redumat 6 agosto 2014 año 3 nº 6

REDUMAT VOL. 3. AGOSTO 2014. Nº 6

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REDUMAT 6 Vol. 3. No 6. Agosto 2014

Unidad de Investigación en Educación Matemática. FACES-UC

REVISTA DIGITAL DE INVESTIGACION EN EDUCACION

MATEMATICA


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Consejo Editorial

Director-Editor:

Cirilo Orozco Moret

[email protected]

Comité Editorial:

Ana Beatriz Ramos, Celestina Giuffrida,

Gladis Arocha, Pedro Cabrera, Vilma

Morales, Fanny Morales, Germán

Rangel, Miguel Angel Díaz, Jesús Parra,

Adrián Pinto, Magdiel Acosta, Juan

Aguirre, Alfredo Armas, Arnaldo Souto,

Guillermo Arraiz, Sheyla Jiménez,

Wilfredo Díaz, Mary Carmen Ravelo,

Cristina Kudinov.

Colaboradores:

José Boada. Leonardo Vera, Marlene

Figueredo, Maryerlin Valecillos, Kenibel

Munevar, Jhonny Sifontes, Oswaldo

Conde, Rubén Oropeza, Crisóstomo

Ruiz, Fernando Guerrero, Indira

Medrano.

Representante legal:

Abogada: Jesmar Orozco Labrador

UNIVERSIDAD DE CARABOBO

Facultad de Ciencias Económicas

y Sociales

Unidad de Investigación en

Educación Matemática

Ave. Salvador Allende. Edif. FACES. Piso 2,

Cub. 1208. Tf 0414-4717568.

Comisión Coordinadora: Vilma Morales,

Sheyla Jiménez y Guillermo Arraiz

[email protected];

[email protected]

[email protected]

Contenido Nº 6

Consejo Editorial………………………………………………02

Contenido…………………………………………………………02

Presentación……………………………….……………………03

Normas para los autores y colaboradores…………03

SECCION 1: AUTOR NOVEL UIEMAT INEDITO

ADQUISICION DE HABILIDADES DE APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACION MEDIA. Honorio Arellano………………………………………..04

APROXIMACIÓN A LA REALIDAD ININTELIGIBLE DESDE LA PERSPECTIVADE LA GEOMETRÍA FRACTAL. Ahmad Osman ……..………….…..11

CREENCIAS SOBRE LA MATEMÁTICA EN CONEXIÓN CON EL RENDIMIENTO ACADÉMICO DE LOS ESTUDIANTES EN VENEZUELA. Juan C. Jerez R. y Cirilo Orozco-

Moret ………………………….......………...…20

SECCION 2: MATERIAL INSTRUCCIONAL O EXPERIENCIA DIDACTICA UIEMAT INEDITO

LENGUAJE MATEMÁTICO: UN RETO DIDÁCTICO PARA DOCENTES Y ESTUDIANTES. Zambrano, Ronald…………30

SECCION 3: AUTOR UIEMAT REPOSITORIO

LA EVALUACIÓN FORMATIVA DE LOS ALUMNOS COMO ESTRATEGIA COMPLEMENTARIA EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS. Fred González. ………………………………………………..…36


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REDUMAT. Vol 3, Nº 6, Agosto 2014

PRESENTACION

La Revista Digital de Educación Universitaria en Matemática , también conocida como REDUMAT, es una publicación académica que tiene la doble misión de difundir y archivar la producción intelectual de los miembros de la Unidad de Investigación en Educación matemática (UIEMAT). La UIEMAT es una estructura de investigación universitaria que emergió hace 10 años desde las cátedras de Matemática I e Introducción a la Matemática de la Dirección de Estudios Generales (CB) en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo, Campus Bárbula, en Venezuela. Con este nuevo número de REDUMAT, se da continuidad al esfuerzo editorial de la actividad científica y académica de los miembros de esta comunidad de investigación.

NORMAS PARA AUTORES Y COLABORADORES

Normas de publicación para las secciones INEDITO, de contribuciones sobre temas de Investigación en Educación Matemática : a) Se aceptan contribuciones en español e inglés correspondientes a artículos científicos, notas científicas, reportes de diseño de material instrucciones o experiencias didácticas de aula. b) No se aceptarán contribuciones externas de artículos que hayan sido previamente publicados en otra revista electrónica o

impresa. Aunque el comité editorial continuará haciendo un repositorio de la producción intelectual de los miembros de la UIEMAT, en otros medios, en cuyo caso se hará referencia a la fuente original de publicación. c) Deberán tener una extensión mínima de 3000 palabras (aproximadamente 5 cuartillas), y máxima de 5000 (aproximadamente 10 cuartillas). d) Los trabajos pueden ser en coautoría pero no más de tres coautores y los trabajos deberán estar escritos en un lenguaje especializado, dirigido a un público académico. g) Cada contribución deberá constar de los siguientes elementos:

• Título completo, en español e inglés. • Datos del autor o autores: nombre,

correo electrónico, institución u organismo de afiliación.

• Resumen de hasta 200 palabras. • Palabras clave (entre cinco y diez) que

describan el contenido del documento. • Título en inglés. • Abstract. • Keywords • Introducción. • Cuerpo del artículo (dividido por

encabezados o subtítulos no mayores a 5 palabras)

• Conclusiones. • Resumen curricular o semblanza, de los

autores en un párrafo.

h) El autor asume individualmente la propiedad del contenido y responsabilidad del documento presentado y acepta que Redumat queda libre de implicaciones sobre el contenido publicado en nombre del autor.

.


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ADQUISICION DE HABILIDADES DE APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN

EDUCACION MEDIA.

Honorio Arellano. [email protected] .

Universidad de Carabobo. Maestría en Educación Matemática.

Unidad de Investigación en Educación Matemática UIEMAT

RESUMEN.

En el campo de la educación son muchas las inquietudes que presentan una gran gama de profesionales que la ejercen, sin duda alguna una de las asignaturas que presenta un alto índice de reprobados es la Matemática; día a día se ha convertido en un trabajo bastante arduo el enseñar números y más aún que el estudiante relacione los contenidos que se imparten en su vida diaria. En gran parte muchos manifiestan que los mismos no tienen relación con su entorno, cabe señalar que la enseñanza de las matemáticas en la educación media puede considerarse como la base fundamental de la educación superior, donde los temas de estudio son de un nivel más complejo, de tal manera que requiere de un estudio teórico practico a fondo. En un mismo orden, este artículo tiene como objeto reflexionar sobre lo que son las habilidades para la enseñanza de las matemáticas en la educación media.

Palabras clave: Habilidades, Formas de pensamiento, Desarrollo de habilidades matemáticas.

Introducción

En la actualidad uno de los más graves problemas que está enfrentando el campo de la educación es la deficiencia con respecto al dominio de operaciones matemáticas en el ámbito de la educación media; de manera general sin especificar contenidos, a pesar de la buena formación del docente que la imparte y su indagación con respecto a la aplicación de estrategias acorde al objeto de estudio. La problemática aún se mantiene; prueba de esto, está el alto índice de estudiantes reprobados, un gran número de estudiantes toman por opción desertar, sin duda alguna son pocos los que presentan un índice académico alto en esta asignatura.

En un mismo sentido son muchos los investigadores que han coincidido en hacer un análisis a estas consecuencias negativas, partiendo por el estudio de las posibles causas, de tal manera que el mismo permita formular modelos u enfoques que conlleven a un desarrollo y aplicación de modelos de enseñanza que de una u otra forma permitan mejorar el proceso; aunque la situación se sigue presentando.

Puede señalarse también que el entorno de formación del individuo lo que incluye: cultura, comunidad, familia y escuela tienen un gran peso en la motivación del estudiante, es decir; en el interés por aprender matemáticas. También no es un secreto que en la actualidad el exceso de facilismo, los modelos de estudio, las formas de evaluar, el periodo de tiempo de enseñanza de un tema no es el adecuado, realmente son muchos los aspectos que influyen en el proceso de enseñanza. Parece ser que ya no importa la formación de un estudiante integro, participativo, analítico capaz de resolver problemas en su vida cotidiana, tal vez gran culpa es de las influencias de las políticas del gobierno quienes buscan es una gran cantidad de masa sin importar la calidad o intelecto del ser que de verdad se desea formar; en un mismo orden no hay que descansar, quien


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ejerce la docencia de matemática debe indagar la importancia de lo que es el desarrollo de las habilidades para una mejor comprensión de los contenidos de matemática.

Teniendo en cuenta las posibles causas de las deficiencias en matemática en educación media, el propósito de este artículo es hacer reflexión sobre la necesidad del desarrollo de habilidades en los estudiantes para la enseñanza de las matemáticas en educación media como base fundamental para su ámbito de estudio en educación superior.

Se puede decir que las matemáticas consisten en realizar operaciones necesarias para obtener resultado de una acción, o conocer las consecuencias que se pueden operar de unos datos ya conocidos. Desde esta perspectiva, la enseñanza de las matemáticas consiste en un procedimiento mecánico, mediante el cual podemos conocer las consecuencias, aplicando lógica, métodos y símbolos.

Definición de habilidades.

Son capacidades humanas orientadas hacia las ideas rectoras que permiten revelar o profundizar en la esencia del conocimiento, las que se forman apoyándose en las leyes del proceso de asimilación y con la calidad programada previamente y están orientadas hacia la solución de tareas y la formación de los modos de actuación profesional que permitan el logro de los objetivos de la especialidad y de la sociedad en general.

Ellas pueden clasificarse en docentes, lógicas del pensamiento y específicas:

En el caso de las matemáticas proponemos trabajar con las habilidades siguientes:

De Auto educación como son: esclarecimiento del contenido que se ha de asimilar, Procesamiento de ese contenido, fijación organizada del contenido, autocontrol de la actividad de estudio desplegada, interacción con el grupo y la universidad, valoración desde

un punto de vista humano de los procesos y resultados.

De Operaciones y métodos del pensamiento: análisis y síntesis, abstracción y concretización, Globalización y particularización, deducción e inducción.

De Procesos Lógico formales: comparar, Identificar, definir, Clasificar, describir, explicar, interpretar, predecir, Transferir.

De Razonamientos lógico dialécticos: revelar las manifestaciones de las leyes y las categorías generales del desarrollo en el objeto de la matemática y la profesión, mediante el enfoque dialéctico de los conocimientos y durante el proceso de formación de las restantes habilidades por todas las disciplinas como tendencia esencial en la dirección del proceso docente -educativo.

Tipos de pensamientos

Analítico Comprender una situación dividiéndola en partes pequeñas o determinando las implicaciones de una situación paso a paso estableciendo causalidades.

Aproximado Una forma de pensar sobre sugerencias e ideas que no fija su significado de una manera muy precisa, sino que los lleva a significar "aproximadamente" lo que se ha sugerido. Conceptual Es comprender una situación o problema armando las partes a fin de establecer la totalidad Convergente Escoger entre muchas opciones para alcanzar una conclusión. Divergente Generar tantas ideas u opciones como sea posible en respuesta a una pregunta abierta o a un reto. Duro


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Los conceptos duros son muy concretos, sin ambigüedad, mientras que los suaves admiten muchas más matizaciones. El pensamiento duro tiende a ser rigurosamente lógico, preciso, exacto. Disponible Una aproximación a la resolución de problemas que implica apertura y sensibilidad a todas las formas posibles de establecer conexiones. Jónico Se caracteriza por concebir activamente dos o más ideas, imágenes o conceptos opuestos simultáneamente. Lateral Tiene como objetivo el cambio de modelos. Es al mismo tiempo una actitud y una forma de tratar la información. Lógico Es el pensamiento normal, que supone una concatenación de ideas correctas mediante pasos que se pueden justificar. Metafórico Unir dos conceptos de forma que el resultado sea una mejor comprensión de uno de ellos. Se puede practicar respondiendo a las dos grandes preguntas metafóricas:

• ¿A qué se parece esto? • ¿A qué no se parece esto?

Sistémico Actitud del ser humano que se basa en la percepción del mundo real en términos de totalidades para su análisis y comprensión. Divergente Para describir el uso óptimo de ambos hemisferios del cerebro, el derecho y el izquierdo. Obtenemos mejores resultados en los negocios y en la vida de cada día, dice, cuando combinamos elementos del pensamiento convergente, ordenado, detallista del hemisferio izquierdo, y el pensamiento divergente, creativo, global del hemisferio derecho. Suave

El pensamiento suave es metafórico, aproximado, difuso, gracioso, juguetón y tolera contradicciones.

Cómo desarrollar el pensamiento y las habilidades lógico matemático de los alumnos en educación media.

Para poder desarrollar el pensamiento lógico de los alumnos a través de la enseñanza de las Matemáticas en educación media es necesario tener en cuenta un sistema de reglas, acciones y postulados metodológicos que favorecen el desarrollo de este tipo de pensamiento en los escolares. En este artículo se tiene como propósito de ofrecer en forma de postulados las reglas principales que hay que tener en cuenta para poder desarrollar habilidades matemáticas en el pensamiento lógico matemático de los alumnos de educación media.

