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República Bolivariana de Venezuela Universidad de Los Andes
Facultad de Humanidades y Educación Escuela de Educación
PROPUESTA PEDAGÓGICA PARA LA
INTRODUCCIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA EN UN
CURSO DEL PRIMER AÑO DE CIENCIAS DEL CICLO
DIVERSIFICADO
Memoria de grado presentada como requisito para optar por el título de Licenciado(a) en Educación Mención Matemática
Autores: Daniel A. González C.
Lady D. Velásquez S.
Tutor Académico: Dra. Olga Porras
Mérida, julio 2006
PROPUESTA PEDAGÓGICA PARA LA
INTRODUCCIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA EN UN
CURSO DEL PRIMER AÑO DE CIENCIAS DEL CICLO
DIVERSIFICADO
Memoria de grado presentada como requisito para optar por el título de Licenciado(a) en Educación Mención Matemática
DEDICATORIA
A la memoria de Italo González A nuestros padres Blanca; Margot y William
A nuestros Hermanos A nuestros familiares
A nuestros amigos
AGRADECIMIENTOS
A Dios Todopoderoso, por llenarme de salud, virtudes, sabiduría y
fortaleza para culminar ésta meta; por ser mi guía espiritual.
A mis padres, Margot y William, por brindarme el apoyo; por estar
siempre conmigo y por la oportunidad de continuar estudios superiores.
A mis hermanos Alexander, Yormery, María E. y Gilberto, por su
comprensión y por brindarme su apoyo y cariño.
A mi tutora, Prof. Olga Porras, por aceptar ser la guía y orientadora
de ésta investigación. Gracias por su disposición y paciencia.
A la institución U.E. “Estado Portuguesa”, a sus profesores y
alumnos, por permitir la aplicación de la propuesta de investigación.
Al Profesor J. Pérez Sánchez, por su colaboración al aportar
material didáctico apropiado para nuestros fines.
A mis amigos y compañeros de clase, lucha y esfuerzo como
estudiantes, Giovany, J. Monasterio, Eliana, Lilibe, Arturo y
especialmente a Daniel por culminar junto a mí este reto. Gracias por su
apoyo y amistad.
A Rosa Ancianni, por ser tan colaboradora, compresiva y
ayudarme de una u otra forma a lograr este reto.
Y a todas aquellas personas que de una u otra forma contribuyeron
con el desarrollo de ésta investigación y al logro de esta meta.
Mil gracias!
Lady D. Velásquez S.
A mi Dios todo poderoso, por ser mi guía y por haberme dado las
herramientas necesarias para culminar esta meta.
A la memoria de mi padre, que desde el cielo siempre me ha
acompañado.
A mi madre Blanca Elena, por creer en mí y ser la fortaleza para
culminar todas mis metas, por el ejemplo que siempre me ha sido; a mi tía
Ninfa, por también creer en mí y brindarme su hogar, su cariño y su
ejemplo.
A nuestra tutora, la Profesora Olga Porras, por su paciencia, su
dedicación, su orientación, por dejarnos siempre un espacio de su tiempo.
Gracias Profesora, que Dios le multiplique todo lo que nos obsequió.
A mis hermanos y primas, Italo, Carlos, Ysabel y Migceli, por todo
el cariño, comprensión, apoyo y sobre todo por siempre creer en mí.
A Lady, por creer en mí, haberse atrevido tomar este reto conmigo.
Sin ti creo que me hubiese dado muchos tropiezos en el camino.
Gracias...
A mis amigos y amigas, Arturo, José David, Jackson, Eliana,
Yaquiraldy, Saraí, Carolina, Lilibe, Leonardo, Renzo, Yeslaine, y a nuestra
secretaria Rosita. Gracias por su amistad y apoyo incondicional.
A la Universidad de Los Andes, por haberme obsequiado todo el
conocimiento que adquirí en mi escolaridad y en la realización de mi
memoria de grado. “Por haberme permitido ser alumno de mis profesores.
Gracias…”
A la Unidad Educativa “Estado Portuguesa” de San Juan de
Lagunillas, a su personal directivo, equipo docente y por supuesto a mis
alumnos del Primero de Ciencias Sección “B” del año escoñar 2005-2006,
por haberme brindado el apoyo necesario para la aplicación de esta
propuesta y por toda la paciencia que me prestaron para culminar esta
meta.
A todas aquellas personas que me acompañaron en este camino; a
todos aquellos que hoy celebran este logro, gracias, mil gracias…
Daniel A. González C.
Mérida, 1 de junio de 2006
Señores
Miembros Comisión Memoria de Grado
Departamento de Medición y Evaluación
Escuela de Educación
Facultad de Humanidades y Educación
Universidad de los Andes
Presentes.-
Distinguidos (as) profesores (as):
Muy respetuosamente me dirijo a ustedes, en la oportunidad de informarle
que, como TUTOR de la Memoria de Grado Titulada: Propuesta Pedagógica para la Introducción de la Trigonometría en un curso del Primer Año de Ciencias del Ciclo Diversificado, realizada por los (as)
Bachilleres: Velásquez S. Lady D. y González C. Daniel A., como requisito
para optar al título de Licenciados (as) en Educación Mención
Matemática, he leído, revisado y corregido la misma, estando conforme
con su contenido.
Por lo antes expuesto, remito a esa Comisión para su conocimiento y
fines consiguientes, 3 (tres) ejemplares de dicha Memoria de grado, a fin
de cumplir con las formalidades establecidas en el Reglamento de
Memoria de Grado Vigente.
Atentamente,
--------------------------------- --------------------------------
Nombre y Apellido Firma
Universidad de los Andes
Facultad de Humanidades y Educación
Escuela de Educación
DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN COMISIÓN MEMORIAS DE GRADO
Título de la Memoria de Grado: Propuesta Pedagógica para la Introducción de la Trigonometría en un curso del Primer Año de Ciencias del Ciclo Diversificado. Autor (es): Velásquez S. Lady D. y González C. Daniel A.
Tutora: Dra. Porras Olga
Jurados sugeridos por la comisión:
Fecha: 31 / 05 / 2006
Resumen
Uno de los temas matemáticos de primordial importancia en la formación del
alumno del primer año de ciencias del ciclo diversificado, es el de la
trigonometría, considerado de gran dificultad para la comprensión de los
alumnos debido al escaso cultivo de la Geometría, en el aula de clase, en la 2da y
la 3a etapa de Educación Básica. Sin embargo, a pesar de esta situación, los
modelos y métodos utilizados por los docentes para su enseñanza continúan
siendo los “tradicionales”. El presente trabajo ofrece una propuesta
metodológica para la enseñanza de las razones trigonométricas en el triángulo
rectángulo y en el círculo trigonométrico, dirigida a estudiantes del primer año
de ciencias del ciclo diversificado, fundamentada en el enfoque constructivista,
utilizando como herramientas auxiliares la Historia de la Matemática y la
Geometría plana elemental.
De este modo, el objetivo primordial de este trabajo consiste en la
elaboración, validación y aplicación de una propuesta para la introducción a la
trigonometría en un curso del primer año de ciencias del ciclo diversificado, en la
cual se brinden oportunidades a los estudiantes para la adquisición de
conocimientos geométricos necesarios para una construcción natural del
significado de las razones trigonométricas, así como para un manejo adecuado
del círculo trigonométrico y sus propiedades.
Este trabajo consiste en una investigación de tipo aplicada y
correlacional donde se busca conocer la posible incidencia de la aplicación de la
propuesta, sobre el conocimiento alcanzado por los alumnos del primer año de
ciencias, acerca del contenido matemático referido a la trigonometría. El diseño
del mismo es cuasiexperimental; se elaboró y validó dos instrumentos: el
primero denominado preprueba, titulado “test diagnóstico para determinar el nivel
de conocimientos alcanzado por los alumnos de primer año de ciencias del ciclo
diversificado sobre geometría plana elemental” y el segundo denominado
postprueba titulado “test para determinar el conocimiento alcanzado por los
alumnos del primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre nociones
básicas de trigonometría”, los cuales se aplicaron a grupos intactos, uno de
control y otro experimental; este último recibe el tratamiento o la aplicación de la
propuesta.
Por otro lado, los análisis estadísticos reflejaron que, los alumnos a
quienes se les aplicó la propuesta, obtuvieron mayor rendimiento promedio que
los alumnos a quienes se les impartió clases con el uso del método tradicional.
Esto le proporciona un valor favorable a la aplicación de la propuesta en relación
con la metodología tradicional en la enseñanza de las razones trigonométricas.
ÍNDICE Pág
Introducción 08 CAPíTULO I: PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN
1.1 Planteamiento del problema…………………………….... 10
1.2 Justificación de la investigación………………………….. 13
1.3 Objetivos de la investigación………………………………15
1.3.1 Objetivo general…………………………………. 15
1.3.2 Objetivos específicos…………………………… 15
1.4 Contextualización curricular……………………………… 17
CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO
2.1 Antecedentes……………………………………………..... 18
2.2Bases teóricas……………………………………………... 21
2.2.1 Fundamentación didáctica- epistemológica….. 21
2.2.2 Fundamentación histórica………………………. 26
2.2.3 Fundamentación matemática…………………... 28
CAPÍTULO III : MARCO METODOLÓGICO
3.1 Tipo de investigación……………………………………… 40
3.2 Diseño de la investigación ……………………………….. 40
3.3 Población y muestra ……………………………………… 41
3.4 Variables de la investigación…………………………….. 41
3.4.1 Variable independiente………………………….. 41
3.4.2 Variable dependiente……………………………. 42
3.5 Hipótesis de la investigación……………………………... 43
3.5.1 Hipótesis Alterna…………………………………. 43
3.5.2 Hipótesis nula…………………………………….. 43
3.6 Técnicas e instrumentos de recolección de datos……... 43
3.6.1 Test diagnóstico…………………………………………. 44
3.6.2 Validez de los instrumentos……………………………...45
3.6.2.1 Validez……………………………………………46
3.6.2.1.1 Validez del Test diagnóstico…………47
3.6.3 Confiabilidad del Test diagnóstico……………………..48
3.6.4 Proceso de conversión de puntaje del
test diagnóstico………………………………………….48
3.6.5 Análisis de los resultados obtenidos en el test
diagnóstico……………………………………………....50
3.6.5.1 Tablas y gráficos descriptivos……………......50
3.6.6 Discusión de los resultados del test diagnóstico……..56
Análisis de textos escolares…………………………………...57
CAPÍTULO IV: PROPUESTA PEDAGÓGICA PARA LA INTRODUCCIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA
4.1 Introducción………………………………………………….62
4.2 Mapa conceptual…………………………………………….64
4.3 Objetivos de la propuesta…………………………………..66
4.3.1 Objetivo general…………………………………...66
4.3.1.1 Objetivos cualitativos descriptores…….66
4.3.1.2 Objetivos cualitativos indicadores……..67
4.4 Desarrollo de la propuesta………………………………….68
4.5 Problemario…………………………………………………125
4.6 Aplicación de la Propuesta………………………………...130
4.7 Test 2………………………………………………………...142
4.8 Validez del Test 2…………………………………………...143
4.9 Confiabilidad del Test 2………………………………….…144
4.10 Proceso de conversión de puntaje del Test 2…………..144
CAPÍTULO V: ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DEL TEST 2 5.1 Análisis descriptivos………………………………………...146
5.1.1 Tablas y gráficos descriptivos…………….……..147 5.2 Análisis inferencial……………………………………….....166
CAPÍTULO VI: DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS DEL TEST 2, CONCLUSIONES GENERALES Y RECOMENDACIONES
6.1 Discusión de los resultados del análisis descriptivo del
test 2 y discusión de los resultados obtenidos en la
convalidación de las hipótesis de investigación
(análisis inferencial)………………………………………….…174
6.2Conclusiones………………………………………………...175
6.3 Recomendaciones………………………………………....176
Referencias Bibliográficas…………………………………………..177 Anexos…………………………………………………………………..181
INTRODUCCIÓN Los innumerables cambios ocurridos recientemente a nivel teórico en
la concepción de la educación y particularmente de la educación
matemática, así como las dificultades inherentes al proceso de enseñanza-
aprendizaje son el motivo del desarrollo de esta investigación, la cual está
destinada a buscar un cambio en la concepción adoptada por el docente y
por sus alumnos, así como en los métodos y modelos utilizados en la
enseñanza de la matemática.
Uno de los temas matemáticos de primordial importancia en la
formación del alumno del primer año de ciencias del ciclo diversificado, es el
de la trigonometría, considerado de gran dificultad para la comprensión de
los alumnos debido al escaso cultivo de la Geometría, en el aula de clase, en
la 2da y la 3a etapa de Educación Básica. Sin embargo, a pesar de esta
situación, los modelos y métodos utilizados por los docentes para su
enseñanza continúan siendo los “tradicionales”. El presente trabajo ofrece
una propuesta metodológica para la enseñanza de las razones
trigonométricas en el triángulo rectángulo y en el círculo trigonométrico,
dirigida a estudiantes del primer año de ciencias del ciclo diversificado,
fundamentada en el enfoque constructivista, utilizando como herramientas
auxiliares la Historia de la Matemática y la Geometría plana elemental.
De este modo, el objetivo primordial de este trabajo consiste en la
elaboración, validación y aplicación de una propuesta para la introducción a
la trigonometría en un curso del primer año de ciencias del ciclo
diversificado, en la cual se brinden oportunidades a los estudiantes para la
adquisición de conocimientos geométricos necesarios para una construcción
natural del significado de las razones trigonométricas, así como para un
manejo adecuado del círculo trigonométrico y sus propiedades.
Este trabajo consiste en una investigación de tipo aplicada y
correlacional donde se busca conocer la posible incidencia de la aplicación
8
de la propuesta, sobre el conocimiento alcanzado por los alumnos del primer
año de ciencias, acerca del contenido matemático referido a la trigonometría.
El diseño del mismo es cuasiexperimental; se elaboraron y validaron dos
instrumentos: el primero denominado preprueba, titulado “test diagnóstico
para determinar el nivel de conocimientos alcanzados por los alumnos de
primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre geometría plana
elemental” y el segundo denominado postprueba titulado “test para
determinar el conocimiento alcanzado por los alumnos del primer año de
ciencias del ciclo diversificado sobre nociones básicas de trigonometría”, los
cuales se aplicaron a grupos intactos, uno de control y otro experimental;
donde este último recibe el tratamiento o la aplicación de la propuesta.
Este trabajo se encuentra estructurado de la siguiente manera:
Capítulo I: se plantea el problema de investigación, su justificación y
los objetivos de estudio.
Capítulo II: se presentan algunos antecedentes y el marco teórico que
sustentan el estudio.
Capítulo III: se explica todo lo referente a la metodología utilizada; lo
relacionado con el test diagnóstico (preprueba) y el análisis de textos
escolares.
Capítulo IV: se presenta la introducción de la propuesta, el mapa
conceptual, sus objetivos, el desarrollo de su contenido, los registros
de observación obtenidos de la aplicación de la propuesta, el
problemario y todo lo relacionado con el test 2 (postest o postprueba).
Capítulo V: se realiza el análisis descriptivo de los resultados
obtenidos mediante la aplicación del postest y el análisis inferencial.
Capítulo VI: se expone la discusión de los resultados del test 2
(postest), se enuncian las conclusiones generales y recomendaciones
derivadas de la ejecución del estudio.
9
CAPITULO I
PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La educación en general y en particular la educación matemática
enfrenta un gran reto: lograr un cambio en la concepción paradigmática
adoptada por el docente. Es hecho que la enseñanza de las matemáticas, en
la práctica, no se ha separado de los viejos métodos y modelos, superados
en casi todos los ámbitos de nuestra sociedad (Goded, 1997, citado por
Albarrán.2005). El cambio requerido conllevaría a la adopción de un nuevo
enfoque y por lo tanto a la formulación de nuevos métodos y modelos de
enseñanza para los contenidos matemáticos, fundamentados en los nuevos
paradigmas.
En este orden de ideas, el presente trabajo tiene como fin principal la
búsqueda, elaboración y validación de una propuesta de enseñanza para la
introducción al contenido matemático referido a la trigonometría,
fundamentada en el enfoque constructivista, con el objeto de contribuir a
generar ese cambio de concepción en la enseñanza de la matemática, y
consecuentemente, un cambio en la metodología.
Uno de los contenidos con los cuales la enseñanza de la matemática
enfrenta grandes dificultades, subestimadas por muchos, es el de la
trigonometría, debido al abandono de la geometría en el aula de clase, en un
gran porcentaje de los cursos de matemática de la escuela básica ( primera ,
segunda y tercera etapas).
A partir de los años 70 surge el nacimiento de la denominada
“Matemática moderna”; el cual fue un movimiento de renovación, que trajo
consigo un cambio de la perspectiva en que se debería enfocar la
enseñanza de la matemática. Esta transformación condujo a una ausencia
10
de la geometría en las clases de matemática debido a su difícil
fundamentación rigurosa, dándole mayor cabida a la utilización del álgebra,
a causa de que sus abstractas estructuras daban una formalidad necesaria
según la concepción establecida, a la clase de matemática.
Este abandono casi absoluto de la geometría desde los primeros
niveles de la educación, trae como consecuencia que el docente que se
encuentra, a partir de los años 80, en el aula de educación básica, no posee
la formación necesaria y suficiente para enseñar el área que dió origen a
gran parte de las nociones que permitieron el desarrollo y la evolución de la
matemática. Aunque este error provocado por la enseñanza de la
“Matemática moderna” fue reconocido a partir de los años 80 en los países
que con más rigor se ciñeron a este movimiento, sus consecuencias
lentamente se han ido superando. Nuestro país, que se incorporó
tardíamente tanto a la corriente de la matemática moderna como a las
rectificaciones necesarias, todavía padece de las dificultades mencionadas.
Esto, a su vez, implica que el alumno del primer año de ciencias del ciclo
diversificado y que se inicia en el conocimiento de la trigonometría,
desconozca en gran parte aspectos como: simetría axial, vectores,
rotaciones, semejanza, proporciones, traslaciones y congruencia, en el
contexto de la geometría plana, los cuales son de esencial importancia para
la comprensión de la trigonometría.
Un aprendizaje óptimo en trigonometría es fundamental para los
estudiantes del primer año de ciencias del ciclo diversificado, ya que en ella
convergen un gran número de tópicos que se desarrollan en la matemática
previa a ella, como por ejemplo, los aspectos en geometría plana nombrados
anteriormente, así como también operaciones en el conjunto de los números
reales, la noción de función, el manejo adecuado del plano cartesiano, la
resolución de ecuaciones algebraicas, entre otros temas de suma
importancia en el desarrollo de la cultura matemática del estudiante. Es allí
donde éste, tras haber obtenido un buen aprendizaje, logra razonar y
manejar lógicamente todos las nociones que se le han presentado en
11
matemáticas previamente. Es posible que muchos de los estudiantes de
primer año de ciencias no se encaminen en alguna disciplina del área
científico-tecnológica, pero la trigonometría y en general la matemática
ayuda a desarrollar el pensamiento lógico, el cual es indispensable en
distintas áreas del saber humano.
Una de las intenciones de esta propuesta es enfatizar la importancia
que tiene, a la hora de diseñar actividades de aula, la conciencia de la
necesidad de establecer conexiones explícitas entre los conocimientos ya
adquiridos por el alumno y los que deberá adquirir. Cabe destacar que los
conocimientos ya adquiridos por los estudiantes (los de Geometría plana
elemental), serán reforzados utilizando la Teoría de Van Hiele. Se pretende
que los alumnos, partiendo de la observación, visualización y manipulación
de figuras geométricas y materiales didácticos, lleguen a construir las
definiciones de manera rigurosa e integrarlas de manera definitiva entre sus
conocimientos previos fundamentales para iniciarse en el estudio de la
trigonometría. La aplicación de un test diagnóstico titulado “test diagnóstico
para determinar el nivel de conocimientos alcanzados por los alumnos de
primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre geometría plana
elemental”, reflejó que la mayoría de los estudiantes no poseen los
conocimientos acerca de Geometría plana elemental necesarios para
iniciarse en el estudio de la trigonometría.
Esta importancia está plenamente justificada por la teoría
constructivista, de ahí que una adecuada introducción a cada nuevo tema en
matemática es esencial para propiciar el aprendizaje significativo del mismo.
Esta introducción debería incluir:
1. Un refuerzo de los conceptos previos necesarios para la
comprensión del nuevo tema.
2. El establecimiento explícito de conexiones entre el nuevo tema
y los conocidos previamente.
3. La motivación para el aprendizaje del nuevo tema, a través de
estrategias diferentes como: elementos de la historia de la
12
matemática, aspectos de utilidad práctica del tema, actividades
lúdicas u otras estrategias didácticas.
Estas estrategias de motivación estarían dirigidas a lograr un cambio
actitudinal en el estudiante que sea favorable a la construcción de su
conocimiento del nuevo tema.
Es por ello que planteamos la utilización de elementos, tanto de la
historia como de la epistemología de las razones trigonométricas, para el
diseño de esta propuesta, en la búsqueda de conexiones apropiadas para el
fin mencionado en el párrafo anterior.
1.2 JUSTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN
En la actualidad, el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática
en el aula, presenta un gran número de dificultades, las cuales son de alto
interés de investigación. Dichas dificultades son producto de diversos
factores, dentro de los cuales podemos mencionar: la formación del docente
de matemática, la organización de los contenidos en el currículo, la falta de
motivación experimentada por los estudiantes en sus clases de matemática,
la poca conexión que el profesor de matemáticas logra establecer entre la
vida diaria y los contenidos matemáticos, y algunos otros aspectos que
pueden ser dignos de estudio.
Según Guzmán (1993), los últimos treinta años han sido escenario de
cambios muy profundos en la enseñanza de la matemática, naciendo el
movimiento de renovación de los años 60 y 70 hacia la “ Matemática
moderna “ que trajo consigo una honda transformación de la enseñanza por
los contenidos nuevos con él introducidos. Entre las transformaciones
ocurridas están las siguientes:
• Se intentó profundizar en el rigor lógico.
• Se hizo énfasis en la abstracción en diversas áreas de la
Matemática, especialmente en álgebra.
13
• La geometría elemental, al ser mucho más difícil de fundamentar,
sufrió un gran deterioro.
• La geometría elemental abunda en problemas interesantes, y al
sustituír éstos por ejercicios monótonos y ajenos a las aplicaciones,
que es lo que el álgebra elemental puede ofrecer, se produjo un
vacío en el tratamiento de la geometría, tanto en contenido como en
problemas.
Este vacío de la geometría en los alumnos del primer año de ciencias
del ciclo diversificado, es reflejado en el test diagnóstico aplicado a los
mismos. Por ello, la importancia del uso de la teoría de Van Hiele para
reforzar los contenidos geométricos necesarios para iniciarse en el estudio
de la trigonometría.
A partir de los años 70, se comenzó a observar que las
transformaciones antes mencionadas no habían resultado muy provechosas.
Al reemplazar la geometría por el álgebra, la matemática elemental se agotó
rápidamente de contenidos y de problemas interesantes. También la falta de
intuición fue otra de las consecuencias del alejamiento de la geometría de
los programas, falla que hoy en día se puede percibir en las personas que
realizaron su formación en aquellos años.
Sin embargo, en los años 80 hubo un exagerado acercamiento hacia la
“Matemática moderna” en lo que respecta al énfasis en la estructura
abstracta de la matemática. Es necesario cuidar y cultivar la intuición en
general, la manipulación operativa del espacio y de los símbolos
matemáticos.
Para entender la interacción entre la realidad y la matemática es
menester acudir, por una parte, a la historia de la matemática, que ha dado
lugar a los conceptos matemáticos que se quieren explorar con los alumnos
y para ello es necesario conocer a fondo el contexto histórico que enmarca
estos conceptos adecuadamente, y por otra parte, acudir a las aplicaciones
de la matemática, que nos hacen ver la riqueza y potencia de esta ciencia.
14
Por otra parte, se considera que el conocimiento de la historia de la
matemática, debería formar parte indispensable de los conocimientos del
matemático en general y del profesor de cualquier nivel, primario, secundario
o terciario en particular. Y, en el caso de este último, no solo con la intención
de que lo pueda utilizar como instrumento en su propia enseñanza, sino
primeramente porque la historia le puede proporcionar una visión
verdaderamente humana de la ciencia y de la matemática, de lo cual suele
estar también el matemático muy necesitado para su propia pedagogía y
para comprender mejor las dificultades de los alumnos; por ello, la historia
debería ser un potente auxiliar para :
• Introducir de manera adecuada las ideas en matemática.
• Enmarcar temporalmente las grandes ideas junto con su
motivación precedente.
Si la educación matemática deja a un lado sus orígenes, los cuales
están presentes en problemas de la realidad y las aplicaciones para
solucionar estos problemas y sólo se dedica a mostrar los resultados
teóricos de la misma, estaría escondiendo gran parte de la vital importancia
que la Matemática verdaderamente tiene en nuestra cultura.
1.3 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN 1.3.1 Objetivo general
Elaborar, aplicar y validar una propuesta para la introducción a la
trigonometría en un curso del primer año de ciencias del ciclo diversificado,
en la cual se brinden oportunidades a los estudiantes para la adquisición de
conocimientos geométricos necesarios para una construcción natural del
significado de las razones trigonométricas, así como para un manejo
adecuado del círculo trigonométrico y sus propiedades.
15
1.3.2 Objetivos específicos
• Determinar cuál es la fundamentación, planteamiento y organización
del contenido trigonométrico en los textos y programas del primer año
de ciencias del ciclo diversificado.
• Utilizar las herramientas que nos proporciona la historia de la
matemática como medio de conexión entre los temas trigonométricos
y problemas variados de naturaleza práctica, y motivar su estudio por
parte de los estudiantes para facilitar la enseñanza-aprendizaje de la
trigonometría.
• Estimular la reflexión en los docentes del primer año de ciencias del
ciclo diversificado, acerca de la importancia de seleccionar
estrategias apropiadas en el momento de introducir los conceptos
básicos de trigonometría a sus alumnos.
• Lograr que los alumnos utilicen en mayor grado la intuición y el
razonamiento a partir de las propiedades de las figuras geométricas
elementales, para la comprensión y manipulación de los conceptos y
razones trigonométricas.
• Medir los conocimientos adquiridos por los alumnos del primer año de
ciencias del ciclo diversificado, respecto a geometría elemental en
cursos anteriores.
• Medir los conocimientos adquiridos por los alumnos del primer año de
ciencias del ciclo diversificado, en relación a la trigonometría.
• Analizar los registros de la experiencia estudiantil tomados por el
docente en el momento de la aplicación de la propuesta para permitir
una reflexión sobre las dificultades y/o facilidades que presente la
propuesta para el proceso de enseñanza y aprendizaje.
16
1.4 CONTEXTUALIZACIÓN CURRICULAR
De acuerdo al programa de articulación del nivel de educación media
diversificada y profesional (Julio, 1.990), la trigonometría debe darse en el
primer año de ciencias del ciclo diversificado, ocupando la unidad II, ya que
la unidad I trata de las funciones reales, las cuales los alumnos deben
dominar para que en el momento de introducir las funciones trigonométricas,
ellos entiendan éstas. El programa sugiere que, antes de iniciar con la
unidad II, se les de a los alumnos un repaso sobre conceptos y relaciones
básicas de geometría en torno al triángulo rectángulo y a la circunferencia,
en particular al teorema de Pitágoras, y sobre álgebra elemental con
manipulación de expresiones algebraicas.
Por otra parte, también sugiere que el profesor oriente al estudiante
en el estudio de la unidad II (trigonometría), de manera tal, que al finalizar
ésta unidad el alumno diferencie las razones trigonométricas de las
funciones trigonométricas.
El tiempo estipulado para cubrir el tema de la trigonometría es de
aproximadamente 6 semanas, cada semana con 4 horas de clase.
Al finalizar con la unidad II, se comienza a dar vectores en el plano y
luego números complejos (unidad III y IV). Estas unidades son dadas
después de trigonometría porque en ellas se utilizan las razones
trigonométricas por ejemplo, para hallar la magnitud de un vector y pasar un
número complejo de la forma polar a la forma trigonométrica.
17
CAPITULO II
MARCO TEÓRICO
2.1 ANTECEDENTES
Una investigación realizada en la Universidad de Oriente por el
Profesor Miguel Centeno y la Profesora B. Barrera, denominada “Evaluando
los niveles de razonamiento geométrico, según el modelo de Van Hiele, de
los estudiantes de geometría I de la Licenciatura en Educación Integral de la
UDO- Núcleo Sucre, II-2001”, tenía como objetivo evaluar el nivel de
razonamiento geométrico de los estudiantes de Geometría I de la
licenciatura en Educación Integral, específicamente un grupo del semestre II
en el año 2001, de acuerdo al modelo de Van Hiele. Este tipo de
investigación fue aplicada en estudiantes encaminados hacia la docencia en
la escuela básica; fue dirigida a futuros docentes y a docentes que
laboraban en las primeras etapas de la educación básica, por considerar que
los cimientos de la educación de cualquier individuo se encuentran
precisamente a este nivel de estudio. Para lograr ese propósito se elaboró
una prueba estructurada, de acuerdo a los niveles de razonamiento de Van
Hiele, aplicándosele a la muestra seleccionada.
Se hizo un análisis porcentual de los resultados obtenidos
encontrándose que la mayoría de los estudiantes de la muestra exhibían
características propias del denominado nivel de visualización. En otras
palabras, esto reflejó que el nivel de conocimiento de los futuros docentes en
ejercicio no era el óptimo para mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje
de la geometría.
En eventos anuales organizados por la Facultad de Ciencias de la
Universidad de Los Andes, denominados, escuela para la enseñanza de la
Matemática, la Profesora Olga Porras y el Profesor Diómedes Bárcenas en
el año 2002, publicaron un texto en el cual se presentan muchos de los
18
contextos para la enseñanza de la trigonometría que se aplicarán en nuestra
propuesta. Algunas de las temáticas que abarca el texto son: las nociones
de geometría elemental que sustentan el desarrollo de la trigonometría, tanto
históricamente como desde el punto de vista conceptual: triángulos,
semejanza de triángulos, circunferencias; aplicaciones interesantes de la
trigonometría e introducen las nociones básicas de razones trigonométricas
en el triángulo rectángulo y las funciones respectivas en el círculo
trigonométrico, luego de un breve recuento histórico del origen de éstas
ideas.
Por otra parte, Porras y Bárcenas (2002), señalan que el escaso,
cuando no nulo, contacto con la geometría, de nuestros estudiantes en los
cursos previos al ciclo diversificado, es uno de los principales factores que
ocasionan dificultades serias en los primeros encuentros de los jóvenes con
la trigonometría. También consideran que el conocimiento de la historia de la
trigonometría en los docentes y alumnos, ayuda a que le encuentren sentido
a ese cúmulo de definiciones y relaciones que constituyen la introducción a
la trigonometría; además, que estimula la imaginación, curiosidad y la
creatividad del estudiante.
La Profesora Olga Porras junto con un equipo de docentes del Liceo
Libertador en la ciudad de Mérida, municipio Libertador, aplicaron una
“Propuesta de reforma curricular para la asignatura de matemáticas en la III
etapa de Educación Básica”, dicha propuesta fue presentada como parte del
proyecto de extensión universitaria denominado “Proyecto Palestra” iniciado
en el año 1996.
En esta reforma se implementaron unos cambios curriculares y
metodológicos en la clase de matemática, donde se utilizaron algunos
materiales didácticos y fundamentalmente las herramientas que proporciona
la historia de la Matemática, tomándose como muestra un grupo de séptimo
grado, específicamente la sección “C” de la III etapa de educación básica
que se encontraban cursando estudios en el Liceo Libertador en el año
19
escolar 1997-1998. Este grupo de estudiantes se mantuvo en la misma
sección cuando pasaron al octavo y noveno Grado de la III etapa de
Educación Básica y durante esos dos años cursaron la asignatura de
matemáticas siguiendo el diseño curricular propuesto.
