ES

O

1MATEMÀTIQUESCompetències i continguts clau

Aquest llibre és una obra col·lectiva concebuda, dissenyada i creada

al Departament d’Edicions Educatives de Grup Promotor / Santillana,

dirigit per Teresa Grence Ruiz i Pere Macià Arqué.

En l’elaboració hi ha participat l’equip següent:

Alberto César Barbero

José Carlos Gámez Pérez

Ana María Gaztelu Villoria

Queralt Gonfaus Saumell

Augusto González García

Juan Miguel Ribera Puchades

EDICIÓ

José Antonio Almodóvar Herráiz

Pilar García Atance

Magdalena Rodríguez Pecharromán

M. Àngels Andrés Casamiquela

DIRECCIÓ DEL PROJECTE

Domingo Sánchez Figueroa

1 Divisibilitat

1. Interpretar potències de nombres naturals

2. Fer operacions amb potències

3. Trobar múltiples d’un nombre

4. Reconèixer divisors d’un nombre

5. Calcular tots els divisors d’un nombre

6. Reconèixer si un nombre és primer o compost

7. Aplicar els criteris de divisibilitat

8. Factoritzar un nombre

9. Calcular el màxim comú divisor

10. Calcular el mínim comú múltiple

11. Resoldre problemes de m.c.d. i m.c.m.

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Què en faig, de les salsitxes que em sobren?

REPÀS ACUMULATIU

2 Nombres enters

1. Comprendre el significat dels nombres enters

2. Representar nombres enters en la recta numèrica

3. Comparar dos nombres enters

4. Ordenar nombres enters

5. Sumar dos nombres enters

6. Restar dos nombres enters

7. Escriure sumes i restes d’enters en forma abreujada

8. Calcular sumes i restes de nombres enters

9. Calcular sumes i restes de nombres enters amb parèntesis

10. Multiplicar i dividir nombres enters

11. Calcular potències de nombres enters

12. Reconèixer arrels quadrades exactes i enteres de nombres enters

13. Trobar l’arrel quadrada d’un nombre enter

14. Calcular operacions combinades amb nombres enters

15. Calcular operacions combinades amb claudàtors

16. Resoldre problemes amb nombres enters

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Bàsquet!

REPÀS ACUMULATIU

3 Fraccions

1. Interpretar fraccions

2. Reconèixer fraccions pròpies, impròpies i iguals a la unitat

3. Esbrinar si dues fraccions són equivalents

4. Obtenir fraccions equivalents

5. Calcular la fracció irreductible d’una fracció

6. Reduir fraccions a comú denominador

7. Comparar fraccions

8. Sumar i restar fraccions

9. Calcular operacions combinades de sumes i restes de fraccions

10. Multiplicar fraccions

11. Dividir fraccions

12. Calcular operacions combinades amb fraccions

13. Resoldre problemes amb fraccions

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Si ho arribo a saber, faig puré

REPÀS ACUMULATIU

4 Nombres decimals

1. Descompondre i llegir nombres decimals

2. Representar nombres decimals a la recta numèrica

3. Comparar i ordenar nombres decimals

4. Aproximar nombres decimals

5. Multiplicar i dividir un nombre decimal per la unitat seguida de zeros

6. Sumar i restar nombres decimals

7. Multiplicar nombres decimals

8. Calcular operacions combinades de suma, resta i multiplicació amb nombres decimals

9. Dividir un nombre decimal entre un de natural

10. Dividir un nombre natural entre un de decimal

11. Dividir un nombre decimal entre un altre de decimal

12. Obtenir xifres decimals en el quocient

13. Expressar una fracció en forma decimal

14. Reconèixer els tipus de nombres decimals

15. Resoldre problemes amb nombres decimals

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Un segon dura sempre el mateix?

REPÀS ACUMULATIU

5 Àlgebra

1. Utilitzar expressions algebraiques i calcular-ne el valor numèric

2. Reconèixer monomis i els seus elements

3. Sumar i restar monomis

4. Identificar una equació

5. Reconèixer els elements d’una equació

6. Identificar equacions equivalents

7. Transposar termes

8. Resoldre equacions de primer grau

9. Resoldre equacions amb parèntesis

10. Resoldre equacions amb denominadors

11. Resoldre problemes amb equacions

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Tres peces al dia fan alegria!

REPÀS ACUMULATIU

6 Proporcionalitat i percentatges

1. Identificar raó i proporció

2. Calcular el terme desconegut en una proporció

3. Identificar magnituds directament proporcionals

4. Esbrinar si dues magnituds són directament proporcionals

5. Resoldre problemes de proporcionalitat directa

6. Resoldre problemes mitjançant una regla de tres simple directa

7. Calcular repartiments directament proporcionals

8. Reconèixer percentatges i expressar-los de diferents maneres

9. Calcular percentatges

10. Resoldre problemes de percentatges

11. Calcular augments i disminucions percentuals

12. Resoldre problemes de proporcionalitat i percentatges

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Cadascú veu el que vol

REPÀS ACUMULATIU

ÍNDEX

2

7 Rectes i angles. Polígons

1. Reconèixer les posicions relatives de dues rectes en el pla

2. Dibuixar rectes paral·leles i perpendiculars a una recta que passin per un punt exterior a aquesta

3. Reconèixer semirectes i segments

4. Dibuixar la mediatriu d’un segment

5. Classificar angles

6. Dibuixar la bisectriu d’un angle

7. Reconèixer les posicions relatives dels angles

8. Identificar els angles formats per dues rectes paral·leles i una secant

9. Reconèixer els polígons i els seus elements

10. Conèixer la classificació de polígons

11. Conèixer la suma dels angles d’un polígon

12. Resoldre problemes de rectes, angles i polígons

SITUACIÓ D’APRENENTATGE I jo què hi pinto, aquí?

