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LEY DE COULOMB

http://www.av.anz.udo.edu.ve/file.php/1/ElecMag/Index.html

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Determine donde se debe colocar una partícula Q para gue la fuerza eléctrica total que act a sobre ella, debido a las otras dos carga sea cero Fig (2.4).

Solución

La partícula q1 ejerce una fuerza de repulsión sobre la partícula Q y la partícula q2tambien ejerce una fuerza de repulsión sobre Q como se observa en la fig. (2.4) tenemos que

esto implica

Así tenemos

¿Cuál es el valor de x si q1 es igual q2?

2.-Se tienen dos partículas cargadas +Q separadas una distancia 2a como indica la fig. (2.5).Determine la fuerza total sobre la partícula q que está en el vértice superior del triangulo.

SSolución

Parte a

Para F10

Fig 2.4 Problema

resuelto2.1

Fig.2.5 Problema resuelto 2.2

con

y

Por lo tanto tenemos:

Para F20

Asi la fuerza total es

Parte b

Derivemos el valor encontrado de Ft respecto a y y lo igulamos a cero y obtenemos:

3.- Se tienen dos partículas q1 y q2 como indica la figura 4. Por efecto de las fuerzas de repulsión que experimentan ambas partículas, estas se abren hasta alcanzar el equilibrio. Determine :(a) La relación de las tangentes de los ángulos. (b)La distancia x de separación de las partículas.

Solución

Parte a

Fig.2.6 Problema resuelto 3

En equilibrio tenemos que:

Diagrama de cuerpo libre para la partícula 2:

Fig.2.7 Diagrama de cuerpo libre

Así

Así

Ordenando y dividiendo miembro a miembro las ecuaciones 1 y 2, tenemos:

Del diagrama de cuerpo libre para la partícula 1. (Hágalo usted), tenemos que:

Dividiendo las ecuaciones 3 y 4, tenemos:

pero m1= 3m3, entonces tenemos:

Parte b

Tenemos x = x1+x2 (5) y para ángulos pequeños entonces

Del triangulo:

Relacione 6 con 7 e introduzca en 5 y obtenemos:

4-.Un cubo de arista d porta una carga puntual q en cada esquina. Demuestre que la fuerza eléctrica resultante sobre cualquier carga está dada por:

Solución

Calculemos primero las fuerzas a lo largo de los ejes coordenadosApliquemos la ecuación:


Cálculos de las fuerzas paralelas a las diagonales

fIG.2.9 Problema resuelto 4

Introduciendo lo anterior en la ecuación (2.5), obtenemos para cada una de las fuerzas:

Fuerza sobre la diagonal principal


Sumando todas las fuerzas (Hágalo usted), tenemos:

Sacando su modulo, nos queda:

5..-Dos globos llenos de gas helio se frotan con un trapo y se ponen a flotar en el aire. Sosteniendo una pesa de masa M = 0.70kg, mediante cuerdas aislantes de longitud L=6 m. Suponga que cuando los globos tienen la misma carga Q, el sistema flota en equilibrio en la posición indicada, quedando separadas una distancia d = 5 m. Determine el valor de la carga Q. Suponga que los globos son pequeños en comparación con su separación.

Soulucion

Primero dibujemos el diagrama de cuerpo de la pesa de masa M que está suspendida. Para hallar el modulo de tensión T1=T2=T, escribimos la ecuación de equilibrio en la dirección vertical

donde

Con los valores de L y d encuentre

Ahora considere el diagrama de cuerpo libre del globo.

Fig. 2.11 Problema resuelto 5

Fig.2.12

La ecuación de equilibrio en la dirección horizontal es:

desarrollando encontramos:

CAMPO ELECTRICOPROBLEMAS RESUELTOS

1) Se tiene dos partículas de cargas iguales y de signos diferentes, están separadas una distancia 2a como indica la figura . Determine el campo eléctrico a lo largo del eje x suponiendo que x es mucho mayor que 2a. Este tipo de estructura se conoce como dipolo eléctrico.

Solución

Tenemos que el campo total es:Aplicando la ecuación 3.2, tenemos:

Fig.3.8 Problema 1

Sumando los dos campos:

Si x>>a, entonces quedando el resultado 3.20 como:

Donde p = 2aq es el momento dipolar eléctrico.

2) Una varilla no conductora de longitud finita L (m) tiene una carga total Q ( c) uniformemente distribuida a lo largo de ella. Calcular el campo el&eocute;ctrico en un punto P perpendicular a la barra, a una distancia y en el punto medio.

Solución

Tenemos de la ecuación 3.8

Con y

Introduciendo esto en 3.8, obtenemos:

Demuestre usted que la componente a lo largo del eje x es cero. Desarrollando para el eje y, tenemos:

Integrando obtenemos:

3) Un anillo de radio a (m), tiene una carga positiva uniformemente distribuida, con una carga total Q(C). Calcule el campo

Fig.3.9 Campo de una varilla cargada

el&eocute;ctrico en un punto p a lo largo del eje y a una distancia d del centro del anillo.

