resueltos_b4_t6

Ejercicios resueltos 1

Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica

MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel GonzálezGG33ww

Bloque 4. Cálculo Tema 6 Integración básica

Ejercicios resueltos 4.6-1 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando la propiedad de

linealidad y la tabla de integrales inmediatas:

)

)

)

)

)

)

)

2

4

2

3 2

2

2

2

1

5

3

35 5

49 9

x

a x dx

b dxx

x xc dx

x

d e senx dx

e x dx

f dxx

g dxx

Solución

)2 2 2

3 2 32

2 4 4 4 4

4 4 2 43 2 3

a x dx x x dx x dx xdx dx

x x xx C x x C

)3

44 3

1 1 13 3

xb dx x dx C C

x x

)

ln

2

2

5 5 11 5

52

x xc dx x dx xdx dx dx

x x x

xx x C

) cos3 3 3 x x xd e senx dx e dx senxdx e x C

)5 3

3 3 32 2 3 5 3 5 23 3 35 3 5 5 5

xe x dx x dx C x C x C x x C

) 2 2

3 3 1 35 5 5 1 5

f dx dx arctagx Cx x

) 2 2 2

4 4 1 4 1 29 9 9 1 9 31

g dx dx dx arcsenx Cx x x




4.6-2 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando algún cambio de variable apropiado:

)

)cos

)

)

)

ln)

)cos

2

3

4

4

2

1

2

3

21

x x

tagx

a x x dx

senxb dx

x

xc dx

x

d e e dx

xe dx

xx

f dxx

eg dx

x

Solución

)

5 2 3 21 2 1 2 3 2 1 2

5 2 3 25 2 3 2

11 1

5 2 3 22 2 2 2

1 15 3 5 3

t x

a x x dx t tdt t tdt tdtdt dx

t tt t dt t dt t dt t dt C

t t C x x C

cos

)cos

cos

1 21 2

1 21 2

1

2 2 21 2

t xsenx dt

b dx dt t dtdt senxdx tx t

tC t C t C x C

) ln ln32

33 2

2 1 1 12

2 3 3 33 t xx dt

c dx t C x Cx tdt x dx

)

554 4

333

5 5

xxx x

x

et e td e e dx t dt C C

dt e dx

)2

24 2

2 11 12

t xxe dx dt arctagt C arctag x C

x tdt xdx

ln lnln

)

22

1 2 2

t x xx tf dx tdt C C

x dt dxx

)cos

cos2

2

1 tagx

t t tagx

t tagxe

g dx e dt e C e Cx dt dx

x




4.6-3 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando el método de integración por partes:

) ln

) ln

)

)

)

)

)

2

2

x

x

x

a xdx

b x xdx

c xe dx

d x e dx

e arcsenxdx

f e senxdx

g x senxdx

Solución

ln

) ln ln ln

ln

dx

u x du dxa xdx x x x x x dxx

xdv dx v x

x x x C

ln) ln ln

ln ln ln

22

2

2 2 2 2 2

12 2

21 1

2 2 2 2 2 2 4

dxu x du

x dxxb x xdx x x

xxdv xdx v

x x x x xx xdx x C x C

) x x x x x

x x

u x du dxc xe dx xe e dx xe e C

dv e dx v e

)2

2 2

2

2 2

22

2

2 2 2 2

x x x

x x

x x xx x

x x x x x x

u x du xdxd x e dx x e xe dx

dv e dx v e

u x du dxx e xe e dx

dv e dx v e

x e xe e dx x e xe e C




) 22

21 22

1 21 2

1 22 2

11

11

2

1 12 2 1 2

1 1

dxu arcsenx du x

e arcsenxdx xarcsenx dxxxdv dx v x

t xxarcsenx x x dx

dt xdx

txarcsenx t dt xarcsenx C

xarcsenx x C xarcsenx x C

) cos coscos

cos

cos

cos

cos

2

2

x xx x x

x x

x x x

x x x

xx

u e du e dxf e senxdx e x e xdx

dv senxdx v x

u e du e dx

dv xdx v senx

e x e senx e senxdx

e senxdx e x e senx

e senx xe senxdx C

) cos coscos

cos

cos

cos cos

22 2

2

2

22

2 2

2 2

u x du xdxg x senxdx x x x xdx

dv senxdx v x

u x du dx

dv xdx v senx

x x xsenx senxdx

x x xsenx x C




4.6-4 Resuelve las siguientes integrales indefinidas de funciones racionales:

