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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALDE LOS LLANOS OCCIDENTALES

EZEQUIEL ZAMORAUNELLEZ

PROGRAMA DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y TECNOLOGIA

RESISTENCIA DE MATERIALES

FACILITADORProf. Ing. Alberto A. Machado R.

OBJETIVO GENERAL:

Suministrar al alumno los conocimientos para analizar el estado de tensión y de deformación de los sólidos, las solicitaciones internas en estructuras elementales y en sistemas formados por uno o más materiales, bajo diversas condiciones de cargas y vínculos. Igualmente, el efecto de pandeo en rangos elásticos de elementos esbeltos

UNELLEZ-INGENIERIA CIVIL

CONTENIDO: Introducción: Cuerpos deformables. Relaciones entre las fuerzas externas y las solicitaciones internas.

Esfuerzo y deformación Axial: Análisis de las fuerzas interna. Tensión simple, cortante. Deformación axial. Diagrama Esfuerzo-Deformación. Ley de Hooke. Problema estáticamente indeterminado axialmente. Esfuerzo axial de origen térmico.

Esfuerzo por flexión y corte: Ecuación esfuerzo por flexión. Ecuación de esfuerzo por corte en viga. Flujo Cortante. Dimensionado por flexión y corte.

Deformación en viga: Método de doble integración. Método de Área Momento.

Viga estáticamente indeterminada: Solución de viga hiperestática, Método de doble integración y superposición. Viga continua, método de Cross.

Vigas Especiales y Columna: Viga de dos o más materiales.

Viga de concreto armado. Flexión asimétrica. Vigas de eje curvo. Efecto de pandeo en columna. Carga critica, ecuación de Euler para columna larga. Formula empírica para columna intermedia. Columna con carga excéntrica.


BIBLIOGRAFIAS:


De izquierda a DerechaResistencia de Materiales, Singer, (Alfaomega).Resistencia de Materiales, Robert Mott, (Alfaomega).Resistencia de Materiales, Jose Garrido, (Universidad de Valladolid).Resistencia de Materiales, Fitzgerald, (Alfaomega).


RECOMENDACIONES GENERALES:

Fundamentos de Matemáticas: Trigonometría, Geometría. Integración y derivación, Operaciones con matrices, Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Fundamentos de Física: Sistemas de unidades. Vectores y Sistemas de vectores.

Mecánica Racional y Estática Aplicada : Equilibrios de puntos materiales y de cuerpos rígidos. Concepto de Fuerzas internas y externas. Diagramas de cuerpo libre, Vinculación, Fuerzas distribuidas. Solución de estructuras estáticamente determinados Cálculo de Centros (geométricos, gravedad) y Momentos de inercia.

RESISTENCIA DE LOS MATERIALES

La Resistencia de Materiales es una rama de la mecánica aplicada, que estudia el comportamiento de los cuerpos sólidos deformables, sometidos a cargas externas, y su relación con las fuerzas que determinan las tensiones que se originan internamente. De esta manera es posible calcular los esfuerzos y las deformaciones: axiales, cortantes, torsionales y de flexión de cada elemento constitutivo de una determinada estructura.


EN LA INGENIERIA CIVIL LA RESISTENCIA DE MATERIALES

Debemos ser capaces de garantizar que las estructuras a construir no se deformen excesivamente y que no se fracturen.

Se ocupa del cálculo de los esfuerzos y deformaciones que se producirán debiendo garantizar el ingeniero que las deformaciones estén dentro de unos límites permisibles y obviamente que no se produzcan roturas.



RESISTENCIA DE LOS MATERIALES

En el Universo los cuerpos rígidos no existen; el concepto de cuerpo rígido es puramente ideal ya que todos los cuerpos se deforman cuando están sometidos a fuerzas. Muchas veces estas deformaciones son imperceptibles y para poderlas determinar se requiere de aparatos de medición más o menos sofisticados. Que un material se deforme más o menos, depende de varios factores entre los cuales se pueden citar las cargas a que está sometido, la forma y dimensiones y sus propiedades mecánicas; resistencia, ductilidad, etc.

Cuerpos deformables

La deformación es el cambio en el tamaño o forma de un cuerpo debido a esfuerzos internos producidos por una o más fuerzas aplicadas sobre el mismo o la ocurrencia de dilatación térmica.