REPÀS ACUMULATIU

8 Triangles

1. Identificar els elements dels triangles i classificar-los

2. Conèixer els criteris d’igualtat de triangles

3. Conèixer les relacions entre els elements d’un triangle

4. Construir un triangle si sabem quant mesuren els costats

5. Construir un triangle si en coneixem un costat i dos angles contigus

6. Construir un triangle si en coneixem dos costats i l’angle comprès entre aquests

7. Reconèixer les rectes notables d’un triangle

8. Determinar els punts notables d’un triangle

9. Conèixer el teorema de Pitàgores

10. Calcular el costat desconegut en un triangle rectangle

11. Resoldre problemes utilitzant el teorema de Pitàgores

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Els triangles del futbol

REPÀS ACUMULATIU

9 Quadrilàters i circumferència

1. Reconèixer els elements i la classificació dels quadrilàters

2. Construir paral·lelograms

3. Conèixer les propietats dels paral·lelograms

4. Calcular elements d’un paral·lelogram utilitzant el teorema de Pitàgores

5. Identificar un polígon regular i els seus elements

6. Calcular l’apotema d’un polígon regular

7. Conèixer la circumferència i els seus elements

8. Traçar la circumferència que passa per tres punts

9. Distingir les posicions relatives d’un punt i una circumferència

10. Conèixer les posicions relatives d’una recta i una circumferència

11. Conèixer les posicions relatives de dues circumferències

12. Identificar el cercle i les figures circulars

13. Construir polígons regulars

14. Resoldre problemes geomètrics

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Hi donem una altra volta

REPÀS ACUMULATIU

10 Perímetres i àrees

1. Calcular el perímetre d’un polígon

2. Calcular la longitud d’una circumferència

3. Calcular l’àrea dels paral·lelograms

4. Calcular àrees de paral·lelograms utilitzant el teorema de Pitàgores

5. Calcular l’àrea d’un triangle

6. Calcular l’àrea d’un triangle isòsceles o equilàter

7. Calcular l’àrea de un trapezi

8. Calcular l’àrea d’un polígon regular

9. Calcular l’àrea d’un cercle i d’un sector circular

10. Calcular àrees de figures planes

11. Resoldre problemes amb perímetres i àrees

SITUACIÓ D’APRENENTATGE La casa de les finestres blaves

REPÀS ACUMULATIU

11 Funcions

1. Conèixer les coordenades cartesianes

2. Calcular les coordenades d’un punt

3. Reconèixer el signe de les coordenades d’un punt

4. Identificar les coordenades dels punts sobre els eixos

5. Comprendre el concepte de funció

6. Expressar una funció mitjançant una taula

7. Expressar una funció mitjançant una equació

8. Determinar si un punt pertany a una funció

9. Reconèixer una funció a partir d’una gràfica

10. Representar gràficament una funció

11. Interpretar gràfiques

12. Representar gràficament un enunciat

13. Identificar funcions de proporcionalitat directa

14. Representar funcions de proporcionalitat directa

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Qui mou les cames mou el cor!

REPÀS ACUMULATIU

12 Estadística i probabilitat

1. Saber què és la població i la mostra

2. Reconèixer i classificar variables estadístiques

3. Conèixer els tipus de freqüències

4. Construir una taula de freqüències

5. Interpretar un diagrama de barres

6. Construir un diagrama de barres

7. Interpretar un diagrama de sectors

8. Construir un diagrama de sectors

9. Calcular mesures estadístiques d’unes dades

10. Reconèixer experiments aleatoris

11. Conèixer el concepte de probabilitat

12. Aplicar la regla de Laplace

13. Resoldre problemes d’estadística i probabilitat

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Mites sobre la loteria de Nadal

REPÀS ACUMULATIU

3

UN POLÍGON REGULAR I ELS SEUS ELEMENTS CALCULAR L’APOTEMA D’UN POLÍGON REGULAR

12 Calcula l’apotema d’aquests pentàgons regulars.

a)

8,5 cm

10 cm

b)

10,6 cm

12,5 cm

13 Troba el radi d’aquest octàgon regular.

16 cm

19,31 cm

14 Calcula el costat d’aquests polígons regulars.

a)

8 cm

b) 22,65 cm

23,82 cm

C2

Per calcular l’apotema del pentàgon regular de la figura:

1r Agafem el triangle rectangle format per la meitat del costat, l’apotema i el radi.

2n Apliquem el teorema de Pitàgores en aquest triangle rectangle.

3r Aïllem l’apotema i en calculem el valor.

5 : 2 = 2,5 cm " La meitat del costat mesura 2,5 cm.

4,25 cma

2,5 cm

, , a4 25 2 52 2 2= + " , , a18 06 6 25 2= +

a2 = 18,06 - 6,25 = 11,81 " , ,a 11 81 3 44= = cm

L’apotema del pentàgon regular mesura 3,44 cm.

5 cm4,25 cm

6

153

9

ES0000000119829 127137_U09_147_164_105250.indd 153 20/1/21 13:37

DE MATEMÀTIQUES

Ets un artista!En una pastisseria venen els pastissos a trossos. Avui la propietària ha aconseguit partir un pastís en set trossos fent-hi només 3 talls.

Quin és el màxim nombre de trossos que pots fer amb 6 talls?

T’HI ATREVEIXES?

RECTES I ANGLES. POLÍGONS

AVALUACIÓ INICIAL

Magnitud i unitat de mesura

1 Escriu quatre magnituds i tres unitats de mesura de cada una. Quines relacions hi ha entre aquestes unitats?

Mesurament i dibuix d’angles

2 Dibuixa un angle de 40° i un altre de 135°.

7

CONVÉ QUE...Recordis què són una magnitud i una unitat de mesura.

PERQUÈ…Els angles es mesuren en graus i els utilitzaràs en aquesta unitat.

Magnitud i unitat de mesura

Una magnitud és qualsevol qualitat que es pugui mesurar i el valor de la qual

es pugui expressar a través d’un nombre. Algunes magnituds són: la longitud,

la massa, l’amplitud d’un angle...

Per mesurar la quantitat d’una magnitud, la comparem amb una altra quantitat

que és fixa, que anomenem unitat de mesura. Algunes unitats de mesura són: el

quilòmetre, el quilogram, el grau...

CONVÉ QUE...Sàpigues mesurar i dibuixar angles.

PERQUÈ…Ho hauràs de fer al llarg de la unitat.

