Download - resistencia
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139
Mtodo de la seccin transformada. Transformemos la seccin en madera:
2010200
GPaGPa
EEnmadera
acero
Analicemos la viga como si fuera toda de madera:
Calculemos Iecc ,, 21
221
2211 67.4200400
12200400 cIAA
yAyAy
33.1767.4221 c
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140
422 67.2292267.260027200 cmAdII D
433
2720032010
32200 cmID
Finalmente, calculamos los esfuerzos en la madera y en el acero:
KPa.mcm
cmN.
cm.cm.cmN
IcM max
real,madera)max( 627211016272
672292233171003600
2
24
241
KPa.mcm
cmN.
cm.cm.cmN
IcM max
ficticio,madera)max( 4733103473
67229226741003600
2
24
242
Como en la realidad en la parte inferior de la viga no hay madera sino una platina de acero,debemos devolvernos por as decirlo y multiplicar este esfuerzo ficticio porn para obtener elesfuerzo real en el acero:
KPaKPan ficticiomaderarealacero 149547.74720,)max(,)max(
En conclusin hemos encontrado los siguientes esfuerzos mximos en la viga:
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Variacin de esfuerzos a travs de la seccin:
La viga entonces, absorber los esfuerzos de la siguiente forma:
Como se ve, la platina de acero soporta la mayor parte de los esfuerzos de tensin.
La viga tambin puede analizarse transformando toda la seccin en acero. Vemoslo acontinuacin.
Resolucin del problema transformando la viga en acero
Vamos a transformar toda la viga en acero. Por lo tanto:
05.020010
GPa
GPaE
Enacero
madera
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Seccin transformada en acero
Analicemos la seccin transformada:
221
2211 67.41020
1210120 cAA
yAyAy
33.1767.4221 c
Clculo del momento de inercia:
13.114667.2301360 22 AdII D
13603
205.03
210 33
DI
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Clculo de los esfuerzos:
Esfuerzo mximo en la madera:
KPan ficticioaceroCrealmaderaC 6.27745549205.0,)max(,)max(
En resumen:
Obviamente, los valores soniguales a los que obtuvimostransformando la seccin enmadera
KPaPaficticioaceroC 554921020.554913.114633.171003670 4
,)max(
KPaParealaceroT 7.149531037.149313.114667.41003670 4
,)max(
KParealmaderaC 6.2774,)max(
KParealaceroT 7.14953,)max(
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PROBLEMAS PROPUESTOS
Calcular los esfuerzos normales y cortantes mximos en las siguientes vigas
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C A P T U L O 4
D E F O R M A C I O N E S E N V I G A S
NTENSE LAS DEFORMACIONES Y FISURAS EN LOS EXTREMOS DE LA VIGA
Tal como se ha dicho, un elemento estructural no slo debe ser resistente a la rotura sino quedebe tener unas condiciones de rigidez adecuadas de tal manera que se cumplan algunas condicionesmnimas, a saber:
Que se garantice la funcionalidad de la estructura evitando grandes deformaciones que podranafectar su desempeo. (Por ejemplo el alineamiento y nivelacin de equipos).
Que no se afecte la esttica de la estructura con la aparicin de grietas, producto de grandesdeformaciones.
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NTESE AGRIETAMIENTO DE LA VIGA EN LA SECCIN DE MOMENTO NEGATIVO,POR FALTA DE REFUERZO
Adicionalmente como se ha visto, en el caso de vigas estticamente indeterminadas es necesarioobtener ecuaciones adicionales basadas en las deformaciones que nos ayuden a levantar laindeterminacin y as poder resolverlas.
De otra parte, en los prximos cursos de ingeniera estructural se requerirn los conocimientosrelativos a los mtodos de clculo de deformaciones en vigas para poder afrontar el estudio de estructurasestaticamente indeterminadas (por ejemplo en el mtodo conocido como pendiente- deflexin o slopedeflection).
Por estos motivos se hace necesario calcular las deformaciones que se producen en las vigascuando estn son sometidas a cargas.
