Ayudantía N°3

Este ejercicio puede resolverse de dos formas, la que está en la pauta y la que presentaré a

continuación. Lo primero es calcular el ingreso de la empresa, que se obtiene de la misma forma

que la que está en la pauta, hasta llegar a lo siguiente:

𝑦1 =𝑃1

2

2; 𝑦2 =

𝑃22

2; 𝜋 =

𝑃12

2+

𝑃22

2

A continuación se utiliza la siguiente relación para maximizar la utilidad del consumidor B:

Reemplazando se obtiene:

0,5(𝑋𝑏1 + 𝑋𝑏2)−0,5

0,5(𝑋𝑏1 + 𝑋𝑏2)−0,5=

𝑃1

𝑃2 => 𝑃1 = 𝑃2

Se sabe que 𝑦1 + 𝑦2 = 25, además que se tienen definidos 𝑦1 e 𝑦2 en función de los precios,

entonces haciendo los reemplazos respectivos se obtiene:

𝑦1 + 𝑦2 = 25 => 𝑃1

2

2+

𝑃22

2= 25 =>

𝑃22

2+

𝑃22

2= 25 => 𝑃2

2 = 25 => 𝑃1 = 𝑃2 = 5

Con los precios ya determinados se utiliza la siguiente relación para maximizar la producción con 𝑦1

e 𝑦2:

(2𝑦1)−0,5

(2𝑦2)−0,5=

𝑃1

𝑃2=> 𝑦2 = (

𝑃1

𝑃2)

2

𝑦1 => 𝑦1 = 𝑦2

Se sabe que 𝑦1 + 𝑦2 = 25, entonces haciendo el reemplazo respectivo se tiene que:

𝑦1 + 𝑦2 = 25 => 2𝑦1 = 25 => 𝑦1 = 𝑦2 =25

2

Con los valores de 𝑦1 e 𝑦2 podemos obtener los valores de 𝑋1 y 𝑋2:

𝑋1 = √2𝑦1 = 5

𝑋2 = √2𝑦2 = 5

Ahora se utiliza la TMS para maximizar la utilidad del consumidor A:

0,5𝑋𝑎2(𝑋𝑎1𝑋𝑎2)−0,5

0,5𝑋𝑎1(𝑋𝑎1𝑋𝑎2)−0,5=

𝑃1

𝑃2=> 𝑋𝑎1 =

25

2𝑃1=

5

2; 𝑋𝑎2 =

25

2𝑃2=

5

2

Se sabe que 𝑋1 = 𝑋𝑎1 + 𝑋𝑏1 = 5 y que 𝑋2 = 𝑋𝑎2 + 𝑋𝑏2 = 5, entonces:

5

2+ 𝑋𝑏1 = 5 => 𝑋𝑏1 =

5

2;

5

2+ 𝑋𝑏2 = 5 => 𝑋𝑏2 =

5

2

Finalmente, el resultado para este problema es:

𝑋𝐴 = (5

2,5

2) ; 𝑋𝐵 = (

5

2,5

2) ; 𝑃1 = 𝑃2 = 5

El resultado es el mismo al que se llegó utilizando el método de Lagrange pero de una manera más

corta, y siempre será así, se llegará al mismo resultado, lo que se puede usar para comprobar si el

resultado está bien o no.

Nota importante: Existe un tercer método, aún más fácil, de determinar las funciones de demanda,

pero sólo puede ser utilizado cuando se trata de funciones de la forma Cobb-Douglas, cuya

característica es que posee rendimientos constantes a escala. Por ejemplo, se tiene la función de

producción:

𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑋𝛼𝑌𝛽 𝛼 + 𝛽 = 1

Las funciones de demanda Marshallianas para 𝑋 e 𝑌 son (𝐼 es el ingreso):

𝑋 =𝛼𝐼

(𝛼 + 𝛽)𝑃𝑋; 𝑌 =

𝛽𝐼

(𝛼 + 𝛽)𝑃𝑌