Solución

TenemosCon y

donde

yDemuestre usted que las componentes x y z son ceros y solo nos queda la componente en y.

Integrando tenemos:

4) Un disco de radio a (m), tiene una carga positiva uniformemente distribuida, con una carga total Q(C). Calcule el campo el&eocute;ctrico en un punto p a lo largo del eje “y” a una distancia d del centro del disco.

Solución

Fig.3.10 Campo de un anillo

Fig.3.11El campo de un disco

TenemosCon y

donde

yDemuestre usted que Ex = EZ = 0Desarrollando para la componente y

Integrando:

5) Un cascaron cilíndrico no conductor de radio R y longitud L tiene una carga Q, Uniformemente distribuida sobre la superficie. Determine el campo eléctrico en un punto P en el eje x a una distancia a de un extremo.

Solución

Con la ecuaciónDemuestre que las componentes z y y son ceros

Así

Con

y

Introduciendo estos valores en la ecuación 3.23 e integrando desde cero hasta L, tenemos:

Fig 3.12Cascaron cil&iocute;ndrico

6) Una barra de longitud a tiene una carga total q. La barra se coloca en el eje de un disco circular aislante de radio a y con carga uniforme Q. Un extremo de la barra queda casi tocando el centro del disco. Determine la fuerza de repulsión entre el disco y la barra.

Solución

El campo eléctrico producido por un disco en un punto a lo largo de su eje esta dado por :

Considere en la barra un segmento de longitud dy ubicado a una distancia y del centro del disco. La carga contenida en ese segmento es:

Fig 3.13 Problema 6

El elemento de carga dq en la barra será repelido a lo largo del eje del disco por una fuerza dada por:

Introduzca las ecuaciones 3.24 y 3.25 en 3.26 e integre desde o hasta a, para obtener el resultado:

Fig. 3.12 Problema 6

LEY DE GAUS1.- Una caja rectangular de lados a, b y c esta localizada a una distancia d del origen de coordenadas. En la región existe un campo eléctrico que esta dado por la expresión:

Donde las constantes son : y la distancia d esta en metros. a) Calcule el flujo eléctrico a través de cada tapa.

b) Determine la carga neta que hay en la caja, suponiendo que d = 0,1m ; a = 0,2m; b = 0,3m y c = 0,4m.

Solución

Como podemos observar las cuatro caras que son paralelas al eje y, el vector campo es perpendicular a los vectores de áreas, por lo tanto el flujo en estas caras es cero.El flujo total:

Así el flujo uno es:

Calcule el flujo en la cara 2 donde x = d + c y posteriormente introduzca los resultados de los flujos 1 y 2 en 4.7 para obtener:

2) Una carga puntual Q se encuentra en el centro de un cubo de lado 2a, como indica la figura. Determine el flujo en una de sus caras.

Solución

Fig.4.4 Problema 1

Aplicando la ley de Gauss:

Donde Q es la carga total encerrada por el cubo. El cubo tiene seis caras, por lo tanto el flujo en una sola cara será dividiendo el total entre seis, es decir:

Este resultado se puede obtener aplicando integrales dobles, desarróllelo usted.

3) Una línea de carga infinitamente larga, con densidad λ(C/m), atraviesa un cubo de lado a, perpendicularmente a dos de sus caras y por su centro .¿ Cual es el flujo del campo eléctrico que atraviesa cada una de las caras del cubo?

Solución

Solo cuatro caras son

atravesadas por las líneas de campo eléctrico. ¿Por qué?Por lo tanto el flujo en una sola cara es:

4) Se tiene una línea infinita con densidad de carga uniforma. Determine el campo eléctrico a una distancia r de la línea.

Solución

Aplicando la ley de Gauss,

Fig.4.5 Problema 2

Fig.4.6 Problema 3

Fig.4.7 Problema 4

tenemos:

Las superficies de las tapas laterales no entran en la solución del problema. ¿Por qué?

En este caso S es la superficie de envoltura del cilindro imaginario o Gaussiana, desarrollando:

Quedando finalmente:

5 ) Una esfera no conductora de radio a tiene una densidad de carga por unidad de volumen uniforme. Determine el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera.