Existen varios mtodos para calcular las deformaciones en vigas:
Mtodos matemticos: Mtodo de la doble integracin o de la Ecuacin de la elstica.
Mtodos geomtricos: Basados en la forma de la viga deformada. El mas conocido es elmtodo del rea de momentos o Teoremas de Mohr.
Mtodos derivados de los anteriores: Mtodo de la viga conjugada conocido en algunostextos como Mtodo de los Pesos Elsticos.
Mtodos energticos: Basados en la conservacin de la energa desarrollada por las fuerzasal deformar las vigas. (Teoremas de Maxwell, de Castigliano y otros).
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Tipos de deformaciones
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Funcionalidad afectada por deformaciones excesivas (se desnivelan los elementos soportadospor la viga).
Deformaciones excesivas pueden causar agrietamientos que afectan la esttica de las estructuras.
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Deformaciones con concavidades contrarias.
4.1 MTODO DE LA DOBLE INTEGRACIN
En la teora de flexin se vi que: EIM
1
En matemticas se tiene que:
23
2
2
21
1
dxdy
dxyd
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Por lo tanto:
EIM
dxdy
dxyd
23
2
2
21
pero 0
dxdy las pendientes en las vigas son muy pequeas
Con mayor razn: 02
dxdy
En conclusin: "22
yEIM
dxyd
o lo que es lo mismo: MEIy "
EI: Rigidez a la flexiny : segunda derivada de la ecuacin de la viga deformada o elsticaM: Ecuacin del momento flector en el tramo de viga considerado
Si integramos esta ecuacin obtenemos la ecuacin de la pendiente y:
1CMdxyEI
Si integramos otra vez (doble integracin) obtenemos la ECUACIN DE LA ELSTICA:
21 CxCMdxEIy ECUACIN DE LA ELSTICA
Con estas ecuacin podemos calcular la pendiente y o la deformacion y en cualquier punto de la viga.
Las constantes C1 y C2 se calculan estableciendo las condiciones iniciales o de borde que dependende los apoyos y las caractersticas de la viga y de las cargas como se ver en los ejemplos.
MEIy "
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CONDICIONES INICIALES EN DIFERENTES TIPOS DE VIGAS
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PROBLEMA
Calcular la deformacin en el extremo libre B de la viga en voladizo:
Tal como se vi en el mtodo de doble integracin:
MEIy "
Para poder integrar necesitamos la ecuacin del momento flector M. Para encontrarla hacemosun corte a una distancia x del empotramiento A.
0M 0 PxPLM
Ecuacin del momento:
PLPxM
Por lo tanto:
PLPxEIy "
Integrando una vez:
1
2
2CPLxPxyEI
Integrando otra vez (doble integracin):
21
23
26CxCPLxPxEIy
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Para calcular C1 y C2 debemos establecer las condiciones iniciales. Para esto, observamos elproblema fsico, la viga empotrada en A. En el empotramiento (x=0) se estn impidiendo tantola deformacin (y=0) como el giro (y=0). Recordemos que un empotramiento por definicin esun apoyo que impide el giro.
Entonces:
Condiciones iniciales:
0000
yxyx
00 yx 2123
26CxCPLxPxEIy por tanto: 02 C
00 yx 12
2CPLxPxyEI por tanto: 01 C
Al ser las dos constantes iguales a cero, las ecuaciones quedan:
Ecuacin de la elstica:
261
26
2323 PLxPxEI
yPLxPxEIy
Ecuacin de la pendiente:
PLxPx
EIyPLxPxyEI
21
2
22
Clculo de la deformacin en el extremo B:
LB y
0 0 0
0 0 0 0
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EIPLPLPL
EIB 3261 333
EIPL
B 3
3
Anlisis de deformacin
Vemos que mientras mayores sean P y L mayor ser la deformacin y que mientras mayor sea EI,ser menor.
EI: Rigidez a la flexin. Para un material dado (E), la deformacin depende del momento de lainercia.
