NOMBRES COMPLEXOS
Llibre de text
Gerard Romo Garrido
Toomates Coolección Los documentos de Toomates son materiales digitales y gratuitos. Son digitales porque están pensados para ser consultados mediante un ordenador, tablet o móvil. Son gratuitos porque se ofrecen a la comunidad educativa sin coste alguno. Los libros de texto pueden ser digitales o
en papel, gratuitos o en venta, y ninguna de estas opciones es necesariamente mejor o peor que las otras. Es más: Suele suceder que los mejores
docentes son los que piden a sus alumnos la compra de un libro de texto en papel, esto es un hecho. Lo que no es aceptable, por inmoral y mezquino, es el modelo de las llamadas "licencias digitales" con las que las editoriales pretenden cobrar
a los estudiantes, una y otra vez, por acceder a los mismos contenidos (unos contenidos que, además, son de una bajísima calidad). Este modelo
de negocio es miserable, pues impide el compartir un mismo libro, incluso entre dos hermanos, pretende convertir a los estudiantes en un mercado cautivo, exige a los estudiantes y a las escuelas costosísimas líneas de Internet, pretende pervertir el conocimiento, que es algo social,
público, convirtiéndolo en un producto de propiedad privada, accesible solo a aquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada, impidiendo el derecho del alumno de poseer todo el libro, de acceder a todo el libro, de moverse libremente por todo
el libro.
Nadie puede pretender ser neutral ante esto: Mirar para otro lado y aceptar el modelo de licencias digitales es admitir un mundo más injusto, es participar en la denegación del acceso al conocimiento a aquellos que no disponen de medios económicos, en un mundo en el que las modernas
tecnologías actuales permiten, por primera vez en la historia de la Humanidad, poder compartir el conocimiento sin coste alguno, con algo tan
simple como es un archivo "pdf". El conocimiento no es una mercancía.
El proyecto Toomates tiene como objetivo la promoción y difusión entre el profesorado y el colectivo de estudiantes de unos materiales didácticos libres, gratuitos y de calidad, que fuerce a las editoriales a competir ofreciendo alternativas de pago atractivas aumentando la calidad
de unos libros de texto que actualmente son muy mediocres, y no mediante retorcidas técnicas comerciales.
Este documento se comparte bajo una licencia “Creative Commons”: Se permite, se promueve y se fomenta cualquier uso, reproducción y
edición de todos estos materiales siempre que sea sin ánimo de lucro y se cite su procedencia. Todos los documentos se ofrecen en dos
versiones: En formato “pdf” para una cómoda lectura y en el formato “doc” de MSWord para permitir y facilitar su edición y generar versiones parcial o totalmente modificadas. Se agradecerá cualquier observación, comentario o colaboración a
Actualmente, Toomates Coolección consta de los siguientes libros:
Geometría axiomática:
GA Geometría Axiomática pdf 1 2 ... 23 portada
PG Problemas de Geometría pdf 1 2 3 4 5 6 7
Problem-solving:
AR Teoría de números pdf 1 2
PT Trigonometría pdf doc
DE Desigualdades pdf doc
PC Números complejos pdf doc
PA Álgebra (en preparación)
pdf doc
PC Combinatoria (en preparación)
pdf doc
PR Probabilidad (en preparación)
pdf doc
Libros de texto (En catalán)