Solución

a.- Dentro de la esferaImaginase una esfera de radio r menor que a. Esta superficie encierra una carga total Q’ que llega hasta r, como podemos observar en la fig. 4.8.aAplicando Gauss:

Donde Q'n es la carga total encerrada por la Gaussiana. Calculemos esta carga por el concepto de densidad volumétrica de

carga, es decir , , asi:

Introduciendo en 4.8 tenemos:

b.- Fuera de la esfera

Fig.4.8- a Problema 5

Fig.4. 8-b Problema 5

Imaginase una esfera de radio r mayor que a. Esta superficie encierra una carga total Q que llega hasta a, como podemos observar en la fig. 4.8.bApliquemos otra vez Gauss:

Calculamos Q por el concepto de densidad:

Introduciendo en 4.9, obtenemos:

Grafique ambos resultados y analice que ocurre en r = a

6 ) Una esfera no conductora solida de radio a y carga uniforme Q está ubicada en el centro d una esfera conductora hueca descargada, de radio interior b y exterior c. Halle el valor del campo E en las regiones siguientes:a) Dentro de la esfera no conductora.b) Entre la esfera no conductora y la conductora.c) Dentro de la esfera conductora. d) Fuera de las esferas.e) ¿Cuáles son las densidades de cargas inducidas en las superficies interna y externa de la esfera no conductora?

Solución

Las partes (a) y (b), tienen el mismo resultado que el problema anterior, es decir:

c) Por definición dentro del conductor es cero. Vamos a demostrarlo.Por inducción en la superficie r = b aparece una carga –Q , idéntica a la de la esfera no conductora, por lo tanto al pasar la Gaussiana entre b y c nos queda como en la figura y la carga total encerrada por esta es cero, es decir:

Fig.4.9-a Problema 6

Fig.4.9-b.Problema 6

Aplicando Gauss tenemos:

Es decir:

d.- En la

superficie c se induce una carga +Q debido a la presencia de la carga –Q en la superficie b, por lo tanto la carga total es:

Aplicando Gauss tenemos:

Quedando finalmente:

Fig.4.9.c Problema 6

e.- La densidad de carga superficial se define como la carga por unidad de superficie, por lo tanto para la superficie de radio b, tenemos:

Y para la superficie de radio c:

7) Dos láminas infinitas no conductoras, con carga uniforme están enfrentadas paralelamente. La de la izquierda tiene una densidad de

carga superficial y l. a de la derecha . Halle el campo eléctrico en todas las regiones , para la siguiente configuración :

Solución

El campo eléctrico producido por una lamina infinita esta dado por:

Normal a la superficie

El campo resultante se obtiene por la superposición de los campos generados por cada lámina.

Izquierda:

Centro:

Derecha:

Fig.4.10-a- Problema 7

8 ) .-Sea una lamina plana e infinita de espesor 2a, no conductora, con una carga uniforme con densidad volumétrica . Halle el campo eléctrico en términos de la distancia x, medido desde el plano medio de la lamina.a.- Dentro de la lámina.b.-Fuera de la lamina. c.-Grafique el modulo de E en función de x.

Solución

a.- Para x < a se escoge una superficie gaussiana, , en forma de una cajita cilíndrica de largo 2x..Fig.4.11.b.

Fig.411.b Problema 8

a.-En las caras laterales el campo E es paralelo al vector superficie S1 y por lo tanto el flujo en cada cara es EA. Sobre las superficies curvas el flujo es

Fig.4.11.a Problema 8

cero ¿Por qué? .Aplicando Gauss-:

Donde:

Por lo tanto, el campo eléctrico dentro de la lámina es:

b.-Para hallar el campo afuera se escoge una superficie gaussiana mas grande S2, en forma de cajita cilíndrica de la largo 2ª y área A. El flujo total sobre la superficie de la cajita es:

y la carga encerrada es:

Aplicando la ley de Gauss:

Por lo tanto, el campo eléctrico fuera de la placa es:

c.- Dentro de la lámina el crece linealmente, mientras que afuera el campo es uniforme.

Fig.4.11.c Problema 8

9 ) Una esfera de radio R y carga uniforme por unidad de volumen , tiene una cavidad esférica. El centro de la cavidad esta desplazada respecto al centro de la esfera por una distancia a. Demuestre que el campo eléctrico en la cavidad es uniforme y viene dada por:

Siendo a el vector posición que apunta desde el centro de la esfera al centro de la cavidad.

Solución

Supongamos que la cavidad

Fig.4.12.a. Problema 9

es una esfera de signo negativo. Por lo tanto el campo total en un punto situado dentro de la cavidad es la superposición del campo creado por la esfera de radio R y por la esfera de radio b que es la cavidad.Del problema 5, tenemos que el campo E en el punto p debido a la esfera de radio R, es:

Y el campo E’ creado por la cavidad en el mismo punto es:

Por el principio de la superposición:

De la fig.4.11.b, tenemos:

Fig.4 .12b Problema 9

yAsí:

Desarrollando:

10.- Una esferita no conductora de masa m tiene una carga q y esta suspendida por un hilo aislante que forma un ángulo Ѳ con una hoja no conductora y muy grande uniformemente cargada. Calcule la densidad superficial σ, de la hoja.