Influencia del momento de inercia en la deformacin
Influencia de la longitud de la viga L en la deformacin
LB y
261 23 PLxPxEI
y
EIPL
B 3
3
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Si duplicamos la longitud de la viga tendremos:
| Al duplicar la longitud, ladeformacin se hace 8 vecesms grande
Clculo de la pendiente de la viga en B:
Ecuacin pendiente:
PLxPx
EIy
61 2
LB y|
EIPLPLPL
EIB 221 222
EIPL
B 3
3
EIPL
EILP
B 38
32 33
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PROBLEMA
Calcular la deformacin mxima en la viga, la pendiente en los apoyos A y B y la deformacinen el centro de la luz
3000500350 BBA RRM 2003005000 Ay RF
En este caso la ecuacin de momentos no es nica para toda la viga: tiene una expresin distintaen cada uno de los 2 tramos. Veamos:
30 x xM 200
53 x
Encontremos la ecuacin de la elstica para cada tramo:
3500200 xxM
21
33
21
3
1
22
1
2
63500
6200
6200
23500
2200
2200
3500200"200"
5330
DxDxxEIyCxCxEIy
DxxyEICxyEI
xxEIyxEIy
xx
Tenemos 4 constantes.Necesitamos por tanto4 condiciones iniciales
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Condiciones iniciales:
02 C
056
25006
52000 2133
CD
211 55 DDC
11 DC
De estas cuatro ecuaciones obtenemos:
70000 1122 DCDC
CBAC
CBAC
yyxyyx
33
C es un punto comn de lostramos AC y CB. Por tanto endicho punto las ordenadas y laspendientes de los 2 tramos soniguales
1
22
1
3
21
33
1
3
21
33
1
3
23500
2200
2200
63500
6200
6200
63500
6200
620000
2
DxxyEICxEIyyy3x
DxDxxEIyCxCxEIyyy3x
DxDxxEIy0y5x
CxCxEIyyx
CBAC
CBAC
2
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159
Deformacin mxima: Por observacin vemos que ocurre en el tramo AC de la viga. Adem esen dicho punto la tangente a la elstica horizontal, es decir y=0.
La ecuacin de la pendiente para el tramo AC es:
1
2
2200 CxyEI
Por tanto:
7002
2002
20002
1
2
xCx
65.2x En este punto ocurre la deformacin mxima
EIEIy 2.65
68.123465.27006
65.22001 3max
Pendientes en los apoyos A y B:
EIEICx
EIy 0A
7007002
020012
2001 21
2
EIEIDxx
EIy 5B
8007002
355002
520012
35002
2001 221
22
Deformacin en el centro de la viga:
EIEIy 2.5centro
17.12295.27006
5.22001 3
0yeny max
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En resumen:
PROBLEMA
Calcular la deformacin mxima en la viga que tiene rigidez a la flexin EI:
1220338046000
338008400036000
Ay
BBA
RF
R10RM
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Ecuaciones del momento flector:
30 x xM 1220
6x3 3-x-xM 6001220
106 x
2
66100036001220 xxxxM
26100036001220
2
xxxM
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Pero: MyEI
30 x x 63
xEIy 1220" 36001220 -x-xEIy"
CxyEI 12
21220
1
2
23600
21220 DxxEIy
2
21
3
61220 CxCxEIy 21
33
63600
61220 DxDxxEIy
CxyEI 12
21220
DxxyEI 1
22
23600
21220
21
3
61220 CxCxEIy 21
33
63600
61220 DxDxxEIy
106 x
2610006001220
2
x3-x-xEIy"
1
322
661000
23600
21220 Ex-xxyEI
21
433
2461000
63600
61220 ExEx-xxEIy
1
322
661000
23600
21220 ExxxyEI
21
433
2461000
63600
61220 ExExxxEIy
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Condiciones iniciales:
