repÀs bioestadÍstica ii part interval de confianÇa proves d'hipÒtesis comparaciÓ de dues...

Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 1

REPÀSBIOESTADÍSTICA

II PART

INTERVAL DE CONFIANÇAPROVES D'HIPÒTESIS

COMPARACIÓ DE DUES VARIABLES


REPÀSINTERVAL DE CONFIANÇA


Repàs interval de confiança

Interval de confiança d’una mitjana:

σ coneguda

σ desconeguda, n gran (n≥30)

σ desconeguda, n petita (n<30)

nz

2

2X

n

sz

2

2X

n

st

,n

2

21X


Repàs interval de confiança

Interval de confiança d’una proporció:

n

)p(pzp 00

20

1


REPÀSPROVES D’HIPÒTESIS


Repàs proves d’hipòtesi

Una prova d’hipòtesis consta de quatre elements:

Hipòtesis nul·la (H0) Hipòtesis alternativa (Hα) El estadístic de la prova La regió de rebuig o regió crítica



• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = a

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a

• El estadístic de la prova (σ coneguda)

• Sota la hipòtesi H0 certa

• La regió de rebuig o regió crítica

Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2)

Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96

nNX ,:

),(N

n

ZX

10-X-X

2



• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ a

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a




Rebuig de H0 si z Є (zα,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-∞,zα)

Si α=0.05 z α= z 0.05=1.645

nNX ,:

),(N

n

ZX

10-X-X

2



• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = a

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a

• El estadístic de la prova (σ desconeguda)



Rebuig de H0 si t Є (-∞,-t n-1,α/2) o t Є (t n-1,α/2,∞)

Acceptació de H0 si t Є (- t n-1,α/2,t n-1,α/2)

Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1)

n,t:X )n( 1

12

-X-X n

X

t

n

sT



• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ a

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a

• El estadístic de la prova (σ desconeguda)



Rebuig de H0 si t Є (t n-1,α,∞)

Acceptació de H0 si t Є (-∞ ,t n-1,α)

Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1)

nNX ,:

12

-X-X n

X

t

n

sT


Contrastos unilateral i bilateral

La posició de la regió crítica depèn de com es facin les hipòtesis.

Unilateral Unilateral

Bilateral

H0: µ ≤ aH1: µ ≥ a

H0: µ ≥ aH1: µ ≤ a

H0: µ = aH1: µ ≠ a

- z/2 z/2

- z z


Exercici

Sigui X una variable aleatòria amb desviació estàndar = 2

Volem testar:

• Si la mitjana de X es 40

• Si la mitjana de X es igual o menor que 40

Agafem una mostra de 16 elements.

Calculem la seva mitjana i ens dona 40’90


Exercici

• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = 40 H0: µ ≤ 40

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ 40 Hα : µ > 40


• Sota la hipòtesi H0 certa 162,40: NX

)1,0(

162

04-X-X22

N

n

Z

8150

900

162

409040

9040

2'

'

''Z

'X


Exercici

Pel test bilateral, la regió de rebuig o regió crítica es:

Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2)

Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96

Rebuig de H0 si z Є (-∞, -1’96) o z Є (1’96,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-1’96,1’96)

1’80 esta dintre de la regió de acceptació.

Acceptem la hipòtesi nul·la, la mitjana es igual a 40


Exercici

Pel test unilateral, la regió de rebuig o regió crítica és:

Rebuig de H0 si z Є (zα,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-∞ ,zα)

Si α=0.05 z α= z 0.25=1.645

Rebuig de H0 si z Є (1’645,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-∞, -1’645)

1’80 esta dintre de la regió de rebuig.

Rebutgem la hipòtesi nul·la,

Acceptem hipòtesi alternativa, la mitjana es major que 40


Tipus de error, poder i nivell de confiança

DecisióPoblació real

H0 és falsa H0 és certa

Es refusa la H0 Decisió correcte1- (poder)

Risc (error tipus I)

No es refusa la H0 Risc (error tipus II)

Decisió correcte1- (confiança)

[ ] [ ]certaésH|HrefusarobPr=ItipuserroruncometreobPr=α 00

[ ] [ ]falsaésH|HrefusaesnoobPr=IItipuserroruncometreobPr=β 00

[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00

1- és el nivell de confiança






[ ] [ ]certaésH|HrefusarobPr=ItipuserroruncometreobPr=α 00







Contrast per al paràmetre p

n

p1p

ppz

oo

o

- z

1 -

z

1 -

- z/2 z/2

1 -

Hipòtesi nul·la

Ha

Hipòtesi alternativa

Ha

Tipus de contrast

Estadístic de contrast

Regió d’acceptació

P = Po P ≠ pobilater

al

segueix una llei N(0,1)

(-z/2,z/2)

P po P > pounilater

al(-∞,z)