Las observaciones realizadas en torno a la muestra seleccionada para
la aplicación de la propuesta a lo largo de la experiencia, arrojaron datos
cualitativos esperanzadores, el más importante de los cuales fue la
apreciación de los docentes que dictaron la asignatura de física a los
estudiantes de la sección “C” en el noveno grado y primer año de ciencias.
La impresión de los docentes fue que esa sección se destacaba claramente
por la actitud de los estudiantes hacia el aprendizaje, el cual les hacía
asimilar más fácilmente los conceptos, hacer inferencias y participar más
activamente en clase.
En un trabajo realizado por Abreu, L (2004), se aborda el aprendizaje
por medio de problemas, haciendo uso de la modelación matemática en el
proceso de enseñanza- aprendizaje de las funciones trigonométricas. En la
ejecución de la investigación, se combinaron métodos del nivel teórico y del
nivel empírico del conocimiento científico. Se pudo constatar la existencia de
esta problemática en el proceso de enseñanza- aprendizaje de las funciones
trigonométricas, en los preuniversitarios de la provincia de Sancti Spíritus
ubicada en la isla de Cuba. El análisis de las posibles causas del problema,
condujo a la elaboración de un procedimiento didáctico para usar la
modelación matemática en el estudio de las funciones trigonométricas, el
cual puede ser utilizado por los docentes en el empeño de mejorar los
resultados de su labor para apoyar el aprendizaje de los educandos.
El procedimiento fue orientado hacia la etapa de diseño y constó de
cinco acciones, que a la vez, fueron integradas por operaciones que
contribuyeron a guiar la actividad a realizar, por el docente, para diseñar el
proceso de enseñanza- aprendizaje. Se ejemplificó con el estudio de las
funciones seno y coseno. La validación de la propuesta se realizó mediante
20
el método de expertos. Se obtuvieron criterios favorables sobre la forma en
que se descubrió el procedimiento, su contribución a la solución del
problema y a la posibilidad de aplicación en las condiciones concretas de la
provincia de Sancti Spíritus.
2.2 BASES TEÓRICAS
2.2.1 FUNDAMENTACIÓN DIDÁCTICA- EPISTEMOLÓGICA
2.2.1.1 Constructivismo
Según Burk (s/f), desde dos puntos de vista pueden enfocarse los
fundamentos de la enseñanza de la Matemática; uno es el enfoque
formalista, el cual consiste en la manipulación de un conjunto de símbolos,
organizados de tal modo que representan un conjunto de proposiciones de
las cuales ninguna contradiga a las restantes; todas las proposiciones
deben estar acordes lógicamente con cualquier otra del sistema.
Este enfoque de alguna manera resulta engorroso para nuestros
estudiantes y en general para una población que no interactúe en el
quehacer matemático, ya que está inmerso en un lenguaje simbólico, el cual,
la gran mayoría de esa población no logra interpretar de manera adecuada.
El segundo enfoque de Burk (s/f), es el enfoque constructivista, el cual
permite presentar la Matemática como un ejercicio intuitivo, donde el
estudiante puede interpretar lógicamente los conceptos presentados en la
clase de Matemática.
Las teorías constructivistas son, ante todo, teorías epistemológicas,
que tratan de explicar de qué manera se produce el conocimiento y cuáles
son las condiciones necesarias para que éste tenga lugar (Rondón, 2004).
21
La visión constructivista del aprendizaje cada día toma mayor auge y
es así que esta perspectiva subyace en muchas de las investigaciones
educativas que se realizan actualmente. Este enfoque nos impone nuevos
retos, como lo indica Manterola (1992), “Enseñar ahora no es suministrar,
aportar, proporcionar, dar,… conocimientos a los estudiantes”. La enseñanza
bajo este enfoque se concibe como un proceso a través del cual se ayuda,
se apoya y se dirige al estudiante en la construcción del conocimiento. Para
ayudar al estudiante en ese proceso, el docente debe partir de la estructura
conceptual de cada alumno, de las ideas y conceptos previos que ya posee,
porque es a partir de allí que el alumno va a proporcionar los primeros
significados al tema que se va a enseñar; se trata de lograr que el alumno
vaya de lo simple (conocimiento intuitivo o ingenuo) a lo complejo
(conocimiento formal, científico).
Esta propuesta, desde el punto de vista didáctico, está basada en el
enfoque constructivista, pues a través de su implementación, se espera
lograr que los alumnos del primero de ciencias de educación media,
diversificada y profesional a partir de los conceptos previos en geometría
elemental y la discusión en clase, sean capaces de construir su
conocimiento bajo una interacción docente-alumno-contenido-contexto.
2.2.1.2 Teoría de Van Hiele
En los años 50, los esposos Pierre M. Van Hiele y Dina Van Hiele-
Geldof, trabajaban como profesores de Geometría de enseñanza secundaria
en Holanda. A partir de su experiencia docente, elaboraron un modelo que
trata de explicar por un lado cómo se produce la evolución del razonamiento
geométrico de los estudiantes y por otro cómo puede un docente ayudar a
sus alumnos para que mejoren la calidad de su razonamiento. Entre los
objetivos de nuestra propuesta, se encuentra el que el alumno del primer
año de ciencias del ciclo diversificado, a través de la manipulación de
objetos y figuras geométricas, pueda elevar su nivel de razonamiento y de
ésta manera adquirir un aprendizaje significativo.
22
El modelo Van Hiele tiene como componentes principales la "Teoría
de los niveles de razonamiento", que explica cómo se produce el desarrollo
en la calidad del razonamiento geométrico de los estudiantes cuando éstos
estudian Geometría, y las "Fases de aprendizaje", que constituye su
propuesta didáctica para la secuenciación de actividades de enseñanza-
aprendizaje en el aula, con el objeto de facilitar el ascenso de los estudiantes
de un nivel de razonamiento al inmediatamente superior. Vamos a explicar
brevemente en qué consisten ambos componentes del modelo.
2.2.1.2.1 Los niveles de razonamiento
Los niveles de razonamiento describen los distintos tipos de
razonamiento geométrico de los estudiantes a lo largo de su formación
Matemática, que va desde el razonamiento intuitivo de los niños de
preescolar hasta el formal y abstracto de los estudiantes de las Facultades
de Ciencias o estudiantes de nuestra licenciatura. De acuerdo con el modelo
de Van Hiele, si el aprendiz es guiado por experiencias instruccionales
adecuadas, avanza a través de los cinco niveles de razonamiento,
empezando con el reconocimiento de cada figura como un todo (nivel 1),
progresando hacia el descubrimiento de las propiedades de las figuras y
hacia el razonamiento informal acerca de estas figuras y sus propiedades
(niveles 2 y 3), y culminando con un estudio riguroso de Geometría
axiomática (niveles 4 y 5).
El nivel 1 es denominado nivel de “reconocimiento o visualización”; el
nivel 2, “nivel de análisis”; el nivel 3 “clasificación o abstracción”; el nivel 4
“deducción”, y el nivel 5 “rigor”. El modelo es recursivo, es decir, cada nivel
se construye sobre el anterior, concibiéndose el desarrollo de los conceptos
espaciales y geométricos como una secuencia desde planteamientos
inductivos y cualitativos, hacia formas de razonamiento cada vez más
deductivas y abstractas.
Nivel 1: Reconocimiento o visualización: Los alumnos reconocen figuras por
su apariencia global.
23
Nivel 2: Nivel de análisis: En este nivel los alumnos empiezan a realizar
razonamientos informales acerca de las figuras y sus propiedades.
Nivel 3: Clasificación o abstracción: Es este el momento en que el alumno
ordena de manera lógica las propiedades de las figuras, utilizando cadenas
cortas de deducción y comprende las relaciones que existen entre las
figuras.
Nivel 4: Deducción: Los alumnos son capaces de desarrollar secuencias
más largas de proposiciones, de comprender el significado de la deducción,
el rol de los axiomas y teoremas.
Nivel 5: Rigor: En este nivel los alumnos pueden realizar un estudio riguroso
de Geometría axiomática.
2.2.1.2.2 Las fases de aprendizaje
Mientras que los niveles de razonamiento nos orientan acerca de
cómo secuenciar y organizar el currículo geométrico de una forma global, el
objetivo de las fases de aprendizaje es favorecer el desplazamiento de los
alumnos de un nivel al inmediatamente superior mediante la organización de
las actividades de enseñanza-aprendizaje (Braga, 1991), lo que ha permitido
que el modelo tuviera una influencia real en la elaboración de currículos de
Geometría en distintos países como es el caso de la Unión Soviética,
Estados Unidos, Países Bajos, entre otros.
Las fases de aprendizaje son las siguientes:
• Información.
• Orientación dirigida.
• Explicación.
• Orientación libre.
• Integración.
24
Las características fundamentales de cada fase, son las siguientes: en la
primera, se pone a discusión del alumno material clarificador del contexto de
trabajo. En la segunda fase se proporciona material por medio del cual el
alumno aprenda las principales nociones del campo de conocimiento que se
está explorando. El material y las nociones a trabajar, se seleccionarán en
función del nivel de razonamiento de los alumnos. En la tercera fase
conduciendo las discusiones de clase, se buscará que el alumno se apropie
del lenguaje geométrico pertinente. En la cuarta fase se proporcionará al
alumno materiales con varias posibilidades de uso y el docente dará
instrucciones que permitan diversas formas de actuación por parte de los
alumnos. En la quinta fase se invitará a los alumnos a reflexionar sobre sus
propias acciones en las fases anteriores.
Como resultado de esta quinta fase, los esposos Van Hiele entienden
que el alumno accede a un nuevo nivel de razonamiento. El estudiante
adopta una nueva red de relaciones que conecta con la totalidad del dominio
explorado. Este nuevo nivel de pensamiento, ha sustituido al dominio de
pensamiento anterior.
En nuestra propuesta, se informará a los alumnos de los materiales a
utilizar para cada clase. Posteriormente, se les orientará acerca de la
utilización de los materiales didácticos donde ellos manipularán, visualizarán
y reconocerán (nivel 1) las figuras por su apariencia, realizando
razonamientos informales de las figuras y sus propiedades (nivel 2),
consecutivamente por medio de las explicaciones realizadas por el profesor
y las diversas posibilidades de uso de las figuras geométricas, el alumno
realizará pequeñas deducciones y comprenderá las relaciones que hay
entre las figuras (nivel 3), de inmediato, ejecutará deducciones más largas y
definirá de manera rigurosa lo que este en estudio (nivel 4 y 5).
Diseñaremos nuestra propuesta de manera tal que el alumno pueda
manipular objetos y situaciones que se encuentran en su entorno y
relacionarlos con ciertas propiedades geométricas; dentro de la estructura de
la “propuesta pedagógica para la introducción de la trigonometría en un
25
curso de primer año de ciencias del ciclo diversificado”, comenzaremos con
una serie de ejercicios donde, a través de la manipulación e interacción con
objetos (figuras geométricas), el alumno debe reconocer algunas
propiedades y transformaciones como la simetría axial, la rotación,
traslación, proporción, congruencia y semejanza. Todas estas nociones son
útiles para el estudio de la trigonometría.
2.2.2 FUNDAMENTACIÓN HISTÓRICA
La historia de la Matemática como herramienta para la enseñanza de
la Matemática constituye un antídoto contra el formalismo excesivo, razón
por la cual hemos decidido incluirla en nuestra propuesta, ya que la misma
está centrada en el enfoque constructivista. También la historia de la
Matemática es considerada como un antídoto en contra del aislamiento del
conocimiento matemático y como un conjunto de medios que permiten al
alumno apropiarse mejor de dicho conocimiento, a la vez que le ayuda a
ordenar la presentación de los temas en el curriculum al docente de
Matemática.
La exploración de la historia, por parte del docente, le ayuda
igualmente a descubrir los obstáculos y dificultades que se han presentado,
los errores cometidos por los propios matemáticos (que a veces se
reproducen en los alumnos), así como, la visión de la actividad matemática
como actividad humana con sus glorias y miserias.
La historia de la Matemática como herramienta para el aprendizaje de
la Matemática en el alumno que está formando su conocimiento matemático,
prepara un terreno donde esta ciencia deja de jugar el papel de edificio
acabado, restableciéndose su estatus de actividad cultural, de actividad
humana, además que motiva al alumno a desarrollar un aprendizaje
significativo, facilita el conocimiento de la génesis de los conceptos y los
26
problemas que han pretendido resolver y ayuda a la comprensión de los
mismos.
En nuestra propuesta, se presentarán algunas de las ideas
matemáticas desarrollas en épocas antiguas, y que contribuyeron al
desarrollo de la trigonometría; en la mayoría de estos trabajos, sus autores
utilizaron algunas nociones de Geometría elemental, por lo que su
comprensión está al alcance de los estudiantes del primer año del ciclo
diversificado.
Los episodios históricos que se incluyen en esta propuesta son:
1) El cálculo de la altura de la gran pirámide egipcia, realizado por
Thales de Mileto.
Dado que este cálculo fue realizado en base a la noción de
semejanza de triángulos, que está estrechamente vinculada a
la idea de definir las razones trigonométricas en un triángulo
rectángulo, es conveniente presentarlo a los estudiantes como
elemento motivador de interés en el tema.
2) Cálculo del perímetro de la circunferencia de la Tierra realizado
por Eratóstenes de Cyrene.
Con una idea similar a la de Thales de Mileto, Erastóstenes,
doscientos años antes de Cristo aproximadamente, logró
aplicar la noción de semejanza de triángulos para determinar la
medida del perímetro de la tierra y así poder calcular la medida
de su diámetro.
3) Cálculo de la distancia de la Tierra a la Luna realizado por
Hiparco de Nicea.
27
Este cálculo, realizado en una época remota, sin ayuda de
telescopios ni otros artefactos que hoy la tecnología ofrece para
observar el universo, permite apreciar el poder de la idea de la
semejanza de triángulos, aplicada al cálculo de distancias
inaccesibles.
4) La trigonometría de los hindúes, a partir del siglo IV después de
Cristo.
Los aportes de los matemáticos de la India a la Trigonometría,
desarrollados para su uso en la Astronomía, dieron el rumbo
que definitivamente tomó esta disciplina. Incluimos en la
propuesta, la narración de los hechos más resaltantes de esta
larga historia, que permite conocer, entre otras cosas, el origen
de la palabra “seno” para hacer referencia a la razón
trigonométrica “cateto opuesto sobre hipotenusa”.
2.2.3 FUNDAMENTACIÓN MATEMÁTICA
La Geometría es una rama de la Matemática que estudia las
propiedades de las figuras en el plano o en el espacio; en términos
etimológicos la palabra Geometría significa medida de la tierra.
Esta rama de la Matemática nos ofrece las herramientas que son
útiles para poder solucionar problemas como el siguiente:
Si deseáramos calcular la distancia entre dos puntos A y M del terreno
(figura 1), siendo el punto M inaccesible para un observador colocado en A,
a quien podemos suponer en la margen derecha de un curso de agua,
procederíamos de la siguiente manera:
Mediríamos, por ejemplo, en la margen derecha, una distancia AB =
m, que se llama base, empleando cualquier instrumento de medición (cinta
métrica); mediríamos también los ángulos MAB = α y MBA = β formados por
esta base con las visuales AM y BM, respectivamente, empleando algún
28
instrumento que nos permita medir ángulos por sus arcos correspondientes
(transportador), mediante una circunferencia o limbo graduado, en forma
análoga a lo que se hace en dibujo con el semicírculo graduado o
transportador de ángulos.
Con estos tres valores numéricos α, β y m, que representan las
medidas de un lado y los dos ángulos adyacentes de un triángulo, la
Geometría nos enseña cómo podemos construir el triángulo ABM, y, en
consecuencia, podemos luego medir en el dibujo el lado AM, que
representará, en cierta escala, la distancia que nos interesa conocer.
En general, el resolver este tipo de problemas a través de figuras
planas no nos permite obtener con exactitud el valor real, pues, en este caso
el triángulo adolece de ciertos defectos, provenientes de varias
circunstancias: precisión de los instrumentos empleados, número y clase de
las construcciones realizadas, etc.
Estos defectos permiten poca aproximación en los resultados. Como,
por ejemplo, un pequeño error en el dibujo (figura 2), que podría ser el de
puntear en P’ en lugar de P al transportar el ángulo β, ocasionaría una
errónea posición del punto M, presentándolo en M’ en lugar de M. De esta
manera, la verdadera distancia AM, resultaría aumentada en la cantidad
MM’. Si la escala del dibujo es pequeña, este error de graficismo podría
ocasionar un error importante en la distancia que se desea conocer.
29
Para no dar cabida a estos inconvenientes, se emplea el cálculo
numérico, o método analítico, que generalmente es más largo que el gráfico,
pero permite, en cambio, una gran precisión en el cálculo.
Para obtener estos cálculos numéricos con mayor precisión nace la
trigonometría, la cual es una rama de las Matemáticas que estudia los
ángulos, triángulos, y las relaciones entre ellos; etimológicamente la palabra
trigonometría significa medida de triángulos. La trigonometría tiene, pues, por principal finalidad, calcular los
elementos incógnitas de un triángulo, cuando se tienen datos suficientes
para ello. Esta operación es la que se llama resolver un triángulo. Para ello,
es necesario expresar con números, las medidas de los lados y de los
ángulos de un triángulo, y conocer las relaciones que ligan esos elementos.
2.2.3.1 Ángulos: su generación y signo. En Trigonometría se considera un
ángulo como engendrado por la rotación de una semirrecta que gira
alrededor de su origen, supuesto-fijo, y manteniéndose siempre en el mismo
plano.
Así, por ejemplo, la semirrecta OA (figura 3), al girar alrededor del
punto O, en el sentido indicado por la flecha, y pasar de la posición inicial OA
a la final OB, describe el ángulo AOB, que llamaremos ángulo α.
30
También podemos suponer que la semirrecta OA pasa de la posición
inicial OA a la posición final OB después de haber dado una vuelta completa
(figura 4), o bien, dos o más vueltas completas.
Estos ángulos, que tienen sus lados coincidentes y que difieren en
uno o más ángulos completos, se llaman ángulos congruentes respecto de
un giro.
El ángulo α de la (figura 3) también puede suponerse descrito por la
semirrecta OB al girar en sentido opuesto al anterior indicado, hasta coincidir
con la OA (este ángulo sería negativo), ya que se ha convenido tomar como
positivo el sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj (el
indicado por la flecha en la figura 3).
2.2.3.2 Medida de los ángulos: medir un ángulo significa compararlo con
otro ángulo que se toma como unidad de medida.
31
De manera semejante, medir un arco de circunferencia significa
compararlo con otro arco de la misma circunferencia, o de otra de igual
radio, que se toma como unidad de medida.
Es importante recordar que un ángulo cualquiera tiene por medida el
arco correspondiente, es decir, el que tiene por centro el vértice del ángulo y
limitado por los lados del mismo, siempre que la unidad de medida del
ángulo sea la que corresponde a la unidad del arco.
En trigonometría suelen emplearse los siguientes sistemas de
medición de ángulos (o arcos).
• Sistema sexagesimal: En este primer sistema se toma como unidad
de medida de arco el grado sexagesimal, o simplemente grado, que es la
360 parte de la circunferencia a la que pertenece el arco que se trata de
medir. El grado se divide, a su vez, en 60 minutos, y el minuto en 60
segundos.
Este sistema de medida es el que se emplea generalmente en las
aplicaciones prácticas de la trigonometría y se utiliza como instrumento
de medición el transportador.
• Sistema circular: En este segundo sistema se toma como unidad de
medida el arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia a
que pertenece (figura 5)
Esto equivale a decir que se mide el arco como una longitud
cualquiera, tomando el radio de la circunferencia como unidad de medida de
longitud. Esta unidad se llama radián.
32
Como la longitud C de una circunferencia de radio R está expresada
por la fórmula C = 2π R, tenemos, C/R = 2π, vale decir, que la medida de la
circunferencia es de 2π radianes, es decir:
Circunferencia = 2π ≈ 2 (3,1416) ≈ 6,2832
2.2.3.3 Funciones Trigonométricas
Consideremos ahora un ángulo agudo cualquiera, XOY = α, formado
por las semirrectas OX y la semirrecta OY, las cuales se intersectan en el
punto O como podemos ver en la (figura 6).
Desde puntos arbitrarios M, M’, M’’,….. contenidos en la semirrecta
OY, trazamos las perpendiculares MP, M’P’, M’’P’’,….. con P, P’. P’’
contenidos en la semirrecta OX
De esta manera hemos formado varios triángulos rectángulos
semejantes que, en virtud de la proporcionalidad entre los lados homólogos,
nos permiten establecer las siguientes igualdades de razones:
PM/OM = P’M’/OM’ = PM’’/OM’’ = … = cateto opuesto / hipotenusa
OP/OM = OP’/OM’ = OP’’/OM’’ = … = cateto adyacente / hipotenusa
PM/OP = P’M’/OP’ = P’’M’’/OP’’ = … = cateto opuesto / cateto adyacente
33
OP/PM = OP’/P’M’ = OP’’/P’’M’’ = … = cateto adyacente / cateto opuesto
OM/OP = OM’/OP’ = OM’’/OP’’ = … = hipotenusa / cateto adyacente
OM/PM = OM’/P’M’ = OM’’/P’’M’’ = … = hipotenusa / cateto opuesto
Observemos que se verifica el siguiente hecho fundamental:
Las razones, dos a dos, de los lados del triángulo formado, no
dependen de la posición del punto M, sino de la magnitud del ángulo XOY =
α.
Por otra parte, es importante la proporcionalidad que hay entre los
lados homólogos de los triángulos rectángulos semejantes formados, para
hallar las igualdades de razones.
Para cada valor del ángulo α, corresponde un valor para cada una de
las razones indicadas; éstas son, pues, funciones del ángulo α, que se
llaman funciones trigonométricas.
2.2.3.3.1 Definiciones de las funciones trigonométricas Las razones establecidas en el ángulo XOY = α se llaman,
respectivamente: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante
del ángulo α. Y su notación es sen α, cos α, tg α, cot α, sec α y csc α,
respectivamente.
Podemos dar, pues, las siguientes definiciones para las funciones
trigonométricas:
SENO de un ángulo agudo, es la razón entre el cateto opuesto al
ángulo y la hipotenusa, del triángulo rectángulo formado con dicho ángulo.
Así, por ejemplo (figura 6), por definición tenemos:
sen α = PM / OM
COSENO de un ángulo agudo, es la razón entre el cateto adyacente
al ángulo y la hipotenusa, del triángulo rectángulo formado con dicho ángulo.
Así, por ejemplo (figura 6), por definición tenemos:
34
cos α = OP / OM
TANGENTE de un ángulo agudo, es la razón entre el cateto opuesto
al ángulo agudo y el cateto adyacente, del triángulo rectángulo formado con
dicho ángulo. Así, por ejemplo (figura 6), por definición tenemos que:
tg α = PM / OP
COTANGENTE de un ángulo agudo, es la razón entre el cateto
adyacente al ángulo y el cateto opuesto, del triángulo rectángulo formado
con dicho ángulo. Así, por ejemplo (figura 6), por definición tenemos que:
cot α = OP / PM
SECANTE de un ángulo agudo, es la razón entre la hipotenusa y el
cateto adyacente al ángulo, del triángulo rectángulo formado con dicho
ángulo. Así, por ejemplo (figuro 6), por definición tenemos que:
sec α = OM / OP
COSECANTE de un ángulo agudo, es la razón entre la hipotenusa y
el cateto opuesto al ángulo, del triángulo rectángulo formado con dicho
ángulo. Así, por ejemplo (figura 6), por definición tenemos que:
csc α = OM / PM
En estas razones, podemos observar que:
La cotangente de un ángulo es el recíproco de la tangente del ángulo.
Análogamente, si observamos los segundos miembros de las
fórmulas que definen sec α y cos α vemos que son recíprocos; por
consiguiente podemos establecer:
• La secante de un ángulo es el recíproco del coseno del ángulo.
35
Análogamente, comparando las definiciones de csc α y sen α,
tenemos que:
• La cosecante de un ángulo es el recíproco del seno del ángulo.
Conociendo las razones y las propiedades mencionadas
anteriormente, construiremos un ángulo α, conociendo el hecho de que
sen α = 3/4.
Sea OX la semirrecta (figura 7), que tomaremos como uno de los
lados del ángulo α. Trazamos la recta YZ paralela a OX, a la distancia OY =
3 (medida con una unidad arbitraria). Luego, haciendo centro en O, con un
radio OM = 4 (medida con una unidad igual a la anterior), trazamos el arco
de circunferencia que corta a YZ en el punto M. Trazando la recta OM,
obtenemos el Ángulo XOM, que es el ángulo α que buscábamos.
En efecto, si trazamos MP ⊥ OX (el símbolo “ ⊥ ” es interpretado como
dos rectas perpendiculares entre sí), se forma un triángulo rectángulo OPM,
en el que, por valer el cateto PM = 3 y la hipotenusa OM = 4, de acuerdo con
la definición de seno de un ángulo agudo, tenemos que:
sen ( ∠ POM) = PM / OM = 3/4
36
2.2.3.3.2 Variaciones de las funciones trigonométricas.
Para cualquiera de los casos indicados anteriormente es necesario,
previamente, estudiar como varían los valores de las funciones
trigonométricas de un ángulo XOY = α, cuando este varía de una manera
continua de 0º hasta 90º.
Supongamos que el lado OX (figura 8) permanezca fijo, y que OY gire
alrededor del vértice O, en el sentido de la flecha.
Tomemos un punto M sobre el lado OY, a una distancia del vértice
igual a la unidad de medida, OM = 1. Este punto M describirá, pues, una
circunferencia de centro O, que interceptará al lado OX en el punto A, al lado
OY en el punto M, y al radio perpendicular a OX, en el punto B.
Variaciones del Seno y del Coseno Tracemos MP OX y MQ ⊥ ⊥ OB. De acuerdo con la definición de
seno y de coseno:
sen α = PM /OM = PM / 1 = PM
cos α = OP / OM = OP / 1 = OP
37
Si suponemos primeramente que OY coincida con OX, el ángulo α es
nulo; el punto M se encontrará entonces en A, y tendremos que:
PM = 0 y OP = OA = 1
Por consiguiente:
sen (0º) = 0 y cos (0º) = 1
Cuando el ángulo α crece en forma continua desde 0º hasta 90º, el
punto M recorre el cuadrante AB, y resulta:
a) El punto Q describe el segmento OB, yendo del punto O al B; es
decir, sen α crece al mismo tiempo que α.
b) El punto P describe el segmento AO, yendo del punto A al punto
O; es decir, cos α decrece cuando α crece.
Variaciones de la Tangente y la Cotangente.
Tracemos la tangente en A a la circunferencia de radio OA = 1 (figura
9), la que intercepta al lado OY del ángulo XOY en el punto T. De acuerdo
con la definición de tangente trigonométrica de un ángulo, tenemos que:
tg α = AT / OA = AT / 1 = AT
38
Si suponemos primeramente que OY coincida con OX, el ángulo α es nulo;
el punto T coincidirá entonces con A, y tendremos: AT = 0
Por consiguiente,
tg (0º) = 0
Cuando el ángulo α crece desde 0º hasta 90º, su tangente parte del
valor cero, crece y aumenta indeterminadamente.
Es notorio destacar que cuando α = 90º, la tangente ya no existe,
puesto que OY resulta entonces paralela a la tangente en A. No obstante, se
dice que para α = 90º la tangente es infinito (∞), entendiéndose por infinito
un aumento indeterminado, lo que podemos escribir como:
tg (90º) = ∞
39
CAPITULO III
MARCO METODOLÓGICO 3.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN
Esta investigación consiste en el diseño y validación de una propuesta
pedagógica para la introducción de la trigonometría en un curso del primer
año de ciencias del ciclo diversificado; la misma es de tipo aplicada en los
términos de Briones (1997), pues de su ejecución se espera obtener un
cambio en el conocimiento de los alumnos sobre este contenido matemático.
También es de tipo correlacional según Hernández y otros (1998), porque
se busca determinar la posible incidencia en los estudiantes del primer año
de ciencias del ciclo diversificado, la aplicación de la propuesta para la
introducción a la trigonometría.
3.2 DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
El diseño de esta investigación es cuasiexperimental, pues los
alumnos no son escogidos al azar, ni seleccionados bajo ninguna condición,
son grupos ya formados o intactos (Hernández, y otros, 1998), uno de ellos
de control y el otro experimental. La investigación consiste en la aplicación
de un diseño preprueba-tratamiento-postprueba a uno de los grupos
seleccionados, denominado “grupo experimental”, mientras, para el otro
grupo denominado “grupo de control” el diseño es preprueba-postprueba. El
grupo experimental es el que va a recibir el tratamiento, es decir, este grupo
participará en sesiones de trabajo didáctico y desarrollará actividades
fundamentadas en la propuesta pedagógica para la introducción de la
trigonometría; paralelamente el grupo de control no recibirá ningún
tratamiento especial, en el sentido de que será introducido a las nociones de
40
razones trigonométricas en el triángulo rectángulo y en el círculo
trigonométrico de la manera tradicional.
3.3 POBLACIÓN Y MUESTRA
3.3.1 Población: Hernández, y otros (1998), definen la población como el conjunto de
todos los casos que concuerdan con una serie de especificaciones. En este
sentido, la población de nuestra investigación está comprendida por 112
alumnos del primer año de ciencias del ciclo diversificado de la Unidad
Educativa “Estado Portuguesa” , ubicada en la población de San Juan de
Lagunillas, Municipio Sucre, Estado Mérida.
3.3.2 Muestra: La muestra es definida como un subconjunto de los elementos de la
población que poseen las características definidas de la misma. La muestra
seleccionada para nuestra investigación está comprendida por 75 alumnos
del primer año de ciencias del ciclo diversificado de la Unidad Educativa
“Estado Portuguesa”, específicamente las secciones “A” y “B”.
3.4 VARIABLES DE LA INVESTIGACIÓN
3.4.1 Variable independiente La variable independiente de esta investigación es la aplicación de la
“propuesta pedagógica para la introducción de la trigonometría en un
curso de primer año de ciencias del ciclo diversificado”.
Esta variable tiene dos niveles de medición:
• Presencia de la propuesta
41
• Ausencia de la propuesta.
3.4.2 Variable dependiente
La variable que se cataloga como dependiente en este estudio, es el
nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos del primer año de
ciencias del ciclo diversificado sobre conceptos básicos de trigonometría.
El conocimiento alcanzado por los alumnos se medirá según las
siguientes categorías (Tabla 1)
Tabla 1. Categorías de la variable “conocimiento alcanzado por los alumnos del primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre conceptos básicos de trigonometría”
Puntaje
Categoría
De 01 a 09 puntos
Deficiente
De 10 a 14 puntos
Regular
De 15 a 18 puntos
Distinguido
De 19 a 20 puntos Excelente
42
3.5 HIPÓTESIS DE LA INVESTIGACIÓN
3.5.1 Hipótesis alterna
H1: La propuesta pedagógica para la introducción de la trigonometría
permite que el alumno adquiera o refuerze los conocimientos, destrezas y
actitudes asociadas a la Geometría plana elemental que le son
indispensables para lograr un aprendizaje significativo de los contenidos
básicos de la trigonometría.
3.5.2 Hipótesis nula
H0: La propuesta pedagógica para la introducción de la trigonometría
no permite que el alumno adquiera o refuerze los conocimientos, destrezas y
actitudes asociadas a la Geometría plana elemental que le son
indispensables para lograr un aprendizaje significativo de los contenidos
básicos de la trigonometría.