A continuación se ofrece un sistema de reglas que son necesarias tener en cuenta por parte de los maestros para contribuir al desarrollo de un pensamiento lógico matemático en sus alumnos.

-Estudie la teoría relacionada con el pensamiento lógico y trate de aplicarla a sus alumnos de acuerdo a las condiciones concretas que tiene en el aula. -No haga usted lo que pueden hacer sus alumnos. Recuerde que el maestro es el dirigente del proceso de enseñanza aprendizaje, que su función es guiar, orientar, supervisar y dirigir el trabajo de los alumnos, por tanto no se trata de hacer las cosas, sino que el alumno las realice bajo su dirección. -Siempre que sea posible, deje que sean los alumnos los que descubran los conocimientos. Planifique actividades para que sean los alumnos los que descubran por si mismo los conocimientos, de esta forma son más duraderos y los alumnos sienten el placer de ser investigadores. Por ejemplo, para impartir el conocimiento de que “la suma de los ángulos interiores de


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un triángulo suman 180º” el método más efectivos es que los alumnos tracen distintos tipos de triángulos, midan sus ángulos y se den cuenta de que cualquiera que sea el triángulo que trace siempre la suma de sus ángulos interiores va a ser de 180 grados. No se anticipe a las respuestas de los alumnos, sea paciente. Un mal de muchos maestros es la impaciencia que muestran cuando realizan alguna pregunta y los alumnos no le responden, llegando a cometer el error de anticiparse a las respuestas de los alumnos o contestarse él mismo. Sea paciente, pregunte lo que quiera varias veces y de distintas formas hasta que los alumnos puedan realizar sus propios razonamientos. -Trate de lograr que el alumno adopte una posición activa en el aprendizaje. Esto supone insertarlo en la elaboración de la información, en su remodelación, aportando sus criterios en el grupo, planteándose interrogantes, aportando diferentes vías de solución, argumentando sus puntos de vista, etc., lo que le conduce a la producción de nuevos conocimientos o a la remodelación de los existentes. Involucre a sus alumnos en un proceso de control valorativo de sus propias acciones de aprendizaje, que asegure los niveles de autorregulación, de reajuste, de la actividad que realiza, con lo cual se eleva su nivel de conciencia en dicho proceso, garantizando un desempeño activo, reflexivo, en cuanto a sus propias acciones o en cuanto a su comportamiento. Lo anterior garantiza niveles superiores en cuanto a la formación de motivaciones e intereses por el estudio, aspectos muy importantes para elevar la calidad del aprendizaje. -Dedíquele tiempo y esfuerzos para que los alumnos lleguen a dominar los conceptos al nivel que se exige para su grado. Muchos de los fracasos del aprendizaje de los alumnos es porque no tienen una

representación mental clara de los objetos con que trabajan, es decir, operan con los conceptos sin tenerlos claros. En este sentido es vital que usted compruebe por diferentes vías que el concepto quede bien formado en el alumno. En muchas ocasiones es productivo preguntar, por ejemplo: ¿qué usted se imagina cuando escucha la palabra círculo? De la respuesta del alumno usted puede diferenciar si tiene una representación mental clara del círculo o lo confunde con la circunferencia.

-No descuide nunca profundizar en el estudio de las propiedades de los objetos. Proponga ejercicios y problemas a los alumnos en las que tengan que aplicar las propiedades de los objetos (Reconocer propiedades, Distinguir propiedades: esenciales, necesarias, suficientes). Someter constantemente a los alumnos a que analicen proposiciones como las siguientes: “Todo cuadrado es un rectángulo” o ¿Un triángulo equilátero es isósceles?

-Utilice siempre muchos problemas. Para desarrollar el pensamiento lógico debe utilizar muchos problemas, para ello el maestro debe ser un apasionado de los problemas e imbuir a sus alumnos en el placer de resolverlos, por tanto no solo proponga problemas, sino estimule constantemente que los alumnos busquen y creen nuevos problemas, que trasladen los problemas resueltos en la escuela a la comunidad y viceversa. Provoque discusiones colectivas o en grupos para resolver problemas. Utilice distintas variantes de actividades en la que los alumnos tengan que resolver problemas, tales como: el problema de la semana; los mejores alumnos resolviendo problemas; competencia entre equipos, salones de clases y escuelas. Es importante que enseñe a sus alumnos a utilizar las distintas etapas para la solución de problemas.


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-Enseñe a sus alumnos técnicas para resolver problemas. Acostumbre a sus alumnos a hacer figuras de análisis, cuadros, tablas, etc. así como a aplicar técnicas como: la modelación (lineal, conjuntista, ramificado, tabulares); lectura analítica y reformulación; determinación de problemas auxiliares; el tanteo inteligente; la comprobación etc.

-Estimule la búsqueda de distintas variantes de solución para los ejercicios y problemas. No deje pasar un ejercicio en el que indague si algún alumno lo realizó por otra vía de solución. En caso que tenga otra vía de solución y los alumnos no la utilizaron, no deje de hacerlo notar. Estimule de alguna forma los alumnos que hacen los ejercicios por más de una vía o los que lo hacen por otra vía que no es la que se ha enseñado.

-Someta constantemente a los alumnos para que emitan o analicen proposiciones. La discusión y análisis de proposiciones es una vía efectiva para conocer los errores de conceptos y el dominio del contenido que tiene el alumno, por lo que la proposición constante y cada vez con mayor nivel de exigencia de proposiciones que contengan expresiones lógicas dentro de la matemática contribuye a desarrollar el pensamiento lógico matemático de los alumnos. Ejemplo de proposiciones: “dos rectas paralelas no se cortan”, “Dado las longitudes de los tres lados de un triángulo siempre es posible construirlo”, “Todo polígono de cuatro lados paralelos dos a dos e iguales es un cuadrado”.

-Utilice procedimientos lógicos del pensamiento asociados a razonamientos (inferencias inmediatas, deducción por separación, refutación, demostración directa, demostración indirecta y la argumentación). Una vez que sus alumnos tengan cierto desarrollo en su pensamiento

lógico matemático, se puede pasar a utilizar los procedimientos lógicos asociados a los razonamientos, es decir a sacar inferencias a partir de varias presupuestos, a deducir propiedades, reglas y refutar proposiciones, así como a realizar demostraciones matemáticas.

-Utilice los errores que cometen sus alumnos para propiciar su desarrollo. La utilización de los errores que cometen los alumnos es una importante arma para que el alumno reflexione sobre el error cometido, las causas que lo provocaron y la forma de resolverlo. No le diga al alumno porqué cometió el error, sino pregúntele de forma inteligente para que él se percate de las causas del mismo y la forma de subsanarlo. Utilice con frecuencia problemas y ejercicios que contengan errores, que le sobren datos o que no tengan solución. Otra actividad que le gusta a los alumnos y que puede ser aprovechada para desarrollar el pensamiento lógico matemático es la búsqueda de errores en la solución de ejercicios y problemas propuestos, realizados por los propios alumnos o por otros estudiantes.

-Utilice diferentes juegos para desarrollar el pensamiento lógico. Los niños por naturaleza le gusta mucho jugar, por lo que el maestro debe aprovechar este aspecto en función de su desarrollo, para ello, incentive y practique junto a sus alumnos diferentes juegos que necesiten realizar razonamientos, tales como el ajedrez, damas, dominó, las torres de Hanói, adivinanza de números y otros que sean tradicionales en la comunidad.

-En este aspecto se incluye el uso de los llamados JIMO o juegos computarizados en los cuales el alumno tiene para jugar que tomar decisiones, pensar y buscar alternativas de solución a situaciones


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polémicas que se le presentan durante el desarrollo del juego.

-Proponga constantemente a sus alumnos acertijos y adivinanzas. Dentro del campo de la las Matemáticas existen un gran cantidad de acertijos, adivinanzas y juegos que pueden contribuir al desarrollo del pensamiento lógico de los alumnos. En este sentido es necesario saber el nivel de los mismos para que se adapten al de los alumnos.

REFLEXIONES FINALES

Uno de los aspectos esenciales de la educación es formar hombres y mujeres creativas, capaces de vivir en un mundo cada vez más competitivo en el cual a diario se presentan problemas a los que hay que buscar la mejor alternativa de solución. Los maestros tienen el deber ineludible de entrenar a los escolares de manera que desarrolle hasta el máximo de sus posibilidades un pensamiento racional, verdadero y lógico. La matemática necesita de este tipo de pensamiento y a la vez tiene posibilidades de contribuir a su desarrollo.

El pensamiento es un proceso complejo y los caminos de su formación y desarrollo no están completamente estudiados, por lo que muchos maestros no le dan un tratamiento adecuado al mismo, al no concebir a partir de un trabajo intencionado un sistema de trabajo que propicie su formación y desarrollo de acuerdo a las condiciones existentes en el medio histórico-social donde se desarrolla el escolar.

El hombre se vale de procedimientos para actuar. Algunos son procedimientos específicos, como el procedimiento de resolución de ecuaciones matemáticas; otros son procedimientos generales, válidos en cualquier campo del conocimiento, pues garantiza la corrección del pensar, tales como los procedimientos lógicos del pensamiento,

que representan los elementos constituyentes del pensamiento lógico.

Cuando estas formas lógicas del pensamiento se utilizan dentro la rama de las matemáticas para resolver ejercicios y problemas de una forma correcta, entonces hablamos de un pensamiento lógico matemático. En la educación este pensamiento comienza a formarse a partir de las primeras edades de los niños, cuando estos tienen que utilizar procedimientos como la comparación, clasificación, ordenamiento o seriación y otros para resolver problemas sencillos de la vida circundante; pero es la escuela y dentro de esta la enseñanza de las Matemáticas, la que más puede influir en que el alumno vaya desarrollando un pensamiento cada vez más lógico y creativo.

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� Trueta i Raspall, J. et alii. (1977). Historia de la Ciencia. I. BARCELONA.ED.PLANETA. ISBN 84-320-0841-9.


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APROXIMACIÓN A LA REALIDAD ININTELIGIBLE DESDE LA PERSPECTIVA

DE LA GEOMETRÍA FRACTAL

Ahmad Osman C. E-mail: [email protected],

Universidad de Carabobo. Maestría en Educación MatemáticaUnidad de

Investigación en Educación Matemática. UIEMAT

Resumen

La comunidad científica ha aceptado, por mucho tiempo, que la matemática es el lenguaje de la naturaleza y por ello los numerales y sus operaciones han sido fundamento del cientificismo y su método estocástico. Sin embargo, hay fenómenos que se presentan ininteligibles a la luz del conocimiento matemático de dimensión entera y en consecuencia, emergió un movimiento que percibe el método alejado de los modelos numerales por dudar en su fiabilidad de representación de los fenómenos inconmensurables. En este sentido, este artículo tiene el propósito de sintetizar interpretativamente, el avance de la geometría fractal, partiendo del punto de sedición introducido por Poincaré, conjeturando sobre

el potencial de la disciplina como germen de métodos y modelos novedosos más aproximativos a la verdad y naturaleza de la realidad. Se concluye con reflexiones anticipativas de una nueva y más completa representación matemática de lo físico, lo natural, lo psicológico y lo social.

Palabras clave: Geometría Fractal, Modelos Matemáticos, Dimensión no Entera

Abstrac

Scientific community has accepted, for a long time, mathematics is the language of nature and therefore the numerals and their operations have been the foundation of scientism and stochastic method. However, there are phenomena that are unintelligible to the light of the mathematical knowledge of entire dimension and, as a result, emerged a movement which perceives the method far from the numerals models, due the doubt on its reliability in immeasurable phenomena representation. In this sense, this article aims to synthesize the advance of the geometry, starting from the point of sedition introduced by Poincaré, about the potential of the discipline as germ of innovative methods and models approximatives to the truth and nature of reality. It Concludes with the presumption on fractal geometry as the most complete an new way of mathematical representation for the physical, natural, psychological and social fenomena.

Key words: fractal geometry, mathematical models, not entire dimension

Introducción

Al inicio del tercer milenio de la era cristiana, la cultura humana se debate en un proceso de transmutación civilizatoria mediante la tecnología digital y con fundamento en la incertidumbre respecto de la realidad, la duda sobre el conocimiento y el cuestionamiento de la verdad tal como ha sido aceptada por siglos. Esto es ocasionado por la


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detección de vacíos, contradicciones y omisiones aparecidas en las explicaciones cosmológicas del hombre y su circunstancia. En ese sentido, la sociedad actual se encuentra bajo el influjo de un nuevo periodo de transición dirigido a la revisión y reconstrucción de todo tipo de concepciones de índole filosófica, científica y humanística que lucen hoy agotadas (García, 2007; Capra, 1996; Popper, 2001; Wallerstein, 2004).

