realimentacion del estado
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Realimentación del estado
Dr. Raúl Santiesteban Cos
Culiacán, Sinaloa.
Departamento de Mecatrónica
Instituto Tecnológico de Culiacán
• Controlabilidad y observabilidad.
• Asignación de polos
• Observadores del estado
• Esquema controlador-observador
Introducción
Los conceptos de controlabilidad y observabilidad fueron
introducidos por Kalman en 1960.
Son de gran importancia en el diseños de sistemas de control
en espacio de estado.
Las condiciones de controlabilidad y observabilidad determinan
si existe una solución viable y completa al diseño de control.
)()(
)()()(
tCxty
tButAxtx
Sea el sistema lineal
descrito por las matrices (A,B,C), se dice que es controlable si
es posible construir una señal de control no restringida tal
que pueda transferir cualquier condición inicial de estado .
a cualquier otra condición en un intervalo de tiempo finito.
)(tu)0(x
)(tx
(1)
Controlabilidad
Un sistema lineal (A,B,C) es controlable si la matriz
( C matriz de controlabilidad)
es de rango (r) pleno r=n, en otras palabras, el determinante de
la matriz C es diferente de cero.
BAABB 1-nC
Nota: n es la dimensión del sistema (# de variables de estado),
mientras que el rango (r) de C es el número de vectores linealmente
independientes en C
Ejemplo 1:
Determine si el siguiente sistema es controlable
ux
x
x
x
1
0
45
55
2
1
2
1
Solución:
El sistema es de segundo orden ( ) y2n
41
50ABB C
tiene rango de 2, nr
por lo tanto el sistema es totalmente controlable
o, 0)det( C
Ejemplo 2:
Determine si el siguiente sistema es controlable
ux
x
x
x
1
0
45
05
2
1
2
1
Solución:
El sistema es de segundo orden ( ) y2n
41
00ABB C
tiene rango de 1, nr
por lo tanto el sistema es no es totalmente controlable
o, 0)det( C
Una forma alterna de verificar si un sistema es controlable, es
dibujando el diagrama de flujo de los estados y determinar si
existen caminos desde la señal de control hasta todas las
variables de estado. Si se cumple, el sistema es controlable:
Diagramas de flujo del estado de los ejemplos 1 y 2
4 5
+
-5
5 + 1x2xu 1x
2x
b) Ejemplo 2
ux
x
x
x
1
0
45
05
2
1
2
1
4 5
+
-5
1x2xu 1x2x
a) Ejemplo 1
ux
x
x
x
1
0
45
55
2
1
2
1
Existe un camino desde u hacia todas las variables de estado.
No existe un camino desde u hasta la variable .1x
Fig.1 Diagrama a bloques ejemplo 1.
Fig.2 Diagrama a bloques ejemplo 2.
• Existe un camino desde u hasta y .
• El sistema es controlable.
1x 2x
• No existe un camino desde u hasta . Pero si hacia .
• El sistema es parcialmente controlable.
• No se tiene acceso a modificar la dinámica de .
• Si la dinámica de es inestable, entonces el sistema lo es.
• Si la dinámica de fuera estable y como es posible asignar
a la dinámica deseada. El sistema se dice estabilizable.
1x
1x
1x
1x
2x
2x
En el ejemplo 1
En el ejemplo 2
descrito por las matrices (A, B,C).
• La observabilidad es la capacidad que existe en un sistema
para poder estimar sus variables de estado.
Observabilidad
Sea el sistema lineal
)()(
)()()(
tCxty
tButAxtx
(1)
dBuexetx
i
ii
t
tAAt
i )()0()(0
)(
it
La definición anterior no es restrictiva ya que si se desea
conocer el valor del estado para algún tiempo , estará dado
por
0t
)0(tx
)(tu )(ty
• Un sistema lineal (A,B,C) es Observable en el tiempo
si es posible determinar el estado inicial a partir del
conocimiento de y en un intervalo de tiempo finito.
El sistema (A,B,C) es observable si y solo si la matriz
1nCA
CA
C
O
es de rango pleno , es decir, es no singular, o su
determinante es diferente de cero.
