en los -ue apare4cady

dx )-ue

es lo mismo -ue y ( 7 de un lado de la ecuación y pasar

los demás al otro lado

$! 8actori4ar y ) en su lado

%! Despear y (

o

Teorema: regla de *+,pital 'ean f y g +unciones derivables en un intervalo abierto -ue

contiene a c , e.cepto posiblemente por c ! 'i lim x→ c

f ( x )g( x )

presenta una +orma indeterminada0

0 ó$

$ y si e.iste

lim x→ c

f ( ( x)g ) ( x ) entonces se cumple -ue:

lim x→ c

f ( x )g( x )

=lim x → c

f ( ( x)g ( ( x)

Tambi5n es válida para l1mites laterales y l1mites en el infnito, yse puede aplicar la cantidad de veces necesaria siempre -ueapare4ca la indeterminada

o Teorema: teorema de Rolle

'i f es una +unción continua en un intervalo cerrado [ a , b ] ,

derivable en el intervalo abierto (a , b) y además f ( a )=f (b) ,

entonces e.iste por lo menos un c∈(a ,b) -ue cumpla -ue

f ( (c )=0

"á(ina #%




Interpretación (ráfca: si se cumplen las condiciones dadas en elapartado de arriba, entonces e.iste un punto de coordenadas

(c , f ( c )) con c∈(a ,b) donde la recta tan(ente es 3ori4ontal

o Teorema %c&demo': teorema del valor medio del c-lculo

diferencial

'i f es una +unción continua en un intervalo cerrado [ a , b ] ,

derivable en el intervalo abierto (a , b) entonces e.iste por lo

menos un c∈(a ,b) -ue cumpla -ue:

f ( (c )=f (b )−f ( a )

b−a

Interpretación (ráfca

o 8unciones crecientes y decrecientes *na +unción es creciente en un intervalo * si y sólo si: para

todo x1 , x2∈ * , si x1< x2 entonces f ( x1 )< f ( x2 )

"á(ina #&




*na +unción es decreciente en un intervalo * si y sólo si: para

todo x1 , x2∈ * , si x1< x2 entonces f ( x1)> f ( x2)

o Defnición +unción monótona: una +unción f es monótona si es

creciente en todo su dominio, o si es decreciente en todo su dominio

o Consecuencias del teorema del valor medio )cdemo7: sea f

derivable en (a , b )

'i f ) ( x )>0∀ x∈(a , b) , entonces f es creciente en (a , b)

'i f ) ( x )<0∀ x∈ (a , b ) , entonces f es decreciente en (a , b )

'i f ) ( x )=0 ∀ x∈(a , b) , entonces f es constante en (a , b)

o Teorema: monoton!a implica in(ectividad! 'i f es una +unción

monótona entonces es inyectiva er(o admite +unción inversao Teorema: dos funciones de igual derivada dieren en una

constante! 'ean f y g dos +unciones derivables en (a , b) tales

-ue f ) ( x )=g ) ( x ) para todo x∈(a , b) , entonces

f ( x )=g ( x )+k ,∀ x∈(a , b) siendo k una constante

o Defnición número cr1tico:

'ea f defnido en un intervalo abierto (a , b) y c∈(a ,b) ,

c es un número cr1tico de f si y sólo si f ) (c )=0 ó

f ) (c) no está defnida en c

f ) cambia de si(no en los puntos cr1ticos! 0stos puntos deben

ser tenidos en cuenta al momento de delimitar los intervalos de

prueba para evaluar el crecimiento de f ) ! 0n la tabla tambi5n

se deben a(re(ar los puntos de discontinuidad de la +unción 'olamente pueden ser números cr1ticos a-uellos -ue est5n

dentro del dominio de la +unción! 0s decir -ue 3ay -ue tener en

cuenta a la 3ora de armar la tabla a los puntos de discontinuidaddel dominio, pero estos no son números cr1ticos

o .xtremos de una función

Defnición de e.tremos absolutos: sea f una +unción defnida

en un intervalo * , con c∈ *

"á(ina #9




• f (c) es m1nimo absoluto de f en * si y sólo si

f ( x)≥ f (c ) para todo x∈ *

• f ( c ) es má.imo absoluto de f en * si y sólo si

f ( x)≤ f (c ) para todo x∈ *

Teorema: teorema del valor extremo! 'i f es una +unción

continua en el intervalo cerrado [ a , b ] entonces f tiene

m1nimo absoluto y má.imo absoluto dentro de ese intervalo

Defnición de e.tremos relativos: sea f una +unción defnida en

un intervalo * , con c∈ *

• f ( c ) es un má.imo relativo de f en * si y sólo si

e.iste un intervalo (a , b )⊂ * en el cual f (c) es el

má.imo absoluto

• f (c) es un m1nimo absoluto de f en * si y sólo si

e.iste un intervalo (a , b)⊂ * en el cual f (c) es el

m1nimo absoluto Teorema: los extremos relativos solamente ocurren en los

n/meros cr!ticos! 'i f (c) es un e.tremo relativo de f

entonces c es un número cr1tico de f ! 0sta relación no es

rec1proca, ya -ue puede 3aber un c -ue sea número cr1tico de

f , pero este puede no ser e.tremo relativo

"rocedimiento para 3allar los e.tremos absolutos de una +unción

f continua en un intervalo cerrado

! Calcular los valores de la +unción en los números cr1ticos#! Calcular los valores de la +unción en los e.tremos del

intervalo, es decir f (a) y f (b)

