razón, porporción y porcentaje

5/9/2018 Raz n, Porporci n y Porcentaje - slidepdf.com

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Matemática I

Razones,Proporciones,Porcentajes e InterésContenidos, Ejercicios aplicados en pruebas, Talleres

de Aprendizaje en Matemática.

CIENCIAS BÁSICASINACAP Renca



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MÓDULO II: RAZONES, PROPORCIONES YPORCENTAJES

Aprendizajes Esperados

Se espera que ustedes al final de esta unidad aprendan a:

Resolver ejercicios y problemas de magnitudes proporcionales.Aplicar cálculo de porcentajes para plantear y resolver problemas.Calcular por medio de fórmulas el interés simple y compuesto.

Razones

Comparación de dos cantidades

Comparación por diferencia

Supongamos que Usted es un trabajador de una empresa de telecomunicaciones. Por su trabajo se leremunera mensualmente la suma de $270.000. Un compañero de trabajo recibe un sueldo de $360.000 por sulabor en la empresa. Si comparamos ambos sueldos por diferencia, entonces podemos considerar que:

Sueldo De Su Compañero – Sueldo Suyo = $360.000 – $270.000 = $90.000

Lo que se interpreta de la siguiente manera: “Su compañero gana $90.000 más que Usted” , o “Usted gana$90.000 menos que su compañero” .

Comparación por Cuociente

Consideremos el mismo ejemplo anterior. Si comparamos ambos sueldos POR CUOCIENTE, y siSC Sueldo De Su Compañero

SS Sueldo Suyo

Tenemos: SC $360.000 36 4

SS $270.000 27 3

Lo que se interpreta de la siguiente manera: “ Por c ada 4 pesos que gana su compañero, Usted gana 3”, o “Por cada 3 pesos que gana Usted, su Compañero gana 4” .

A esa comparación por cuociente se le llama RAZÓN. Una Razón es una expresión de la forma a : b1, donde a

es llamado antecedente, y b es llamado consecuente. Al igual que en las fracciones, el consecuente no puedeser igual a cero. Al resultado de dividir el antecedente y el consecuente, se le llama valor de la razón.

Ejemplo: Se reparte una herencia entre tres hermanos a razón de sus edades. Si el monto a repartir es de

$91.800.000, y los hermanos tienen 19, 17 y 15 años, ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Si la repartición es a razón de sus edades, debemos considerar entonces que la razón para la división es19:17:15 . Esto significa que EL TOTAL DE LA HERENCIA se dividirá en 51 partes, de las cuales 19 serán delhermano mayor, 17 del siguiente y 15 del menor:

$91.800.00019 17 15 51 $1.800.000

51

Esto implica que cada parte tendrá un valor de $1.800.000, lo que se traduce en la siguiente distribución:

$1.800.000 15 $27.000.000

$1.800.000 17 $30.600.000$1.800.000 19 $34.200.000

Lo que corresponde al dinero de la herencia que recibirá cada hermano.

Proporciones

Definición: Una proporción corresponde a la igualdad de dos razones. La expresióna c

b d corresponde a una

proporción donde b d 0 . a y d son llamados extremos de la Proporción, en cambio b y c son llamadosmedios de la Proporción2.

1 Recordemos que la expresióna

a : bb

.



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COMO UNA PROPORCIÓN ES UNA IGUALDAD DE DOS RAZONES, PODEMOS DECIR QUE“EL PRODUCTO DE LOS MEDIOS ES EXACTAMENTE IGUAL AL PRODUCTO DE LOS EXTREMOS”.

Esta Propiedad es conocida como Teorema Fundamental de las Proporciones.

Operaciones con Proporciones

Existen operaciones interesantes que podemos realizar con las Proporciones. Consideremos la Proporcióna c

b d , con a,b,c,d 0 , entonces podemos:

INVERTIR

b d

a c

PERMUTAR

c a

d b

ALTERNAR MEDIOS

a b

c d

ALTERNAR EXTREMOS

d c

b a

DESCOMPONER

a b c d

b d

COMPONER

a b c d

b d

COMPONER Y DESCOMPONER A LA VEZ

a b c d

a b c d

DESCOMPONER Y COMPONER A LA VEZ

a b c d

a b c d

PROPORCIONES SUCESIVAS

Sia b c d n

... pa' b' c ' d' n'

, entonces se cumple que

a b c d ... np

a ' b ' c ' d' ... n'

Tipos de Proporciones

Proporción Continua: Es aquella donde los extremos o los medios son iguales.Ejemplos:

Medios Iguales:3 6

6 12 , que es equivalente a escribir 3 : 6 6 :12 .

Extremos Iguales:18 36

9 18 , que es equivalente a escribir 18 : 9 36 :18 .