Al respecto, cuando se analiza, se estudia y se cuestiona el origen de un determinado conocimiento que ha sido fundamento de la ciencia y de la verdad durante mucho tiempo, comienza las trasformaciones de concepción en la comunidad científica, con implicaciones impredecibles en diferentes campos del saber. Por ejemplo, recientemente Bart Kosko (1995) presentó su libro Pensamiento Borroso con la siguiente idea introductoria “Un día supe que la ciencia no es verdad. No recuerdo que día, si el momento. El Dios del siglo XX ya no era Dios” (Kosko,1995 p. XX). Como la sentencia sugiere, este tipo de conjeturas subvierte el orden establecido e invita a redimensionar el cuerpo de creencias y significados sobre cualquier disciplina.

Es lógico pensar que al estudiar a profundidad un objeto intelectual emergente se generan concepciones revolucionarias, alineadas a el, que vienen a cambiar estructuras de pensamiento en lo referente a como el ser humano ha percibido la realidad. La ciencia no escapa del proceso de ajuste que involucra la idea anterior. En toda etapa de la ciencia siempre existen nociones, matrices de opinión validadas que regulan y controlan la línea de pensamiento de una época, pero llega un momento en que estas estructuras de pensamiento se perfilan incompletas o erradas y, al no adaptarse muy bien a la realidad, comienzan a ser cuestionadas. Es cuando la ciencia comienza una etapa de crisis, con desequilibrio y revisión conceptual por parte de la comunidad

científica; la cual percibe nuevas tendencias y en consecuencia emerge un nuevo paradigma. (Khun, 2000)

Este proceso de cuestionamiento conceptual es históricamente intermitente e iterativo. El mismo, resulta de la aparición de algún punto crucial de sedición en el cual se toma conciencia de la inexactitud del modelo imperante para explicar algún evento o fenómeno. Por ejemplo, hace un siglo el principio de incertidumbre de Heisemberg dio al traste con el modelo atómico determinista y ordenado de la materia, la lógica intuicionista de Brower quebrantó la estabilidad binaria de lógica aristotélica, la relatividad de Einstein derrumbo el absolutismo realista. También, las paradojas de Russel liquidarían su propia pretensión de reunir toda la matemática en una sola concepción conjuntista o topológica. El principio de incompletitud de Godel terminarían con la utopía de un sistema matemático universal exacto y perfecto pretendido por Gilbert, entre otros, y daría la razón a la suposición de Poincaré sobre las bases para abrir paso a una geometría no cartesiana.

Pareciera que los matemáticos y los artistas desde sus perspectivas particulares visualizan los puntos de sedición y anticipan las tendencias de cambio en objetos clave del desarrollo civilizatorio. La matemática no está al margen del proceso descrito anteriormente y en particular la geometría es también una disciplina que en el paso del tiempo ha experimentado períodos de crisis en donde nuevas tendencias han abierto un abanico de senderos, no conducentes a una verdad última, sino orientados a alimentar una gama de nuevos conocimientos, conceptos y modelos epistemológicos de la representación espacial que ayudan a la mejor compresión de la realidad.

Siguiendo este orden de ideas, este ensayo tiene el propósito de sintetizar prospectiva e interpretativamente, el avance de la geometría fractal, partiendo del punto de sedición introducido por Poincaré. Se conjetura


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sobre el potencial de la geometría fractal como germen de métodos y modelos más aproximativos de la verdad de muchos fenómenos ininteligibles a la luz de las geometrías enteras y de la matemática clásica.

De la geometría euclidiana a la geometría fractal.

Desde los siglos VI y III a.C. diversos problemas de la vida cotidiana motivaron a los ciudadanos que constituían la sociedad griega, a satisfacer la necesidad de medir y de verse inmiscuidos directamente en problemas de medidas como, determinar longitudes, áreas, volúmenes, etc. Estos procesos permitieron que la Geometría posteriormente se convirtiera en una disciplina de carácter científico, la prueba de ello fue la existencia de un libro que recoge gran parte del conocimiento geométrico de la época, llamado Los Elementos. Todo el saber geométrico que había hasta alrededor de los años 300 a. C., se estructura de manera ordenada y axiomatizada en este libro, y en los siguientes años iría a moldear el pensamiento geométrico de la mayoría de los individuos involucrados en el saber científico.

Actualmente, para la mayoría de las personas la geometría generalmente se relaciona con dibujos de líneas y polígonos; formas y figuras planas con sus fórmulas; que de alguna manera surgen como ideas primarias de representación y que en algún momento sentaron las bases de la estructura del pensamiento geométrico individual. Luego, después de la escolaridad algunos recuerdan los enunciados básicos “por dos puntos siempre pasa una única línea recta o toda recta es paralela a sí misma”aceptados como verdades universales, sin haberse percatado, aun muchos años después de haber memorizado estos postulados, que su certeza no es válida omnipotentemente. Para otras personas un poco más comprometidas con el mundo de las matemáticas, el problema ha sido siempre el delimitar lo que es o no es

Geometría. (Alsina Catala C.;Fortuni Aymemi J.; Perez Gómes R., 2000).

Esta perspectiva de concebir la geometría es lo que comúnmente conocemos como geometría Euclidiana, cuyos pilares son cinco postulados que son el punto de partida de todo el edificio geométrico que constituye la Geometría Plana; la cual se mantuvo incólume por siglos. Curiosamente, mucho más adelante de manera simultánea e independiente, ya en el siglo XVIII, comenzaron algunos matemáticos Como Bolyai y Lobachevsky, Gauss y Riemann a cuestionar el último de los cinco postulados que sustentan la Geometría Euclidiana dando origen a las llamadas Geometrías no Euclidianas como por ejemplo la Geometría Hiperbólica, la Geometría Parabólica y la Geometría Esférica.

Se demostró entonces que los axiomas de la geometría euclidiana estaban limitados al plano y funcionan perfectamente en distancias cortas. Luego, en el siglo XIX surge una idea totalmente revolucionaria, inspirada en la aparición de algunos entes matemáticos con formas patológicas, que no podían ser explicadas a la luz de las geometrías conocidas. Como es clásico, la reacción ante la proposición de matematizar estas formas atípicas, fue duramente criticada por los matemáticos coetáneos hasta el punto de etiquetar a esos entes, como formas extrañas sin importancia alguna. Pero sin desarrollos argumentativos desde la geometría ni desde otras disciplinas, a favor o en contra de su existencia.

Aunque, la actitud de desdén descrita anteriormente, persistió hasta mediados del siglo XX, el descubrimiento de estas formas daría origen a lo que hoy se conoce como geometría fractal y que fue desarrollada y estructurada por el Dr. Benoit Mandelbrot. Benoit Mandelbrot, que había emigrado de su Polonia natal a Francia, se mudó a Estados Unidos en 1958 y poco después, en 1961, su trabajo sobre las semejanzas en las fluctuaciones a pequeña y gran escala en los


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precios del mercado de valores fue publicado. Este trabajo, original y novedoso en su enfoque de representaciones, introdujo la noción de escala no convencional, noción que fue seguida por un abordaje científico sobre aquellos fenómenos que involucraban escalas no comunes, incluyendo el movimiento turbulento de los fluidos y la distribución de las galaxias en el universo. (Spinadel, 2002).

Las Primeras formas fractales.

El término fractal etimológicamente viene de la palabra del latín Fractus, que significa fracturado, roto, irregular. Como concepto matemático se le atribuye a Benoit Mandelbrot quien en sus trabajos para la IBM en la década de los setenta define con el término de fractal a algunos objetos matemáticos representables geométricamente, los cuales gozan de características como lo son la autosimilaridad (exacta, aproximada o estadística), su dimensión no necesariamente son números naturales y su definición mediante un algoritmo recursivo.

Aunque se afirma que los primeros objetos fractales representados geométricamente fueron concebidos por el matemático francés Henri Poincaré en el año 1890; y estas ideas también fueron seguidas y posteriormente desarrollada por los matemáticos Gaston Julia y Pierre Fatou en el año 1918; el primer fractal conocido fue creado o descubierto, por el matemático Karl Weirstrass en 1861. Su forma se muestra en la figura1 (Aguirre, 2002)

Figura1. Curva de Weierstrass

Representación gráfica generada con a= 1/2 y b=2 generada a partir de la ecuación:

W�x�=∑n=0

∞

ancos�bnπx�

Otro conjunto que en la actualidad es considerado como un fractal pionero, es el conjunto de Cantor, llamado así por ser introducido por el matemático Georg Cantor en 1883. Para construirlo se parte del intervalo

cerrado C0= [0,1] , se divide en tres partes iguales y se elimina la del medio obteniendo un conjunto C1 , que es la unión de los dos intervalos cerrados disjuntos. Con cada uno de los intervalos que forman C1 se repite el mismo proceso obteniéndose C2 . Iterando el proceso se construye una sucesión Ck de conjuntos cerrados. Comparado con otros ejemplos el conjunto de cantor no resulta muy atractivo, su imagen termina siendo un conjunto de puntos dispersos que se distribuyen a lo largo del intervalo [0,1] como se muestra en la figura2, pero ciertas características esenciales que describiremos posteriormente lo hacen ser un conjunto fractal (Aguirre, 2002).

Figura2. Conjunto de Cantor

Para el año de 1904 Helge Von Koch define una curva que lleva su nombre, mostrando un ejemplo de una curva continua que no es diferenciable en ninguno de sus puntos. La curva se construye comenzando con un segmento rectilíneo. En la primera etapa, el segmento se divide en tres partes


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iguales y se sustituye la parte central por un triángulo equilátero sin la base. En la segunda etapa se repite el proceso anterior con cada una de los cuatro segmentos resultantes. (Estrada,2004). Luego iterando este proceso se observaría una curva como la que se muestra en la figura 3

Figura3. Curva de Koch

La aparición de estos primeros objetos matemáticos con características atípicas produjo el develamiento de ciertas inconsistencias en las geometrías conocidas. Fue el momento en el que comenzó el estudio de conceptos y definiciones emergentes, relacionados con estos nuevos entes de características muy particulares, cuya morfología espacial no encontraba sustento dentro de los objetos matemáticos que hasta ese entonces eran aceptados en la comunidad científica.

Es natural conjeturar que el surgimiento de alguna radicalmente nueva y distinta perspectiva de representación, como las descritas, comenzaría a remodelar la percepción y el pensamiento espacial de los individuos. Esto incluiría un cambio en la concepción geométrica, tanto de los objetos reales, como de los objetos ideales y geométricos. Con ello se abre la posibilidad de que éste cambio de concepción, incipiente en la actualidad, tenga prospectivamente la tendencia de extender las explicaciones geométricas a aquellos fenómenos que por su complejidad no caben en las geometrías tradicionales. Este proceso de representación y explicación de realidades complejas o meta

enteras, parece estar guiado por los postulados de la Teoría Fractal.

Diferenciabilidad y dimensión topológica

Las nociones de diferenciabilidad y de dimensión topológica se pudieran considerar un buen punto de partida para el análisis de la transmutación conceptual que surge con el estudio de las propiedades de las formas emergentes, consideradas patológicas desde los conceptos y definiciones que albergaban las formas clásicas derivadas de la geometría euclidiana. Además dentro de esas dos nociones, diferenciabilidad y dimensión topológica, se circunscriben una serie de conceptos y definiciones topológicas significativas y pertinentes para el siguiente análisis inicial de la fractalidad. Entre estos conceptos están; el de punto de acumulación y el de Continuidad.

Al respecto, en topología el concepto de punto de acumulación de un conjunto en un espacio, captura la noción de estar extremadamente cercano al conjunto sin necesariamente pertenecer a él. Lo cual, no encuentra lógica argumentativa desde la perspectiva de dimensión entera. Así, se recurrió a definir que, dado un conjunto E y un punto p en un espacio métrico X, se define que p es un punto de acumulación para E, si cualquier ε-vecindad de p sin incluir a p, ésta tiene intersección con E. (Courant,2002).

Por ejemplo si analizamos un poco el conjunto de Cantor se observa que el concepto de punto de acumulación constituye un elemento fundamental dentro de la descripción topológica del conjunto, ya que se pude decir que entre sus propiedades topológicas más predominantes están la de ser un conjunto cerrado, acotado, en donde todo punto es de acumulación y es totalmente disconexo, que intuitivamente nos da la idea de un conjunto que no está formado por una sola pieza y por ende se puede dividir.


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Por su parte, según Courant, el concepto de continuidad en una función es, intuitivamente, cuando para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Siendo un poco más formal y generalizando, esta noción de continuidad se puede definir de la siguiente manera: Si Xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en Xo, si y sólo si:

f �x�=f �a�

Esta definición, no encuentra representación exacta en ninguna de las geometrías convencionales, pero si se puede visualizar en la morfología de la curva de Koch. Esta curva, independientemente de la escala en que la observemos y la etapa del conjunto que se esté estudiando, es continua para todo su dominio.