( matriz de observabilidad)O
)( nr
Si el sistema no es totalmente observable significa que algunas
variables de estado quedan ocultas a las mediciones de .)(ty
O
Ejemplo 3:
Determine si el siguiente sistema es observable
Solución:
El sistema es de segundo orden ( ) y2n
tiene rango dos, nr
por lo tanto, el sistema es totalmente observable
2
1
2
1
2
1
11
1
0
45
05
x
xy
ux
x
x
x
40
11
CA
CO
o, 0)det( O
Ejemplo 4:
Determine si el siguiente sistema es observable
Solución:
El sistema es de segundo orden ( ) y2n
tiene rango uno, nr
por lo tanto, el sistema es no es observable (totalmente)
2
1
2
1
2
1
01
1
0
45
05
x
xy
ux
x
x
x
05
01
CA
CO
o, 0)det( O
Determine controlabilidad y observabilidad en el sistema:
3
2
1
3
2
1
3
2
1
001
2
0
0
527
463
621
x
x
xy
u
x
x
x
x
x
x
BAABB 2C
2CA
CA
C
O
91222
143849
1626472A
Solución:
Ejemplo 5:
18102
2880
32120
C
162647
621
001
O 0)(Odet el sistema es observable
det 0)(C el sistema es controlable
)()(
)()()(
tCxty
tButAxtx
Sea el sistema
Su polinomio característico es
nnnn asasasAsIsa 2
21
1)det()(
que representa cierto comportamiento dinámico.
Ahora se busca modificar el comportamiento del sistema (1)
(A,B,C) por medio de la realimentación del estado:
(1)
Realimentación del estado
)()()( tvtKxtu
][ 21 nkkkK donde es un vector fila y es una nueva entrada,
a fin de obtener un sistema de lazo cerrado con el polinomio
característico deseado.
)(tv
nnnn ssss 2
21
1)(
(2)
Esto es equivalente a modificar los polos del sistema en el
análisis por Laplace. Sustituyendo (2) en (1) se obtiene:
(3)
A
-K
B+ C+ )(tv )(tu )(tx )(tx )(ty
Fig. 3 Representación del
sistema
modificado por
realimentación del estado.
)()()()( tBvtxBKAtx
)()( tCxty
cuyo polinomio característico es
)det()( BKAsIsak (4)
La meta es que por medio del control (2)
)()()( tvtKxtu
el polinomio característico modificado (4) se iguale al polinomio
característico deseado (3):
)()( ssak
Fórmula de Ackermann
)()()( tvtKxtu nkkkK 21
El problema de realimentación del estado se reduce a la
obtención del vector de realimentación K
en sistemas lineales de una entrada y una salida. La fórmula
de Ackermann es muy útil para diseñar el vector K
(2)
1]1000[ Cmientras que es la última fila de la matriz
de controlabilidad.
por lo que:
IAAAA nnnn 2
21
1)(
)(]1000[ 1 AK C
donde es el polinomio característico deseado )(s
Fórmula de Ackermann
nnnn ssss 2
21
1)(
Diseñe un controlador por realimentación del estado que asigne
los valores propios y , al sistema.131 j 132 j
ux
x
x
x
1
0
23
11
2
1
2
1
2
101x
xy
Ejemplo 6:
Solución:
Una de las formas más sencillas de encontrar el vector de
realimentación es igualar la ecuación característica del sistema
original con realimentación del estado con la ecuación
característica de los valores propios deseados:
Hay una raíz con parte real negativa, el sistema es inestable.
Paso 0. Verificar estabilidad ( no indispensable )
0)7913.2)(7913.1(523
11
0
0det 2
Paso 1. Verificar controlabilidad
21
10ABB C
Es de rango pleno por lo tanto es
totalmente controlable
El diseño del controlador puede llevarse a cabo.
Paso 2. Obtención del vector K
Se iguala:
)()( ak
)13)(13())(det( jjBKAI
1061
0
23
11
0
0det 2
21
kk
10623
11det 2
21
kk
1065)1( 2
212
2 kkk
se igualan los coeficientes del mismo orden
612 k 10521 kk
y se obtiene el vector de realimentación ]78[K
El sistema realimentado queda:
,1
078
1
0
23
11
2
1
2
1
2
1v
x
x
x
x
x
x
2
101x
xy
donde es una referencia asignada (escalar).v
Utilizando la fórmula de ackermann, diseñe un controlador por
realimentación del estado que asigne los valores propios
, y al sistema.141 j 63
u
x
x
x
x
x
x
2
10
312
254
221
3
2
1
3
2
1
.121
3
2
1
x
x
x
y
Ejemplo 7:
Solución:
142 j
Paso 0. Verificar estabilidad ( no indispensable )
5299
312
254
221
00
00
00
det 23
los tres valores propios tienen parte real positiva, por lo tanto
el sistema es inestable.
1825.0,8202.24087.4,8202.24087.4 321 jj
Paso 1. Verificar controlabilidad
,
1052
6391
6202
BAABB C 0310)det( C
por lo tanto el sistema es totalmente controlable.
