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Resumen del Tema:Operadores Diferenciales

y Campos Vectoriales

Física II-curso 2019-20

Juan Luis Domenech Garret

Operadores Diferenciales y Campos VectorialesÍNDICE: • Funciones escalares y vectoriales (repaso). Campos vectoriales.• Revisión sobre derivadas parciales- casos prácticos (aula).• Revisión de la diferencial de una función con varias variables.• Vector gradiente de una función escalar.• Derivada direccional.• Significado físico del Gradiente.• Divergencia de un campo vectorial. Significado físico.• Concepto de flujo de un campo vectorial.• Circulación de un campo vectorial.• Rotacional de un campo vectorial. Significado físico.• Teorema de Gauss (de la divergencia). Interpretación Física• Teorema de Stokes. Interpretación Física.• Operador Laplaciano.


Operadores Diferenciales y Campos VectorialesFunciones escalares.

( , , )f x y z =

Función escalar : representa una magnitud física escalar que depende de cada punto P(x,y,z)

Superficie equiescalar : superficies (conjunto depuntos x,y,z) donde el valor de fp es el mismo

1 1( , , ) |Sf x y z C=S1

S2 2 2( , , ) |Sf x y z C=

Número


Operadores Diferenciales y Campos VectorialesFunciones vectoriales. Campos vectoriales.


( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zF x y z F x y z i F x y z j F x y z k= + +

Función Vectorial: representa una magnitud física vectorialque depende de cada punto p(x,y,z)

El campo vectorial es el conjunto de los vectores F→

* Se representa mediante las llamadas líneas de campo: formadas por la unión de todas las tangentes a la dirección de los vectores campo en cada punto. La densidad de líneas representadas es proporcional a la intensidad de la magnitud campo.

en todo punto.

FP1FP2

P1 P2

Operadores Diferenciales y Campos VectorialesDiferencial de una función con varias variables:


( , , ) f f fdf x y z dx dy dzx y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

Si tomamos un elemento de camino en una dirección cualquiera: dl dx i dy j dz k

→

= + +

Podemos poner el diferencial de la función escalar:

df representa un cambio infinitesi_mal de la magnitud física, f

df f dl→ →

= ∇ ⋅ f→

∇dl→

θ

dl→

Definimos el operador vectorial Nabla

i j kx y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

Vector gradiente de una función escalar

f f ff i j kx y z

→ ∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

Operadores Diferenciales y Campos Vectoriales


Derivada direccional en una dirección caracterizada por :l lu dl dl u→

=

( ) ( )l ldf f dl f dl u dl f u→ → → →

= ∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∇ ⋅

ldf f udl

→

= ∇ ⋅

f→

∇lu

→

θcosdf f dl f dl θ→ → → →

= ∇ ⋅ = ∇

La dirección que da la MÁXIMA variación de la magnitud escalares la paralela (y con su sentido) al vector gradiente de la magnitud).

?dfdl

=

Significado físico del Gradiente:

Operadores Diferenciales y Campos VectorialesDivergencia de un campo vectorial: Es el producto escalar del operador nabla con la función vectorial campo en un punto (x,y,z)


Si la divergencia es no nula en el punto (o conjunto de puntos): las líneas de campo divergen o convergen hacia el punto. En ese caso, si la divergencia es positiva (divergen del punto) se dice que el punto es una fuente del campo vectorial. Si la divergencia es negativa (convergen hacia el punto) se dice que el punto es un sumidero del campo.

( , , ) yx zFF FF x y z

x y z∂∂ ∂

∇ ⋅ = + +∂ ∂ ∂

Significado físico:

F

0F∇⋅ >

0F∇⋅ <

F

0F∇⋅ =

FP(x,y,z)

Operadores Diferenciales y Campos VectorialesDivergencia de un campo vectorial


Si la divergencia es nula en el punto (o región de puntos): las líneas de campo ni divergen ni convergen hacia el punto. En ese caso se dice que el punto no es ni fuente ni sumidero del campo vectorial.

Existe una clase particular de campos en los se cumple que divergencia es nula para todo punto; esos campos son conocidos como solenoidales, en ese caso las líneas de campo se cierran sobre sí mismas y ningún punto es fuente o sumidero del campo.

