I�TERFERE�CIA I�TERSIMBOLICA

Hemos convertido una señal analógica en digital a través del proceso de muestreo, cuantificación

y codificación. Ahora nos disponemos a transmitirla por un canal que usualmente tiene ancho de banda

finito y por lo tanto producirá dispersión de los pulsos transmitidos que interferirán con los pulsos

vecinos (interferencia intersimbólica o ISI por sus siglas en ingles); en el canal también se agrega ruido

que generalmente puede ser modelado como blanco, gausseano. Al final al receptor llegara una señal

con ISI y ruido. El problema que tenemos al frente es diseñar el mejor receptor que permita rescatar la

señal de la mejor forma; esto depende fuertemente de la forma del pulso básico de transmisión p(t).

Por lo complicado del problema lo hemos atacado de la siguiente forma: primero vimos el efecto

del ruido blanco, gausseano aditivo, se buscó el receptor óptimo para minimizar la probabilidad de

error; ahora estudiaremos el problema de la Interferencia Intersimbólica y como atacarlo; finalmente

mezclaremos los dos problemas y diseñaremos, en forma conjunta el transmisor y el receptor óptimos.

Interferencia Intersimbólica (ISI)

Para transmitir una señal digital, no importa que código de línea usemos, se necesita un canal de

ancho de banda infinito. Sin embargo, sabemos que esto no es posible, el canal práctico tiene ancho de

banda finito, por lo tanto los pulsos se "chorrearan" o “dispersarán” y hará que estos entorpezcan la

decisión sobre los bits vecinos. Observe la siguiente gráfica de tres bits seguidos que se han dispersado

porque el canal no tiene ancho de banda infinito. Podría ocurrir, por ejemplo que el tercer bit

(combinación de los voltajes presentes y pasados) al llegar al receptor sea visto como un cero. Que

podemos hacer para evitar esto???

Para entender mejor el concepto de ISI suponga que un pulso transmitido al pasar por toda la

cadena de Transmisor – Canal y Recepción produce un pulso a la puerta del bloque de toma de

decisiones como el siguiente:

Suponga que tbit=1 segundo. De la gráfica se aprecia que el retardo que produce la cadena es de 5

segundos ya que el primer bit se generó entre 0 y 1 segundo y, viendo el pulso p(t), se sabrá cual fue

ese bit a los 6 segundos(donde está el máximo). También se observa que el pulso se dispersa hacia los

lados afectando 2 tbit a la izquierda y 2 tbit a la derecha. Cuando se transmitan varios pulsos seguidos la

situación podría ser como sigue:

Imagine que quiere decidir que voltaje se presenta en 6 segundos. Se aprecia que en t=6 seg. No

solo se tiene el voltaje propio del pulso que corresponde a ese slot de tiempo, sino que dos pulsos a la

“derecha” con 0.4v y -0.2 v , y dos pulsos a la izquierda (0.4 v y -0.2 v). El voltaje total en t=6 es igual

a 1+0.4-0.2-0.2+0.4=1.4 v. La decisión sobre el pulso dirá que es un “1”.

Sin embargo si la combinación de pulsos fuese otra, la suma total de voltajes podía llevar al

sistema de toma de decisiones a cometer error.

Ejemplo: Pulso negativos los que están centrados en 4, 6 y 8 segundos. Positivos el resto

La suma daría -1+0.4+0.2+0.4+0.2=0.2 mayor que cero es decir se decidirá que el pulso

transmitido era un “1” cuando en realidad era un “0”

Paso 1:

Primero tomamos el pulso que se encuentra a -2tb a la izquierda (azul claro). Para t=6seg., toma

el valor de -0.2V. Pero si el pulso fuese el de polaridad opuesta, el valor sería de 0.2V. Luego tomamos

el pulso que está a –tb a la izquierda (verde). Para t=6seg. toma un valor de 0.4V. Si fuese el de

polaridad opuesta, tendría un valor de -0.4V.

Paso 2:

Repetimos el procedimiento del paso 1, pero tomando en consideración los pulsos que estén a +tb

y +2tb del aislado (naranja y morado, respectivamente).