Solución

Como la esferita esta en equilibrio, la fuerza neta en cada dirección es cero:

Eliminando T y tomando

tenemos:

Fig.4.13 Problema 10

POTENCIAL ELECTRICO

1) Cuatro prtículas q1=q, q2=-3q,q3=4q y q4=-2q se encuentran ubicadas en los puntos indicados en la fig.. a) Determine el potencial total en el punto P. b) Determine el trabajo para llevar una partícula q0 desde A hasta B.

Solución

a.- El potencial total en el punto P es:

Calculando el potencial para cada partícula tenemos:

Sumando tenemos:

b.-Para el cálculo del trabajo utilizamos la ecuación:

El potencial total en A y B es:

Fig.5.9 Problema 1

El trabajo total es:

¿Qué significado tiene el signo negativo?

2)Determine la energía necesaria para colocar cuatro partículas en los vertices de un cuadrado de lado a, como se indica en la fig. .

Solución

De acuerdo a la ecuación (5.17), la energía necesaria para colocar las cuatro partículas en el cuadrado es:

SeaConSustituyendo todo esto en la expresión anterior, tenemos:

3) Aplicando el concepto de potencial electrico determine el potencial electrico dentro de una esfera de radio a con densidad de carga uniforme( carga por unidad de volumen constante).

Solución

El potencial se define como el trabajo para traer una partícula desde el infinito hasta una distancia r con velocidad contante, es decir:

Así

Donde W1 es la trabajo para traer la partícula desde el infinito hasta la

Fig.5.10 Problema 2

Fig.5.11 Problema 3

superficie de la esfera, y W2 , es el trabajo para llevar a la partícula desde la superficie hasta el punto r en el interior de la esfera.Calculo del W1

Con Desarrollando:

Calculo del W2

Con Desarrollando:

Sumando los dos trabajos y dividiendo entre q0, tenemos:

Del resultado anterior encuentre el campo eléctrico en el interior de la esfera. Utilice la ecuación:

¿Qué opina usted al respecto?

4) Se tiene un anillo de radio a y densidad de carga por unidad de longitud constante. a) Determine el potencial en un punto a lo largo del eje x. b)Si se coloca una partícula q0 en el centro del anillo y se le da un pequeño desplazamiento para separarlo del equilibrio esta se va al infinito del eje x, determine la velocidad en el infinito.

Solución

a.- Aplicamos la ecuación (), tenemos:

Integrando:

Fig.5.12 Problema 4

b.- Para hallar la velocidad en el infinito, aplicamos el principio de la conservación de la energía.

Como la partícula parte del reposo E0=0 y la energía potencial en el infinito es cero. Así.

Introduciendo en la ecuación de la energía tenemos:

5.-Una esferita de masa m y carga positiva q está suspendida por un hilo aislante de longitud L . Desde una gran distancia se la va acercando lentamente otra esferita con carga positiva Q hasta ocupar la posición original de la esferita suspendida. Como resultado la esferita q se ha elevado una distancia h. Calcule el trabajo realizado en el proceso.

Solución

La esferita de carga q estará en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas: el peso mg, la tensión T y la repulsión eléctrica Fe. La fuerza eléctrica es:

Por la similitud de los triángulos formados, se tiene respectivamente:

y

Combinando estas tres ecuaciones, tenemos:

A esta separación la energía potencial electrostática del sistema es:

Fig.5.13 Problema 5

Fig.5.14 Problema 5El trabajo neto para elevar la esferita será la suma de la energía potencial electrostática y la energía potencial gravitacional:

Nos queda:

6.- Una varilla delgada aislante de longitud L tiene una densidad de carga uniforme λ. Tómese V = 0 en el infinito. (a) Determine el potencial eléctrico en un punto P sobre la mediatriz de la varilla, a una distancia b del eje x. (b) Si la línea de carga fuera infinita. ¿ se podría obtener el potencial a partir de la expresión obtenida en la parte a?

Solución

Tomemos un elemento infinitesimal de carga , como se indica en la figura. Para obtener el potencial en el punto P integramos sobre toda la varilla.

Integrando, obtenemos:

b.-Para la varilla infinita, no se puede usar esta expresión de V. ¿Por qué?Al usar la expresión anterior para hallar el potencial cuando la varilla es infinita, el potencial V resulta infinito y esto físicamente no tiene solución. Esto es un inconveniente que se presenta en el caso de distribuciones infinitas de cargas, y es consecuencia de haber usado la expresión para el potencial que es válida cuando se le asigna a priori el valor de referencia cero ( V = 0) en r infinito.

7.-Determine el potencial eléctrico a una distancia r de una línea infinita de carga con densidad de carga constante.

Fig.5.16 Problema 6

Solución

Primero calculemos el campo eléctrico por medio de la ley de Gauss:

A partir del campo eléctrico, calcularemos la diferencia de potencial entre los puntos A y B situados a las distancia a y b de la línea de carga.