Proporción Discontinua: Es aquella que tiene todos sus términos distintos.Ejemplo:

7 215 15

, que es equivalente a escribir 7 :5 21:15 .

Una de las ventajas de conocer los conceptos de razones y proporciones es que existe una infinidad desituaciones, reales, cotidianas, laborales e incluso matemáticas en las cuales podemos aplicarlos. Respecto alas proporciones, conocer y dominar su manejo y uso es muy importante en problemas de física, matemática,etc. A continuación, los conceptos más utilizados, referidos a los casos más frecuentes:

2 Es más sencillo entender y reconocer que a y d son extremos y que b y c son medios, si consideramos la

proporcióna c

b d de la forma a: b c : d .



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Proporción Directa o Magnitudes Directamente Proporcionales.

Dos magnitudes son Directamente Proporcionales si ambas varían en el mismo sentido. El cuociente de lasmagnitudes es siempre constante.

Ejemplos:

Distancia Recorrida y Velocidad. Si la velocidad AUMENTA, la distancia recorrida también AUMENTA.En cambio, si la Velocidad DISMINUYE, la distancia recorrida será MENOR.

Cantidad de Artículos y su Costo. Si la cantidad de artículos a comprar AUMENTA, el costo será MAYOR. Caso contrario si disminuye, el costo será MENOR.

Resolución de problemas que implican el uso de Proporción Directa.

Ejemplo: Una tienda de artículos deportivos vende 10 balones de Basketball en $7.000. Si un individuo desea comprar 35 balones de Basketball, ¿Cuál es el precio que debería pagar?

Planteamos el problema de la manera siguiente:

10 balones de Basketball $7.00035 balones de Basketball $X

Como se indica en la definición, el cuociente de las magnitudes es constante, entonces10 7.000

35 x . De

acuerdo al Teorema Fundamental de las Proporciones, tenemos que 10 x 35 7.000 . En consecuencia35 7.000

x $24.50010

.

Es decir, EL VALOR DE LOS 35 BALONES DEBE SER APROXIMADAMENTE DE $24.500.

Proporción Inversa o Magnitudes Inversamente Proporcionales.

Dos magnitudes son Inversamente Proporcionales cuando varían en distinto sentido. El producto de lasmagnitudes es siempre constante.

Ejemplos:

Mano de Obra y Días Trabajados: Si la cantidad de Obreros AUMENTA, la cantidad de días para realizar una obra DISMINUYE. Caso contrario si la cantidad de Obreros DISMINUYE, la cantidad de días de trabajo será MAYOR.

Velocidad de un móvil y tiempo. Si la velocidad de un móvil AUMENTA, el tiempo en llegar a su destino

será MENOR. En cambio, si la velocidad DISMINUYE, el tiempo AUMENTARÁ.

Resolución de problemas que implican el uso de Proporción Inversa.

Ejemplo: Doce trabajadores deben terminar una obra en 30 días. Si la cantidad de trabajadores aumenta en 6, ¿Cuántos días demorarán en terminar la obra?

Planteamos el ejercicio de la siguiente manera:

12 Trabajadores 30 días

18 Trabajadores X días

Como se indica en la definición, el producto de las magnitudes es constante, entonces18 30

12 x . De acuerdo al

Teorema Fundamental de las Proporciones, tenemos que 18 x 12 30 . En consecuencia,12 30

x 2018

días.

Es decir, LOS 18 TRABAJADORES DEMORARÁN 20 DÍAS EN TERMINAR LA OBRA.



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Proporcionalidad Compuesta

Un problema de Proporcionalidad Compuesta es aquel donde se ven implicadas más de dos variables. Pararesolverlos, debemos comparar la razón de la incógnita con las demás por separado, y determinar si formanuna Proporción Directa o Inversa. Luego, igualamos la razón de la incógnita al producto de las demás,

manteniendo las directas, e invirtiendo las inversas3

.

Ejemplo: Con 6 lotes de 25 baldosas cada uno, podemos cubrir una superficie de 75 m 2 . ¿Cuántos lotes de 20 baldosas del mismo tipo serán necesarios para cubrir una superficie de 100 m 2 ?

Planteamos el problema de la siguiente manera:

6 lotes de baldosas 25 baldosas 75 m2 x lotes de baldosas 20 baldosas 100m2

Determinamos que tipo de proporción cumple la razón de la incógnita con la que sigue. Para cubrir el mismoespacio, si los lotes son de menos baldosas, necesitaremos más lotes, entonces representa una proporción

inversa.

INVERSA


Determinamos que tipo de proporción cumple la razón de la incógnita con la final. Considerando que la cantidadde baldosas por lote es la misma, necesitamos más lotes para cubrir un espacio más grande, por lo tanto, estaproporción es directa.


