respuesta transitoria de sistemas

PRACTICAS

REGULACION AUTOMATICA

Introduccin: alternativas para el anlisis temporal de sistemas con Matlab

6.1. Comandos MATLAB para el anlisis de sistemas LTI en el dominio del tiempo

6.2. Respuesta temporal de sistemas de primer orden

6.3. Respuesta temporal de sistemas de segundo orden

6.4. Respuesta temporal de sistemas de orden superior. Sistema reducido equivalente

6.5. Respuesta temporal de sistemas usando el LTI Viewer

6.6. Respuesta temporal de sistemas lineales y no lineales con SIMULINK

RESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMASRESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMAS

PRACTICAS

P6. 2

REGULACION AUTOMATICA1. Utilizar la librera de funciones Matlab relacionadas

con sistemas de control. Para el anlisis transitorio de sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI), MATLAB dispone de un conjunto de comandos que se encuentran en el Control System Toolbox.

2. Utilizar el LTI Viewer, que es una interfaz grfica de usuario (GUI) incorporada en Matlab que permite el anlisis temporal y frecuencial de sistemas LTI

3. Utilizar Simulink, construyendo el diagrama de bloques del sistema y realizando la simulacin del sistema ante las entradas de prueba deseadas. Tiene la ventaja de que puede calcular y dibujar la respuesta de sistemas lineales y no lineales. Adems puede visualizarse no slo la respuesta del sistema, sino tambin variables intermedias de inters

INTRODUCCION: ALTERNATIVAS PARA EL ANALISIS INTRODUCCION: ALTERNATIVAS PARA EL ANALISIS TRANSITORIO DE SISTEMAS CON MATLABTRANSITORIO DE SISTEMAS CON MATLAB

Enfoques para el anlisis temporal de sistemas LTI :

PRACTICAS

P6. 3


Respuesta al impulso :

6.1. COMANDOS MATLAB PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS EN 6.1. COMANDOS MATLAB PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPOEL DOMINIO DEL TIEMPO

t

=

0,00,

)(tenten

t

)(tr

Comando MATLAB Descripcinimpulse(num,den)

impulse(num,den,t)

impulse(sys)

impulse(sys,t)

impulse(sys1, ,sysn,t)

Calcula y dibuja la respuesta al impulso unitario de un sistema con numerador num y denominador den. La duracin de la simulacin se ajusta automticamente para mostrar correctamente la respuesta transitoria del sistema

Calcula y dibuja la respuesta al impulso unitario en el intervalo de tiempo especificado en t

Calcula y dibuja la respuesta al impulso unitario del sistema sys (definido como sys=tf(num,den) )

Calcula y dibuja la respuesta al impulso unitario del sistema sys en el intervalo de tiempo predefinido t

Calcula y dibuja en la misma figura la respuesta al impulso unitario de varios sistemas LTI

La respuesta al impulso unitario se puede obtener mediante el comando impulse.

PRACTICAS

P6. 4



Respuesta al escaln:

t

)0(1)( = ttu

)(tr

1

Comando MATLAB Descripcinstep(num,den)

step(num,den,t)

step(sys)

step(sys,t)

step(sys1, ,sysn,t)

Calcula y dibuja la respuesta al escaln unitario de un sistema con numerador num y denominador den. La duracin de la simulacin se ajusta automticamente para mostrar correctamente la respuesta transitoria del sistema

Calcula y dibuja la respuesta al escaln unitario en el intervalo de tiempo especificado en t

Calcula y dibuja la respuesta al escaln unitario del sistema sys (definido como sys=tf(num,den) )

Calcula y dibuja la respuesta al escaln unitario del sistema sys en el intervalo de tiempo predefinido t

Calcula y dibuja en la misma figura la respuesta al escaln unitario de varios sistemas LTI

0

La respuesta al escaln unitario se puede obtener mediante el comando step.