RESISTENCIA (oposición a la rotura) RIGIDEZ (oposición a las deformaciones)


PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

Los materiales se consideran homogéneos

Los materiales se consideran continuos

Los materiales se consideran isótropos: Propiedades son iguales en todas las direcciones

No se tienen en cuenta las fuerzas internas de tipo interatómico existentes en los materiales

Principio de superposición: los efectos de un sistema de fuerzas sobre un elemento son iguales a la suma de los efectos individuales de cada una de las fuerzas. Es válido en el rango elástico lineal

Principio de Saint Venant: Cuando a un elemento estructural se le aplica una fuerza los esfuerzos que esta causa en punto suficientemente alejados de ella no dependen de la forma concreta en que la carga es aplicada


ANALISIS DE FUERZAS INTERNAS

EQUILIBRIO ESTÁTICOSe define como aquella condición en la cual sometido el cuerpo a una serie de fuerzas y momentos exteriores se mantiene en reposo o con un movimiento uniforme:

PRINCIPIO DE CORTESi a un cuerpo en equilibrio se le corta por una sección cualquiera sigue estando sometido a las fuerzas y momentos exteriores. Para que siga estando en equilibrio tenemos que colocar en la sección cortada una resultante de fuerzas y una resultante de momentos, que los representaremos como R y M. En dicha sección existen unas tensiones, fuerzas por unidad de área, que dan como resultante R y M. A pesar de que dichas fuerzas son interiores si se considera todo el sistema, son exteriores cuando se aplican sobre el subsistema. El subsistema aislado con las fuerzas exteriores que actúan sobre él y las fuerzas resultantes de la interacción con el sistema total se denomina diagrama de sólido libre.


ANALISIS DE FUERZAS INTERNAS

Dentro de cada sección de corte existirán esfuerzos y momentos para compensar los exteriores. Los tipos de solicitaciones que encontraremos serán:

Esfuerzos perpendiculares a la sección N (tracción o compresión)

Esfuerzos contenidos en la sección T (cortadura)

Momentos1. En el eje z Mz, flexión2. En el eje y My, flexión3. En el eje x Mx, torsión


Esfuerzo es la resistencia que ofrece un área unitaria (A) del material del que está hecho un miembro para una carga aplicada externa (fuerza, P)

ESFUERZO SIMPLE

Esfuerzo = fuerza / área

Esfuerzos axiales, son aquellos debidos a fuerzas que actúan a lo largo del eje del elemento. Acortamientos o alargamiento

Esfuerzos normales, son aquellos debidos a fuerzas perpendiculares a la sección transversal. Cizallamiento o cortadura

TIPOS


SISTEMAS DE UNIDADES

SISTEMA INTERNACIONAL


DEFORMACION SIMPLE

La deformación se define como el cambio de forma de un cuerpo, el cual se debe al esfuerzo, al cambio térmico, al cambio de humedad o a otras causas.

Cuando la deformación se define como el cambio por unidad de longitud en una dimensión lineal de un cuerpo, el cual va acompañado por un cambio de esfuerzo, se denomina deformación unitaria debida a un esfuerzo. Es una razón o numero no dimensional, y es, por lo tanto, la misma sin importar las unidades expresadas (figura 17), su cálculo se puede realizar mediante la siguiente expresión:

Relación entre la deformación unitaria y la deformación.

ε : es la deformación unitariaδ : es la deformaciónL : es la longitud del elemento


DEFORMACION SIMPLE

La elasticidad es aquella propiedad de un material por virtud de la cual las deformaciones causadas por el esfuerzo desaparecen al removérsele

LEER PAG. 28-29, SINGER


Originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada

LEY DE ELASTICIDAD O LEY DE HOOKE

Siendo δ el alargamiento, L la longitud original, E: Modulo de Young , A la sección transversal del elemento . La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado limite elástico


EFECTO DE LOS CAMBIOS DE TEMPERATURA

Cuando ocurren cambios de temperatura los cuerpos se dilatan o se contraen según que el cambio sea de aumento o disminución, a menos que existan restricciones impuestas por otros cuerpos

Cuando no existen restricciones el cambio de longitud por variación en la temperatura se expresa como

: es la deformación por cambio de temperatura y se expresa en unidades delongitud (m, mm)T

: es el cambio en la temperatura; se expresa en grados centígrados, y siguiendola convención más aceptada, se usará el signo + para un aumento de temperatura yel - para una disminución.L: es la longitud original del cuerpo, expresada en m

: es el coeficiente de dilatación térmica, propiedad de cada material, el cual seexpresa enC mmº

: es la deformación por cambio de temperatura y se expresa en unidades delongitud (m, mm)T

: es el cambio en la temperatura; se expresa en grados centígrados, y siguiendola convención más aceptada, se usará el signo + para un aumento de temperatura yel - para una disminución.L: es la longitud original del cuerpo, expresada en m

: es el coeficiente de dilatación térmica, propiedad de cada material, el cual seexpresa enC mmº

Es la deformación por cambio de temperatura y se expresa en unidades del longitud (m, mm)Es el coeficiente de dilatación térmica,

propiedad de cada material, el cual se expresa

Es el cambio en la temperatura; se expresa en grados centígrados, y siguiendo la convención más aceptada, se usará el signo + para un aumento de temperatura - para una disminución

L: es la longitud original del cuerpo, expresada en m


ESFUERZOS CORTANTES

Las fuerzas aplicadas a un elemento estructural pueden inducir un efecto de deslizamiento de una parte del mismo con respecto a otra. En este caso, sobre el área de deslizamiento se produce un esfuerzo cortante, o tangencial, o de cizalladura

El esfuerzo cortante se define como la relación entre la fuerza y el área a través de la cual se produce el deslizamiento


ESFUERZOS CORTANTES

Las deformaciones debidas a los esfuerzos cortantes, no son ni alargamientos ni acortamientos, sino deformaciones angulares g, como se muestra.

