1. intervalo de confiança parte i
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Parâmetros:
Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da população =(, 2 , p).
Identificada uma v.a. X sus parâmetros podem ser a média e variância
Estatísticas: Uma estatística T é uma função
de X1, X2 ..., Xn
Parâmetros e Estatísticas
nXXXfT ,,, 21 1
Parâmetros e Estatísticas
)p̂,ˆ,ˆ(ˆ 2
Parâmetros: =(, 2 , p)
Estimativas:
nxpsX ˆˆˆ 22
2
)(X nXiX
)(2 XVar )1/()( 22 nXxS i
Denominação População Amostra
N de elementos N n
Média
Variância
Proporção p p̂
Símbolos mais comuns a seguir
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Amostras
Distribuição amostral da estatística T
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População com media
Uma amostra aleatóriasimples de n elementos é selecionada a partir
da população
Os dados da amostrafornecem um valorpara a média da
amostra X
O valor de é usado para fazer inferências
sobre o valor de
X
O valor esperado de iguala-se a a partir da qual a amostra é extraída.
X
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Teorema Central do Limite
Dado que :
• A variável aleatória X tem distribuição (que pode ser
normal, ou não), com média e desvio padrão .
• Amostra de tamanho “n” são extraídas aleatoriamente
dessa população.
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Teorema Central do LimiteConclusões:
• Na medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição das médias amostrais tende para uma distribuição normal.
• A média das médias amostrais será a média populacional.
• O desvio padrão das médias amostrais será x
nx
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Teorema Central do LimiteRegras Práticas de Uso Comum:
• Para amostras de tamanho n > 30, a distribuição das médias
amostrais pode ser aproximada satisfatoriamente por uma
distribuição normal.
• Se a própria distribuição original tem distribuição normal,
então as médias amostrais terão distribuição normal para
qualquer tamanho amostral n.X
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Intervalo de Confiança IC
Um intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) é uma amplitude (ou um intervalo) de valores que tem probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional.
=(,2 , p)
)()( xUxL
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Intervalo de Confiança IC
A partir de uma amostra de uma distribuição f(x,), que depende de um parâmetro desconhecido, desejamos encontrar um intervalo aleatório que contenha com alta probabilidade
é chamado de intervalo de confiança (1-) se
)()( xUxL
1)()(Pr xUxL
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Estimação:
Um estimador é uma estatística amostral utilizada para obter uma aproximação de um parâmetro populacional.
)p̂,ˆ,ˆ(ˆ 2 Uma estimativa pontual é um valor (ou ponto) único usado para aproximar um parâmetro populacional.
nxpsX ˆ,ˆ,ˆ 22
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Estimativa de uma Média Populacional: Grandes Amostras
Coeficiente de confiança é a probabilidade ( 1- ) de o intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional.
Coeficiente de Confiança(1- )
/2 /2
12
Coeficiente de Confiança(1- )
/2 /2
z/2- z/2A distribuição normal
padronizada o valor z/2 é o valor crítico
O grau de confiança é também chamado de nível de confiança ou coeficiente de confiança.
Estimativa de uma Média Populacional: Grandes Amostras
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Valores críticos mais comuns:
1 - 0,80 0,85 0,90 0,95 0,99z/2 1,28 1,44 1,645 1,96 2,58
/2 /2 1 -
0 z/2- z/2
Normal(0,1)
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A margem de erro, denotado por E é a diferença máximaprovável (com probabilidade 1- ) entre a média amostralobservada e a verdadeira média populacional .X
A margem de erro pode ser obtida multiplicando-se o valorcrítico pelo desvio padrão das médias amostrais,
n.zE
2
Margem de Erro
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Áreas de uma distribuição amostral de usada parafazer declarações de probabilidade sobre o erro deamostragem
/2 /2
Distribuição amostral da X
(1- )%
X
n
z 2/
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Tamanho da Amostra para estimar
Pode-se aplicar a fórmula E também para determinar o
tamanho da amostra que é necessário para atingir um grau de
precisão desejado .
Resolvendo a equação do erro em n obtemos,
2
2
Ez
n
n.zE
2
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Intervalo de Confiança para a média populacional (com base a grandes amostras: n > 30)
EXEX Onde n.zE
2
nzX;
nzX
22
Outras formas equivalentes de escrever:
• com variância conhecida o intervalo de confiança 100(1-)% para
Intervalo de Confiança (IC) para
• com variância desconhecida, usa-se a distribuição normal com o estimador s2 de 2 .
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Intervalo de Confiança (IC) para
Exemplo 1: Sejam X1, X2, ... X40 uma amostra aleatória de umavariável aleatória que tem distribuição Normal com médiadesconhecida e variância = 410. Se encontre umintervalo de confiança 95% para ..
1428X
Olhando a tabela da Distribuição Normal, temos que o ponto crítico,
tal que
Se = 0,05, temos que z0,025 = 1,96.