Paso 3:

Elaboramos una tabla que contenga todas las combinaciones de ISI posibles. Dado que el pulso

aislado se ve afectado por cuatro vecinos (dos a su izquierda y dos a su derecha), cada uno con dos

valores posibles, el total de combinaciones será de dieciséis (16):

-2tb -tb tb 2tb ISI Pro

b -0.2 0.4 0.4 -0.2V 0.4 1/16

-0.2 0.4 0.4 0.2V 0.8 1/16

-0.2 0.4 -0.4 -0.2V -

0.4

1/16

-0.2 0.4 -0.4 0.2V 0 1/16

-0.2 -0.4 0.4 -0.2V -

0.4

1/16

-0.2 -0.4 0.4 0.2V 0 1/16

-0.2 -0.4 -0.4 -0.2V -

1.2

1/16

-0.2 -0.4 -0.4 0.2V -

0.8

1/16

0.2 0.4 0.4 -0.2V 0.8 1/16

0.2 0.4 0.4 0.2V 1.2 1/16

0.2 0.4 -0.4 -0.2V 0 1/16

0.2 0.4 -0.4 0.2V 0.4 1/16

0.2 -0.4 0.4 -0.2V 0 1/16

0.2 -0.4 0.4 0.2V 0.4 1/16

0.2 -0.4 -0.4 -0.2V -

0.8

1/16

0.2 -0.4 -0.4 0.2V -

0.4

1/16

Finalmente:

Total ISI Probabilidad

0 4/16

0.4 3/16

-0.4 3/16

0.8 2/16

-0.8 2/16

1.2 1/16

-1.2 1/16

Es a partir de esta tabla que se puede graficar la fdp:

Para el cálculo de la probabilidad de error se deben considerar las combinaciones de la primera

tabla que pudieran provocar la decisión incorrecta. El pulso punteado toma como máximos valores 1

(para el “1”) y -1 (para el “0”). Cuando a estos valores se les sume la ISI podrá ocurrir un error. Por

ejemplo si se transmitió un “1” (1 volt.) y la ISI vale -1.2, al sumar 1-1.2=-0.2. Como el umbral está en

cero se tomará la decisión de que lo transmitido fue un “0” y se comete un error. Si se analizan todos

los casos posibles, existen dos posibilidades de error por interferencia: que se transmita un “1” y la ISI

sea de -1.2V o que se transmita un “0” y la ISI dé 1.2V. Por lo tanto:

( ) ( )

( ) ( )16

1

16

1.

2

121

2

11

2

1

012

101

2

1

2

1

2

1

01

=

=>+−<

=>+−+<+

=

+

=

ISIPISIP

ISIPISIP

teP

tePPe

Hagamos otro ejemplo para afianzar el mecanismo: Imaginemos que a la salida del receptor, en

una transmisión polar binaria, tb =1 seg. cuando se transmite un “1” se recibe el siguiente pulso

Este pulso solo afecta a los vecinos inmediatos (tb a la izquierda y tb a la derecha). Para calcular

la fdp de la ISI hay que estudiar todas las combinaciones que pueden tomar esos vecinos. Por ejemplo

si el pulso anterior y el posterior provienen de “1s” (11) entonces la situación sería la siguiente

Al pulso que está centrado en 6 le afectarán los siguientes voltajes 0.8 (del pulso anterior) y 0.8

(del pulso posterior). Es evidente que faltan tres combinaciones mas 00,01,10. Es necesario entonces

hacer la siguiente tabla

-tb tb ISI total Probabilidad

0.8 0.8 1.6 1/4

-0.8 -0.8 -1.6 1/4

-0.8 0.8 0 1/4

0.8 -0.8 0 1/4

Gráficamente la fdp será:

Al calcular la Probabilidad de Error por bit debida a la ISI tendremos

( ) ( )

( ) ( )4

1

4

1.

2

121

2

11

2

1

012

101

2

1

2

1

2

1

01

=

=>+−<

=>+−+<+

=

+

=

ISIPISIP

ISIPISIP

teP

tePPe

Aún cuando la Interferencia Intersimbólica es crítica al momento de recibir una señal, pudiéramos

disminuir (o eliminar) los errores de decisión a través de ciertos métodos. Es posible prever la forma de

los pulsos a la salida del receptor y de esta manera tratar de que el mismo no produzca ISI.

CRITERIOS DE �YQUIST Nyquist desarrollo 3 procedimientos para seleccionar los pulsos de

manera de controlar la ISI. Primer Criterio de �yquist:

La idea es buscar un pulso recibido que tenga las siguientes características:

b

b

tBW

ntt

t

tp

2

1

;0

0;1

)(

=

±=

=

=

El pulso p(t) podría ser

( )∏=

=

b

bb

ftAfP

tfSincAftp

)(

)()(

Pero esto es imposible de lograr. Algo posible se lograría, por ejemplo, flexibilizando el requisito

de ancho de banda; por ejemplo se puede permitir un P(f) que ocupe un ancho de banda mayor que

0.5fb.