DIRECTA

Por lo tanto, la proporción compuesta queda expresada de la siguiente manera:

6 20 75 1 3 3 6 3x 10

x 25 100 1 5 5 x 5

Entonces, NECESITAREMOS 10 LOTES DE 20 BALDOSAS CADA UNO PARA PODER CUBRIR LOS 100M2.

3 Es importante considerar que, como en muchos procedimientos matemáticos, ésta es una de muchasmaneras de resolver un problema de Proporción Compuesta.



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Porcentajes

Definición: Es un caso particular de Proporción Directa. Representa un valor que expresa alguna parte de untotal reducida al consecuente estándar 100. El total de una cantidad, expresada en porcentaje, corresponde al100%, ya que significa que de 100 partes que se pueda dividir el entero, consideramos las 100.

Ejemplos:

Por cada $100 el Banco de Chile nos da $9 de interés en el año, es decir el Banco nos da un 9% de interés anual. De cada 100 días en el año, en Puerto Montt llueve 73, es decir, en Puerto Montt llueve 73% de los días

del año.

Considerando los ejemplos anteriores, podemos analizar y resolver los siguientes ejercicios:

1. Si deposito $50.000 al mes en el Banco de Chile, y éste me entrega un 9% de interés anual, ¿Cuánto dinero tendré al finalizar el año?

Si depositamos $50.000 al mes, al año depositaríamos la cantidad de $600.000. Por lo tanto, debemos determinar qué porcentaje corresponde al 9% y añadírselo a la cantidad del depósito. Entonces:

$600.000

100% $x 9%

Al resolver como Proporción Directa, obtenemos como resultado que x = $54.000, que corresponde al 9% de $600.000, y si sumamos a la cantidad inicial del depósito, tendremos la cantidad de $654.000,que corresponde al dinero que tendremos al finalizar el año.

2. Determine la cantidad de días al año (no bisiesto) que llueve en Puerto Montt, considerando que llueve el 73% del año.

Planteamos el problema de la siguiente manera:

365 días 100% del año

x días

73% del año Aplicando Proporción Directa, obtenemos como resultado x = 266,45 días, que corresponde aproximadamente a 266 días de lluvia en el año.

Nota: Si consideramos que 75% de una cantidad significa que de cada 100 partes tomamos 75, y lo asociamos

a las fracciones tenemos que75

75% 0,75100

, lo que corresponde al porcentaje expresado en su forma

decimal, número que podemos aplicar al cálculo de un porcentaje simple.

Ejemplo: Determine el 40% de 150.

Sabemos que 4040% 0,4100

, por lo tanto 0,4 150 60 , que corresponde al 40% de 150.

La palabra Porcentaje indica que se está usando como base el 100 para expresar un total, es decir 100%corresponde a tomar 100 partes de un total de 100. De la misma forma, existe el TANTO POR UNO, que usacomo base el 1 para expresar el total. En la siguiente escala se hace un paralelo de ambas situaciones:

TANTO POR CIENTO100

100%100

80

80%100

60

60%100

40

40%100

20

20%100

TANTO POR UNO 1 0,8 0,6 0,4 0,2

El TANTO POR UNO, es útil para problemas donde se requiere el cálculo de un porcentaje de una cantidad

dada.



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Interés Simple

Definición: El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia,el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo.Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés escalculado sobre la misma base.Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interéspor unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior.Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año).Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados opagados. El interés simple, NO capitaliza.

INTERÉS SIMPLE: f iC C 1 i n , siendo

f C Capital final

iC Capital iniciali Interés anualn Número de años

Interés Compuesto

Definición: El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicacióndel interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo.Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en períodosanteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital.Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con susintereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto.El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La frecuenciade capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, poracumulación.

Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto:

1. El capital original (P, Ci o VA)2. La tasa de interés por período (i)3. El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n).

INTERÉS COMPUESTO: n

f iC C 1 i , siendo

f C Capital final

iC Capital iniciali Interés anualn Número de años

A CONTINUACIÓN, TE ENCONTRARÁS CON UN LISTADO DE 50 EJERCICIOS CONSTRUÍDOS PORDOCENTES DE LA SEDE RENCA INACAP, EN EVALUACIONES DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICA I. TERECOMENDAMOS QUE LOS DESARROLLES, PARA QUE LOGRES UN CORRECTO APRENDIZAJE YAPLICACIÓN DE LOS CONTENIDOS VISTOS CON TU PROFESOR.