PRACTICAS

P6. 5



Respuesta temporal a una seal arbitraria:

La respuesta a cualquier entrada arbitraria se puede obtener mediante el comando lsim. La instruccin gensig permite generar seales peridicas de tipo senoidal, cuadrada y triangular.

t

)( tr

t

)(tr

t

)(tr

Comando MATLAB Descripcinlsim(num,den,u,t)

lsim(sys,u,t)

lsim(sys1, ,sysn,u,t)

[u,t]=gensig(tipo,tau,Tf,Ts)

Calcula y dibuja la respuesta a una entrada arbitraria u en el intervalo de tiempo especificado en t

Calcula y dibuja la respuesta a una entrada arbitraria u del sistema sys (definido como sys=tf(num,den) ) en el intervalo de tiempo predefinido t

Calcula y dibuja en la misma figura la respuesta a una entrada arbitraria u de varios sistemas LTI

Genera seales de prueba de la clase tipo (que puede ser sin, square o pulse) con un perodo tau, una duracin Tf y espaciado del muestreo Ts . Todas las seales generadas tienen amplitud unidad

PRACTICAS

P6. 6


6.2. RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS DE PRIMER 6.2. RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN ORDEN

Matlab permite calcular la respuesta de un sistema de cualquier orden ante cualquier entrada siguiendo el procedimiento general:

1) Definir el sistema con num,den , con sys=tf(num,den) o con zpk2) Utilizar el comando adecuado para calcular la respuesta a la entrada :

impulse, step o lsim3) Opcionalmente, puede predeterminarse el intervalo de tiempo deseado

(con lsim es necesario)

1)()()( +== s

KsRsCsM

)()()( trKtcdttdc =+

Los sistemas de primer orden se caracterizan por una ecuacin diferencial de primer orden normalizada:

y una funcin de transferencia: donde:tiempodecte

sistemadelgananciaK

M(s)R(s) C(s)

ENTRADA SALIDA

Procedimiento general para obtener la respuesta temporal de un sistema ante cualquier entrada:

PRACTICAS

P6. 7



Ejemplo 6.1: Representar en una misma figura (utilizando subplot) la respuesta al impulso, escaln, rampa y parbola del sistema de primer orden:

110)( += ssM en el intervalo entre 0 y 6 segundos

PRACTICAS

P6. 8



Ejemplo 6.1: Solucin

PRACTICAS

P6. 9


Ejemplo 6.2: Representar la respuesta a una seal cuadrada con perodo 5 segundos, duracin 30 segundos y muestreo cada 0.1 segundos del sistema siguiente:


11)( += ssM

PRACTICAS

P6. 10


6.3. RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS DE SEGUNDO 6.3. RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN ORDEN

22

2

2)()()(

nn

n

ssK

sRsCsM

++==

)()()(2)( 222

2

trKtcdttdc

dttcd

nnn =++

Los sistemas de segundo orden se caracterizan por una ecuacin diferencial de segundo orden normalizada:

y una funcin de transferencia:

donde:aamortiguadnonaturalfrecuencia

ientoamortiguamdeecoeficientsistemadelgananciaK

n

M(s)R(s) C(s)

ENTRADA SALIDA

Para calcular y dibujar la respuesta de un sistema de segundo orden a cualquier entrada se sigue el procedimiento general:

1) Definir el sistema con num,den , con sys=tf(num,den) o con zpk2) Utilizar el comando adecuado para calcular la respuesta a la entrada :

impulse, step o lsim3) Opcionalmente, puede predeterminarse el intervalo de tiempo deseado

(con lsim es necesario)

PRACTICAS

P6. 11


Ejemplo 6.3: Representar la respuesta a un escaln de un sistema de segundo orden definido por una ganancia K=1 y n=1 rad/seg:


121)( 2 ++= sssM y coeficientes de amortiguamiento = 0 , 0.2, 0.6 , 1 , 2

en el intervalo entre 0 y 12 segundos

PRACTICAS

P6. 12




PRACTICAS

P6. 13


Ejemplo 6.4: Representar la respuesta a un escaln del sistema


14.01)( 2 ++= sssM

sealando las caractersticas de la respuesta: tiempo de subida, tiempo de pico, tiempo de establecimiento y valor estacionario final

Haciendo click con el botn derecho sobre la figura podemos ver las caractersticas de la respuesta. Esta posibilidad slo estdisponible cuando tratamos con step o impulse. Las opciones son:- Peak Reponse: Muestra el tiempo de pico y sobreoscilacin del sistema.- Settling time: Muestra el tiempo de establecimiento (o asentamiento). Por defecto da el tiempo de respuesta al 2 % , permitiendo especificar otros rangos.- Rise Time: Muestra el tiempo de subida. Por defecto est establecido entre el 10 % y el 90 %, pudiendo cambiar este valor.- Steady state: Muestra el valor estacionario final de la respuesta.

