RentasCONCEPTOLa renta se define como un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de tiempo.Para que exista renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos: Existencia de varios capitales, al menos dos. Periodicidad constante, entre los capitales, es decir, entre dos capitales consecutivos debe existir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera que sea).CLASES. RENTAS TEMPORARIASUnarenta temporales aquella compuesta por una serie de cantidades a lo largo de un periodo de tiempo.Antes de comenzar a analizar cada caso, si debemos precisar que, en estos casos, siempre utilizaremos el inters compuesto. Tambin, debemos sealar que es especialmente importante para evitar errores, y antes de comenzar ningn clculo, hacer la representacin grfica de los flujos, que consistir en hacer una linea en la que indicaremos en que momento temporal se percibe cada cantidad. Esta herramienta nos permitir asegurarnos cuantos periodos debemos descontar cada una de las cantidades.Siguiendo la imagen de la derecha, imaginemos una renta de las cantidades Q1, Q2, Q3,... que se cobran al final de cada periodo, 1, 2, 3,... El valor presente de esa renta temporal, consistir simplemente en calcular el valor presente de cada una de las cantidades que componen la renta, tal y como representa la frmula.A partir de este sencillo ejemplo, podremos construir casos ms complejos donde las cantidades tampoco sigan un patrn temporal,sino que se cobren en distintos momentos del tiempo, pero la base seguir siendo la misma; el valor presente de las cantidades que componen la renta. Un ejemplo sera esta segunda imagen, donde los flujos no se producen al final de cada periodo, sino que se producen, Q1 a la mitad del primer periodo, Q2 entre el 2 y el 3 y Q3 al final del 3. Adems, se podra seguir complicando, considerando que el tipo de inters anual es distinto para cada cantidad, ya que no es lo mismo una operacin aun ao que a tres aos (si por un depsito a 1 ao pedimos un 5% anual, para un depsito a 3 aos normalmente pediremos ms de un 5% anual).Como vemos, la parte ms importante para el clculo del valor de una renta, es comprender el momento temporal en que cada cantidad se produce, que es la base para conocer por cuanto tiempo deberemos retraerlo hasta el momento presente.Frmula renta temporalTeniendo en cuenta el caso ms genrico, podra expresarse como sigue:

dondeVA.- Valor actual o presente de la renta considerada Q1, Q2, Q3,... seran las cantidades que componen la renta n1, n2, n3,... seran el momento temporal en que se recibe cada cantidad de la renta k1, k2, k3,... seran los tipos de inters para cada periodoAdems de los casos expuestos, donde hemos calculado el valor actual o presente, puede ser necesario el clculo del valor futuro, como sera el caso del valor futuro de un plan de ahorro, por ejemplo, al que aportamos una cantidad mensual, trimestral o anual, que nos permitir conocer que cantidad tendremos al final/vencimiento del producto. En este caso, en lugar de dividir cada flujo por el inters compuesto hasta el momento presente, nicamente deberemos multiplicar por ese inters compuesto hasta el momento futuro que deseemos.Sincrnicas o constantes.Vamos a estudiar una renta constante (trminos de igual cuanta), temporal (tiene un nmero determinado de capitales), pospagable (los trminos vencen al final del perodo), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (trminos y tanto estn en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calcular en rgimen de compuesta (renta compuesta).2.1.1. Clculo del valor actualComenzaremos por la renta constante ms fcil, la que tiene como trmino la unidad (renta unitaria), cuya representacin grfica es la siguiente:

Aplicando la definicin de valor actual y llevando los trminos uno a uno, descontando en rgimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde estn cada uno de los capitales hasta el origen se obtiene el valor actual, que se nota con la siguiente terminologa ani, donde n representa el nmero de capitales e i el tanto de valoracin:

que supone la suma de n trminos en progresin geomtrica decreciente de razn:

que se puede calcular con la siguiente expresin:

que permite sumar n trminos en progresin decreciente, donde a1es el primer trmino de la progresin, anes el ltimo trmino y r es la razn.Aplicando dicha frmula a los trminos actualizados de la renta y simplificando posteriormente:

expresin que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre s hasta su origen al tanto de inters i.Sin embargo, el importe de los capitales no suele ser unitario. En el supuesto de encontrarnos con una renta constante cuyos trminos fueran de cuanta c, el valor actual se representa por Ani y se obtendra de la siguiente forma:

Sacando factor comn el trmino c:

Donde el corchete es el valor actual de la renta unitaria, temporal, pospagable, inmediata y entera de n trminos, ani:

La expresin Ani indica, pues, que la renta es constante de cuanta diferente de la unidad.EJEMPLO Calcular el valor actual de una renta de tres trminos anuales vencidos de 100 euros cada uno a un tanto de inters del 10% efectivo anual.

