Francisco Periago Esparza

Resolucin numrica de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) con Elementos Finitos usando

FreeFem++

Dpto. Matemtica Aplicada y Estadstica

Universidad Politcnica de Cartagena. Spain

IV Escuela conjunta UVEG-UASL-UPCT. Aplicaciones modernas de las matemticas.

Universidad Autnoma de San Lus Potos. Mxico. Julio 2012

Esquema del curso Qu problemas queremos resolver ?

Implementacin numrica con FreeFem++

Anlisis Numrico:El Mtodo de los Elementos Finitos

Mecnica de fluidos, difusin de calor, elasticidad, electromagnetismo, etc..

Todos estos problemas estn modelizados matemticamente a travs de una ecuacin en derivadas parciales (EDP)

Software libre de elementos finitos para problemas 2D y 3D Algunos ejemplos concretos

Formulacin variacional o dbil de una EDP Descripcin del Mtodo

Control del Error

QU PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER?

Mecnica de Fluidos

V

QU PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER?

Ecuaciones de Navier-Stokes. Fluidos viscosos incompresibles

Claude-Louis Navier(1827) Georges Stokes (1845)

QU PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER?

Difusin de Calor

qD

2500

350 450 550 650

50100150200250300350400

temperatura K

cobrealuminio

acero

QU PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER?

Ecuacin del Calor

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

QU PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER?

Electrosttica

QU PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER?

Ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo en el vaco

James Clerk Maxwell (1862)

QU PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER?

Membrana Elstica Sujeta en el Borde

Cuerda Elstica Sujeta en los Extremos

L

u(x)

xf

0

f

QU PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER?

Elasticidad Lineal. Caso Esttico

Robert Hooke (1678)

QU PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER?

Ms modelos.. y ecuaciones en derivadas parciales

Etc, etc, etc.

UN POCO DE HISTORIA

El Laplaciano

Sir Isaac Newton (1643-1727)

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

CONCLUSIONES I

La Filosofa est escrita en ese gran libro del universo, que est continuamente abierto para que lo observemos.

Pero el libro no puede comprenderse sin que antes aprendamos el lenguaje y alfabeto en que est compuesto.

Est escrito en el lenguaje de las matemticas y sus caracteres son tringulos, crculos y otras figuras geomtricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto.

Galileo Galilei (1564-1642)

CONCLUSIONES II

1. La Modelizacin Matemtica es la mejor herramienta de la que disponemos para entender buena parte de fenmenos fsicos que interesan a la Ciencia y la Tecnologa.

2. Estos modelos matemticos se componen de sistemas enormemente complejos de Ecuaciones en Derivadas Parciales que fueron formulados hace muchos pero an hoy da sigue siendo un reto resolverlos satisfactoriamente.

3. El Mtodo de los Elementos Finitos es uno de los mtodos numricos ms usados por la comunidad cientfica y por la industria para poder resolver numricamente dichos modelos.

SIGLO XX: AO 1946

Laurent Schwartz (1915-2002)

Teora de las Distribuciones (1946).

Nuevos conceptos de Soluciones de las Ecuaciones en derivadas Parciales

John P. Eckert y Johnn W. Mauchly contruyeron en 1946 el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), primer ordenador de la historia

METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Richard Courant (1943)

SIGLO XXI: Mtodo Cientfico

1. Modelizacin Matemtica

2. Anlisis Matemtico

3. Anlisis y Simulacin Numrica

4. Control, Diseo, etc

ANLISIS MATEMTICO

Cuerda Elstica Sujeta en los Extremos

( PM )

( PM ) NO TIENE SOLUCIN CLSICA!!

L /2

QU SE PUEDE HACER ENTONCES?

( PM )

Trabajo virtual de las fuerzas exteriores Trabajo virtual interno de deformacin

( PV )

L /2

ANLISIS MATEMTICO

L /2

Paul Dirac (1902-1984)

ANLISIS MATEMTICO

Teora de Distribuciones

ANLISIS MATEMTICO

Teora de Distribuciones

ANLISIS MATEMTICO

Ejemplos de Distribuciones

ANLISIS MATEMTICO

La derivacin es una operacin vlida para cualquier distribucin !!!