AG Àlgebra pdf 1 2
FU Funcions pdf doc
GN Geometria analítica pdf 1 2
TR Trigonometria
pdf doc
CO Nombres complexos pdf doc
AL Àlgebra Lineal 2n batxillerat
pdf doc
GL Geometria Lineal 2n batxillerat
pdf doc
CI Càlcul Infinitesimal 2n batxillerat
pdf 1 2
PL Programació Lineal 2n batxillerat
pdf doc
Recopilaciones de problemas
SE Compendium OME 2005-2019 pdf
SA Compendium AIME 1983-2019 pdf
ST Compendium PAU TEC 1998-2019 pdf
SC Compendium PAU CCSS 1998-2019 pdf
PM Problemas de Matemáticas pdf doc
Versión de este documento: 07/04/2020
www.toomates.net
Índex
1 Operacions amb nombres complexos. → 1.1 Concepte de nombre complex. Suma de nombres complexos.
1.2 Producte de nombres complexos.
1.3 Divisió de nombres complexos.
2 Notació polar i operacions en polars. → 2.1 Mòdul d'un nombre complex.
2.2 Argument d'un nombre complex.
2.3 Notació polar de nombres complexos.
2.4 Multiplicació de complexos en polars.
2.5 Divisió de complexos en polars.
2.6 Potències de complexos en polars. La fórmula de Moire.
2.7 Propietats del mòdul, argument i conjugat.
2.8 Repàs d'operacions amb polars.
3 Arrels de nombres complexos. → 3.1 Les arrels n-èsimes de nombres complexos.
3.2 La circumferència unitat. La notació exponencial.
3.3 Les arrels n-èsimes de la unitat.
Solucions. →
Aquest llibre té la seva continuïtat natural en "Problemas con números
complejos":
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasNumerosComplejos.pdf
1 Operacions amb nombres complexos.
1.1 Concepte de nombre complex. Suma de nombres complexos.
El conjunto C de los números complejos es el conjunto de números más extenso que
conocemos (a nivel elemental), y surge por la necesidad de resolver determinadas
ecuaciones, pues, en el conjunto de los números reales nos encontramos con que
ecuaciones como 012 x no tienen solución.
La solución se encuentra al ampliar el conjunto de los números reales, de manera que
esta y otras ecuaciones tengan solución. La principal propiedad es que todo polinomio
no constante en una variable con coeficientes en C tiene al menos una raíz en C, y por
tanto descompone. Cardano fue el primero en manipular 1 como si fuera un
número, y Euler propuso el símbolo i para denotarlo, el cual se consideraba un número
ficticio o imaginario. Pero fue en el siglo XIX cuando, gracias tanto a Gauss como a
Hamilton, se definió de una forma más precisa el conjunto de los números complejos
como pares ordenados de números reales (a, b) = a + bi con una serie de propiedades,
que pasan por la distributividad del producto respecto a la suma.
Fuente: Documento "Problemas de olimpiadas sobre números complejos" (Paola Posadas Prados)
Suma de nombres complexos.
Per a sumar dos nombres complexos ),(),,( 2121 bbbaaa sumem component a
component:
2211 , bababa
La resta es realitza de manera similar: 2211 , bababa
1.2 Producte de nombres complexos.
Definim el producte de nombres complexos amb la següent fórmula:
122122112121 ,),(),,( babababababbbaaa
(però aquesta fórmula no es fa servir a la pràctica)
La immersió dels reals dintre dels complexos.
Podem considerar el conjunt de nombres reals dintre del pla complex amb la immersió:
)0,(xx
El producte complex és compatible amb aquesta immersió, es a dir, la multiplicació
complexa i la multiplicació real són la mateixa quan es treballa amb nombres reals:
yxyxyxyxyxyxyy
xx
)0,()00,00()0,)(0,(
)0,(
)0,(
La unitat imaginària.
Definim la unitat imaginària com )1,0(i . El quadrat de la unitat imaginària és -1:
1)0,1()0110,1100()1,0)(1,0(2 i
Notació binomial dels nombres complexos.
Tot nombre complex es pot escriure de la forma bia :
Per exemple: iz 43)1,0(4)0,1(3)4,3(
La primera part, sense la "i", s'anomena part real del nombre complex )Re(z , i la
segona part s'anomena part imaginària )Im(z .
Mètode pràctic per multiplicar complexos:
La multiplicació de dos nombres complexos es fa de manera semblant a la multiplicació
de polinomis: Se situen un sobre l’altre, i es multipliquen factor a factor, aplicant la
propietat distributiva i tenint en compte que 12 i .
Observa detingudament el següent exemple.
Exercici resolt.
Calcula el producte ii 5243
Solució.