Fig.5.18 Problema 7

Introduciendo el campo E e integrando obtenemos:

En esta expresión si tomamos VB = 0 cuando b tiende al infinito, entonces el potencial en el punto A es infinito, es decir:

Por esta razón conviene escoger como referencia V = 0 en un punto arbitrario situado a una distancia b = r0. Así el potencial a cualquier otra distancia viene dada por:

8.-Un anillo circular tiene una carga Q distribuida uniformemente sobre su Superficie que está comprendida dentro de los radios a y 2a. Un electrón se aproxima en el eje del anillo pasando por el centro A con una rapidez uA. Si el electrón alcanza una posición máxima B a distancia 3a del centro y se devuelve. ¿Con que rapidez había pasado por el centro del anillo?

Solución

Primero calculamos el potencial

Fig.5.17 Problema 7

Fig.5.19 Problema 8

en el eje del disco, para ello utilizamos la ecuación 5.19

Integrando:

Evaluando los potenciales en los puntos z = 0 y z =3a, tenemos:

Aplicando el principio de la conservación de la energía y tomando en cuenta que la velocidad en B es nula se tiene:

Desarrollando tenemos:

9.-Una esfera solida de radio interior a y radio exterior b tiene una carga Q distribuida uniformemente. Determine el potencial en función de la distancia r desde el centro. a.- a < r < b, b.- r < a

Solución

a.-Para resolver este problema aplicamos el concepto de potencial eléctrico, es decir:

Tenemos que traer una partícula q0 desde el infinito hasta un r menor que b y mayor que a.

Aplicando la ley de Gauss calculamos los campos E1 y E2

Estos resultados usted los obtuvo del capítulo anterior. Introduciendo en la

Fig.5.20 Problema 9

expresión del trabajo total y posteriormente dividiendo entre q0, obtenemos para el potencial entre a < r < b :

b.- Para la región interior donde está el hueco, el campo eléctrico es cero, ¿Por qué?. Como el campo eléctrico es cero, entonces el potencial en el hueco es constante hasta la superficie. Si calculamos el potencial en la superficie automáticamente este es el mismo potencial en el interior, por lo tanto si evaluamos el resultados anterior en r = a, obtenemos el potencial en r < a:

10.- Dos conchas metálicas concéntricas de radios R1 y R2 tiene cargas Q1 y Q2 respectivamente.a.- Determine el potencial eléctrico en todas las regiones.

b.- ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las dos esferas?

Solución

El principio de superposición nos permite calcular los potenciales de cada esfera por separadas y posteriormente se suman.a.- Los potenciales debido a cada esfera para r > R2 son V1 Y V2, cuya suma nos da:

b.- Para la región R1 < r < R2, los potenciales por separados son:

Así el potencial total en esa región es:

Para la región interior (r < R1) ambos potenciales son constantes:

Así el potencial total en esta región es:

c.-Para hallar la diferencia de potencial entre las dos esferas, usamos la expresión de V(r) para R1 < r < R2, la evaluamos en R1 y luego en R2, para obtener:


CONDENSADORES1-Dos condensadores están cargados a una diferencia de potencial . Se desconectan de la fuente y se unen entre si con polaridad opuesta, es decir, el lado positivo de un condensador con el lado negativo del otro, y viceversa. (a) Halle la carga iníciales de los condensadores. (b) Halle la nueva diferencia de potencial. (c) Determine las cargas finales de los condensadores.

Solución

a.-Las cargas iníciales en los

condensadores:

b.- Cuando se conectan con polaridad opuestas, habrá una compensación parcial de cargas entre los condensadores, por lo tanto la carga neta será:

Como podemos observar la carga se distribuye hasta que la diferencia de potencial es la misma:

Fig.6.14 Problema 1

Fig.6.14 Problema 1 Fig.6.15 Problema 1

Y nos queda:

c.- Las nuevas cargas son:

2.-Un condensador esta constituido por dos piezas metálicas, una placa es completamente plana de área A y la otra tiene dos secciones planas en forma de escalón, como se muestra en la figura. Halle la capacidad del condensador.

Solución

Si se aplica un voltaje , los campos eléctricos en las regiones izquierdas y derechas son:

La cargas en cada placa son:

Donde , asi la carga total en el condensador será:

Fig.6.16 Problema 2

Así por definición:

Este resultado se puede obtener suponiendo el sistema como dos condensadores en paralelo. Hágalo usted.

