recorreguts per l'eixample

1

Reco RReguts per l’eixample

Sovint ens han dit que la línia recta és la distància més curta entre dos punts. Això és ben cert, però quan ens tenim que desplaçar d’un punt a un altre de la ciutat hem de seguir el traçat dels carrers que són els que ens marquen els itineraris reals.

Cerdà va donar a l’Eixample una estructura quadriculada, amb zones on gaire bé totes les mançanes són quadrades i de la mateixa dimensió. Si ens movem per una zona de l’Eixample que tingui totes les mançanes quadrades i iguals veurem que al moure’ns pels seus carrers els trajectes que podem fer tenen unes característiques curioses.

ACTIVITATS MATEMÀTIQUES | AutorA TERESA TICÓ

www.anycerda.org/educacio

ACtivitAtS MAtEMÀtiQUES RecoRReguts peR l’eixample 2

ACt. 01

ens MovEM a pEUHeu anat a l’Hospital Clínic i esteu situats justament a la porta de l’edifici i en front del carrer Rosselló (punt A de la figura 1) i heu quedat a la cantonada del carrer València amb el carrer Balmes (punt B de la figura 1).

Figura 1


a. Busqueu en el Google Maps quin recorregut a peu us indica, per això heu de clicar a com s’hi va ; i escriure en l’origen a: Carrer Casanova 160 i final B: Carrer de València 244.

si obriu les rutes suggerides veureu que us en proposa unes quantes, totes elles equivalents en distància i durada del trajecte.

b. Considerarem que un itinerari és eficient quan té una longitud mínima. Sobre el plànol podeu pintar en colors cinc itineraris diferents que us portin de manera eficient des del punt A al punt B. Com podeu comprovar no hi ha un camí eficient únic que condueixi d’A a B.

c. Feu una descripció dels recorreguts anteriors de la manera següent: cada cop que us moveu una mançana en horitzontal ho indiqueu amb la lletra H i quan us moveu una mançana en vertical ho indiqueu amb la lletra v. Per exemple el recorregut que hi ha senyalat en el plànol de la figura 2 és: vHHvvHH

Figura 2


RECoRREGUtS noMbRE dE v noMbRE dE H noMbRE totAl dE llEtRES

Completeu la taula:

d. Trobeu tots els possibles recorreguts eficients que van d’ A fins a p (figura 3) i comproveu que n’hi ha 5.

e. Trobeu tots els possibles recorreguts eficients que van d’A fins a p (figura 4) i comproveu que n’hi ha 6.

Figura 4

Figura 3


f. Donarem una manera enginyosa per comptar quants recorreguts eficients diferents hi ha per anar d’A a B. Assignarem a cada cruïlla del plànol el nombre de rutes eficients que es poden fer per arribar-hi des d’A:

· numerem les cruïlles del carrer casanova i del carrer Rosselló amb un 1 ja que per arribar-hi des d’a només hi ha un recorregut eficient ja que anem a un punt que es troba en el mateix carrer que A.· el nombre que correspon a cada cruïlla s’obté sumant els nombres que hi ha en la cruïlla de dalt i en la cruïlla de l’esquerra. un cop hageu posat els 1, sumant podeu numerar les cruïlles del carrer provença, a continuació les del carrer mallorca i finalment les del carrer València.

Completeu la numeració de les cruïlles del plànol de la figura 5.

I ara, contesteu la pregunta: quants itineraris diferents hi ha d’ A a b?

Figura 5


g. seguint aquest procediment i amb l’ajuda del plànol de la figura 6 podeu completar la taula:

us recomanem que us dibuixeu un esquema quadriculat per cada ruta i que numereu les cruïlles seguint el procediment de l’apartat f)

CRUÏllA d’oRiGEn CRUÏllA dE dEStinACiÓ noMbRE dE RECoRREGUtS

Sepúlveda-Villarroel Diputació-Viladomat

Rocafort-Floridablanca Diputació-Casanova

calàbria-consell de cent gran Via-Villarroel

Rocafort-Diputació Casanova-Floridablanca

Viladomat-gran Via Villarroel-consell de cent

Figura 6


h. Una eina matemàtica molt útil per calcular el nombre de camins que comuniquen dues cruïlles de l’Eixample és el triangle de Pascal. Aquesta eina està formada per un conjunt de nombres ordenats en forma de triangle, amb el número 1 en el vèrtex superior i els costats laterals. Cada nombre de la base s’obté de sumar els dos nombres que té més a prop a la fila superior, tal com mostra la figura:

