resistencia

139

Mtodo de la seccin transformada. Transformemos la seccin en madera:

2010200

GPaGPa

EEnmadera

acero

Analicemos la viga como si fuera toda de madera:

Calculemos Iecc ,, 21

221

2211 67.4200400

12200400 cIAA

yAyAy

33.1767.4221 c

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140

422 67.2292267.260027200 cmAdII D

433

2720032010

32200 cmID

Finalmente, calculamos los esfuerzos en la madera y en el acero:

KPa.mcm

cmN.

cm.cm.cmN

IcM max

real,madera)max( 627211016272

672292233171003600

2

24

241

KPa.mcm

cmN.

cm.cm.cmN

IcM max

ficticio,madera)max( 4733103473

67229226741003600

2

24

242

Como en la realidad en la parte inferior de la viga no hay madera sino una platina de acero,debemos devolvernos por as decirlo y multiplicar este esfuerzo ficticio porn para obtener elesfuerzo real en el acero:

KPaKPan ficticiomaderarealacero 149547.74720,)max(,)max(

En conclusin hemos encontrado los siguientes esfuerzos mximos en la viga:


141

Variacin de esfuerzos a travs de la seccin:

La viga entonces, absorber los esfuerzos de la siguiente forma:

Como se ve, la platina de acero soporta la mayor parte de los esfuerzos de tensin.

La viga tambin puede analizarse transformando toda la seccin en acero. Vemoslo acontinuacin.

Resolucin del problema transformando la viga en acero

Vamos a transformar toda la viga en acero. Por lo tanto:

05.020010

GPa

GPaE

Enacero

madera


142

Seccin transformada en acero

Analicemos la seccin transformada:

221

2211 67.41020

1210120 cAA

yAyAy

33.1767.4221 c

Clculo del momento de inercia:

13.114667.2301360 22 AdII D

13603

205.03

210 33

DI


143

Clculo de los esfuerzos:

Esfuerzo mximo en la madera:

KPan ficticioaceroCrealmaderaC 6.27745549205.0,)max(,)max(

En resumen:

Obviamente, los valores soniguales a los que obtuvimostransformando la seccin enmadera

KPaPaficticioaceroC 554921020.554913.114633.171003670 4

,)max(

KPaParealaceroT 7.149531037.149313.114667.41003670 4

,)max(

KParealmaderaC 6.2774,)max(

KParealaceroT 7.14953,)max(


144

PROBLEMAS PROPUESTOS

Calcular los esfuerzos normales y cortantes mximos en las siguientes vigas


145

C A P T U L O 4

D E F O R M A C I O N E S E N V I G A S

NTENSE LAS DEFORMACIONES Y FISURAS EN LOS EXTREMOS DE LA VIGA

Tal como se ha dicho, un elemento estructural no slo debe ser resistente a la rotura sino quedebe tener unas condiciones de rigidez adecuadas de tal manera que se cumplan algunas condicionesmnimas, a saber:

Que se garantice la funcionalidad de la estructura evitando grandes deformaciones que podranafectar su desempeo. (Por ejemplo el alineamiento y nivelacin de equipos).

Que no se afecte la esttica de la estructura con la aparicin de grietas, producto de grandesdeformaciones.


146

NTESE AGRIETAMIENTO DE LA VIGA EN LA SECCIN DE MOMENTO NEGATIVO,POR FALTA DE REFUERZO

Adicionalmente como se ha visto, en el caso de vigas estticamente indeterminadas es necesarioobtener ecuaciones adicionales basadas en las deformaciones que nos ayuden a levantar laindeterminacin y as poder resolverlas.

De otra parte, en los prximos cursos de ingeniera estructural se requerirn los conocimientosrelativos a los mtodos de clculo de deformaciones en vigas para poder afrontar el estudio de estructurasestaticamente indeterminadas (por ejemplo en el mtodo conocido como pendiente- deflexin o slopedeflection).

Por estos motivos se hace necesario calcular las deformaciones que se producen en las vigascuando estn son sometidas a cargas.