PRACTICAS

P6. 14




PRACTICAS

P6. 15


6.4. RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS DE ORDEN 6.4. RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR. SISTEMA REDUCIDO EQUIVALENTESUPERIOR. SISTEMA REDUCIDO EQUIVALENTE

1) Nunca despreciar (simplificar) el efecto de un polo inestable (semiplano s derecho).

2) Despreciar los polos y/o ceros relativamente ms alejados del eje imaginario. Se considerarn polos y/o ceros dominantes aquellos cuya parte real est al menos 5 veces ms cercana al eje imaginario

3) Simplificar parejas de polos-ceros relativamente prximos entre s. Polos y ceros prximos se cancelan entre s

4) Ajustar la ganancia esttica del sistema reducido equivalente de manera que tenga la misma que el sistema original (el valor estacionario final de ambos debe ser el mismo) .

Simplificacin de sistemas de orden superior. Reglas de reduccin:

])[()(

)(

)()()(

22k

kk

ii

mm

ss

zs

sRsCsM +++

+==

Matlab permite calcular y dibujar la respuesta a cualquier entrada de un sistema de orden superior genrico de funcin de transferencia:

siguiendo el procedimiento general

Un sistema de funcin de transferencia M'(s) se llama reducido equivalente de M(s) , si teniendo menos polos y ceros que ste, las respuestas temporales de ambos son similares.Reglas de reduccin:

PRACTICAS

P6. 16



Ejemplo 6.5: Dado el sistema de cuarto orden con un cero

32.844.944.114.61.2)( 234 ++++

+=ssss

ssM

Representar su respuesta a un escaln, as como de su sistema reducido equivalente, si existe.

El sistema reducido equivalente es de segundo orden puro, considerando nicamente los polos dominantes-0.2 + i

Polo despreciable

Cancelacin polo-cero

Comparar ambas respuestas

Polos dominantes

04.14.0)( 2 ++= ss

ksM

donde k se ajustarpara que M(0)=M(0)

PRACTICAS

P6. 17




32.844.944.114.61.2)( 234 ++++

+=ssss

ssM

04.14.02625.0)( 2 ++= sssM

PRACTICAS

P6. 18


6.5. ANALISIS DE LA RESPUESTA TRANSISTORIA 6.5. ANALISIS DE LA RESPUESTA TRANSISTORIA CON LTI VIEWERCON LTI VIEWER

El LTI Viewer es una interfaz grfica de usuario (GUI) incluida en el Control SystemToolbox para analizar la respuesta de sistemas LTI, ya sea de forma temporal o frecuencial. Permite representar hasta 6 tipos diferentes de grficos a la vez:

9En el dominio del tiempo, incluye respuestas ante escaln unitario (step), impulso (impulse) y cualquier entrada arbitraria con lsim. Adems, proporciona el mapa de polos y ceros(pzmap).

9En el dominio de la frecuencia, dibuja diagramas de Bode, Nyquist y Nichols.

Para cargar el LTI Viewer se escribe:>> ltiviewen la lnea de comandos de Matlab

PRACTICAS

P6. 19



El LTI Viewer es una herramienta til para el anlisis temporal de sistemas, pudiendo emplearse en 2 situaciones bsicas :1) Analizar la respuesta de distintos sistemas ante una misma entrada.

En este caso, la sintaxis a utilizar es:>>ltiview(sys1,sys2,...,sysn)

Si no se especifica ninguna entrada, por defecto se abre LTI Viewerconteniendo la respuesta al escaln unitario (step) de los modelos sys1, sys2, ...,sysn>>ltiview(tipo de grafica,sys1,sys2,...,sysn,u,t)Abre LTI Viewer conteniendo la respuesta a una entrada u de losmodelos sys1, sys2, ...,sysn en el intervalo de tiempo t. El tipo degrfica puede ser impulse (impulso), step (escaln) o lsim (para la entrada predefinida u) .

2) Analizar la respuesta de un mismo sistema ante distintas entradas.En este caso, la sintaxis a utilizar es:>>ltiview ({tipo de grfica1,tipo de grfica2,} ,sys,t)Abre el LTI Viewer presentando la respuesta de un sistema sys ante

distintas entradas introducidas en un array entre llaves. Tiene la restriccin de no poder mezclar lsim con step o impulse.