3.- Las láminas de un condensador plano están separadas 5 cm y tienen 2 m2 de superficie. Inicialmente el condensador se encuentra en el vacío. Se le aplica una diferencia de potencial de 10000 voltios.(I) Calcular la capacidad del condensador, la densidad superficial de carga, la intensidad del campo eléctrico entre las placas, la carga de cada lámina. (II) Se introduce un dieléctrico de constante dieléctrica igual a 5 y se desconecta el condensador de la fuente de tensión. Calcular en estas nuevas condiciones la capacidad, la intensidad del campo eléctrico entre las placas y la diferencia de potencial entre las láminas del condensador. (III) Se elimina la capa del dieléctrico y se sustituye por dos dieléctricos de espesores 2 mm y 3 mm y cuyas constantes dieléctricas relativas son 5 y 2. Calcular la capacidad del condensador y la diferencia de potencial entre las láminas del condensador.(IV) Si el dieléctrico del segundo caso ocupara solo la mitad de la superficie de las placas, calcular la capacidad del condensador, y el trabajo que hay que realizar para extraer el dieléctrico.

Solución

Parte Ia.- La capacidad de un condensador de placas paralelas que se encuentra en el vacio está dada por:

b.- la carga en una de la placa es:

C.- La densidad superficial es:

d-El campo eléctrico es:

Parte II

Fig.6.17 Problema 3

Fig.6.18 Problema 3

a-al introducir el dieléctrico la capacidad aumenta en el factor k

b.- el voltaje disminuye:

c.- el campo disminuye:

Parte III

Fig 6.19 Problema 3

La nueva capacidad es en la figura es :

Parte IV

Fig.6.20 Problema 3

a.- La nueva capacidad en la figura es:

4.- Calcular la capacidad de un condensador esférico formado por dos cortezas metálicas conductoras de radios a (interior) y b (exterior), cargadas con cargas de igual valor Q y -Q. Suponga que a = 0.1 mm, b = 0.2 y Q = 1x10-6Col.

Solución

Se calcula el campo entre las dos esfera por la ley de Gauss :

Obtenemos:

Luego calculamos la diferencia de potencial entre las placas:

Fig.6.21 Problema 4

Finalmente:

5.- Calcular la capacidad por unidad de longitud de un condensador cilíndrico formado por dos cortezas metálicas conductoras de radios a (interior) y b (exterior), cargadas con cargas de igual valor Q y -Q. Suponga que a = 0.1 mm, b = 0.2mm y Q = 1x10-6

Solución

Calculamos el campo eléctrico entre a y b por Gauss:

Ahora calculamos la diferencia de potencial entre las placas:

Finalmente obtenemos:

6.- Determine la fuerza de atracción entre las dos placas de un capacitor de placas paralelas. Considere los dos casos:

El condensador tiene carga fija. El condensador está conectado a una batería y la diferencia de

potencial es constante. ¿Por qué las dos expresiones son distintas?

Solución

Fig.6.22 Problema 5

a.- Sabemos que la energía almacenada en el condensador cuya separación es x y área A es :

La fuerza de atracción entre las placas es:

b.-Si el voltaje es constante, la energía almacenada es:

Fuerza de atracción entre las placas es:

7.- Un condensador tiene placas cuadradas de lado a, que no son paralelas sino que forman un ángulo con entre si, siendo la separación mínima. Demuestre que para pequeño, la capacidad es aproximadamente:

Solución

Para ángulos de inclinación pequeño. Podemos suponer que el campo eléctrico es vertical y por lo tanto podemos considerar a la placa compuesta por tiras infinitesimales de espesor dx a una distancia x del origen y separadas por una distancia vertical y.

Fig.6.24. Problema 7

La capacidad de este capacitor infinitesimal es:

Si el ángulo es pequeño tenemos:

Así Por lo tanto

Fig.6.23 Problema 7

Introduciendo en dC tenemos: Integrando:

Siy aplicando la ecuación:

Tomemos los dos primeros términos, y obtenemos:

8.- Dos alambres rectos y largos de radio a están paralelamente con una separación d >> a , determine la capacidad por unidad de longitud.

Solución

El campo eléctrico entre los dos alambres es:

Fig.6.26 Problema 8

La introducimos en:

Y obtenemosSi L es la longitud del alambre, la capacidad es:

Y para d >> a es:

9.- Un bloque de material de constante dieléctrica k y de espesor b es insertado entre las placas de un condensador de placas paralelas de área A y separación d. Determine la nueva capacitancia.

Solución


Si consideramos que el condensador está constituido por tres condensadores en serie de igual área, entonces:

Donde:

Desarrollando:

10.- Un condensador de placas paralelas planas, de área LxL y separación entre las placas d << L. Está lleno de un dieléctrico no uniforme, cuya constante varía linealmente de una placa a la otra. En la placa inferior el valor de la constante dieléctrica es K0 , mientras que en la superior es k1. Determine la capacidad.

Solución

La constante dieléctrica es una función lineal de la coordenada y:

Dividimos el dieléctrico en tiras de espesor dy, y área LxL, así la capacitancia de esta tira es:

Estas tiras se pueden considerar como condensadores conectados en series, por lo tanto la capacidad total es el inverso, es decir:


Introduzca el valor de k(y) e integre para obtener:

Fig.6.27 Problema 9


CORRIENTE ELECTRICA

PROBLEMAS RESUELTOS

1 . -Sobre un resistor de 10 ohms se mantiene una corriente de 5 A durante 4 minutos. ¿Cuántos coulomb y cuantos electrones pasan a través de la sección transversal del resistor durante ese tiempo.