Ahora bien en base a estos conceptos, la idea que se tiene de dimensión en un contexto topológico está relacionada con la posibilidad de movilizarse en el espacio. La recta euclidiana tiene dimensión uno porque sólo es posible desplazarse en una sola dirección, el plano tiene dimensión dos ya que es posible movilizarse a lo largo y a lo ancho y el espacio euclidiano tiene dimensión tres ya que es posible moverse a lo largo a lo a lo ancho y a lo alto.

En ese sentido, el concepto de dimensión no presenta gran dificultad, siempre y cuando se trate sólo con figuras geométricas simples tales como, puntos, líneas, polígonos y poliedros. Un solo punto o cualquier conjunto finito de puntos tiene dimensión 0, un segmento de línea es unidimensional, y la superficie de un triángulo o de una esfera es bidimensional, así como, el volumen de un poliedro es de dimensión tres y este proceso fue extendido hasta alcanzar la abstracción de la dimensión n-entera, e incluso más allá de los límites de cualquier dimensión n+1 (infinito-entera).

Dentro de esa concepción entero-dimensional de la realidad, en 1912 Poincaré introduce un punto de sedición cuando definió dimensión topológica como sigue: Un conjunto S será de dimensión n, si no es de ninguna dimensión menor y cada punto de S puede encerrarse en una región arbitrariamente pequeña, cuya frontera se intercepte con S en un conjunto de dimensión n-1.

Es pertinente entonces preguntarse ¿Que dimensión tiene el conjunto de Cantor? . Parecería, con el concepto clásico de dimensión, que el conjunto de Cantor debería ser unidimensional, sin embargo el conjunto no posee ningún intervalo completo. Por lo tanto podría pensarse también que el conjunto de Cantor tiene dimensión cero, estaríamos asumiendo entonces que el conjunto de Cantor está constituido por un conjunto finito de puntos discretos. De la misma manera se podría extrapolar el problema a la curva de Koch. ¿Se pudiera considerar a la curva de Koch una curva unidimensional o bidimensional?.

Estas interrogantes de alguna manera sintetizan la existencia de una discontinuidad teórico conceptual. Este hueco epistemológico obstaculiza la construcción e interpretación matemática de nuevas y complejas estructuras que emergen de la realidad natural e intelectual. En consecuencia surge, la perspectiva de la fractalidad basada en conceptos geométricos fundamentales e irreverentes, que parecen posibilitar el abordaje y comprensión de ; normales y extrañas, simples y complejas; según la clasificación derivadas de la geometrías euclidiana y no euclidiana.

Reflexiones finales

Una de las cosas que caracteriza a los Fractales es que son figuras generadas mediante algoritmos matemáticos que pueden ser debidamente programados en un computador y que una de sus principales características era que una mínima


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perturbación en uno de sus parámetros podía generar consecuencias inesperadas en el comportamiento de la gráfica. El conjunto de Mandelbrot es un vivo ejemplo de esto, que además formaría parte del conjunto de fractales que no son totalmente autosimilares y representa de alguna manera un modelo matemático mas aproximado a la morfología irregular de muchos objetos reales

Por analogía, se comienza entonces a percibir la realidad geométrica de otra manera, y por si fuera poco no sólo la realidad geométrica sino algunos intricados fenómenos biológicos, físicos y sociales, antes inalcanzables geométricamente, se asocian a este tipo de representación matemática. La geometría en la actualidad ha avanzado a pasos tan agigantados, que son seguidos por muy pocas personas relacionadas con la matemática pura. Este hecho posiblemente es debido a la falta de difusión de los nuevos hallazgos, a la escasa información y engranaje de los nuevos conocimientos con los antiguos, y a la falta de aplicaciones masivas de las nuevas potencialidades geométrico-espaciales descubiertas.

Entonces surgen necesariamente algunas nuevas interrogantes ¿Qué tan necesario sería reestructurar el saber matemático en las instituciones educativas (específicamente el contenido geométrico) de tal manera de incluir las geometrías no euclidianas como particularidades de la teoría fractal? ¿Hasta qué punto, un nuevo modelo geométrico como el planteado anteriormente podría cambiar la concepción geométrica de la naturaleza, de los individuos, de la sociedad y del arte? ¿En qué medida una nueva perspectiva de la representación geométrico-espacial de la realidad, permite el desarrollo de competencias científicas para la investigación de fenómenos intricados y complejos, ininteligibles en los modelos matemáticos clásicos?

Aunque está fuera del propósito de este ensayo el responder a éstas y muchas otras

preguntas que pueden surgir de las ideas esbozadas anteriormente, escaparía al alcance del ensayo. Se conjetura que a esas respuestas se llega, estudiando a fondo los enlaces conceptuales que existen entre los distintos enfoques geométricos y se deduce que estos esfuerzos contribuirían a transformar el saber originario de la teoría fractal y sus aplicaciones en un saber común. Se tiene la presunción de que posteriormente, estos saberes se constituirían en las bases epistemológicas sustentables que permitirán a todo individuo estar en contacto cercano con la realidad compleja mediante la comprensión de la fractalidad, desde sus primeros años de formación.

Agradecimiento: Artículo prearbitrado por el Prof. Cirilo Orozco Moret (PhD) desde la Unidad de Investigación en Educación Matemática (UIEMAT) en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo. Venezuela, e mail de contacto: [email protected]

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Juan C. Jerez R. y Cirilo Orozco-Moret [email protected] y [email protected]

Universidad de Carabobo. Maestría en Educación Matemática

Unidad de Investigación en Educación Matemática (UIEMAT)

RESUMEN

El fracaso académico y la deserción escolar son dos factores que se repiten constantemente en las unidades educativas venezolanas, la mayoría de los casos están asociados a dificultades con la Matemática. Se presume que conocer las causas de esta situación permitiría a docentes, directivos y estudiantes comprender la situación y acometer la tarea de superar los obstáculos, mejorando el desempeño académico institucional. La comunidad científica coincide en reportar vinculación entre factores afecto-actitudinales y desempeño y en concordancia, esta revisión reflexiva tiene la finalidad de conjugar las creencias de los estudiantes

respecto a la asignatura Matemática en relación con el rendimiento. Dado que esta problemática es común a la mayoría de los estudiantes desde sus primeros años escolares, el análisis que aquí se presenta puede convertirse en una referencia para otras instituciones educativas así como para otras asignaturas con problemática similar. Se revela una evidente conexión entre creencias negativas por la disciplina numérica y bajo desempeño matemático, entre otros hallazgos, que podría servir de base para la formulación de estrategias coadyuvantes de un mejor rendimiento académico.

Palabras claves: Creencias sobre Matemática, Educación Matemática, Rendimiento Académico

ABSTRACT

The failure and dropout are two factors that are constantly repeated in the Venezuelan educational institutions, the majority of cases are associated with difficulties with mathematics. It is presumed that the causes of this situation would allow teachers, managers and students understand the situation and the tasks fort overcoming obstacles, improving the institutional academic performance. The scientific community agrees to reports linking factors affection-attitudinal and performance, and accordingly, this thoughtful review is intended to combine the beliefs of students on the mathematics subject in relation to the performance. Given that this problem is common to the majority of the students from their early school years, the analysis presented here can become a reference for other educational institutions as well as other subjects with similar problems. It reveals a clear connection between negative beliefs for numerical discipline and low math performance, among other findings, that could form the basis for contributing a better academic performance strategies.


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Key words: beliefs about mathematics, mathematics education, academic performance

INTRODUCCIÓN

La educación sistemática o escolarizada es uno de los aspectos más importantes en la imperativa meta de preservación de la cultura y en los planes de desarrollo de cualquier sociedad. Se asume que, con lo aprendido en los años escolares, los futuros ciudadanos van a cimentar su desempeño personal, profesional y laboral contribuyendo con el bienestar de la familia y con el avance progresista de su región y su nación. En concordancia, una de las prioridades de los estados es garantizar la calidad y la eficiencia escolar, con proyección hacia el desarrollo presente y futuro. En ese sentido, se han instaurado algunos indicadores universales del desempeño académico del estudiante, de la institución y del sistema educativo, como parámetros de seguimiento y control de la eficiencia escolar (Unesco, 2003).

Entre los indicadores de progreso educativo, se usa extensivamente el rendimiento estudiantil colectivo, que junto a los índices de repitencia y deserción sirven de pauta internacional de éxito del sistema escolar. Así, muchos organismos ocupados de hacer seguimiento de la educación, basan sus comparaciones; año a año, instituto a instituto o país a país; utilizando los promedios globales de rendimiento, de prosecución y de abandono escolar como indicadores de eficiencia de los sistemas educativos nacionales. Cuando alguno de estos indicadores resulta bajo, se asume que hay un problema pedagógico y se recurre a investigar su vinculación con factores intervinientes de distinta naturaleza; que una vez detectados permiten recomendar o implementar acciones correctivas (García, 2010).

Es por eso que el rendimiento académico es una de las variables de mayor importancia para la gerencia pedagógica y para la

investigación educativa; ya que este parámetro refleja, de alguna manera, la calidad de la educación que planifican los agentes estatales y que imparten las instituciones. Desde la perspectiva científica es reiterativa la vinculación del rendimiento con otras variables de diferente naturaleza. Por ejemplo, la comunidad científica coincide en reportar que estudiantes con bajo rendimiento académico tienen conexión directa con factores emocionales individuales como la desmotivación y baja autoestima, que son causales de repitencia e incluso de deserción de sus estudios, lo cual está generando otra serie de problemas a los educandos, a su familia y a la sociedad en general (Cruz y Quiñones, 2012; Ruiz, 2012).

Pero, por otra parte, hay un debate abierto sobre los índices de calificación que muestran el bajo rendimiento pero no las causas que lo han generado. Al respecto, resulta complejo señalar con certeza por qué los estudiantes han sido incapaces de aprobar sus materias con buenas calificaciones ya que las explicaciones pueden ser de orden cognoscitivo, psicológico, emocional, fisiológico, familiar, del entorno contextual, entre toda una gama de posibilidades.

En ese sentido este artículo se enfoca en el componente introspectivo de la actitud hacia la matemática del estudiante, particularmente en lo concerniente a las expectativas que el estudiante se ha formado sobre su capacidad y potencial para enfrentar el aprendizaje de contenidos numéricos y meta numéricos y sobre la concepción de matemática adquirida en los entornos de vida. Consecuentemente, el propósito esta reflexión es de conjugar la conexión entre las creencias de los estudiantes respecto a la asignatura Matemática en relación con el rendimiento escolar.

RENDIMIENTO EN MATEMATICA Y EL DESEMPEÑO ACADEMICO ESCOLAR EN VENEZUELA


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Tradicionalmente en Venezuela, las asignaturas más problemáticas han sido Química, Física y Matemáticas, de acuerdo a testimonios de estudiantes de diferentes entidades educativas del país. En el caso de Matemáticas, la situación es más grave ya que ésta es una asignatura que se estudia desde el primer grado de Educación Básica. La mayoría coincide en afirmar que su éxito escolar está marcado por su capacidad comprensiva de la matemática y se asume que quien es manifiestamente competente en matemática obtendrá buenas calificaciones en todas las materias afines o no afines (Arrieta Illarramendi, 1996).

El papel que tiene la Matemática se ha visualizado, algunas veces, como un conjunto de teorías, métodos y procedimientos para realizar cálculos, sin tomar en cuenta el gran poder para interpretar los fenómenos de campos diferentes: físico, social, económico, entre otros, es decir; aparece en muchas áreas de la actividad humana como: ciencias básicas, la medicina, ingeniería, economía, entre otros, por lo cual la matemática tiene un gran valor cultural, tal y como lo expresa Capote (2008):

Las matemáticas las utilizamos en la vida cotidiana y son necesarias para comprender y analizar la abundante información que nos llega. Pero su uso va mucho más allá: en prácticamente todas las ramas del saber humano se recurre a modelos matemáticos, y no sólo en la física, sino que gracias a los ordenadores las matemáticas se aplican a todas las disciplinas, de modo que están en la base de las ingenierías, de las tecnologías más avanzadas, como las de los vuelos espaciales, de las modernas técnicas de diagnóstico médico, como la tomografía axial computadorizada, de la meteorología, de los estudios financieros, de la ingeniería genética. (s/n).

Es por esto, que la enseñanza de la matemática, es un factor fundamental en la vida del estudiante y el docente, tomando en cuenta el objeto de estudio que le va a permitir moldear o reorganizar aquellos conocimientos que han tenido como prioridad la profundización de su conocimiento, ya que deberá socializar los entornos idóneos en la que el estudiante pueda tener una participación activa en cualquier tema y más aún, como afirma Capote (ob cit): “…sabiendo que en dicha área la construcción es continua y permanente, donde constantemente se deben reforzar los conocimientos ya adquiridos y en busca del entendimiento de nuevos” (s/n).