También puede establecerse la Ley de Hooke para corte de manera similar a como se hace en el caso de los esfuerzos normales, de tal forma que el esfuerzo cortante (t), será función de la deformación angular (g) y del módulo de cortante del material (G)


ESFUERZOS CORTANTES CASOS REALES

ARTICULACION SOMETIDA A CORTE


LEY DE HOOKE PARA CORTANTE

Los módulos de elasticidad E y G están relacionados mediante la expresión

µ: es la relación de Poisson del material


Coeficiente de Poisson µ:


Ecuación diferencial de la elásticaPara comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión pura:

Donde ‘ρ’ es el radio de curvatura, ‘E’ el modulo de elasticidad del material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la sección transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que esta sometida la misma. Observemos que este ultimo termino se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’).


Ecuación diferencial de la elásticaComo las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el termino relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:

Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.


Método de Área de MomentoEl método de área-momento proporciona un procedimiento semigrafico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de la viga.La aplicación de este método requiere el calculo de aéreasasociadas con el diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama consta de formas geométricas sencillas, el método resulta muy fácil de usar. Normalmente este es el caso cuando la viga esta cargada con fuerzas y momentos concentrados.El método es bastante rápido y simple, pero en general se usa para calcular la deflexión de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de las técnicas para preparar diagramas de momento flector.


Método de Área de MomentoLa figura muestra una curva elástica en la que se han seleccionado dos puntos cualquiera (‘A’ y ‘B’) y se han trazado rectas tangentes a los mismos.

Puede observarse que ‘θB/A ’es el ángulo que forma la tangente que pasa por el punto ‘B’ respecto a la que pasa por ‘A’. De forma análoga se define el ángulo ‘θ A/B ’. Es importante notar que ambos tienen la misma magnitud, y se miden en sentido contrario.

Recordando que las deflexiones son muy pequeñas, podemos plantear la ecuación de la elástica de la forma:


Método de Área de MomentoSi integramos la expresión anterior, obtenemos:

Planteando que:

Podemos finalmente rescribir la expresión anterior de la forma:


Método de Área de MomentoEsta ecuación es la base del primer teorema del método de área de momento:

“El ángulo entre dos rectas tangentes a dos puntos cualquiera sobre la curva elástica es igual al área bajo el diagrama ‘M/(E·I)’ entre esos dos puntos


Método de Área de MomentoLuego, como se observa en la figura, puede considerarse aceptable la aproximación:

Donde ‘dθ’ es el ángulo que existe entre dos tangentes de dos puntos separados una distancia ‘dx’ y ‘x’ es la distancia medida desde el punto ‘A’ hasta el elemento diferencial en cuestión. Al sustituir ‘dθ’ queda:


Método de Área de MomentoFinalmente, al integrar la expresión anterior queda:

Lo cual puede rescribirse de la forma:

Donde ‘xA’ es la distancia (medida sobre la dirección ‘x’) que existe entre el punto ‘A’ y el centroide del área bajo la curva ‘M·E/I’.


Método de Área de MomentoSegundo teorema de área momento:

“La desviación vertical de la tangente en un punto ‘A’ sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto ‘B’ es igual al momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ entre los puntos ‘A’ y ‘B’. Estemomento se calcula respecto al punto ‘A’ donde va a determinarse la desviación vertical ‘tA/B ’ ”.


Método de Área de MomentoDe forma análoga, podría hallarse la desviación del punto ‘B’respecto a la tangente que pasa por ‘A’. Para ello, se calcularía el momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ respecto al punto ‘B’, es decir:

Donde ‘xB’ es la distancia que existe desde el punto ‘B’ hasta el centroide de la figura. Es importante mencionar que, si el resultado de la ecuación es positivo, el punto ‘B’ (en el que se calcula la deflexión) se encuentra por encima de la recta tangente que pasa por el ‘A’ (y viceversa).


Método de Doble IntegraciónEs el mas general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estaticamente determinadas e indeterminadas.

Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del calculo integral.

El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.


Método de Doble IntegraciónRecordando la ecuación diferencial de la elástica:

El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexion y en caso de que varié a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexion es constante.

Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuacion porel modulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos:


Método de Doble Integración

Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicara mas adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación:

De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquierlongitud ‘x’ de la viga.


Método de Doble IntegraciónIntegrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga. El termino ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el Angulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.


Método de Doble IntegraciónEn el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

Del apoyo en ‘A’ puede establecerse:x = LA → y = 0Y, debido al apoyo en ‘B’ :x = LB → y = 0

Debido al empotramiento ‘A’ :x = LA → y = 0x = LA → θ = 0

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