)

)

)

)

)

)

)

xa dx

x x x

xb dx

x x x

c dxx x x

x xd dx

x

x xe dx

x x

x xf dx

x x

x x xg dx

x

2

3 2

2

3 2

3 2

2

2

2

3 2

2

2

4 3 2

121

6 12 84

5 7 33 2

98

42 1

8 163 2 1

5

Solución

)2

3 2 23 2

12 2 1 2

2 x

a dx x x x x x x x x xx x x

2

3 2

12 1 2

x A B C

x x x x x x

2 1 1 2 2 1x A x x Bx x Cx x

:

:

:

0 1 2 1 21 2 3 2 32 5 6 5 6

x A A

x B B

x C C

ln ln ln

2

3 2

1 1 2 52 2 3 1 6 2

1 2 51 2

2 3 6

x dx dx dxdx

x x x x x x

x x x C

)2

33 23 2

16 12 8 2

6 12 8 x

b dx x x x xx x x

2

3 2 3

122 2 2

x A B C

xx x x

22 21 2 2 4 4 2x A x B x C Ax Ax A Bx B C




:

:

:

2

1

0

1 10 4 41 4 2 5

x A A

x A B B

x A B C C

ln

2

2 33 2

2

14 5

6 12 8 2 2 2

4 52

2 2 2

x dx dx dxdx

x x x x x x

x Cx x

)c dx x x x x xx x x

23 23 2

45 7 3 1 3

5 7 3

A B C

x xx x x

2 2

41 31 3 1

A x x B x C x 24 1 3 3 1

:

:

:

x B A

x C B

x A B C C

1 4 2 13 4 4 20 4 3 3 1

ln ln

dx dx dxdx

x x x x xx

x x Cx

23 2

42

5 7 3 1 31

21 3

1

)x x

d dx x x x xx

2

2 22

3 23 2 1 9 3 11

9

x x xdx dx dx x x x

x x

2

22 2

3 2 3 119 3 3

9 9

x A B

x x x

2

3 119 3 3

x A x B x 3 11 3 3

:

:

x A A

x B B

3 2 6 1 33 20 6 10 3

ln ln

x x x dx dxdx dx dx x

x x x x

x x x C

2

2 2

3 2 3 11 1 109 9 3 3 3 3

1 103 3

3 3




)x x

e dx x x x xx x

2

3 2 23 2

84 4

4

x x A B C

x x x x x

2

3 2 2

84 4

x x Ax x B x Cx Ax Ax Bx B Cx 2 2 2 28 4 4 4 4

:

:

:

x A C A

x A B B

x B C

2

1

0

1 1 41 4 28 4 3 4

ln ln

x xdx dx dx dx

x x x x x

x x Cx

2

3 2 2

8 1 1 1 3 12

4 4 4 4

1 2 34

4 4

)x x

f dx x x x x xx x

2

2 22

2 12 1 2 8 16 17 31

8 16

x x xdx dx dx x x x

x x x x

2

222 2

2 1 17 312 8 16 4

8 16 8 16

x A B

xx x

2 2

17 3144 4

x A x B 17 31 4

:

:

Ax A

Bx A B

1

0

17173731 4

ln

x xdx dx dx dx

x x x x

x x Cx

2

22

2 1 1 12 17 37

8 16 4 4

372 17 4

4

)x x x

g dxx

4 3 23 2 15

x x x x x x x 4 3 2 3 23 2 1 2 8 40 5 201

ln

x x xdx x x x dx dx

x x

x x xx x C

4 3 2

3 2

4 3 2

3 2 1 2012 8 40

5 5

2 8 40 201 54 3 2

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