En el sistema educativo existen mecanismos viables para que el estudiante formule y realice aportes en pro del beneficio de su conocimiento, ya sea la indagación como factor inicial en el proceso que le permitirá expresar cómo es su percepción en determinado tema, la exploración y la experimentación que conlleven a observar de manera profunda y minuciosa cuál es su nivel de dominio en determinado tema. Es en ese sentido, que el papel del docente es fundamental, como lo expresa Contreras (2006): “…es lograr que el estudiante se sienta impelido a aprender para abrir nuevos caminos en su cotidianidad, encontrar estímulos distintos y experiencias nuevas, hacer más extensos sus propios límites geográficos y sociales, desarrollar en definitiva, una vida más plena” (p.2)

En tal sentido, desde sus orígenes hasta el día de hoy han surgido diferentes inconvenientes para la enseñanza de la matemática, ya que no se conoce una manera universal eficaz para adaptar la misma a las diferencias individuales de los aprendices y se hace sumamente necesario considerar los distintos factores influyentes como las emociones. Al respecto Villegas y Cornejo (2010), afirman que, “El miedo a la matemática es común en la mayoría de los estudiantes y sus efectos en su capacidad


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cognitiva, ya que son parte fundamental de los factores importantes que determinan su éxito o fracaso a la hora de aprender y comprender la matemática” (p.2)

Paralelo a ello, Gómez (2008), explica que el estudiante permite visualizar el fracaso como algo real, ya que no tiene éxito a la hora de aplicar o aprender matemática, lo que le genera pensamientos como: “…soy malo en matemática y siempre se me queda la materia, y en contrasentido algunos dicen ¿cómo resuelvo mal los ejercicios?, si siempre practico, soy incapaz de pasar matemática” (p.11). Situaciones, en opinión del citado autor, que le genera estrés y frustración, que a corto plazo se traducirán en desinterés y temor hacia la Matemática.

Reafirmando lo expuesto, Lebrija y otros (2006), expresan que las angustias y hasta pánico que los estudiantes pueden sentir frente a la clase o examen de Matemática, es más aun “…cuando algún estudiante llegue a manifestarla, los docentes tienden a interpretarlo de manera distinta, minimizando el papel de las emociones y sentimientos en sus clases” (p.20).

Por otra parte, existe la manera del docente de enseñar la matemática, aplicar su propia metodología en la resolución de ejercicios y su forma de evaluar, es común encontrar docentes en la actualidad enseñando la manera tradicional y procedimental de forma rigurosa, lo cual da pie al estudiante a que realice sus propias percepciones tanto del docente como hacia la asignatura. Es por esa razón, que Rodríguez (2009), expresa que se hace necesario que el docente cambie su mentalidad a nuevas actitudes que le permitan acercarse a sus alumnos y poder así contribuir en su formación:

Una expectativa como la anteriormente esbozada le plantea retos al profesor de Matemáticas y podrá enfrentarlos solo si renueva ideas acerca de lo que significa

aprender esta ciencia, desarrollo una nueva cultura matemática escolar, asume ésta, no con un fin en sí mismo, sino como un medio para el desarrollo de la ciudadanía. (p.118)

Otro factor que se relaciona con la actitud de los estudiantes hacia las Matemáticas, está expresado por Gil, Blanco y Guerrero (2006), quienes afirman que generalmente los padres en su entorno social, amigos o compañeros de estudiantes que ingresan a los diferentes niveles educativos, realizan comentarios acerca de sus catastróficas experiencias y sentimientos de fracaso con relación a la matemática, generando en el estudiante angustia y predisposición.

De tal manera se puede considerar que uno de los factores más observados en los altos índices de fracaso en el área de Matemática es la influencia de los factores afectivos y emocionales, entre éstos se encuentran también las creencias que los estudiantes tienen acerca de esta asignatura, fundamentadas generalmente en sus temores, en ese marco de ideas, Garáfalo y Lester citados por Gómez (2008), sitúan a las creencias dentro de los aspectos metacognitivos. Las creencias e intuiciones constituyen el punto de vista matemático sobre uno mismo, sobre el contexto, sobre el tema, sobre la matemática, que determinan la conducta de un individuo.

En la actualidad, el Sistema Educativo Bolivariano Venezolano pretende la formación integral del individuo, como se menciona a través del Currículo del Subsistema de Educación Secundaria Bolivariana, que especifica en una de sus áreas de aprendizaje “Ser humano y su interacción con los otros componentes del ambiente” (p.15). Esta área de aprendizaje es fundamental para desarrollar en los estudiantes los procesos matemáticos para el estudio de situaciones, tendencias, patrones, formas, diseños, modelos y estructuras de su entorno, con énfasis en la


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participación y comprensión de la realidad para la transformación social.

En opinión de Chipia (2011), la educación debería tener como norte el desarrollo humano, sin embargo, lo que se observa “…es una serie de problemas e incoherencias que complican la formación de los jóvenes”. Agrega el autor, que en el caso de Venezuela “…la mayoría de los docentes por lo general repiten los modelos, en otras palabras, se tiende a enseñar cómo fueron enseñados” (p.1). En ese sentido, hay una visión abstracta de las ciencias lejanas tanto de los docentes como de los estudiantes, existe una total dependencia de los libros de texto, los cuales se utilizan sin mucho análisis crítico sobre los contenidos, entre otros, lo que le permite decir a Chipia (ob cit), que “…en el país existe un tradicionalismo, con respeto a la enseñanza de la Matemática, debido a que en la cultura educacional no se crea el sentido investigativo por mejorar y profundizar el conocimiento” (p.1).

Es así como el docente del área de Matemática afecta negativamente al estudiante al no motivarlo ni inspirarlo a sentir la asignatura como un elemento base de su formación; reafirmando en cada curso lectivo los temores y desagrados hacia todo lo relacionado con Matemática. El objetivo al enseñar Matemáticas es ayudar a que todos los estudiantes desarrollen capacidad matemática, en ese sentido, Zemelman y otros (2005), afirman que:

Los estudiantes deben desarrollar la comprensión de los conceptos y procedimientos matemáticos, deben estar en capacidad de ver y creer que las matemáticas hacen sentido y que son útiles para ellos. Maestros y estudiantes deben reconocer que la habilidad matemática es parte normal de la habilidad mental de todas las personas, no solamente de unos pocos dotados” (p.112)

En Venezuela se han implementado diferentes reformas al sistema educativo en cada período presidencial, siempre con la intención de mejorar la calidad de la educación. Sin embargo, en la enseñanza de la Matemática no se han obtenido los resultados esperados y uno de los ejemplos palpables, es que en matemática es donde existe un alto índice de estudiantes que debe realizar las llamadas “pruebas remediales” para lograr aprobar su año escolar.

CREENCIAS SOBRE LA MATEMATICA

A través de conversaciones informales, los estudiantes manifiestan temerle a la asignatura Matemática ya que aseguran no comprenderla, además de que no entienden la importancia que ésta tenga para su vida futura. Los comentarios negativos acerca de lo que éstos creen acerca de los contenidos curriculares de dicha asignatura, corren de boca en boca y afectan a todos los estudiantes, predisponiéndolos en una actitud de impotencia ante los números y fórmulas que deben aprender. De igual manera, aseguran los estudiantes, desde pequeños han escuchado en sus hogares que lo más difícil de la escuela es la Matemática en función de esos comentarios ellos bloquean su mente para tal aprendizaje.

Es por esto que, el bajo rendimiento en Matemática afecta a los centros educativos, lo que genera problemas de repitencia, deserción escolar, frustración tanto de los estudiantes como de sus profesores, pérdida de recursos para la Institución y para las familias, se impone, por lo tanto, la necesidad de analizar las creencias y diferentes actitudes hacia el aprendizaje de esta importante asignatura, en función de comprender con mayor profundidad su origen y sus consecuencias así como identificar posibles soluciones.

Ascanio (2005), en su artículo titulado Creencias sobre la Matemática en el Ámbito Escolar Venezolano, establece que el deficiente rendimiento estudiantil en


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matemática en la Educación venezolana, además de tener su origen en las fallas del proceso de enseñanza, también lo puede tener en la cultura escolar formada alrededor de ella basada en creencias, cuyos elementos fomentan una aversión hacia al docente y hacia la asignatura.

Este factor y su complejidad, que exige mayor nivel de comprensión, ocasionan que aprenderla no sea fácil ni inmediato, Además especifica que las creencias en el ambiente estudiantil venezolano sobre la matemática, la han convertido tanto a ésta como al docente de la misma, en elementos a rechazar y a evadir. Históricamente, los alumnos le han endosado un estigma traumático debido a que su aprendizaje no es fácil ni inmediato.

Concluye el autor, que para lograr lo propuesto por Freire, se debe indagar si las raíces del problema (creencias sobre la matemática en el ambiente escolar) están en la calidad de la formación que han estado recibiendo los alumnos venezolanos, no solo en el ambiente específico de la escuela sino en su entorno social. Si esta formación no está dirigida específicamente a su crecimiento personal, como los efectos de esta acción repercuten en su conducta, hay que aceptar entonces que el problema tiene su génesis en la práctica socio-político-cultural manifestada en el país desde hace tiempo y cuyos elementos deformadores, han arraigado los supuestos valores y virtudes del mínimo esfuerzo, dañando la voluntad, las expectativas y las aspiraciones de los estudiantes.

De igual manera, Faría (2008), en su investigación titulada Creencias y Matemáticas, determinó el concepto de creencias en matemática, explicó el significado de creencias, o más bien de los sistemas de creencias y describió algunas creencias importantes sobre la naturaleza de las matemáticas, llegando a concluir que la matemática es una construcción social, un producto cultural, falible como cualquier otra

rama del conocimiento y por lo tanto cambiable, dependiente del contexto y no está libre de valores. Esto implica primeramente que el origen de la matemática es social o cultural y en segundo lugar que la justificación del conocimiento matemático reposa sobre su base cuasi empírica. Esta teoría es la que más se acerca a los conceptos centrales de la perspectiva Vygotskiana.

Por su parte, Mora y Barrantes (2008), en su investigación universitaria titulada ¿Qué es Matemáticas? Creencias y Concepciones, realizaron aportes acerca de las nociones del proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática, y cómo este se ve influenciado por las creencias que, tanto estudiantes como profesores y la sociedad en general, tienen acerca del significado de esta disciplina. Estos autores aclaran que los elementos obtenidos no permiten establecer resultados concluyentes al respecto, pero sí pueden percibir algunas tendencias, particularmente de opinión, por parte de los profesores de enseñanza media.

REFLEXIONES FINALES

La revisión documental de diversos estudios, señalados en el marco de referencia, permite concluir que coexisten diferentes concepciones en cuanto a los factores que afectan el aprendizaje y la enseñanza de la matemática. Sin embargo, hay convergencia científica en reportar, que la visión predominante actual, acerca de la educación matemática, tiende a la subordinación en una concepción constructivista del proceso. La mayoría de autores piensa que, desde su interioridad consciente, es que debe prepararse a los estudiantes para enfrentar la resolución de problemas de diferentes tipos y en diferentes entornos, utilizando la construcción matemática. En contraposición, la comunidad académica ocupada del tema coincide en afirmar que los estudiantes carecen de una concepción clara acerca del saber matemático necesario y por el contrario se refugian en la indiferencia por la disciplina


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numérica. Todo parece indicar que para ellos tiene sentido y preponderancia en el aprendizaje de la matemática; la memorización, la mecanización y la visión algorítmica de los objetos matemáticos.

Enlazado con esta noción, intercede el rol motivador del docente, quien también amerita estudiar -desde sus creencias- la práctica de aula en la enseñanza de la matemática. Aparentemente, los docentes convergen en dos creencias desmotivadoras del aprendizaje que transfieren a sus estudiantes. Por una parte propician inconscientemente la idea de que la matemática es asunto de inteligencia superior y por otro coinciden en establecer opiniones de juicio acerca de lo óptima que es su propia metodología didáctica. De hecho, socialmente recibe con frecuencia refuerzos de su inteligencia superdotada y adicionalmente se auto reafirma como excelente pedagogo aunque los indicadores de desempeño indiquen lo contrario.

No menos importante, es la participación del ambiente contextual, donde se desempeña el estudiante, en la conformación de opiniones sobre lo matemático. La familia, los medios, la escuela y los pares son microentornos de socialización y formación de opiniones del estudiante. Cada microentorno juega un papel importante en la consolidación de creencias sobre lo matemático. Cada uno de ellos participa y regula, por decirlo de alguna manera, el significado colectivo para al final dar un aporte de lo que cree o se imagina cada individuo es el significado personal de un objeto matemático.

Finalmente, según el análisis de las reflexiones de los investigadores aludidos, hay concordancia en qué; independientemente del enfoque que se le da a cada uno de los factores intervinientes en la investigación -ya sea docente, estudiantil, entorno social, emociones, entre otros- en la mayoría de los casos parece que el foco de interés indagativa

termina por fomentar en los estudiantes creencias específicas sobre cada una de las circunstancias de análisis, afectando su concepción matemática personal y alejándola de la necesidad real.