Solución

Tenemos:

Recuerde que:donde tenemos

Así:

2.-E n una resistencia de 12 Ω la corriente aumenta de 1 A a 2 A en un intervalo de tiempo de 2s. ¿Cuál es la energía térmica generada en ese intervalo?

Fig.7.11. Problema 1

Solución

Como la corriente varia linealmente, tenemos:

por lo tanto

Así la energía disipada es:

3.- En el modelo de Bohr del átomo de hidrogeno, un electrón gira en una órbita circular de radio r=5,3x10-11m alrededor del núcleo.a.- halle la velocidad del electrón.

b.- ¿Cuál es la corriente efectiva asociada al electrón?

Solución

a.-Aplicando la segunda ley de Newton, tenemos:

Despejando obtenemos:

b.- El tiempo empleado en dar una vuelta completa es y la corriente es:

.Recuerde: m = 9,1x10-31kg y e=1,6x10-19C.

4..Suponga un cable de diámetro 1,02 mm, que se conecta a un bombillo de 100W a la red de alimentación de 120 voltios.a.-Calcule la densidad de corriente en el cable.b.-Calcule la velocidad de arrastre de los electrones.c.->Demuestre que el tiempo que le tomaría a un electrón trasladarse en un cable de 5m de largo es de varias horas.

d.- Siendo tan pequeña la velocidad de arrastre de los electrones .¿Porque un bombillo se enciende casi al instante de accionar el interruptor?

Fig 7.12 Problema 3

Solución

a.- La corriente en el alambre es:

Si el áreaLa densidad de corriente es:

b.-En el cobre existe un electrón de conducción por cada átomo, luego el numero n de electrones por unidad de volumen es igual al número de átomo por unidad de volumen. Si ρ es la densidad del cobre, M su masa molecular y NA el número de Avogadro entonces:

Despejando n obtenemos:

Así la velocidad de arrastre es:Recuerde que para el cobre tenemos la masa molecular M=63,5x10-3kg/mol y la densidad ρ=8,92x103kg/m3.c.- Para recorrer una longitud de 5 metros, el tiempo en emplearlo fue:

d.- ExplicaciónLos electrones que provocan el calentamiento del filamento no son los que estaban en las proximidades del interruptor, son los que ya estaban presentes en el filamento.

5.-El espacio entre dos tubos coaxiales de radios a y b, se llena de un material de resistividad ρ. Determine la resistencia total de un pedazo del material de longitud L medida entre el tubo interior y el tubo exterior.


Solución

Dividimos el cilindro en conchas cilíndricas de longitud L, radio r y espesor muy delgado dr, entonces la resistencia infinitesimal es:

Integrando desde a hasta b:

6.- determinar la resistencia entre las caras opuestas de un bloque de longitud L y anchura w constante, pero su altura aumenta desde y1 hasta y2 .

Solución

Consideremos una tajada de material de espesor dx ubicada a una distancia x de la primera cara, con ancho w y altura y. La resistencia de la tejada es:

Observe la siguiente figura y obtenga la linealidad entre y y x


Fig.7.15 Problema 6

Fig.7.16 Problema 6

Desarrolle y obtenga

7.-Un conductor de 600 metros de longitud tiene una resistencia de 20 ohmios y una resistividad de 0,02 Ω . mm2 / m. Calcular el diámetro del conductor ?

Solución

Calculemos el área:

Así

8-.Determine la resistencia que ofrece al paso de la corriente eléctrica radial, un material de resistividad colocada entre dos cascarones esféricos de radios a y b.

Solución

Para determinar la resistencia, consideremos como elemento diferencial , un cascaron esférico del material de radio r,

Fig.7.17 Problema 8

espesor dr y área . La resistencia de este elemento es:

Fig.7.18 Problema 8

Integrando desde a hasta b, obtenemos:

CORRIENTE CONTINUA CC

Problemas

1.)(a) ¿Cual es la corriente en la fig. 8.12. (b)¿Cual es la diferencia de potencial entre a y b? y ¿Cual es la diferencia de potencial entre a y c?

Solución

Datos

Fig.8.12 Problema 1

a.-Recorriendo el circuito en el sentido de las manecillas del reloj desde el punto a, hasta a, nos da:

b.-Para hallar la Vab comencemos en el punto b hasta el punto a.

2.) Para la red mostrada en la fig.8.13 Determine: a) la corriente en cada resistor; b) la potencia disipada en el resistor de 2Ω; c) voltaje entre los puntos a y c de la red.