3.6 Técnicas e instrumentos de recolección de datos El procedimiento para la recolección de los datos consiste en la
escogencia de un instrumento de medición con la finalidad de realizar
observaciones y mediciones de las variables en estudio, para finalmente
organizarlas y analizarlas. La recolección de los datos para el desarrollo de
la investigación se efectuará de la siguiente manera: A la muestra
seleccionada, se les aplicará una prepueba de conocimiento denominada
Test diagnóstico con la finalidad de determinar el nivel de conocimientos
alcanzado sobre geometría plana elemental, conocimiento necesario previo
para el desarrollo del conocimiento sobre conceptos básicos de
Trigonometría. Luego, se aplicará la propuesta, “Propuesta Pedagógica para la Introducción de la Trigonometría en un curso del Primer Año de Ciencias del Ciclo Diversificado” al grupo experimental, mientras que el
43
grupo control recibirá de manera tradicional las clases sobre este contenido
matemático. Consecutivamente, se aplicará a los dos grupos una postprueba
denominada Test 2, para determinar los alcances y consecuencias
producidos por la aplicación de la propuesta en el grupo experimental. En
último lugar, los resultados obtenidos del Test Diagnóstico en ambos grupos
permitirán determinar la equivalencia inicial de los dos grupos, los resultados
del Test 2 permitirán determinar el nivel de conocimiento alcanzado por los
alumnos sobre conceptos básicos de Trigonometría en los dos grupos, para
efectuar comparaciones con el grupo control al cual no se le aplicó la
propuesta de enseñanza.
Por otra parte, se utiliza el registro de observaciones, usando la
estrategia de observación narrativa de tipo notas de campo, (Pérez S. Gloria,
2000). Éstas notas de campo se efectuarán única y exclusivamente al grupo
experimental con la finalidad de registrar los detalles ocurridos en cada una
de las sesiones de clase durante la aplicación de la propuesta.
3.6.1 Test Diagnóstico
Con la aplicación de este instrumento se espera determinar la
equivalencia inicial de los dos grupos. La preprueba se denomina “Test
diagnóstico para determinar el nivel de conocimiento alcanzado por los
alumnos de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre geometría
plana elemental”. Ver en anexos Test diagnóstico.
Este instrumento está compuesto por 20 items de selección simple. En este
instrumento se evalúan los siguientes conocimientos:
1. Conocimiento del ángulo- congruencia
2. Conocimiento del triángulo – semejanza - congruencia
3. Conocimiento de la circunferencia
4. Conocimiento del plano cartesiano
5. Conocimiento de proporciones
44
6. Conocimiento de rotación, traslación y simetría axial de figuras
planas.
En la tabla 2 se puede observar cómo los ítems del Test diagnóstico
están distribuidos según los conocimientos a ser evaluados sobre
Geometría plana elemental.
Tabla 2. Distribución de los ítems del Test diagnóstico según los conocimientos a ser evaluados sobre Geometría plana elemental
Variable DIMENSIONES INDICADORES ITEMS
NIVEL DE CONOCIMIENTOS
SOBRE GEOMETRÍA
PLANA ELEMENTAL
Conceptual
Ángulos 1, 3, 9, 15, 16,
17, 18, 20.
Conceptual Triángulos 2, 4, 5, 6, 14.
Conceptual Semejanza 5.
Conceptual Congruencia 1, 14, 20.
Conceptual Circunferencia 7, 19.
Conceptual Plano cartesiano 8, 10, 11, 14.
Conceptual y
procedimental
Proporción 12,13.
Conceptual Traslación 10.
Conceptual Simetría axial 11.
Conceptual Rotación 14.
3.6.2 Validez de los instrumentos
Para la determinación de la validez de los Test utilizados, se
realizaron los procedimientos descritos a continuación.
45
3.6.2.1 Validez
El procedimiento estadístico empleado para determinar la validez de
contenido de los instrumentos, es el denominado Coeficiente de Proporción
de Rango (CPR). Éste se determina usando el método de Juicio de
Expertos, el cual según Hernández (1998) consiste en la determinación de
un coeficiente por medio de un algoritmo que permite calcular la validez del
contenido de cada ítem, de todo el instrumento y el nivel de concordancia
entre los jueces. El algoritmo presentado por Hernández (1998) para calcular
el CPR es el siguiente:
Sea PRi el promedio de los rangos, ri el valor
asignado por los jueces según la escala de rangos (donde i
recorre un número finito de índices) y j el número de jueces,
su valor se determina mediante la fórmula:
jri
PRi ∑=
La relación proporcional (CPRi) del PRi respecto al
valor máximo de la escala de rangos (vmr) empleada por
los jueces viene dada por:
vmrPRiCPRi =
La probabilidad del error pe (variación aleatoria de la
concordancia entre los jueces), se obtiene a través de:
j
jPe ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1
Además, sea CPRic el coeficiente de proporción de
rangos por cada ítem, corregido por concordancia. El
CPRic se obtiene a través de:
CPRic = CPRi – Pe
46
y CPRt el promedio de los coeficientes de proporción
de rangos de cada ítem, cada uno corregido por
concordancia aleatoria (pe):
Luego, el CPRt resulta de:
∑CPRicCPRt
N=
Donde N es el número de ítems.
Por definición, el CPRt corregido (CPRtc) por
concordancia aleatoria es:
CPRtc = CPRt - pe
El procedimiento completo se puede ver en el anexo
sección A.
3.6.2.1.1 Validez del Test diagnóstico
Al instrumento “test para determinar el nivel de conocimientos alcanzado
por los alumnos de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre
Geometría Plana Elemental”, se le aplicó el algoritmo para calcular el CPR y
se obtuvieron los siguientes resultados (Ver anexos):
Probabilidad del error: j
jPe ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1
3
31
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Pe = 0,037
Pe = 0,037
Promedio de los CPR de cada ítem, cada uno corregido por
concordancia aleatoria:
N
CPRicCPRt ∑= = 16, 06 / 20= 0,803
47
Coeficiente de Proporción de Rango Total Corregido (CPRtc) por
concordancia aleatoria
CPRtc = CPRt - pe = 0,803 – 0.037 = 0,766
Interpretación del CPR
Como CPRt = 0,803 y CPRtc = 0,766 se concluye que la validez y la
concordancia son satisfactorias.
3.6.3 Confiabilidad del Test diagnóstico
Según Hernández y otros (1998), la confiabilidad es la consistencia o
grado en que la aplicación repetida del instrumento al mismo sujeto, produce
resultados iguales.
Para determinar la confiabilidad del test diagnóstico para determinar el
nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos de primer año de ciencias
del ciclo diversificado sobre geometría plana elemental se utilizó el
coeficiente Alpha de Cronbach, el cual es un modelo de consistencia interna
basado en el promedio de correlación entre elementos. Este coeficiente fue
calculado utilizando el paquete estadístico SPSS 7.5, obteniéndose como
resultado (ver anexo):
Alpha de Cronbach = 0,5983
Interpretación del Coeficiente Alpha de Cronbach Como el coeficiente Alpha de Cronbach es 0,5983 se concluye que el
nivel de consistencia interna del instrumento es aceptable
3.6.4 Proceso de conversión de puntaje del Test diagnóstico
Como las puntuaciones que pueden obtener los alumnos en cada uno
de los instrumentos son superiores a la escala normalmente utilizada: la
escala en base a 20 puntos, es preciso ejecutar un proceso de conversión
48
de puntajes para que estos se encuentren dentro de esa escala. En la Tabla
3 se puede observar cada una de las conversiones utilizadas en el Test.
Tabla 3. Conversión para los puntajes obtenidos en el Test Diagnóstico
PUNTAJE OBTENIDO PUNTAJE EQUIVALENTE
00-02 01
03-04 02
05-06 03
07-08 04
09 05
10-11 06
12-13 07
14-15 08
16-17 09
18 10
19-20 11
21-22 12
23-24 13
25-26 14
27 15
28-29 16
30-31 17
32-33 18
34-35 19
36 20
49
3.6.5 Análisis de los resultados obtenidos en el test diagnóstico
Iniciaremos el análisis de los datos aportados por la prueba aplicada a
los dos grupos de estudiantes control y experimental, bajo una visión
descriptiva de la información utilizando para ello el paquete estadístico SPSS
en su versión 7.5.
3.6.5.1 Tablas y gráficos descriptivos
32 86,5 86,55 13,5 100,0
37 100,0
DeficienteRegularTotal
FrecuenciaPorcentaje
válidoPorcentajeacumulado
González y Velásquez, 2006
Tabla 4: Pretest Grupo Experimental
Al realizar la categorización de la variable “conocimientos alcanzados
por los alumnos del primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre
geometría plana elemental” al grupo experimental, encontramos que para el
nivel deficiente se concentra el 86,5% de los estudiantes, en un nivel regular
13,5%. En este grupo no encontramos estudiantes que sobrepasen las
expectativas mínimas de conocimientos que en esta prueba se está
tratando.
La tabla 4 nos evidencia que de los 37 alumnos que presentaron esta
prueba, sólo 5 alumnos, es decir, el 13,5% de los estudiantes poseen
conocimientos previos necesarios para iniciarse en el estudio de la
trigonometría, mientras que el 86,5% de los alumnos no poseen
conocimientos previos necesarios para iniciarse en el estudio de la
trigonometría.
50
34 89,5 89,54 10,5 100,0
38 100,0
DeficienteRegularTotal
FrecuenciaPorcentaje
válidoPorcentajeacumulado
González y Velásquez, 2006
Tabla 5: Pretest Grupo Control. En la tabla 5, encontramos que el 89,5 % de los estudiantes se
encuentran en un nivel deficiente, los cuales no poseen los conocimientos
previos necesarios para iniciarse en el estudio de la trigonometría. Por otra
parte, el 10,5 % de los alumnos se encuentran en un nivel regular
considerándose que, éstos poseen las expectativas mínimas para iniciarse
en el estudio de la trigonometría.
37 1,14 1,00 1 ,35 ,12
38 1,66 2,00 1 ,67 ,45
Rango decalificacionespara el grupoexperimentalRango decalificacionespara el grupocontrol
Válidos Media Mediana Moda Desv. típ. Varianza
González y Velásquez, 2006
Tabla 6: Comparaciones basadas en las puntuaciones del pretest para
grupo experimental y el grupo control.
Tomando en cuenta las calificaciones obtenidas por los estudiantes
participantes en la investigación tenemos que el promedio en puntuaciones
no sobrepasa los 7 puntos para ambos grupos, indicando una carencia en
las bases necesarias para proseguir en un estudio trigonométrico, pues
además, en su mayoría alcanzaron una calificación de 6 puntos para el
grupo experimental y 7 puntos para el grupo control, adicional a esto las
calificaciones varían en un estimado de 6 puntos por encima y por debajo de
la calificación promedio para el grupo experimental, mientras que nuestro
51
grupo control no presentó calificaciones muy dispersas con relación a su
promedio calificativo, pues varían en 5 puntos aproximadamente.
12,010,08,06,04,0
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Desv. típ. = 2,45
Media = 6,7
N = 37,00
Gráfico 1: Calificaciones obtenidas en el pretest para el grupo experimental.
52
12,010,08,06,04,0
14
12
10
8
6
4
2
0
Desv. típ. = 2,18
Media = 6,8
N = 38,00
Gráfico 2: Calificaciones obtenidas en el pretest para el grupo control.
Ambos grupos de estudio, experimental (gráfico 1) y control (gráfico
2), han presentado una distribución asimétrica positiva, es decir, las
calificaciones obtenidas por ambos grupos no superan en su mayoría a la
calificación promedio de los mismos y por ende la mayor concentración de
estudiantes se encuentran en calificaciones bajas al promedio grupal,
alejándose así de lo que sería una distribución normal.
Además podemos observar que el grupo experimental evidencia una
elevación prominente en un intervalo muy pequeño de puntuaciones, entre
los 5 puntos y 7 puntos, no óptima para estudiantes del 1er año de ciencias,
que ya deberían estar solidificando sus nociones básicas en cuanto a
Geometría plana elemental.
Por otra parte, el grupo control evidencia una elevación en un
intervalo más amplio de puntuaciones, desde los 5 puntos hasta 9 puntos,
dándole así a este grupo una distribución catalogada como leptocúrtica. Se
concluye que la mayoría de los estudiantes de ambos grupos de
investigación no poseen conocimientos previos necesarios para iniciarse en
el estudio de la trigonometría, es decir, no poseen conocimientos acerca de
geometría plana elemental.
53
,392 9 3 12
,400 8 3 11
Calificacionesobtenidas en elpretests en a20 pts para elgrupoexperimentalCalificacionesobtenidas en elpretests en a20 pts para elgrupo control
Asimetría Rango Mínimo Máximo
González y Velásquez, 2006
Tabla 7: Comparación de las calificaciones obtenidas por ambos
grupos en estudio.
Sobre la base de 20 puntos podemos observar que bajo el mismo
orden de ideas que hemos venido desarrollando, los grupos están en un
nivel calificativo muy bajo salvo algunas excepciones que de manera mínima
no superan el nivel regular.
El grupo control experimenta un recorrido de 8 calificaciones que
abarca desde los 3 puntos (mínima puntuación) hasta los 11 puntos
(máximo), corroborándose que la distribución es asimétrica positiva.
Ahora bien, nuestro grupo experimental no se aleja de estos
resultados pues su recorrido supera en un punto al anterior el cual abarca
desde los 3 (coincidente con el grupo control), hasta los 12 puntos,
evidenciando también una distribución asimétrica positiva de las
calificaciones.
54
2019
1817
1615
1312
1110
98
76
5Omitido
Frec
uenc
ia
6
5
4
3
2
1
0
Gráfico 3: Calificaciones del grupo experimental sobre la base de 36 puntos.
201918171614131211109876
Frec
uenc
ia
7
6
5
4
3
2
1
0
Gráfico 4: Calificaciones del grupo control sobre la base de 36 puntos.
Estos gráficos nos evidencian como varían las calificaciones
originales de los test previos en una escala de 1 a 36 puntos, donde de
manera análoga se evidencian variaciones entre un grupo y otro.
55
Observamos en el gráfico 3, que las puntuaciones experimentan tres
elevaciones resaltantes para el grupo experimental, lo cual indica en
términos de concentraciones de estudiantes, el resultado obtenido por la
mayoría en cuanto a la medición de sus conocimientos básicos para iniciar el
estudio trigonométrico. Por otra parte, el grupo control evidencia múltiples
variaciones en sus calificaciones originales, pero que de igual manera ubican
a la mayoría de los estudiantes bajo el rango medio calificativo entre 10 y 14
puntos de un total de 36, cuya mayor puntuación fue de 20 puntos.
Finalmente, se concluye de los resultados obtenidos en el pretest y
los análisis ya realizados, que ambos grupos de investigación no poseen
conocimientos previos necesarios para iniciarse en el estudio de la
trigonometría, donde es de vital importancia el conocimiento por parte de los
estudiantes acerca de geometría plana elemental. Todas estas
consideraciones llevaron al diseño de una propuesta y aplicación de la
misma al grupo experimental.
3.6.6 Discusión de los resultados del test diagnóstico A nivel general y haciendo alusión a todo el estudio descriptivo que se
realizó anteriormente, podemos partir de un diagnóstico que radica en los
resultados obtenidos en el pretest aplicado a ambos grupos, control y
experimental, donde se evidencia un nivel bajo de conocimientos sobre
geometría plana elemental por parte de estos estudiantes, lo que condujo al
diseño de una propuesta pedagógica, que se enmarca en el objetivo general
de esta investigación, lo cual plantea la elaboración, aplicación y validación
de una propuesta para la introducción a la Trigonometría, brindando a los
estudiantes oportunidades en la construcción natural del significado de
razones trigonométricas, así como un manejo adecuado del círculo
trigonométrico y sus propiedades. Los resultados calificativos que los
estudiantes evidenciaron en esta prueba previa son el eje motivador de ésta
investigación.
56
ANÁLISIS DE TEXTOS ESCOLARES DEL PRIMER AÑO DE CIENCIAS DEL CICLO DIVERSIFICADO ADAPTADOS A LOS PROGRAMAS DE ESTUDIO DEL CURRÍCULO BÁSICO NACIONAL (1987) Tabla 8. Análisis de los textos escolares del primer año de ciencias del ciclo diversificado
CONTENIDO
TEXTOS
Texto I
Conceptos de Geometría plana elemental
• Presentan y formalizan el concepto de ángulo
y los tipos de ángulos.
• Muestran las diversas unidades de medida en
que pueden ser expresados los ángulos.
• Proponen ejercicios.
• Presentan un triángulo rectángulo indicando el
nombre de sus lados.
Definición de Trigonometría
La trigonometría se ocupa de la relación entre los
ángulos de un triángulo y los lados que forman al
mismo.
Definición de las razones trigonométricas
Presentan la definición formal de cada una de las
razones trigonométricas:
• Seno de un ángulo en un triángulo rectángulo:
el seno de un ángulo es la relación entre la medida
del cateto opuesto a un ángulo y la medida de la
hipotenusa.
• El seno de un ángulo es denotado por:
sen α= cateto opuesto a α / hipotenusa
• Para el coseno de un ángulo solo indican que:
el coseno del ángulo α, abreviado cos α, se define
como: cos α = cateto adyacente a α / hipotenusa
• Luego, indican que en un triángulo rectángulo,
el seno de uno de sus ángulos agudos es igual al
coseno del ángulo complementario y viceversa, y
57
esto puede expresarse como:
sen α= cos (90º-α) cos α= sen (90º-α)
• La tangente del ángulo, tg α, se define como:
tg α= cateto opuesto a α / cateto adyacente a α
• Definen directamente que:
Cosecante de α= csc α= hipotenusa / cateto opuesto
a α
Secante de α= sec α= hipotenusa / cateto adyacente
a α
Cotangente de α= ctg α= cateto adyacente a α /
cateto opuesto a α
• Muestran las siguientes relaciones:
csc α = 1 / sen α ; sec α= 1/ cos α ; ctg α= 1/ tg α
• Después de cada definición realizan ejemplos
para aplicar la definición dada.
Círculo trigonométrico
No se presenta.
Historia de la Matemática
No se presenta.
Elementos motivadores
No se presenta.
Texto II
Conceptos de Geometría plana elemental
• Presentan y formalizan el concepto de ángulo.
• Muestran y formalizan el concepto de sistema de ejes coordenados rectangulares y
coordenadas de un punto.
Definición de Trigonometría
No se presenta.
Definición de las razones trigonométricas
Consideremos el triángulo rectángulo ABC. Las
llamadas razones trigonométricas de los ángulos
agudos B y C son las siguientes:
• Seno: es la razón entre el cateto opuesto a la
58
hipotenusa. Notación: seno del ángulo B se escribe
sen B. sen B= b / a ; sen C= c / a
• Coseno: es la razón entre el cateto adyacente
y la hipotenusa. Se abrevia, cos.
cos B= c / a ; cos C= b / a
• Tangente: es la razón entre el cateto opuesto
y el cateto adyacente. Se abrevia tan.
tan B= b / c ; tan C = c / b
• Cotangente: es la razón entre el cateto
adyacente y el cateto opuesto. Se abrevia cot.
cot B= c / b ; cot C= b / c
• Secante: es la razón entre la hipotenusa y el
cateto adyacente. Se abrevia sec.
sec B= a / c ; sec C= a/ b
• Cosecante: es la razón entre la hipotenusa y
el cateto opuesto. Se abrevia csc.
Csc B= a / b ; csc C= a / c
• En éste se explica solo un ejercicio para
Aplicar lo anterior.
Círculo trigonométrico
Se llama círculo trigonométrico aquél cuyo radio vale
la unidad.
Historia de la Matemática
No se presenta.
Elementos motivadores
No se presenta.
Texto III
Conceptos de Geometría plana elemental
• Presentan y formalizan el concepto de ángulo
y los tipos de ángulos.
• Muestran las diversas unidades de medida en
que pueden ser expresados los ángulos.
• Proponen ejercicios.
• Presentan un triángulo rectángulo indicando el
59
nombre de sus lados.
• Utilizan el teorema de Pitágoras
Definición de Trigonometría
No se presenta
Definición de las razones trigonométricas
Si consideramos el ángulo α como ángulo de giro,
definiremos a los catetos opuestos y adyacentes,
respectivamente, según su posición con relación a
dicho ángulo. Definiremos entonces las relaciones
trigonométricas del ángulo α como:
• Seno del ángulo α = sen α = cateto opuesto /
hipotenusa
• Coseno del ángulo α=cos α= cateto
adyacente / hipotenusa
• Tangente del ángulo α= tg α= cateto opuesto /
cateto adyacente
Las siguientes razones las definen como las razones
trigonométricas inversas:
• Cosecante del ángulo α= csec α= hipotenusa /
cateto opuesto= 1 / sen α
• Secante del ángulo α= sec α= hipotenusa /
cateto adyacente= 1 / cos α
• Cotangente del ángulo α= ctg α= cateto
adyacente / cateto opuesto= 1 / tg α
• Proponen ejercicios para aplicar las
definiciones dadas.
Círculo trigonométrico
No se presenta.
Historia de la Matemática
No se presenta.
Elementos motivadores
No se presenta.
60
En relación a la descripción presentada en el cuadro anterior se
puede concluir que:
Concuerdan en introducir el concepto de ángulo y las unidades de
medida previamente a las definiciones de las razones trigonométricas.
Sólo en dos de los textos presentan un triángulo rectángulo indicando
el nombre de sus lados. Subsiguientemente a los conceptos de Geometría plana elemental,
muestran algunos ejercicios. En un solo texto se presenta la definición de Trigonometría. Coinciden en presentar la definición de las razones trigonométricas:
seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante, como una
“fórmula”.
Sólo en uno de los textos definen las nociones básicas de la
trigonometría como razones, mostrando posteriormente las
“fórmulas”.
En el texto II hay un error al definir la razón seno. Lo definen de la
siguiente manera: seno, es la razón entre el cateto opuesto a la
hipotenusa. Notación: seno del ángulo B se escribe sen B. sen B= b
/ a ; sen C= c / a. Debería decir: seno de un ángulo, es la razón
entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Presentan muy pocos ejercicios para aplicar las razones
trigonométricas.
En un solo texto hablan un poco del círculo trigonométrico.
En ningún texto muestran la historia de la matemática como
herramienta didáctica para introducir las razones trigonométricas.
En ninguno de los textos se presentan elementos motivadores del interés
del alumno en las ideas involucradas en las definiciones de las razones
trigonométricas.
61
CAPITULO IV
PROPUESTA PEDAGÓGICA PARA LA INTRODUCCIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA
4.1 INTRODUCCIÓN La presente propuesta de enseñanza para la introducción de la
Trigonometría, representa una posibilidad que consideramos interesante y
viable como alternativa para introducir este contenido matemático, en los
alumnos del primer año de ciencias del ciclo diversificado, que según el
currículo básico nacional vigente, es en éste nivel que se comienza con el
estudio de la Trigonometría.
Con esta propuesta se pretende motivar la reflexión y la búsqueda de
contextos que sean eficientes para provocar un aprendizaje significativo. Se
debe tener presente que las situaciones que se proponen en esta propuesta
no deben ser vistas como un modelo a realizarse al pie de la letra, pues las
mismas pueden ser modificadas por el docente, seleccionando situaciones
que considere adecuadas en función de la planificación realizada y a las
características del grupo.
La propuesta se basa en introducir previamente conceptos de
Geometría plana elemental como: congruencia y semejanza de triángulos,
proporciones, traslaciones, entre otros, los cuales son indispensables para
iniciar el estudio de la Trigonometría. La exposición de cada uno de los
conceptos previos se realizará mediante la observación y visualización de
las figuras geométricas y la manipulación de las mismas, considerando para
ello cada uno de los niveles de razonamiento y las fases de aprendizaje de
la teoría de Van Hiele. Por otra parte, se dan ejemplos de situaciones de la
vida diaria, favoreciendo el uso del raciocinio por parte de los alumnos
quienes, apoyándose en la intuición, podrían llegar a construir estos
conceptos orientados por el profesor y así alcanzar un aprendizaje
62
63
significativo de los mismos. Por otro lado, se utilizará como herramienta
didáctica la historia de la Matemática, para que los alumnos observen la
importancia que tienen conceptos tan sencillos como los estudiados
previamente, en cuestiones prácticas. Entre los ejemplos históricos
presentados con este fin, se encuentra el cálculo de la longitud de la
circunferencia de la Tierra realizado por Eratóstenes. El cálculo realizado por
Thales, para determinar la altura de la gran pirámide egipcia, así como el
realizado por Hiparco para determinar la distancia entre la Tierra y la Luna,
muestran el poder de la idea de semejanza de triángulos en el cálculo de
distancias a objetos inaccesibles, idea que estuvo, históricamente, en el
centro de la motivación para desarrollar la Trigonometría. Desde el punto de
vista pedagógico, puede esta idea cumplir el mismo papel motivador.
A partir del momento en que se hace referencia a la historia de la
razón del seno, comienza a introducirse las definiciones de las razones
trigonométricas, y cuando se de la clase que corresponde al círculo
trigonométrico, convergerán todos los conceptos estudiados anteriormente
para este contenido matemático, el cual es de suma importancia en distintas
ramas de las ciencias, como son: Topografía, Astronomía, Arquitectura,
Ingeniería, Física, Geología, Geografía.
Actualmente, la educación en general requiere la incorporación de
procesos de transformación; es preciso buscar modelos que favorezcan un
aprendizaje significativo. Por esta razón se intenta, con este trabajo,
contribuir al logro de ese fin, en el área de la trigonometría a través de la
Propuesta pedagógica para la introducción de la Trigonometría en un curso del primer año de ciencias del ciclo diversificado.
A continuación, se presenta un mapa conceptual de la Trigonometría
y luego una comparación de algunos textos de Matemática del primer año
de ciencias del ciclo diversificado, específicamente sus contenidos sobre las
razones trigonométricas. De esta manera, obtendremos una referencia sobre
los modelos tradicionales de enseñanza de este tema en nuestro medio.
4.2 MAPA CONCEPTUAL
64
65
4.3 OBJETIVOS DE LA PROPUESTA 4.3.1 Objetivo general: Propiciar el mejoramiento del proceso enseñanza – aprendizaje de las
razones trigonométricas y el círculo trigonométrico, a partir de actividades
que permitan al docente el planteamiento de situaciones que favorezcan la
construcción de los conocimientos por parte de los alumnos, utilizando el
razonamiento y obteniendo, como consecuencia, un aprendizaje
significativo.
4.3.1.1 Objetivos cualitativos descriptores:
- Utilizar la Historia de la Matemática como herramienta didáctica, para
que los alumnos descubran el origen de las ideas involucradas en la
Trigonometría.
- Utilizar la Historia de la Matemática como herramienta didáctica, para
que los alumnos aprecien la función que la Trigonometría tiene en
otras áreas de la ciencia y de la tecnología.
- Promover la búsqueda de la solución de problemas a través de la
discusión en grupos en el aula de clases.
- Plantear situaciones en las que se apliquen las razones
trigonométricas, en el triángulo rectángulo y en el círculo
trigonométrico.
- Propiciar la búsqueda de las razones: seno, coseno, tangente,
cotangente, secante y cosecante, para los ángulos de 30º,45º y 60º,
para la construcción de una tabla trigonométrica básica..
- Guiar a los alumnos para que formulen ejemplos a partir de los
conocimientos construidos.
- Manejar con habilidad las definiciones de las razones trigonométricas
para aplicarlas a situaciones de la vida cotidiana.
66
4.3.1.2 Objetivos cualitativos indicadores:
- Identificar en un triángulo rectángulo cualquiera y en el círculo
trigonométrico las razones trigonométricas mediante la definición de
las mismas.
- Tener la capacidad de asociar las razones trigonométricas a la noción
de semejanza de triángulos.
- Utilizar correctamente cada una de las razones trigonométricas en la
resolución de problemas diversos.
- Construir correctamente la tabla de las razones: seno, coseno,
tangente, cotangente, secante y cosecante, para los ángulos de 30º,
45º y 60º.
67
4.4 DESARROLLO DE LA PROPUESTA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DEBATE
A continuación se presenta una serie de preguntas de geometría
plana elemental, necesarias para tener un conocimiento mínimo de la
misma. Todas estas preguntas se realizarán a los alumnos:
_ ¿Usted cree que un punto puede dividir a una recta en dos semirrectas?,
¿Y en dos segmentos de recta?
_ ¿Cuál cree usted que es la diferencia entre recta y semirrecta?
_ ¿Qué entiende usted por un ángulo?
_ ¿Puede dibujar un ángulo?
_ El siguiente símbolo es el que se usa para denotar ángulos: ∠
_ ¿Qué nombre recibe el origen común de las dos semirrectas que forman
un ángulo?
_ De acuerdo a su medida angular, ¿cuáles son los tipos de ángulos?
_ ¿La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual
a 180º?
_ ¿Cuál es la medida angular de un ángulo llano?
_ ¿La medida angular de un ángulo recto es de 60º?
68
_ ¿La medida angular de un ángulo agudo es mayor que la de un ángulo
obtuso?
_ ¿La medida angular de un ángulo obtuso es mayor que la de un ángulo
recto?
_ ¿La medida angular de un ángulo llano es menor que la de un ángulo
recto?
_ ¿Se puede obtener un ángulo agudo al sumar un ángulo recto más uno
obtuso?
_ ¿Podemos obtener un ángulo llano al sumar dos rectos?
_ ¿Qué entiende usted por ángulos opuestos por el vértice?
_ Si dos ángulos se pueden superponer de tal manera que todos sus puntos
coincidan ¿Qué nos indica esto?
_ Nombre uno de los sistemas que se usan para medir los ángulos
_ ¿Cree usted que los ángulos opuestos por el vértice poseen la misma
medida angular?
_ ¿Cuándo dos ángulos son complementarios?
_ ¿Cuándo dos ángulos son suplementarios?
_ ¿Qué entiende usted por triángulo?
_ ¿Qué nombre reciben los tres segmentos que forman un triángulo?
_ ¿Es posible que un triangulo isósceles sea también rectángulo?
69
_ ¿Un triángulo equilátero puede ser obtusángulo?
_ ¿Es posible que un triángulo obtusángulo sea rectángulo?
_ ¿Un triángulo acutángulo puede ser a su vez equilátero?
_ ¿En todo triángulo hay, por lo menos, dos ángulos agudos?
_ ¿Cómo podemos clasificar los triángulos según la medida de sus
ángulos?
_ ¿Cómo podemos clasificar los triángulos según sus lados?
_ ¿Qué entiende usted por una mediana de un triángulo?
_ ¿Qué entiende usted por una altura de un triángulo?
_ ¿Qué entiende usted por una bisectriz de un triángulo?
_ ¿En que tipo de triángulo podemos aplicar el Teorema de Pitágoras?
_ ¿Qué nombre recibe el lado opuesto al ángulo recto de un triangulo?
_ ¿Que nombre reciben los dos lados que forman el ángulo recto en un
triangulo rectángulo?
_ ¿Conoce usted una interpretación geométrica del Teorema de Pitágoras?
_ ¿Qué entiende usted por circunferencia?
_ ¿Qué entiende usted por círculo?
_ ¿Para usted cual es la diferencia entre círculo y circunferencia?
70
_ ¿Qué nombre recibe el segmento que une el centro de la circunferencia
con cualquier punto de la circunferencia?
_ ¿Qué entiende usted por una cuerda de una circunferencia?
_ ¿Qué nombre recibe la cuerda que pasa por el centro de la
circunferencia?
_ ¿Qué entiende usted por recta tangente a una circunferencia?
_ ¿Cuántos grados sexagesimales tiene una circunferencia?
_ ¿Qué entiende usted por rectas paralelas?
_ ¿Qué entiende usted por ángulos internos de un triángulo?
_ ¿Qué entiende usted por ángulos externos de un triángulo?
_ Mediante un dibujo ¿Cuándo dos rectas son secantes?
_ ¿Puede ser una sola recta secante?