Es decir; el pilar fundamental de la investigación es la enseñanza eficaz de la matemática reflejada en el desempeño de los estudiantes, esto con la intencionalidad de mejorar su aprendizaje en todo momento. Pero la intervención termina por introducir nuevas creencias sobre el factor de análisis –la enseñanza- sin repercutir positivamente en el desempeño matemático –el aprendizaje-.

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LENGUAJE MATEMÁTICO: UN RETO DIDÁCTICO PARA DOCENTES Y

ESTUDIANTES

Zambrano, Ronald [email protected]

Universidad de Carabobo. Maestría En Educación Matemática.


Resumen

Los lenguajes son medios de comunicación para el entendimiento, entre los seres humanos, en sus diferentes maneras de expresión (distintas lenguas). Muchas veces dificulta la transmisión de un mensaje, esa problemática se presenta en la matemática, por ser una ciencia que tiene su propio lenguaje, la ausencia muchas veces de ella por docentes que no la implementan, van a causar en el estudiante problemas para afrontar nuevos conceptos matemáticos con aquellos que usan un lenguaje riguroso, además la deficiencia que también se presenta al no poder establecer una comunicación acertada por el uso del lenguaje matemático. En el siguiente articulo se hablara sobre el lenguaje matemático, las consecuencias que produce el no utilizarlo, tanto la falta que produce el docente al no expresarla como en el estudiante por no saberla, algunas diferencias que existen entre el lenguaje ordinario y el lenguaje matemática y finalmente unas recomendaciones para el docente en el uso del lenguaje con los estudiantes.

Palabras claves: Educación Matemática, Lenguaje matemático, Ausencia del lenguaje.

Abstract

Languages are the medium of communication for understanding, between human beings, from different ways of expression. Often, it interferes with the transmission of a message, this problem exists in mathematics, as a science that has its own language the absence of it many times by teachers who not implemented, will result in the student challenged by new mathematical, concepts with those using a rigorous language, besides deficiency also appears unable to establish a successful communication by the use of mathematical language. In this article we will talk about mathematical language, the consequences of not using it produces both lack that produces the teacher to not express it as the student for not knowing, some differences between ordinary language and mathematical language and finally recommendations for teachers in the use of language with students. Keywords: Language, Language mathematical, Language`s Absence

Introducción

El lenguaje como lo define el Diccionario de la Real Academia Española es la “manera de expresarse”, es la acción voluntaria que permite la comunicación entre los seres vivos. Esta conducta manifestada bien sea de manera verbal, escrita, por señas, gestos, impulsos eléctricos e incluso olores va a permitir la transmisión de información entre individuos de una misma especie. Los seres humanos son por naturaleza aventajados en materia de comunicación y han desarrollado gran diversidad de formas y variaciones lingüísticas.

Debido a esta pluralidad, en la sociedad actual de coincidencia multiétnica, a menudo


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se evidencia la dificultad de comunicación entre ciertas personas que coinciden físicamente pero hablan distintos idiomas. Se evidencia, el hecho, por ejemplo en los partidos de futbol, donde el árbitro es de un origen y muchas veces los jugadores son de distintos países donde se hablan otras lenguas y en tal caso es difícil entenderse lo que se quieren decir. Por ello recurren a códigos que uniformizan los significados de la actividad que están realizando.

Así como el caso planteado se presentan muchos más, a veces no sólo por la lengua natural que hablan, sino porque estos códigos especiales aun siendo lenguajes universales no todos los manejan con fluidez. Por ejemplo el lenguaje Braille utilizado por las personas ciegas, el lenguaje por señas utilizado por los mudos, los cuales son lenguajes universales que se utilizan en todos los países pero no todas las personas pueden entenderse a través de ellos.

Particularmente, esta situación se presenta cotidianamente en las aulas durante la enseñanza de las matemáticas, en ella se trabaja mediante el lenguaje de lo numérico, -quizá el más universal de todos los lenguajes- y con demasiada frecuencia la interacción en términos de lo matemático resulta ininteligible para una elevada proporción de los estudiantes. En la progresión escolar, los alumnos avanzan sin adquirir conciencia de esta naturaleza lingüística de lo matemático y al momento de estar en ciertos niveles de grados superiores se encuentran con vocablos, símbolos y caracteres que forman el lenguaje matemático, y que al desconocer sus significados les ocasionan dificultades y problemas para la comprensión de contenidos matemáticos (Antomil, 2001).

Hemos de reconocer a este punto que hay una deficiencia generalizada de la educación matemática en todos los niveles educativos y esta ineficiencia pedagógica se debe en buena parte a que se quiere enseñar y aprender matemática sin la fluidez apropiada del lenguaje matemático. En la práctica de aula es notoria la falta del uso adecuado de

dicho lenguaje por algunos docentes, que al no ser riguroso con el lenguaje técnico, enseñan la matemática de manera superficial y no estimulan la comprensión y la racionalidad que estos contenidos requieren.

Es decir, un estudiante puede aprender a resolver un problema matemático de manera memorística y procedimental, pero por falta de fluidez en la comunicación matemática no será capaz de transferir o aplicar ese conocimiento ni siquiera en una situación similar por ausencia de comprensión lingüística que permita la generalización del proceso matemático involucrado (Ortegano, 2006).

El hecho concreto de mi conjetura es que con fines pedagógicos y en buena intención se ha llegado a un exceso en la contextualización de la enseñanza y un abuso en la cotidianización de lo numérico. Se ha olvidado considerar el rigor formal, la naturaleza racional, y las características de lenguaje técnico matemático, indispensables para la formación en la disciplina. En consecuencia, se debe reflexionar sobre la formación lingüística con compresión y significado para vencer la ineficiencia manifiesta de la educación matemática escolarizada.

En ese sentido, este artículo trata sobre el lenguaje matemático como coadyuvante del razonamiento numérico, las diferencias pedagógicas entre el uso del lenguaje matemático y el lenguaje cotidiano y algunas recomendaciones para afrontar con el estudiante el aprendizaje eficiente y la adquisición con fluidez del lenguaje para comprender y explicar el entorno matemáticamente.

Lenguaje Matemático

El lenguaje es todo aquel conjunto de signos y de sonidos que ha utilizado el ser humano, desde su creación hasta nuestros días, para poder comunicarse con otros individuos de su misma especie a los que manifiesta así tanto lo que siente como lo que piensa


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acerca de una cuestión determinada. Al respecto más que muchas otras ciencias, la matemática constituye en si misma un lenguaje específico en el que se involucran numerales, símbolos, operaciones, definiciones, representaciones y otros procedimientos y procesos de pensamiento superior y complejo.

Partiendo de aquí, para entender la matemática y sus disciplinas, debemos conocer apropiadamente ese lenguaje numérico y meta numérico, en el cual cada uno de sus componentes y significados bien definidos cumplen una tarea muy específica, para potenciar la expresión que se quiere de una manera clara y precisa, evitando así posibles confusiones y ambigüedades .

La simbología matemática es muy rica y está llena de signos o caracteres gráficos que representan supuestos y hechos -concreciones e ideaciones- como lo hacen las “palabras” de un idioma. Éstos deben ser conocidos para poder interpretar, comprender y divulgar lo que se quiere decir con ellas. Cada uno de los símbolos matemáticos son necesarios para la construcción de ideas, de manera que la sustitución de alguno de ellos por otro, aunque sea gráficamente parecido, cambiaría totalmente el significado de la información que se quiere divulgar. Es decir, todas y cada una de las “palabras”, grafos y símbolos de matemáticas tienen un significado particular, no existiendo la posibilidad de sinónimos según comenta (Ortegano, 2006).

Por su parte, Antomil (2001) sostiene que con nuestro lenguaje natural no es suficiente para resolver problemas matemáticos, ya que esta ciencia tiene su propio lenguaje, asumiendo que su sistema de símbolos y terminología no son propiedad de la matemática misma puesto que las palabras tienen para las matemáticas un significado propio y distinto al que se le dan en la vida cotidiana, por ejemplo, palabras como derivar, integrar, tienen un significado específico y particular en la ciencia de las

matemáticas, que es diferente al significado en el lenguaje ordinario.

Algunas diferencias entre el lenguaje ordinario y el matemático como plantea Martin Caballero (2005) son las siguientes • En el lenguaje ordinario se combinan letras y así se forman palabras que representan expresiones fáciles de entender, mientras en el lenguaje matemático cuando se combinan símbolos la expresión que resulta no es muy obvia para toda persona. • Con el lenguaje ordinario se pueden formar palabras que representan atributos de cosas, mientras que con los símbolos matemáticos no se pueden representar atributos de tal naturaleza, se tiene así, que el lenguaje matemático es mucho más específico que el ordinario • En el lenguaje ordinario existen palabras sinónimas unas de otras, mientras que en el lenguaje matemático no existen los sinónimos cada “palabra” tiene un significado concreto y específico. Luego, para nadie es un secreto que el aprender un idioma es difícil, pero, su práctica y su uso diario hace que sea un poco más sencillo, lo cual no sucede con el lenguaje matemático, que al no utilizarse de manera diario, su aprendizaje y uso hace que se torne más complicado. Ahora, en la actualidad, donde el estudiante es apático para las matemáticas por su naturaleza y complicación, ligado a que el docente no haga uso del lenguaje matemático, el aprendizaje del mismo no serán los más positivos. Afrontar el lenguaje matemático con los estudiantes Primeramente, antes de instruir el lenguaje matemático, se debe tener garantía del que el estudiante posea un buen dominio de su lengua, su idioma como tal, si no es posible comprender, razonar un texto el cual está


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escrito en su lengua, que maneja y practica a diario se hace muy complicado el tratar de enseñar el lenguaje matemático, un estudio realizado por la ratifica el comentario, en el cual comentan que si se tienen problemas de lecturas y comprensión de textos va ser muy difícil el entendimiento de las matemáticas, es decir, si no se comprende lo que quiere decir la palabra cinco, es muy difícil entender los conceptos básicos de matemáticas. Aparte que el estudiante domine bien su lenguaje ordinario, el docente debe tener un gran dominio en el tema, y aparte debe establecer un enlace entre lenguaje y comunicación, es decir, puede tener todo el conocimiento, ser un gran matemático, pero si no sabe comunicarse de manera adecuada con los estudiantes no será un buen mediador. Mora (2009) señala “El alumno necesita ser un receptor activo para de esta forma poder comprender de una manera adecuada el tema pero siempre con un mediador en este caso el profesor que lo guiara hacia el camino adecuado sin decírselo todo, permitiendo que el desarrolle sus capacidades y comprenda mejor el tema” (p. 6). Consecuentemente es fundamental que el estudiante vaya construyendo su conocimiento matemático, con comprensión y significado lo cual garantiza que va creciendo de manera racional y no mediante un aprendizaje mecanizado, en el cual debe aprender únicamente como el docente lo hace, esto produce que el estudiante tenga problemas de entendimiento y más aun resentimiento hacia a las matemáticas por no poderla entender Conclusiones Con todo lo comentado, la implementación del lenguaje matemático de manera riguroso en el aula de clase va a proporcionar un aprendizaje más completo de la matemática, es decir, cuando se habla matemática se está construyendo en el estudiante la posibilidad de hablar otra lengua y así incluirse dentro de la sociedad que hace

matemática, no solo aprender a resolver las problemas que se presentan, si no a darle un razonamiento verdadero. Los docentes deben apartar un poco los métodos que quizás son más pedagógicos pero menos utilizados para hacer matemática, recordando que la matemática es una ciencia, por lo tanto se debe ir hacia la investigación, lo científico, además influye en otros especialistas del área que pueden ser muy estricto en el lenguaje y los métodos didácticos cambian muy brusco, lo que produce la dificultad de incluir nuevos contenidos, y la ausencia del rigor matemático que es muy importante cuando se quiere ampliar los conceptos dados y lo que comúnmente pasa entre las preferencias de un docente y otro por su exigencia. Debe ser presentado poco a poco, exigiendo cada vez mas hasta que finalmente sea un lenguaje habitual. Recomendaciones Para mejorar el uso del lenguaje matemático en el aula se plantea lo siguiente:

- El docente debe presentar la suficiente destreza en el uso del lenguaje matemático en cada uno de los contenidos

- Que sea a partir de la educación básica, donde se enfatice en la comunicación formal, cuando el estudiante ya posea el conocimiento de las operaciones básicas matemáticas y del razonamiento de texto, si aún no entendemos y tenemos fluidez en nuestra lengua cotidiana es complicado el aprender otra, más cuando es especializada o técnica.