Existen varios mtodos para calcular las deformaciones en vigas:

Mtodos matemticos: Mtodo de la doble integracin o de la Ecuacin de la elstica.

Mtodos geomtricos: Basados en la forma de la viga deformada. El mas conocido es elmtodo del rea de momentos o Teoremas de Mohr.

Mtodos derivados de los anteriores: Mtodo de la viga conjugada conocido en algunostextos como Mtodo de los Pesos Elsticos.

Mtodos energticos: Basados en la conservacin de la energa desarrollada por las fuerzasal deformar las vigas. (Teoremas de Maxwell, de Castigliano y otros).


147

Tipos de deformaciones


148


149

Funcionalidad afectada por deformaciones excesivas (se desnivelan los elementos soportadospor la viga).

Deformaciones excesivas pueden causar agrietamientos que afectan la esttica de las estructuras.


150

Deformaciones con concavidades contrarias.

4.1 MTODO DE LA DOBLE INTEGRACIN

En la teora de flexin se vi que: EIM

1

En matemticas se tiene que:

23

2

2

21

1

dxdy

dxyd


151

Por lo tanto:

EIM

dxdy

dxyd

23

2

2

21

pero 0

dxdy las pendientes en las vigas son muy pequeas

Con mayor razn: 02

dxdy

En conclusin: "22

yEIM

dxyd

o lo que es lo mismo: MEIy "

EI: Rigidez a la flexiny : segunda derivada de la ecuacin de la viga deformada o elsticaM: Ecuacin del momento flector en el tramo de viga considerado

Si integramos esta ecuacin obtenemos la ecuacin de la pendiente y:

1CMdxyEI

Si integramos otra vez (doble integracin) obtenemos la ECUACIN DE LA ELSTICA:

21 CxCMdxEIy ECUACIN DE LA ELSTICA

Con estas ecuacin podemos calcular la pendiente y o la deformacion y en cualquier punto de la viga.

Las constantes C1 y C2 se calculan estableciendo las condiciones iniciales o de borde que dependende los apoyos y las caractersticas de la viga y de las cargas como se ver en los ejemplos.

MEIy "


152

CONDICIONES INICIALES EN DIFERENTES TIPOS DE VIGAS


153

PROBLEMA

Calcular la deformacin en el extremo libre B de la viga en voladizo:

Tal como se vi en el mtodo de doble integracin:

MEIy "

Para poder integrar necesitamos la ecuacin del momento flector M. Para encontrarla hacemosun corte a una distancia x del empotramiento A.

0M 0 PxPLM

Ecuacin del momento:

PLPxM

Por lo tanto:

PLPxEIy "

Integrando una vez:

1

2

2CPLxPxyEI

Integrando otra vez (doble integracin):

21

23

26CxCPLxPxEIy


154

Para calcular C1 y C2 debemos establecer las condiciones iniciales. Para esto, observamos elproblema fsico, la viga empotrada en A. En el empotramiento (x=0) se estn impidiendo tantola deformacin (y=0) como el giro (y=0). Recordemos que un empotramiento por definicin esun apoyo que impide el giro.

Entonces:

Condiciones iniciales:

0000

yxyx

00 yx 2123

26CxCPLxPxEIy por tanto: 02 C

00 yx 12

2CPLxPxyEI por tanto: 01 C

Al ser las dos constantes iguales a cero, las ecuaciones quedan:

Ecuacin de la elstica:

261

26

2323 PLxPxEI

yPLxPxEIy

Ecuacin de la pendiente:

PLxPx

EIyPLxPxyEI

21

2

22

Clculo de la deformacin en el extremo B:

LB y

0 0 0

0 0 0 0


155

EIPLPLPL

EIB 3261 333

EIPL

B 3

3

Anlisis de deformacin

Vemos que mientras mayores sean P y L mayor ser la deformacin y que mientras mayor sea EI,ser menor.

EI: Rigidez a la flexin. Para un material dado (E), la deformacin depende del momento de lainercia.