_ Dibuje una recta secante a dos rectas paralelas
_ En el dibujo anterior identifique ángulos alternos- internos
_ Ahora, identifique ángulos correspondientes
_ ¿Para usted como son las líneas horizontales, verticales u oblicuas?
_ Dibuje un vector y diga ¿Cuáles son los componentes de un vector?
_ Mediante un dibujo ¿Cómo podemos representar el Plano Cartesiano?
71
_ ¿Qué nombre recibe cada uno de los ejes cartesianos?
_ ¿En el Plano Cartesiano se forman cuadrantes? Identifique los cuadrantes
y colóquele el número de cuadrante.
_ Identifique cada uno de los puntos en el Plano Cartesiano: (1,2); (3,0);
(4,-3); (0,5);(-4,0); (-2,-1); (0,-3)
_ ¿Es posible que una recta pase por un solo cuadrante?
_ ¿Qué pase por solo dos cuadrantes?
_ ¿Qué pase por tres cuadrantes?
_ ¿Qué pase por los cuatro cuadrantes?
TEOREMA DE PITÁGORAS (Debate)
En la actualidad, existen más de mil demostraciones que confirman
que el teorema de Pitágoras es uno de los resultados que, a través de la
historia, más han llamado la atención. Generalmente, en la escuela
secundaria, para el abordaje del estudio del teorema de Pitágoras, se parte
del enunciado de la regla y se pasa directamente a su aplicación en la
resolución de triángulos rectángulos. Pero, si se presenta de manera
didáctica el teorema de Pitágoras, podría favorecerse la motivación del
estudiante por comprender y aprender a utilizar en la resolución de
problemas diversos este principio que tantas aplicaciones tiene.
El enunciado que dieron los antiguos griegos del teorema de
Pitágoras es el siguiente: el área del cuadrado construido sobre la
hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los
cuadrados construidos sobre los catetos. Es conveniente comentar este
72
enunciado con los estudiantes, comparándolo con el enunciado moderno: en
un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos.
Se puede aprovechar la oportunidad para destacar el hecho de que
los griegos antiguos “pensaban” la aritmética en términos geométricos: 3.5
representaba el área de un rectángulo de lados 3 y 5; 42 representaba el
área de un cuadrado de lado 4; 73, el volumen de un cubo de arista 7. De ahí
la costumbre de decir hoy en día “tres al cuadrado” en lugar de “3 a la 2” y
“ocho al cubo” en lugar de “8 a la 3”.
Recurso Didáctico: al presentar el teorema de Pitágoras, se puede
mostrar su demostración o simplemente comprobar, de manera concreta, el
cumplimiento de la regla. En este caso, se realizará sólo la comprobación del
teorema por un medio didáctico, rápido y sencillo (un rompecabezas).
El profesor elaborará el rompecabezas siguiente con cartulina o foami
de colores:
El rompecabezas tiene como objetivo mostrar que los cuadritos de
color azul más los cuadritos de color rosado, al colocarlos en el cuadrado
más grande lo llenan completamente, cumpliendo de ésta manera con el
enunciado formal del teorema de Pitágoras, es decir: (5cm)2 = (4cm)2 +
(3cm)2
25cm2 = 16cm2
73
SIMETRÍA AXIAL Para la presentación del tema de simetrías, se mostrarán, para
comenzar, una serie de ejemplos y actividades que familiaricen al estudiante
con las ideas intuitivas que corresponden a los conceptos formales de
simetría
Se propone a los estudiantes observar diversos objetos y figuras de la
naturaleza, donde se percibe la existencia de la simetría axial, bilateral o de
reflexión, a partir de lo señalado en los ejemplos siguientes:
A continuación se desarrollará la siguiente actividad con hojas de
papel:
Consideremos una hoja de papel cuadrada y la doblamos de tal
manera que sus puntas coincidan, como se observa en la siguiente figura:
74
Luego la desdoblamos y se ve que ha quedado una línea marcada.
Esa línea marcada por el doblés, es un eje de simetría axial. (Observar la
siguiente figura)
Por otro lado, doblamos otra hoja de papel cuadrada pero ahora de
forma diagonal, es decir, se dobla de tal manera que las puntas opuestas
coincidan como se ve en la siguiente figura:
75
Ahora, si se desdobla la hoja, se observa que ha quedado de nuevo
una marca, la cual es otro eje de simetría axial. (Observar la siguiente figura)
Ahora, si tomamos una hoja de papel rectangular (por ejemplo una
hoja de exámen), y la doblamos de manera que sus puntas coincidan como
se observa en la figura siguiente, luego la desdoblamos observaremos que
quedará un eje de simetría, marcado por el doblés, como ocurrió en el caso
anterior.
Si se procede ahora a doblar otra hoja rectangular, de tal manera que
sus puntas opuestas coincidan, se observará que hay partes del papel que
no coinciden en todos sus puntos como ha sucedido en los casos anteriores.
Al desdoblarla queda una marca por el doblés de la hoja, pero este doblés
no es un eje de simetría axial pues, como se observó hay puntos del papel
doblado, que no se superponen a ningún otro punto del papel, y
76
precisamente esto es lo que nos indica que no existe simetría axial.
(Observar la siguiente figura)
ROTACIÓN Se realizarán dos actividades manuales con los estudiantes, que
apoyen el proceso de visualización del concepto de rotación.
77
1) Se realizará una experiencia donde los alumnos deberán tener foami
(se puede utilizar otro tipo de material, pero se recomienda que no se rompa
fácilmente), para dibujar y recortar un trébol.
El trébol dibujado y recortado servirá de molde para dibujar el trébol
en diversas posiciones en una hoja en blanco. Observemos lo siguiente:
Si se fija la base del trébol a la hoja en blanco con un alfiler o
tachuela, se puede hacer girar el trébol y dibujarse en varias de las
posiciones obtenidas en esa rotación.
78
En la última hoja de las figuras anteriores, podemos observar lo que
nos queda después de retirar y bordear en distintas rotaciones el trébol
recortado en foami.
2) Sobre un anime dibujamos los ejes de coordenadas X e Y de modo
que éste represente el Plano Cartesiano, y en el origen del Plano
Cartesiano colocamos con un alfiler el extremo de un pedazo de lana, y ese
pedazo de lana se estira y se hace girar en sentido opuesto a las agujas del
reloj:
Se observa que el pedazo de lana, al girarlo, va formando ángulos, en
el primer giro lo hemos rotado sobre el plano cartesiano representado en el
anime 35º, en el segundo giro 100º, en el tercer giro 170º, en el cuarto giro
195º, y en el quinto y último giro se ha rotado el pedazo de lana 275º; al
llegar a su posición inicial, la lana ha rotado 360 grados.
Se abrirá una discusión para que los alumnos se aproximen a una
definición de lo que es una rotación de una figura geométrica plana,
alrededor del origen.
79
TRASLACIÓN Seguidamente se considerarán diversos ejemplos de traslación de
figuras que, en estos casos representan individuos que se desplazan.
1)
En la figura se observa que:
• El individuo se dirige hacia la derecha
• Se desplaza 3 metros del punto A al punto B
• La persona camina siempre horizontalmente
Por otra parte, al decir que la figura se desplaza 3 metros a la derecha y
horizontalmente, se puede asociar este movimiento con un vector, el cual
indica: dirección, magnitud y sentido de movimiento.
2)
En la figura se observa que:
• La persona se desplaza 2 metros del punto C al punto D
• Se dirige hacia arriba en forma vertical
80
Ahora, si la misma persona se devuelve, entonces se desplaza 2 metros
del punto D al punto C, dirigiéndose hacia abajo en forma vertical.
Se observa que los movimientos realizados también están asociados a
un vector que tiene igual magnitud ( 2 metros), igual dirección (vertical), pero
diferente sentido (arriba cuando sube y abajo cuando se devuelve).
3)
En la figura se observa que:
• Se desplaza 3 metros del punto E al punto F
• Se dirige hacia arriba, a la izquierda en forma oblicua
El vector asociado a éste movimiento tiene:
Magnitud (3metros), dirección (oblicua) y sentido (arriba y a la izquierda).
Al jugar ajedrez se pueden realizar diversos tipos de movimientos y
ello conlleva a que se asocien varios vectores a las jugadas realizadas
durante el juego.
4)
81
Por ejemplo: La reina (amarillo) quiere llegar hasta donde está el peón
(azul), se solicita a los estudiantes observar en el dibujo, algunos de los
diferentes vectores que se asocian a las distintas jugadas. Estos son los
vectores asociados a la traslación de la reina.
5)
Al jugar ludo se realizan diversos tipos de movimientos y ello conlleva
a que se asocien varios vectores a las jugadas realizadas durante el juego.
Por ejemplo:
Si un jugador, juega con las fichas de color amarillo, cada vez que
lance el dado realizará un movimiento de casilla en casilla, el número de
veces que indique el número que salga en el dado. (Observar el dibujo)
Al iniciar el juego de ludo, Pedro se encuentra frente a la columna de
color amarillo y es el primero en lanzar el dado y le ha salido el número seis,
él toma una ficha de color amarillo y la desplaza 6 casillas (magnitud), hacia
arriba- delante (sentido), en forma horizontal (dirección). Se ha definido el
vector de color rojo. Los vectores definidos de color azul son resultados de
jugadas realizadas.
Al finalizar con estos ejemplos se abrirá una discusión para que los
alumnos se aproximen a una definición de lo que es una traslación de una
figura geométrica en el plano cartesiano.
82
Después de haber dado estos ejemplos de simetría, rotación y
traslación, vamos a dar otros a partir de figuras geométricas elementales en
el Plano Cartesiano. 1) Simetrías:
En la figura anterior:
• Los triángulos A y B son simétricos respecto al eje de simetría Y, ya
que, cada punto P de cada lado del triángulo A, corresponde a un punto P’
del triángulo B, y es aquel que está a la misma distancia que P del eje de
simetría (eje de las ordenadas en este caso) tomada perpendicularmente al
eje (en este caso tomamos la distancia al punto M), así PM = MP’
• También los triángulos B y C son simétricos, en éste caso respecto al
eje de simetría X, ya que, cada punto K de cada lado del triángulo B,
corresponde a un punto K’ del triángulo C, y es aquel que está a la misma
distancia que K del eje de simetría (eje de las abscisas en este caso) tomada
perpendicularmente al eje (en este caso tomamos la distancia al punto Q),
así KQ = QK’
• Los triángulos D y C no son simétricos respecto al eje Y, y los
triángulos A y D no son simétricos respecto al eje X. (Se dejará a los
alumnos la tarea de verificar que D y C no son simétricos).
83
Los triángulos A y D no son simétricos respecto al eje X, ya que, cada
punto S de cada lado del triángulo A, no le corresponde un punto S’ del
triángulo D, pues no existe ningún punto S’ en el triangulo D tal que ST = TS’
y TS sea perpendicular al eje X.
2) Rotaciones:
El segmento AB ha sido rotado 90º con respecto al punto fijo O y
todos los puntos de segmento AB giran el ángulo constante 90º en
sentido opuesto a las agujas del reloj. Toda rotación en sentido opuesto a las
agujas del reloj, se considera que corresponde a un ángulo positivo.
El triángulo CDE ha sido rotado 105º con respecto al punto fijo O.
Todos los puntos de cada uno de los lados han sido rotados 105º.
84
3) Traslaciones:
En la figura el segmento A’B’ es el trasladado del segmento AB y tiene
como vector de traslación (2,1), porque B se desplazó 2 unidades hacia la
derecha y 1 unidad hacia arriba. O sea, el movimiento de traslación es: -
Dirección: Oblicua; - Sentido: a la derecha y hacia arriba; -Magnitud: es la
distancia desde A hasta A’.
Para calcular esta distancia, se procede de la siguiente manera:
En la figura se observa que se puede formar un triángulo rectángulo
AA’D, siendo D el vértice del triángulo donde se forma el ángulo recto. De
acuerdo a la figura, se ve que el segmento AD= 2 unidades y DA’=1 unidad,
entonces por el Teorema de Pitágoras se tiene que:
51412'
''
''
22
22
222
=+=+=⇒
+=⇒
+=
AA
DAADAA
DAADAA
El valor encontrado, 5 es la magnitud del vector traslación (2,1).
85
Por otro lado, el punto C’ es el trasladado del punto C y tiene como
vector de traslación (5,0), porque C se desplazó 5 unidades hacia la
derecha, pero no se desplazó hacia arriba ni hacia abajo. O sea, el
movimiento de traslación es: -Dirección: horizontal; -Sentido: a la derecha;
Magnitud: CC’= 5 unidades.
PROPORCIONES
En el lenguaje común se expresa la idea de Proporción con cierta
frecuencia. Por ejemplo:
1.- “En el liceo hay el doble de profesoras que de profesores”
Si se sabe que hay 8 profesoras, entonces se concluye que hay 4
profesores. La proporción entre profesoras y profesores es 8/4=2
¿Por qué escribimos la proporción como una fracción?
Porque la fracción nos permite determinar “cuántas veces cabe el
denominador en el numerador”, y eso da una idea de comparación entre dos
cantidades.
Si el número de profesoras fuera 14, tendríamos que el de profesores
sería 7, pues 14/7=2.
Se observa que 8/4=2 y 14/7=2 y así 8/4=14/7=2. Es decir 8/4, 14/7 y 2/1
son fracciones equivalentes.
Cualquiera que fuese el número x (x par) de profesoras, se tendría
que el número de profesores sería x/2, y así la proporción sería
2
2=
xx
Preguntas para los estudiantes: Si el número de profesoras es de 34,
¿cuál sería el número de profesores? o si el número de profesores es de 15,
¿cuál es el número de profesoras?
86
Si el número de profesores es de 10, ¿cuál es el número de profesoras?
2.- El chocolisto instantáneo es un producto en polvo, que al ser diluido
en agua, estará listo para ser bebido.
La proporción de chocolisto instantáneo requerido (en cucharadas)
para la preparación de 1 litro de chocolisto (chocolisto instantáneo diluido en
agua) está especificada en las instrucciones de preparación del producto.
En éste ejemplo se usa la palabra “proporción” para señalar la
cantidad de chocolisto instantáneo que debe usarse por cada litro de agua,
para la preparación de una bebida para el consumo. Por ejemplo, en las
instrucciones podría leerse: “mezcle 10 cucharadas de chocolisto
instantáneo por cada litro de agua”.
La idea de proporción, en este caso, se refiere a la relación que debe
mantenerse entre la cantidad de agua y la cantidad de chocolisto
instantáneo que se usará para ser diluido en agua para preparar la bebida.
Se están comparando dos cantidades: la de agua con la de chocolisto
instantáneo para su preparación, y para poder comparar estas cantidades
adecuadamente, las llevaremos a una misma unidad de medida: 1
cucharada → 50 gramos
1 litro → 1000 gramos
Entonces la proporción sería: 21
1000500
=
Si se quisiera saber cuántos gramos de chocolisto instantáneo
necesito para mezclar con 5000 gramos de agua para preparar la mezcla
de chocolisto, establezco la siguiente proporción:
21
5000=
x y así 25002
5000==x
87
Es decir, sabiendo que por cada 500 gramos de chocolisto
instantáneo se usa 1000 gramos de agua, entonces para preparar la bebida
con 5000 gramos de agua, se necesitan 2500 gramos del producto en
polvo.
50001000500 x
= donde x= 2500, entonces 50002500
1000500
= son fracciones
equivalentes y en cada fracción se guarda la relación entre la cantidad de
gramos de chocolisto instantáneo que se usa y la cantidad de gramos de
agua necesarios para diluirlo.
Preguntas para los estudiantes: ¿cuántas cucharadas de chocolisto
instantáneo se necesitan para preparar bebida de chocolisto a partir de 100
litros de agua? ¿cuántos litros de agua se requieren para diluir todo el
producto de chocolisto instantáneo, el cual trae 50 cucharadas del mismo?
3.- Si mezclamos 2 tazas de café preparado y 5 tazas de leche líquida,
obtendremos 7 tazas de café con leche.
Aquí se tiene como proporción entre café y leche 2/5.
Se tiene 2 tazas de café + 5 tazas de leche = 7 tazas de café con leche.
Entonces, la proporción de café con la totalidad es de 2/7 y la proporción de
leche con la totalidad es de 5/7.
Cuando se compara una parte con la totalidad, a veces sólo se
nombra a la parte, por ejemplo, se diría: para preparar un café con leche se
debe saber que la proporción de café es de 2/7, y la proporción de leche es
de 5/7.
Preguntas para los estudiantes: Si mezclamos 10 tazas de café
preparado y 25 tazas de leche líquida, ¿cuántas tazas de café con leche se
obtienen? ¿cuál es la proporción de café con la totalidad? ¿cuál es la
proporción de leche con la totalidad?
88
4.-
Se plantea lo siguiente a los alumnos: Entre las medidas de los lados
de estos triángulos hay una proporción constante, ¿cuál es? Se puede
orientar la discusión haciéndoles observar y precisar las proporciones
respectivas que hay entre los lados de los dos triángulos: ¿Cuáles medidas
tiene más sentido comparar: AB y DE, o AB y EF?
224
==ABDE , 2
36
==ACDF y 2
1352
1352
===BCEF
A continuación se presentan unos ejercicios para que los alumnos
discutan en grupos y obtengan una respuesta que luego explicarán a sus
compañeros:
1) Calcule x para que las siguientes fracciones representen una
proporción igual a 2:
a) x/21 b) 4/x c) 12/x d) x/13 e) 16/x
2) Si el largo de una puerta es de 9 metros y el ancho es de 3 metros
¿cuánto tendría que medir el largo de otra puerta tal que su ancho es de 2
metros, si la proporción entre largo y ancho fuese la misma que la de la otra
puerta?
Antes de dar la definición de proporción, se les pedirá a los
estudiantes que traten de formular una definición.
89
Ahora, se entiende por PROPORCIÓN, la relación numérica entre dos
cantidades o medidas, que corresponde al cociente entre ellas. La
proporción se expresa por medio de una fracción, comparando la cantidad o
medida del numerador con la del denominador.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Para comenzar a trabajar el concepto de congruencia, se realizará
una experiencia didáctica, donde se mostrará al alumno triángulos
congruentes y no congruentes hechos en foami y se colocarán unos encima
de otros, de modo que ellos observen que algunos triángulos se pueden
hacer coincidir en todos sus puntos y otros no.
Después de esto, y antes de presentar formalmente la definición de
“congruencia de triángulos” se darán algunos ejemplos que conlleven, por
medio de la intuición de los alumnos y su razonamiento guiado por el
profesor, a que ellos construyan la definición de congruencia de triángulos y
formulen los criterios de congruencia. Al iniciar con los ejemplos, hay que
dejar en claro que cuando en la vida diaria se dice que dos objetos son
“iguales” (dos sillas, por ejemplo), en geometría, vistas como figuras
geométricas, se dice que son congruentes. En el lenguaje de la Geometría
dos figuras son iguales si ocupan un mismo lugar en el espacio, es decir,
son la misma figura.
Intuitivamente, dos triángulos son congruentes si, al superponerlos,
coinciden en todos sus puntos.
A continuación se describen las actividades a realizar:
I. Si dibujamos un segmento de 20cm y pedimos a los alumnos que
construyan otro segmento con la misma medida, se tiene:
90
20 cm 20 cm
A B
Si superponemos los segmentos se observaría que ambos segmentos
coinciden en todos sus puntos, y por lo tanto son congruentes.
II. 1. El profesor dará a los alumnos 3 varitas de madera (palitos), de
diferentes medidas, y pedirá a los estudiantes que, con las varitas como
lados construyan un triángulo encima de una hoja en blanco o cartulina, de
tal modo que puedan remarcar el triángulo formado y luego recortar el
triángulo remarcado.
2. Se pide a los alumnos que construyan otro triángulo con las varitas,
lo remarquen y lo recorten sin importar la posición del triángulo formado.
3. Se propone a los estudiantes que superpongan los triángulos
construidos. Inmediatamente, observarán que se puede hacer coincidir todos
sus puntos, por lo tanto son congruentes.
4. Se les pide que construyan y recorten dos triángulos con las
medidas de sus lados diferentes uno de otro, y que los superpongan. Se les
preguntará a los estudiantes: ¿Qué propiedades comunes tienen los
triángulos congruentes, que no tienen los que no son congruentes?
Se orientará el razonamiento y las intervenciones de los alumnos para
concluir con la formulación del criterio de congruencia de triángulos llamado
“lado, lado, lado” (LLL) :
Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la
misma medida que un lado del otro.
II. 1. Se pide a los alumnos que dibujen un ángulo de 45º, donde sus
lados midan 25cm y 10cm respectivamente; y otro ángulo también de 45º,
pero con lados de 25cm y 20cm respectivamente.
91
2. Se solicita que construyan los segmentos necesarios para completar
triángulos a partir de las figuras 1 y 2 y medimos su longitud. Se observa lo
siguiente:
Se observa que los últimos segmentos construidos y medidos, tienen
medidas diferentes, por lo tanto, las figuras 1.1 y 2.1 no son congruentes de
acuerdo con el criterio LLL, aún teniendo ambas figuras un ángulo con la
misma medida.
Se pregunta a los estudiantes: ¿Cómo puede modificarse la figura 2
para que, al completar los triángulos, se obtengan dos congruentes?
3. Se solicita a los estudiantes que construyan dos ángulos: uno de 45º y
uno de 120º, ambos con lados de 10cm y 25cm
10cm 10cm
45º 120º
25cm 25cm
Figura 3 Figura 4
4. Si construimos los segmentos necesarios en las figuras 3 y 4 para
construir triángulos y medimos su longitud, se tiene:
92
10cm 19cm 31cm
45º 10cm 120º
25cm 25 cm.
Figura 3.1 Figura 4.1
Se observa que los últimos segmentos construidos y medidos tienen
medidas diferentes (figuras 3.1 y 4.1)
Se pregunta a los estudiantes: ¿Cómo puede modificarse la figura 4
para que al completar el triángulo se obtengan dos congruentes?
5. El profesor orientará la discusión para que se pueda concluir el
criterio del lado, ángulo, lado (LAL) y se propondrá a los alumnos que
enuncien el criterio y lo escriban.
Criterio LAL: Dos triángulos son congruentes si dos lados de un
triángulo tienen la misma medida que dos lados del otro, y los respectivos
ángulos que forman los lados tienen la misma medida.
IV. Pedimos a los alumnos que terminen de construir las siguientes
figuras, de modo que se formen triángulos, luego que tomen las medidas de
los lados que construyeron, y observen las diferencias y coincidencias que
tienen dichas figuras: (la parte punteada es lo que construyen los alumnos),
dando como elementos en cada triángulo el valor de dos de sus ángulos y el
lado común entre éstos.
En base a las observaciones de los alumnos, el profesor orientará la
discusión para que ellos concluyan que para poder formar triángulos
93
congruentes dados dos ángulos y un lado común para dichos ángulos, éstos
tienen que ser congruentes, para que al construir los triángulos, éstos sean
congruentes; de lo contrario no lo serán.
De este modo se establecerá un tercer criterio para congruencia de
triángulos, el cual denominaremos: ángulo, lado, ángulo (ALA).
Dos triángulos son congruentes, si dos ángulos de un triángulo, tienen
las mismas medidas respectivamente, que dos ángulos del otro y el lado
común de estos ángulos tiene la misma medida en ambos.
V. Los alumnos harán un cuadro de resumen de los criterios:
Primer criterio: LLL. Segundo criterio: LAL. Tercer criterio: ALA.
Dos triángulos son
congruentes si cada
lado de un triángulo
tiene la misma medida
que algún lado del otro.
Dos triángulos son
congruentes si dos
lados de un triángulo
tienen,
respectivamente, la
misma medida que dos
lados del otro, y los
respectivos ángulos que
forman los lados tienen
la misma medida.
Dos triángulos son
congruentes si dos
ángulos de un triángulo
tienen,respectivamente,
la misma medida que
dos ángulos del otro y el
lado común de estos
ángulos, tiene la misma
medida en ambos
triángulos.
VI. Se dará a los alumnos 3 criterios de congruencia para triángulos
rectángulos, de los cuales los dos primeros son válidos y el tercero es falso,
pero los alumnos no lo saben. El trabajo para los alumnos consistirá en
verificar, por medio de los criterios de congruencia de triángulos, obtenidos
anteriormente, cuáles de los criterios para triángulos rectángulos son válidos,
guiados por el profesor, sabiendo que la suma de las medidas de los
ángulos internos de un triángulo es igual a 180º.
94
Se solicitará a los estudiantes que dibujen parejas de triángulos que
satisfagan las condiciones enunciadas en cada criterio, con el fin de que se
apoyen en la visualización de los enunciados, para obtener las respuestas.
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
1. Dos triángulos
rectángulos son
congruentes si un
ángulo agudo de uno de
ellos tiene la misma
medida que un ángulo
agudo del otro y la
hipotenusa de uno tiene
la misma medida que la
hipotenusa del otro.
2. Dos triángulos
rectángulos son
congruentes si un
ángulo agudo de uno de
ellos tiene la misma
medida que un ángulo
agudo del otro y los
catetos adyacentes a
los respectivos ángulos
congruentes, son
congruentes.
3. Dos triángulos
rectángulos son
congruentes si la
hipotenusa de un
triángulo rectángulo
tiene la misma medida
de la hipotenusa del
otro triángulo.
A continuación, se formulará una definición de congruencia de
triángulos basada en las experiencias anteriores y sus discusiones:
Definición:
Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes sus lados y
ángulos.
VII. Se le presentará a los alumnos una hoja con las siguientes
instrucciones:
A continuación se presentan algunos triángulos. Obsérvalos, dí
cuáles son congruentes y el criterio usado para obtener esa conclusión. ( No
usar regla ni compás para medir).
95
I.
II.
96
III.
VIII. Consideremos los siguientes triángulos:
Figura 8 Figura 9
Figura 10
Se observa que, aparentemente, las figuras 8 y 9 son congruentes,
pero que la figura 10 no es congruente a las figuras 8 y 9. ¿Pero, qué
sucede si trazamos en cada figura segmentos paralelos a uno de sus
lados?, originando las figuras 8’, 9’ y 10’.
97
Por ejemplo tendríamos
Figura 8’ Figura 9’
Figura10’
Al trazar las paralelas, se han formado triángulos más pequeños (los
sombreados), y como se observa, los triángulos sombreados no coinciden
en todos sus puntos con los originales; pero sí se puede ver que los
triángulos sombreados son parecidos a los originales (es decir, siguen
manteniendo la misma forma) en el sentido siguiente: uno es más pequeño
que el otro, y además, podemos obtener un triángulo congruente al más
grande, ampliando convenientemente el más pequeño.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Consideremos los siguientes triángulos:
Observamos que los triángulos ABC y A’B’C’ tienen ángulos
congruentes, pero a simple vista, uno es más grande que el otro y sus lados
respectivos no son congruentes.
98
Con el fin de abrir una discusión participativa antes de introducir el término
de “semejanza”, el profesor planteará a los alumnos preguntas como las
siguientes:
¿Qué tienen en común los triángulos anteriores?
¿Qué diferencias tienen los triángulos?
Luego, se darán algunos ejemplos con dibujos sencillos en los cuales
estará involucrada la noción de la semejanza, de tal manera que los
estudiantes, por medio de la intuición y observando los dibujos, se
aproximen a la concepción de semejanza, especialmente la concepción de
semejanza de triángulos. (Estos dibujos irán acompañados de preguntas que
realice el profesor como: ¿Qué tienen en común las figuras? ¿Qué
diferencias tienen?)
Maqueta residencial
Conjunto
residencial
99
Pelota de béisbol Pelota de fútbol
Pelota de voleibol
Juego de ollas de cocina
Cuadrado Cuadrado Rectángulo
Triángulo rectángulo isósceles Triángulo obtusángulo
Triángulo rectángulo isósceles
100
Triángulos equiláteros
Intuitivamente, dos figuras geométricas son semejantes, si dichas
figuras tienen la misma forma, aunque diferentes tamaños.
De acuerdo con esta definición intuitiva, son semejantes:
• Todas las circunferencias
• Todos los cuadrados
• Todos los triángulos equiláteros
Por otro lado, también son semejantes los triángulos ABC y A’B’C de
la figura siguiente, pues el triángulo A’B’C tiene la misma forma del triángulo
ABC.
A’B’ es paralela a AB
Definición: Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes, si y solo si,
cada ángulo de ABC es congruente a algún ángulo de A’B’C’.
Con el fin de abrir una discusión en clase acerca del significado de la
semejanza de triángulos, el profesor preguntará a los alumnos. ¿Dos
triángulos congruentes son semejantes?
A continuación, el profesor mostrará a los estudiantes los siguientes
triángulos:
101
Se planteará la pregunta:
¿Los triángulos DEF y GHF serán semejantes? ¿Por qué?
Nuevamente se pregunta a los alumnos: ¿Los triángulos ILJ y KJL
son semejantes? ¿Por qué? Se solicitará a los alumnos que razonen su
respuesta.
Lo que se busca con estos ejemplos es que los alumnos observen
que teniendo un triángulo dos de sus ángulos congruentes a dos de los
ángulos de otro triángulo, serán semejantes.
A partir de esto, los alumnos deberán deducir un criterio para
semejanza de triángulos guiados por el profesor.
Criterio para semejanza de triángulos:
Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos del
otro, los triángulos son semejantes.
Consideremos el siguiente dibujo hecho en una hoja cuadriculada.
102
Se trabajará utilizando proporcionalidad de segmentos, midiendo
éstos a través del conteo de lados de cuadrados (unidad de medidas). Por
ejemplo:
En el dibujo A, la parte del brazo de color verde es de 2 unidades y
en el dibujo B, la parte del brazo azul es de 4 unidades. Así, tenemos que la
proporción entre los segmentos azul y verde es 4/2=2. Esto es, el segmento
azul es el doble del verde. Igualmente, en el dibujo A, la parte de color
amarillo es de 10 unidades y en el dibujo B, la parte de color rojo es de 20
unidades, teniendo como proporción 20/10=2. Así cada vez que
establezcamos una proporción entre un segmento del dibujo B con el
correspondiente del dibujo A, siempre la razón de esa proporción será la
misma. Esto nos indica que el dibujo B es el doble del dibujo A. A y B son
figuras geométricas semejantes.
103
Teorema de Thales: (Thales de Mileto)
Un haz de paralelas determina sobre dos transversales (rectas
secantes) segmentos proporcionales.
Así, AB ≠ DE y BC ≠ EF y sin embargo, EFDE
BCAB
=
Este teorema tiene múltiples consecuencias y aplicaciones
importantes en cuestiones prácticas. Una de ellas es el cálculo que realizó
Thales de Mileto para determinar la altura de una pirámide.
Antes de mostrar cómo hizo esto Thales de Mileto, vamos a dar una
idea para obtener otro criterio de semejanza de triángulos a partir del
teorema de Thales.
Dados los triángulos ABC y AB’C’, de acuerdo a la idea intuitiva de
semejanza de triángulos, se puede sospechar que éstos triángulos son
semejantes, considerando que BC y B’C’ son paralelas:
Esta sospecha se basa en que el triángulo ABC aparenta ser una
ampliación del triángulo AB’C’ , pues las direcciones de los tres lados de
104
ABC son, o bien coincidentes, o bien paralelas a las de los tres lados de
AB’C’.
Se les preguntará a los estudiantes: ¿se puede asegurar que los
ángulos AB’C’ y ABC son congruentes? ¿por qué?; ¿los ángulos AC’B’ y
ACB son congruentes? ¿por qué?.