- Debe ser riguroso el uso del lenguaje matemático, en todo el escenario académico porque al no ser usado de manera cotidiana, la falta de práctica dificulta su dominio

- Se debe siempre presentar los problemas escritos en lenguaje matemático y pedir que escriban correctamente toda asignación matemática. Muchos lo verán como


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una obligación, pero eso hace que el aprendizaje del lenguaje sea indispensable, tanto para entender lo que se pide y más aún para explicar matemáticamente la cotidianidad.

- Por último, que el uso formal del lenguaje matemático sea consecuente, es decir, que desde que el estudiante se inicie en la formalización del lenguaje matemático, todos los docentes de matemática al cual se encuentre en su trayectoria, escriban y hablen correctamente en terminología matemática.

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LA EVALUACIÓN FORMATIVA DE LOS ALUMNOS COMO ESTRATEGIA COMPLEMENTARIA EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS.

Fred González. [email protected]

Universidad De Carabobo Maestría de Educación Matemática


Introducción

La evaluación debe ser un proceso y una guía que pueda proporcionar ayuda para comprender los aspectos positivos y negativos en la adquisición de conocimientos de los educandos. Para hacer la evaluación una fuente dinamizadora y rectificadora del proceso educativo, ésta se debe utilizar no solo para determinar las competencias logradas por el alumno, sino para diagnosticar las potencialidades de cada estudiante, y para verificar el desarrollo del proceso de aprendizaje.

Por ello, la evaluación formativa de los aprendizajes de los alumnos es una estrategia además de obligatoria, totalmente eficaz en la comprobación de la adquisición de los conocimientos. De tal manera, y en virtud a las dificultades que presentan los estudiantes en materias como matemáticas, física y química,

entre otras, es necesario tomar la evaluación formativa como una estrategia adicional a las utilizadas usualmente por el docente, con la finalidad de lograr en el alumno la visualización de su propio proceso y una actitud positiva hacia posibilidad de constatar algún error cometido, para que éste sea visto como una oportunidad para reflexionar sobre su actuación y de esta manera ir mejorando su desempeño académico.

El sistema educativo venezolano propone lograr en el educando una indispensable y elemental preparación matemática, con el propósito de que éste se incorpore con éxito a las diversas actividades que la nueva tecnología ofrece; es por ello, que la Educación Básica, a través de esta asignatura, aspira lograr conductas estimulando el desarrollo de actitudes de disciplina y de rigor intelectual (Manual del Docente, 1987). Con relación a este aspecto, Diudonne (1988), expone que la matemática ha sido considerada dentro del plan de estudio de la Escuela Básica, no sólo porque es útil para la vida, sino porque posee valores formativos y complementarios de la personalidad.

Los problemas en la enseñanza – aprendizaje de la matemática y los altos porcentajes de fracaso escolar son evidencia del problema que existe en esta asignatura. La enseñanza de la matemática es un proceso que tiene muchos componentes, por lo tanto debe medirse y evaluarse con una amplia gama de criterios para evitar las informaciones incompletas sobre si se logran o no los objetivos propuestos y de que manera sucede este hecho, para así poder corregir cualquier debilidad.


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La matemática se presenta en todos los planes de estudio de todos los niveles y modalidades del sistema educativo venezolano, por lo que es indispensable que se tomen las medidas necesarias para que al estudiante se le facilite su aprendizaje. Tomando en cuenta esto, y lo planteado por Valbuena (1985), referente a la evaluación formativa, la cual, según su opinión, permite mejorar el aprendizaje en cualquier materia, y especialmente en matemática, al fomentar la retroalimentación de los procesos de enseñanza y aprendizaje con el propósito de hacerlos más eficiente; se propone la evaluación formativa como una estrategia adicional en la enseñanza de la matemática.

La evaluación formativa se realiza durante el desarrollo del proceso de enseñanza y aprendizaje y tiene por finalidad verificar el progreso del alumno en cuanto a las competencias requeridas y objetivos programáticos propuestos, para retroalimentar el proceso de aprendizaje y así desarrollar una conducta más activa y crítica frente a su desempeño en el aula y al aprendizaje mismo.

En la medida en que esta evaluación se realice de manera sistemática, el docente podrá verificar el aprendizaje alcanzado por los alumnos, así como las actitudes y aptitudes frente al desarrollo de la actividad escolar de todos los que en ella participen.

Asimismo, tal como sostiene Brosseau (1991), se observa en los docentes conductas características, si los alumnos fracasan el docente tiende a proveer una "nueva oportunidad" (plantea un problema "igual al viejo") y, en consecuencia, la solución se obtiene por la repetición y no por la

comprensión, y el docente debe estar consciente que el proceso didáctico sufre también de "envejecimiento" que se observa en la repetición de los mismos procedimientos didácticos y que éstos no tienen el mismo efecto. El mismo autor observa que en aquellos procesos donde el docente interviene menos hay menor fracaso y "menos envejecimiento" .

En este sentido, el alumno cuando estudia matemática, debe participar en forma activa (concreta y mentalmente), en el descubrimientos de conceptos tal como si él los creara por primera vez, como si fuese el inventor o descubridor, tópico que es desarrollado por los docentes en forma algorítmica; el alumno aplica la fórmula repitiendo ejercicios dados y no adquiere un aprendizaje perdurable y significativo; y lo que es peor aún, en muchos casos no son solamente operaciones aritméticas sino procesos consistentes en una serie de sub-operaciones jerarquizadas, consecutivas. Si el estudiante no desarrolla una visión globalizadora de la acción (cosmovisión), se pierde en el laberinto de las operaciones particulares y deviene el fracaso.

A pesar de esta realidad, muchos docentes de la asignatura matemática al parecer no han logrado visualizar la importancia de la misma dentro del proceso de aprendizaje, ya que ésta no es una asignatura aislada del contexto cognitivo del estudiante, sino por el contrario, le permite adquirir procesos lógicos que le facilita el aprendizaje de las diferentes materias.

La matemática, en definitiva, es un medio para el mejor entendimiento del individuo, su realidad y las relaciones con sus semejantes;


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de allí, la importancia de incorporar de manera sistemática la evaluación formativa como estrategia complementaria en la enseñanza de esta asignatura, de tal manera que le permita al docente ir guiando a sus alumnos hacia un aprendizaje significativo y evaluado en cada fase del proceso.

Este tipo de evaluación se puede llevar a la práctica durante el desarrollo del proceso educativo, con la finalidad de determinar el progreso del alumno, detectar las dificultades y reorientar su aprendizaje. En consecuencia, la evaluación formativa se debe presentar como una alternativa para alcanzar el mejoramiento escolar de los alumnos y lograr cambios conductuales duraderos y positivos en ellos hacia la asignatura y, por ende, hacia el proceso educativo en general ya que la meta que se persigue es una formación integral.

La evaluación formativa sirve como base para el proceso de toma de decisiones respecto a las opciones y acciones que se van presentando conforme avanza el proceso de enseñanza aprendizaje. Es por ello que las funciones de la evaluación formativa se presentan en dos grupos:

Funciones Académicas :

Distribuye y regula adecuadamente el ritmo de aprendizaje.

Realimenta el proceso de instrucción obtenido a partir de las diferentes actividades de evaluación.

Enfatiza los objetivos y contenidos más relevantes.

Detecta las deficiencias, errores, logros y fallas que presentan los estudiantes en sus aprendizajes.

Delimita los factores causales directos e indirectos que influyen o condicionan el aprendizaje del estudiante.

Funciones Administrativas:

Orienta sobre las técnicas y procedimientos que resultan de mayor beneficio.

Provee de una información continua a los participantes sobre sus progresos individuales.

Registra los efectos no previstos en el proceso de enseñanza-aprendizaje y los incorpora al producto final.

Es oportuno señalar que la aplicación de la evaluación formativa es quizás el medio más idóneo para hacer efectiva la evaluación continua, tan pregonada en todos los instrumentos legales vigentes que regulan el sistema educativo, Villarroel (1974). No es necesario aplicar la evaluación formativa todos los días sino en la medida en que cubra todas las etapas previstas para la consecución de los objetivos, sin embargo esta posibilidad no se descarta.

Se puede cumplir con la evaluación continua y formativa siempre que el docente tenga información de la marcha en todos y cada uno de los aprendizajes y ello puede efectuarse por medio de varios procedimientos, según la naturaleza del mismo; Lo determinante es que se conozca la situación completa del alumnado en los


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aprendizajes, Camperos (1984). Por otro lado el docente debe ayudar a sus alumnos, guiarlos para que ellos puedan ir tan lejos como le sea posible en su crecimiento y realización integral.

Es importante señalar que la Evaluación Formativa en Matemática es un proceso de aprendizaje, en el aula, debe basarse en una comunicación permanente entre el docente y sus alumnos. La evaluación es un proceso en que se intenta descifrar que significado le asignan los estudiantes a las ideas que se manejan en eso intercambios; en ese sentido, la evaluación, como parte integral y global, es un elemento indisoluble del quehacer docente. Una evaluación continua le da base al docente para decidir su plan de acción, qué preguntas debe hacer, qué actividades debe desarrollar, qué ejemplos e instrucciones ha de utilizar, en definitiva, ofrece una base fundamental para cualquier intercambio significativo entre docentes y alumnos.

En una investigación realizada por Abraina (1995), sobre evaluación formativa cuyo objetivo principal era determinar si dicha evaluación ayuda a los alumnos a aprender, concluyó de manera satisfactoria que la evaluación después de ser un foco de gran número de conflictos, desaliente y sinsabores para alumnos, padres y profesores; ahora se entiende como cualquier otro componente del proceso didáctico, siendo su objetivo, por tanto, la formación integral de los alumnos y proporcionar un ambiente de ayuda y de perfeccionamiento constante del aprendizaje.

Asimismo, un trabajo realizado por Rodríguez (1995), afirma que no puede haber evaluación sumativa (calificadora y de salida) si antes no está precedida de una evaluación

formativa (de proceso y de realimentación de aprendizaje). Todo proceso debe partir de una evaluación diagnóstica que permite determinar las condiciones en las que el alumno se introduce al programa. Así, el docente tendrá insumos suficientes para seleccionar sus estrategias agregar contenidos y abreviar otros. Además, la evaluación ha de ser multidireccional a través de sus vías complementarias; la auto evaluación, coevaluación y evaluación externa.

De la misma manera, un estudio realizado por Alves y Acevedo (1999), plantean en su investigación que si la evaluación se realiza en el proceso mismo de construcción del aprendizaje, los procedimientos e instrumentos se debe garantizar una información para mejorar el proceso, de allí que pueda establecer los niveles intermedios dentro de la secuencia pedagógica y conformación de las estructuras cognitivas que se estén generando, para orientar al estudiante o al grupo completo. Independientemente del procedimiento e instrumento empleado, el mismo debe procurar la información necesaria para detectar los problemas y superar las dificultades.

Por otro lado Armando (1999), destaca en su trabajo el papel de la evaluación como la comprobación de los resultados del proceso educativo, pero que no debe quedarse únicamente en los resultados sino que debe comprobarse globalmente en todo el proceso para llevar a cabo las correcciones necesarias basadas en la disponibilidad permanente de información acerca del alumno en su proceso de aprendizaje y con el fin de intervenir, en caso necesario, o de constatar los logros y avances que va confiriendo.


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Un enfoque constructivista de la evaluación en la educación matemática

La evaluación en el enfoque constructivista establece que los resultados del aprendizaje no se restringen de conductas, habilidades y conocimientos observables, sino a procesos de pensamiento, análisis e interpretación, análisis y solución de problemas lo cual implica un cambio en el énfasis dado a los productos, por el énfasis en los procesos. El propósito de evaluación de procesos es el de lograr la consideración de las necesidades, intereses y aspiraciones de los sujetos para ofrecer las necesidades, intereses y aspiraciones de los sujetos para brindar la información apropiada a cada uno de ellos en beneficio del logro de su aprendizaje. La evaluación desde este enfoque, registra los hechos en su evolución, progreso, interpretación y perspectivas y, esto lleva a conceder mayor importancia a la evaluación exploratoria y formativa que la evaluación final.

Por tal motivo la evaluación dentro de esta dinámica constructivista debe significar un cambio en el: “qué”, “para qué”, “cuándo”, y “cómo evaluar”.

El “qué evaluar”, se refiere a evaluar procesos, construcciones, condiciones presentes para esa construcción y papel mediador en ese proceso de los números reales.

En el “para qué evaluar”, se debe considerar y atender aquellas condiciones que interfiere en el aprendizaje, para facilitar nuevas construcciones, realimentar, reorientar y mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje referente a los números reales.

El “cuándo evaluar”, está referido a todo momento de la interacción constructiva, o cada vez que el docente lo considere conveniente. El “cómo evaluar”, los números reales sugiere que la evaluación se realice en forma sistemática, a través de actividades de evaluación diagnóstica, formativa y sumativa. (UNIVERSIDAD DE CARABOBO, 1999).