Mesurament i dibuix d’angles

0º

30º

60º90º

120º

150º

180º 0º

30º

60º90º

120º

150º

180º

Abans de començar la unitat…

50°

60°

12

34

56

7

0º

30º

60º90º

120º

150º

180º 0º

30º

60º90º

120º

150º

180º

1r 2n

115

ES0000000119829 127137_U07_115_130_105036.indd 115 20/1/21 13:31

T’hi atreveixes? Comencem la unitat proposant-te un repte matemàtic que posa a prova el teu enginy i els teus coneixements.

Abans de començar la unitat… Inclou els continguts de cursos o unitats anteriors que et faran falta per comprendre el que hi estudiaràs. A més, mitjançant l’avaluació inicial consolidaràs els continguts que ja has vist.

Resum teòric del contingut i exemples resolts per poder resoldre les activitats que es proposen a continuació.

Proposta d’activitats, en les quals aplicaràs i practicaràs els continguts i les tècniques que s’han exposat abans.

Competències que treballaràs a la unitat.

Introducció a la unitat

Pàgines de continguts

AIXÍ ÉS

Activitats que treballen explícitament una de les competències de l’àmbit matemàtic.

4

28 Pensa i resol. Si et fa falta, pots fer un dibuix.

a) La muralla d’un castell mesura 20 m d’alt i davant d’ella hi ha un fossat de 12 m d’ample. Quina distància en línia recta hi ha des de dalt de la muralla al començament del fossat?

b) En una finca rectangular d’1,2 km ◊ 0,8 km, la Sara ha sortit d’un vèrtex, ha recorregut un dels costats llargs, després un de curt i ha tornat al punt d’origen seguint una diagonal. Quina distància ha recorregut en total? És més gran o més petita que si hagués seguit per la vora de la parcel·la? Per què?

c) Una rampa té una longitud horitzontal de 84 m i una altura de 13 m. Quina és la longitud de la rampa?

C2

29 El grup de manteniment d’un ajuntament revisa els fanals cada mes. Hi ha fanals de dues altures, 3 m i 2,68 m. Disposen d’unes escales de 3,5 m. Calcula la distància que separa el peu de l’escala de cada tipus de fanal quan el personal els revisa.

30 El pal d’una bandera està fixat amb dues cordes tal com es veu a la figura. Calcula la longitud de les cordes.

1,5 m 5,8 m

4 m

31 El televisor que li agrada a la Mariona fa 55 polzades en diagonal (1 polzada = 2,54 cm) i una longitud de 124 cm. Calcula la longitud i l’amplada d’una làmina rectangular de protecció inclosa a l’embalatge sabent que fa 5 cm més de llarg i 4 cm més d’ample que la pantalla.

32 Observa el patró que té la Susanna al mòbil. Si la distància més petita en línia recta entre un punt qualsevol i els punts contigus és de 0,5 cm, calcula la longitud que recorre amb el dit quan el dibuixa.

C3Calcula la longitud d’una escala si està recolzada a la paret a una distància d’1,8 m i arriba fins a una altura de 7 m.

1r Fem un gràfic de la situació i busquem un triangle rectangle.

2n Identifiquem al dibuix l’angle recte, la hipotenusa i els catets.

3r Apliquem el teorema de Pitàgores.

L’angle que formen la paret i el terra és un angle recte. Per tant, tenim un triangle rectangle.

La hipotenusa és la longitud de l’escala.Un catet és la distància a la paret: 1,8 m.L’altre catet és l’altura a la qual puja l’escala: 7 m.

, , , , ma b c a a1 8 7 52 24 52 24 7 232 2 2 2 2 2" "= + = + = = =

L’escala mesura 7,23 m.

RESOLDRE PROBLEMES UTILITZANT EL TEOREMA DE PITÀGORES11

1,8 m

7 m

1,8 m

7 m

142 143

8

ES0000000119829 127137_U08_131_146_105238.indd 142-143 20/1/21 13:45

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

La carcassa de la roda són dues estructures poligonals de fusta, reforçades amb radis de metall. Estan unides per barres de connexió metàl·liques als vèrtexs.

Perquè sigui més rígida, encerclarem l’estructura amb dos anells metàl·lics.

Tindrà sis seients, i cada seient anirà dins un cistell de vímet.

Cada cistell anirà penjat de les barres de connexió.

Els suports de la roda també seran de metall. Les barres que subjecten l’eix de la roda han de tenir la mateixa longitud, a més d’una altura mínima perquè els cistells no toquin el terra.

També afegirem tires de leds als llistons de l’estructura de fusta i als radis de la roda.

Hi donem una altra voltaEl mes passat van ser les festes del barri i van muntar una pila d’atraccions. Hi vaig anar amb la família i les meves cosines. Amb tot just quatre anys, els encanten els llumets de colors de la fira. Només hi va haver un inconvenient: no van poder pujar a la roda. Són massa petites i han de tenir una edat i un pes mínims.

Per això, amb la família hem pensat dissenyar una roda infantil.

Hem estudiat totes les mesures de seguretat que han de tenir aquests mecanismes quan els usuaris són nenes i nens petits.

Encarreguem el material

Per construir la roda, necessitem tres tipus de materials:

• Travessers de fusta, per fer les estructures de fusta.• Barres metàl·liques per fer els anells, els suports,

les barres de connexió i els radis.• Cable tensor, per als cables de subjecció dels cistells.

Quants travessers de fusta necessitem i de quina longitud?

Quina longitud total tindran totes les barres de connexió que necessitarem?

Quants metres de cable tensor utilitzarem?

Posarem els llumets de les estructures de fusta de color verd, i als radis alternarem els llums grocs, vermells i blaus. Quina longitud n’hem de comprar de cada?

Darreres comprovacions

Segons les normes de seguretat, hem de deixar una distància lliure des dels cistells on van els seients fins a terra de mig metre, com a mínim.

Quina altura, com a mínim, hauran de tenir els suports?

Com podries calcular la longitud dels costats d’un triangle que compleixi aquestes condicions? Hi ha una única solució?

Determina la longitud d’uns suports que puguin servir per a la roda.