Influencia del momento de inercia en la deformacin

Influencia de la longitud de la viga L en la deformacin

LB y

261 23 PLxPxEI

y

EIPL

B 3

3


156

Si duplicamos la longitud de la viga tendremos:

| Al duplicar la longitud, ladeformacin se hace 8 vecesms grande

Clculo de la pendiente de la viga en B:

Ecuacin pendiente:

PLxPx

EIy

61 2

LB y|

EIPLPLPL

EIB 221 222

EIPL

B 3

3

EIPL

EILP

B 38

32 33


157

PROBLEMA

Calcular la deformacin mxima en la viga, la pendiente en los apoyos A y B y la deformacinen el centro de la luz

3000500350 BBA RRM 2003005000 Ay RF

En este caso la ecuacin de momentos no es nica para toda la viga: tiene una expresin distintaen cada uno de los 2 tramos. Veamos:

30 x xM 200

53 x

Encontremos la ecuacin de la elstica para cada tramo:

3500200 xxM

21

33

21

3

1

22

1

2

63500

6200

6200

23500

2200

2200

3500200"200"

5330

DxDxxEIyCxCxEIy

DxxyEICxyEI

xxEIyxEIy

xx

Tenemos 4 constantes.Necesitamos por tanto4 condiciones iniciales


158


02 C

056

25006

52000 2133

CD

211 55 DDC

11 DC

De estas cuatro ecuaciones obtenemos:

70000 1122 DCDC

CBAC

CBAC

yyxyyx

33

C es un punto comn de lostramos AC y CB. Por tanto endicho punto las ordenadas y laspendientes de los 2 tramos soniguales

1

22

1

3

21

33

1

3

21

33

1

3

23500

2200

2200

63500

6200

6200

63500

6200

620000

2

DxxyEICxEIyyy3x

DxDxxEIyCxCxEIyyy3x

DxDxxEIy0y5x

CxCxEIyyx

CBAC

CBAC

2


159

Deformacin mxima: Por observacin vemos que ocurre en el tramo AC de la viga. Adem esen dicho punto la tangente a la elstica horizontal, es decir y=0.

La ecuacin de la pendiente para el tramo AC es:

1

2

2200 CxyEI

Por tanto:

7002

2002

20002

1

2

xCx

65.2x En este punto ocurre la deformacin mxima

EIEIy 2.65

68.123465.27006

65.22001 3max

Pendientes en los apoyos A y B:

EIEICx

EIy 0A

7007002

020012

2001 21

2

EIEIDxx

EIy 5B

8007002

355002

520012

35002

2001 221

22

Deformacin en el centro de la viga:

EIEIy 2.5centro

17.12295.27006

5.22001 3

0yeny max


160

En resumen:

PROBLEMA

Calcular la deformacin mxima en la viga que tiene rigidez a la flexin EI:

1220338046000

338008400036000

Ay

BBA

RF

R10RM


161

Ecuaciones del momento flector:

30 x xM 1220

6x3 3-x-xM 6001220

106 x

2

66100036001220 xxxxM

26100036001220

2

xxxM


162

Pero: MyEI

30 x x 63

xEIy 1220" 36001220 -x-xEIy"

CxyEI 12

21220

1

2

23600

21220 DxxEIy

2

21

3

61220 CxCxEIy 21

33

63600

61220 DxDxxEIy

CxyEI 12

21220

DxxyEI 1

22

23600

21220

21

3

61220 CxCxEIy 21

33

63600

61220 DxDxxEIy

106 x

2610006001220

2

x3-x-xEIy"

