Redes de Trilateración

REDES DE TRILATERACIÓNMÉTODO DE APROXIMACIONES

SUCESIVAS

INTRODUCCIÓN

El siguiente informe corresponde a la construcción de una red de apoyo, aplicando el método de trilateración, representando planmétricamente conforme de lo que ocurre en el terreno en dos dimensiones, a partir de una Trilateración con Estación Total.

La Trilateraciónes un método de levantamiento topográfico el cual es complementario a la triangulación, este consiste en medir longitudes de los lados de un triángulo para determinar con estas, de manera trigonométrica, los valores de los ángulos de los triángulos descritos, esta es la operación contraria a la de la triangulación.

OBJETIVOS

Aplicar y entender el Método de Trilateración con Estación Total para la elaboración de nuestra Red de Apoyo.

Representar de manera conforme la planimetría de un lugar, a partir de los puntos característicos y la línea base escogida con todas las características de una Trilateración con Estación Total.

Encontrar las Coordenadas UTM de un punto con el GPS, en base a este hallar la de los demás vértices del polígono.

Encontrar el azimut de un lado del polígono de la red de apoyo para encontrar el resto de azimut.

Aplicar de manera correcta el Método de Aproximaciones Sucesivas.

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MARCO TEÓRICO

PLANIMETRÍALa planimetría es la parte de la topografía que estudia el conjunto de métodos

y procedimientos que tienden a conseguir la representación a escala de todos los detalles interesantes del terreno sobre una superficie plana (plano geometría), prescindiendo de su relieve y se representa en una proyección horizontal.

RED TOPOGRÁFICASe considera red topográfica al conjunto de vértices a partir de la red geodésica

de tercer orden.

La necesidad de la red topográfica radica en que la distancia entre los vértices de tercer orden es demasiado grande para los levantamientos. Se hace necesario establecer por métodos topográficos nuevos vértices, denominados vérticestopográficos de modo que la distancia entre ellos no supere aquella que necesita el trabajo.

RED TRIGONOMÉTRICA O TRIANGULACIÓNLos puntos que constituyen esta red pueden estar separados desde unos

centenares de metros hasta kilómetros. Para ubicarlos se utilizan los métodos de intersección.

Los métodos de intersección no requieren más que medidas angulares, por ello para llegar a determinar las posiciones de los vértices se necesitará conocer al menos la longitud de uno de los lados de la red. A este lado de longitud conocida se le denomina base de la triangulación.

TRILATERACIÓN

La trilateración es un método matemático para determinar las posiciones relativas de objetos usando la geometría de triángulos de forma análoga a la triangulación. A diferencia de ésta, que usa medidas de ángulojunto con al menos una distancia conocida para calcular la localización del sujeto, la trilateración usa las localizaciones conocidas de dos o más puntos de referencia, y la distancia medida entre el sujeto y cada punto de referencia. Para determinar de forma única y precisa la localización relativa de un punto en un plano bidimensional usando sólo trilateración, se necesitan generalmente al menos 3 puntos de referencia.

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Este método consiste en que en vez de medir ángulos se miden distancias entretodos los lados.

Si se designan a, b, c los lados del triángulo ABC el valor del ángulo A se puede deducir mediante el teorema del coseno.

cos A=b2+c2−a2

2bc

Las coordenadas de los vértices se deducen del siguiente modo: si son A y B los puntos de partida conocidos el azimut θA

B será asimismo conocido y como se ha medido el lado AC, para calcular las coordenadas de C respecto a A solo se precisa deducir el ángulo A ya que:

θAC=θA

B−A

DESCRIPCIÓN INSTRUMENTAL

Los instrumentos usados en campo para el desarrollo del Método de Trilateración son:

ESTACIÓN TOTALSe denomina estación total a un aparato

electro-óptico utilizado en topografía, cuyo funcionamiento se apoya en la tecnología electrónica . Consiste en la incorporación de un distanciómetro y un microprocesador a un teodolito electrónico.