C3

C2

Un disseny elegant i senzill

Les rodes solen ser circulars, però també poden tenir altres formes.

Quins polígons formen l’estructura de fusta? Quants costats tenen? Mesuren tots igual?

Quants radis té la roda?

En quants triangles divideixen els radis cada estructura de fusta? Com són aquests triangles?

Quina forma tenen els anells metàl·lics? Quina relació hi ha entre ells i l’estructura de fusta?

Quina forma tenen els suports de la roda? De quin tipus poden ser?

C2

Estructura de fusta

3 mAnells

metàl·lics

Barra de connexió 1,5 m

Suports

Eix de la roda 1,5 m

Radis 3 m

Barra de connexió

O,8 m

Cistell 1 m

162

ES0000000119829 127137_U09_147_164_105250.indd 162 20/1/21 13:51

S’hi analitzen situacions reals que posen a prova les teves capacitats matemàtiques. Aquests problemes mostren la utilitat pràctica de tot el que has après per a la vida quotidiana.

Pàgines de resolució de problemes

Situació d’aprenentatge

28 Pensa i resol. Si et fa falta, pots fer un dibuix.

a) La muralla d’un castell mesura 20 m d’alt i davant d’ella hi ha un fossat de 12 m d’ample. Quina distància en línia recta hi ha des de dalt de la muralla al començament del fossat?

b) En una finca rectangular d’1,2 km ◊ 0,8 km, la Sara ha sortit d’un vèrtex, ha recorregut un dels costats llargs, després un de curt i ha tornat al punt d’origen seguint una diagonal. Quina distància ha recorregut en total? És més gran o més petita que si hagués seguit per la vora de la parcel·la? Per què?

c) Una rampa té una longitud horitzontal de 84 m i una altura de 13 m. Quina és la longitud de la rampa?

C2

29 El grup de manteniment d’un ajuntament revisa els fanals cada mes. Hi ha fanals de dues altures, 3 m i 2,68 m. Disposen d’unes escales de 3,5 m. Calcula la distància que separa el peu de l’escala de cada tipus de fanal quan el personal els revisa.

30 El pal d’una bandera està fixat amb dues cordes tal com es veu a la figura. Calcula la longitud de les cordes.

1,5 m 5,8 m

4 m

31 El televisor que li agrada a la Mariona fa 55 polzades en diagonal (1 polzada = 2,54 cm) i una longitud de 124 cm. Calcula la longitud i l’amplada d’una làmina rectangular de protecció inclosa a l’embalatge sabent que fa 5 cm més de llarg i 4 cm més d’ample que la pantalla.

32 Observa el patró que té la Susanna al mòbil. Si la distància més petita en línia recta entre un punt qualsevol i els punts contigus és de 0,5 cm, calcula la longitud que recorre amb el dit quan el dibuixa.

C3Calcula la longitud d’una escala si està recolzada a la paret a una distància d’1,8 m i arriba fins a una altura de 7 m.

1r Fem un gràfic de la situació i busquem un triangle rectangle.

2n Identifiquem al dibuix l’angle recte, la hipotenusa i els catets.

3r Apliquem el teorema de Pitàgores.

L’angle que formen la paret i el terra és un angle recte. Per tant, tenim un triangle rectangle.

La hipotenusa és la longitud de l’escala.Un catet és la distància a la paret: 1,8 m.L’altre catet és l’altura a la qual puja l’escala: 7 m.

, , , , ma b c a a1 8 7 52 24 52 24 7 232 2 2 2 2 2" "= + = + = = =

L’escala mesura 7,23 m.

RESOLDRE PROBLEMES UTILITZANT EL TEOREMA DE PITÀGORES11

1,8 m

7 m

1,8 m

7 m

142 143

8

ES0000000119829 127137_U08_131_146_105238.indd 142-143 20/1/21 13:45

Encarreguem el material

Per construir la roda, necessitem tres tipus de materials:

• Travessers de fusta, per fer les estructures de fusta.• Barres metàl·liques per fer els anells, els suports,

les barres de connexió i els radis.• Cable tensor, per als cables de subjecció dels cistells.

Quants travessers de fusta necessitem i de quina longitud?

Quina longitud total tindran totes les barres de connexió que necessitarem?

Quants metres de cable tensor utilitzarem?

Posarem els llumets de les estructures de fusta de color verd, i als radis alternarem els llums grocs, vermells i blaus. Quina longitud n’hem de comprar de cada?

Darreres comprovacions

Segons les normes de seguretat, hem de deixar una distància lliure des dels cistells on van els seients fins a terra de mig metre, com a mínim.

Quina altura, com a mínim, hauran de tenir els suports?

Com podries calcular la longitud dels costats d’un triangle que compleixi aquestes condicions? Hi ha una única solució?

Determina la longitud d’uns suports que puguin servir per a la roda.

C3

C2

163

9

ES0000000119829 127137_U09_147_164_105250.indd 163 20/1/21 13:51

Situació d’aprenentatge. S’hi aborda d’una manera global una situació real del teu entorn més immediat. A partir dels continguts que has après, la podràs analitzar amb sentit crític i també hi podràs suggerir millores.

5

REPÀS ACUMULATIU

1 Opera, respectant la jerarquia de les operacions.

a) 134,5 : 2,5 + 12,125 =

b) 2,75 ? (4,605 - 3,5) + 1,37 =

c) 5,7 + 6,225 : 7,5 - 0,39 =

d) (4,987 + 0,875) : 1,5 + 3,094 =

e) 12,3 : 8,2 ? 2,5 - 3,29 =

f ) 9,6 ? 2,4 - 8,5 ? 1,27 =

g) 0,05 + (11,3 - 3,2) : 0,09 =

h) 44,4 : 0,002 ? 1,7 - 2,9 ? 3,1 =

2 Troba la solució de les equacions.

a) 5(x - 8) = 3( x - 6)

b) 2( x + 5) = 9 x + 31

c) -1( x + 3) = 2(6 + x)

d) -5(6 - 5 x) = 5 x - 10

e) x + 28 = 2( x + 15) - 15

f ) 2 x + 1 = 8 - (3 x + 3)

g) 2( x - 7) = 6( x + 1)

h) 2( x - 5) = 5( x - 4)

3 Completa les taules sabent que són magnituds directament proporcionals.

Magnitud A 9 11 6 34 125

Magnitud B 27 18 183

Magnitud A 8 0,8 2,4 32

Magnitud B 5 20 3,5 0,05

C7

164

ES0000000119829 127137_U09_147_164_105250.indd 164 20/1/21 13:51

REPÀS ACUMULATIU. Amb aquestes activitats comprovaràs si domines els procediments bàsics de la unitat i repassaràs continguts anteriors.

