realimentacion de estado

Realimentación de Estados MIMO Observadores MIMO

Tema 7: Realimentación de Estados yObservadores (Parte VI)

Virginia Mazzone

ContenidosRealimentación de Estados MIMO

Diseño CanónicoDiseño Cíclico

Observadores MIMO

Virginia Mazzone: Tema 7: Realimentación de Estados y Observadores (Parte VI)


Realimentación de estados — caso MIMOSi el sistema considerado

x = Ax + Bu

y = Cx(1)

tiene p entradas, la ganancia de realimentación de estados Ken u = −Kx tiene p × n elementos; es decir, hay un “exceso”de grados de libertad, ya que en principio sólo necesitamos nganancias para asignar n autovalores a lazo cerrado delsistema.En el caso de una sola entrada, existe una única solución Kpara una dada configuración de autovalores a lazo cerradoelegida. En el caso multi-entrada la ganancia K que da losautovalores a lazo cerrado elegidos no es única ¿Cuál elegirentonces?



Existen varias formas de atacar el problema de elección de Ken el caso multi-entrada, entre ellas:

1. Diseño canónico. Extiende la fórmula de Bass-Gurausando la forma canónica multi-entrada del controlador.

2. Diseño cíclico. Reduce el problema a uno de una entrada yaplica las técnicas conocidas.

3. Diseño vía ecuación de Sylvester. Extiende el método dela ecuación de Sylvester a multi-entrada.

4. Diseño óptimo. Calcula la matriz K en forma óptima.Desarrollaremos los tres primeros. El diseño óptimo, que esuna forma sistemática de utilizar todos los grados de libertaddisponibles, lo trataremos en el capítulo siguiente.



Antes de entrar en los métodos de diseño, vale remarcar quelos resultados de controlabilidad y asignabilidad de autovaloresse extienden al caso multivariable. Los resumimos en lossiguiente teoremas; las pruebas siguen de cerca el caso SISOy no las repetimos.

Teorema (Controlabilidad y realimentación — MIMO)El par (A− BK,B), para cualquier matriz real p × n K, escontrolable si y sólo si (A,B) es controlable.

Teorema (Asignabilidad de autovalores — MIMO)Todos los autovalores de (A− BK) pueden asignarsearbitrariamente (siempre y cuando los autovalores complejosconjugados se asignen en pares) eligiendo la matriz constantereal K si y sólo si (A,B) es controlable.



Diseño Canónico

Diseño CanónicoEste diseño extiende a MIMO el procedimiento que seguimospara derivar la fórmula de Bass-Gura en SISO. La derivaciónes complicada, pero como realmente muestra la esencia de larealimentación de estados, lo presentamos para un ejemplo.La idea es llevar al sistema a la forma canónica multientradadel controlador. Supongamos que tenemos un sistema deorden 6, 2 entradas y 2 salidas, es decir, A ∈ R6×6, B ∈ R6×2, yC ∈ R2×6.Primero buscamos columnas linealmente independientes en

C = [B,AB, . . . , A5B]

en orden de izquierda a derecha. Supongamos que los índicesde controlabilidad son µ1 = 4 y µ2 = 2.



Diseño Canónico

Entonces existe una matriz no singular P tal que el cambio decoordenadas x = Px transformará el sistema a la formacanónica multi-entrada del controlador

˙x =

0 1 0 0... 0 0

0 0 1 0... 0 0

0 0 0 1... 0 0

−α111 −α112 −α113 −α114

... −α121 −α122

· · · · · · · · · · · ·... · · · · · ·

0 0 0 0... 0 1

−α211 −α212 −α213 −α214

... −α221 −α222

x +

0 0

0 0

0 0

1 b12

· · · · · ·0 0

0 1

u

y =

[β111 β112 β113 β114 β121 β122

β211 β212 β213 β214 β221 β222

]x



Diseño Canónico

Ahora, de cualquier conjunto de 6 autovalores deseadospodemos formar el polinomio

∆K(s) = (s4 +α111s3 +α112s

2 +α113s+α114)(s2 +α221s+α222).

Eligiendo K comoK =

[1 b120 1

]−1 [ α111−α111 α112−α112 α113−α113 α114−α114 −α121 −α122α211−α211 α212−α212 α213−α213 α214−α214 α221−α221 α222−α222

]se puede verificar fácilmente que

A− BK =

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

−α111 −α112 −α113 −α114

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

−α211 −α212 −α213 −α214

0 1

−α221 −α222



Diseño Canónico

Como (A− BK) es triangular en bloques, para cualesquieraα21i , i = 1, 2, 3, 4, su polinomio característico es igual alproducto de los polinomios característicos de los bloquesdiagonales de órdenes 4 y 2. Como estos bloques están enforma companion, el polinomio característico de (A− BK) esigual al deseado. Finalmente K = KP ubica los autovalores deA− BK en las posiciones deseadas.

EjemploConsideremos el sistema de dos entradas p = 2

x =

2 −11 12 31

−3 13 −11 −33

4 −25 14 51

−3 16 −11 −36

x +

−1 −4

1 6

−1 −11

1 7

uAsignar autovalores desados en {−5,−5,−3± 3j}



Diseño Canónico

C =

−1 −4 6 11 −12 −27 16 73

1 6 −6 −20 14 59 −24 −175

−1 −11 8 37 −20 −111 36 331

1 7 −6 −23 14 68 −24 −202

rg(C) = 4

Cuyos índices de controlabilidad son µ1 = 2 y µ2 = 2.



Diseño Cíclico

Diseño CíclicoEn este método transformamos el problema multi-entrada enuno de una entrada y después aplicamos los métodos deasignación de autovalores del caso SISO.Definición (Matriz Cíclica)Una matriz A se dice cíclica si su polinomio característico esigual a su polinomio mínimo.