El que no farem mai és "tirar de fórmula". Apliquem la propietat distributiva dues
vegades i tenim en compte que 12 i :
iii
iiiiiiiiii
726208156
)1(2081562081565245235243 2
1.2.1 Calcula:
a) )32()26( ii b) )32()26( ii c) )34()23( ii
d) )34()23( ii e) )2(3 i f) )43(2 ii
g) )21)(32( ii h) )25)(32( ii i) )4)(23( ii
j) )23)(32( ii l) 2)2( i m) 2)24( i
n) )32()1( 2 ii
1.2.2
Calcula 201132 ...1 iiii
1.2.3
Quants valors diferents pot prendre n
n
iiS
1 ?
ASHME 1957 #42
1.3 Divisió de nombres complexos.
El conjugat d'un nombre complex.
Definim el conjugat d'un nombre complex de la següent manera:
biazbiaz
Geomètricament, el conjugat d'un nombre és el seu simètric respecte de l'eix X:
Un nombre complex, multiplicat pel seu conjugat és un nombre real positiu, igual a la
suma dels quadrats de les seves components: Per exemple:
1394)1(949664)32(3)32(2)32)(32( 2 iiiiiiii
Divisió de nombres complexos.
La divisió de nombres complexos té associada la fórmula:
22
1221
22
2221 ,ba
baba
ba
baaa
b
a
Però aquesta fórmula no s'utilitza mai.
Mètode pràctic per dividir complexos.
Per a fer la divisió de dos nombres complexos s’han de multiplicar numerador i
denominador pel conjugat del denominador. Observa els següents exemples.
Exercici resolt.
Calcula i
i
23
45
Solució.
ii
iiii
iiiiiiiiiii
ii
ii
i
i
13
22
13
7
13
227(*)
134949)2(32323
227812101581210152342352345
(*)2323
2345
23
45
222
2
Exercici resolt.
Calcula i
i
3
52
Solució.
Multipliquem i dividim pel conjugat del denominador:
(*)3
3
3
52
3
52
i
i
i
i
i
i
iiiiiiiiiii 1715152651526)3(5)3(2)3)(52( 2
10)1(93)3)(3( 22 iii
ii
10
17
10
1
10
171(*)
2 Notació polar i operacions en polars.
2.1 Mòdul d'un nombre complex.
Donat un nombre complex biaz , definim el seu mòdul z , com
22 baz
El mòdul d'un nombre complex ens indica com està de lluny de l'origen )0,0( .
Relació entre el mòdul i el conjugat.
zzz
2
En efecte, si
2222))(( babiabiabiabiabiazzbiazbiaz
zzbaz 22
2.1.1 Calcula el mòdul dels següents nombres complexos:
a) i99 b) 355 i c) i6 d) 2323 i e) i636
f) 2 g) i2
1
2
3 h) i33 i) i5 j) 2222 i
k) 6 l) i43
Algunes propietats del mòdul.
a) 0z , i 00 zz
b) wzwz
c) nn zz
d) w
z
w
z
e) wzwz (desigualtat triangular)
2.2 Argument d'un nombre complex.
Tot nombre complex 0z té associat un nombre º360)arg(0 z , anomenat
argument de z, que indica l'angle que determina aquest nombre respecte l'eix real.
L'argument d'un nombre complex biaz es troba resolent l'equació
a
b)tan(
tenint en compte el quadrant en el què està z
Exercici resolt.
Calcula l'argument del nombre complex i35
Solució.
iz 35 equació:
º69.213º69.33º180
º69.33
5
3)tan(
I d'aquestes dues possibilitats ens quedem amb la primera perquè i35 està situat al
primer quadrant, i l'angle 213.69º correspon a un punt situat al tercer quadrant.
º69.33)arg( z
Exercici resolt.
Calcula l'argument del nombre complex i57
Solució.
iz 57 equació:
º46.144)º54.35(º180
º46.324º54.35º360º54.35
7
5)tan(
I d'aquestes dues possibilitats ens quedem amb la segona perquè i57 està situat al
segon quadrant, i l'angle 324.46º correspon a un punt situat al quart quadrant.