Final de la unitat. REPÀS ACUMULATIU

DE MATEMÀTIQUESAIXÍ ÉS

6

Crec que avui no dormiréQuant temps creus que trigaries a comptar en veu alta des d’1 fins a 100?

I a comptar en veu alta des d’1 fins a un milió?

Creus que, si comences ara mateix, tindries temps d’acabar abans d’anar-te’n a dormir?

T’HI ATREVEIXES?

DIVISIBILITAT

AVALUACIÓ INICIAL

Divisió exacta i divisió no exacta

1 Calcula aquestes divisions i encercla les exactes.

a) 146 : 5 b) 630 : 3 c) 120 : 2

Prova de la divisió

2 Calcula les divisions i fes-ne la prova.

a) 128 : 2 b) 910 : 4 c) 720 : 5

1

CONVÉ QUE…Coneguis la diferència entre una divisió exacta i una divisió no exacta.

PERQUÈ…Ens servirà per identificar els múltiples i els divisors d’un nombre.

Divisió exacta i divisió no exacta

Si en una divisió el residu és zero, diem que la divisió és exacta.

Si el residu no és zero, la divisió és no exacta.

Divisió exacta Divisió no exacta

12

0

3

4

17

1

2

8

CONVÉ QUE…Recordis la prova de la divisió.

PERQUÈ…La utilitzarem per establir la relació de divisibilitat.

Prova de la divisió

idu qu

35

3

16

2

Dividend

res

divisor

ocient

En qualsevol divisió es compleix que:

Dividend = divisor ? quocient + residu

D = d ? c + r

35 = 16 ? 2 + 3

Abans de començar la unitat…

7

INTERPRETAR POTÈNCIES DE NOMBRES NATURALS1

1 Expressa cada producte en forma de potència.

a) 2 ? 2 ? 2 ? 2 =

b) 3 ? 3 ? 3 =

c) 3 ? 3 ? 3 ? 3 =

d) 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 =

e) 4 ? 4 ? 4 =

f) 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 =

g) 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 =

h) 9 ? 9 ? 9 ? 9 ? 9 ? 9 =

i) 8 ? 8 ? 8 ? 8 =

2 Calcula el valor de cada potència.

a) 25 =

b) 34 =

c) 53 =

d) 50 =

e) 131 =

f) 84 =

g) 106 =

h) 108 =

i) 95 =

3 Escriu com es llegeix o s’escriu cada potència.

a) 42 "

b) 9 a la cinquena "

c) 63 "

d) 3 a la sisena "

e) 114 "

f) 12 al cub "

g) 105 "

h) 15 a la vuitena "

i) 77 "

j) 6 a la novena "

C7

Una potència és una manera abreujada d’escriure una multiplicació de factors iguals.

… a$ agad

n

n ve es

=a a a a a$ $ $ $ $>

a " És la base, el factor que es repeteix.

n " És l’exponent, el nombre de vegades que es repeteix la base.

Les potències amb exponent 2 es llegeixen «al quadrat».

3 ? 3 = 32 " Ho llegim «3 al quadrat».

Les potències amb exponent 3 es llegeixen «al cub».

7 ? 7 ? 7 = 7 3 " Ho llegim «7 al cub».

Si l’exponent és més gran que 3, es llegeixen «a la quarta», «a la cinquena»…

54 " 5 a la quarta 7 5 " 7 a la cinquena

126 " 12 a la sisena 410 " 4 a la desena

Una potència d’exponent 1 és igual a la base. " a1 = a

Una potència d’exponent 0 és igual a 1. " a0 = 1

8

FER OPERACIONS AMB POTÈNCIES2

4 Calcula aquests productes i quocients i escriu-los en forma de potència.

a) ?3 32 3 =

b) ?4 43 5 =

c) :7 79 2 =

d) :9 98 6 =

e) ?10 102 6 =

f) ?11 119 2 =

g) :52 5211 8 =

h) :75 7511 7 =

5 Fes aquestes operacions i expressa-les com una sola potència.

a) (24)2 =

b) (33)4 =

c) (52)5 =

d) (2 ? 7)5 ? (2 ? 7)4 =

e) (9 : 3)6 ? (9 : 3)2 =

f) (16 : 2)8 : (16 : 2)5 =

6 Calcula el nombre que falta en cada cas.

a) 22 ? 2d = 25

b) 47 : 4d = 43

c) 9d : 96 = 98

d) (3d)4 = 316

e) 32 ? 3d = 38

f) (56)d = 518

7 Pensa i escriu dues respostes possibles en cada cas.

a) Un producte de potències que doni com a resultat nou elevat a la vuitena.

b) Una potència d’una potència que doni com a resultat set elevat a la desena.

C5

Per multiplicar dues o més potències de la mateixa base, deixem la mateixa base i sumem els exponents.

am ? an = am+n

Per dividir dues potències de la mateixa base, deixem la mateixa base i restem els exponents.

am : an = am - n

Per elevar una potència a una altra potència, deixem la mateixa base i multipliquem els exponents.

(am)n = am ?  n

La potència d’una multiplicació és igual al producte de les potències dels seus factors.

(a ? b)n = an ? bn

La potència d’una divisió és igual al quocient de les potències del dividend i el divisor.

(a : b)n = an : bn

63 ? 62 = 63 + 2 = 65

85 : 83 = 85 - 3 = 82

(74)3 = 74 ? 3 = 712

(3 ? 5)4 = 34 ? 54

(8 : 2)3 = 83 : 23

9

1

TROBAR MÚLTIPLES D’UN NOMBRE3

8 Calcula els deu primers múltiples de cada nombre.

a) Múltiples de 4 "

b) Múltiples de 5 "

c) Múltiples de 8 "

d) Múltiples de 10 "

9 Calcula i respon.

a) És 34 múltiple de 2? Per què? b) És 75 múltiple de 4? Per què?