Si el nostre itinerari és de la forma HHHvv, és a dir 5 lletres: 2v i 3H, fem el següent:

· prenem la fila en què el segon nombre és el 5 · sense comptar el 1 inicial, ens quedem amb el nombre que ocupa el segon lloc (2v) o el tercer lloc (3H):

En el nostre cas el nombre de camins eficients és 10. Fixeu-vos que per escollir el nombre de la fila és indiferent que utilitzeu el nombre de mançanes en vertical v o bé el nombre de mançanes en horitzontal H. En els dos casos obtenim el mateix resultat.

Construïu un triangle de Pascal que arribi fins a 11 files i comproveu tots els resultats de l’apartat g.


ACt. 02

ens moVem en CotxEHeu anat a l’Hospital clínic a recollir un amic que s’ha lesionat i no pot caminar. Agafeu un taxi per anar des de la porta de l’edifici (punt A de la figura 7) fins a la cantonada del carrer València amb el carrer Balmes (punt B de la figura 7).

a. Busqueu en el Google Maps quin recorregut en cotxe us indica, per això heu de clicar a com s’hi va ; i escriure en l’origen a: Carrer Casanova 160 i final B: Carrer de València 244.

si obriu les rutes suggerides veureu que n’hi ha més d’una, totes elles equivalents en distància i durada del trajecte.

Dibuixeu tots els itineraris eficients possibles tenint en compte el sentit de circulació dels carrers. Heu de tenir en compte que actualment el carrer Enric Granados és d’ús exclusiu de vianants.

Figura 7


Per estudiar la circulació dins d’aquest conjunt de carrers farem servir uns esquemes que els matemàtics anomenen grafs dirigits o dígrafs. Un dígraf és un conjunt de punts i fletxes que connecten aquests punts. En el nostre cas els punts representaran les cruïlles i les fletxes el carrer que les uneix amb el sentit de la circulació.

ens volem moure des d’A fins a t, mirant el plànol cap a la dreta i cap avall. Dibuixarem el dígraf seguint les instruccions següents:

pas 1. Associeu una lletra a cada cruïlla.pas 2. Dibuixem des d’A les fletxes que van cap a la dreta o cap avall amb origen A i els punts que hi estan connectats.pas 3. Dibuixem des dels nous punts connectats amb A les fletxes que van cap a la dreta o cap avall i els punts que hi estan connectats.pas 4. Continueu el procés fins que els nous punts connectats ho permetin.

El dígraf resultant el teniu dibuixat en la figura 8. Els punts del plànol ben connectats amb A, és a dir que s’hi arriba fent un camí eficient en cotxe, són tots els que figuren en el dígraf.

Figura 8


Si feu el dígraf corresponent als punts del plànol ben connectats amb el punt o. Haureu de fer la connexió des d’o fins a A (esquerra i cap dalt) i haureu de fer la connexió d’o fins a p (esquerra i cap avall).

El dígraf resultant és el de la figura 9:

Hi ha algun camí eficient que porti des d’O fins a p?Des d’o, hi ha alguna cruïlla a la qual s’hi arribi per dos camins eficients?Des de quin punt es pot arribar a més cruïlles d’una manera eficient des d’A o des d’o?

b. Feu el dígraf d’origen M. Haureu d’anar fins a t (dreta i cap avall); fins a E (dreta i cap amunt); fins a p (esquerra i cap avall) i fins a A (esquerra i cap amunt). Quants punts es connecten bé des de M?

c. Feu el dígraf d’origen T. Què hi observeu?. Hi ha algun altre punt del plànol que li passi el mateix? Què caracteritza aquests punts?

Figura 9


d. Hi ha algun cruïlla d’aquest plànol a la qual no s’hi pugui arribar de manera eficient? Què caracteritza aquests punts?

e. un joc:

• Observeu el plànol de la zona de l’Eixample de la figura 10. Fixeu-vos que la gran Via és un carrer amb doble sentit de circulació.• Com a punt de partida, trieu una cruïlla que us sembli ben connectada. • Dibuixeu-ne el dígraf corresponent als punts del plànol ben connectacts amb la cruïlla escollida.