0 ( , , )F P x y z∇⋅ = ∀

Operadores Diferenciales y Campos VectorialesExpresiones de los operadores gradiente y divergencia en coordenadas esféricas y cilíndricas:


Si la función escalar f depende solo de la coordenada radial :

Si la función vectorial depende solo de la coordenada radial:

( ) rdff f r f udr

= ⇒∇ =

Vector gradiente en esféricas y cilíndricas

Divergencia en coordenadas esféricas

22

1| ( ) ( )esf r r rdF F r u F r F

r dr= ⇒∇⋅ =

Divergencia en coordenadas cilíndricas l

1| ( ) ( )ci r r rdF F r u F r F

r dr= ⇒∇⋅ =



• Concepto de flujo de un campo vectorial: Supongamos que un campo vectorial atraviesa una superficie S; Podemos definir el elemento de flujo como el número de líneas que atraviesa a un elemento de superficie dS

Fd F dSφ = ⋅

FdS

ϕ

dS

dS

F

F

F F

F

FdS

dSdS

F

SS dS

∀= ∫

Fϕ

ϕ

ϕ

ϕdS



Flujo de un campo vectorial: el flujo total a través de la superficie es la suma de todos los elementos de flujo:S

cosS S Sd F dS F dSφ φ ϕ= = ⋅ =∫ ∫ ∫

Los ángulos no tienenporqué ser iguales de un dS a otro

Operadores Diferenciales y Campos Vectoriales• Circulación de un campo vectorial.


dl ϕdl

F

F

Γ=circuitoformado porelementos dl

cosC F dl F dl ϕΓ Γ

= ⋅ =∫ ∫

Definimos la circulación C del campo por el circuito Γ

En cada elemento de Γ el campo de vectores se proyecta sobre él

•Rotacional de un campo vectorial:

y yx xz z

x y z

i j kF FF FF FF i j k

x y z y z z x x yF F F

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∇× = = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Expresión operativa del rotacional de un campo vectorial en coordenadas cartesianas:



F∇×

( , , )P x y z

El rotacional nos da una idea de la«vorticidad» o «giro» del campo vectorial alrededor del punto donde se calcula ; cuanto mayor es su valor, mayor es la intensidad del «remolino» alrededor del punto.

F∇×

•Rotacional de un campo vectorial:

0F∇× =

Una propiedad importante del rotacional de un campo vectorial es que nos dice si este campo es conservativo :



Y además en este caso el campo vectorial siempre se puede poner como el vector gradiente de un campo escalar :

F

es conservativo

0 ( , , )F F f x y z∇× = ⇒ = −∇

Operadores Diferenciales y Campos VectorialesTeorema de Gauss (o de la divergencia). Interpretación Física


F

0F∇⋅ ≠

F

dS ϕ

dSF

( )S V

F dS F dV∀ ∀

∇⋅ ⋅= ∫∫

El flujo neto del campo vectorial a través de una superficie cerradaS (que delimita un volumen V) ,depende del numero fuentes ysumideros del campo encerradosen el volumen.

Operadores Diferenciales y Campos VectorialesTeorema de Stokes. Interpretación Física.


( )S

dd FF l S∀Γ ∀

= ∇×⋅ ⋅∫ ∫

Γ ≡ Circuito externo que delimita la superficie formada elementos de superficie dS, en los cuales el campo tiene una vorticidad . F∇×

dl

Γ

La circulación neta del campo alrededor del circuito equivale a la suma detodas las proyecciones de la vorticidad de sobre cada dS

Γ

dl

F

F

Las «corrientes en remolino» de los elementos dS del interior se anulan con las de su elementos vecinos y solo quedan sin «compensar» las adyacentes al circuito externo; de manera que equivale a la circulación de por el borde exterior.

Operadores Diferenciales y Campos VectorialesOperador Laplaciano :


2 i j k i j kx y z x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∆ ≡ ∇ = ∇⋅∇ = + + ⋅ + + ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

El (operador) Laplaciano está definido como el producto escalar deloperador nabla por sí mismo :

( )∆

El Laplaciano puede actuar sobre funciones escalares o vectoriales:

2 2 2

2 2 2

f f ff F F FF x y z

∂ ∂ ∂

∆ = + + ∂ ∂ ∂

2 2 2

2 2 2x y z∂ ∂ ∂

⇒ ∆ = + +∂ ∂ ∂

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