1

322

661000

23600

21220 Ex-xxyEI

21

433

2461000

63600

61220 ExEx-xxEIy

1

322

661000

23600

21220 ExxxyEI

21

433

2461000

63600

61220 ExExxxEIy


163


CxCxEIy0y0x 213

61220

02C

DxDxxEIyCxCxEIyyy3x CDAC 2133

21

3

63600

61220

61220

211 33 DDC

DxxyEICxyEIyyx CDAC 122

1

2

23600

21220

212203

1DC1

21

433

21

33

2461000

63600

61220

63600

612206 ExExxxEIyDxDxxEIyyyx DBCD

2121 66 EEDD

1

32222

661000

23600

21220

23600

212206 Exx-xyEIDxxyEIyyx 1DBCD

1ED1

21

433

21

43310

24610

10006

3106006

10122024

61000

63600

61220

10 EE0ExExxx

EIy0yx

2110671583660 EE.


164

En ltimas, tenemos: Resolviendo el sistema, las constantestienen los siguientes valores:

02C 02C

211 33 DDC 02 D

11 DC 67.158361 C

2121 66 EEDD 022 DE

11 ED 67.158361 D

211067.1583660 EE 67.158361 E

Clculo de la deformacin mxima

Por observacin, vemos que estar ubicada en el tramo central de la viga. La condicin es queall la pendiente debe valer cero (tangente horizontal). Por tanto:

0yeny max

La ecuacin de la pendiente para el tramo CD es: 122

23600

21220 DxxyEI

Por tanto: 67.158362

36002

1220022

xx

Resolviendo la ecuacin de segundo grado:

73.11

92.5

2

1

x

x

La raz 73.112 x solo tiene significado matemtico. Para nosotros el valor que tiene significado

fsico para la viga que estamos analizando es el de 92.51 x . Chequeamos adems que estcomprendido en el tramo 63 x .


165

Por lo tanto:

ymaxima 92.5 en la ecuacin de y vlida en dicho punto:

21

33

63600

61220 DxDxxEIy

EIEI1ymaxima

28.5405692.567.158366

392.56006

92.51220 3392.5

92528.54056 .xenEImaxima

4.1.1 FUNCIONES DE SINGULARIDAD

Observemos las ecuaciones del momento flector para la viga del problema anterior:

2

6100036001220106

30

2

xxxMx

3-x600-1220xM6x3

1220xMx


166

Como se ve, cada ecuacin es igual a la anterior mas un trmino, de tal manera que la ltima lascontiene a todas por as decirlo, lo cual la convierte en la ecuacin representativa de la viga.

10626100036001220

2

xxxxM

63266100036001220

2

xxxxxM

30266100036001220

2

xxxxxM

Este hecho hace que podamos utilizar la ltima ecuacin como representativa de la viga con unacondicin: que para cada tramo solo se incluyan los trminos necesarios.

Esto se logra utilizando FUNCIONES DE SINGULARIDAD, que tienen una expresin distintapara cada tramo incluyendo los trminos afectados por parntesis solo cuando se necesiten.Matemticamente esto se expresa escribiendo la ecuacin con parntesis angulares los cuales slo seincluirn en la ecuacin cuando su valor sea positivo segn la siguiente convencin:

ECUACIN REPRESENTATIVA DE LA VIGA: 26

1000360012202

x

xxM

Condicin para los parntesis:

axsiax

axsiaxax

0

Resolvamos el problema anterior utilizando funciones de singularidad:

Si le quitamos untrmino, se convierte enla segunda:

Si le quitamos otrotrmino, se convierte enla primera:


167

2

6100036001220106

36001220

122030

2

xxxMx

x-x-M6x3

xMx

ECUACIN REPRESENTATIVA DE LA VIGA: 26

1000360012202

x

xxM

Por lo tanto:

21

433

1

322

2

246

10006

36006

1220

66

10002

36002

1220

26

100036001220

CxCxxxEIy

CxxxyEI

xxxyEI

Como vemos, el problema se simplifica pues slo tenemos 3 ecuaciones y 2 constantes: C1 y C2En consecuencia slo necesitamos 2 condiciones iniciales.


024

61000

63600

612200 21

433

2CCxC

xxxEIy0yx

= 0pu

esx 6

.-CCEIy 671586301024

61010006

3106006

10122021

433

= (x-3

) pues

x >3

= 0pu

esx

3

= 0pu

esx

resistencia

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