Algunas de las características que incorpora, y con las cuales no cuentan los teodolitos, son una pantalla alfanumérica de cristal líquido (LCD), leds de avisos, iluminación independiente de la luz solar, calculadora, distanciómetro, trackeador (seguidor de trayectoria) y la posibilidad de guardar información en formato electrónico, lo cual permite utilizarla posteriormente en ordenadores personales. Vienen provistas de diversos programas sencillos que permiten, entre otras capacidades, el cálculo de coordenadas en campo, replanteo de puntos de manera sencilla y eficaz y cálculo de acimutes y distancias.

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TRÍPODEEs un instrumento que tiene la particularidad de soportar un equipo de

medición como un taquímetro o nivel, su manejo es sencillo,pues consta de tres patas que pueden ser de madera o de aluminio, las que son regulables.

Prisma El instrumento realiza la medición de ángulos a partir de marcas

realizadas en discos transparentes. Las lecturas de distancia se realizan mediante una onda electromagnética portadora con distintas frecuencias que rebota en un prismaubicado en el punto a medir y regresa, tomando el instrumento el desfase entre las ondas. Algunas estaciones totales presentan la capacidad de medir "a sólido", lo que significa que no es necesario un prisma reflectante.

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GPS(Global PositioningSystem - Sistema de

Posicionamiento Global). Se trata de un sistema global de navegación por satélite (GNSS) que permite localizar con precisión un dispositivo GPS en cualquier lugar del mundo.

Para ubicar un punto se utilizan como mínimo cuatro satélites. El dispositivo GPS recibe las señales y las horas de cada uno de ellos. Con estos datos y por triangulación calcula la posición en el mundo donde se encuentra.

Inicialmente el sistema GPS podía incluir un cierto grado de error aleatorio de 15 a más de 100 metros de forma intencional. Esto se fue llamado Disponibilidad selectiva (S/A), y se utilizaba como medida de seguridad. Fue eliminada el 2 de mayo de 2000 por el presidente estadounidense de aquel entonces, Bill Clinton.

Su función es calcular las coordenadas (X, Y) así también como la cota (Z) de un punto deseado.

EstacaSirve para materializar un punto topográfico en el terreno.

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BrújulaUna brújula consta esencialmente de una aguja de acero magnetizada,

montada sobre un pivote situado en el centro de un limbo o circulo graduado. La aguja apunta hacia el Norte magnético.

PROCEDIMIENTO CAMPO

1. Reconocimiento del terreno

2. Ubicación de nuestro primer punto A (punto de partida para la red de apoyo), conjuntamente a ello hallar con el GPS las coordenadas (x,y,z) de este punto, de las cuales sólo se usarán las coordenadas X, Y debido a que se vamos a trabajar planimétricamente.

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3. Ubicar el punto B, C, D, para nuestra Red de Apoyo Planimétrico (para el primer caso de Trilateración) y la ubicación de un punto E (para el segundo caso, con un punto topográfico en posición central). Materializamos los puntos con estacas.

4. Con la Brújula hallamosel azimut del alineamiento AB, que nos servirá para encontrar el los demás azimuts para el resto de alineamientos de nuestra red de apoyo.

5. Apoyados de que hemos colocado las estacas en los puntos A, B, C, D y E, desarrollamos el levantamiento de nuestra red de apoyo de dos formas, una sin uso del punto E, y otra con el uso de este punto topográfico.

6. Ubicamos la Estación Total en el punto A, previamente a ello estacionamos el trípode, nivelando el equipo, para ello hacemos el uso de los tornillos nivelantes y a las burbujas de aire, y seguimos un proceso en pantalla del equipo para que quede nivelado y ubicado el punto A exactamente.

7. Configuramos el equipo, ingresando una serie de datos pedidos como :

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a. Si se va a trabajar con o sin prisma.b. El ingreso de la constante del prisma.c. La Corrección de Temperatura y Presión.d. Seleccionamos la precisión de las mediciones.e. Seleccionamos el formato de visualización de los datos, en esta opción se

ingresan las coordenadas del punto A, las cuales fueron tomadas con el GPS, se selecciona la referencia de 0° para el ángulo vertical y se selecciona entre distancia horizontal o distancia inclinada.

f. Configuramos las unidades de medición.g. Seleccionar la unidad de medición del ángulo vertical (para el trabajo

realizado no es necesario).h. Configuración del sentido del ángulo horizontal y vertical.

8. Luego medimos las distancias desde el punto A, para ello uno de la brigada se ubica en los otros puntos con el prisma, para lanzar la visual hacia ella, seleccionamos la opción medir y anotamos el dato hallado. De esta manera las distancias medidas cuando la estación está ubicada en el punto A, serán AB, AC, AD y AE, de las cuales AB, AC y AD para la primera el primer método, y AB, AE y AD para el segundo método para la construcción de la Red de Apoyo.

9. De esta misma manera ubicamos la estación en los puntos B, C, D y E, y realizamos el mismo proceso para la medición de las distancias.

DATOS OBTENIDOS EN CAMPO.

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Para el punto A.

- Posición: 17M 0620988- UTM: 9258515- Cota: 17m.- Azimut del alineamiento AB: 9°

Para las Distancias.

ESTACION PUNTO DISTANCIA

A

B 56.757C 100.32D 86.371E 48.893

B

D 105.322C 87.466A 56.762E 49.159

C

A 100.296B 87.446D 53.213E 51.825

D

A 86.381B 105.305C 53.235E 56.202

CÁLCULOS REALIZADOS (TRABAJO EN GABINETE).

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Con los vértices A, B, C y D.

1. Hallamos las distancias promedios.

Lado Distancia Promedio

AB 56.7595BC 87.4560CD 53.2240DA 86.3760AC 100.3080BD 105.3135

2. Encontramos los ángulos

Para el cálculo de los ángulos, por ejemplo el ángulo 1, se usa la siguiente fórmula:

cos1= AC2+AD2−CD2

2× AC× AD

Luego encontramos el arc ¿, hallando así el ángulo 1, de la misma manera encontramos los ángulos 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.

Ángulos Calculados

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Grados Minutos Segundos1 32 2 5.932 60 20 24.633 55 1 53.574 30 17 6.035 34 19 51.546 59 24 37.207 55 57 38.088 32 34 51.17

3. Realizamos las compensaciones geométricasa. Primera Corrección (C1)

∑ ánglosinternos=360° ,→Error=360 °−∑ ángulos internos

∑ ángulosinternos=359° 58'28.15

C1=Error8

=0 ° 0'11.48

Se suma a los ángulos cuya suma sea menor y restar a los otros dos.

b. Segunda Corrección (C2):Tiene que cumplirse que:

¿2+¿3=¿6+¿7→Error= (¿2+¿3 )−(¿6+¿7)Error=115° 22' 41.16 -115° { 22} ^ {'} 38.25

Error=0 ° 0'2.91

C2=Error4

=0 ° 0'0.73

¿4+¿5=¿1+¿8→Error=(¿4+¿5 )−(¿1+¿8)Error=64 ° 37' 20.53 -64° { 37} ^ {'} 20.06

Error=0 ° 0'0.47

C2=Error4

=0 ° 0'0.12

CORRECCIÓN GEOMÉTRICAPrimera Corrección Segunda Corrección Angulo Corregido

Grados Minutos Segundo Grados Minutos Segundos Grados Minutos Segundos

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s0 0 11.48 0 0 0.12 32 2 17.530 0 11.48 - 0 0 0.73 60 20 35.380 0 11.48 - 0 0 0.73 55 2 4.330 0 11.48 - 0 0 0.12 30 17 17.390 0 11.48 - 0 0 0.12 34 20 2.910 0 11.48 0 0 0.73 59 24 49.410 0 11.48 0 0 0.73 55 57 50.290 0 11.48 0 0 0.12 32 35 2.77

4. Realizamos las correcciones trigonométricas

Debe cumplirse que:

log sen1+log sen 3+log sen5+ log sen7=log sen2+log sen4+ log sen 6+log sen8

Error1=∑ log sen ¿impares−∑ log sen¿ pares

En el cálculo de los logaritmos de los senos de los ángulos, se multiplica cada resultado por 106.

Por condiciones en el método de aproximaciones sucesivas, a cada ángulo medido le sumamos 1”, para luego encontrar la diferencia con respecto al Logaritmo del seno de los ángulos iniciales.

Error2=∑ log sen¿ iniciales−∑ log sen¿¿¿¿

La compensación es:

C3=Error 1Error 2

Primera Corrección Trigonométrica

IMPARES PARES Log Sen (+1”)log sen 1 -275327.2257 -275323.8611log sen 2 -60977.97661 -60976.77775

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log sen 3 -86452.3042 -86450.8318log sen 4 -297268.6209 -297265.0161log sen 5 -248706.8879 -248703.8053log sen 6 -65065.47896 -65064.23445log sen 7 -81610.12187 -81608.69976log sen 8 -268784.4527 -268781.1584SUMA -692096.5396 -692096.5292 -1384174.385

-1384193.069

Error1=−0.010426678”

Error2=−18.68417702

C3=1.55013×10−7

C3=0 ° 0'0

Angulo Corregido Geométricamente Corrección Trigonométrica

Grados Minutos Segundos Grados Minutos Segundos

32 2 17.53 0 0 0.00

60 20 35.38 -0 0 0.00

55 2 4.33 0 0 0.00

30 17 17.39 -0 0 0.00

34 20 2.91 0 0 0.00

59 24 49.41 -0 0 0.00

55 57 50.29 0 0 0.00

32 35 2.77 -0 0 0.00

Ángulo Corregido

Grados Minutos Segundos32 2 17.5360 20 35.3855 2 4.33

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30 17 17.3934 20 2.9159 24 49.4155 57 50.2932 35 2.77

Con los ángulos corregidos si la C3, no hubiese sido cero se debería realizar una segunda serie de correcciones trigonométricas hasta que el C3= 0, pero en este caso, C3 es cero y los ángulos quedan como los ángulos corregidos geométricamente.

La suma de los ángulos finales resulta 360°00’00”, lo que indica que no hay error en los ángulos.

5. Hallamos los azimutsTeniendo lados los lados, los ángulos definidos, hallamos los azimuts del resto de lados del polígono (red de apoyo)

LADO AZIMUT

AB 9°00’00’’BC 274°19’21.71”CD 188°4’14.03”DA 96°37’7.09”

6. Hallamos las coordenadas de cada punto de la poligonal.

LADO COORDENADAS

X YA 620988 9258515B 620996.8792 9258571.0612C 620909.672 9258577.6531D 620902.1997 9258524.9562A’ 620988.0001 9258515.0005

Notamos que la coordenada de A al finalizar no es la misma que la que comenzamos pero es mínimo el error debido a que en coordenadas X es 0.0001m y en coordenadas Y es 0.0005m( lo cual es mínimo).

Si se quisiera compensar, se podría realizar con el método gráfico.

CONCLUSIONES

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- El error obtenido en el primer cuadrilátero entre la coordenada de partida de A

y la coordenada de llegada de A´ es: en “X” hay una diferencia de 1.89175x10-7

m y en “Y” es 2.6077x10-8 m (se podría decir que no existe error).

- El error obtenido en el segundo cuadrilátero entre la coordenada de partida de

D y la coordenada de llegada D’ es: en “X” hay una diferencia de 3.6269x10-5 m

y en “Y” hay una diferencia de 0.000177134 m (se podría decir que no existe

error).

- Al comparar los resultados del trabajo, podemos afirmar que el Método de

Trilateración es de gran precisión.

- El error obtenido se puede deber a otros factores como el de no haber ubicado

exactamente el punto, o también porque la colocación del prisma se hizo a la

lado de la estaca, no sobre ella, con lo cual se pierde precisión.

- Debemos tener en cuenta que para no cometer errores debemos ubicar bien el

punto topográfico y también la colocación del prisma es sobre la estaca y no

sobre ella porque se pierde precisión.

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