Paso 2. Obtención del vector K, utilizando la fórmula de
Ackerman
)(]1000[ 1 AK C
la inversa de la matriz de controlabilidad es
155
1
155
2
310
13155
3
155
6
155
5831
18
31
5
62
45
1C
el último renglón de 1C es
155
1
155
2
310
13]1000[ 1C
por otra parte, el polinomio característico deseado es
1026514)6)(14)(14()( 23 jj
entoncesIAAAA 1026514)( 23
468312164
624632788
16439474
)(A
)(]1000[ 1 AK C
por último, el vector K, queda:
468312164
624632788
16439474
155
1
155
2
310
13K
8452.16903.260065.6 K
Observador de estado
- De orden completo
- De orden reducido
- De orden mínimo
n estados
menos de n estados
el mínimo de estados
)()(
)()()(
tCxty
tButAxtx
Sea el sistema
(1)
)~()()(~)(~ xCyKtButxAtx e
Suponga que el estado se aproximará mediante el
estado x del modelo dinámico
(2)
x
Fig. 1 Representación del sistema modificado usando un
observador de estado de orden completo.
A
B C+
)(tu )(tx )(tx )(ty
A
Ke
B C+
)(~ tx )(~ ty
+
-
+
la ecuación de error del observador está dada por
)~()(~)(~ xCCxKtxAAxtxx e
)~)(( xxCKA e
(3)
(4)
Se define la variable de error como
)~( xxe
Donde la dinámica de error esta dada por
eCKAe e )(
(5)
(6)
El problema de diseñar un observador de orden completo
se convierte en determinar la matriz de ganancias del
observador Ke, tal que la dinámica de error definida
mediante la ecuación (6) sea asintóticamente estable con
una velocidad de respuesta suficiente.
Por tanto, aquí el problema se convierte en el mismo que
en el caso de ubicación de polos analizado anteriormente.
Problema Dual
Cxty
BuAxtx
)(
)(
zBt
uCzAtz
*
**
)(
)(
La meta es utilizar un control del tipo
Kzv
La matriz de ganancias de realimentación del estado K se
determina de tal modo que la matriz produzca un
conjunto de los valores característicos deseados.
*** KCA
(8)
(7)
)(]1000[ 1 AK CFórmula de Ackermann para
el problema de retroalimentación
Fórmula de Ackermann
)(]1000[ *1 AKe OFórmula de Ackermann para
el problema observación
(9)
(10)
])(|||[ *1****1 CACAC n O
1
0
0
0
)(
1
0
0
0
)(
1
1
2
1
2
**
n
n
n
n
e
CA
CA
CA
C
A
CA
CA
CA
C
AKK
1]1000[ Cmientras que es la última fila de la matriz
de controlabilidad.
donde es el polinomio característico deseado )(s
nnnn ssss 2
21
1)(
Diseñe un observador de estado de orden completo que asigne
los valores propios y , al sistema.131 j 132 j
ux
x
x
x
1
0
23
11
2
1
2
1
2
101x
xy
Ejemplo 8:
Solución:
Una de las formas más sencillas de encontrar el vector de
observación es igualar la ecuación característica del sistema
original con el observador de estado con la ecuación
característica de los valores propios deseados:
Paso 1. Verificar observabilidad
11
01
AC
C O ¿rango pleno?...por lo tanto es…
El diseño del observador puede llevarse a cabo.
Paso 2. Obtención del vector Ke
Se iguala:
)()( eak
)13)(13())(det( jjCKAI e
1060123
11
0
0det 2
2
1
e
e
K
K
10623
11det 2
2
1
e
e
k
k
106)52()1( 2
121
2 eee kkk
se igualan los coeficientes del mismo orden
611 ek 1052 21 ee kk
y se obtiene el vector de realimentación
29
7eK
La ecuación para el observador de orden completo
yux
x
x
x
29
7
1
0~
~
23
11
~
~
2
1
2
1
Utilizando la fórmula de Ackermann, diseñe un observador de
estado que asigne los valores propios ,
y al sistema.
141 j
63
u
x
x
x
x
x
x
2
10
312
254
221
3
2
1
3
2
1
.121
3
2
1
x
x
x
y
Ejemplo 7:
142 j
Paso 1. Verificar observabilidad
0250)det( O
por lo tanto el sistema es …
Solución:
412849
397
121
2CA
AC
C
O
Paso 2. Obtención del vector K, utilizando la fórmula de
Ackerman
1
0
0
)(
1
CA
AC
C
1-n
AKe
la matriz inversa de observabilidad es
50
1
25
7
50
4925
1
25
9
25
1450
3
25
11
50
57
1O
50
1
25
1
50
3
1
0
01O
por otra parte, el polinomio característico deseado es
)6)(14)(14()( jj
1026514 23
entonces
IAAAA 1026514)( 23
468312164
624632788
16439474
)(A
por último, el vector K, queda:
50
1
25
1
50
3
468312164
624632788
16439474
K
25
324
25
238
25
423
K
1
0
0
)(
1
CA
AC
C
1-n
AKe