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1. El término desconocido en la proporción4

x5 =10 25

es:

a. 12

b. b) 2

c.100

d. 200

2. El término desconocido en la proporción 2 3 4

x 3es:

a. 92

b. 3

c. 32

d. 1

2

3. El término desconocido en la proporción X : 6 = 0,4 es:

a. 0,24b. 2,4c. 24 d. 240

4. En la fórmulad

Vt

, V = Velocidad, d = distancia y t = tiempo. De acuerdo a ello podemos afirmar que:

a. V es directamente proporcional a t

b. d es inversamente proporcional a t

c. V es inversamente proporcional a d

d. t es directamente proporcional a d

5. El camino recorrido por un vehículo a rapidez constante, comparada con el tiempo que tarda en llegar a sudestino, corresponde a un caso de proporción:

a. Directa

b. Inversa c. Conjunta

d. Compuesta

6. En la siguiente tabla de datosse presenta una relación de proporcionalidad entre las magnitudes G y H.Entonces es posible asegurar que:

Magnitud G Magnitud H2 804 408 2010 16

a. La magnitud G es directamente proporcional a H. b. La constante de proporción es 0,02

c. La magnitud G es inversamente proporcional a H

d. La razón entre ellas es constante

7. En la relaciónQ R

PS T

la variable R está relacionada en forma inversa con:

a. P b. Q c. S y T

d. Q y P



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8. En el artículo 63°del decreto N°594, titulo IV dice : Cuando los lugares de trabajo se encuentran a una alturasuperior a 1.000 metros sobre el nivel del mar, los límites permisibles absolutos de exposición a tóxicos,ponderados y temporales expresados en mg/m3 y en fibras/cc, establecidos en los artículos 61 y 66 delpresente reglamento, se deberán multiplicar por el factor '' aF '' que resulta de la aplicación de la fórmula

siguiente, en que ''P'' será la presión atmosférica local medida en milímetros de mercurio:a

PF

760

Con la representación del factor “ aF ” en función de la presión atmosférica P, podemos decir que:

a. La presión P es constante

b. La presión P es inversamente proporcional al factor aF

c. El factor aF es directamente proporcional a la presión P

d. La constante de proporcionalidad entrea

P760

F

9. Los radios de dos poleas están en razón 2 : 5 . Si la polea menor tiene diámetro 5,5metros , entonces eldiámetro de la mayor, es :

a. 1,375

b. 3,928c. 13,75d. 27,5

10. Dos personas se reparten $20.000 en la razón 3 : 7 . La parte menor es:

a. $6.000b. $3.000c. $2.751d. $2.000

11. En una clase de matemática I hay 28 alumnos en total. Si la razón entre mujeres y hombres es de 4 : 3 , lacantidad de mujeres es de:

a. 12b. 14c. 16d. 21

12. Tres resistencias conectadas en serie producen una resistencia total de 170 , si las resistencias estánen la razón de 2:5:10, ¿cuál es el valor de la resistencia total si las resistencias se conectan en paralelo?

1 2 3

1 1 1 1Obs: resistencia total en paralelo

R R R R

a. 10 b. 12,5 c. 15 d. 50

13. En una carrera clandestina Anacleto Ferrari en 1,5 minutos recorrió 2700 metros. Los kilómetros querecorrió en 9 minutos fue de:

a. 16.200 kilómetros b. 450 kilómetros c. 16,2 kilómetros d. 4,5 kilómetros

14. En el Gran Premio de Francia, la escudaría Toro Rosso, en la vuelta 31, cambió los cuatro neumáticos en9,5 segundos, pero producto de un accidente perdieron a dos de sus doce operarios. Así, en la vuelta 72, eltiempo aproximado que utilizaron los restantes operarios en cambiar la misma cantidad de neumáticos fue de:

a. 7,92 segundos

b. 9,5 segundos

c. 11,4 segundos

d. 12,63 segundos



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15. Ocho obreros hacen una obra en 12 días. ¿Cuantos obreros se necesitan para pintar la misma obra en tresdías?

a. 32 b. 24

c. 16 d. 2

16. En una demolición trabajan 5 camiones y demoran tres días en retirar los escombros. Si la cantidad dematerias aumenta al doble, ¿cuántos días demorarán, aproximadamente, 6 camiones en retirarlo?

a. 2 b. 5 c. 7 d. 10

17. Para hacer un alumbrado en un condominio industrial se necesitan 388 postes a 1,50 metros de distancia.¿Cuántos postes se necesitan si se colocan a 2 metros de distancia uno del otro?:

a. 291 postes

b. 350 postes

c. 517 postes

d. 518 postes

18. Los inspectores de control de calidad de una fábrica rechazan 35 piezas imperfectas, esto representa el19

parte de la producción diaria ¿Cuántas piezas se producen en la fábrica diariamente?