En el receptor lo que se hace es muestrear cada tb (seria como convolucionar p(t) con una

sumatoria infinita de impulsos); lo que se desea es que al muestrear cada pulso y sus vecinos, solo

quede el valor del pulso en el instante de muestreo de interés. Por ejemplo suponga que estamos

tomando el valor en t=0

1)(1

)(1

*)(

)()0()()(

=−=−

=−

∑∑

∑

bb

bb

b

nffPt

nfft

fP

tpktttp

δ

δδ

Esto implica que al sumar todas las repeticiones de P(f) cada fb estas deben sumar una constante

(que en este caso la colocamos como 1)

Esto recuerda VSB y efectivamente a este tipo de filtros se les llama filtros vestigiales. Para

analizar matemáticamente el efecto, conviene descomponer P(f) en dos componentes como sigue

Matemáticamente:

)(1

)(

)()(

1

1

tht

tSinc

ttp

fHf

ffP

bb

b

+

=

+

= ∏

H1(f) es simétrica y par.

( )[ ]

( ) dxxtSenxfb

HtfSenth

dxxtSentfSenxfb

Hth

dxxfb

tCosxfb

tCosxfb

Hth

xfb

Hxfb

HsimetríaPor

tdxxfb

Cosxfb

Htdxxfb

Cosxfb

Hth

Entonces

xfb

fIntegralsegundalaPara

xfb

fIntegralprimeralaPara

vdc

dftCosfHdftCosfHth

dftCosfHdfefHth

b

b

fb

fb

fb

fb

tj

)2(2

4)(

)2(.2

4)(

)2

(2)2

(22

2)(

)2

()2

(:

))2

(2(2

2))2

(2(2

2)(

:

2:

2:

:..

)()(2)()(2)(

)()(2)()(

0

11

0

11

0

11

11

0

1

0

11

2

2

1

2

2

11

0

111

ππ

ππ

ππ

ππ

ωω

ω

β

β

β

ββ

β

β

ω

+−=

+−=

−−

+

+=

−−=+

+

++−

−=

+=

−=

+=

==

∫

∫

∫

∫∫

∫∫

∫∫

+

−

∞∞

∞−

Para cada ntb el término que se encuentra fuera de la integral se anulará cada ntb. De esta forma,

se evita la interferencia.

Por lo tanto, como

)(1

)( 1 tht

tSinc

ttp

bb

+

=

Y esto vale cero para todo t= ntb y toma el valor de 1/ tb para t=0 y esto sin duda evita la interferencia

inter simbólica.

Un ejemplo de un pulso realizable que presenta simetría vestigial es el siguiente:

β−≤= bffparaffbP 5.01)(

β+≥= bffparaffbP 5.00)(

( )ββ

β

βπ+<<−

+−−= bb

bfffpara

ffCosffbP 5.05.0

2

5.015.0)(

La forma de onda temporal quedaría:

2)4(1

)2()()(

t

tCostfSinctp b

β

πβ

−=

Cuando β=0 queda la forma de onda Sinc

Una selección preferida es tomar β=0.5fb. En este caso el pulso en su zona de caída tiene la

siguiente expresión:

( ) ( )b

b

ffparaCosf

fCosffbP

bf

f<<

=

−= 015.0)(

2

2 ππ

Segundo Criterio de �yquist:

Buscando eliminar la ISI y además disminuir el ancho de banda, se define el segundo criterio de

Nyquist. Este criterio se basa en definir los pulsos de manera que exista interferencia controlada entre

un bit y sus vecinos mas cercanos. Conociendo la ley de interferencia uno puede detectar cada bit en el

receptor. Lo que va a ocurrir es que la señal va a ocupar menos ancho de banda pero consumirá mas

potencia.

Por ejemplo, si en vez de enviar la secuencia de bits originales que llamaremos ak, se envia yk=

ak+ ak-1

Esto se le denomina señalamiento duobinario ya que en el mismo ancho de banda se puede

transmitir el doble de bits que antes. Veamos su efecto:

Bit

Original 0 1 0 1 0 0 1 1

ak -

1

1 -1 1 -1 -1 1 1

yk 0 0 0 0 -2 0 2

ak=

yk- ak-1

1 -1 1 -1 -1 1 1

Generar la secuencia se logra muy fácilmente pasando la secuencia por un filtro pasabajo que

limitará el ancho de banda. Este filtro se construye de la siguiente manera:

La respuesta en frecuencia de este sistema es la siguiente:

Esto se anula en 0.5fb.

En definitiva la secuencia yk tendrá menor ancho de banda que la original sufriendo menos el

efecto de la limitación en ancho de banda del canal. En el receptor se puede rescatar la secuencia

original usando la siguiente relación:

yk- ak-1= ak

Ecualización Si se usa algún sistema para controlar ISI pero la forma de los pulsos resultantes no es perfecta, se

puede colocar antes del circuito que decide un ecualizador el cual puede tener la estructura de un filtro

transversal. La idea es la siguiente:

Los coeficientes Ck pueden ajustarse para compensar cualquier cambio en el canal.