10 Observa els nombres, calcula i respon.

a) Quins nombres són múltiples de 2 i de 3?

b) Quins nombres són múltiples de 3 i de 5?

c) Quins nombres són múltiples de 2, de 3 i de 5?

11 Escriu dos nombres que siguin múltiples de 2, 3, 5 i 7.C5

Un nombre b és múltiple d’un nombre a si la divisió de b entre a és exacta.

28 és múltiple de 4 perquè la divisió 28 : 4 és exacta.

Els múltiples d’un nombre, els obtenim si multipliquem el nombre pels nombres naturals successius.

Múltiples de 3 = 3o " 3 ? 1 = 3, 3 ? 2 = 6, 3 ? 3 = 9, 3 ? 4 = 12…

El conjunt dels múltiples d’un nombre és il·limitat.

120

180342

735 516

75

10

RECONÈIXER DIVISORS D’UN NOMBRE4

12 Calcula i respon.

a) És 6 divisor de 1 200? Per què? b) És 8 divisor de 3 500? Per què?

13 Observa els nombres i respon.

80

340

525

669

834

919

a) Quins d’aquests nombres són divisibles per 2?

b) Quins dels nombres són divisibles per 3? I per 5?

14 Raona i escriu cert o fals.

a) Qualsevol nombre és divisible per 1.

b) Qualsevol nombre és divisor d’1.

c) Qualsevol nombre és múltiple d’ell mateix.

d) Qualsevol nombre parell és múltiple de 4.

e) Qualsevol nombre és divisor dels seus múltiples.

f) Qualsevol nombre és divisible per ell mateix.

C5

Un nombre a és divisor de b si la divisió de b entre a és exacta.

4 és divisor de 32 perquè la divisió 32 : 4 és exacta.

Si a és divisor de b, aleshores b es múltiple de a, i viceversa.

Si 4 és divisor de 32, aleshores 32 és múltiple de 4, i viceversa.

Quan a és divisor de b també es diu que b és divisible per a.

32 és divisible per 4 perquè 4 és divisor de 32.

11

1

CALCULAR TOTS ELS DIVISORS D’UN NOMBRE5

15 Calcula tots els divisors de cada nombre.

a) 10

b) 18

c) 20

d) 26

e) 33

f) 45

16 Calcula tots els divisors de cada nombre i respon.

a) 100 b) 240 c) 345

• Quins nombres són divisors dels tres nombres?

C7

Per calcular tots els divisors de 45:

1r Dividim el nombre entre els nombres naturals: 1, 2, 3… fins que el quocient sigui més petit que el divisor.

2n De cada divisió exacta obtenim dos divisors: el divisor i el quocient.

45 10 45

45 21 22

45 30 15

45 41 11

45 50 9

45 63 7

45 73 6 ! El quocient, 6, és més petit que el divisor, 7.

45 : 1 = 45 " 1 i 45 són divisors de 45.

45 : 3 = 15 " 3 i 15 són divisors de 45.

45 : 5 = 9 " 5 i 9 són divisors de 45.

La resta de les divisions no són exactes.

Els divisors de 45, els escrivim Div (45) i són:

Div (45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}

12

RECONÈIXER SI UN NOMBRE ÉS PRIMER O COMPOST6

17 Esbrina si aquests nombres són primers o compostos.

a) 40

b) 100

c) 51

d) 103

e) 79

f) 161

18 Raona si les afirmacions següents són certes o falses.

a) Un nombre primer no és divisible per cap nombre.

b) Un nombre primer només té dos divisors.

c) Existeixen dos nombres primers consecutius.

19 Calcula i escriu els nombres primers compresos entre 30 i 60.

C5

Un nombre és primer si només té dos divisors: ell mateix i la unitat.

5 és un nombre primer perquè els seus divisors són 1 i 5.

Un nombre és compost si té més de dos divisors.

8 és un nombre compost perquè els seus divisors són 1, 2, 4 i 8.

El nombre 1 no és ni primer ni compost.

13

1

APLICAR ELS CRITERIS DE DIVISIBILITAT7

20 Observa els nombres i encercla. Després, respon.

Els nombres divisibles per 2.

Els nombres divisibles per 3.

Els nombres divisibles per 5.

Els nombres divisibles per 10.

a) Quins nombres són divisibles per 2 i per 3? Per quin altre nombre són divisibles?

b) Quins nombres són divisibles per 3 i per 5? Per quin altre nombre són divisibles?

c) Qualsevol nombre divisible per 5 és també divisible per 10? Per què?

d) Qualsevol nombre divisible per 10 és també divisible per 5? Per què?

21 En cada cas, pensa i escriu tres nombres.

a) De tres xifres que siguin divisibles per 2 i per 3.

b) De quatre xifres que siguin divisibles per 2, per 3, per 5 i per 10.

C2

Els criteris de divisibilitat són regles que ens permeten saber, sense fer la divisió, si un nombre és divisible per un altre.

Un nombre és divisible per 2 si l’última xifra és 0 o una xifra parell.

Un nombre és divisible per 3 si la suma de les xifres és un múltiple de 3.

Un nombre és divisible per 5 si l’última xifra és 0 o 5.

Un nombre és divisible per 10 si l’última xifra és 0.

75 84 90

963

2 100

145

5 763 8 160

828

14

FACTORITZAR UN NOMBRE8

22 Factoritza els nombres següents.

a) 12

b) 18

c) 28

d) 80

e) 86

f) 99

23 Descompon aquests nombres en producte de factors primers.

a) 270 b) 400 c) 675

C7

Factorizar un nombre és descompondre’l en producte de factors primers.

Per descompondre el nombre 630 com a producte de factors primers:

1r Dividim el nombre entre la sèrie de nombres primers (2, 3, 5, 7, 11…) tantes vegades com puguem, fins que obtenim la unitat.