a. 31 piezas

b. 35 piezas

c. 280 piezas

d. 315 piezas

19. En el decreto supremo N°594, Titulo I, articulo 14 estable que: “Todo lugar de trabajo que tenga un sistemapropio de abastecimiento, cuyo proyecto deberá contar con la aprobación previa de la autoridad sanitaria,deberá mantener una dotación mínima de 100 litros de agua por persona y por día, la que deberá cumplir conlos requisitos establecidos en el artículo 13° del presente reglamento”. Si en un lugar hay 27 personas. Ladotación de agua necesaria para 10 días es:

a. 270 litros b. 2.700 litros c. 27.000 litros d. 270.000 litros

20. Un automóvil puede recorrer 93 Km con 12 litros de gasolina. ¿Qué distancia recorrerá con 20 litros?

a. 2,58 Km.b. 6,2 Km.c. 55,8 Km.d. 155 Km.

21. Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 60 horas. ¿Cuántas horas emplearán 42 telares iguales enproducir la misma cantidad de tela?

a. 3,5 horasb. 35,71 horasc. 50,4 horasd. 100,8 horas



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22. Doce mecánicos de similares características remodelan diez vehículos en seis días trabajando cinco horasdiarias. Si por motivos administrativos despiden a tres de ellos, y los demás deben realizar el mismo trabajo encinco días. Entonces las horas diarias que deben trabajar es de:

a. 8 horas/día

b. 5,7horas/día

c. 4,5horas/días

d. 3,13horas/días

23. Para azulejar una pared de 15 m 2 de superficie, fueron necesarios 300 azulejos. ¿Cuántos azulejos, deigual tamaño, se necesitan para cubrir una pared rectangular de 8m de largo por 3 m de ancho?

a. 1.200 azulejosb. 480 azulejosc. 187,5 azulejosd. 120 azulejos

24. Cuarenta obreros pintan un edificio en 10 días. ¿Cuántos obreros serían necesarios para realizar el mismotrabajo en 8 días?

a. 20 obrerosb. 32 obrerosc. 50 obrerosd. 80 obreros

25. El agua de mar contiene 2,5 gr. de sal por cada 100 gr. de agua. ¿Cuántos gramos de sal hay en 5 Kg. deagua de mar?

a. 125 gramos

b. 12,5 gramosc. 0,125 gramosd. 0,05 gramos

26. La rapidez de un automóvil es de 70 Km/hr y demora 5 horas en recorrer una cierta distancia. ¿Cuántashoras demorará, en recorrer la misma distancia, otro automóvil con una rapidez de 80 Km/hr?

a. 4,375 horasb. 5,714 horasc. 57,14 horasd. 112 horas

27. En una demolición trabajan 5 camiones y demoran tres días en retirar los escombros. Si la cantidad dematerias aumenta al doble, ¿cuántos días demorarán, aproximadamente, 6 camiones en retirarlo?

a. 2b. 5c. 7d. 10

28. Nueve obreros pintan una pared en dos horas. Si un día se ausentan cuatro obreros, el númeroaproximado de horas que se demoran en pintar una pared igual a la anterior es:

a. 1b. 3c. 4d. 3,6

29. En una residencia con 40 estudiantes, se gasta en promedio $25.000 en una semana. Si llegaron 5 nuevosestudiante a la residencia, ¿Cuánto dinero se gastará en una semana?

a. $ 25.000b. $ 28.125c. $ 30.000d. $ 35.000



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30. Pedro Mc Claren a una velocidad de 105 km/hr recorre 420 kilómetros en 8,5 horas. Si la velocidadaumenta en 15 km/hr, entonces el tiempo aproximado en que recorrió la misma distancia fue de:

a. 10,06 horasb. 9,71 horasc. 7,7 horasd. 7,44 horas

31. Una persona recorre 48 km. caminando 4 horas diarias durante 6 días. ¿Cuántas horas diarias tendría queandar para recorrer 140 km. en 14 días?

a. 3,2 horas/día

b. 5 horas/día

c. 8 horas/días

d. 14horas/días

32. En una pequeña industria eléctrica trabajan 3 personas en una jornada de 6 horas diarias y producen 50artículos. Una empresa exportadora requiere de una producción diaria de 100 artículos, por lo cual han

aumentado su jornada de trabajo a 8 horas, determina el número de personas que se requieren:a. 10 personasb. 8 personasc. 5 personasd. 4 personas

33. Cuatro analistas producen, en 10 días, 320 experimentos con cierto elemento. ¿Cuánto experimentos conlos mismos elementos harán 10 analistas en 16 días?

a. 80b. 1.280c. 3.200d. 10.240

34. En una residencia con 30 estudiantes, se gastan $180.000 en 25 días. ¿Cuánto gastarían 42 estudiantesen 34 días, viviendo en idénticas condiciones?