PRACTICAS

P6. 20


Ejemplo 6.6: Utilizando el LTI Viewer representar la respuesta al impulso de los siguientes sistemas:

11)(1 += ssM

en el intervalo entre 0 y 30 segundos


18.01)( 22 ++= sssM 15.1

1)( 233 +++= ssssM

NOTA: Usando las opciones de men del botn derecho se puede acceder a varios controles y opciones de LTI Viewer, siendo los ms interesantes- Plot Type: cambia el tipo de dibujo instantneamente- Systems: selecciona o deja de seleccionar cualquiera de los sistemas cargados

PRACTICAS

P6. 21


Ejemplo 6.7: Utilizando el LTI Viewer representar la respuesta al impulso, al escaln y dibujar el mapa de ceros y polos del siguiente sistema:


143210)( 234 ++++= sssssM

PRACTICAS

P6. 22

REGULACION AUTOMATICA Paso 1) : creacin del modelo.

Desde la ventana Simulink Library Browser, haremos click sobre el botn Create a new model

o bien en la opcin de Men File seleccionar New > Model. Automticamente se abrir una ventana en blanco que ser la ventana de diseo para nuestro modelo.

Mtodo general para la simulacin de la respuesta de un sistema con SIMULINK

Paso 2) : introduccin de bloques en el modelo.Los elementos se introducen haciendo un arrastre con el ratn desde la ventana que contiene el listado detodos los bloques hacia la ventana de diseo Paso 3) : configuracin de los parmetros en los bloques del modelo.Todos los bloques de Simulink permiten una serie de opciones dependiendo de cada tipo concreto. Se puede acceder a los parmetros de cada bloque haciendo doble click sobre l. Opcionalmente, se puede dar formato a los bloques (color de fondo y de lnea, tipo y tamao de letra, )

6.6. ANALISIS DE LA RESPUESTA TRANSISTORIA 6.6. ANALISIS DE LA RESPUESTA TRANSISTORIA CON SIMULINKCON SIMULINK

PRACTICAS

P6. 23


Paso 4) : interconexin de elementos.Una vez situados los elementos en la ventana de diseo, es necesario establecer conexiones entre ellos. Para conectar 2 elementos debe hacerse un arrastre con el ratn desde la salida de uno de ellos hasta la entrada del elemento correspondiente.El modelo creado puede guardarse haciendo click en el botn y se generar un fichero con la extensin .mdl Paso 5) : ejecucin de la simulacin y visualizacin de resultados.Primero, se escogen los parmetros de la simulacin (tiempo de simulacin, mtodo y paso de la resolucin numrica de las ecuaciones diferenciales ) en la opcin SimulationParameters del men Simulation. Despus, comenzamos la simulacin con la opcin Start del men Simulation o bien haciendo clic en el smbolo y comprobamos los resultados obtenidos haciendo doble clic sobre el bloque Scope. Los parmetros de los bloques pueden cambiarse durante la simulacin, de forma interactiva, a travs de la ventana de dilogo de cada bloque. o


PRACTICAS

P6. 24


Ejemplo 6.8: En la Figura se muestra un sistema de brazo de robot, en el que slo se considera el movimiento de la articulacin de la base.


Para una posicin determinada del brazo, el diagrama de bloques es el siguiente :

Utilizando Simulink, obtener el movimiento de la base del robot:1) cuando se aplica un escaln (se quiere que el robot se mueva de la posicin inicial a otra fija) 2) cuando se aplica una seal cuadrada de frecuencia f=0.1 Hz (se quiere que el robot se mueva continuamente entre 2 posiciones)

ioCONTROLADORPID

MOTOR CC

REDUCTOR

ROBOT ACME

MADE IN BEJAR

+

-

CONTROL MOTOR CC

)55.0(5

1 + ss 10

301

i oREDUCTOR

PRACTICAS

P6. 25


Ejemplo 6.8: Solucin entrada escaln


io

CONTROLADOR

PID

MOTOR CC

REDUCTOR

ROBOT ACME

MADE IN BEJAR

PRACTICAS

P6. 26


Ejemplo 6.8: Solucin entrada cuadrada


io

CONTROLADOR

PID

MOTOR CC

REDUCTOR

ROBOT ACME

MADE IN BEJAR

Profesor Sebastin Marcos LpezDepartamento de Informtica y Automtica / Universidad de Salamanca

PRACTICAS

P6. 27


Volver

Profesor Sebastin Marcos LpezDepartamento de Informtica y Automtica / Universidad de Salamanca

PRACTICAS

P6. 28


Volver

respuesta transitoria de sistemas

Documents