Respecto a la dimensión social, la evaluación concebida de manera constructivista y cualitativa se convierte en un aspecto esencial de la práctica pedagógica, en función del cambio y la transformación de la realidad social. (Alves y otros, 1999). En consecuencia, desde el punto de vista constructivista, es necesario cuidar que las actividades y tareas de evaluación tenga sentido para los alumnos, para que ellos puedan entender la función que cumplen las mismas dentro del proceso de construcción del conocimiento, sintiéndose así motivados para resolverlas. (MINISTERIO DE EDUCACIÓN, 1998).

De tal manera que los docentes deben promover la participación de los alumnos mediante la autoevaluación y la coevaluación, con el propósito de desarrollar la crítica y la autocrítica constructiva, darle oportunidades para que los alumnos expresen libremente sus intereses y sentimientos, den y acepten opiniones y defiendan sus puntos de vistas. La autoevaluación es un proceso de valoración que realiza el alumno de su propia actuación, lo que permite identificar sus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para mejorar su aprendizaje, la coevaluación es un proceso de valoración recíproca que realizan los alumnos sobre la actuación del grupo y de cada uno de ellos, atendiendo ciertos criterios


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o puntos de referencias establecidos por consenso.

En los últimos años muchos autores han coincidido en que la evaluación de los aprendizaje se refiere a las formas que se utilizan para determinar logros de aprendizajes producidos por el proceso de instrucción. Estos logros son evidencias en conductas observables en los alumnos, por la adquisición de ciertos conocimientos, destrezas, habilidades y actitudes específicas. En las distintas corrientes ha existido un común interés por los productos observables del aprendizaje, descuidando los procesos mentales de elaboración o construcción que dan origen a esas conductas.

El impacto del constructivismo en la concepción de la matemática también ha llevado cambios en los planteamientos de cómo evaluar en matemática. Estos planteamientos reflejan un cambio de paradigma que implican una aproximación distinta a la comprensión de la naturaleza de la matemática, de la enseñanza y del aprendizaje de la matemática, es importante que el docente centralice la actividad evaluativa durante todo el proceso de construcción que realizan los alumnos. Esto lo puede hacer mediante la consideración de los aspectos tales como: la naturaleza de los conocimientos previos, tipos de estrategias cognitivas y metacognitivas que utiliza (superficial, estratégico o profundo), capacidades generales involucradas, motivación que persigue, expectativas que se plantea y otros.

Se pueden utilizar varias técnicas y procedimientos para obtener información valiosa sobre las operaciones involucradas en el proceso de construcción del conocimiento escolar. Es importante destacar, que además

de las acciones constructivas de los alumnos, el docente también representa un papel fundamental y decisivo para explicar el proceso de construcción; debido a las actividades que utiliza para la planificación de la enseñanza e inclusive en la evaluación. La retroalimentación es una función que debe estar presente para reforzar la formación, tanto del alumno como del docente. La retroalimentación, en el docente, favorece su autoestima, su capacidad de relacionarse con los alumnos, en las expectativas de su eficacia, entre otros. Al alumno, le ayuda a informarse sobre el valor y el grado de éxito de su ejecución, son mensajes que le permiten mejorar sobre todo su aprendizaje y expectativas. Es importante entender que en la medida de lo posible, la información evaluativa no debe ser presentada públicamente, porque el mal manejo de ella puede repercutir negativamente en los distintos aspectos de la personalidad (expectativas, atribuciones, autoestima, autoeficacia, autoconcepto, entre otros).

En lo referente a la dimensión pedagógica, el contenido Números Reales se encuentra en el programa de estudio de la tercera etapa de Educación Básica, plantea la importancia de este contenido con el propósito de permitir a los estudiantes, alcanzar el dominio de un objetivo antes de otro que se base en él y ayudarles a construir el conocimiento matemático en forma lógica y coherente. La evaluación se concibe como un proceso que acompaña a cada experiencia pedagógica, que permita reconocer el grado de aprendizaje adquirido, así como también identificar los factores que lo facilitan o limitan, tal como se plantea en la Reforma Educativa Venezolana (1994).


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La concepción constructivista de la evaluación se organiza en torno a cuatro ideas fundamentales, a saber :

1. El alumno es el responsable último de su propio proceso de evaluación: es él quien construye el conocimiento y nadie puede sustituirlo en la tarea. El alumno manipula, explora su trabajo y de igual forma maneja las explicaciones del facilitador.

2. La evaluación constructivista del alumno se aplica a contenidos que ya posee en grado considerable de elaboración, es decir los alumnos construyen las operaciones aritméticas elementales, pero estas ya están definidas.

3. El hecho de que la evaluación constructiva del alumno se aplica a unos contenidos de aprendizajes preexistentes condicionada al papel que desempeña el facilitador. Su función no se limita a crear las condiciones óptimas para que el alumno realice la evaluación constructivista, la cual es recia y diversa, sino que de igual manera orientará las actividades con el fin de que la construcción del alumno en su evaluación se acerque de forma progresiva a los objetivos educacionales.

4. El facilitador y el alumno gestionan conjuntamente la evaluación, entonces aparece un proceso de participación guiado. La gestión conjunta de la evaluación es un reflejo de la necesidad de tener siempre en cuenta las interrelaciones entre lo que aporta el profesor, el alumno y el contenido, éstos desempeñan papeles distintos pero imprescindibles y totalmente interconectados.

5. El profesor gradúa la dificultad de las tareas y proporciona al alumno los apoyos necesarios para afrontarlos, pero esto es sólo posible con las reacciones del alumno que indican

continuamente al docente sus necesidades y la comprensión de las situaciones; implica un traspaso progresivo del control, que pasa de ser ejercido por el facilitador a ser asumido por el estudiante, entonces ambos intervienen activamente.

6. Esta forma de entender la evaluación se lleva a perfilarla con un conjunto de orientaciones sobre cómo debe ser planteadas y desarrolladas en el aula desde un punto de vista de la concepción construcitivista la cual es principalmente formativa.

7. Esta evaluación formativa también utiliza formas de evaluación no tradicionales como la auto-evaluación, la coe-valuación y la hetero-evaluación, en donde el docente no será el único que posea el conocimiento sino que ayudará a formar en el alumno un pensamiento divergente que contribuya a la discusión y el análisis de los conocimientos planteados.

Con referencia a los procedimientos y formas de evaluación de una manera formativa es importante destacar que la autoevaluación ayudará al alumno a reconocer sus habilidades cognitivas. Esta evaluación es un proceso que debe ser planeado y guiado sobre el trabajo o actividad del estudiante, sus conocimientos y habilidades, o sobre los cambios acaecidos en sí mismos, ya que consiste en una reflexión en la cual él mismo hace un análisis en su desempeño, lo que implica reconocer fallas y sus logros para que le sirva de autorregulación y acabe siendo el responsable de su propia educación.

La autoevaluación permite la introducción de datos difíciles de ponderar y transmitir que en ningún otro instrumento o modalidades de evaluación se puede hacer, y corrige determinados sesgos introducidos por los


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propios instrumentos de valoración o los creados por el evaluador.

Asimismo, la coevaluación o valoración respetuosa y positiva de los alumnos pueden reformular el trabajo y la actitud de los demás compañeros, la valoración de estas actividades les permite a los profesores tener información individualizada de gran significados y valora la hora de formular cualquier diagnóstico o informe sobre el rendimiento o situación de los docentes y alumnos; ésta la realizan para determinar sus fallas e intercambiar las ideas y experiencias de aprendizajes. De manera recíproca, los participantes en esta forma de evaluación sugieren opiniones y recomendaciones que permiten reorientar el proceso educativo. Y, por último, la heteroevaluación de una manera formativa es la evaluación realizada por uno o más docentes a cierto estudiante o grupo de ellos, en donde la posición del docente le confiere una perspectiva más objetiva sin olvidar el proceso de aprendizaje del alumno. En este tipo de evaluación el docente debe indicarle al educando con precisión cuáles fueron sus fallas y ayudarlos a comprenderlos.

La evaluación formativa debe reunir ciertas características especiales a los efectos de su aplicación:

- Que el aprendizaje se base en objetivos específicos expresados en términos de conductas observables, es decir, que la evaluación ofrezca las mejores condiciones posibles para que el alumno muestre la conducta requerida cualquiera que sea el dominio (destrezas motrices, información verbal, estrategias cognitivas o actitudes).

- El uso del tiempo, para que una evaluación sea apropiada, es necesario ofrecer una

situación congruente con las condiciones planteadas por el objetivo y el tiempo necesario, dentro de los límites de la clase.

El proceso de enseñanza – aprendizaje debe ser efectivo, en el sentido de poder asegurar para cada uno de los alumnos el logro de los objetivos que se proponen sin embargo, la evaluación, bien planificada y conducida, puede transformarse en una efectiva ayuda para mejorar la calidad del proceso de enseñanza – aprendizaje.

Un punto central del proceso de evaluación es que los docentes extraigan conclusiones significativas de su interacción con los alumnos. Es mediante ese proceso interactivo donde se toman decisiones más importantes sobre el proceso de aprendizaje de los alumnos. La evaluación debe ser algo más que escrito, que simplemente una nota; debe ser un proceso continuo, dinámico y, muchas veces, informal, en el sentido de desmitificarla de esa característica de inquebrantable objetividad e inflexibilidad que debería tener.

La evaluación es un proceso dinámico y cíclico por naturaleza, un proceso de observación que lleva a conjeturas y reformulación constante de juicios sobre las estructuras conceptuales de nuestros alumnos. La evaluación debe dar lugar a juicios que sean capaces de evolucionar, que trasciendan los aspectos más formales de los exámenes escritos que caracterizan buena parte de las actuales programaciones docentes. Examinar para asignar una nota es la más amplia e importante, diseñada para recoger información del ser, el saber y el saber hacer matemático a los estudiantes y cómo piensan acerca de la matemática. “La evaluación debe originar una


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“biografía” del aprendizaje de los alumnos, una base para mejorar la calidad de la docencia.

Se debe contar con unos principios de la evaluación formativa en matemática, que estén centrados en las estructuras conceptuales matemáticas. Como docentes se tienen que hacer consciente de ello, para así poder apoyar y promover el aprendizaje de la matemática de los estudiantes desde temprana edad. Si no se hace esto se corre el gran riesgo de no apoyar a los alumnos en desarrollar competencias como las que señala el programa de matemática de Primer Grado del CBN, cuando dice que el niño “obtiene resultado de un problema por simple reflexión, por “darse cuenta”, con varias soluciones, con soluciones cualitativas” o “intercambia opiniones sobre la honestidad en situaciones en las cuales se maneja la moneda”(p.141).

En matemática, como en cualquier otro campo, el conocimiento supone tener una información y saber manejarla. En matemática, esta destreza que lleva a tener solidez en el manejo del conocimiento requiere la capacidad de utilizar la información para razonar y pensar de forma creativa, y de formular y resolver problemas, además de reflexionar críticamente sobre ellos.

La evaluación del aprendizaje matemático de los estudiantes supone algo más que medir cuánta información poseen, también supone evaluar tanto cuanto se refiere a la capacidad y disposición que tenga a utilizar, aplicar y comunicar dicha información. La evaluación deberá permitir al docente tener una base confiable para conocer hasta qué puntos los alumnos han integrado la información y le han dado sentido, si pueden o no aplicarla a

situaciones que requieran razonamiento y pensamiento creativo, y si puede o no utilizar la matemática para utilizar sus ideas. Conjuntamente, la evaluación debe valorar la disposición de los estudiantes hacia la matemática, en especial la confianza que tienen en el uso de la matemática y hasta que punto valoran la utilidad de la misma.

La evaluación del aprendizaje matemático no debe construirse a partir de la evaluación de competencias separadas o aisladas. Aunque una determinada evaluación se puede poner más énfasis en un aspecto del conocimiento matemático que en otro, se tiene que quedar claro que un verdadero aprendizaje de la matemática debe abarcar todos los aspectos del conocimiento matemático y del proceso mediante el cual se adquiere dicho conocimiento, adecuado para cada nivel, y sus interconexiones.

BIBLIOGRAFÍA

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MINISTERIO DE EDUCACIÓN (1999). Principios y criterios para la evaluación. Cuadernos para la reforma educativa. Alauda Anaya.

Rotger B. (1990). Evaluación Formativa Editorial Cincel. Madrid. España.

Ruiz C. (1991) Análisis de la administración de la Evaluación Formativa que realizan los docentes de la tercera etapa de Educación Básica en planteles del Distrito Nº 5 del Área metropolitana de Caracas, y su


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posible efecto sobre el rendimiento estudiantil Tesis de Maestría UPEL.

NOTA: Este artículo fue prearbitrado por: Prof. Cirilo Orozco-Moret y originalmente publicado en: http://www.ilustrados.com/tema/7401/evaluacion-formativa-aprendizajes-alumnos-como-estrategia.html (2005)

1978, DAVID GNIZAK Oro vaporizado en una evaporadora al vacío.


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redumat 6 agosto 2014 año 3 nº 6

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