P ≥ po P < ppunilater

al(-z,+∞)


REPÀSCOMPARACIÓ DUES

VARIABLES


Resum de la comparació de dues mitjanes observades• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µA- µB = 0• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA- µB ≠ 0• El estadístic de la prova


• La distribució del estadístic de la prova i la formula del estimador de EE depèn de:

• La mida de les mostres• La normalitat de X en els dos grups• La variança de X sigui igual en els grups

^^

BA XX

EE

d

EE

EE: Desviació estándar de la diferencia de mitjanes


Resum de la comparació de dues mitjanes observadesEstratègia:

coneguda (1) desconeguda

nA i nB 30 (2) nA i/o nB < 30

Distribució Normalvariàncies homogènies (2

A = 2B) (3)

variàncies NO homogènies (2A 2

B)(4) Distribució no Normal proves no paramètriques


1 coneguda

2 desconeguda, n gran

3 desconeguda, n petita, X normal, 2A = 2

B

4 desconeguda, n petita, X normal, 2A 2

B

EEBA nnBA 22

+ = EE B

2

A

2

ns

ns BA

EE BA n

sns

22

ˆˆ

2 - +

2BB

2AA

= nn

s1)-n(+s1)-n( s

BA

2

)1,0(NEE

dZ

)1,0()2( _ NnntEE

dT grann

bA

)2( bA nntEE

dT


Exercici

Un grup de 16 individus que segueix una dieta A te una mitjana de IMC de 27 amb una desviació estàndard de 4.

Un grup de 13 individus que segueix una dieta B te una mitjana de IMC de 27 amb una desviació estàndard de 5.

Tenen els dos grups el mateix IMC amb una significació α=0’05 ?

Quin es el grau de significació?


• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µA- µB = 0• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA- µB ≠ 0• El estadístic de la prova


• Situació: desconeguda • n petita, • X normal, 2

A = 2B

^^

BA XX

EE

d

EE

EE: Desviació estándar de la diferencia de mitjanes

Exercici


desconeguda, n petita, X normal, 2A = 2

B

EE BA n

sns

22

ˆˆ

2 - +

2BB

2AA

= nn

s1)-n(+s1)-n( s

BA

2

)2( bA nntEE

dT

Exercici


Resultats

Estimació de la variància comuna (2) a partir de la mitjana ponderada pels graus de llibertat de les variàncies s2

A i s2B

'444427

120

2 - 13 165 1)-(134 1)-(16

s2

5;B 23; ;31

4;A 27; ;61

sXn

sXn

2

BB

2

AA

27 2 - 13 16 gl


+ = EE ns

ns

O

2

P

2

Càlcul de l’Error Estàndard

1'659 13

16

EE 4'4444'444

22


⇒

-

EE

d t ⇒

- d

tyy

yy

27

O

2

P

2

O P

O P

ns

ns

Càlcul de l’estadístic de contrast: t de Student

2'411 1'659

4 t ⇒

432-72 d


Resultats

El grau de significació es aquell valor de α tal que

411,22

,27t

La regió critica o de rebuig serRebuig de H0 si t Є (-∞,-t 27,α/2) o t Є (t27,α/2 ,∞)

Acceptació de H0 si t Є (-t27,α/2 ,t27,α/2 )

Si α=0.05 t27,α/2= t27,0.025=2’0518

2’2411 esta en la regió critica,

Rebutgem H0, les mitjanes del IMC en el grup A i el grup B no es poden considerar iguals


Comparació de dues variables qualitatives

Una taula té f files i c columnesPer cada casilla de la taula calculem

ofc = freqüències observades

efc = freqüències

esperades

Variable 2 Total

1 .... f

Variable 1

1 n 3.

...

f n 1.

Total n.1 n.3 n

n

nne

.ji.

ij


Comparació de dues variables qualitatives

))1)(1((~

22

1 1

2

∑∑)-(

fcc

i

f

j eij

eijoij

Ho: Les distribucions de les categories de una variable NO SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable.

H1: Les distribucions de les categories de una variable SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable.

Estadístic de contrast:

Regió crítica:

Rebuig de H0 si X2 > X2 ( α , (c-1)(f-1) )

Acceptació de H0 si X2 < X2 ( α , (c-1)(f-1) )


Mida de la mostra per comparar dues proporcions observades

BA

BBAAβα

2

pp

p1pp1pzp1p2z-

---2

n

n = nombre d’individus necessaris a cada grup z = valor de z corresponent al risc fixat z = valor de z corresponent al risc fixat pA = valor de la proporció esperada al grup A pB = valor de la proporció esperada al grup B pA-pB = valor mínim de la diferencia que es vol

detectar p = mitjana ponderada de les proporcions pA i pB

repÀs bioestadÍstica ii part interval de confianÇa proves d'hipÒtesis comparaciÓ de dues...

Documents