REGULARIDADES NUMERICASEn la vida cotidiana se nos presentan muchas situaciones donde aparecen regularidades numricas o secuencias numricas (tambin puede ser secuencia de objetos de forma ordenada).Para nuestro inters en ejercitar las destrezas matemticas, la primera y ms importante secuencia numrica es la de los nmeros naturales, o sea los nmeros que se utilizan para contar y ordenar objetos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...Esta secuencia de los nmeros naturales es la ms importante ya que sirve de base para iniciar, siempre desde el 1 (o primer lugar), cualquier otra secuencia dada, pues, como veremos luego, la ubicacin en una secuencia es trascendental para los clculos numricos (ya se entender cuando hablemos de n).Veamos otros ejemplos de secuencias numricas:Secuencia de nmeros pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... Secuencia de nmeros impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...Secuencia de mltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 26, ...Secuencia de cuadrados de los nmeros naturales: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...Secuencia de cubos de los nmeros naturales: 1, 8, 27, 64, 125, ...Secuencia de potencias de 2: 2, 4, 8, 16, 32, ...Estas secuencias numricas se denominan sucesiones. Entonces:Una sucesin de nmeros reales es una secuencia ordenada de nmeros reales que sigue una determinada ley de formacin.Los nmeros que forman la sucesin se denominan trminos. Todas las sucesiones tienen un primer trmino y cada trmino tiene un siguiente. Las sucesiones se nombran con una letra y un subndice (n) cuyo valor depende del lugar que el trmino ocupa en la sucesin (ese valor empieza siempre en 1, y sigue 2, 3 ,4 ,5, 6, 7, etctera): De este modo: a1, a2, a3, a4, ...Trmino general El trmino general de una sucesin es una expresin (frmula o patrn o regla) que permite conocer el valor de cualquiera de los trminos en funcin del lugar que ocupa. Se expresa mediante an.Ejemplo: Si el trmino general de una sucesin es an = n2 + 1Para obtener un trmino cualquiera, se sustituye n por el valor del lugar que ocupa el trmino en la sucesin. As, a modo de ejemplo, el tercer trmino ser: a3 = 32 + 1 = 9 + 1 = 10 As, por ejemplo, la serie 1, 3, 5, 7, . . . son los nmeros definidos por la frmula 2n 1, pues si n es reemplazado por los nmeros naturales, 1, 2, 3, 4, . . . se genera la serie dada.El siguiente cuadro sirve para comprobar lo anterior:n123456789. . .100. . .k

2n - 11357911131517199

Si se desea saber el nmero de la serie que ocupa la dcima posicin se reemplaza n = 10 en la frmula 2n 1. (2 10) 1 = 19 Nota importante Tener en cuenta que la expresin 2n 1 no es lo mismo que la expresin 2n 1 Otro ejemplo. Completa la tabla con la serie numrica que genera la frmula 4n + 3.n123456789. . .100. . .k

4n + 37111519232731

Determinacin de la frmulaHasta aqu hemos mostrado ejemplos o ejercicios con la frmula ya establecida o determinada (2n 1 y 4n + 3).En los ejercicios de regularidades numricas se trata de encontrar la frmula (patrn o regla) de formacin de una sucesin. Veamos, como ejemplo 1, el siguiente caso, que se da en un contexto geomtrico:Cuntos palitos de fsforos se necesitan para llegar a formar la figura 23 en esta sucesin? Para saber cuantos fsforos necesitamos para formar la figura 23 (o vigsimo tercera) podramos recurrir al siguiente cuadro:Figura 123456789. . .100. . .n

Fsforos usados357

Y completarlo, sumando 2 fsforos cada vez, hasta llegar al espacio Figura 23.Pero no es necesario completar el cuadro para saber cuntos fsforos necesitamos para armar la figura 23. Para ello debemos determinar la frmula general que nos dar la respuesta de inmediato.Analicemos:Para armar la figura 1 se necesitan 3 fsforos, pero 3 = 2 1 + 1Para armar la figura 2 se necesitan 5 fsforos, pero 5 = 2 2 + 1Para armar la figura 3 se necesitan 7 fsforos, pero 7 = 2 3 + 1Como vemos, el trmino general es 2n donde el 2 indica el nmero de fsforos que debe agregarse cada vez que se avanza en la construccin de las figuras y la n indica (empezando desde la 1) el nmero de la figura, todo eso ms 1; por lo tanto, la frmula o patrn est dada por 2n + 1.Conocida esta frmula 2n + 1 reemplazamos simplemente la n por el 23 y sabemos de inmediato que (2 23) +1 nos da 46 + 1 = 47Por lo tanto, para la figura 23 se necesitarn 47 fsforos.Ejemplo 2. Determina la frmula que genera la serie numrica de la cantidad de fsforos utilizados para construir la figura formada por un nmero dado de cuadrados, como se muestra en las figuras

Veamos:N de cuadrados1234567. . .n

N de fsforos471013

Para armar el cuadrado 1 se necesitan 4 fsforos, pero 4 = 3 1 + 1Para armar el cuadrado 2 se necesitan 7 fsforos, pero 7 = 3 2 + 1Para armar el cuadrado 3 se necesitan 10 fsforos, pero 10 = 3 3 + 1Para armar el cuadrado 4 se necesitan 13 fsforos, pero 13 = 3 4 + 1Partiendo desde el cuadrado 1 necesitamos 3 fsforos cada vez para armar el siguiente, por lo tanto, el trmino general ser 3n + 1Ejemplo 3 El ejercicio de regularidad numrica puede estar dado solo mediante relaciones numricas, como en el siguiente ejemplo:Dadas las siguientes igualdades: 32 = 12 + 4 1 + 442 = 22 + 4 2 + 4 Entonces 1002 ser = a: ?Segn estas igualdades, cada base de la potencia cuadrtica de la derecha tiene 2 unidades menos que cada base de la potencia cuadrtica de la izquierda, por lo tanto, nuestro resultado debe empezar con 982 (obtenido haciendo 100 2); a continuacin viene la multiplicacin de 4 con el mismo nmero obtenido anteriormente (es decir: 4 98) y finalmente le agregamos el nmero 4, por lo tanto: 1002 = 982 + 4 98 + 4 EjerciciosHallar el trminoa. 9 de la secuencia 7, 10, 13, . . . ...............................................b. 12 de la secuencia 5, 10, 15, . . . .............................................. c. 48 de la secuencia 9, 12, 15, . . . .............................................. d. 63 de la secuencia 3, 10, 17. . . . ..............................................e. 12 de la secuencia 11, 6, 1, . . . ..............................................f. 28 de la secuencia 19,12, 5, . . . ...............................................Determina la frmula que genera las siguientes series numricasa. serie 10, 12, 14, 16, . . . ...............................................b. serie 10, 13, 16, 19. . . . .............................................. c. serie 20, 25, 30, 35, . . . ..............................................d. serie 115, 125, 135, 145. . . . ..............................................e. serie -10, -4, 2, 8, . . . .............................................. f. serie 5, 8, 11, 14, . . . ...............................................Quin no conoce el famoso problema de los conejos propuesto por Fibonacci?" Cuntas parejas de conejos se producirn en un ao, comenzando con una pareja nica, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo mes? "El nmero de parejas, mes a mes, es:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, Esta es la llamada sucesin de Fibonacci, con esta sucesin y con otras trabajaremos en este tema