Por otro lado, si BC y B’C’ son paralelas, consideremos AB y AC
como transversales a las paralelas. De ésta manera tendremos un haz de
paralelas cortadas por dos transversales y como consecuencia del teorema
de Thales se tiene que:
AB’ / B’B = AC’ / C’C
Ahora, relacionando los triángulos ABC y AB’C’ se tendrá que la proporción
entre los lados correspondientes de los dos triángulos es:
AB / AB’ = AC / AC’ = BC / B’C’
De ésta manera se obtiene otro criterio para semejanza de triángulos
a partir del teorema de Thales:
Dados los triángulos ABC y AB’C’, tenemos que estos son
semejantes si, y solo si AB / AB’ = AC / AC’ = BC / B’C’
Se dice que los lados AB y AB’ son homólogos, así como lo son AC y AC’,
BC y B’C’.
THALES DE MILETO (640 A.C. – 560 A.C.)
MEDIDA DE LA ALTURA DE UNA PIRÁMIDE EGIPCIA
Thales de Mileto nació y murió en Mileto (ahora Turquía). Thales fue
considerado como un gran sabio, un hombre excepcionalmente inteligente y
como el primer filósofo griego, científico y matemático; él inició en Grecia el
desarrollo racional de la Geometría.
El hecho concreto que más aseguró su reputación fue la predicción de
un eclipse de sol en el año 585 antes de Cristo y además siempre mantuvo
la hipótesis de que la luna brilla por el reflejo del sol.
105
Hacia el año 600 antes de Cristo, cuando las Pirámides ya habían
cumplido su segundo milenio, el sabio griego visitó a Egipto; el faraón (Rey
Egipcio, considerado como un dios) ya conocía la fama de Thales como gran
matemático, y le pidió que resolviera un viejo problema: Conocer la altura
exacta de la Gran Pirámide, pues él podía calcular la altura de una
construcción, por muy alta que fuese, sin necesidad de subir a ella.
El sabio se trasladó al desierto y, cerca de la Pirámide en cuestión,
clavó una vara recta, cuya longitud ya conocía, verticalmente en la arena.
Luego tomó la vara, la colocó horizontalmente sobre la arena en la misma
dirección de la sombra que proyectaba la vara en posición vertical gracias a
la incidencia de los rayos del sol, como podemos observar en la figura,
quedando así en la arena la huella del tamaño exacto de la vara.
Después regresó la vara a su posición vertical original; al pasar
algunos minutos, la sombra que proyectaba la vara coincidió en tamaño
exactamente con la huella que estaba marcada sobre la arena. En ese
momento Thales le dijo a los egipcios servidores del faraón: “Vayan de prisa
106
hasta la pirámide y midan su sombra. A esa medida, sumen la mitad de la
medida de su base. Esa suma es la medida de la altura exacta de la
pirámide”.
Ahora, veamos matemáticamente lo que permitió a Thales llegar a
esa conclusión:
Puesto que los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra, el
triángulo rectángulo determinado por la altura de la pirámide y su sombra, y
el determinado por la vara y su sombra son semejantes, puesto que los
ángulos α y β son congruentes ya que ambos miden la inclinación con la que
inciden los rayos del Sol sobre la Tierra. Como ambos triángulos son
rectángulos, los ángulos formados por la vara y su sombra, y el ángulo
formado por la altura de la pirámide y su sombra, son ángulos rectos, por lo
tanto, son congruentes. En vista de que ambos triángulos tienen dos ángulos
respectivamente congruentes, ellos son semejantes.
Se pregunta a los estudiantes: ¿qué igualdad de proporciones se
puede establecer?
Se orientará una discusión en torno a cuáles de las proporciones
establecidas podrían ser útiles para resolver el problema, para lo cual deben
identificar la incógnita, y los datos conocidos.
EFAC
DEBA
=
Luego:
EFDEACBA ×
=
Como DE = EF, pues DE es la longitud de la vara utilizada por
Thales, 1=
EFDE
Entonces
BA=AC
107
Y AC es la longitud de la sombra de la pirámide que Thales mandó a
medir por los egipcios más la mitad del lado de la Gran Pirámide.
ERATÓSTENES (273- 192 a.C. )
CÁLCULO DEL PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA DE LA TIERRA
Eratóstenes nació en Cirene (ahora Libia) en el 273 a.C. Fue
astrónomo, historiador, geógrafo, filósofo, poeta, crítico teatral y matemático.
Estudió en Alejandría y Atenas. (Se le realizará a los estudiantes la siguiente
pregunta: ¿Qué conocen de Atenas y Alejandría? Identificar en el
mapamundi que el profesor llevará a Atenas y Alejandría).
Atenas fue una de las ciudades de gran importancia para el desarrollo
cultural y científico de la Grecia antigua. Entre los siglos V- IV a. C. el centro
de la vida intelectual y científica se trasladó de Atenas a Alejandría, ciudad
fundada por Alejandro Magno y modelada según el ideal griego. Algunos de
los logros de la Astronomía en Alejandría fueron el cálculo de la longitud de
la circunferencia de la Tierra realizada por Eratóstenes y las primeras
mediciones de las distancias al Sol y la Luna. Alejandría era una ciudad
cosmopolita, ideal para un centro internacional de investigación de Grecia,
donde comenzó a desarrollarse la astronomía. Los científicos que dejaron
grandes aportes a la Matemática y a la Física, fundaron escuelas y
academias allí. Ese centro, fundado alrededor del año 300 a. C, era la
Biblioteca y museo de Alejandría. El museo, un lugar dedicado a las
especialidades de las nueve Musas, era el centro de investigaciones
propiamente dicho. La biblioteca se guiaba por el ideal de reunir una
colección de libros internacional, con obras griegas y traducciones al griego
de obras escritas originalmente en otras lenguas del Mediterráneo, el Medio
Oriente y la India.
La técnica que utilizó Eratóstenes para medir la longitud de la
circunferencia de la Tierra fue muy interesante. A continuación, haremos un
esbozo de su razonamiento.
108
Eratóstenes partió del hecho de que la Tierra era esférica, hecho
aceptado generalmente entre los sabios griegos del siglo III a. C; los rayos
del Sol se consideraban paralelos al llegar a la Tierra, porque el Sol estaba
lo suficientemente lejos de la Tierra. Además Eratóstenes conocía la fecha
exacta en que ocurría el Solsticio de Verano (el día más largo del año), en la
ciudad de Syena (ahora Assuan, Egipto), en las márgenes del río Nilo.
Al mediodía de ése día, el sol alumbraba directamente en vertical el
fondo de un profundo pozo en la localidad de Syena, en ese momento, el sol
estaría exactamente en el Cenit (el punto del firmamento que corresponde
verticalmente a un lugar de la Tierra) y, por lo tanto, a esa hora, una vara
clavada verticalmente en el suelo no haría ninguna sombra. Conocido éste y
los otros hechos, Eratóstenes se dirigió a la ciudad de Alejandría, y ya él
sabía que la distancia entre Assuan y Alejandría era de 5.000 stadia (medida
antigua usada en Grecia), distancia que se calculó, conociendo el tiempo t,
que tardaba un ejército entrenado para marchar con velocidad constante VK
entre Assuan y Alejandría; así D( A, B) = VK x t = 5.000 stadia. Al llegar
Eratóstenes a Alejandría, al mediodía del día del Solsticio de Verano, clavó
una vara verticalmente en el suelo. Inmediatamente, midió el ángulo formado
por la vara y el segmento que unía la punta de la vara con la extremidad de
la sombra. Llamemos a ése ángulo α y sea β, el ángulo con vértice en el
centro de la Tierra, cuyos lados son las prolongaciones de las varas
clavadas en Alejandría y Assuan.
109
(Por medio del dibujo, se les puede preguntar a los alumnos el nombre que
reciben, de acuerdo a su posición relativa, las rectas s y r; y el nombre que
reciben los ángulos α y β).
Como los rayos del Sol son aproximadamente paralelos, las rectas r y
s son paralelas, los ángulos α y β son alternos- internos y por lo tanto
congruentes.
Eratóstenes descubrió que el ángulo α era igual a 1/50 de una
circunferencia:
α = (1/50) (360º)= β
Como la medida del arco AB es la distancia entre Assuan y
Alejandría, y ese arco corresponde al ángulo β, entonces la distancia entre
Assuan y Alejandría sería también 1/50 de la longitud de la circunferencia de
la Tierra.
Como ya se dijo, la medida antigua usada en Grecia era el Stadium
(plural: stadia), la cual, comparada con nuestras medidas, valía: 6,3 stadia =
1 kilómetro. Como la distancia entre Assuan y Alejandría era de 5.000
stadia, Eratóstenes estableció la siguiente relación:
β → 360º
m(AB) → LCT
donde m(AB) = distancia entre Assuan y Alejandría y
L CT = Longitud de la circunferencia de la Tierra.
Así, la longitud de la circunferencia de la Tierra era de:
110
stadia250000))AB(m)(50(
50)º360(
)º360()AB(mº360)AB(m===
β× ×
LCT =
Ahora, haciendo la conversión a kilómetros, mediante una proporción,
se tiene que:
x = longitud de la circunferencia de la Tierra, en kilómetros.
Este valor tiene un error de apenas 1% en relación a la medida aceptada de
la circunferencia de la Tierra, de 40.000km. Así fue que el matemático
Eratóstenes calculó, con asombrosa precisión, la medida de la longitud de la
circunferencia de la Tierra.
HIPARCO (194 A.C.- 120 A.C.)
CÁLCULO DE LA DISTANCIA DE LA TIERRA A LA LUNA
Los fragmentos históricos que a continuación se presentan tienen
importancia en esta propuesta, ya que aquí se hace referencia a la
semejanza de triángulos, punto que ya ha sido estudiado anteriormente. Se
espera que los alumnos vean en este ejemplo histórico, cómo un concepto
tan sencillo como lo es el de la semejanza de triángulos es utilizado en
aplicaciones a la astronomía.
Hiparco nació y murió en Nicea, Bitinia, Asia menor (ahora Turquía);
matemático y astrónomo griego, considerado el padre de la Trigonometría.
Renovó la Matemática, herramienta esencial de la cosmología, astrofísica y
astronomía. Fué el observador más importante de la antigüedad, tanto que
su catálogo estelar, que contenía posiciones y brillos de unas 850 estrellas
fue superado en precisión solamente en el siglo XVI. Hiparco pudo conseguir
satisfacer una de las principales exigencias de la astronomía antigua: la
111
predicción de eclipses, cuestión que para los griegos antes de Hiparco,
constituía un serio problema.
También a Hiparco se debe la división de la circunferencia en 360
partes iguales, a cada una de las cuales llamó arco de un grado y ángulo de
un grado.
Mas adelante en el siglo I a.C., Ptolomeo de Alejandría, astrónomo,
matemático, físico, geógrafo y seguidor de Hiparco, escribió la obra de la
antigüedad más importante de las que contienen aportes a la Trigonometría:
“Síntesis Matemática” , conocida hasta hoy con el nombre de Almagesto.
Son también notables los cálculos de Hiparco para determinar la distancia de
la Tierra a la Luna basándose en el modelo geocéntrico. La aceptación del
modelo geocéntrico perduró hasta el siglo XVI, pues el modelo heliocéntrico
aceptado por los Pitagóricos en el siglo VI a.C. no explicaba
satisfactoriamente los fenómenos conocidos por él.
(Durante la exposición del cálculo de la distancia de la Tierra a la Luna, al
llegar al punto donde se menciona el modelo geocéntrico y heliocéntrico, se
puede preguntar a los estudiantes:¿qué significa modelo geocéntrico?; ¿qué
significa modelo heliocéntrico?)
Ahora veamos un esbozo del método usado por Hiparco para calcular la
distancia de la Tierra a la Luna, un ejemplo más de la aplicación de las
propiedades de la semejanza de triángulos.
112
Supongamos que P y Q, son dos puntos en el ecuador de la Tierra,
que satisfacen las siguientes situaciones:
Imaginemos que la Luna es el punto L, la cual está alineada con P y el
centro C de la Tierra . En ese instante, un observador situado en P, ve a la
Luna en el cenit (punto del firmamento que corresponde perpendicularmente
a un lugar de la Tierra donde está ubicado un observador)
Se pregunta a los estudiantes: ¿Qué entienden por cenit?
El punto Q se escoge de tal manera que LQ sea tangente al ecuador en Q,
en el mismo momento en que C, P y L están alineados. Así, CQL es un
ángulo recto. El ángulo α, en C, era conocido, pues la medida del ángulo α
es igual a la medida del arco PQ, es decir, la distancia entre P y Q.
Hiparco halló las proporciones entre los lados de un triángulo rectángulo
cualquiera C’Q’L’, con un ángulo igual a α. Se solicitará a los alumnos que
digan la relación geométrica que existe entre los triángulos CQL y C’Q’L’
'''' LCCL
CQQC
=
Por ser C’Q’L’ semejante a CQL.
(Se les pide a los estudiantes que despejen CL en la ecuación anterior)
113
Así,
''''
CQLCQCCL ×
=
C’L’ y Q’C’ eran conocidos por Hiparco pues, eran los lados del triángulo
rectángulo que construyó semejante al triángulo CQL; QC también lo
conocía, por ser el radio de la Tierra. Hiparco obtuvo CL, a lo cual debió
restar CP=QC, para obtener la distancia de la Tierra a la luna.
La cifra obtenida por Hiparco fue cercana a 280.000 millas, que comparada
con la que se acepta en la actualidad, 241.000 millas, muestra un error de un
16% debido a la falta de precisión en la medida del ángulo α, ocasionado por
la naturaleza de los instrumentos de medición disponibles en la época de
Hiparco.
HISTORIA DE LA RAZÓN DEL SENO
Hace más de 1500 años atrás, empezó a surgir en la India una gran
colección de libros matemáticos, la cual llamaban Siddantha, vocablo que
significa “sistemas de astronomía”; dichos libros estaban escritos en el
idioma sánscrito y poseían explicaciones astronómicas las cuales eran de
una difícil comprensión, debido al enigmático desarrollo de sus páginas, pero
a través de estos textos se fue desarrollando de manera progresiva esta
ciencia.
La trigonometría tratada en estos textos se presentaba en base a la
relación entre las cuerdas de un círculo y sus ángulos centrales
correspondientes, dicha relación la podemos observar en la siguiente figura.
114
La media cuerda asociada a un ángulo α, como se muestra en la
ilustración, fue llamada por los hindúes “jiva”; el propósito de los
matemáticos hindúes al introducir la media cuerda en lugar de la cuerda
completa, era trabajar con triángulos, de los cuales conocían muchas
propiedades, dentro de los círculos.
Los creadores del Siddantha elaboraron una tabla trigonométrica,
para la cual calcularon algunos valores de jiva para los valores de la mitad
de los ángulos centrales correspondientes
Durante mucho tiempo, los matemáticos árabes trabajaron con la
trigonometría del jiva junto con las tablas de los griegos, hasta que a finales
de los años 800 el matemático árabe al- Battani adoptó la trigonometría
hindú, introduciendo una innovación que ha perdurado hasta nuestros
tiempos: el círculo de radio unitario.
Utilizando este círculo, al- Battani construyó unas tablas
trigonométricas en donde el valor de jiva correspondiente al ángulo α/2, que
origina un triángulo rectángulo dentro del círculo, podía interpretarse como la
razón:
115
Un poco antes de la época de al-Battani, los árabes fueron
expandiéndose por el Mediterráneo, y ya a comienzos de los años 1100,
todo europeo que pretendiese estudiar matemática o astronomía estaba
obligado a conocer la lengua árabe, pues los textos más importantes de
estas dos ciencias estaban escritos en esta lengua.
Todos estos importantísimos textos de matemática y astronomía,
escritos originalmente en su mayoría en el idioma sánscrito, y traducidos a la
lengua árabe, fueron retraducidos al latín, para facilitarles el estudio a los
europeos; en estas traducciones la palabra jiva fue tomando distintas formas
de escritura e interpretaciones.
Los árabes escribieron “jiba”, al traducir la palabra “jiva”, y como en
lengua árabe es frecuente escribir sólo las consonantes de las palabras,
dejando que el lector mentalmente y según su criterio añada las vocales, los
traductores árabes escribieron “jb”.
Un reconocido traductor europeo, el inglés Robert de Chester al
traducir uno de los textos del árabe al latín, interpretó “jb” como “jaib” que, en
latín significa bahía o ensenada, y escribió en latín “sinus”. Desde entonces
la razón cateto opuesto sobre hipotenusa conocido en la época de al- Battani
como “jiva”, en español es conocido como “seno”.
Razones trigonométricas
Ahora, ya se sabe cómo llego a ser el seno de un ángulo agudo de un
triángulo rectángulo igual a la razón entre cateto opuesto e hipotenusa, es
decir:
116
El seno de un ángulo agudo, en este caso seno de α, es comúnmente
denotado como sen α, ya que se acostumbra abreviar la palabra seno como
sen.
Como bien lo dice la historia, con el tiempo fueron creadas otras
razones trigonométricas como coseno y tangente; ellas basadas en la razón
seno definida por los hindúes.
Ya se sabe que los ángulos complementarios son aquellos cuya suma
es igual a 90º, entonces si tenemos un triángulo rectángulo cualquiera ABC,
como lo observamos en la siguiente figura:
Los ángulos α y β son complementarios, es decir:
α + β = 90º
Así, si se tiene que sen α = b/c y se quiere conocer el valor del seno
del ángulo complementario de α (sen β ), entonces observamos lo siguiente:
Seno del complementario α = sen β
Seno del complementario de α = a / c
El seno del ángulo complementario de α es denominado coseno de
α, que también se abrevia cos α; de esto nos queda que:
Seno del complementario de α = a / c
cos α = a / c = sen β
117
Ahora, consideremos un círculo de radio unitario (introducido a la
trigonometría por el matemático árabe al- Battani) como el de la siguiente
figura:
En la figura anterior, podemos observar que la recta CD (recta azul)
es tangente a la circunferencia de centro 0 y radio 1, en el plano cartesiano.
Los triángulos rectángulos OAB y OCD, son semejantes porque el
ángulo α es común para los triángulos OAB y OCD, y además ambos son
rectángulos (tienen dos ángulos congruentes); así, se tiene la proporción:
Y OC = 1, porque OC es un radio del círculo unitario.
Entonces CD/AB = 1/OA, ahora CD = AB/OA, siendo AB el cateto
opuesto al ángulo α y OA el cateto adyacente al ángulo α.
Por ser el segmento CD tangente a la circunferencia, y sus extremos
los puntos de corte de la recta tangente en el punto C con los rayos que
definen el ángulo α, se denomina tangente de α a la razón AB/OA y la
denotamos como tg α.
OAOC
ABCD
=
118
Resumiendo lo antes dicho:
cbsen =β
cacos =β
abtg =β
Inversos multiplicativos de las razones seno, coseno y tangente
Además de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente,
existen otras razones que definimos como inversos multiplicativos de las
razones anteriores.
En el siguiente circulo trigonométrico de radio 1, observaremos
geométricamente los inversos multiplicativos de las razones seno y coseno:
En el triángulo rectángulo OVT, dentro del círculo de centro O y radio 1:
α=⇔=α⇒
===α
cos1OR
OR1cos
OR1
OROS
OTOVcos
119
La secante del ángulo α la definiremos como el inverso multiplicativo de la
razón cos α, por lo tanto:
α=α
cos1sec
Y geométricamente, sec α = OR
Por lo anterior:
β=β⇒
β=β
cos1sec
sec1cos
En el triángulo rectángulo OVT, dentro del círculo de centro O y radio 1:
VT1
VTOT
OTVT1sec ===β
Como:
120
α=β
sen1sec
α=β=α
sen1seccsc
VT
1VT
OTVTsen ===α
Entonces:
Ya es fácil reconocer que el ángulo β es el ángulo complementario del
ángulo α, siguiendo la notación planteada anteriormente. La secante del
ángulo β es la secante del ángulo complementario del ángulo α, la cual
llamaremos cosecante del ángulo α y se denotará: csc α.
Por lo tanto:
Ahora tomemos un triángulo rectángulo ABC, como nos lo muestra la
figura:
En el triángulo, las tangentes a los ángulos α y β son:
y BCABtg =α
ABBCtg =β
Como: α
===βtg1
BCAB1
ABBCtg
El ángulo β es de nuevo el ángulo complementario del ángulo α, por lo
tanto, la tangente del ángulo β, es la tangente del ángulo complementario del
ángulo α y llamaremos a esta razón la cotangente del ángulo α; la
denotaremos: ctg α.
αβα
tgtgctg 1
==
Razones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º
Sea DEF un triángulo equilátero, como lo observamos en la siguiente
figura:
Si intentamos determinar su altura, la misma quedaría representada
por el segmento FG; como el triángulo es equilátero, el segmento FG
además de ser la altura del triángulo, representa también su mediana y su
mediatriz respecto al lado DE y la bisectriz del ángulo con vértice en F.
121
El triángulo DGF es rectángulo, pues el vértice en G es de 90º; por ser
el triángulo DEF equilátero, los ángulos con vértices en D y E, tienen una
medida en grados sexagesimales de 60º y 30º respectivamente.
Como el punto G, pie de la mediatriz del lado DE es el punto medio de
dicho lado, tenemos que:
DFDG
DFGEDGDE
21
)()(2)(2
=⇒
===
Si aplicamos el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo DGF,
obtenemos la siguiente ecuación:
222
222
222
))DF(21()DF()GF(
)DG()DF()GF(
)GF()DG()DF(
−=⇒
−=⇒
+=
)DF(23GF
)DF(43GF
)DF(43GF
)411()DF(GF
))DF(41()DF(GF
2
2
2
22
=⇒
=⇒
=⇒
−=⇒
−=⇒
Ahora, ya que DGF es un triángulo rectángulo, ∠FDG=60º y ∠GFD=30º,
tenemos que:
122
23
)DF(
)DF(23
)DF()GF()º60(sen
21
)DF(
)DF(2
)DF()DG()º30(sen
===
===
1
Como el coseno de un ángulo es el seno del ángulo complementario,
entonces obtendriamos que:
21)º60cos(
23)º30cos(
=
=
Consideremos ahora un triángulo rectángulo isósceles, como el que
observaremos en la siguiente figura:
Por ser este un triángulo isósceles, se tiene que los lados ML y LN son
congruentes y además que el ángulo en L es rectángulo. Si aplicamos el
Teorema de Pitágoras al triángulo LMN, tenemos que:
)(2
)(2
)(2
)(2)(
)()()(
)()()(
2
2
22
222
222
LMMN
LMMN
LMMN
LMMN
LMLMMN
LNLMMN
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
+=⇒
+=
123
Así tenemos que en el triángulo LMN:
22
)2(
2
)2)(2(2)LM(2 2==
)2)(1(1)LM()º45(sen ===
Nuevamente, como el coseno de un ángulo es el seno del ángulo
complementario y además en este caso ambos ángulos son congruentes, en
grados sexagesimales ambos poseen una medida de 45º, entonces
obtendriamos que:
22)º45cos( =
Con esta información el alumno tiene la capacidad de desarrollar una
tabla de razones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º.
Dicha tabla quedaría diseñada de la siguiente manera:
23
21
22
22
23
21
α Seno Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente
30º
45º
60º
Se deja como ejercicio para el alumno la culminación de la tabla, a
través de las razones trigonométricas conocidas en el desarrollo de la
propuesta.
124
4.5 PROBLEMARIO 1) Copia las siguientes figuras, y traza en cada una de ellas los posibles
ejes de simetría. 2) Dado el triángulo rectángulo ABC, determine en el plano cartesiano,
un triángulo simétrico al triángulo ABC respecto al eje de las abscisas y otro
triángulo simétrico al triángulo ABC respecto al eje de las ordenadas.
3) Dados el punto P y la recta m en el plano cartesiano. Halla un punto Q
que sea simétrico al punto P, respecto a la recta m.
125
4) Si sabemos que en el triángulo MNP, la recta l es un eje de simetría y
que además el lado PN mide 6 unidades. Calcule las razones
trigonométricas seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente
para el ángulo α.
5) Rote el triángulo rectángulo ABC en un ángulo de 120º, respecto al
origen del plano cartesiano.
6) Dado el segmento AB en el plano cartesiano, aplique una rotación de
la misma, en un ángulo de 160º y mencione en qué cuadrante del plano
cartesiano queda ubicad el segmento rotado.
126
7) En el sistema de coordenadas cartesianas, el triángulo ABC es
trasladado hasta la posición donde se encuentra el triángulo DEF. Calcule
las razones trigonométricas seno, coseno, tangente, secante, cosecante y
cotangente para el triángulo DEF, tomando en cuenta las coordenadas de
cada vértice del triángulo.
8) El triángulo OPQ es en proporción el doble del triángulo RST; si
sabemos que la medida del lado OP del triángulo OPQ es de 5 unidades,
calcule las razones trigonométricas seno, coseno, tangente, secante,
cosecante y cotangente del ángulo α.
9) En la siguiente figura, los triángulos ABC y ABD son congruentes. Si
sabemos que la medida del segmento CD es de 6 unidades, calcule las
razones trigonométricas seno, coseno, tangente, secante, cosecante y
cotangente para el ángulo α del triángulo AOD.
127
10) En la siguiente figura los triángulos equiláteros ABD, BDE y BCE son
congruentes. Si sabemos que la altura del triángulo ABD es de 4 unidades,
calcule la distancia entre los vértices D y E.
11) Si el triángulo ABC y el triángulo DEF son semejantes,
AB = 2 y AC = 6, como se presenta en la figura, calcule las razones
trigonométricas seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente
para el ángulo α.
12) La razón seno de un ángulo en un triángulo rectángulo la podemos
escribir como la proporción entre las medidas del cateto opuesto del ángulo
y la hipotenusa del triángulo. Escriba las razones secante, cosecante y
cotangente de un ángulo de un triángulo rectángulo cualquiera, en función
de los catetos y la hipotenusa.
128
13) Una vara de bambú, clavada verticalmente en el suelo, proyecta una
sombra de 1,8 metros, cuando una persona de 1,65 metros de estatura
proyecta una sombra de 1,25 metros. ¿Cuál es la longitud de la vara?
14) Para calcular el ancho de un río, Eliana observa dos árboles que se
encuentran uno en cada margen del río. En seguida, se coloca a una cierta
distancia del árbol más próximo y de tal forma que no puede divisar el otro.
Luego camina hacia el río perpendicularmente a la orilla y cuenta 21 pasos
hasta la orilla. Camina después hasta el árbol por la orilla del río y cuenta 18
pasos. Continúa caminando en esa dirección hasta llegar al frente del árbol
que está en la otra orilla del río. En este último trecho, cuenta 66 pasos.
¿Cuál es el ancho del río, si 40 pasos de Eliana corresponden a 30 metros?
15) Se le presenta la siguiente situación: usted necesita construir una
escalera; el futuro dueño de la escalera desea que la misma tenga una
inclinación de 60º y que los escalones posean unas barras de mármol que
se puedan ubicar a lo largo de los 10 metros que medirá la escalera (longitud
de BC en el triángulo rectángulo ABC). Usted desconoce la altura de un piso
al otro, puesto que el contratista no le dió tal información. ¿Cuál es la altura
entre los dos pisos donde se va a colocar la escalera?
129
4.6 APLICACIÓN DE LA PROPUESTA
A continuación se muestran los registros de cada una de las
observaciones realizadas durante la aplicación de la “Propuesta pedagógica para la introducción de la Trigonometría en un curso del primer año de ciencias del ciclo diversificado”. Aplicación realizada a los
alumnos del primer año de ciencias, sección “B”, U.E. “Estado Portuguesa”,
ubicada en San Juan de Lagunillas, del Municipio Sucre.
Registros de las sesiones de clases:
Registro nº 1
Clase nº 1 Fecha: 14/ 03/ 06 Hora: 12:40am-2:00pm Actividad de la propuesta ejecutada: Aplicación del Test diagnóstico
Aplicación del Test diagnóstico titulado “Test diagnóstico para
determinar el nivel de conocimientos alcanzados por los alumnos de primer
año de ciencias del ciclo diversificado sobre geometría plana elemental”, al
grupo experimental y control, del primer año de ciencias del ciclo
diversificado, secciones “B” y “A” respectivamente de la U.E. “Estado
Portuguesa”.
Registro nº 2
Clase nº 2 Fecha: 21/ 03/ 06 Hora: 12:40am-2:00pm Actividad de la propuesta ejecutada: Debate.
La clase se inicia dando el respectivo saludo y pasando la asistencia
de clases, no faltando estudiantes. Se les pidió a los alumnos que se
ubicaran en círculo para el inicio del debate. En general, muchas de las
preguntas no eran respondidas correctamente y el profesor se encargaba
130
de aclarar la respuesta de la pregunta; se notaba la confusión que tenían los
estudiantes respecto a los tipos de triángulos y ángulos. Acerca del teorema
de Pitágoras, los estudiantes no sabían absolutamente nada, decían que
jamás habían visto este contenido. En este momento se presentó el
rompecabeza que se tenía preparado para este contenido y los estudiantes
quedaron muy satisfechos con el mismo.
Registro nº 3 Clase nº 3 Fecha: 23/ 03/ 06 Hora: 12:00am-1:20pm Actividad de la propuesta ejecutada: Simetría axial, rotación y traslación.
La clase se inicia dando un saludo y pasando la asistencia de clases,
no faltando estudiantes.Se pide a los alumnos que se reúnan en grupos de 5
o 6 alumnos. A cada grupo se le hace entrega de hojas de papel cuadradas
y rectangulares; tréboles hechos en foami y hojas de papel blancas. Se les
mostró a los alumnos dos hojas de árbol para que observaran el eje de
simetría axial, el cual sería la línea que divide a la hoja en dos partes
congruentes. Se les dibujó ciertas figuras en el pizarrón para que observaran
de nuevo la existencia de ejes de simetría. Luego, se trabajó con las hojas
de papel cuadrada, de tal manera que los alumnos doblaran las hojas como
se les indicaba y observaran que cada línea de doblés era un eje de
simetría.
La mayoría de los alumnos desde el momento en que se les mostró
las hojas de árbol y su explicación, captaron de inmediato lo que es un eje
de simetría y el significado de simetría axial. Continuamente, se trabajó con
la hoja de papel rectangular de igual manera que con la cuadrada y la
mayoría de los alumnos se dieron cuenta de que cuando se doblaba la hoja
de manera tal que sus puntas opuestas coincidieran, no existía eje de
simetría axial.
131
La explicación del concepto de rotación se inició considerando un
lápiz, una hoja de árbol y marcando en la pizarra un segmento, que sería la
posición inicial de la rotación y su respectivo punto de referencia para el
inicio de la rotación del lápiz y de la hoja, según un ángulo dado. Se le hizo
énfasis a los alumnos que una figura rotada en sentido contrario a las agujas
del reloj definía un ángulo positivo, de lo contrario sería negativo; además se
señaló que todos los puntos de la figura giran en un ángulo constante. De
inmediato se realizó la actividad con los tréboles, y los alumnos lograron
realizar la actividad, pero cuando se les preguntó:” ¿Qué define la rotación
de cada trébol?”, ningún estudiante logró dar una respuesta correcta y se les
hizo hincapié, en que toda rotación teniendo un punto de referencia queda
definida por un ángulo.
La explicación del concepto de traslación se inició dibujando en el
pizarrón figuras que representaba personas, realizando con cada una un
movimiento diferente. Con cada figura, las siguientes preguntas se
plantearon “¿Qué define el movimiento de la figura?”
Con el primer ejemplo de traslación, los alumnos no respondieron a
las preguntas. Con la segunda y tercera figura, después de que se les
explicó que el movimiento de las figuras quedaba definida por un vector
porque tenían: magnitud, dirección y sentido, los alumnos ya comenzaban a
identificar la magnitud, dirección y sentido del movimiento de cada figura;
algunos de ellos no precisaban la dirección del movimiento. La magnitud y el
sentido lo identificaban correctamente.
Las actividades con el ajedrez y el ludo apoyaron aún más la
concepción de traslación, pues la mayoría de los alumnos contestaban
correctamente al preguntárseles sobre la magnitud, dirección y sentido de
cada movimiento que se realizaba durante el juego con el ajedrez y el ludo.