ANLISIS MATEMTICO

( PM ) L /2

( PV )

ANLISIS MATEMTICO

( PM )

( PV )

a(u,v) < f,v >

L /2

ANLISIS MATEMTICO

ANLISIS MATEMTICO

Formulacin en Mnima Energa

Principio de Mnima Energa

Principio de los Trabajos Virtuales

Ecuacin de Euler-Lagrange

MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Idea General del MEF

MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Construccin de los Espacios de Aproximacin

MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Construccin de los Espacios de Aproximacin

MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

El Problema Variacional en los Espacios de Aproximacin

MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

A modo de Resumen

MEF

Sistema de ecuaciones algebraico

MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Estructura de la Matriz de Rigidez

MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Simulacin Numrica con Matlab

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Ensamblado de la Matriz de Rigidez

=

0...0000

0...00000...00000...00000...0000

Ah

Ah1

Ah2

Ah3

MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Control del Error en el MEF

( PV )

Regularidad de la malla Regularidad de la solucin dbil Grado de los polinomios de interpolacin

MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

El caso de las dimensiones 2 y 3

Frmula de integracin por partes (Teorema de Green)

1D

2D

ND

D

MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Forma Clsica de la EDP

Frmulacin Variacional de la EDP

Multiplicar la EDP por v e integrar

Integrar por partes

Condiciones de frontera

Forma variacional de la EDP

Funcin de forma en dimensin 2

MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Discretizacin de la forma variacional de la EDP de forma similar al caso 1D . y llegamos a un sistema lineal de ecuaciones algebrico

Funcin de forma para elementos finitos de Lagrange P1 en 2D

Funcin de forma en dimensin 2

INTRODUCCIN A FreeFem++

Qu es FreeFem++?

Software libre para resolver EDP usando el Mtodo de los Elementos Finitos. Funciona bajo Windows, Linux y Mac OS

Se puede bajar de la pgina http://www.freefem.org

Ha sido desarrollado en el Laboratoire Jacques-Luis Lions de la Universit Pierre et Marie Curie (Paris, Francia)

Cmo funciona?, cmo se maneja?

Veamos un primer ejemplo sencillo en la versin grfica FreeFem++-cs 12.4 32

Funcin de forma en dimensin 2

INTRODUCCIN A FreeFem++

border C(t=0,2*pi){x=cos(t);y=sin(t);} // frontera

Forma variacional:

La ecuacin de Poisson en el disco unidad (2D)

mesh Th = buildmesh(C(100)); // malla. 100 puntos en el borde plot(Th,ps=malla1.eps); //dibujamos y grabamos la malla fspace Vh(Th,P1); // espacio de elementos finitos Lagrange P1

Vh uh,vh; // uh,vh pertenecen a Vh

solve Poisson(uh,vh)= // definimos el problema

int2d(Th)(dx(uh)*dx(vh)+dy(uh)*dy(vh))

-int2d(Th)(f*vh)

+on(C,uh=0);

func f=1; // trmino de la derecha

plot(uh); // grfica de la solucin

Funcin de forma en dimensin 2

INTRODUCCIN A FreeFem++

control del error

Forma variacional:

La ecuacin de Poisson en el disco unidad (2D)

func u=0.25*(1-x^2-y^2); // solucin exacta real L2error; //variable real L2error=sqrt(int2d(Th)(u-uh)^2); // error en norma L^2

cout

Funcin de forma en dimensin 2

INTRODUCCIN A FreeFem++

Forma variacional:

La ecuacin de Poisson en el cubo unidad (3D)

INTRODUCCIN A FreeFem++

Problemas Evolutivos. Ecuacin del Calor

Concepto de solucin dbil. Se ha de cumplir:

Solucin del problema discretizado con elementos finitos:

INTRODUCCIN A FreeFem++

Tras sustituir la solucin del problema discretizado en la formulacin variacional obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

incgnita

matriz de masa

matriz de rigidez

trmino independiente

INTRODUCCIN A FreeFem++

Finalmente, se ha de discretizar la variable temporal. Por ejemplo con un esquema de Euler implcito.

Veamos un ejemplo concreto:

Forma variacional discretizada con un esquema de Euler implcito:

INTRODUCCIN A FreeFem++

Funcin de forma en dimensin 2

INTRODUCCIN A FreeFem++

Forma variacional:

El sistema de la elasticidad lineal 2D

Funcin de forma en dimensin 2

INTRODUCCIN A FreeFem++

Funcin de forma en dimensin 2

INTRODUCCIN A FreeFem++

Forma variacional:

Skin effect in AC Power electromagnetics

Funcin de forma en dimensin 2

INTRODUCCIN A FreeFem++

Funcin de forma en dimensin 2

INTRODUCCIN A FreeFem++

Lubricacin hidrodinmica. Ecuacin de Reynolds

Forma variacional: