NOMBRES COMPLEXOS

Llibre de text

Gerard Romo Garrido

Toomates Coolección Los documentos de Toomates son materiales digitales y gratuitos. Son digitales porque están pensados para ser consultados mediante un ordenador, tablet o móvil. Son gratuitos porque se ofrecen a la comunidad educativa sin coste alguno. Los libros de texto pueden ser digitales o

en papel, gratuitos o en venta, y ninguna de estas opciones es necesariamente mejor o peor que las otras. Es más: Suele suceder que los mejores

docentes son los que piden a sus alumnos la compra de un libro de texto en papel, esto es un hecho. Lo que no es aceptable, por inmoral y mezquino, es el modelo de las llamadas "licencias digitales" con las que las editoriales pretenden cobrar

a los estudiantes, una y otra vez, por acceder a los mismos contenidos (unos contenidos que, además, son de una bajísima calidad). Este modelo

de negocio es miserable, pues impide el compartir un mismo libro, incluso entre dos hermanos, pretende convertir a los estudiantes en un mercado cautivo, exige a los estudiantes y a las escuelas costosísimas líneas de Internet, pretende pervertir el conocimiento, que es algo social,

público, convirtiéndolo en un producto de propiedad privada, accesible solo a aquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada, impidiendo el derecho del alumno de poseer todo el libro, de acceder a todo el libro, de moverse libremente por todo

el libro.

Nadie puede pretender ser neutral ante esto: Mirar para otro lado y aceptar el modelo de licencias digitales es admitir un mundo más injusto, es participar en la denegación del acceso al conocimiento a aquellos que no disponen de medios económicos, en un mundo en el que las modernas

tecnologías actuales permiten, por primera vez en la historia de la Humanidad, poder compartir el conocimiento sin coste alguno, con algo tan

simple como es un archivo "pdf". El conocimiento no es una mercancía.

El proyecto Toomates tiene como objetivo la promoción y difusión entre el profesorado y el colectivo de estudiantes de unos materiales didácticos libres, gratuitos y de calidad, que fuerce a las editoriales a competir ofreciendo alternativas de pago atractivas aumentando la calidad

de unos libros de texto que actualmente son muy mediocres, y no mediante retorcidas técnicas comerciales.

Este documento se comparte bajo una licencia “Creative Commons”: Se permite, se promueve y se fomenta cualquier uso, reproducción y

edición de todos estos materiales siempre que sea sin ánimo de lucro y se cite su procedencia. Todos los documentos se ofrecen en dos

versiones: En formato “pdf” para una cómoda lectura y en el formato “doc” de MSWord para permitir y facilitar su edición y generar versiones parcial o totalmente modificadas. Se agradecerá cualquier observación, comentario o colaboración a

toomates@gmail.com

Actualmente, Toomates Coolección consta de los siguientes libros:

Geometría axiomática:

GA Geometría Axiomática pdf 1 2 ... 23 portada

PG Problemas de Geometría pdf 1 2 3 4 5 6 7

Problem-solving:

AR Teoría de números pdf 1 2

PT Trigonometría pdf doc

DE Desigualdades pdf doc

PC Números complejos pdf doc

PA Álgebra (en preparación)

pdf doc

PC Combinatoria (en preparación)

pdf doc

PR Probabilidad (en preparación)

pdf doc

Libros de texto (En catalán)

AG Àlgebra pdf 1 2

FU Funcions pdf doc

GN Geometria analítica pdf 1 2

TR Trigonometria

pdf doc

CO Nombres complexos pdf doc

AL Àlgebra Lineal 2n batxillerat

pdf doc

GL Geometria Lineal 2n batxillerat

pdf doc

CI Càlcul Infinitesimal 2n batxillerat

pdf 1 2

PL Programació Lineal 2n batxillerat

pdf doc

Recopilaciones de problemas

SE Compendium OME 2005-2019 pdf

SA Compendium AIME 1983-2019 pdf

ST Compendium PAU TEC 1998-2019 pdf

SC Compendium PAU CCSS 1998-2019 pdf

PM Problemas de Matemáticas pdf doc

Versión de este documento: 07/04/2020

www.toomates.net

Índex

1 Operacions amb nombres complexos. → 1.1 Concepte de nombre complex. Suma de nombres complexos.

1.2 Producte de nombres complexos.

1.3 Divisió de nombres complexos.

2 Notació polar i operacions en polars. → 2.1 Mòdul d'un nombre complex.

2.2 Argument d'un nombre complex.

2.3 Notació polar de nombres complexos.

2.4 Multiplicació de complexos en polars.

2.5 Divisió de complexos en polars.

2.6 Potències de complexos en polars. La fórmula de Moire.

2.7 Propietats del mòdul, argument i conjugat.

2.8 Repàs d'operacions amb polars.

3 Arrels de nombres complexos. → 3.1 Les arrels n-èsimes de nombres complexos.

3.2 La circumferència unitat. La notació exponencial.

3.3 Les arrels n-èsimes de la unitat.

Solucions. →

Aquest llibre té la seva continuïtat natural en "Problemas con números

complejos":

http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasNumerosComplejos.pdf

1 Operacions amb nombres complexos.

1.1 Concepte de nombre complex. Suma de nombres complexos.

El conjunto C de los números complejos es el conjunto de números más extenso que

conocemos (a nivel elemental), y surge por la necesidad de resolver determinadas

ecuaciones, pues, en el conjunto de los números reales nos encontramos con que

ecuaciones como 012 x no tienen solución.

La solución se encuentra al ampliar el conjunto de los números reales, de manera que

esta y otras ecuaciones tengan solución. La principal propiedad es que todo polinomio

no constante en una variable con coeficientes en C tiene al menos una raíz en C, y por

tanto descompone. Cardano fue el primero en manipular 1 como si fuera un

número, y Euler propuso el símbolo i para denotarlo, el cual se consideraba un número

ficticio o imaginario. Pero fue en el siglo XIX cuando, gracias tanto a Gauss como a

Hamilton, se definió de una forma más precisa el conjunto de los números complejos

como pares ordenados de números reales (a, b) = a + bi con una serie de propiedades,

que pasan por la distributividad del producto respecto a la suma.

Fuente: Documento "Problemas de olimpiadas sobre números complejos" (Paola Posadas Prados)

Suma de nombres complexos.

Per a sumar dos nombres complexos ),(),,( 2121 bbbaaa sumem component a

component:

2211 , bababa

La resta es realitza de manera similar: 2211 , bababa

1.2 Producte de nombres complexos.

Definim el producte de nombres complexos amb la següent fórmula:

122122112121 ,),(),,( babababababbbaaa

(però aquesta fórmula no es fa servir a la pràctica)

La immersió dels reals dintre dels complexos.

Podem considerar el conjunt de nombres reals dintre del pla complex amb la immersió:

)0,(xx

El producte complex és compatible amb aquesta immersió, es a dir, la multiplicació

complexa i la multiplicació real són la mateixa quan es treballa amb nombres reals:

yxyxyxyxyxyxyy

xx

)0,()00,00()0,)(0,(

)0,(

)0,(

La unitat imaginària.

Definim la unitat imaginària com )1,0(i . El quadrat de la unitat imaginària és -1:

1)0,1()0110,1100()1,0)(1,0(2 i

Notació binomial dels nombres complexos.

Tot nombre complex es pot escriure de la forma bia :

Per exemple: iz 43)1,0(4)0,1(3)4,3(

La primera part, sense la "i", s'anomena part real del nombre complex )Re(z , i la

segona part s'anomena part imaginària )Im(z .

Mètode pràctic per multiplicar complexos:

La multiplicació de dos nombres complexos es fa de manera semblant a la multiplicació

de polinomis: Se situen un sobre l’altre, i es multipliquen factor a factor, aplicant la

propietat distributiva i tenint en compte que 12 i .

Observa detingudament el següent exemple.

Exercici resolt.

Calcula el producte ii 5243

Solució.

El que no farem mai és "tirar de fórmula". Apliquem la propietat distributiva dues

vegades i tenim en compte que 12 i :

iii

iiiiiiiiii

726208156

)1(2081562081565245235243 2

1.2.1 Calcula:

a) )32()26( ii b) )32()26( ii c) )34()23( ii

d) )34()23( ii e) )2(3 i f) )43(2 ii

g) )21)(32( ii h) )25)(32( ii i) )4)(23( ii

j) )23)(32( ii l) 2)2( i m) 2)24( i

n) )32()1( 2 ii

1.2.2

Calcula 201132 ...1 iiii

1.2.3

Quants valors diferents pot prendre n

n

iiS

1 ?

ASHME 1957 #42

1.3 Divisió de nombres complexos.

El conjugat d'un nombre complex.

Definim el conjugat d'un nombre complex de la següent manera:

biazbiaz

Geomètricament, el conjugat d'un nombre és el seu simètric respecte de l'eix X:

Un nombre complex, multiplicat pel seu conjugat és un nombre real positiu, igual a la

suma dels quadrats de les seves components: Per exemple:

1394)1(949664)32(3)32(2)32)(32( 2 iiiiiiii

Divisió de nombres complexos.

La divisió de nombres complexos té associada la fórmula:

22

1221

22

2221 ,ba

baba

ba

baaa

b

a

Però aquesta fórmula no s'utilitza mai.

Mètode pràctic per dividir complexos.

Per a fer la divisió de dos nombres complexos s’han de multiplicar numerador i

denominador pel conjugat del denominador. Observa els següents exemples.

Exercici resolt.

Calcula i

i

23

45

Solució.

ii

iiii

iiiiiiiiiii

ii

ii

i

i

13

22

13

7

13

227(*)

134949)2(32323

227812101581210152342352345

(*)2323

2345

23

45

222

2

Exercici resolt.

Calcula i

i

3

52

Solució.

Multipliquem i dividim pel conjugat del denominador:

(*)3

3

3

52

3

52

i

i

i

i

i

i

iiiiiiiiiii 1715152651526)3(5)3(2)3)(52( 2

10)1(93)3)(3( 22 iii

ii

10

17

10

1

10

171(*)

2 Notació polar i operacions en polars.

2.1 Mòdul d'un nombre complex.

Donat un nombre complex biaz , definim el seu mòdul z , com

22 baz

El mòdul d'un nombre complex ens indica com està de lluny de l'origen )0,0( .

Relació entre el mòdul i el conjugat.

zzz

2

En efecte, si

2222))(( babiabiabiabiabiazzbiazbiaz

zzbaz 22

2.1.1 Calcula el mòdul dels següents nombres complexos:

a) i99 b) 355 i c) i6 d) 2323 i e) i636

f) 2 g) i2

1

2

3 h) i33 i) i5 j) 2222 i

k) 6 l) i43

Algunes propietats del mòdul.

a) 0z , i 00 zz

b) wzwz

c) nn zz

d) w

z

w

z

e) wzwz (desigualtat triangular)

2.2 Argument d'un nombre complex.

Tot nombre complex 0z té associat un nombre º360)arg(0 z , anomenat

argument de z, que indica l'angle que determina aquest nombre respecte l'eix real.

L'argument d'un nombre complex biaz es troba resolent l'equació

a

b)tan(

tenint en compte el quadrant en el què està z

Exercici resolt.

Calcula l'argument del nombre complex i35

Solució.

iz 35 equació:

º69.213º69.33º180

º69.33

5

3)tan(

I d'aquestes dues possibilitats ens quedem amb la primera perquè i35 està situat al

primer quadrant, i l'angle 213.69º correspon a un punt situat al tercer quadrant.

º69.33)arg( z

Exercici resolt.

Calcula l'argument del nombre complex i57

Solució.

iz 57 equació:

º46.144)º54.35(º180

º46.324º54.35º360º54.35

7

5)tan(

I d'aquestes dues possibilitats ens quedem amb la segona perquè i57 està situat al

segon quadrant, i l'angle 324.46º correspon a un punt situat al quart quadrant.

º46.144)arg( z

2.2.1

Calcula l'argument dels següents nombres complexos:

a) i99 b) 355 i c) i6 d) 2323 i e) i636

f) 2 g) i2

1

2

3 h) i33 i) i5 j) 2222 i

k) 6 l) i43

2.2.2 Determina el mòdul i l'argument dels següents nombres complexos:

a) i22 b) 3 c) i1010 d) i5

e) i1 f) g) i2

1

2

1

h) i6

i) i33 j) i4 k) 2

2.3 Notació polar de nombres complexos.

Tot nombre complex bia diferent de zero queda determinat pel seu mòdul m i el seu

argument . És el que s'anomena notació polar d'un nombre complex.

sincos imbia

De binomial a polar:

b

a

bam

tan

22

De polar a binomial:

sin

cos

mb

ma

Exercici resolt.

Expressa en forma polar el nombre complex iz 31

Solució.

º120)º60(180

º300º603arctan3

1

3tan

2431312

2

m

La part real de iz 31 és positiva, i la part imaginària és negativa, per tant està

situat al quart quadrant, i per tant, el valor correcte és el primer: º300º60

º300sinº300cos231 iiz

2.3.1 Escriu els següents nombres en forma polar:

a) i1 b) i 3 c) i33 d) i23

e) i68 f) i815

2.3.2 Escriu els següents nombres en forma binomial:

a) º270sinº270cos i b) º135sinº135cos23 i c) º180sinº180cos5 i

d) º120sinº120cos34 i e) º210sinº210cos12 i

2.3.3 Expressa els següents nombres complexos en forma trigonomètrica.

a) i33 b) i31 c) i232 d) 22 i

e) 8 f) i2 g) i512 h) i34

2.4 Multiplicació de complexos en polars.

isrba

isb

ira)sin()cos(

sincos

sincos

Per multiplicar en polars multipliquem els mòduls i sumem els arguments.

Demostració.

(*)sincossincos

sincossincossincos

sincos

iisr

isirbaissb

irra

i

i

ii

iii

iiiii

)sin()cos(

cossinsincossinsincoscos

sinsincossinsincoscoscos

sinsincossinsincoscoscos

sincossinsincoscossincossincos

2

)()sin()cos((*) rsisr

Per tant, el resultat de multiplicar dos nombres complexos és un altre nombre complex,

el mòdul del qual és el producte de mòduls i l'argument és la suma d'arguments.

Exercici resolt.

Calcula el producte de º30sinº30cos21 iz i º50sinº50cos5.12 iz

Solució:

º80sinº80cos3

)º50º30sin()º50º30cos(5.12º50sinº50cos5.1

º30sinº30cos221

2

1

i

izziz

iz

Exercici resolt.

Calcula el producte de º45sinº45cos3 i i º135sinº135cos2 i

Solució:

6116

º180sinº180cos6º135sinº135cos2º45sinº45cos3

i

iii

2.5 Divisió de complexos en polars.

i

s

r

b

a

isb

ira)sin()cos(

sincos

sincos

Per dividir en polars dividim els mòduls i restem els arguments.

Exercici resolt.

Calcula la divisió º150

º60

5

10 . Expressa el resultat en forma binomial

Solució:

º150º210

15060º150

º60 225

10

5

10

iib

a

3132

1º150sin2

3º150cos22 º150º150

Exercici resolt.

Calcula la divisió de iz 1010 entre iw 22 passant els nombres a forma polar,

i presenta el resultat en forma binomial.

Solució:

Passem els dos nombres a forma polar:

º225

22

210

º225

º451

10

10tan

210200)10()10(

1010

z

IIIquadrant

Iquadrant

m

iz

º135

22

22

º315

º1351

2

2tan

2282)2(

22

z

IVquadrant

IIquadrant

m

iw

Fem la divisió en polars:

º90

º135º225º135

º225 522

210

22

210

w

z

Convertim el resultat a forma binomial:

iib

a5505

190sin5

090cos55 º90º90

2.6 Potències de complexos. La fórmula de Moire.

Fórmula de Moire.

innraira nn )sin()cos(sincos

Per elevar en polars elevem el mòdul i multipliquem l' argument.

Demostració. Només cal aplicar la fórmula del producte:

irirrzzzirz 2sin2cossincossincos 22

irirrzzz 3sin3cos2sin2cos 3223 ,

i així successivament.

Exercici resolt.

Calcula 831 i i expressa el resultat en forma binòmica.

Solució:

En primer lloc passem el nombre a forma polar:

24312

m ,

º240º60180

º603arctan3

1

3tan

El nombre i31 està al primer quadrant, per tant l'angle correcte és º60 .

º120sinº120cos256º480sinº480cos256

º608sinº608cos2º60sinº60cos231 888

iz

Passem el resultat a forma binomial:

ib

a3128128

3128º120sin256

128º120cos256º120sinº120cos256

Exercici resolt.

Calcula 333 i amb la fórmula de Moire

Solució:

º60sinº60cos3233

º240

º60

3

3tan

32129333

33

22

ii

IIIQuadrant

IQuadrant

m

i

º180sinº180cos324º603sinº603cos32º60sinº60cos3233

iii

Passem el resultat a forma binomial:

32403240180sin324

324180cos324º180sinº180cos324

i

b

ai

2.6.1 Calcula les següents potències, i presenta el resultat en forma binòmica.

a) 31 i b) 61 i c) 43 i d) 41 i e) 201 i

2.7 Propietats del mòdul, argument i conjugat.

Propietats de l'argument d'un complex.

a) )arg()arg()arg( wzwz

b) zz argarg

c) )arg()arg(arg wzw

z

Propietats del conjugat.

a) wzwz

b) wzwz

c) w

z

w

z

d) zz

e) nn zz

f) zz si i només si z és real, és a dir: 0Im z

g) zz si i només si z és imaginari pur, és a dir: 0Re z

h) zzz Re2

i) zizz Im2

j) 22ImRe zzzz

Propietats del mòdul.

a) 0z , i 00 zz

b) wzwz

c) nn zz

d) w

z

w

z

e) wzwz (desigualtat triangular)

f) zzz 2

Exercici resolt.

Determina l'argument de i

z31

2

aplicant les propietats, sense fer l'operació.

Solució:

iz 31arg)2arg()arg( , º180)2arg(

Per trobar l'argument de i31arg resolem l'equació

º240º60º180

º603

1

3tan

i ens quedem amb el resultat º60 perquè i31 està al primer quadrant.

Per tant, º6031arg i , i finalment, º120º60º180)arg( z

2.7.1

Determina l'argument dels complexos següents: a) i

iz

22 b) 63 i

2.7.2

Aplicant les propietats de la conjugació, demostra les següents igualtats:

a) iziz 33

b) zizi

c) ii 43)2( 2

d) 523)2)(52( ziz

Proposición.

Si )(zf es un polinomio de coeficientes reales:

0)(0)( zfzf

Así pues, las raíces de los polinomios con coeficientes reales vienen en pares

conjugados (teniendo en cuenta que el conjugado de una raíz real es ella misma).

Demostración.

Sea n

nzazaazf ...)( 10 , con IRai . Puesto que la conjugación se mantiene por

suma y producto, y el conjugado de un número real es él mismo,

00......

......)(

1010

1010

n

n

n

n

n

n

n

n

zazaazazaa

zazaazazaazf

Exercici.

Demostra que i23 i i23 són arrels de 01362 xx

2.8 Repàs d'operacions amb polars.

2.8.1

Donats iz 232 i 31 iw , calcula, passant a forma polar:

a) wz , b) 5w c) w

z

2.8.2 Calcula:

a) )75()43( ii b) )31()24( ii c) )23)(2( ii

d) )43)(43( ii e) i

i

2

31 f)

i

i

32

23

2.8.3 Calcula:

a) )32()26( ii b) )32()26( ii c) )34()23( ii

d) )34()23( ii e) )2(3 i f) )43(2 ii

g) )23)(32( ii h) )25)(32( ii i) )4)(23( ii

j) 2)2( i k) 2)24( i l) )32()1( 2 ii

m) i

i

1

32 n)

i

i

43

23

o)

i

i

32

23

3 Arrels de nombres complexos.

3.1 Les arrels n-èsimes de nombres complexos.

Direm que y és una arrel n-èsima de z si zyn .

Tot nombre complex sincos imz té exactament n arrels n-èsimes.

Són els nombres complexos que es poden escriure de la forma kk

n im sincos

on 1,...,2,1,0360360

nkn

k

nn

kk

Exercici resolt.

Determina les arrels quartes del nombre i388

Solució:

Passem el nombre a forma polar: º12016388 i

Les arrels quartes són kkky 2164

kkk

k º90º304

º360

4

º120

4

º360º120

Simplifica aquí

º301 2º300º90º30

º1202 2º120º90º301º90º30

º2103 2º210º180º302º90º30

º3004 2º300º270º303º90º30

Les arrels quartes de i388 són: º300º210º120º30 2,2,2,2

Exercici resolt.

Determina les arrels cúbiques de i22

Solució:

Passem el nombre a forma polar: º3152222 i

Per tant, les arrels cúbiques són k

3

22 , on 22222223 33 33 23

kkk

k º120º1053

º360

3

º315

3

º360º315

º1051 2º1050º120º105

º2252 2º2251º120º105

º3453 2º3452º120º105

Les arrels cúbiques de i22 són: º345º225º105 2,2,2

3.1.1

Determina les arrels de grau cinc de i44

3.1.2

Determina les tres arrels cúbiques de i

3.1.3 Problema.

Si les sis solucions de 646 x s'escriuen de la forma bia , amb ba, reals, llavors el

producte de les seves solucions amb 0a és:

(A) -2 (B) 0 (C) i2 (D) 4 (E) 16

AHSME 1990 #22

Solució: PC/#1.15

És problemàtic parlar d'arrels numèriques de nombres complexos, cosa que sí

funcionava bé amb nombres reals.

Per exemple, vam definir 4 com l'element positiu del conjunt 42 x , però

ara, amb complexos, no té sentit parlar de "positius".

Les típiques identitats associades a les arrels dels nombres reals no funcionen

amb nombres complexos, com podem veure en aquest exemple:

"Demostració" de que 11 :

11

1111

1

1

1

1

1

1

1

1

11

ii

On està el pas erroni?

3.2 La circumferència unitat. La notació exponencial.

Definició. La circumferència unitat. La notació exponencial.

La circumferència unitat la formen els nombres complexos z tals que 1z , és a dir,

aquells que en forma polar es poden escriure com

sincos iz

Aquests nombres es poden escriure en "forma exponencial": iez .

I per tant, tot nombre, encara que estigui fora de la circumferència unitat es pot escriure

"forma exponencial":

ierirz sincos

Proposició.

Si z pertany a la circumferència unitat, z

z1

Només cal aplicar la propietat zz

zzz 1

1122

3.3 Les arrels n-èsimes de la unitat.

El nombre 1, com qualsevol altre nombre complex, té n arrels n-èsimes diferents, que

s'anomenen les arrels n-èsimes de la unitat.

Exemple resolt.

Demostra que 2

31 i és una arrel cúbica de la unitat.

Solució:

Es tracta de comprovar que 12

313

i

8318

31

2

31

2

311

33

3

33

i

iii

832323223132231

3223331313131

3

2

iiiii

iiiiii

Les arrels n-èsimes de la unitat es distribueixen uniformement a la circumferència unitat,

formant polígons regulars:

a) Arrels quadrades de la unitat:

1º180cosº180sin

1º0cosº0sin1,0180

2

360

2

1

iz

izkk

kk

b) Arrels cúbiques de la unitat:

º240cosº240sin

º120cosº120sin

1º0cosº0sin

2,1,01203

360

3

2

1

iz

iz

iz

kkk

k

c) Arrels quartes de la unitat:

iiz

iz

iiz

iz

kkk

k

º270cosº270sin

1º180cosº180sin

º90cosº90sin

1º0cosº0sin

4,2,1,0904

360

4

3

2

1

d) Arrels quintes de la unitat:

º288cosº288sin

º216cosº216sin

º144cosº144sin

º72cosº72sin

1º0cosº0sin

5,4,2,1,0725

360

5

4

3

2

1

iz

iz

iz

iz

iz

kkk

k

e) Arrels sextes de la unitat:

º300cosº300sin

º240cosº240sin

1º180cosº180sin

º120cosº120sin

º60cosº60sin

1º0cosº0sin

6,5,4,2,1,0606

360

6

5

4

3

2

1

iz

iz

iz

iz

iz

iz

kkk

k

f) Arrels sèptimes de la unitat:

º57.308cosº57.308sin

º14.257cosº14.257sin

º71.205cosº71.205sin

º29.154cosº29.154sin

º86.102cosº86.102sin

º42.51cosº42.51sin

1º0cosº0sin

7,6,5,4,2,1,043.517

360

7

6

5

4

3

2

1

iz

iz

iz

iz

iz

iz

iz

kkk

k

L'arrel n-èsima primitiva.

El complex niew /2 , s'anomena arrel n-èsima primitiva, i la resta de arrels n-èsimes

són potències seves:

132 ,...,,, nwwww .

Proposició.

Si 1w llavors 0...1 132 nwwww

Demostració.

Apliquem la fórmula de la sèrie geomètrica:

01

11

1

1...1 132

ww

wwwww

nn

Solucions.

1.2.1 a) i8 b) i54 c) i1 d) i1 e) i36 f) i68

g) i74 h) i1116 i) i1110 j) i512 l) i43 m) i1612

n) i46

1.2.2 0

1.2.3 21

11

10

0

0 i

iSn

0)(1

1 iii

iSn

21

11

12

2

2

i

iSn

011

3

ii

ii

iiSn

Per a 4n es van repetint aquest valors, per tant, 2,2,0 S

2.1.1 a) 29 b) 10 c) 6 d) 6 e) 12 f) 2 g) 1 h) 23

i) 5 j) 4 k) 6 l) 5

2.2.1 a) 45º b) 60º c) 90º d) 135º e) 150º f) 180º

g) -150º h) 130º i) 270º j) 315º k) 0º l) º13.53

2.2.2 a) º45,22 m b) º0,3 m c) º315,210 m

d) º180,5 m e) º135,2 m f) º180, m

g) º225,2

2 m h) º90,6 m i) º315,23 m

j) º90,4 m k) º180,2 m

2.3.1 a) º45sinº45cos2 i b) º150sinº150cos2 i

c) º30sinº30cos32 i d) º69.33sinº69.33cos13 i

e) º13.323sinº13.323cos10 i f) º07.208sinº07.208cos17 i

2.3.2 a) i b) i33 c) 5 d) i632 e) i636

2.3.3 a) º45sinº45cos23 i b) º60sinº60cos2 i c) º210sinº210cos4 i

d) º315sinº315cos2 i e) º180sinº180cos8 i f) º270sinº270cos2 i

g) '23º157sin'23º157cos13 i h) '52º216sin'52º216cos5 i

2.6.1 a) i22 b) i8 c) i388 d) 4 e) -1024

2.7.1 a) 225º b) 180º

2.8.1 a) iwz 434 b) 316165 iw c) iwz 2/

2.8.2 a) i32 b) i5 c) i8 d) 25 e) i1 f) i13

5

13

12

2.8.3 a) i8 b) i54 c) i1 d) i1 e) i36 f) i68

g) i512 h) i1116 i) i1110 j) i43 k) i1612 l) i46

m) i2

1

2

5 n) i

25

6

25

17 o) i

3.1.1 º351º279º207º135º63 2,2,2,2,2

3.1.2 º30sinº30cos0 iz , º150sinº150cos1 iz , º270sinº270cos2 iz