2/2/ zZP
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Intervalo de Confiança (IC) para
Pr[Z > 1,96 ] = 0,025Pr[Z < - 1,96]= 0,025
- 1,96
Pr[-1,96 < Z < 1,96] = 0,95
1,96
O IC de 95% de confiança para a é [1300,85 ; 1555,15]
20
Intervalo de Confiança para a média populacional (com base a pequenas amostras: n < 30)
Variáveis aleatórias independentes, então:
• com variância desconhecida
Intervalo de Confiança (IC) para
Pode-se mostrar que:
e 21n
2~S)1n(
)1,0(Normal~Xn
1nt~
SXn
21
Intervalo de Confiança para a média populacional (com base a pequenas amostras: n < 30)
nstX
nstX nn 11 ;
• com variância desconhecida
Intervalo de Confiança (IC) para
O intervalo de confiança 100(1-)% para
Onde t é o percentil (1 - /2) da distribuição de Student com n -1 graus de liberdade.
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Intervalo de Confiança (IC) para
nstX
nstX nn 11 ;
/2 /2
tn-1- tn-1
Pr[ t > tn-1] = /2
Ex. Se n = 10 e = 0,05, temos Pr[ t < 2,262] = 0,975
23
Intervalo de Confiança (IC) para
Exemplo 2: Sejam X1, X2, ... X40 uma amostra aleatória de uma variável aleatória que tem distribuição Normal com média e variância desconhecidas. Dado que
e s= 496, encontre um intervalo de confiança 95% para .
1428X
Se n > 30, então usa-se a distribuição normal com
estimador s2 de 2.
24
Intervalo de Confiança (IC) para
Pr[Z > 1,96 ] = 0,025Pr[Z < - 1,96]= 0,025
- 1,96
Pr[-1,96 < Z < 1,96] = 0,95
1,96
O IC de 95% de confiança para a é [1274,18 ; 1581,82]
25
Intervalo de Confiança (IC) para
Exemplo 3: Sejam X1, X2, ... X25 uma amostra aleatória de uma variável aleatória que tem distribuição Normal com média e variância desconhecidas. Dado que e s2 = 36, encontre um intervalo de confiança 95% para .
15X
Olhando a tabela da Distribuição t de Student, temos que o ponto
crítico t24,0,025=2,064 então
Pr[t24 > 2,064] = 0,025.
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Intervalo de Confiança (IC) para
Pr[t > 2,064 ] = 0,025Pr[t < - 2,064]= 0,025
- 2,064
Pr[-2,064 < t < 2,064] = 0,95
2,064
O IC de 95% de confiança para a é [ 12,523 ; 17,477]
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Lembrando que quando p populacional é conhecida, tem distribuição assintotica
.
pp zpzp ˆ0ˆ022
ˆ;ˆ
Logo, temos que o IC para a proporção populacional ao nível de significância (1-) :
Intervalo de Confiança (IC) para proporções
nxp ˆ
npqpNp ,ˆ
Para construir o IC para p desconhecida, determinarmos na amostra e consideremos
0p̂
nqp
p00
ˆˆˆ
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Exemplo: Retiramos de uma população uma amostra de 100elementos e encontramos 20 sucessos. Ao nível de 1%, construir umIC para a proporção real de sucessos na população.
Intervalo de Confiança (IC) para proporções
29
O IC de 99% de confiança para p é [ 0,0972; 0,3028]
Aumentando o tamanho da amostra para melhorar a precisão.
•Uma maneira de melhorar a precisão do intervalo de confiança semdiminuir o nível de confiança é aumentar o tamanho da amostra.
Obtendo o tamanho mínimo da amostra para estimar p
Dado um nível de confiança (1-) e um erro máximo de estimativa E, omínimo tamanho necessário da amostra para estimar p é
Essa formula supõe que haja uma estimativa preliminar para e .
Caso não seja assim, use e30
22/ˆˆ
Ezqpn
p̂ q̂
5,0ˆ p 5,0ˆ q
Determinando um tamanho mínimo para a amostra.
•Você é auxiliar em uma campanha política e deseja estimar, com 95% de confiança, a proporção de eleitores registrados que votarão em seu candidato.
•Qual é o mínimo tamanho necessário da amostra para estimar a proporção populacional com precisão dentro de 3%?
Solução: Uma vez que não temos estimativas preliminares usaremos
e . Usando e E=0,03 temos que
Pelo menos 1.068 eleitores registrados devem ser incluídos na amostra.
Exemplo
5,0ˆ p
31
5,0ˆ q 96,12/ z
11,106703,096,1)5,0)(5,0(ˆˆ
222/
Ezqpn
População Normal com média desconhecida.
111
21
22
22
2 snsnP
Logo, o IC para a proporção populacional ao nível de significância (1-) :
Intervalo de Confiança (IC) para a variância
21
2
1
2
n
n
ii xx
Demostra-se que tem distribuição relacionada com com (n-1) graus de liberdade, isto é,
n
ii xx
1
2 2
Como temos 22
11
xxns i 2
1
2 1 snxxn
ii
221
2 1 snn
32
111
21
22
22
2 snsnP
O IC para a variância populacional ao nível de significância (1-) :
Intervalo de Confiança (IC) para a variância
Onde: e 2)%2/(,1
21 n
2)%2/1(,1
22 n
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Exemplo: Sabe-se que o tempo de vida de certo tipo de válvula tem distribuição aproximadamente normal. Uma amostra de 25 válvulas forneceu média amostral de 500 h e s=50 h. Construir um IC para 2, ao nível de 2%.
Intervalo de Confiança (IC) para a variância
Se n = 25, s2=2500 856,102%1,24
21 980,422
%99,2422
111
21
22
22
2 snsnP
34
O IC de 98% de confiança para 2 é [ 1395,9; 5526,9]