I Toda matriz A satisface su polinomio característico∆(λ) = det(λI − A) = 0.

I El polinomio mínimo de una matriz A es el polinomio demínimo orden Ψ(λ) para el que Ψ(A) = 0.

I El polinomio mínimo de una matriz A es igual alcaracterístico si y sólo si hay un y sólo un bloque deJordan asociado a cada autovalor distinto de A.



Diseño Cíclico

Ejemplo:

A1 =

λ1 0 0 0

0 λ2 1 0

0 0 λ2 1

0 0 0 λ2

A2 =

λ1 0 0 0

0 λ2 1 0

0 0 λ2 0

0 0 0 λ2

La matriz A1 es cíclica: λ1 tiene sólo un bloque de Jordan deorden 1 y λ2 sólo uno de orden 3.La matriz A2 no es cíclica: λ1 tiene un bloque de Jordan deorden 1 pero λ2 tiene dos, uno de orden 2 y uno de orden 1.



Diseño Cíclico

Teorema (Controlabilidad con p entradas⇒controlabilidad con 1 entrada)Si el sistema de orden n con p entradas (A,B) es controlable ysi A es cíclica, entonces para casi cualquier vector p × 1 V , elsistema de 1 entrada (A,BV ) es controlable.

Como la controlabilidad es invariante bajo transformación decoordenadas, asumimos A en forma de Jordan. Para ver laidea básica consideremos el ejemplo siguiente:

A =

2 1 0 0 0

0 2 1 0 0

0 0 2 0 0

0 0 0 −1 1

0 0 0 0 −1

B =

0 1

0 0

1 2

4 3

1 0

BV = B

[v1

v2

]=

∗∗α

∗β

.(2)



Diseño Cíclico

Hay sólo un bloque de Jordan asociado a cada autovalor; porlo tanto A es cíclica. La condición para que (A,B) seacontrolable en estas coordenadas es que la tercera y última filade B sean distintas de cero.Las condiciones necesarias y suficientes para que el par deuna entrada (A,BV ) sea controlable son α 6= y β 6= 0 en (2).Como

α = v1 + 2v2, y β = v1

entonces α o β es cero si y sólo si v1 = 0 o v1/v2 = −2. Así,cualquier V que no tenga v1 = 0 o v1 = −2v2 va a hacer(A,BV ) controlable.



Diseño Cíclico

1

v2

v12

1

2

v1 = 0

v1 = −2v2

El vector V ∈ R2 puede asumir cual-quier valor en R2 que no esté en launión de las dos líneas mostradas enla Figura. La probabilidad de que unV elegido aleatoriamente caiga so-bre estas líneas es nula, y por lo tan-to, para casi todo V el par (A,BV )

será controlable.

La condición de que A sea cíclica es esencial. Por ejemplo, elpar

A =[

2 1 00 2 00 0 2

]B =

[2 10 21 0

]es controlable, puesto que las filas 2 y 3 de B son linealmenteindependientes. Sin embargo, no hay ningún V tal que (A,BV )

sea controlable (dos bloques de Jordan asociados al mismoautovalor y una sola entrada).



Diseño Cíclico

Si todos los autovalores de A son distintos, entonces hay sóloun bloque de Jordan asociado a cada uno, y por lo tanto lamatriz es cíclica.

Teorema (Cíclica por realimentación)Si (A,B) es controlable, entonces para casi toda matriz p × nreal constante K, la matriz (A−BK) tiene autovalores distintosy, por lo tanto, es cíclica.No es difícil ver que la probabilidad de que, eligiendo K al azar,los autovalores de A y (A− BK) coincidan es nula. Esteresultado, junto con el anterior, nos da el procedimiento paraasignar los autovalores de (A− BK) en los lugares deseados.



Diseño Cíclico

Procedimiento de asignación de autovalores por diseño cí-clico

1. Si A no es cíclica, introducir u = w −K1x tal queA , A− BK1 sea cíclica. Como (A,B) es controlable,también lo es (A, B).

2. Elegir una V ∈ Rp×1 tal que (A, BV ) sea controlable.3. Introducir w = r − V K2x , donde K2 ∈ R1×n sea tal que los

autovalores de A− BV K2 sean los deseados.4. La realimentación final es u = r − (K1 + V K2)x .



Diseño Cíclico

En MATLAB, partiendo de matrices A,B y autovalores a lazocerrado deseados en el vector P:> (n,p) = size(B);» K1 = rand(p,n);» V = rand(p,1);» K2 = place(A-B*K1,BV,P);» K = K1 + V*K2;

− −B

A

C∫u yxxr

K1

V K2



Observadores de estado- Caso multivariableTodo lo que discutimos sobre observadores en el caso SISOvale para el caso MIMO; para el sistema de n estados, pentradas y q salidas

x = Ax + Bu

y = Cx

el problema de observación consiste en usar la entrada u y lasalida medida y para obtener una estima asintótica x delestado del sistema x . Como en el caso SISO, el observadorestá dado por las ecuaciones

˙x = (A− LC)x + Bu + Ly.

Este es un observador de orden completo.



Definiendo el error de estimación como en el caso SISO,

x(t) , x(t)− x(t),

llegamos a que la dinámica del error está dada por

˙x = (A− LC)x .

Si el par (A,C) es observable, entonces los autovalores de(A− LC) pueden asignarse arbitrariamente por medio de unaelección adecuada de L. Así, la velocidad de convergencia dela estima x al estado actual x puede hacerse tan rápida comose quiera.Los mismos métodos vistos para calcular K y asignar losautovalores de A− BK pueden usarse para calcular L yasignar los autovalores de A− LC.


realimentacion de estado

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