Moviendo los capitales uno a uno:

Utilizando la renta:

2.1.2. Clculo del valor finalSeguimos trabajando con la misma renta constante, unitaria, temporal n capitales, pospagable, inmediata y entera; pero ahora vamos a calcular su valor final, es decir, valoraremos todos los trminos de la renta en su final (momento n), quedando grficamente as:

Aplicando la definicin de valor final y llevando los trminos uno a uno, capitalizando en rgimen de capitalizacin compuesta al tanto de la renta i, desde donde se encuentra cada uno hasta el final, se obtiene el valor final, que se nota con la siguiente terminologa sni siendo n el nmero de capitales e i el tanto de valoracin:

Que no es sino la suma de n trminos en progresin geomtrica creciente de razn r = 1 + i, que se puede calcular con la siguiente expresin:

donde a1 es el primer trmino de la progresin, an es el ltimo trmino y r es la razn.Aplicando dicha frmula a los trminos capitalizados de la renta y simplificando posteriormente queda:

Al mismo resultado hubisemos llegado si se capitaliza el valor actual de la renta hasta su final empleando el mismo tanto de valoracin:

por tanto el valor final de la renta ser la capitalizacin de su valor actual.Comprobacin:

En el supuesto de ser los trminos de cuanta c, el valor final (Sni) se calcular as:

Simplificando, tomando factor comn el trmino c:

Donde el corchete es el valor final de la renta unitaria, temporal de n trminos, pospagable, inmediata y entera, sni:

Y, de igual forma, se puede obtener capitalizando el valor actual:

EJEMPLO Calcular el valor final de una renta de tres trminos anuales vencidos de 100 euros cada uno a un tanto de inters del 10% efectivo anual.

Desplazando los capitales uno a uno:V3= 100 x (1 + 0,1)2+ 100 x (1 + 0,1) + 100 = 331 Utilizando la renta:

Capitalizando el valor actual:V3= 248,69 x (1 + 0,1)3= 331 RENTAS DIFERIDASSon aquellas que se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el momento de valoracin se denomina perodo de diferimiento de la renta. Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n trminos) y pospagable se trata de valorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoracin elegido. Grficamente quedara:

Al aplicar la definicin de valor financiero en el momento t:

Sacando factor comn:

quedar:

Donde el corchete representa el valor actual de la renta unitaria, temporal (n trminos), pospagable, inmediata y entera (ani), que posteriormente se descuenta como un capital nico, al mismo tipo (i), durante el perodo de diferimiento (d). Por tanto, se obtendra el mismo resultado si valoramos la renta en su origen (se considera como inmediata y se calcula su valor actual) y posteriormente se descuenta dicho valor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, en rgimen de descuento compuesto al tanto de inters vigente durante el perodo de diferimiento. Grficamente sera:

Analticamente quedara as:

Expresin esta que puede notarse de forma abreviada de la siguiente forma: d/ani, donde n representa el nmero de trminos de la renta, i, el tanto de valoracin y d, el perodo de diferimiento. Si la renta fuera constante, pero de cuanta diferente de la unidad (no unitaria) todo lo dicho seguira siendo vlido y bastara con multiplicar el valor de la renta unitaria por la cuanta del trmino.

El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, si lo que se quiere calcular es el valor final de la renta, aplicando la definicin de valor final se ratar como una renta inmediata, aunque tambin se podra obtener dicho valor final a partir del valor actual diferido:

Vn= V0x (1 + i)n= Vtx (1 + i)d+nEJEMPLO Calcular el valor actual y final de una renta cuya duracin es de 5 aos, con trminos anuales prepagables de 2.700 euros sabiendo que se empiezan a devengar dentro de 3 aos. Tanto de valoracin 11% efectivo anual. Se trata de una renta diferida 3 aos, con trminos prepagables y 5 trminos. Valor actual:

Valor final:

El diferimiento no afecta al valor final, que se poda haber calculado como el de una renta inmediata de 5 trminos prepagables:

RENTAS ANTICIPADASSon aquellas que se valoran con posterioridad a su final. El tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de valoracin se denomina perodo de anticipacin de la renta. Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n trminos) y pospagable se trata de valorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoracin elegido. Grficamente quedara:

Al aplicar la definicin de valor financiero en el momento t:Vn+h= (1 + i)h+ (1 + i)h+1+ (1 + i)h+2+ ... + (1 + i)h+n-1Sacando factor comn (1 + i)hquedar lo siguiente:Vn+h= (1 + i)hx [1 + (1 + i) + (1 + i)2+ ... + (1 + i)n-1]Donde el corchete representa el valor final de la renta unitaria, temporal (n trminos), pospagable, inmediata y entera (sni), que posteriormente se capitaliza como un capital nico, al mismo tipo (i), durante el perodo de anticipacin (h). Por tanto, si primero se valora la renta en su final y posteriormente capitalizamos el valor final, como un solo capital, se obtendra el mismo resultado.

Analticamente quedara as:

Expresin esta que puede notarse de forma abreviada de la siguiente forma: h/s ni, donde n representa el nmero de trminos de la renta, i, el tanto de valoracin y h, el perodo de anticipacin. La anticipacin solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizar como si de una renta inmediata se tratara, cumplindose la siguiente relacin entre diferentes valores de la renta:

Todo lo anterior se cumple, de igual forma, para rentas constantes de cuanta diferente a la unidad (no unitarias).EJEMPLO Calcular el valor actual y final de una renta de 3 trminos anuales de 1.000 euros pagaderos por vencido si la valoracin al 7% anual se efecta a los 8 aos de comenzada la renta. Se trata de una renta anticipada, puesto que la valoracin se realiza 5 aos despus de haberse hecho efectivo el ltimo capital. No obstante, la anticipacin no afecta al valor actual que se resolver como una renta inmediata.

Valor actual:

Valor final:

tambin: V8= V0 x(1 + 0,07)8= 2.624,32 x (1 + 0,07)8= 4.509,06