º46.144)arg( z
2.2.1
Calcula l'argument dels següents nombres complexos:
a) i99 b) 355 i c) i6 d) 2323 i e) i636
f) 2 g) i2
1
2
3 h) i33 i) i5 j) 2222 i
k) 6 l) i43
2.2.2 Determina el mòdul i l'argument dels següents nombres complexos:
a) i22 b) 3 c) i1010 d) i5
e) i1 f) g) i2
1
2
1
h) i6
i) i33 j) i4 k) 2
2.3 Notació polar de nombres complexos.
Tot nombre complex bia diferent de zero queda determinat pel seu mòdul m i el seu
argument . És el que s'anomena notació polar d'un nombre complex.
sincos imbia
De binomial a polar:
b
a
bam
tan
22
De polar a binomial:
sin
cos
mb
ma
Exercici resolt.
Expressa en forma polar el nombre complex iz 31
Solució.
º120)º60(180
º300º603arctan3
1
3tan
2431312
2
m
La part real de iz 31 és positiva, i la part imaginària és negativa, per tant està
situat al quart quadrant, i per tant, el valor correcte és el primer: º300º60
º300sinº300cos231 iiz
2.3.1 Escriu els següents nombres en forma polar:
a) i1 b) i 3 c) i33 d) i23
e) i68 f) i815
2.3.2 Escriu els següents nombres en forma binomial:
a) º270sinº270cos i b) º135sinº135cos23 i c) º180sinº180cos5 i
d) º120sinº120cos34 i e) º210sinº210cos12 i
2.3.3 Expressa els següents nombres complexos en forma trigonomètrica.
a) i33 b) i31 c) i232 d) 22 i
e) 8 f) i2 g) i512 h) i34
2.4 Multiplicació de complexos en polars.
isrba
isb
ira)sin()cos(
sincos
sincos
Per multiplicar en polars multipliquem els mòduls i sumem els arguments.
Demostració.
(*)sincossincos
sincossincossincos
sincos
iisr
isirbaissb
irra
i
i
ii
iii
iiiii
)sin()cos(
cossinsincossinsincoscos
sinsincossinsincoscoscos
sinsincossinsincoscoscos
sincossinsincoscossincossincos
2
)()sin()cos((*) rsisr
Per tant, el resultat de multiplicar dos nombres complexos és un altre nombre complex,
el mòdul del qual és el producte de mòduls i l'argument és la suma d'arguments.
Exercici resolt.
Calcula el producte de º30sinº30cos21 iz i º50sinº50cos5.12 iz
Solució:
º80sinº80cos3
)º50º30sin()º50º30cos(5.12º50sinº50cos5.1
º30sinº30cos221
2
1
i
izziz
iz
Exercici resolt.
Calcula el producte de º45sinº45cos3 i i º135sinº135cos2 i
Solució:
6116
º180sinº180cos6º135sinº135cos2º45sinº45cos3
i
iii
2.5 Divisió de complexos en polars.
i
s
r
b
a
isb
ira)sin()cos(
sincos
sincos
Per dividir en polars dividim els mòduls i restem els arguments.
Exercici resolt.
Calcula la divisió º150
º60
5
10 . Expressa el resultat en forma binomial
Solució:
º150º210
15060º150
º60 225
10
5
10
iib
a
3132
1º150sin2
3º150cos22 º150º150
Exercici resolt.
Calcula la divisió de iz 1010 entre iw 22 passant els nombres a forma polar,
i presenta el resultat en forma binomial.
Solució:
Passem els dos nombres a forma polar:
º225
22
210
º225
º451
10
10tan
210200)10()10(
1010
z
IIIquadrant
Iquadrant
m
iz
º135
22
22
º315
º1351
2
2tan
2282)2(
22
z
IVquadrant
IIquadrant
m
iw
Fem la divisió en polars:
º90
º135º225º135
º225 522
210
22
210
w
z
Convertim el resultat a forma binomial:
iib
a5505
190sin5
090cos55 º90º90
2.6 Potències de complexos. La fórmula de Moire.
Fórmula de Moire.
innraira nn )sin()cos(sincos
Per elevar en polars elevem el mòdul i multipliquem l' argument.