Finalmente, se dieron ejemplos en el plano cartesiano, de simetría
axial, rotación y traslación. Aquí se observó la eficacia de todos los ejemplos
132
anteriores, pues la mayoría de las preguntas planteadas a los alumnos,
fueron contestadas correctamente; muy pocas de las respuestas fueron
incorrectas, pero las mismas se aclararon retomando ejemplos anteriores.
Registro nº 4
Clase nº 4 Fecha: 28/ 03/ 06 Hora: 12:40am-2:00pm Actividad de la propuesta ejecutada: Proporciones.
Se inicio la clase dando un saludo y pasando la lista de asistencia, se
observa que dos alumnos están entrando tarde al aula y se les pide una
explicación. Se les pide a los alumnos que se reúnan en sus respectivos
grupos y se comienzan a realizar algunos ejemplos de la razón de
proporción como se presentan al inicio de la propuesta; a raíz de estos
ejemplos los alumnos comienzan a participar y proponiendo algunos
ejemplos, algunos se salían del contexto pero estaban dando cabida a una
construcción un poco prematura del concepto de proporción. Pasando a otra
ronda de ejemplos, se les propuso plantear una razón de proporción a través
de la preparación de una bebida a base de chocolate, formando una
proporción en relación con las tazas de agua y las cucharadas del producto
en polvo y la preparación para una taza de café con leche, igualmente
formando una proporción en relación con las tazas de café y las cucharadas
de leche en polvo.
Luego de estos sencillos y fácilmente aplicables ejemplos de
proporciones, se le introduce a los alumnos esta idea un poco desarrollada
para algunas figuras planas, en este caso que ellos intenten escribir una
razón de proporción a través de los lados respectivos de dos triángulos, que
son parecidos pero de tamaños visiblemente diferentes, de hecho ambos
triángulos son semejantes.
Siguiendo con esta secuencia, los alumnos intentaron construir
triángulos en los cuales pudieran aplicar la idea de proporción que acababan
de asimilar; culminada esta actividad, se les pidió que construyeran una
133
definición de proporción. Los alumnos lograron a través de todos los
ejemplos, definir muy acertadamente el significado de proporción.
Registro nº 5 Clase nº 5 Fecha: 18/ 04/ 06 Hora: 12:40am-2:00pm Actividad de la propuesta ejecutada: Congruencia de triángulos.
La clase se inicia dando el respectivo saludo y pasando la asistencia
de clases, no faltando estudiantes. Se les pidió a los alumnos que se
agruparan para iniciar con las actividades planificadas. Se les hizo entrega
de triángulos congruentes y no congruentes hechos en foami para que los
superpusieran. Los alumnos observaron que algunos triángulos al
superponerlos coincidían en todos sus puntos y otros no coincidían. Les
quedó claro como definición intuitiva, que al superponer dos o más figuras
geométricas que coinciden en todos sus puntos éstas son congruentes, de lo
contrario no lo serán.
Inmediatamente, se dió inicio a los ejemplos que conllevarían a la
formulación de los criterios de congruencia. Respecto al primer criterio que
se formuló: lado, lado, lado (LLL), se les hizo entrega a los alumnos de 3
varitas de diferente tamaño, con las cuales formaron triángulos en dos
oportunidades y marcaron sobre una hoja blanca el triángulo formado en
cada oportunidad para luego recortarlos y superponerlos. Los alumnos se
dieron cuenta que coincidían en todos sus puntos y dijeron, que se debía a
que habían dibujado los triángulos con las mismas varitas, de manera que
los lados de un triángulo resultaron ser congruentes a los lados del otro
triángulo. Se orientó a los alumnos para que escribieran el criterio LLL.
Para el criterio lado, ángulo, lado (LAL) se les dió los ejemplos
planteados en la propuesta y las preguntas que se plantearon fueron
contestadas correctamente. Durante esta actividad, los alumnos tenían la
tendencia a referirse, en primer lugar, al criterio LLL ya estudiado. Se les
134
orientó debidamente para que observaran que las condiciones del criterio
LAL también garantizan congruencia de triángulos.
Para el criterio ángulo, lado, ángulo (ALA) se les mostró los triángulos
presentes en la propuesta. Ellos los dibujaron, tomaron las medidas
correspondientes y concluyeron que dos de los tres triángulos eran
congruentes. Casi de inmediato, concluyeron con el criterio ALA.
La clase de congruencia de triángulos fué muy participativa y la
mayoría de los alumnos respondían correctamente las preguntas que se les
hacía, es decir, respondían lo que se esperaba; sin embargo, se les hizo un
poco difícil formular éstos tres criterios para congruencia de triángulos.
Con frecuencia, los alumnos sugirieron un criterio que llamaron
“ángulo, ángulo, ángulo” para la congruencia de triángulos. Ya para culminar
la clase se dibujó en el pizarrón dos triángulos, uno mas pequeño que el otro
pero con ángulos congruentes y se les dejó como actividad que identificaran
las diferencias de ambos triángulos y las propiedades que tenían en común
los triángulos. (Ver propuesta)
Esta actividad se dejó planteada con la finalidad de abrir una discusión
participativa en la próxima clase para integrar la concepción de “semejanza”.
Registro nº 6 Clase nº 6 Fecha: 20/ 04/ 06 Hora: 12:00am-1:20pm Actividad de la propuesta ejecutada: Semejanza de triángulos.
La clase se inicia dando un saludo y pasando la asistencia de clases.
Se pidió a los alumnos que se reunieran en grupo y se les hizo entrega de
hojas donde tenían dibujadas dos figuras semejantes.
La clase inició a partir de los dos triángulos semejantes que se habían
dejado en la clase anterior y se les hizo las siguientes preguntas:
135
a) ¿Qué tienen en común los triángulos?
b) ¿Qué diferencias tienen?
Lo que lograron responder los alumnos respecto a la pregunta a) es que
los triángulos tenían ángulos congruentes y respecto a b) dijeron que uno
era más pequeño que el otro, lo cual era correcto.
Inmediatamente, se les mostró dibujos y figuras geométricas semejantes y
se les preguntaba:
c) ¿Qué diferencias tienen los dibujos o figuras geométricas?
d) ¿Qué tienen en común?
Las respuestas dadas por los alumnos fueron correctas, lo cual fué de
ayuda para que los alumnos entendieran rápidamente la definición intuitiva
de semejanza de triángulos.
Cuando se planteó la pregunta: “¿dos triángulos congruentes son
semejantes?” Aproximadamente la mitad respondió que sí, la otra mitad
respondió que no. A los alumnos que respondían que sí, se les preguntaba:
“¿Por qué?” Y a partir de esto se les aclaraba a los demás el por qué dos
triángulos congruentes son semejantes.
Se les pidió a los alumnos que dedujeran el primer criterio de
semejanza. Esto se les hizo un poco difícil, pero guiándolos, lograron
concluirlo.
Cuando se trabajó con la hoja cuadriculada que tenía dos figuras
semejantes, los alumnos lograron deducir la proporción que había, además
dijeron que las figuras eran semejantes, lo que era totalmente correcto.
Al trabajar a partir del teorema de Thales para concluir con otro criterio para
semejanza de triángulos, desde un principio los alumnos entendían, pues se
utilizaba la proporcionalidad, noción que ya había sido trabajada.
En un principio, los alumnos entendían el ejemplo que conduciría a
formular el criterio de semejanza de triángulos donde se usa la
136
proporcionalidad. Cuando se les propuso formular este criterio tuvieron un
poco de dificultad.
Registro nº 7 Clase nº 7 Fecha: 27/ 04/ 06 Hora: 12:00am-1:20pm Actividad de la propuesta ejecutada:
o Cálculo de la altura de una pirámide de Egipto realizado por Thales de Mileto según la leyenda
o Cálculo del perímetro de la circunferencia de la Tierra realizado por Eratóstenes de Cyrene.
La clase se inicia dando el respectivo saludo y pasando la asistencia de
clases. Inmediatamente, se presentó la historia sobre Thales y la importancia
que tenía su obra para su época. Se dibujó en el pizarrón una pirámide y una
vara para explicar lo que aproximadamente hizo Thales en su trabajo de
calcular la altura de una pirámide. Las preguntas planteadas a los alumnos,
la mayoría fueron respondidas correctamente.
A continuación, se relató la historia de Eratótenes. De inmediato se
graficó aproximadamente lo que Eratótenes realizó para determinar el
perímetro de la circunferencia de la Tierra, y se explicó lo que él realizó para
obtener esta información. Registro nº 8 Clase nº 8 Fecha: 28/ 04/ 06 Hora: 2:00pm-3:20pm Actividad de la propuesta ejecutada:
o Cálculo de la distancia de la tierra a la luna realizado por Hiparco de Nicea.
Se inicio la clase dando el saludo y pasando la lista de asistencia. Al
comienzo de esta clase se tuvo que realizar un repaso de las clases
137
anteriores referentes a los trabajos de Thales de Mileto y Eratóstenes de
Cirene. Sin duda a los alumnos se les complicó esta reseña puesto que
gráficamente se les dificultaba observar un ángulo recto inscrito
imaginariamente en el ecuador de la Tierra.
Al traspasar la figura del triángulo CLQ, donde un ángulo α del
triángulo, es un arco y dicho arco está contenido en el ecuador de la Tierra,
así como se observa en la propuesta, a un triángulo rectángulo, los alumnos
pudieron comprender las relaciones de proporción y semejanza de triángulos
que utilizó Hiparco para determinar la distancia entre la Tierra y la Luna.
En el desarrollo de la exposición, los alumnos se manifestaron
sorprendidos del cálculo de Hiparco, pues para ellos era difícil comprender
que únicamente se basó en la observación para determinar una distancia de
esta magnitud.
Al finalizar la exposición los alumnos realizaron un pequeño informe
manuscrito, donde plasmaban sus impresiones y de alguna forma lo que
ellos lograron comprender de la exposición.
Registro nº 9 Clase nº 9 Fecha: 02/ 05/ 06 Hora: 12:40am-2:00pm Actividad de la propuesta ejecutada: Historia de la razón del seno. La clase se inicia saludando a los estudiantes y pasando la lista. De
inmediato, se comenzó a exponer la Historia de la razón del seno y a graficar
una circunferencia con los elementos necesarios para dar las explicaciones
necesarias y obtener la primera razón trigonométrica: la razón seno.
Continuamente se siguieron realizando gráficas para ir explicando el
origen de las otras razones trigonométricas. Se logró dar a conocer las
razones seno, coseno y tangente.
138
Registro nº 10 Clase nº 10 Fecha: 11/ 05/ 06 Hora: 12:00am-1:20pm Actividad de la propuesta ejecutada: razones trigonométricas: cosecante, secante y cotangente (Inversos multiplicativos de las razones seno, coseno y tangente. La clase se inició dando un saludo a los alumnos y pasando la lista de
asistencias, a diferencia de las clases anteriores, esta se tornaría un poco
más formal, debido a la construcción de los inversos multiplicativos a través
de las razones trigonométricas ya planteadas y discutidas en el desarrollo de
la propuesta. Antes de entrar en el punto central de esta clase, se les pidió a
los alumnos realizar un repaso de las dos clases anteriores.
Se dibujó en la pizarra el círculo trigonométrico de radio 1 planteado
por el matemático árabe al-Battani, allí comenzamos a definir
geométricamente la secante de un ángulo arbitrario, a partir del coseno del
mismo ángulo. Para los alumnos no fue de gran dificultad la comprensión de
dicha definición, pues, la definición se construye con la relación de
proporción de los catetos del triángulo rectángulo inscrito en el círculo de
radio 1. De la misma manera se definió la cosecante de un ángulo arbitrario
como la secante del ángulo complementario del ángulo anterior, noción que
para el estudiante es de fácil manipulación, gracias al desarrollo de las
clases anteriores. La cotangente de un ángulo arbitrario, se definió a partir
del ángulo complementario de la tangente en un triángulo rectángulo
cualquiera.
Para poder construir en clase la definición geométrica de las razones
secante, cosecante y cotangente, fue necesaria la utilización de algunas
nociones algebraicas, las cuales no se habían utilizado en gran magnitud en
clases anteriores. A raíz de estas nociones, la participación en la clase se
incrementó, así como también la cantidad de dudas que los alumnos
reflejaron.
139
Registro nº 11 Clase nº 11 Fecha: 16/ 05/ 06 Hora: 12:40am-2:00pm Actividad de la propuesta ejecutada: Hallar los valores del seno, coseno y tangente para los ángulos de 30º, 45º y 60º.
La clase se inicio dando un saludo a los alumnos y pasando la lista de
asistencias. En la clase anterior se les dejó una actividad a los alumnos, la
cual fue discutida y evaluada por ellos mismos en grupo.
Se planteó construir un triángulo equilátero y en él, asignar la medida
de cada uno de sus ángulos es grados sexagesimales; luego se pidió que
determinaran la mediana de dicho triángulo en la base del mismo, y se aplicó
el Teorema de Pitágoras a los lados de uno de los triángulos resultantes a
partir de la mediana del triángulo inicial. Aplicando algunas propiedades
algebraicas pudieron construir el seno para los ángulos de 30º y 60º, así
como el seno de cada ángulo complementario respectivamente (coseno de
30º y 60º). El procedimiento fue similar para determinar el seno y el seno de
un ángulo complementario de 45º, pero en este caso aplicado en un
triángulo rectángulo isósceles.
Dió la impresión de que los alumnos de este grupo experimental no
fue mayor complicación comprender el desarrollo geométrico realizado en
esta última clase; se les dejó como ejercicio la realización de una tabla de
razones trigonométricas conocidas para los ángulos de 30º, 45º y 60º, a
partir de lo desarrollado en esta clase. Al finalizar se les agradeció por su
participación e incondicional colaboración en el desarrollo de la propuesta.
Registro nº 12 Clase nº 12 Fecha: 19/ 05/ 06 y 25/05/ 06 Hora: 1:20pm-2:00pm Actividad de la propuesta ejecutada: Aplicación del postets (Test 2) Aplicación del Test 2 titulado “Test para determinar el nivel de
conocimientos alcanzado por los alumnos de primer año de ciencias del ciclo
140
diversificado sobre nociones básicas de trigonometría” al grupo experimental
y control, del primer año de ciencias del ciclo diversificado, secciones “B” y
“A” respectivamente de la U.E. “Estado Portuguesa”.
141
4.7 Test 2. “Test para determinar el conocimiento alcanzado por los alumnos del primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre
nociones básicas de trigonometría”
Con la aplicación de este instrumento se espera determinar el efecto
producido en el grupo experimental por la aplicación de la propuesta
pedagógica para la introducción de la Trigonometría, al establecer
comparaciones con el grupo control, al cual no se le aplicó la propuesta.
Este instrumento está compuesto por 20 ítems. Por otro lado, en este
instrumento se evalúa el conocimiento acerca de las razones
trigonométricas:
-Seno -Cotangente
-Coseno -Secante
-Tangente -Cosecante
En la tabla 1 que a continuación se muestra se puede observar cómo
los ítems del Test 2 están distribuidos según los conocimientos a ser
evaluados sobre nociones básicas de trigonometría.
Tabla 1. Distribución de los ítems del Test 2 según los conocimientos a ser evaluados sobre nociones básicas de trigonometría
Variable DIMENSIONES INDICADORES ITEMS
NIVEL DE CONOCIMIENTOS
SOBRE NOCIONES
BÁSICAS DE TRIGONOMETRÍA
Conceptual y
procedimental
Seno 1,2,3,5,7,15,16,17,
18,19,20
Conceptual y
procedimental
Coseno 1,2,3,4,6,7,15,17,
18,19
Conceptual y
procedimental
Tangente 2,7,10,11,17,18,
19
Conceptual y
procedimental
Cotangente 2,9,17,18,19
Conceptual y Secante 2,8,17,18,19
142
procedimental
Conceptual y
procedimental
Cosecante 2,12,17,18,19
Conceptual y
procedimental
Círculo
trigonométrico
10,13,14,15,18,
19
4.8 Validez del Test 2
Al instrumento “test para determinar el nivel de conocimientos alcanzado
por los alumnos de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre
nociones básicas de trigonometría”, se le aplicó el algoritmo del apartado
3.6.2.1 y se obtuvieron los siguientes resultados (Ver anexos):
Probabilidad del error: j
Pe ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
=1j ⎠⎝
3
31
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Pe = 0,037
Pe = 0,037
Promedio de los CPR de cada ítem, cada uno corregido por
concordancia aleatoria:
N
CPRicCPRt ∑= = 15, 39 / 20= 0,769
Coeficiente de Proporción de Rango Total Corregido (CPRtc) por
concordancia aleatoria
CPRtc = CPRt - pe = 0,769 – 0.037 = 0,732
Interpretación del CPR
Como CPRt = 0,769 y CPRtc = 0,732 se concluye que la validez y la
concordancia son satisfactorias.
143
4.9 Confiabilidad del Test 2
Una vez determinada la validez de contenido de los Test y
encontrando que cumple con este requisito, falta entonces determinar si
éstos cumplen con la fiabilidad. La fiabilidad del instrumento se determinó
utilizando el método estadístico, Coeficiente Alpha de Cronbach,
obteniéndose como resultado (ver anexo):
Alpha de Cronbach = 0,7233
Interpretación del Coeficiente Alpha de Cronbach:
Como el coeficiente Alpha de Cronbach es 0,7233 se concluye que el
nivel de consistencia interna del instrumento es satisfactorio.
4.10 Proceso de conversión de puntaje del Test 2
Como las puntuaciones que pueden obtener los alumnos en cada uno
de los instrumentos son superiores a la escala normalmente utilizada: la
escala en base a 20 puntos, es preciso ejecutar un proceso de conversión
de puntajes para que estos se encuentren dentro de esa escala. En la Tabla
2 se puede observar cada una de las conversiones utilizadas en el Test.
144
Tabla 2. Conversión para los puntajes obtenidos en el Test 2
PUNTAJE OBTENIDO PUNTAJE EQUIVALENTE
00-01 01
02-03 02
04-05 03
06-07 04
08-09 05
10-11 06
12-13 07
14-15 08
16 09
17 10
18 11
19-20 12
21-22 13
23-24 14
25-26 15
27-28 16
29-30 17
31-32 18
33 19
34 20
145
CAPITULO V
ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DEL TEST 2
En este capítulo se enfoca la descripción y análisis de los resultados
que relacionan los conocimientos alcanzados por los alumnos del primer año
de ciencias del ciclo diversificado sobre nociones básicas de trigonometría,
contando con la aplicación de un diseño de preprueba – tratamiento –
postprueba a uno de los grupos seleccionados, denominado “grupo
experimental”, mientras, para el grupo de control el diseño es preprueba –
postprueba. La información recabada será tratada bajo los enfoques de la
estadística descriptiva e inferencial que permitan verificar la factibilidad de la
propuesta didáctica de introducción de la trigonometría. Se espera que la
misma permita a los alumnos adquirir conocimientos necesarios para el
estudio de las razones trigonométricas, así como un manejo adecuado del
círculo trigonométrico y sus propiedades, en consonancia con los objetivos
propuestos, la hipótesis de investigación e hipótesis estadística.
5.1 Análisis descriptivo
Iniciaremos el análisis de los datos aportados por el test 2 aplicado a
estos dos grupos de estudiantes, bajo una visión descriptiva de la
información utilizando para ello el paquete estadístico SPSS en su versión
7.5, dicho análisis se fundamenta en una comparación por ítems de manera
gráfica y tabular, entre los resultados del grupo experimental y el grupo
control, para verificar los conocimientos básicos necesarios para el estudio
de la trigonometría, y la factibilidad de la propuesta didáctica aplicada
“Propuesta pedagógica para la introducción de la trigonometría en un curso del primer año de ciencias del ciclo diversificado”
146
5.1.1 Tablas y gráficos descriptivos
Opción dOpción cOpción b
Por
cent
aje
100
80
60
40
20
0
Gráfico 1: Ítem 1 Grupo Experimental.
Opción dOpción cOpción bOpción a
Por
cent
aje
40
30
20
10
0
Gráfico 2: Ítem 1 Grupo Control.
Iniciamos con un razonamiento que implica el uso del círculo
trigonométrico para que por medio de unos datos y una representación
gráfica establezcan las relaciones trigonométricas que permitan ubicar el
147
valor de un ángulo específico. En el gráfico 1 se observa que el 98% de los
estudiantes del grupo experimental inclinan sus respuestas hacia la opción
d, la cual es correcta según la proposición que se estaba analizando. Lo que
no se hace evidente en el grupo control pues sus razonamientos varían de
una opción a otra y es solo un 18% el que enfoca la respuesta correcta, con
lo cual podemos afirmar que este grupo carece de dominio del círculo
trigonométrico para establecer relaciones y ubicación de ángulos, concepto
básico para el desarrollo del tema.
4 10,89 24,3
17 45,97 18,9
37 100,0
Opción aOpción bOpción cOpción dTotal
FrecuenciaPorcentaje
válido
González y Velásquez, 2006
Tabla 1: Ítem 2 Grupo Experimental.
8 22,96 17,1
21 60,035 100,0
Opción aOpción bOpción cTotal
FrecuenciaPorcentaje
válido
González y Velásquez, 2006
Tabla 2: Ítem 2 Grupo Control.
Sobre la base de un triángulo rectángulo que aporta una serie de
datos, es importante considerar como los estudiantes manipulan esta
información y obtienen valores incógnitos o desconocidos sobre los
elementos que en dicha figura se encuentran, pues al plantear en este ítem
2 la determinación del valor de uno de los lados del triángulo, es
indispensable un razonamiento matemático, conduciendo a la respuesta que
de manera apropiada acertaron 17 estudiantes del grupo experimental de los
37 participantes, número este que no es representativo y significativo para
148
afirmar una comprensión o dominio de este tema en particular; que a
diferencia el grupo control canalizó adecuadamente con un total de 21
estudiantes, mas que la mitad de los participantes.
Opción dOpción cOpción b
Frec
uenc
ia
10
0
30
20 21
12
4
Gráfico 3: Ítem 3. Grupo Experimental.
Opción dOpción cOpción b
Frec
uenc
ia
30
20
10
0
10
20
6
Gráfico 4: Ítem 3. Grupo Control.
149
El Ítem 3 recopila una serie de procedimientos que tras la
manipulación matemática permite determinar cuales son correctos e
incorrectos al momento de ubicar el valor de un lado de un triángulo
rectángulo que aporta unos datos que se manipulan para verificar la
factibilidad de los procedimientos expuestos. Se observa en el gráfico 3 que
solo 21 estudiantes del grupo experimental responde correctamente este
ítem, mientras que el grupo control se evidencia un mínimo grupo con la
opción correcta, puesto que la mayoría enfocó de manera errada la
respuesta a este ítem 3.
7 18,44 10,5
23 60,54 10,5
38 100,0
Opción aOpción bOpción cOpción dTotal
PorcentajeválidoFrecuencia
González y Velásquez, 2006
Tabla 3: ítem 4. Grupo Experimental.
7 18,96 16,2
24 64,937 100,0
Opción aOpción bOpción cTotal
FrecuenciaPorcentaje
válido
González y Velásquez, 2006
Tabla 4: Ítem 4. Grupo Control.
Ambos grupos en estudio, coinciden en su mayoría de manera
correcta en la determinación del cateto adyacente con referencia a un
ángulo, sin embargo es elevado el grupo de estudiantes que en conjunto no
dominan este contenido básico para el estudio trigonométrico,
dispersándose las respuestas en proposiciones erradas al solventar el
planteamiento inicial.
150
Grupos opción a opción b opción c opción d Total
Experimental 1 3 2 31 37
Control 2 4 11 21 38
Total 3 7 13 52 75 González y Velásquez, 2006
Tabla 5: Ítem 5. Grupo Control y Experimental.
Con referencia a los resultados que se evidencian en la tabla 5,
determinamos que 31 estudiantes del grupo experimental y 21 del grupo
control establecen correctamente la conversión del seno de un ángulo a
grados sexagesimales de manera apropiada, dominando una operación
lógica y esencial para el tema que se está abordando.
Opción dOpción cOpción bOpción a
Por
cent
aje
60
40
20
0
80
18
13
58
11
16
11
70
GRUPO
Grupo experimental
Grupo control
Gráfico 5: Ítem 6. Grupo Experimental y Grupo Control.
Mediante esta comparación gráfica se observa una distribución
relativamente proporcional para ambos grupos en estudio, concentrados en
la opción b mayoritariamente, como respuesta correcta que los estudiantes
infieren al planteárseles en una razón trigonométrica la conversión a grados
sexagesimales de un valor. Concretamente, en dicho planteamiento se
151
expone que: si cos α = ½ , entonces, en grados sexagesimales, un valor del
ángulo α = 60º opción correcta y enfocada por estos estudiantes.
Grupo opción a opción b opción c opción d Total
Experimental 21,6% 2,5% 56,8% 16,2% 100%
Control 42,1% 26,3% 15,8% 15,8% 100% González y Velásquez, 2006
Tabla 6: Ítem 7. Grupo Control y Experimental
Con una propuesta inicial que induce a los estudiantes a un análisis
de las razones trigonométricas para determinar dentro de cuatro
proposiciones cual es la incorrecta o inadecuada, se introduce este ítem 7
para el cual las respuestas de los estudiantes ubicados en el grupo
experimental se enfocan en la opción correcta, 56,8% (opción c, tabla 10),
sin embargo existe un número considerable de estudiantes de éste grupo
que están ausentes de una claridad en cuanto a estas razones
trigonométricas.
Por otra parte, el grupo de estudiantes pertenecientes al grupo control
evidenciaron una carencia en el dominio de esta temática, pues la mayoría
opto de que la razón trigonométrica presentada en la opción (a) es una
representación incorrecta de estas funciones, aseveración que no es la
apropiada. Solo un 15,8% coinciden en que la opción (c) es la correcta.
3 8,126 70,37 18,91 2,7
37 100,0
Opción aOpción bOpción cOpción dTotal
FrecuenciaPorcentaje
válido
González y Velásquez, 2006 Tabla 7: Ítem 8. Grupo Experimental.
152
13 36,110 27,811 30,62 5,6
36 100,0
Opción aOpción bOpción cOpción dTotal
FrecuenciaPorcentaje
válido
González y Velásquez, 2006
Tabla 8: Ítem 8. Grupo Control.
Partiendo del conocimiento de la función del seno y coseno de un
mismo ángulo, se pidió a los estudiantes que de cuatro opciones propuestas,
determinar cual es la adecuada para calcular la secante del mismo ángulo;
donde la opción correcta es la (b), la cual establece que sec α = αcos
1 .
Ahora dentro de los dos grupos analizados encontramos que un 70,3%
coincide con esta opción, dentro del grupo experimental, pero existe un
grupo que no se ha apropiado de estos conocimientos. Por otra parte, de los
estudiantes del grupo control tenemos que solo un 27,8% de los estudiantes
enfocaron la opción correcta.
8,1%
29,7%
21,6%
40,5%
Opción d
Opción c
Opción b
Opción a
Gráfico 6: Ítem 9. Grupo Experimental.
153
31,6%
18,4%
39,5%
10,5%
Opción d
Opción c
Opción b
Opción a
Gráfico 7: Ítem 9. Grupo Control.
De manera gráfica observamos que en el mismo tema relacionado
con las razones trigonométricas, el 29,7% para el grupo experimental y para
el grupo control el 18,4%; concentran sus respuestas en la opción correcta,
donde la proposición planteada hace referencia a una razón inadecuada
para él calculo de la cotangente. Es de hace notar que para ambos grupos
es elevado el porcentaje de estudiantes que se concentra en respuestas
incorrectas, pero en funciones adecuadas, lo que puede derivar de una
lectura inadecuada de la proposición.
2 5,433 89,2
2 5,437 100,0
Opción aOpción cOpción dTotal
FrecuenciaPorcentaje
válido
González y Velásquez, 2006
Tabla 9: Ítem 10. Grupo Experimental.
154
4 10,514 36,810 26,310 26,338 100,0
Opción aOpción bOpción cOpción dTotal
FrecuenciaPorcentaje
válido
González y Velásquez, 2006
Tabla 10: Ítem 10. Grupo Control.
Con base en el círculo trigonométrico presente en la figura 4 del
postest, se pide identificar el segmento que representa la tangente de un
ángulo indicado, la opción correcta para este ítem es la c y con dicha opción
tenemos al 89,2%, grupo significativo para los estudiantes experimentales;
mientras que es solo el 26,3% en el grupo control los que acertaron en su
identificación, donde al igual que en casos anteriores es elevado el
porcentaje de alumnos que carecen del dominio de dichas razones y por
ende de manipulación del círculo trigonométrico.
Opción dOpción cOpción b
Por
cent
aje
70
60
50
40
30
20
10
0
Gráfico 8: Ítem 11. Grupo Experimental.
155
Opción dOpción bOpción a
Por
cent
aje
60
50
40
30
20
10
0
Gráfico 9: Ítem 11. Grupo Control.
Para este ítem existen evidencias significativas que nos permiten
determinar que para ambos grupos existe una inclinación errada hacia la
afirmación de un procedimiento para la obtención de una tangente a partir
del conocimiento del seno y coseno para un mismo ángulo; pues la opción
correcta es la d y los estudiantes de ambos grupos concentran sus
respuestas en la opción b.
Grupo opción a opción b opción c opción d Total
Control 9,1% 45,5% 18,2% 27,3% 100% Experimental 24,3% 75,7% 100%
González y Velásquez, 2006 Tabla 11: Ítem 12. Grupo Experimental y Control. En el ítem 12, se pide al estudiante hallar el valor de la cosecante de
un ángulo, previamente dado el valor del seno de un ángulo. Se observa en
la tabla 11, que el 27,3% de los estudiantes pertenecientes al grupo control
responden la opción d la cual es correcta. Por otra parte, es evidente que
ningún estudiante del grupo experimental respondió correctamente este
ítem, enfocándose este grupo en las opciones a y c.
156
Opción cOpción a
Por
cent
aje
80
60
40
20
0
76
24
Gráfico 10: Ítem 13. Grupo Experimental.
Opción dOpción cOpción bOpción a
Por
cent
aje
60
50
40
30
20
10
0 3
57
5
35
Gráfico 11: Ítem 13. Grupo Control. Es evidente, sin duda alguna, que tanto el grupo control como
experimental en su mayoría analizó adecuadamente el círculo trigonométrico
para determinar el valor de un ángulo, conociendo el segmento de una recta,
puesto que ambos grupos se enfocaban en la opción c como correcta, que
es la planteada para éste ítem.
157
1 2,730 81,12 5,44 10,8
37 100,0
Opción aOpción bOpción cOpción dTotal
FrecuenciaPorcentaje
válido
González y Velásquez, 2006
Tabla 12: Ítem 14. Grupo Experimental.
12 34,311 31,43 8,69 25,7
35 100,0
Opción aOpción bOpción cOpción dTotal
FrecuenciaPorcentaje
válido
González y Velásquez, 2006 Tabla 13: Ítem 14. Grupo control.
En el ítem 14 se solicita al estudiante que obtenga el ángulo
complementario de otro ángulo, utilizando como referencia el círculo
trigonométrico del ítem 13. La tabla 12 muestra que el 81,1% de los
estudiantes del grupo experimental responden correctamente la opción b,
mientras que solo el 31,4% de los estudiantes del grupo control canalizaron
y acertaron en la información.
158
Opción dOpción cOpción bOpción a
Frec
uenc
ia
30
20
10
0
GRUPOS
Grupo experimental
Grupo control
8
11
89
2
21
12
2
Gráfico 12: Ítem 15. Grupo Experimental y Control.
Grupo opción a opción b opción c opción d Total Experimental 5,4% 32,4% 56,8% 5,4% 100% Control 24,3% 21,6% 32,4% 21,6% 100%
González y Velásquez, 2006 Tabla 14: Ítem 15. Grupo Experimental y Control. De manera gráfica y tabular observamos como se encuentran
distribuidas las respuestas que al respecto de la identificación del valor del
coseno de un ángulo se estableció a partir de una representación previa.