La descomposició acaba quan arribem a un nombre primer. Si el dividim per ell mateix, obtenim la unitat.

2n Escrivim el nombre com a producte de tots els factors primers obtinguts, i si hi ha factors repetits, els expressem com una potència.

• 630 és divisible per 2. 630 : 2 = 315 630 = 2 ? 315

• 315 no és divisible per 2. 315 és divisible per 3. 315 : 3 = 105 315 = 3 ? 105

• 105 no és divisible per 2. 105 és divisible per 3. 105 : 3 = 35 105 = 3 ? 35

• 35 no és divisible per 2 ni per 3. 35 és divisible per 5. 35 : 5 = 7 35 = 5 ? 7

• 7 és un nombre primer. 7 : 7 = 1 7 = 7 ? 1

Podem escriure questa descomposició d’una manera abreviada així:

630 2

630 : 2 " 315 3

315 : 3 " 105 3

105 : 3 " 35 5

35 : 5 " 7 7

7 : 7 " 1

La factorització de 630 és:

630 = 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 7 = 2 ? 32 ? 5 ? 7

La factorització d’un nombre és única.

15

1

CALCULAR EL MÀXIM COMÚ DIVISOR9

24 Calcula el m.c.d. de cada grup de nombres trobant-ne tots els divisors comuns i triant el més gran de tots.

a) 18 i 72 b) 24, 40 i 86

25 Calcula. Hi ha cap parell de nombres primers entre ells?

a) m.c.d. (9, 12)

b) m.c.d. (17, 20)

c) m.c.d. (10, 19)

d) m.c.d. (12, 18)

e) m.c.d. (14, 25)

f) m.c.d. (32, 40)

C7

El màxim comú divisor de dos o més nombres és el seu divisor comú més gran.

El màxim comú divisor dels nombres a, b, c…, l’expressem així: m.c.d. (a, b, c…).

Per calcular el màxim comú divisor de 24, 84 i 132:

1r Descomponem els nombres en producte de factors primers.

2n Triem els factors comuns, elevats a l’exponent més petit.

3r El producte d’aquests factors és el m.c.d. dels nombres.

24 2 84 2 132 2 12 2 42 2 66 2 6 2 21 3 33 3 3 3 7 7 11 11 1   1  1

24 = 23 ? 3 84 = 22 ? 3 ? 7 132 = 22 ? 3 ? 11

Els factors comuns són 2 i 3.

Elevats a l’exponent més petit són 22 i 3.

m.c.d. (24, 84, 132) = 22 ? 3 = 12

Si m.c.d. (a i b) = 1, llavors diem que els nombres a i b són primers entre ells.

16

26 Calcula el m.c.m. d’aquests grups de nombres, escrivint-ne els múltiples comuns i triant-ne el més petit.

a) 12 i 15 b) 10, 16 i 20

27 Calcula.

a) m.c.m. (6, 12)

b) m.c.m. (15, 20)

c) m.c.m. (8, 9)

d) m.c.m. (4, 10)

e) m.c.m. (6, 14)

f) m.c.m. (12, 21)

C7

El mínim comú múltiple de dos o més nombres és el seu múltiple comú més petit.

El mínim comú múltiple dels nombres a, b, c…, l’expressem així: m.c.m. (a, b, c…).

Per calcular el mínim comú múltiple de 135, 315 i 175:

1r Descomponem els nombres en producte de factors primers.

2n Triem els factors comuns i no comuns, elevats a l’exponent més gran.

3r El producte d’aquests factors és el m.c.m. dels nombres.

135 3 315 3 175 5 45 3 105 3 35 5 15 3 35 5 7 7 5 5 7 7 1 1 1 135 = 33 ? 5 315 = 32 ? 5 ? 7 175 = 52 ? 7

Els factors comuns i no comuns són 3, 5 i 7.

Elevats a l’exponent més gran són 33, 52 i 7.

m.c.m. (135, 315, 175) = 33 ? 52 ? 7 = 4 725

CALCULAR EL MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE10

17

1

RESOLDRE PROBLEMES DE M.C.D. I M.C.M. 11

28 En una gimcana hi havia 21 adults i 15 joves. Van fer grups iguals del nombre de persones més gran possible. Ningú es va quedar sense equip i no hi havia adults i joves barrejats. Quants equips van obtenir?

29 En un establiment s’han de repartir en lots iguals 30 vaixelles, 18 jocs de coberts i 54 jocs de taula. Es vol aconseguir el màxim nombre de lots. Quantes vaixelles, jocs de coberts i de taula hi ha d’haver en cada lot?

C2

En una joieria tenen 96 brillants de color vermell i 144 de verds. Amb aquests brillants volen fer collarets d’un sol color i amb el mateix nombre de pedres tots. Si els collarets han de tenir el major nombre de brillants possible i no n’ha de sobrar cap, quants brillants han de posar a cada collaret?

1r Decidim si es tracta d’un problema en què intervé el màxim comú divisor. Ho és si:

• Cal buscar un divisor comú.

• Ha de ser el divisor comú més gran.

2n Descomponem els nombres en factors primers.

3r Calculem el màxim comú divisor dels nombres.

4t Interpretem el resultat.

• Perquè no sobri cap brillant, el nombre de brillants de cada collaret ha de ser un divisor de 96 i de 144.

• Com que cada collaret ha de tenir el major nombre possible de brillants, ha de ser el divisor comú més gran de 96 i 144.

Es tracta d’un problema de màxim comú divisor.

96 2 144 2 48 2 72 2 24 2 36 2 12 2 18 2 6 2 9 3 3 3 3 3 1 1

96 = 25 ? 3 144 = 24 ? 32

Factors comuns " 2 i 3

Elevats a l’exponent més petit " 24 i 3

m.c.d. (96, 144) = 24 ? 3 = 48

Cada collaret ha de tenir 48 brillants. Així:

96 : 48 = 2 " Es poden fer 2 collarets amb brillants vermells.

144 : 48 = 3 " Es poden fer 3 collarets amb brillants verds.

En total, es poden fer 5 collarets de 48 brillants cada un.