Demostració. Només cal aplicar la fórmula del producte:
irirrzzzirz 2sin2cossincossincos 22
irirrzzz 3sin3cos2sin2cos 3223 ,
i així successivament.
Exercici resolt.
Calcula 831 i i expressa el resultat en forma binòmica.
Solució:
En primer lloc passem el nombre a forma polar:
24312
m ,
º240º60180
º603arctan3
1
3tan
El nombre i31 està al primer quadrant, per tant l'angle correcte és º60 .
º120sinº120cos256º480sinº480cos256
º608sinº608cos2º60sinº60cos231 888
iz
Passem el resultat a forma binomial:
ib
a3128128
3128º120sin256
128º120cos256º120sinº120cos256
Exercici resolt.
Calcula 333 i amb la fórmula de Moire
Solució:
º60sinº60cos3233
º240
º60
3
3tan
32129333
33
22
ii
IIIQuadrant
IQuadrant
m
i
º180sinº180cos324º603sinº603cos32º60sinº60cos3233
iii
Passem el resultat a forma binomial:
32403240180sin324
324180cos324º180sinº180cos324
i
b
ai
2.6.1 Calcula les següents potències, i presenta el resultat en forma binòmica.
a) 31 i b) 61 i c) 43 i d) 41 i e) 201 i
2.7 Propietats del mòdul, argument i conjugat.
Propietats de l'argument d'un complex.
a) )arg()arg()arg( wzwz
b) zz argarg
c) )arg()arg(arg wzw
z
Propietats del conjugat.
a) wzwz
b) wzwz
c) w
z
w
z
d) zz
e) nn zz
f) zz si i només si z és real, és a dir: 0Im z
g) zz si i només si z és imaginari pur, és a dir: 0Re z
h) zzz Re2
i) zizz Im2
j) 22ImRe zzzz
Propietats del mòdul.
a) 0z , i 00 zz
b) wzwz
c) nn zz
d) w
z
w
z
e) wzwz (desigualtat triangular)
f) zzz 2
Exercici resolt.
Determina l'argument de i
z31
2
aplicant les propietats, sense fer l'operació.
Solució:
iz 31arg)2arg()arg( , º180)2arg(
Per trobar l'argument de i31arg resolem l'equació
º240º60º180
º603
1
3tan
i ens quedem amb el resultat º60 perquè i31 està al primer quadrant.
Per tant, º6031arg i , i finalment, º120º60º180)arg( z
2.7.1
Determina l'argument dels complexos següents: a) i
iz
22 b) 63 i
2.7.2
Aplicant les propietats de la conjugació, demostra les següents igualtats:
a) iziz 33
b) zizi
c) ii 43)2( 2
d) 523)2)(52( ziz
Proposición.
Si )(zf es un polinomio de coeficientes reales:
0)(0)( zfzf
Así pues, las raíces de los polinomios con coeficientes reales vienen en pares
conjugados (teniendo en cuenta que el conjugado de una raíz real es ella misma).
Demostración.
Sea n
nzazaazf ...)( 10 , con IRai . Puesto que la conjugación se mantiene por
suma y producto, y el conjugado de un número real es él mismo,
00......
......)(
1010
1010
n
n
n
n
n
n
n
n
zazaazazaa
zazaazazaazf
Exercici.
Demostra que i23 i i23 són arrels de 01362 xx
2.8 Repàs d'operacions amb polars.
2.8.1
Donats iz 232 i 31 iw , calcula, passant a forma polar:
a) wz , b) 5w c) w
z
2.8.2 Calcula:
a) )75()43( ii b) )31()24( ii c) )23)(2( ii
d) )43)(43( ii e) i
i
2
31 f)
i
i
32
23
2.8.3 Calcula:
a) )32()26( ii b) )32()26( ii c) )34()23( ii
d) )34()23( ii e) )2(3 i f) )43(2 ii
g) )23)(32( ii h) )25)(32( ii i) )4)(23( ii
j) 2)2( i k) 2)24( i l) )32()1( 2 ii
m) i
i
1
32 n)
i
i
43
23
o)
i
i
32
23
3 Arrels de nombres complexos.
3.1 Les arrels n-èsimes de nombres complexos.
Direm que y és una arrel n-èsima de z si zyn .