Solución

a.-Lo primero que tenemos que hacer es asignarle arbitrariamente las direcciones a las corrientes. Esto se indica en la figura 8.12, es decir, de la primera ley de Kirchoff:

Es necesario, entonces, plantear dos ecuaciones adicionales. Estas se obtienen de la segunda ley de Kirchoff

Agrupando las relaciones anteriores y ordenándolas en I1, I2 Y I3.

Esto lo podemos colocar en forma matricial:

Para hallar las corrientes, tenemos:

Desarrollando por la primera columna, el valor de los determinantes es:

Así obtenemos para I1:

Desarrollando para I2 Y I3 :

Fig.8.13 Problema 2

Como los signos de las corrientes son negativos, ellas tienen direcciones contrarias a las asumidas.

b.-La potencia disipada en la resistencia de 2Ω es:C.- Para determinar la diferencia de potencial entre a y c, vamos desde el nodo a hasta el nodo c, pasando por el nodo b. Así se tiene:

Desarrolle el mismo problema, pero por el camino adc.

3.) Un resistor de 6,2 mega ohmios y un condensador de 2.4 micro faradio están conectados en serie, y a través de esta combinación se conecta una batería de 12V de resistencia interna insignificante. (a) ¿Cual es la constante de tiempo capacitiva del circuito?. (b)¿En qué tiempo, después de haber conectado la batería, la diferencia de potencial en el condensador es igual a 6.5V?

Solucióna.-De la ecuación 8.5, tenemos:b.-La diferencia de potencial en el condensador es V=q/C, la cual de acuerdo a la ecuación 7. Se puede escribir

Al despejar t, obtenemos

Como vemos antes, después de un tiempo de 15seg, la diferencia de potencial en el condensador es de 0.63E=7.6V.Resulta razonable que, en el tiempo más breve de 9.4seg, la diferencia de potencial en el condensador es de 5.6V.

4.) Un condensador C se descarga a tráves de un resistor R. (a) Después de cuántas constantes de tiempo disminuye su carga la mitad de su valor inicial?. (b)¿ Despúes de cuántas constantes de tiempo la energía disminuye la mitad de su valor inicial?

Solución

La carga en el condensador varía de acuerdo a la ecuación

Fig.8.14 Problema 4

Donde qo es la carga inicial. Buscamos el tiempo t al cual q=(1/2)qo o sea

Aplicando logaritmos en ambos lados tenemos:

b.- Hágalo usted.

5 .- En el circuito mostrado en la figura determine.

a.- La corriente en cada resistencia.b.- Las potencias disipadas en las resistencias y las generadas por las baterías.

c.- Haga un balance energético para verificar que la potencia total gastada coincide con la potencia total generada.

Solución

Datos:

,

Asignemos a priori corrientes independientes y , que circulan en sentidos horarios. Para escribir las ecuaciones de Kirchhoff, se recorren las mallas en el mismo sentido que las corrientes:

Fig.8.16 Problema 5

a.-Desarrollando encontramos

b.- Para hallar las potencias en las resistencias usaremos la ecuación:

Fig.8.15 Problema 5

Así:Estas potencias son gastadas en el proceso.

Para hallar las potencias generadas en las baterías usaremos la ecuación:

Pero la potencia en la batería , es gastada por que la absorbe de las otras dos al entrar la corriente por borne positivo. Asi la potencia total gastada en el proceso es:

Y la generada:

6.- En el circuito mostrado totas las resistencias son iguales a . El capacitor esta inicialmente descargado y en t = 0 se cierra el interruptor.

Determine la corriente en cada resistencia en t cero. Determine la corriente en cada resistencia y la carga del

condensador en t infinito

Solución

a.- Para cuando se cierra el interruptor S, el condensador esta descargado y este se comporta como un alambre, quedando el circuito de la siguiente forma:

Fig.8.18 Problema 6

Desarrollando obtenemos:

Y como la corriente se divide por igual:

b.-Para , el capacitor estará completamente cargado y la corriente en esta rama será cero, es decir es como si esta rama estuviese desconectadaDesarrollando:

Fig.8.17 Problema 6

Fig.8.19 Problema 6

Como no hay caída de tensión en , el voltaje en el condensador es el mismo que el de la resistencia , es decir:

Y la carga final es:

7.- Del problema anterior determine para cualquier instante de tiempo :>

La carga en el condensador. La corriente en cada resistencia.

Compruebe que las expresiones obtenidas cumplen los casos limites del problema anterior para.

Solución

Aplicando Kirchhoff:

Si despejamos de la ecuación (3) y la sustituimos en la ecuación (1), se obtiene:

Fig.8.20 Problema 7

Sustituyendo esta expresión de I2 en la ecuación (2), y tomando en cuenta que

Separando variables:

Desarrollando:

b.- La corriente en el capacitor es , y se obtiene derivando la carga:

Reemplazando

Así:

resume n

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