a. $342.720b. $185.294,12c. $174.857,14d. $94.537,82

35. Veinte mecánicos experimentados restauran 12 vehículos en 18 días. ¿Cuántos mecánicos será necesariocontratar para restaurar 24 vehículos en 34 días?

a. 76b. 21c. 19d. 5

36. Veinticuatro trabajadores hacen una obra en dos meses y veinte días, trabajando nueve horas al día. ¿Enqué tiempo habrían concluido esta obra treinta y seis trabajadores, trabajando en las mismas condiciones diezhoras diarias?

a. 48b. 60c. 108d. 133

37. En una industria de artesanía en greda trabajan 3 personas en una jornada de 6 horas diarias y producen50 artículos. Una empresa exportadora requiere de una producción diaria de 90 artículos, por lo cual hanaumentado su jornada de trabajo a 8 horas, entonces el número aproximado de artesanos que se requieren es:

a. 2b. 4c. 5d. 7



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38. Una empresa constructora estima que son necesarios 30 obreros para terminar una obra en 3 mesestrabajando 8 horas diarias ¿Cuántos obreros necesitarán para terminar la obra en 2 meses, trabajando 6 horasdiarias?

a. 50 obrerosb. 40 obrerosc. 60 obrerosd. 25 obreros

39. La ley de Ohm dice que la intensidad de un circuito eléctrico (medido en amperes (A)), a voltaje constantees inversamente proporcional a la resistencia del circuito (medido en Ohm ( ). Se conecta un amperímetro aun circuito que tiene una resistencia de 12 y esta marca 2 A, ¿cuántos amperes marcaría en un circuito delmismo voltaje, pero de una resistencia de 60 ?

a. 0,4 Ab. 1 Ac. 10 Ad. 30 A

40. El 5% del 200% de 7,5 es:

a. 0,75b. 7,5c. 75d. 750

41. Si el 18% de un número es 3321 entonces el número es:

a. 184,5

b. 597,78c. 18.450d. 59.778

42. El precio de un articulo es de $5.300, en una liquidación se rebaja en un 15% y luego en una segundaoferta se disminuye este precio en un 10%, entonces el valor final del artículo es de:

a. $ 4.770,0b. $ 4.505,0c. $ 4.054,5d. $ 3.975,0

43. Al trasladar un volumen de gas de un recipiente a otro, la presión que ejerce sobre las paredes del receptores de 0,8 atmósferas y corresponde a un 160% de la presión anterior. ¿Cuántas atmósferas de presión ejercíael gas en el primer recipiente?

a. 0,32b. 0,48c. 0,5d. 1,28

44. Un auto se vende en US$1.200, si el precio de compra fue de US$1.400, ¿Cuál es el porcentaje depérdida?

a. 85,71 %b. 83,2 %c. 16,8 %d. 14,28 %

45. Una boleta de honorarios retiene el 10% de impuestos. Considerando que un trabajador debe emitir unaboleta de honorarios por $550.000, el trabajador recibirá líquido la cantidad de:

a. $440.000b. $495.000c. $500.000d. $605.000



48

46. A una casa de 2500 2m se le hace una ampliación de tal modo que la casa crece en un 20%. Si por causade un terremoto la casa ampliada se derrumba en un 50%, ¿Con cuántos metros cuadrados queda la casa?

a. 6.000 2m b. 1.500 2m c. 1.200 2m

d. 500 2m

47. ¿Qué interés simple producen $8.000 al 12% en 5 años?

a. $3.200b. $4.800c. $11.200d. $12.800

48. Se depositan $500.000 en un banco a una tasa de interés compuesto del 48% anual ¿Cuál será el montoacumulado en dos años?

a. $1.095.200b. $740.000c. $549.152d. $548.000

49. ¿Qué capital será necesario para producir, en 10 años, un interés simple de $6.000, colocado al 15%?

a. $2.000b. $4.000c. $8.000d. $10.000

50. En un banco, deposité $40000 y planeo dejarlos ahí por lo menos 2 años. Si el banco tiene un interéscompuesto de 15%, ¿Cuánto dinero tendré si saco todo el dinero después de 2 años?

a. $80.000b. $60.000c. $52.900d. $42.500

Claves:

1. b 8. c 15. a 22. a 30. d 38. c 46. b2. c 9. c 16. b 23. b 31. b 39. a 47. b3. b 10. a 17. a 24. c 32. c 40. a 48. a4. d 11. c 18. d 25. a 33. b 41. c 49. b5. a 12. b 19. c 26. a 34. a 42. c 50. c6. c 13. a 20. d 27. b 35. b 43. d7. b 14. c 21. b 28. d 36. a 44. d

29. b 37. b 45. b



49

Taller 05. Proyecto EducativoEJEMPLO DE EVALUACIÓN FINAL DE LA UNIDAD.