Las respuestas aportadas por los estudiantes para este ítem señalan que en
ambos grupos la mayoría de estudiantes considera la opción correcta, pero
de igual manera, es bastante significativo el grupo que carece de esta
información.
159
Opción dOpción cOpción bOpción a
Por
cent
aje
50
40
30
20
10
0
46
35
811
Gráfico 13: Ítem 16. Grupo Experimental.
Opción dOpción cOpción bOpción a
Por
cent
aje
50
40
30
20
10
0
8
35
11
46
Gráfico 14: Ítem 16. Grupo Control. Para este ítem se hace evidente el dominio conceptual por parte de
los estudiantes del grupo experimental, mientras que el grupo control carece
de éste dominio conceptual relacionado a la semejanza de triángulos. En
este ítem se pide determinar el valor del seno de un ángulo haciendo
inferencia a dicha semejanza. Los estudiantes del grupo experimental en un
160
46% sobre un 8% del grupo control, aciertan en la alternativa adecuada al
planteamiento, pero es de hacer notar que más de la mitad de estudiantes
para ambos grupos no canalizan correctamente la información.
Grupo opción a opción b opción c opción d Total
Experimental 2 29 4 2 37 Control 13 6 5 12 36
Total 15 35 9 14 73 González y Velásquez, 2006 Tabla 15: Ítem 17. Grupo Experimental y Control. Es de hacer notar que con relación a una problemática real que
implica el uso de las razones trigonométricas, partiendo de una necesidad y
medidas referenciales, un total de 29 estudiantes del grupo experimental,
valor significativo, realizan una deducción adecuada del planteamiento y
manipulan las razones trigonométricas para obtener que la opción b es la
solución al problema; mientras en el grupo control, por no gozar de estas
experiencias de aplicación matemática, es solo un total de 6 estudiantes los
que acertaron la solución correcta.
19 50,02 5,36 15,8
11 28,938 100,0
Opción aOpción bOpción cOpción dTotal
FrecuenciaPorcentaje
válido
González y Velásquez, 2006
Tabla 16: Ítem 18. Grupo Experimental.
10 27,05 13,57 18,9
15 40,537 100,0
Opción aOpción bOpción cOpción dTotal
FrecuenciaPorcentaje
válido
González y Velásquez, 2006
Tabla 17: Ítem 18. Grupo Control.
161
Este ítem retoma la situación problemática real del ítem 17, y plantea
una nueva necesidad de medir distancias con un punto referente,
consideraciones éstas que implican la utilización de razonamientos de tipo
trigonométrico para solventar la necesidad. En la tabla 16 se muestra que un
total de 19 estudiantes del grupo experimental mantuvo la claridad de la
situación enfocando así la medida correcta, mientras que el grupo control de
la tabla 17, sólo 10 estudiantes confirmaron la utilización adecuada de estos
razonamientos.
Opción dOpción cOpción bOpción a
Por
cent
aje
40
30
20
10
0
70
60
50
27
85
59
Gráfico 15: Ítem 19. Grupo Experimental.
162
Opción dOpción cOpción bOpción a
Por
cent
aje
40
30
20
10
0
19
25
31
25
Gráfico 16: Ítem 19. Grupo Control. En el mismo orden de ideas de la situación hipotética planteada se
considera que por medio de congruencias de ángulos y puntos medios de
segmentos, los estudiantes identifiquen medidas para ciertos elementos. Se
puede observar que el 59% de los participantes del grupo experimental
coinciden con la respuesta correcta planteada en este ítem, mientras que del
grupo control la variación de distribución en las distintas opciones certifican
claridad solo en un 31% de los estudiantes.
Opción dOpción cOpción bOpción aOmitido
Por
cent
aje
60
50
40
30
20
10
0
GRUPOS
Grupo experimental
Grupo control
Gráfico 17: Ítem 20. Grupo Experimental y Control.
163
En este ítem, mediante la figura de un triángulo que nos aporta datos
referentes a sus elementos constitutivos se solicita determinar la altura de
dicho triángulo. El gráfico 17 nos muestra que el 54,1% de los estudiantes
del grupo experimental llegan a la conclusión de que la respuesta correcta
es la opción d, lo cual es cierto. Por otra parte, en el grupo control
encontramos que solo el 24,3% de los estudiantes ratifican esta opción.
37 97,4 97,41 2,6 100,0
38 100,0
DeficienteDistinguidoTotal
Porcentajeválido
PorcentajeacumuladoFrecuencia
González y Velásquez, 2006
Tabla 18: Categorización de las calificaciones obtenidas en el postest para el grupo control
9 24,3 24,317 45,9 70,39 24,3 94,62 5,4 100,0
37 100,0
DeficienteRegularDistinguidoExcelenteTotal
FrecuenciaPorcentaje
válidoPorcentajeacumulado
González y Velásquez, 2006
Tabla 19: Categorización de las calificaciones obtenidas en el postest para el grupo experimental
Al realizar una comparación de manera categórica de las calificaciones
tenemos que, mediante la información aportada por las tablas 18 y 19, la
mayoría de los estudiantes del grupo control se encuentran en un nivel
deficiente de conocimientos en la temática propuesta para este postest; a
diferencia del grupo experimental donde la mayoría se encuentra por lo
mínimo en un nivel regular, es decir sus calificaciones superaron los 10 pts,
haciendo la acotación de que 9 estudiantes están en un nivel deficiente.
164
12,43 13,00 12 3,57 6 19
5,92 6,00 6 2,33 2 15
Calificacionesobtenidas en elpostest en base a 20pts para el grupoexperimentalCalificacionesobtenidas en elpostest en base a 20pts para el grupocontrol
Media Mediana Moda Desv. típ. Mínimo Máximo
González y Velásquez, 2006 Tabla 20: Calificaciones obtenidas por los estudiantes del grupo control y experimental en el postest
Las calificaciones obtenidas por los estudiantes del grupo experimental son
en promedio superiores a las obtenidas por el grupo control, pues es de 12
pts en contraposición de 6 pts, respectivamente. Las calificaciones para el
grupo experimental oscilan entre los 6 y 19 pts, mientras que los del grupo
control experimenta un recorrido entre los 2 y 15 puntos, con una desviación
promedio de 2 puntos, en cambio para el grupo experimental es de 4 puntos
la desviación.
165
12,43 3,57 -,321 6 19
6,73 2,45 ,392 3 12
5,92 2,33 1,468 2 15
6,79 2,18 ,400 3 11
Calificaciones obtenidas enel postest en base a 20 ptspara el grupo experimentalCalificacciones obtebidas enel pretests en base a 20 ptspara el grupo experimentalCalificaciones obtenidas enel postest en base a 20 ptspara el grupo controlCalificacciones obtebidas enel pretests en base a 20 ptspara el grupo control
Media Desv. típ. Asimetría Mínimo Máximo
González y Velásquez, 2006
Tabla 21 Comparaciones grupales entre pretest y postest
La participación de estos estudiantes ha evidenciado que para el grupo
experimental hay una elevación considerable del promedio de las
calificaciones, pues pasa de 7 puntos hasta 12, al igual que el recorrido
aumenta en sus dos extremos, inferior y superior; mientras que en nuestro
grupo control es evidente un aumento mínimo bajo el cual se observa que la
propuesta ha sido significativa, además este grupo demuestra un recorrido
no muy diferente al obtenido en el pretest
5.2 Análisis inferencial Hipótesis de investigación: H0: La propuesta pedagógica para la introducción de la trigonometría, no
propicia que el alumno adquiera o refuerze los conocimientos, destrezas y
actitudes asociadas a la Geometría plana elemental que le son
indispensables para lograr un aprendizaje significativo de los contenidos de
la trigonometría.
166
H1: La propuesta pedagógica para la introducción de la trigonometría,
permite que el alumno adquiera o refuerze los conocimientos, destrezas y
actitudes asociadas a la Geometría plana elemental que le son
indispensables para lograr un aprendizaje significativo de los contenidos de
la trigonometría.
Para verificar la factibilidad de esta propuesta y verificación de la
hipótesis de investigación propuesta haremos uso de la estadística
inferencial.
En primer lugar verificaremos mediante una prueba estadística de
comparación de medias para muestras independientes con un test de
student empleando como categorización el grupo de estudio al cual
pertenecen, donde se plantea la siguiente hipótesis estadística:
H0: Las calificaciones promedios de los estudiantes del grupo experimental
son iguales que las obtenidas por el grupo control en el postest
H1: Las calificaciones promedios de los estudiantes del grupo experimental
son superiores a las obtenidas por el grupo control en el postest
H0: μB = μA A: Grupo control H1: μB > μA B: Grupo experimental
El desarrollo de esta prueba cuenta con un nivel de significación de
5%, con el cual establecemos la siguiente regla de decisión:
Si sig es menor o igual que 0,05 se acepta la hipótesis nula ( H0 )
Si sig es mayor que 0,05 se rechaza la hipótesis nula ( H0 ) y en
consecuencia aceptamos la hipótesis alternativa ( H1 )
167
Ahora aplicamos el estadístico de prueba, mediante un test de student
para muestras independientes.
37 12,43 3,57 ,59
38 5,92 2,36 ,39
GRUPOSGrupoexperimentalGrupocontrol
Calificaciones obtenidas en elpostest en base a 20 pts paraambos grupos en estudio
N MediaDesviación
típ.
Error típ.de lamedia
Estadísticos del grupo
Tabla 22
, , -,709 36 ,483 -2,57 3,62 -9,91 4,77
, , , -2,57 , , ,
Se hanasumidovarianzasigualesNo sehanasumidovarianzasiguales
Calificacionesobtenidas enel postest enbase a 20 ptspara ambosgrupos enestudio
F Sig.
Prueba de Levenepara la igualdad de
varianzas
t glSig.
(bilateral)
Diferenciade
medias
Error típde la
diferencia Inferior Superior
Intervalo de confianzapara la media
Prueba T para la igualdad de medias
Prueba de muestras independientes
Tabla 23 Asumiendo varianzas iguales con un nivel de significación de 0 pts ;
observamos que con un intervalo de confianza de 5% se obtiene un nivel de
significación bilateral de 0,483 pts. A través de la regla de decisión se acota
que existen evidencias estadísticamente significativas para rechazar la
hipótesis nula, asumiendo que el promedio obtenido por los estudiantes del
grupo experimental es superior que el obtenido por el grupo control.
Al asumir que el promedio obtenido por los estudiantes del grupo
experimental es superior que el obtenido por el grupo control, se concluye
que la propuesta pedagógica si generó un aprendizaje significativo en el
grupo de estudiantes que participaron en el tratamiento didáctico, lo cual
indica que la propuesta pedagógica para la introducción de la trigonometría,
168
permite que el alumno adquiera o refuerze los conocimientos, destrezas y
actitudes asociadas a la Geometría plana elemental que le son
indispensables para lograr un aprendizaje significativo de los contenidos de
la trigonometría.
En segundo lugar, verificaremos mediante una prueba estadística de
comparación de medias para muestras relacionadas utilizando la test de
student. Se empleará como referencia en esta prueba estadística las
calificaciones promedios obtenidas por los estudiantes en el pretest y
postest al cual fueron expuestos ambos grupos. Se plantea la siguiente
hipótesis estadística:
H0: Las calificaciones promedios obtenidas por los estudiantes del grupo
control en el pretest son iguales a las obtenidas en el postest
H1: Las calificaciones promedios obtenidas por los estudiantes del grupo
control en el postest son mayores a las obtenidas en el pretest
H0: μpost = μpre H1: μpost > μpre
El desarrollo de esta prueba cuenta con un nivel de significación de
5%, con el cual establecemos la siguiente regla de decisión:
Si sig es menor o igual que 0,05 se acepta la hipótesis nula ( H0 )
Si sig es mayor que 0,05 se rechaza la hipótesis nula ( H0 ) y en
consecuencia aceptamos la hipótesis alternativa ( H1 )
Ahora aplicamos el estadístico de prueba, mediante un test de student
para muestras relacionadas.
169
38 ,300 ,068
Calificacionesobtenidas en elpostest enbase a 20 ptspara el grupocontrol yCalificaccionesobtebidas en elpretests en a20 pts para elgrupo control
N Correlación Sig.
Correlaciones de muestras relacionadas
Tabla 24
-,87 2,67 ,43 -1,75 1,01E-02 -2,003 37 ,053
Calificacionesobtenidas en epostest enbase a 20 ptspara el grupocontrol -Calificaccionesobtenidas en epretests en a20 pts para elgrupo control
MediaDesviación
típ.
Error típ.de lamedia Inferior Superior
Intervalo de confianzapara la diferencia
Diferencias relacionadas
t glSig.
(bilateral)
Prueba de muestras relacionadas
Tabla 25
Se asume que la correlación existente entre ambos test es muy baja;
lo que indica que necesariamente no existe una relación lineal entre ambas
variables, y que además es elevado el índice de influencia que ejercen otras
variables en este estudio; observamos que con un intervalo de confianza de
5% se obtiene un nivel de significación bilateral de 0,053 pts en la prueba
estadística de la hipótesis. Lo cual por medio de la regla de decisión nos
permite acotar que existen evidencias estadísticamente significativas para
rechazar la hipótesis nula, asumiendo que el promedio obtenido por los
170
estudiantes del grupo control en el postest es superior que el obtenido en el
pretest.
Finalmente verificaremos mediante una prueba estadística de
comparación de medias para muestras relacionadas con un test de student
empleando como referencia el pre y post al cual fueron expuestos ambos
grupos, donde se plantea la siguiente hipótesis estadística:
H0: Las calificaciones promedios obtenidas por los estudiantes del grupo
experimental en el pretest son iguales a las obtenidas en el postest
H1: Las calificaciones promedios obtenidas por los estudiantes del grupo
experimental en el postest son mayores a las obtenidas en el pretest
H0: μpost = μpre H1: μpost > μpre
El desarrollo de esta prueba cuenta con un nivel de significación de
5%, con el cual establecemos la siguiente regla de decisión:
Si sig es menor o igual que 0,05 se acepta la hipótesis nula ( H0 )
Si sig es mayor que 0,05 se rechaza la hipótesis nula ( H0 ) y en
consecuencia aceptamos la hipótesis alternativa ( H1 )
Ahora aplicamos el estadístico de prueba, mediante un test de student
para muestras relacionadas.
171
37 ,087 ,609
Calificacionesobtenidas en elpostest enbase a 20 ptspara el grupoexperimental yCalificaccionesobtenidas en elpretests en a20 pts para elgrupoexperimental
N Correlación Sig.
Correlaciones de muestras relacionadas
Tabla 26
5,70 4,15 ,68 3,85 7,56 8,360 36 ,065
Calificacionesobtenidas en epostest enbase a 20 ptspara el grupoexperimental -Calificaccionesobtenidas en epretests en a20 pts para elgrupoexperimental
MediaDesviación
típ.
Error típ.de lamedia Inferior Superior
Intervalo de confianzapara la diferencia
Diferencias relacionadas
t glSig.
(bilateral)
Prueba de muestras relacionadas
Tabla 27
Se asume que la correlación existente entre ambos test es alta; lo que
indica que existe una relación lineal entre ambas variables; observamos que
con un intervalo de confianza de 5% se obtiene un nivel de significación
bilateral de 0,065 pts en la prueba estadística de la hipótesis. La regla de
decisión permite acotar que existen evidencias estadísticamente
significativas para rechazar la hipótesis nula, asumiendo que el promedio
172
obtenido por los estudiantes del grupo experimental en el postest es superior
que el obtenido en el pretest.
173
CAPÍTULO VI
DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS DEL TEST 2, CONCLUSIONES GENERALES Y RECOMENDACIONES
6.1 Discusión de los resultados del análisis descriptivo del test 2 y discusión de los resultados obtenidos en la convalidación de las hipótesis de investigación (análisis inferencial) A nivel general y haciendo alusión a todo el estudio descriptivo e
inferencial realizado en el capítulo anterior, podemos resaltar que posterior al
tratamiento didáctico del cual fue objeto el grupo experimental y ausente el
grupo control, surge la aplicación del postest en el cual se resumen los
contenidos mas esenciales desarrollados en este recorrido programático,
haciéndose evidente un mejor rendimiento por parte de los estudiantes que
disfrutaron de esta experiencia de enseñanza- aprendizaje, en un nivel
elevadamente significativo.
Además se observa un crecimiento conceptual que se refleja en los
razonamientos e interpretaciones necesarias para dar respuesta a cada
ítem presentado en ésta prueba.
Cabe destacar que con relación a las razones trigonométricas hay una
deficiencia, lo cual debe ser motivo para una revisión del diseño o de la
forma de planteamiento de los ítems que en este tema se enfocan.
Por último, con las pruebas hipotéticas que buscan la validación y
factibilidad de la propuesta, se corrobora que la propuesta diseñada sí
permitió elevar el nivel conceptual de las nociones básicas de Trigonometría,
con referencia al grupo control que no generó un cambio significativo. Así
pues podemos concluir que la propuesta brindó oportunidades en la
adquisición de conocimientos.
174
6.2 Conclusiones 1. Los resultados obtenidos a partir de la aplicación del Test 2, reflejaron que
el grupo control no alcanzó la adquisición de los conocimientos sobre las
nociones básicas de trigonometría, pues la mayoría de los alumnos se
ubican dentro de la categoría deficiente.
2. La aplicación del instrumento denominado Test 2, muestra el
conocimiento adquirido sobre las nociones básicas de trigonometría, por
parte de los alumnos del grupo experimental, siguiéndose para este fin una
metodología de carácter “nuevo” diseñado en la propuesta, mientras que
éste mismo instrumento refleja que los alumnos del grupo control no
adquirieron las nociones básicas de trigonometría, siguiéndose una
metodología de carácter “tradicional”. Se puede observar que a partir de los
resultados obtenidos por ambos grupos en el Test 2, la enseñanza de las
nociones básicas de trigonometría siguiendo el método diseñado y sugerido
en la propuesta sí favorece el nivel de conocimiento alcanzado por el alumno
sobre nociones básicas de Trigonometría, pues el promedio de las
calificaciones obtenidas por los alumnos del grupo experimental es mayor en
comparación con el promedio de los alumnos del grupo control.
3. El uso de la propuesta, “Propuesta Pedagógica para la Introducción de la Trigonometría en un curso del Primer Año de Ciencias del Ciclo Diversificado” en su primera ejecución presenta resultados satisfactorios,
ya que el promedio de calificaciones obtenidas por los alumnos es de 12,43
puntos.
4. Durante la aplicación de la propuesta se observaron y encontraron pocas
dificultades entre los alumnos para construir cada uno de los conceptos de
Geometría plana elemental requeridos en la misma. Por otra parte, fueron de
gran importancia las herramientas didácticas utilizadas en la propuesta
(nociones básicas de geometría plana elemental y la historia de la
175
176
matemática) y la intuición desarrollada por los estudiantes para la
construcción y manipulación de las nociones básicas de trigonometría.
5. Durante la aplicación de la propuesta hubo un mejor desenvolvimiento por
parte de los alumnos, es decir, se sentían con mayor libertad para realizar
preguntas al profesor acerca del tema en estudio y el profesor tenía mayor
capacidad de ver las fallas de los estudiantes y buscar el modo de ayudarlos
para que comprendieran el nuevo tema.
6.3 Recomendaciones 1. Se recomienda poner en práctica la propuesta de orientación didáctica
titulada: Propuesta Pedagógica para la Introducción de la Trigonometría en un curso del Primer Año de Ciencias del Ciclo Diversificado.
2. Ejecutar otras aplicaciones de la propuesta con la finalidad de investigar
la efectividad de la misma sobre el conocimiento adquirido por los
estudiantes siguiendo éste método; del mismo modo, para corregir las
debilidades posibles existentes en la misma.
3. Plantear ejercicios y problemas variados, en los cuales los alumnos
manipulen de manera independiente y combinada cada una de las razones
trigonométricas.
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www.memo.com.co/fenonino/aprenda/geometria/geomet4.html
Traslación. Extraído Noviembre 15, 2005, de la World Wide:
www.memo.com.co/fenonino/aprenda/geometria/geomet4.html
Trigonometría. Extraído Noviembre 08, 2005, de la World Wide:
es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana
180
ANEXOS
181
Anexos A Tabla 1. Estimación del Coeficiente de Proporción de Rango (CPR) del test diagnóstico.
Nº DE ÍTEM
JUECES J1 J2 J3
∑ri
PRI= ∑ jri /
CPRI= PRivmr
CPRIC=CPRI - PE
1 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 2 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 3 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 4 1 3 4 8 8/3=2,66 2,66/4=0,66 0,66-0,03=0,63 5 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 6 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 7 3 4 2 9 9/3=3 3/4=0,75 0,75-0,03=0,72 8 2 4 4 10 10/3=3,33 3,33/4=0,83 0,83-0,03=0,80 9 3 2 4 9 9/3=3 3/4=0,75 0,75-0,03=0,72 10 3 4 2 9 9/3=3 3/4=0,75 0,75-0,03=0,72 11 3 2 4 9 9/3=3 3/4=0,75 0,75-0,03=0,72 12 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 13 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 14 3 2 4 9 9/3=3 3/4=0,75 0,75-0,03=0,72 15 3 3 2 8 8/3=2,66 2,66/4=0,66 0,66-0,03=0,63 16 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 17 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 18 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 19 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 20 3 4 2 9 9/3=3 3/4=0,75 0,75-0,03=0,72 ∑ = 06,16CPRic
182
Tabla 2. Estimación del Coeficiente de Proporción de Rango (CPR) del Test2.
Nº DE
ÍTEM
JUECES J1 J2 J3
∑ri
PRI= jri /
CPRI= ∑ PRivmr
CPRIC=CPRI - PE
1 3 2 3 8 8/3=2,66 2,66/4=0,66 0,66-0,03=0,63 2 1 3 3 7 7/3=2,33 2,33/4=0,58 0,58-0,03=0,55 3 2 3 3 8 8/3=2,66 2,66/4=0,66 0,66-0,03=0,63 4 3 2 3 8 8/3=2,66 2,66/4=0,66 0,66-0,03=0,63 5 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 6 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 7 3 3 4 10 10/3=3,33 3,33/4=0,83 0,83-0,03=0,80 8 3 3 3 9 9/3=3 3/4=0,75 0,75-0,03=0,72 9 3 3 3 9 9/3=3 3/4=0,75 0,75-0,03=0,72 10 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 11 3 3 4 10 10/3=3,33 3,33/4=0,83 0,83-0,03=0,80 12 3 3 3 9 9/3=3 3/4=0,75 0,75-0,03=0,72 13 3 2 3 8 8/3=2,66 2,66/4=0,66 0,66-0,03=0,63 14 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 15 3 3 4 10 10/3=3,33 3,33/4=0,83 0,83-0,03=0,80 16 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 17 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 18 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 19 3 3 3 9 9/3=3 3/4=0,75 0,75-0,03=0,72 20 3 4 4 11 11/3=3,66 3,66/4=0,91 0,91-0,03=0,88 ∑ = 39,15CPRic
183
184
Análisis de fiabilidad del Pretest
****** Method 1 (space saver) will be used for this analysis ****** R E L I A B I L I T Y A N A L Y S I S - S C A L E (A L P H A) Reliability Coefficients N of Cases = 75, 0 N of Items = 20 Alpha = 0,5983
Análisis de fiabilidad del Postest
****** Method 1 (space saver) will be used for this analysis ****** R E L I A B I L I T Y A N A L Y S I S - S C A L E (A L P H A) Reliability Coefficients N of Cases = 75, 0 N of Items = 20 Alpha = 0,7233
INSTRUMENTOS TEST DIAGNÓSTICO Y TEST 2
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN
MÉRIDA-VENEZUELA
TEST DIAGNÓSTICO PARA DETERMINAR EL NIVEL DE CONOCIMIENTOS ALCANZADO POR LOS ALUMNOS DE PRIMER AÑO DE CIENCIAS DEL CICLO DIVERSIFICADO SOBRE GEOMETRÍA PLANA
ELEMENTAL
Autores: Daniel A. González C.
Lady D. Velásquez S.
Tutor Académico: Dra. Olga Porras
Mérida, Febrero de 2006
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN
MÉRIDA-VENEZUELA
INSTRUMENTO PARA ESTABLECER LA VALIDEZ DE CONTENIDO “TEST DIAGNÓSTICO PARA DETERMINAR EL NIVEL DE CONOCIMIENTOS ALCANZADO POR LOS ALUMNOS DE PRIMER AÑO DE CIENCIAS DEL CICLO DIVERSIFICADO SOBRE GEOMETRÍA PLANA ELEMENTAL”
Objetivo General: El objetivo del presente instrumento es establecer la validez de contenido
del “Test diagnóstico para determinar el nivel de conocimientos alcanzado
por los alumnos de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre
Geometría Plana Elemental” , utilizando el Método de Juicios de Expertos y
el Coeficiente de Proporción de Rango (CPR)
Instrucciones:
A continuación se presenta el proceso de calificación de los Ítems que
se realizará por medio de una escala de tipo Likert que oscila de 1 a 4
puntos, donde la menor puntuación indica que el ítem es deficiente o no
adecuado y la mayor puntuación que el ítem en cuestión es excelente. A
continuación se presenta una tabla que contiene seis columnas, donde:
• Los números en la primera columna refieren a los ítems del Test en
cuestión, el cual se anexa al presente instrumento.
• La segunda columna, titulada Excelente, se refiere a los ítems del
Test que se consideran óptimos para su aplicación.
• La tercera columna titulada Bueno se refiere a los ítems del Test que
se consideran adecuados, pero que deben ser parcialmente
reformados.
• La cuarta columna, titulada Regular, se refiere a los ítems del Test
cuyo contenido esta en relación con el objeto de la prueba, pero que
deben ser totalmente reformulados.
• La quinta columna, titulada Deficiente, se refiere a los ítems del Test
que serán designados como no adecuados y se sugiere que sean
eliminados de la prueba.
• Las sugerencias al respecto pueden exponerse en la sexta columna
referida a las observaciones. También se pueden hacer sugerencias
adicionales al final de la tabla.
La evaluación del Test consiste en asignar a cada uno de los ítems una de
las categorías descritas marcando con una equis (X) en el recuadro
correspondiente.
Cualquier sugerencia que se considere pertinente puede hacerse en la parte
de las observaciones o a través de material anexo, tomando en cuenta los
siguientes criterios de evaluación:
• Pertinencia de los ítems, consiste en si los ítems están en relación
con el contenido de enseñanza de la Trigonometría en el primer año
de ciencias del ciclo diversificado.
• Claridad en la redacción, no debe darse lugar a confusiones de
carácter conceptual matemático en las situaciones planteadas por los
ítems.
• Estructura Gramatical, lo suficiente clara y precisa y ajustado al nivel
académico de los estudiantes que cursan el primer año de ciencias
del ciclo diversificado.
• Plausibilidad de las alternativas, las diferentes alternativas deben
tener pertinencia respecto a la situación planteada en cada ítem.
Gracias por su valiosa colaboración!!!
Tabla 1. Distribución de los ítems del Test diagnóstico según los conocimientos a ser evaluados sobre Geometría plana elemental
VARIABLE DIMENSIONES INDICADORES ITEMS
NIVEL DE CONOCIMIENTOS
SOBRE GEOMETRÍA
PLANA ELEMENTAL
Conceptual
Ángulos 1, 3, 9, 15, 16,
17, 18, 20.
Conceptual Triángulos 2, 4, 5, 6, 14.
Conceptual Semejanza 5.
Conceptual Congruencia 1, 14, 20.
Conceptual Circunferencia 7, 19.
Conceptual Plano cartesiano 8, 10, 11, 14.
Conceptual y
procedimental
Proporción 12,13.
Conceptual Traslación 10.
Conceptual Simetría axial 11.
Conceptual Rotación 14.
Tabla 2. Planilla para la validación de los ítems del “Test diagnóstico para determinar el nivel de conocimientos alcanzado por los alumnos de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre Geometría Plana Elemental”
ITEMS
ESCALA OBSERVACIONESEXCELENTE BUENO REGULAR DEFICIENTE
Ítems 1 Ítems 2 Ítems 3 Ítems 4 Ítems 5 Ítems 6 Ítems 7 Ítems 8 Ítems 9 Ítems10 Ítems11 Ítems12 Ítems13 Ítems14 Ítems15 Ítems16 Ítems17 Ítems18 Ítems19 Ítems20
Tabla 3. Planilla de evaluación cualitativa
APRECIACIÓN CUALITATIVA DEL TEST EN GENERAL
ESCALA
CRITERIOS EXCELENTE BUENO REGULAR DEFICIENTE
Presentación del
instrumento
Pertinencia de los
ítems
Claridad en la
redacción
Estructura gramatical
Plausibilidad de las
alternativas
Apreciación cualitativa: Observaciones:_________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
____________.
Validado por:______________________________C.I._________________
Profesión: _______________cargo que desempeña______________
Lugar de trabajo:_______________________________.
__________________________
Firma
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN
MÉRIDA-VENEZUELA
CONSTANCIA DE VALIDACIÓN
Yo,___________________________________,C.I._______________ de
profesión:____________________________________, en mi condición de
_____________________________por medio de la presente hago constar
que he revisado, con fines de validación, el “Test diagnóstico para determinar el nivel de conocimientos alcanzado por los alumnos de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre Geometría Plana Elemental”, elaborado por los bachilleres: Lady Velásquez y Daniel
González, y luego de hacer las observaciones pertinentes, puedo formular
las siguientes apreciaciones.
Ver anexo: Planilla de Validación Cualitativa.
Tabla 4. CUADRO DE CLASIFICACIÓN DE LAS CATEGORÍAS DE CADA ÍTEMS
ÍTEMS
TÉCNICA
NIVEL
TIEMPO
MÁXIMO
PTOS
CONTENIDO
1 Selección Medio 2min 2 Ángulos, congruencia
2 Selección Medio 2min 2 Triángulos
3 Selección Fácil 1min 1 Ángulos
4 Selección Difícil 3min 3 Triángulos
5 Selección Difícil 3min 3 Triángulos, semejanza
6 Selección Fácil 1min 1 Triángulos
7 Selección Medio 2min 2 Circunferencia
8 Selección Fácil 1min 1 Plano cartesiano
9 Selección Fácil 1min 1 Ángulos
10 Selección Medio 2min 2 Traslación
11 Selección Medio 2min 2 Simetría axial
12 Selección Fácil 1min 1 Proporción
13 Selección Difícil 3min 3 Proporción
14 Selección Difícil 3min 3 Triángulo, rotación, congruencia
15 Selección Fácil 1min 1 Triángulos
16 Selección Fácil 1min 1 Triángulos
17 Selección Fácil 1min 1 Triángulos
18 Selección Medio 2min 2 Triángulos
19 Selección Medio 2min 2 Circunferencia
20 Selección Medio 2min 2 Ángulos, congruencia
TOTAL 36min 36
Test para determinar el nivel de conocimientos alcanzado por los alumnos de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre Geometría plana elemental: Nombre y Apellido: C.I: . Sección: Institución: . Selección simple: Instrucciones: Entre los siguientes ítems seleccione una de las cuatro opciones que se
presentan, encerrando en un círculo la letra correspondiente a la opción que
usted considere correcta; sólo una de las opciones es correcta.