Tot nombre complex sincos imz té exactament n arrels n-èsimes.
Són els nombres complexos que es poden escriure de la forma kk
n im sincos
on 1,...,2,1,0360360
nkn
k
nn
kk
Exercici resolt.
Determina les arrels quartes del nombre i388
Solució:
Passem el nombre a forma polar: º12016388 i
Les arrels quartes són kkky 2164
kkk
k º90º304
º360
4
º120
4
º360º120
Simplifica aquí
º301 2º300º90º30
º1202 2º120º90º301º90º30
º2103 2º210º180º302º90º30
º3004 2º300º270º303º90º30
Les arrels quartes de i388 són: º300º210º120º30 2,2,2,2
Exercici resolt.
Determina les arrels cúbiques de i22
Solució:
Passem el nombre a forma polar: º3152222 i
Per tant, les arrels cúbiques són k
3
22 , on 22222223 33 33 23
kkk
k º120º1053
º360
3
º315
3
º360º315
º1051 2º1050º120º105
º2252 2º2251º120º105
º3453 2º3452º120º105
Les arrels cúbiques de i22 són: º345º225º105 2,2,2
3.1.1
Determina les arrels de grau cinc de i44
3.1.2
Determina les tres arrels cúbiques de i
3.1.3 Problema.
Si les sis solucions de 646 x s'escriuen de la forma bia , amb ba, reals, llavors el
producte de les seves solucions amb 0a és:
(A) -2 (B) 0 (C) i2 (D) 4 (E) 16
AHSME 1990 #22
Solució: PC/#1.15
És problemàtic parlar d'arrels numèriques de nombres complexos, cosa que sí
funcionava bé amb nombres reals.
Per exemple, vam definir 4 com l'element positiu del conjunt 42 x , però
ara, amb complexos, no té sentit parlar de "positius".
Les típiques identitats associades a les arrels dels nombres reals no funcionen
amb nombres complexos, com podem veure en aquest exemple:
"Demostració" de que 11 :
11
1111
1
1
1
1
1
1
1
1
11
ii
On està el pas erroni?
3.2 La circumferència unitat. La notació exponencial.
Definició. La circumferència unitat. La notació exponencial.
La circumferència unitat la formen els nombres complexos z tals que 1z , és a dir,
aquells que en forma polar es poden escriure com
sincos iz
Aquests nombres es poden escriure en "forma exponencial": iez .
I per tant, tot nombre, encara que estigui fora de la circumferència unitat es pot escriure
"forma exponencial":
ierirz sincos
Proposició.
Si z pertany a la circumferència unitat, z
z1
Només cal aplicar la propietat zz
zzz 1
1122
3.3 Les arrels n-èsimes de la unitat.
El nombre 1, com qualsevol altre nombre complex, té n arrels n-èsimes diferents, que
s'anomenen les arrels n-èsimes de la unitat.
Exemple resolt.
Demostra que 2
31 i és una arrel cúbica de la unitat.