CxCxEIy0y0x 213
61220
02C
DxDxxEIyCxCxEIyyy3x CDAC 2133
21
3
63600
61220
61220
211 33 DDC
DxxyEICxyEIyyx CDAC 122
1
2
23600
21220
212203
1DC1
21
433
21
33
2461000
63600
61220
63600
612206 ExExxxEIyDxDxxEIyyyx DBCD
2121 66 EEDD
1
32222
661000
23600
21220
23600
212206 Exx-xyEIDxxyEIyyx 1DBCD
1ED1
21
433
21
43310
24610
10006
3106006
10122024
61000
63600
61220
10 EE0ExExxx
EIy0yx
2110671583660 EE.
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En ltimas, tenemos: Resolviendo el sistema, las constantestienen los siguientes valores:
02C 02C
211 33 DDC 02 D
11 DC 67.158361 C
2121 66 EEDD 022 DE
11 ED 67.158361 D
211067.1583660 EE 67.158361 E
Clculo de la deformacin mxima
Por observacin, vemos que estar ubicada en el tramo central de la viga. La condicin es queall la pendiente debe valer cero (tangente horizontal). Por tanto:
0yeny max
La ecuacin de la pendiente para el tramo CD es: 122
23600
21220 DxxyEI
Por tanto: 67.158362
36002
1220022
xx
Resolviendo la ecuacin de segundo grado:
73.11
92.5
2
1
x
x
La raz 73.112 x solo tiene significado matemtico. Para nosotros el valor que tiene significado
fsico para la viga que estamos analizando es el de 92.51 x . Chequeamos adems que estcomprendido en el tramo 63 x .
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165
Por lo tanto:
ymaxima 92.5 en la ecuacin de y vlida en dicho punto:
21
33
63600
61220 DxDxxEIy
EIEI1ymaxima
28.5405692.567.158366
392.56006
92.51220 3392.5
92528.54056 .xenEImaxima
4.1.1 FUNCIONES DE SINGULARIDAD
Observemos las ecuaciones del momento flector para la viga del problema anterior:
2
6100036001220106
30
2
xxxMx
3-x600-1220xM6x3
1220xMx
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Como se ve, cada ecuacin es igual a la anterior mas un trmino, de tal manera que la ltima lascontiene a todas por as decirlo, lo cual la convierte en la ecuacin representativa de la viga.
10626100036001220
2
xxxxM
63266100036001220
2
xxxxxM
30266100036001220
2
xxxxxM
Este hecho hace que podamos utilizar la ltima ecuacin como representativa de la viga con unacondicin: que para cada tramo solo se incluyan los trminos necesarios.
Esto se logra utilizando FUNCIONES DE SINGULARIDAD, que tienen una expresin distintapara cada tramo incluyendo los trminos afectados por parntesis solo cuando se necesiten.Matemticamente esto se expresa escribiendo la ecuacin con parntesis angulares los cuales slo seincluirn en la ecuacin cuando su valor sea positivo segn la siguiente convencin:
ECUACIN REPRESENTATIVA DE LA VIGA: 26
1000360012202
x
xxM
Condicin para los parntesis:
axsiax
axsiaxax
0
Resolvamos el problema anterior utilizando funciones de singularidad:
Si le quitamos untrmino, se convierte enla segunda:
Si le quitamos otrotrmino, se convierte enla primera:
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167
2
6100036001220106
36001220
122030
2
xxxMx
x-x-M6x3
xMx
ECUACIN REPRESENTATIVA DE LA VIGA: 26
1000360012202
x
xxM
Por lo tanto:
21
433
1
322
2
246
10006
36006
1220
66
10002
36002
1220
26
100036001220
CxCxxxEIy
CxxxyEI
xxxyEI
Como vemos, el problema se simplifica pues slo tenemos 3 ecuaciones y 2 constantes: C1 y C2En consecuencia slo necesitamos 2 condiciones iniciales.
Condiciones iniciales:
024
61000
63600
612200 21
433
2CCxC
xxxEIy0yx
= 0pu
esx 6
.-CCEIy 671586301024
61010006
3106006
10122021
433
= (x-3
) pues
x >3
= 0pu
esx
3
= 0pu
esx