1) Dadas dos rectas paralelas l1 y l2 cortadas por una secante como se
observa en la figura 1, los ángulos α y β son:
a) Opuestos por el vértice b) Correspondientes
c) Alternos internos d) Alternos externos
2) ¿En cuál de los siguientes triángulos podemos aplicar el Teorema de
Pitágoras?
a) b) c) d)
3) Entre los siguientes ángulos, ¿Cuál es agudo?
a) b) c) d)
4) ¿Cuál de los siguientes enunciados podemos utilizar para caracterizar
el teorema de Pitágoras?
a. El cuadrado de la suma de los catetos de un triángulo es igual
a la hipotenusa
b. La suma del cuadrado de los catetos de un triángulo rectángulo
es igual al cuadrado de su hipotenusa
c. La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los
catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado
construido sobre la hipotenusa.
d. El área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa, es igual al
doble del área del cuadrado cuyo lado es uno de los catetos.
5) Entre las siguientes figuras, ¿cuáles contienen triángulos
semejantes?
6) En el triángulo de la figura 6,el cateto adyacente al ángulo α es:
a) El lado AB b) El lado AC
c) El lado CA d) El lado CB
7) En la circunferencia de la figura 7, ¿cuál de las rectas es secante a la
circunferencia?
a) l1 b) l2
c) l3 d) l4
8) ¿En cuál de los cuadrantes del plano cartesiano de la figura 8 se
encuentra el par ordenado (-a, b)? Conociendo el hecho de que –a es
el punto opuesto del punto a.
a) Cuadrante I b) Cuadrante II
c) Cuadrante III d) Cuadrante IV
9) Si se intersectan dos rectas l1 y l2 perpendicularmente, como es caso
de la figura 9, la medida del ángulo β formado por la intersección de
dichas rectas es:
a) 45º b) 60º
c) 90º d) 180º
10) ¿Cuál de los segmentos de la figura 10 es obtenido a través de la
traslación del segmento S0?
a) S1 b) S2 c) S3 d) S4
11) Entre los siguientes rectángulo de la figura 11, ¿cuál es simétrico del
rectángulo ABDC, respecto al eje de las abscisas?
a) GHFE b) IJLK c) MNPO d)QRTS
56
34
96
31
12) Entre las siguientes fracciones, ¿cuál es proporcional a 2/3?
a) b) c) d)
13) Dadas tres rectas paralelas l1, l2, l3 cortadas por dos secantes
S1 y S2 como se observa en la figura 12, ¿cuál de las siguientes
opciones no es correcta?
EFBCAB
=DE DE
DFABAC
=DFDEACAB
=ABEF
DEBC
= a) b) c) d)
14) El triángulo A’B’C’ se obtiene a través de una rotación del triángulo
ABC. Entonces, se puede asegurar que los dos triángulos son:
a) Rectángulos b) Escálenos
c) Congruentes d) Acutángulos
15) Un triángulo tiene como elementos:
a) Diámetro y cuerda b) Lado y vértice
c) Ángulo y arco d) Centro y cuerda
16) La mediana respecto al segmento CB en el triángulo ABC de la figura
13 es:
a) CF b) AD
c) AE d) CD
17) La altura respecto al ángulo con vértice en A, en el triángulo ABC de
la figura 14 es:
a) AE b) AD
c) AC d) BF
FCBACD ∠=∠ ECFDCE ∠=∠18) Si, y entonces, la bisectriz del ángulo
con vértice en C, en el triángulo ABC de la figura 15 es:
a) CA b) CD c) CE d) CF
19) Para hallar un valor aproximado del número irracional π (pi),
tomamos cualquier circunferencia y calculamos el cociente de
las medidas siguientes:
radioperímetro
radiodiámetro
diámetroperímetro
perímetrotro c diáme a) b) ) d)
20) Dadas dos rectas paralelas l1 y l2 cortadas por una secante
como se observa en la figura 17, los ángulos α y β son:
a) Opuestos por el vértice b) Correspondientes
c) Alternos internos d) Ninguna de las anteriores
Test para determinar el nivel de conocimientos alcanzado por los alumnos de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre Geometría plana elemental: Nombre y Apellido: C.I: . Sección: Institución: . Selección simple: Instrucciones: Entre los siguientes ítems seleccione una de las cuatro opciones que se
presentan, encerrando en un círculo la letra correspondiente a la opción que
usted considere correcta; sólo una de las opciones es correcta.
1) Dadas dos rectas paralelas l1 y l2 cortadas por una secante como se
observa en la figura 1, los ángulos α y β son:
a) Opuestos por el vértice b) Correspondientes
c) Alternos internos d) Alternos externos
Por definición α y β son alternos internos,
además son congruentes.
2) ¿En cuál de los siguientes triángulos podemos aplicar el Teorema de
Pitágoras?
a) b) c) d)
El teorema de Pitágoras es aplicado únicamente en triángulos rectángulos.
3) Entre los siguientes ángulos, ¿Cuál es agudo?
a) b) c) d)
Un ángulo agudo es todo ángulo mayor de 0º
y menor de 90º.
4) ¿Cuál de los siguientes enunciados podemos utilizar para caracterizar
el teorema de Pitágoras?
a) El cuadrado de la suma de los catetos de un triángulo es igual
a la hipotenusa.
b) La suma del cuadrado de los catetos de un triángulo rectángulo
es igual al cuadrado de su hipotenusa.
c) La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los
catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado
construido sobre la hipotenusa.
d) El área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa, es igual al
doble del área del cuadrado cuyo lado es uno de los catetos.
El teorema de Pitágoras nos afirma que: (Hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2
5) Entre las siguientes figuras, ¿cuáles contienen triángulos
semejantes?
siguientes figuras, ¿cuáles contienen triángulos
semejantes?
Dos ángulos son semejantes si y sólo si tienen dos ángulos congruentes.
6) En el triángulo de la figura 6,el cateto adyacente al ángulo α es: 6) En el triángulo de la figura 6,el cateto adyacente al ángulo α es:
a) El lado AB b) El lado AC a) El lado AB b) El lado AC
c) El lado CA d) El lado CB
c) El lado CA d) El lado CB
Un cateto adyacente a un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es aquel que contiene a uno de los lados del ángulo.
7) En la circunferencia de la figura 7, ¿cuál de las rectas es secante a la
circunferencia?
7) En la circunferencia de la figura 7, ¿cuál de las rectas es secante a la
circunferencia?
a) l1 b) l2 a) l1 b) l2
c) l3 d) l4 c) l3 d) l4
Una recta secante a una circunferencia es aquella que toca a dicha circunferencia en por lo menos dos puntos de la misma.
8) ¿En cuál de los cuadrantes del plano cartesiano de la figura 8, se
encuentra el par ordenado (-a, b)? Conociendo el hecho de que –a es
el punto opuesto del punto a.
¿En cuál de los cuadrantes del plano cartesiano de la figura 8, se
encuentra el par ordenado (-a, b)? Conociendo el hecho de que –a es
el punto opuesto del punto a.
a) Cuadrante I b) Cuadrante II a) Cuadrante I b) Cuadrante II
c) Cuadrante III d) Cuadrante IV c) Cuadrante III d) Cuadrante IV
Por ser –a el opuesto de a, este se encuentra en la parte negativa del eje de las abscisas, mientras que b conserva su posición.
9) Si se intersectan dos rectas l1 y l2 perpendicularmente, como es caso
de la figura 9, la medida del ángulo β formado por la intersección de
dichas rectas es:
9) Si se intersectan dos rectas l1 y l2 perpendicularmente, como es caso
de la figura 9, la medida del ángulo β formado por la intersección de
dichas rectas es:
a) 45º b) 60º a) 45º b) 60º
c) 90º d) 180º c) 90º d) 180º
Cuando se intersectan dos rectas perpendicularmente forman cuatro ángulos de 90º.
10) ¿Cuál de los segmentos de la figura 10 es obtenido a través de la
traslación del segmento S0?
a) S1 b) S2 c) S3 d) S4
Toda la traslación queda definida por vectores, éstos deben tener la misma magnitud, dirección y sentido.
11) Entre los siguientes rectángulo de la figura 11, ¿cuál es simétrico del
rectángulo ABDC, respecto al eje de las abscisas?
a) GHFE b) IJLK c) MNPO d)QRTS
Existe simetría axial cuando cada uno de los puntos de una figura tienen un homólogo al frente, respecto al eje de simetría.
56
34
96 1
12) Entre las siguientes fracciones, ¿cuál es proporcional a 2/3?
3a) b) c) d)
La proporción es una relación numérica entre dos medidas que corresponden al cociente entre ellas.
13) Dadas tres rectas paralelas l1, l2, l3 cortadas por dos secantes
S1 y S2 como se observa en la figura 12, ¿cuál de las siguientes
opciones no es correcta?
EFBC
DEAB
=DEDF
ABAC
=DFDEACAB
=ABEF
DEBC
= a) b) c) d)
La proporción es una relación numérica entre dos medidas, y la proporción
DFAC
DEAB
=
, no cumple con dicha relación.
14) El triángulo A’B’C’ se obtiene a través de una rotación del triángulo
ABC. Entonces, se puede asegurar que los dos triángulos son:
a) Rectángulos b) Escálenos
c) Congruentes d) Acutángulos
La rotación es una isometría en que todos los puntos giran un ángulo constante con respecto a un punto fijo. Por lo tanto no hay variación en la medida angular en el caso de figuras planas.
15) Un triángulo tiene como elementos:
a) Diámetro y cuerda b) Lado y vértice
c) Ángulo y arco d) Centro y cuerda
Los elementos de un triángulo cualquiera son lados, vértices y ángulos.
16) La mediana respecto al segmento CB en el triángulo ABC de la figura
13 es:
a) CF b) AD
c) AE d) CD
La mediana de un triángulo es que une el punto medio de uno de los lados de un triángulo con el vértice opuesto a dicho lado.
17) La altura respecto al ángulo con vértice en A, en el triángulo ABC de
la figura 14 es:
a) AE b) AD
c) AC d) BF
La altura de un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde un vértice hasta su lado opuesto.
FCBACD ∠=∠ ECFDCE ∠=∠18) Si, y entonces, la bisectriz del ángulo
con vértice en C, en el triángulo ABC de la figura 15 es:
a) CA b) CD c) CE d) CF
La bisectriz de un triángulo es la semirecta que partiendo de un vértice divide a uno de los ángulos en dos partes iguales.
19) Para hallar un valor aproximado del número irracional π (pi),
tomamos cualquier circunferencia y calculamos el cociente de
las medidas siguientes:
radioperímetro
radiodiámetro
diámetroperímetro
perímetrotro diáme a) b) c) d)
El número irracional π, fue determinado por la relación entre el perímetro y el diámetro de un círculo.
20) Dadas dos rectas paralelas l1 y l2 cortadas por una secante
como se observa en la figura 17, los ángulos α y β son:
a) Opuestos por el vértice b) Correspondientes
c) Alternos internos d) Ninguna de las anteriores
Dos ángulos son correspondientes si y sólo si son congruentes y además corresponden a un lado común.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN
MÉRIDA-VENEZUELA
TEST PARA DETERMINAR EL CONOCIMIENTO ALCANZADO POR LOS ALUMNOS DEL PRIMER AÑO DE CIENCIAS DEL CICLO
DIVERSIFICADO SOBRE NOCIONES BÁSICAS DE TRIGONOMETRÍA
Autores: Daniel A. González C.
Lady D. Velásquez S.
Tutor Académico: Dra. Olga Porras
Mérida, mayo de 2006
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN
MÉRIDA-VENEZUELA
INSTRUMENTO PARA ESTABLECER LA VALIDEZ DE CONTENIDO “TEST PARA DETERMINAR EL CONOCIMIENTO ALCANZADO POR LOS ALUMNOS DEL PRIMER AÑO DE CIENCIAS DEL CICLO DIVERSIFICADO SOBRE NOCIONES BÁSICAS DE TRIGONOMETRÍA”
Objetivo General: El objetivo del presente instrumento es establecer la validez de contenido
del “Test para determinar el nivel de conocimientos alcanzado por los
alumnos de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre nociones
básicas de trigonometría, utilizando el Método de Juicios de Expertos y el
Coeficiente de Proporción de Rango (CPR)
Instrucciones:
A continuación se presenta el proceso de calificación de los Ítems que
se realizará por medio de una escala de tipo Likert que oscila de 1 a 4
puntos, donde la menor puntuación indica que el ítem es deficiente o no
adecuado y la mayor puntuación que el ítem en cuestión es excelente. A
continuación se presenta una tabla que contiene seis columnas, donde:
• Los números en la primera columna refieren a los ítems del Test en
cuestión, el cual se anexa al presente instrumento.
• La segunda columna, titulada Excelente, se refiere a los ítems del
Test que se consideran óptimos para su aplicación.
• La tercera columna titulada Bueno se refiere a los ítems del Test que
se consideran adecuados, pero que deben ser parcialmente
reformados.
• La cuarta columna, titulada Regular, se refiere a los ítems del Test
cuyo contenido esta en relación con el objeto de la prueba, pero que
deben ser totalmente reformulados.
• La quinta columna, titulada Deficiente, se refiere a los ítems del Test
que serán designados como no adecuados y se sugiere que sean
eliminados de la prueba.
• Las sugerencias al respecto pueden exponerse en la sexta columna
referida a las observaciones. También se pueden hacer sugerencias
adicionales al final de la tabla.
La evaluación del Test consiste en asignar a cada uno de los ítems una de
las categorías descritas marcando con una equis (X) en el recuadro
correspondiente.
Cualquier sugerencia que se considere pertinente puede hacerse en la parte
de las observaciones o a través de material anexo, tomando en cuenta los
siguientes criterios de evaluación:
• Pertinencia de los ítems, consiste en si los ítems están en relación
con el contenido de enseñanza de la Trigonometría en el primer año
de ciencias del ciclo diversificado.
• Claridad en la redacción, no debe darse lugar a confusiones de
carácter conceptual matemático en las situaciones planteadas por los
ítems.
• Estructura Gramatical, lo suficiente clara y precisa y ajustado al nivel
académico de los estudiantes que cursan el primer año de ciencias
del ciclo diversificado.
• Plausibilidad de las alternativas, las diferentes alternativas deben
tener pertinencia respecto a la situación planteada en cada ítem.
Gracias por su valiosa colaboración!!!
Tabla 1. Distribución de los ítems del Test 2 según los conocimientos a ser evaluados sobre nociones básicas de trigonometría
VARIABLE DIMENSIONES INDICADORES ITEMS
NIVEL DE CONOCIMIENTOS
SOBRE NOCIONES
BÁSICAS DE TRIGONOMETRÍA
Conceptual y
procedimental
Seno 1,2,3,5,7,15,16,17,
18,19,20
Conceptual y
procedimental
Coseno 1,2,3,4,6,7,15,17,
18,19
Conceptual y
procedimental
Tangente 2,7,10,11,17,18,
19
Conceptual y
procedimental
Cotangente 2,9,17,18,19
Conceptual y
procedimental
Secante 2,8,17,18,19
Conceptual y
procedimental
Cosecante 2,12,17,18,19
Conceptual y
procedimental
Círculo
trigonométrico
10,13,14,15,18,
19
Tabla 2. Planilla para la validación de los ítems del “Test para determinar el nivel de conocimientos alcanzado por los alumnos de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre nociones básicas de trigonometría”
ITEMS
ESCALA OBSERVACIONES EXCELENTE BUENO REGULAR DEFICIENTE
Ítems 1 Ítems 2 Ítems 3 Ítems 4 Ítems 5 Ítems 6 Ítems 7 Ítems 8 Ítems 9 Ítems10 Ítems11 Ítems12 Ítems13 Ítems14 Ítems15 Ítems16 Ítems17 Ítems18 Ítems19 Ítems20
Tabla 3. Planilla de evaluación cualitativa
APRECIACIÓN CUALITATIVA DEL TEST EN GENERAL
ESCALA
CRITERIOS EXCELENTE BUENO REGULAR DEFICIENTE
Presentación del
instrumento
Pertinencia de los
ítems
Claridad en la
redacción
Estructura gramatical
Plausibilidad de las
alternativas
Apreciación cualitativa: Observaciones:_________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
____________.
Validado por:______________________________C.I._________________
Profesión: _______________cargo que desempeña______________
Lugar de trabajo:_______________________________.
__________________________
Firma
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN
MÉRIDA-VENEZUELA
CONSTANCIA DE VALIDACIÓN
Yo,___________________________________,C.I._______________ de
profesión:____________________________________, en mi condición de
_____________________________por medio de la presente hago constar
que he revisado, con fines de validación, el “Test para determinar el nivel de conocimientos alcanzado por los alumnos de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre nociones básicas de trigonometría”, elaborado por los bachilleres: Lady Velásquez y Daniel
González, y luego de hacer las observaciones pertinentes, puedo formular
las siguientes apreciaciones.
Ver anexo: Planilla de Validación Cualitativa.
Tabla 4. CUADRO DE CLASIFICACIÓN DE LAS CATEGORÍAS DE CADA ÍTEMS
ÍTEMS
TÉCNICA
NIVEL
TIEMPO
MÁXIMO
PTOS
CONTENIDO
1 Selección Difícil 3min 3 Sen,cos, círculo trigonométrico
2 Selección Medio 2min 2 Sen
3 Selección Difícil 3min 3 Sen,cos
4 Selección Fácil 1min 1 Cos
5 Selección Fácil 1min 1 Sen
6 Selección Fácil 1min 1 Cos
7 Selección Medio 2min 2 Sen,cos,tg
8 Selección Medio 2min 2 Sec
9 Selección Medio 2min 2 Ctg
10 Selección Fácil 1min 1 Tg, círculo trigonométrico
11 Selección Fácil 1min 1 Tg
12 Selección Fácil 1min 1 Csc
13 Selección Fácil 1min 1 Círculo trigonométrico
14 Selección Fácil 1min 1 Círculo trigonométrico
15 Selección Medio 2min 2 Sen,cos
16 Selección Medio 2min 2 Sen
17 Selección Difícil 3min 3 Sen,cos,tg,ctg,sec,csc
18 Selección Fácil 1min 1 Sen,cos,tg,ctg,sec,csc
19 Selección Difícil 3min 3 Sen,cos,tg,ctg,sec,csc
20 Selección Fácil 1min 1 Sen
TOTAL 34min 34
En la tabla anterior, en la columna 6 titulada contenido, el mismo se nombra
de manera abreviada, es decir: seno, abreviado es sen; coseno, abreviado
es cos; tangente abreviado es tg; cotangente abreviado es ctg; secante,
abreviado es sec; cosecante, abreviado es csc.
Test para determinar el nivel de conocimientos alcanzado por los alumnos de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre nociones básicas de Trigonometría : Nombre y Apellido: C.I: . Sección: Institución: . Selección simple: Instrucciones: Entre los siguientes ítems seleccione una de las cuatro opciones que se
presentan, encerrando en un círculo la letra correspondiente a la opción que
usted considere correcta; sólo una de las opciones es correcta.
1) Si en el círculo trigonométrico de la siguiente figura, tenemos que
β = 180º - α, entonces:
a) cos β = cos α b) cos β = - sen α
c) cos β = sen α d) cos β = - cos α
6
5
2) En el triángulo de la figura 1, ¿cuál será el valor del lado BC si
sabemos que AC = 2 cm y α= 30º?
a) BC = cm b) 5 cm
c) BC = 4 cm d) BC = cm
cm15AC
2cm30AC
)cm30)(21(AC
)cm30)(º30sen(AC
cm30ACº30sen =
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
cm15AC
2cm30AC
)cm30)(21(AC
0
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=
)cm30)(º60(cosAC
cm30ACº6cos
3) En el triángulo de la figura 2, sabiendo que BC = 30 cm y que el ángulo
con vértice en B es de 30º. ¿Cuál de los siguientes procedimientos no es
correcto para determinar el valor del lado AC?
a) b)
cm15AC
2cm30AC
2º30º60Como
centecatetoadyahipotenuAC =c) d)
sa
=⇒
=⇒
=
Como el triángulo CBD es equilátero,
entonces CD = CB = DB, por lo
tanto CD = 30 cm, es decir que
AC = 15 cm.
4) En el triángulo rectángulo de la figura 3, el cateto adyacente al ángulo α
es:
a) El lado AC b) El lado
BC
c) El lado AB d) El lado
AD
5) Si sen α = 1/2, entonces, en grados sexagesimales, un valor del ángulo α
es:
a) α = 90º b) α = 60º
c) α = 45º d) α = 30º
6) Si cos α = 1/2, entonces, en grados sexagesimales, un valor del ángulo
α es:
a) α = 90º b) α = 60º
c) α = 45º d) α = 30º
7) ¿Cuál de las siguientes razones trigonométricas es incorrecta?
a) b)
c) d)
8) Si se conocen sen α y cos α, se puede calcular la secante del ángulo α
de la siguiente manera:
a) b)
c) d)
9) ¿Cuál de las siguientes razones para determinar la cotangente de un
ángulo α es incorrecta?
a) b)
c) d)
10) En el círculo trigonométrico de la figura 4, el segmento que representa la
tangente del ángulo α es:
a) OP b) AB
c) CD d) OC
11) Conociendo el hecho de que sen 45º =22 , y que cos 45º =
22 , se
puede afirmar que:
22)º45(tg =)tg º45( = 2a) b)
21)º45(tg = 1)º45(tg =c) d)
541cos =α
2520cos =α
45csc =α
12) Si sabemos que sen α = 4/5. ¿Cuál de las opciones es la correcta para el
cálculo de la cosecante del ángulo α?
a) b)
c) 4
51
451csc d) =α
13) En el círculo trigonométrico de la figura 5, determina el valor del ángulo α,
sabiendo que AC es un segmento de recta.
a) α = 60º b) α = 45º
c) α = 30º d) α = 15º
14) En el círculo trigonométrico de la figura anterior, el ángulo β es el
complementario del ángulo α, que se encuentra en el cuadrante III del
sistema de coordenadas cartesianas; la medida en grados
sexagesimales de dicho ángulo es:
a) β = 90º b) β = 60º
c) β = 45º d) β = 30º
15) Si β es el ángulo señalado en la figura 5, el valor de Cos β es:
231cos =β cosβ a) b) =
21cos =β cos =β c) d) 0
16) Si el triángulo ABC y el triángulo DEF son semejantes, AB = 1 y AC = 4,
como se presenta en la figura, entonces el valor del seno del ángulo α es:
21sen =α
51senαa) b) =
4sen =α
1171
=senαc) d)
17) El triángulo rectángulo de la figura 6, representa una situación que se le
presenta al fabricante de una escalera; el futuro dueño de la escalera
desea que la misma tenga una inclinación de 60º y que los escalones
posean unas barras de mármol que se puedan ubicar a lo largo de 7
metros. El fabricante desconoce la altura de un piso al otro, puesto que el
contratista no le dió tal información. ¿Cuál es la altura entre los dos pisos
donde se va a colocar la escalera?
27
a) metros
237
b) metros
3145
c) metros
29 d) metros
18) En el caso anterior de la figura 6, ¿cuánto deberá medir la distancia entre
la escalera y la pared, para cumplir las exigencias del futuro dueño? (En
la figura 6, esta distancia la representa AC)
27
2147a) metros b) metros
9
3145
2c) metros d) metros
19) El individuo que mandó a fabricar la escalera, solicita al fabricante
colocar una cinta en baño de oro como adorno para la escalera, dicha
cinta deberá colocarse a lo largo de un segmento representado en la
figura 6 por DE, además en la figura 6, α y β son congruentes y el punto
E es el punto medio del segmento AC. ¿En metros, qué cantidad de cinta
necesita comprar el fabricante?
a) 2,80 metros b) 3,5 metros
c) 6,30 metros d) 7,10 metros
20) En el triángulo ABC de la figura 7, sabiendo que el ángulo con vértice en
A es de 60º, el ángulo con vértice en B es de 20º, la distancia del lado AB
es de 9 unidades y la distancia del segmento AC es de 4 unidades. La
altura del triángulo ABC es:
42
a) 5 unidades
b) unidades
53c) unidades
32d) unidades
Test para determinar el nivel de conocimientos alcanzado por los alumnos de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre nociones básicas de Trigonometría : Nombre y Apellido: C.I: . Sección: Institución: . Selección simple: Instrucciones: Entre los siguientes ítems seleccione una de las cuatro opciones que se
presentan, encerrando en un círculo la letra correspondiente a la opción que
usted considere correcta; sólo una de las opciones es correcta.
1) Si en el círculo trigonométrico de la siguiente figura, tenemos que
β = 180º - α, entonces:
a) cos β = cos α b) cos β = - sen α
c) cos β = sen α d) cos β = - cos α
Como el ángulo suplementario de β es simétrico al ángulo α, respecto al eje de las ordenadas entonces: Cos β = - Cos α
6
5
2) En el triángulo de la figura 1, ¿cuál será el valor del lado BC si sabemos
que AC = 2 cm y α= 30º?
a) BC = cm b) 5 cm
c) BC = 4 cm d) BC = cm
En el triángulo ABC de la figura 1, tenemos que:
:entoncesCBACº30Sen =
CBcm2
21
=
Por lo tanto CB = 4cm
cm15AC
2cm30AC
)cm30)(21(AC
)cm30)(º30sen(AC
cm30ACº30sen
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=cm30
ACº60cos =
3) En el triángulo de la figura 2, sabiendo que BC = 30 cm y que el ángulo
con vértice en B es de 30º. ¿Cuál de los siguientes procedimientos no es
correcto para determinar el valor del lado AC?
a) b)
cm15AC
2cm30AC
)cm30)(21(AC
)cm30)(º60(cosAC
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
cm15AC
2cm30AC
2º30º60Como
centecatetoadyahipotenusaAC =c) d)
=⇒
=⇒
=
Como el triángulo CBD es equilátero,
entonces CD = CB = DB, por lo
tanto CD = 30 cm, es decir que
AC = 15 cm.
Afirmar que el lado AC del triángulo rectángulo ABC represente algún inverso multiplicativo de la razón seno o coseno, no es correcto.
4) En el triángulo rectángulo de la figura 3, el cateto adyacente al ángulo α
es:
En el triángulo rectángulo de la figura 3, el cateto adyacente al ángulo α
es:
a) El lado AC b) El lado
BC
a) El lado AC b) El lado
BC
c) El lado AB d) El lado
AD
c) El lado AB d) El lado
AD
El cateto adyacente al ángulo α es el lado AB.
5) Si sen α = 1/2, entonces, en grados sexagesimales, un valor del ángulo α
es:
5) Si sen α = 1/2, entonces, en grados sexagesimales, un valor del ángulo α
es:
a) α = 90º b) α = 60º a) α = 90º b) α = 60º
c) α = 45º d) α = 30º c) α = 45º d) α = 30º
sen 30º= ½.
6) Si cos α = 1/2, entonces, en grados sexagesimales, un valor del ángulo
α es:
6) Si cos α = 1/2, entonces, en grados sexagesimales, un valor del ángulo
α es:
a) α = 90º b) α = 60º a) α = 90º b) α = 60º
c) α = 45º d) α = 30º c) α = 45º d) α = 30º
7) ¿Cuál de las siguientes razones trigonométricas es incorrecta? 7) ¿Cuál de las siguientes razones trigonométricas es incorrecta?
a) b) a) b)
c) d) c) d)
cos 60º= ½.
Por definición:
Cos α= Hipotenusa
centeCatetoAdya
8) Si se conocen sen α y cos α, se puede calcular la secante del ángulo α
de la siguiente manera:
a) b)
c) d)
Por definición:
α=α
cossec 1
9) ¿Cuál de las siguientes razones para determinar la cotangente de un
ángulo α es incorrecta?
a) b)
c) d) La razón:
α=α
sen1
10) En el círculo trigonométrico de la figura 4, el segmento que representa la
tangente del ángulo α es:
a) OP b) AB
c) CD d) OC
sec
Como:
Tan α=
centeCatetoAdyastoCatetoOpue =
OABA
=OCCD
=1
CD=CD
11) Conociendo el hecho de que sen 45º = 22 , y que cos 45º =
22 , se
puede afirmar que:
22)º45(tg =)tg º45( = 2a) b)
21)º45(tg =c) d) 1)º45(tg =
2520cos =α
541cos =α
Como:
Tan45º=º45Cosº45Sen =
22
22
=1
12) Si sabemos que sen α = 4/5. ¿Cuál de las opciones es la correcta para el
cálculo de la cosecante del ángulo α?
a) b)
c) 4
51csc =α d)
45csc =α
Como:
13) En el círculo trigonométrico de la figura 5, determina el valor del ángulo α,
sabiendo que AC es un segmento de recta.
a) α = 60º b) α = 45º
c) α = 30º d) α = 15º
Csc α= αSen
1=
/ 541
=45
Como α es opuesto por el vértice al ángulo de 30º, entonces ambos ángulos son congruentes. Por lo tanto:
α = 30º
14) En el círculo trigonométrico de la figura anterior, el ángulo β es el
complementario del ángulo α, que se encuentra en el cuadrante III del
sistema de coordenadas cartesianas; la medida en grados
sexagesimales de dicho ángulo es:
a) β = 90º b) β = 60º
c) β = 45º d) β = 30º
α + β = 90º Por ser complementarios. Entonces:
β = 90º - α β = 60º
15) Si β es el ángulo señalado en la figura 5, el valor de Cos β es:
231cos =β cos =β a) b)
21cos =β cos 0=β
21sen =α
51senα =
4sen =α
1171sen =α
c) d)
16) Si el triángulo ABC y el triángulo DEF son semejantes, AB = 1 y AC = 4,
como se presenta en la figura, entonces el valor del seno del ángulo α es:
a) b)
c) d)
Como β=60º Tenemos que: Cos60º = ½.
Como los triángulos ABC y DEF son semejantes, el ángulo α y el ángulo con vértice en C del triángulo ABC son congruentes. Por lo tanto Sen α =1/ BC. Por el teorema de Pitágoras: (BC)2 = (1)2.+ (4)2 Entonces: BC = √17 Por lo tanto: Sen α =1/√17.
27
17) El triángulo rectángulo de la figura 6, representa una situación que se le
presenta al fabricante de una escalera; el futuro dueño de la escalera
desea que la misma tenga una inclinación de 60º y que los escalones
posean unas barras de mármol que se puedan ubicar a lo largo de 7
metros. El fabricante desconoce la altura de un piso al otro, puesto que el
contratista no le dió tal información. ¿Cuál es la altura entre los dos pisos
donde se va a colocar la escalera?
a) metros
237
b) metros
3145
c) metros
29 d) metros
Por las razones trigonométricas conocidas:
27
2147
3145
29c) metros d) metros
18) En el caso anterior de la figura 6, ¿cuánto deberá medir la distancia entre
la escalera y la pared, para cumplir las exigencias del futuro dueño? (En
la figura 6, esta distancia la representa AC)
a) metros b) metros
AB
ABABsen
=⇒
=⇒=
237
723
7º60
Por el Teorema de Pitágoras: (7)2 = (7√3 / 2)2 + (CA)2
Entonces: 49 = 147 / 4 + (CA)2
CA =
4
147196 −
CA = 27
19) El individuo que mandó a fabricar la escalera, solicita al fabricante
colocar una cinta en baño de oro como adorno para la escalera, dicha
cinta deberá colocarse a lo largo de un segmento representado en la
figura 6 por DE, además en la figura 6, α y β son congruentes y el punto
E es el punto medio del segmento AC. ¿En metros, qué cantidad de cinta
necesita comprar el fabricante?
a) 2,80 metros b) 3,5 metros
c) 6,30 metros d) 7,10 metros
42
53
32d) unidades
20) En el triángulo ABC de la figura 7, sabiendo que el ángulo con vértice en
A es de 60º, el ángulo con vértice en B es de 20º, la distancia del lado AB
es de 9 unidades y la distancia del segmento AC es de 4 unidades. La
altura del triángulo ABC es:
a) 5 unidades
b) unidades
c) unidades
Como E es el punto medio del segmento CA y D es el punto medio de AB, entonces, la distancia del segmento ED es la mitad de la distancia del segmento CB. Por lo tanto, ED = 3,5 metros.
Como AC = 4 unidades:
32CD
CD2344
CD23
4CDº60sen
=⇒
=⇒
=⇒
=