∑=

−=

+−=!m

!m

SI!mOUT T!mtPCtP ])([][ Pero la salida está retardada !Ts segundos

±±±=

==+

−=+ ∑=

−=

!K

KT!KP

TmKPCT!KP

SOUT

!m

!m

SI!mSOUT

,.....,2,10

01])[(

])[(])[(

Ejemplo 1:

Usaremos un sistema ecualizador con 3 tomas:

−−

−=

=

−

−−

=

−

−

1

0

1

1

0

1

13.01.0

2.013.0

02.01

0

1

0

)0()1()2(

)1()0()1(

)2()1()0(

0

1

0

C

C

C

C

C

C

ppp

ppp

ppp

I!I!I!

I!I!I!

I!I!I!

Esto se resuelve y produce las siguientes soluciones:

C-1=-0.1792 C0=0.8961 C1=0.2509

∑=

−=

−=+1

1

])[(])1[(m

m

SI!mSOUT TmKPCTKP

Ejemplo 2: Se sabe que un pulso recibido tiene el siguiente comprtamiento

PIN(tb)= 0.2= PIN(-tb)

PIN(2tb)= 0= PIN(-2tb)= PIN(3tb)= 0= PIN(-3tb)

PIN(0)= 0.8

Diseñe un ecualizador de 3 tomas para forzar el pulso de salida para que no proporcione ISI:

)0()()2(0)(

)()0()(1)(

)2()()0(0)0(

1010

1010

1010

I!bI!bI!b

bI!I!bI!b

bI!bI!I!

pCtpCtpCtp

tpCpCtpCtp

tpCtpCpCp

++==

−++==

−+−+==

−

−

−

8.02.00

2.08.02.01

2.08.00

10

101

01

CC

CCC

CC

+=

++=

+=

−

−

Se despejan y se obtiene: C1=-1/2.8; C0=4/2.8; C-1=-1/2.8

Diseño de filtro Transmisor y Filtro Receptor Optimo Considerando Efecto del

ruido e ISI

Considere el sistema compuesto por Transmisor, Canal y receptor.

El objetivo es conseguir el onjunto Transmisor-Receptor Optimos que logren

a) Elegir una forma de pulso PR(f) que evite la ISI

)()()()( fPfHfHfH RRcT =

b) Lograr que la relación Señal a Ruido a la salida sea máxima para minimizar la

Probabilidad de Error

2

2)(

2

)()()( 0

∫

∫=

dffH

dfefHfHfH

!

S

R

tjRcT

η

ω

Por otra parte a la salida tendremos una sucesión de pulsos que llamaremos la señal y(t) los cuales

corresponden a una secuencia aleatoria asociada a un pulso de salida pR(t). Estos se relacionan con los

de entrada de la siguiente forma:

Recordemos el uso de la desigualdad de Schwartz en la obtención del Receptor óptimo para el

caso de que el canal solo contamina con ruido

dffV

dffWfVdffW

fWkfVSi

dffWdffVdffWfV

2

2*

2

222*

)(

)().()(

)(.)(:

)(.)()().(

∫

∫∫

∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=

=

≤

Nuevamente debemos definir quien sería )(2

)( fHfV R

η=

Por lo tanto

)()(2

)(

)(*)(*2

)(

)(*)(*2

)(2

)()(

)(*)(*2

)(

2

)()()(*

)(*)(2

)()()(

0

0

0

0

0

fHfHkfH

efHfHkfH

efHfHkfH

fkWfV

efHfHfW

efHfHfW

fWfHefHfHfH

cTR

tjcTR

tjcTR

tjcT

tjcT

Rtj

RcT

η

η

η

η

η

η

η

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

=

=

=

=

=

−

−

−

Pero también se cumple que

)()()()( fPfHfHfH RRcT =

)(2

)(

)()(

)(

2

)(

)()(

)()(

)(

)(

2)(

)()()(2

)()(

2

2

2

2

22

22

2

2

fPk

fH

fHfH

fP

k

fP

fHfH

fPfH

fH

fP

kfH

fPfHfHkfHfH

RR

c

c

R

R

cT

RR

c

RT

RcTcT

η

η

η

η

=

==

=

=

Observe que si el canal tiene una Hc(f) mas o menos constante en la banda de la señal tanto el

filtro de transmisión como el filtro de recepción tendrán una respuesta en frecuencia cuya magnitud es

proporcional a la raíz de PR(f)

)()(

)()(

2

1

fPKfH

fPKfH

RR

RT

=

=

Por eso si se toma la decisión de que el pulso sea uno de tipo coseno alzado, a la respuesta en

frecuencia de los filtros se les llama raíz cuadrada de coseno alzado