Guanya qui hagi triat la cruïlla més ben connectada!

Figura 10


ACt. 03

els RepaRtiDoRs De pRopAGAndA.Com que aquest any es celebra l’any Cerdà, l’Ajuntament ha decidit repartir per tots els veïns de l’Eixample un fulletó informatiu de les activitats que s’han organitzat en commemoració del 150 aniversari de l’aprovació del Projecte de l’Eixample.

Per repartir els fulletons s’assigna a cada equip de dos repartidors de propaganda un conjunt de mançanes. Els dos repartidors van junts, només es separen quan han de repartir a les dues bandes d’un carrer: cada un s’encarrega d’una de les bandes i així només els hi cal passar una vegada pel mateix carrer. Cada vegada que els hi assignen una zona els repartidors busquen rutes que els hi permetin:

• passar per totes les cases de la mançana.• no passar més d’una vegada pel mateix carrer.

a. a dos repartidors els hi ha tocat les dues mançanes que es mostren a la figura 11. Marqueu un itinerari que passi per totes les cases, sense passar dues vegades pel mateix carrer, senyaleu on comença i on acaba i el sentit del recorregut.

Figura 11

Figura 12

b. Si els han assignat les 4 mançanes de la figura 12, quina ruta els convé?


Com es pot saber si existeix un recorregut que passi per totes les cases i no passi dues vegades pel mateix carrer?

les rutes que segueixen les condicions del problema s’anomenen recorreguts eulerians en honor al gran matemàtic leonard euler que va resoldre un problema molt semblant en un article publicat a l’any 1736. anomenem grau d’una cruïlla al nombre de carrers que hi passen.

euler va raonar de la manera següent: per poder arribar a una cruïlla i poder sortir-ne el seu grau ha de ser parell ja que per cada carrer emprat per arribar-hi se’n necessita un altre per sortir-ne. En el cas que una cruïlla tingui grau senar podrem arribar-hi i sortir-ne un nombre de vegades igual al nombre de parells de carrers diferents que vagin a parar a ella i sempre ens quedarà un carrer per recórrer. D’aquí va deduir les conclusions següents:

• Si totes les cruïlles tenen grau parell es pot trobar rutes que compleixin les condicions començant des de qualsevol cruïlla i acabant en la mateixa cruïlla (circuit eulerià).

• En el cas que hi hagi exactament dos cruïlles de grau senar podem trobar una ruta que comenci per una d’aquestes dues i que passant per tots els carrers acabi en l’altra cruïlla de grau senar (recorregut eulerià).·• Si el nombre de cruïlles de grau senar és més gran que 2 aleshores no hi ha cap recorregut eulerià.I ara, contesteu la pregunta: És possible fer un recorregut eulerià per les quatre mançanes de l’apartat b)?

c. indiqueu si existeix o no un recorregut eulerià en les agrupacions de mançanes que formen les zones A, B, C i D dels plànols de les figures 13, 14, 15 i 16. Poseu lletres a cada una de les cruïlles, fixeu-vos amb el grau de cada cruïlla i doneu els camins eulerians, si existeixen, en forma de seqüència de lletres.

d. Classifiqueu les estructures de la quadrícula de la figura 17 segons admetin: circuits eulerians, recorreguts eulerians o bé ni una cosa ni l’altra. Mireu que es puguin repassar sense aixecar el llapis del paper i sense passar dues vegades per sobre del mateix costat d’un quadrat. Indiqueu els itineraris eulerians que feu en cada cas. inventeu-vos noves agrupacions.

e. sobre el plànol de l’eixample busqueu zones que admetin recorreguts eulerians. Intenteu que el nombre de mançanes sigui el més gran possible.


ZONA C 5 MANÇANES

Figura 15

ZONA D 6 MANÇANES

Figura 16

ZONA C 5 MANÇANES

Figura 15

ZONA D 6 MANÇANES

Figura 16

Figura 13

Figura 15

Figura 14

Figura 16


Figura 17

recorreguts per l'eixample

Documents