Modulo 2Razones y proporciones

Aprendizaje esperado2.1. Aplica teoremas y propiedades de las razones y proporciones en la resolución de problemas.

Criterio de evaluación2.1.2 Calcula el término desconocido de una proporción, aplicando propiedades y el teorema fundamental de las proporciones

1. El valor de “x” en la proporción

2 3 4

x 3 6 , es:

A)8

x =3 2

B)9

x =2

C)9

x = 22

D) x = 6 2

Modulo 2Razones y proporciones Aprendizaje esperado:2.1 Aplica teoremas y propiedades de las razones y proporciones en la resolución de problemas.

Criterio de evaluación2.1.3 Aplica teoremas y propiedades de las razones y proporciones en la resolución de problemas2. La producción de dos máquinas está en razón de 9:5. Si en un día la mayor de ellas produjo 450.000unidades. ¿Cuánto produjo la menor de las máquinas en un día?

A) 250.000unidades

B) 360.000unidades

C) 700.000unidades

D) 810.000unidades


Aprendizaje esperado:2.2 Aplica teoremas y propiedades de las razones y proporciones en la resolución de problemas.

Criterio de evaluación2.1.3 Aplica teoremas y propiedades de las razones y proporciones en la resolución de problemas3. Tres obreros pintan un condominio en razón de 3:5:2. Si el condominio tiene 40 casas, entonces la cantidadde casa que pinta el más rápido de los obreros es de:

A) 40 casasB) 20 casasC) 12 casasD) 8 casas


Aprendizaje esperado:2.2. Aplicar variación proporcional para resolver problemas que requieren de estos conceptospara su resolución

Criterio de evaluación2.2.1. Identifica variaciones proporcionales directas, inversas y conjuntas en fórmulas físicas y/o relacionadas con su especialidad4. Veinte trabajadores realizan una obra en ocho meses trabajando doce horas diarias. La cantidad detrabajadores necesarias para el mismo tipo de obra en seis meses y con una jornada de diez horas diarias esde:

A) 34 trabajadoresB) 32 trabajadores

C) 25 trabajadoresD) 18 trabajadores



Criterio de evaluación2.2.3. Aplica los conceptos y propiedades de variación proporcional directa, inversa, conjunta y combinadas para resolverproblemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o sociales

5. Si veinte y cinco betoneras producen doscientos litros de mezcla en cuatro horas, entonces dieciséisbetoneras producen doscientos cincuenta litros en:

A) 2,05 horasB) 3,2 horasC) 5 horasD) 7,81 horas



50



Criterio de evaluación2.2.3. Aplica los conceptos y propiedades de variación proporcional directa, inversa, conjunta y combinadas para resolverproblemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o sociales

6. Si con tres galones de pintura, cuya capacidad es de 25 litros, se pintan 120 m2. ¿Cuántos m2 rendirán cinco

galones de capacidad 21 litros?A) 238,1 m2 B) 168 m2 C) 85,71 m2 D) 60,48 m2


Aprendizaje esperado2.3 Utiliza fórmulas y conceptos de porcentaje, interés simple y compuesto para resolverproblemas de aplicación

2.3.1 Calcula porcentajes de cantidades dadas7. Al determina el 8% del 25% de 140, obtenemos:

A) 280B) 28C) 2,8D) 0,28



2.3.2 Calcula un número, dado el porcentaje que otro número es más o menos que él

8. Si el 120% de x, es 420, y x es el 80% de y. Entonces x e y son respectivamente:

A) 438 y 350B) 630 y 504C) 350 y 438D) 504 y 630



2.3.2 Calcula un número, dado el porcentaje que otro número es más o menos que él9. Si el 36% de un número es 187,92. Entonces el número es:

A) 67,65B) 255,57C) 334,08D) 522,00



2.3.3 Aplica conceptos y métodos de cálculo de porcentajes, para resolver problemas relacionados con fenómenos naturales,económicos y/o sociales10. De un terreno de 5 hectáreas, el 12,1% se utiliza para vivienda y el 58,9% para siembra. El terreno sobrantees de:

A) 0.36 HaB) 1,45 HaC) 1,81 HaD) 3,55 Ha



2.3.2 Calcula un número, dado el porcentaje que otro número es más o menos que él11. Un terreno tiene un valor de $12.500.000. Si su valor disminuye un 10% y luego aumenta un 10%, ¿Cuál esel nuevo valor?

A) $12.000.000B) $12.250.000C) $12.375.000D) $12.500.000



51



2.3.3 Aplica conceptos y métodos de cálculo de porcentajes, para resolver problemas relacionados con fenómenos naturales,económicos y/o sociales

12. En la tabla se muestran los porcentajes en que cada año aumentó el precio de un artículo respecto del añoanterior:

Año 2000 2001 2002Porcentaje 10% 20% 30%

¿Qué valor tiene el artículo en el año 2002 si en el 1999 costaba $2.000?