18

30 L’Albert i en Màrius han coincidit avui a la perruqueria. L’Albert s’hi talla els cabells cada 42 dies, i en Màrius, cada 56 dies. Si avui és 1 de març, quin dia tornaran a coincidir a la perruqueria?

31 A la fira hi ha tres atraccions que funcionen alhora. El viatge a la roda dura 10 minuts, els cotxes elèctrics duren 12 minuts i el tren de la bruixa, 18 minuts. Si han començat a funcionar totes tres juntes a les 17:45, a quina hora tornaran a començar a funcionar a la vegada?

C3

En una parada d’autobusos coincideixen dues línies diferents. Els autobusos d’una de les línies passen cada 30 minuts, i els de l’altra, cada 24 minuts. Si hi han coincidit a les 12:00 h, a quina hora hi tornaran a coincidir?

1r Decidim si es tracta d’un problema en què intervé el mínim comú múltiple.

• Cal buscar un múltiple comú.

• Ha de ser el múltiple comú més petit.

2n Descomponem els nombres en factors primers.

3r Calculem el mínim comú múltiple dels nombres.

4t Interpretem el resultat.

• Perquè els autobusos hi coincideixin, l’hora ha de ser un múltiple de 30 i de 24.

• Com que volem saber quan hi tornaran a coincidir per primera vegada, ha de ser el múltiple comú més petit.

Es tracta d’un problema de mínim comú múltiple.

30 2 24 2 15 3 12 2 5 5 6 2 1 3 3 1

30 = 2 ? 3 ? 5 24 = 23 ? 3

Factors comuns i no comuns " 2, 3 i 5

Elevats a l’exponent més gran " 23, 3 i 5

m.c.m. (30, 24) = 23 ? 3 ? 5 = 120

Hi tornaran a coincidir, per primera vegada, d’aquí a 120 minuts, a les 14:00 h.

19

1

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

Què en faig, de les salsitxes que em sobren?De vegades vaig amb la família a fer la compra. El que em crida més l’atenció és la manera com estan empaquetats els productes.

Quan descarreguem la compra, em fixo en la quantitat d’unitats que té cada paquet i com està distribuït en files i columnes. Per què es deu fer així i no d’una altra manera?

He llegit que es fa així per poder transportar-los millor. Es fan els paquets amb forma de rectangle gran perquè és la manera més còmoda d’agafar-los amb les mans i de moure’ls. Per això mateix, perquè els paquets tinguin forma rectangular, sempre tenen més columnes que files.

Les llaunes de refresc

Solen anar en paquets de 24 llaunes, distribuïdes en 4 files i 6 columnes.

Els envasos de llet

Normalment es venen en paquets de 6 brics o 6 ampolles ordenades en 2 files de 3 ampolles.

Les ampolles d’aigua

S’empaqueten en 3 files i 4 columnes.

Que difícil és portar això!

Els paquets poden ser diferents.

De quantes maneres es poden empaquetar les 24 llaunes de refresc? Quantes files i columnes tindria cada paquet?

I si s’han d’empaquetar 25 llaunes? Quina forma tindria el paquet? Seria més senzill de transportar?

Els 6 brics de llet, de quantes maneres diferents els podries empaquetar? I si volguessis empaquetar 9 brics?

Se t’acut alguna manera diferent d’empaquetar les 12 ampolles d’aigua? Per què creus que no se solen fer paquets de 80 ampolles?

C2

20

No em cap a la nevera

La nevera que tenim a casa té diversos prestatges per col·locar els aliments. Té unes dimensions de 72 cm d’ample i 60 cm de fons.

He mesurat una llauna de refresc i fa 6 cm de diàmetre. Quant mesura un paquet de 24 llaunes de refresc que està empaquetat en 6 files de 4 llaunes?

Quants paquets de 24 llaunes puc posar en un prestatge sense col·locar-los els uns a sobre dels altres? Quantes llaunes en total tenen aquests paquets?

Ocuparien aquests paquets tot el prestatge, o hi quedaria algun forat buit? Quant mesura el forat que hi quedaria buit?

Si els paquets de llaunes fossin quadrats, és a dir, si tinguessin el mateix nombre de llaunes per fila que per columna, quant hauria de mesurar de costat cada paquet perquè no quedessin buits al prestatge?

Quantes llaunes tindria cada paquet? Quantes llaunes en total podria posar a cada prestatge de la nevera?

Per omplir millor la nevera, aniria millor que els paquets fossin quadrats?

Sempre em sobra alguna cosa!

Aquest vespre soparem de frankfurts. He tret una bossa de panets, que venen de 6 en 6, i les meves salsitxes preferides, que van envasades en paquets de 5 unitats. Si poso una salsitxa dins cada panet, o em sobren panets o em sobren salsitxes.

Quantes bosses de panets i quants paquets de salsitxes he de comprar com a mínim perquè no em sobri res? I si els paquets de salsitxes fossin de 4 unitats?

Si ens volem menjar dos frankfurts cadascun i som quatre, de quantes unitats haurien de ser els paquets perquè no ens sobrés res?

C1

21

1

REPÀS ACUMULATIU

1 Indica la base i l’exponent de cada potència.

a) 123 b) 165 c) 94 d) 83

2 Escriu com a producte de factors aquestes potències i calcula’n el resultat.

a) 34 b) 65 c) 27 d) 73

3 Quina d’aquestes sèries està formada per múltiples de 4? I per múltiples de 5?

a) 1, 4, 9, 16, 25…

b) 5, 10, 15, 20…

c) 8, 10, 12, 14, 16…

d) 4, 8, 16, 24, 32, 40…

e) 1, 5, 10, 20, 30…

f) 20, 40, 60, 80…

4 Encercla les afirmacions que equivalen a «La divisió de 72 entre 8 és exacta».

a) 72 és divisor de 8.

b) 72 és divisible per 8.

c) 8 és divisor de 72.

d) 8 és múltiple de 72.

e) 72 és múltiple de 8.

f) 8 és divisible per 72.

5 Troba el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple d’aquests grups de nombres.

a) 10, 20 i 100 b) 5, 9 i 45 c) 4, 30 i 50

C5

22