"á(ina #=




$! Comparar todos estos valores! 0l menor de estos valoreses m1nimo absoluto mientras -ue el mayor es má.imoabsoluto

0n el caso de los intervalos abiertos, tambi5n 3ay -ue calcularlos valores de la +unción en los e.tremos del intervalo, perocomo l1mites laterales! 0stos no podrán ser tomados como

e.tremos absolutos, pero s1 servirán para ver si los númeroscr1ticos dentro de ese intervalo son e.tremos absolutos)solamente si son mayores o menores a los l1mites laterales7

Teorema %c&demo': criterio de la 0era derivada para la

existencia de extremos relativos! 'ea f una +unción

continua en un intervalo abierto * , con c∈(a ,b )⊂ * y f

derivable en (a , b) e.cepto posiblemente en c , se cumple

-ue! 'i f ) ( x)>0 para todo x∈(a , c ) y f ) ( x)<0 para todo

x∈(c , b) entonces f (c) es un má.imo relativo

#! 'I f ) ( x)<0 para todo x∈(a , c ) y f ) ( x)>0 para todo

x∈(c , b) entonces f (c) es un m1nimo relativo

Teorema: criterio de la 1da derivada! 'ea f una +unción tal

-ue f

)

(c )=0

! 'i f ) ) (c )<0 entonces f (c) es un má.imo relativo de

f

#! 'i f ) ) (c)>0 entonces f (c) es un m1nimo relativo de

f

$! 'i f ) ) (c )=0 entonces el criterio no decide

Teorema: teorema del extremo /nico! 'i f es una +unción

continua en un intervalo abierto * , y c∈ *

"á(ina #>




! 'i f (c) es el único e.tremo relativo de f en * y

f (c) es má.imo relativo entonces f (c) es el má.imo

absoluto de f en *

#! 'i f (c) es el único e.tremo relativo de f en * y

f (c) es m1nimo relativo entonces f (c) es el m1nimo

absoluto de f en *

o Concavidad

2a (ráfca de una +unción f es cóncava 3acia arriba en un

intervalo abierto (a , b) si y sólo si f ) es creciente en

(a , b)

2a (ráfca de una +unción f es cóncava 3acia abao en un

intervalo abierto (a , b) si y sólo si f ) es decreciente en

(a , b)

Teorema: criterio de concavidad! 'ea f una +unción cuya

se(unda derivada e.iste en un intervalo abierto (a , b) :

! 'i f ) ) ( x)>0 para todo x∈(a , b) entonces la (ráfca de

f es cóncava 3acia arriba en (a , b)

#! 'i f ) ) ( x)<0 para todo x∈(a , b) entonces la (ráfca de

f es cóncava 3acia abao en (a , b)

Defnición de punto de ine.ión: el punto (c , f ( c )) es un punto

de ine.ión de la (ráfca de f si y sólo si la concavidad de f

cambia en ese punto y además f es continua en c

Teorema: si el punto (c , f ( c )) es un punto de ine.ión de la

(ráfca de f , entonces f ) ) (c )=0 o no está defnida en c

• 2u!a para anali)ar funciones! Dominio#! Intersecciones con los ees

"á(ina #?




Eori4ontal: f ( x )=0

Fertical: f (0 )

$! "aridad%! Bs1ntotas

Ferticales Eori4ontales

&! Crecimiento y decrecimiento, e.tremos relativos9! Concavidad, puntos de ine.ión=! Tabla, (ráfca y por último ran(o

• Diferencial

o 'ea y=f ( x) la ecuación de una +unción derivable en un intervalo

abierto, la di+erencial de y denotada dy , se defne:

d y=f ) ( x ) . dx

Donde dx=' x por defnición

• Denición rigurosa de l!mite

o 'ea f una +unción defnida en un intervalo abierto -ue contiene a

c , e.cepto posiblemente en c , y sea / un número real!

lim x→ c

f ( x)= / si y solo si para cual-uier 0>0 e.iste un número 1 >0

)dependiente en (eneral de 0 7, tal -ue para todo x -ue satis+a(a

la desi(ualdad 0<| x−c|<1 se verifca -ue |f ( x )− /|<0

o 'imbólicamente:lim x→ c

f ( x)= /⇔∀ 0>0,∃1 >0 :∀ x , 0<| x−c|<1 ⇒|f ( x)− /|>0

"á(ina $@




• Polinomios de Ta(lor

o 'i f es una +unción -ue admite derivadas sucesivas 3asta el orden

n , en x=c , el polinomio:

#n ( x )=f ( c )+f ) (c ) . ( x−c )+

f ) ) ( c )

2 2

.( x−c )2+f ) ) ) (c)

3 2

.( x−c )3+…+f

( n) ( c)

n 2

.( x−c )n

'e llama "olinomio de Taylor de (rado n de la +unción f centrado

en c

o 'i c=0 , entonces:

#n ( x )=f ( 0 )+ f ) (0 ) . x+

f ) ) (0)2 2

. x2+

f ) ) ) (0)3 2

. x3

…+ f

(n ) (0 )n 2

. xn

0ste polinomio particular se llama "olinomio de Gaclaurin de (rado n

de la +unción f

o 0l obetivo es utili4ar estos tipos especiales de polinomios paraapro.imar ciertas +unciones como por eemplo las trascendentales,lo(ar1tmicas y e.ponenciales

o "ara medir la precisión al apro.imar un valor +uncional f ( x) por el

"olinomio de Taylor #n( x) se usa el concepto de resto, Rn( x) ,

defnido de la si(uiente manera:f ( x )= #n ( x )+ Rn( x)

resumen final cálculo 1

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