Solució:
Es tracta de comprovar que 12
313
i
8318
31
2
31
2
311
33
3
33
i
iii
832323223132231
3223331313131
3
2
iiiii
iiiiii
Les arrels n-èsimes de la unitat es distribueixen uniformement a la circumferència unitat,
formant polígons regulars:
a) Arrels quadrades de la unitat:
1º180cosº180sin
1º0cosº0sin1,0180
2
360
2
1
iz
izkk
kk
b) Arrels cúbiques de la unitat:
º240cosº240sin
º120cosº120sin
1º0cosº0sin
2,1,01203
360
3
2
1
iz
iz
iz
kkk
k
c) Arrels quartes de la unitat:
iiz
iz
iiz
iz
kkk
k
º270cosº270sin
1º180cosº180sin
º90cosº90sin
1º0cosº0sin
4,2,1,0904
360
4
3
2
1
d) Arrels quintes de la unitat:
º288cosº288sin
º216cosº216sin
º144cosº144sin
º72cosº72sin
1º0cosº0sin
5,4,2,1,0725
360
5
4
3
2
1
iz
iz
iz
iz
iz
kkk
k
e) Arrels sextes de la unitat:
º300cosº300sin
º240cosº240sin
1º180cosº180sin
º120cosº120sin
º60cosº60sin
1º0cosº0sin
6,5,4,2,1,0606
360
6
5
4
3
2
1
iz
iz
iz
iz
iz
iz
kkk
k
f) Arrels sèptimes de la unitat:
º57.308cosº57.308sin
º14.257cosº14.257sin
º71.205cosº71.205sin
º29.154cosº29.154sin
º86.102cosº86.102sin
º42.51cosº42.51sin
1º0cosº0sin
7,6,5,4,2,1,043.517
360
7
6
5
4
3
2
1
iz
iz
iz
iz
iz
iz
iz
kkk
k
L'arrel n-èsima primitiva.
El complex niew /2 , s'anomena arrel n-èsima primitiva, i la resta de arrels n-èsimes
són potències seves:
132 ,...,,, nwwww .
Proposició.
Si 1w llavors 0...1 132 nwwww
Demostració.
Apliquem la fórmula de la sèrie geomètrica:
01
11
1
1...1 132
ww
wwwww
nn
Solucions.
1.2.1 a) i8 b) i54 c) i1 d) i1 e) i36 f) i68
g) i74 h) i1116 i) i1110 j) i512 l) i43 m) i1612
n) i46
1.2.2 0
1.2.3 21
11
10
0
0 i
iSn
0)(1
1 iii
iSn
21
11
12
2
2
i
iSn
011
3
ii
ii
iiSn
Per a 4n es van repetint aquest valors, per tant, 2,2,0 S
2.1.1 a) 29 b) 10 c) 6 d) 6 e) 12 f) 2 g) 1 h) 23
i) 5 j) 4 k) 6 l) 5
2.2.1 a) 45º b) 60º c) 90º d) 135º e) 150º f) 180º
g) -150º h) 130º i) 270º j) 315º k) 0º l) º13.53
2.2.2 a) º45,22 m b) º0,3 m c) º315,210 m
d) º180,5 m e) º135,2 m f) º180, m
g) º225,2
2 m h) º90,6 m i) º315,23 m
j) º90,4 m k) º180,2 m
2.3.1 a) º45sinº45cos2 i b) º150sinº150cos2 i
c) º30sinº30cos32 i d) º69.33sinº69.33cos13 i
e) º13.323sinº13.323cos10 i f) º07.208sinº07.208cos17 i
2.3.2 a) i b) i33 c) 5 d) i632 e) i636
2.3.3 a) º45sinº45cos23 i b) º60sinº60cos2 i c) º210sinº210cos4 i
d) º315sinº315cos2 i e) º180sinº180cos8 i f) º270sinº270cos2 i
g) '23º157sin'23º157cos13 i h) '52º216sin'52º216cos5 i
2.6.1 a) i22 b) i8 c) i388 d) 4 e) -1024
2.7.1 a) 225º b) 180º
2.8.1 a) iwz 434 b) 316165 iw c) iwz 2/
2.8.2 a) i32 b) i5 c) i8 d) 25 e) i1 f) i13
5
13
12
2.8.3 a) i8 b) i54 c) i1 d) i1 e) i36 f) i68
g) i512 h) i1116 i) i1110 j) i43 k) i1612 l) i46
m) i2
1
2
5 n) i
25
6
25
17 o) i
3.1.1 º351º279º207º135º63 2,2,2,2,2
3.1.2 º30sinº30cos0 iz , º150sinº150cos1 iz , º270sinº270cos2 iz