A) $2.432B) $2.600C) $3.200D) $3.432



2.3.3 Aplica conceptos y métodos de cálculo de porcentajes, para resolver problemas relacionados con fenómenos naturales,económicos y/o sociales13. El costo final de comprar materiales para la reparación de una casa fue de $75.680, luego de que se leaplicara un descuento del 14%. El precio original de los materiales era de:

A) $65.085B) $10.595C) $88.000D) $92.340



2.3.4 Aplica las fórmulas de interés simple y compuesto para resolver problemas de aplicación14. Si tenemos $480.000 y lo invertimos por un año, con una tasa del 28% de interés simple anual, ¿Cuál seráel interés adquirido al finalizar el año?

A) $125.000B) $134.400C) $614.400D) $345.600



2.3.4 Aplica las fórmulas de interés simple y compuesto para resolver problemas de aplicación

15. Se depositan $3.500.000 en una cuenta de ahorro en un plazo de 5 años a una tasa de interés compuestodel 3,5% anual. El monto final obtenido al terminar el plazo es:

A) $540.000B) $4.112.500C) $4.156.902D) $3.622.509

Claves:

1. c 4. b 7. c 10. b 13. c2. a 5. d 8. c 11. c 14. b

3. b 6. b 9. d 12. d 15. c



52

Taller 06. Proyecto EducativoANALISIS DE LA SEGUNDA EVALUACIÓN.

Grupo 1Profesor: ______________________________.

Secretario:Calculista: Fecha

Escritor: 2009Expositor:

Actividad 2: Desarrolle los siguientes ejercicios y verifique la respuesta correcta. En caso de habererror, explíquelo.

Módulo 2: Proporcionalidad yPorcentajes

2.2 Aplicar variación proporcional para resolver problemas que requieren de estos conceptospara su resolución

2.2.3 Aplica los conceptos y propiedades de variación proporcional directa, inversa, conjunta y combinada para resolverproblemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o sociales.

1) Pedro Mc Claren a una velocidad de 105 km/hr recorre 420 kilómetros en 8,5 horas. Si la velocidad aumentaen 15 km/hr, entonces el tiempo aproximado en que recorrió la misma distancia fue de:

a) 10,06 horas

b) 9,71 horas

c) 7,7 horas

d) 7,44 horas

Resolución:

DIRECTA

105km/hr 8,5horas

120km/hr xhoras

8,5 105x 7,71horas

x 120

R : 7,71horas


2.3 Utiliza fórmulas y conceptos de porcentaje, interés simple y compuesto para resolverproblemas de aplicación.

2.3.4 Aplica las fórmulas de interés simple y compuesto para resolver problemas de aplicación.

2) La tasa de interés compuesto aun capital de $4.000.000 es de 4,5%. ¿Cuál sería el interés final ganado en3 años?

a) $540.000

b) $564.664,5

c) $4.540.000

d) $4.564.664,5

Resolución:

f

f

f i

C $4.000.000

4,5i 0,045

100

n 3

C $4.000.000 1 0,045 3 $4.540.000

I C C $540.000

R : I $$540.000



2.3.3 Aplica conceptos y métodos de cálculo de porcentajes, para resolver problemas relacionados con fenómenos naturales,económicos y/o sociales.

3) Hace 4 años compré un Chevrolet Corsa en $5.100.000. Si mañana se lo vendo a un amigo en $3.825.000,¿qué porcentaje rebajé del valor inicial?

a)15%

b) 25%

c) 75%

d) 85%

Resolución:

$5.100.000 100%

$3.825.000 x%

382.500.000x 75%5.100.000

R : Bajó un 75%.



53



2.3.4 Aplica las fórmulas de interés simple y compuesto para resolver problemas de aplicación.

4) ¿Cuál es el capital inicial de una inversión, si se le aplica una tasa de interés simple del 5% en un año,quedando un capital final de $787.500?

a) $748.125

b) $750.000

c) $826.875

d) $1.181.250

Resolución:

i

f

f

f

C $787.500

5i 0,05

100

n 1

C $787.500 1 1 0,05

C $826.875

R : C $826.875



2.2.3 Aplica los conceptos y propiedades de variación proporcional directa, inversa, conjunta y combinada para resolverproblemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o sociales.

5) Una persona recorre 48 km. caminando 4 horas diarias durante 6 días. ¿Cuántas horas diarias tendría queandar para recorrer 140 km. en 14 días?

horas/días14d)

horas/días8c)

horas/día5b)

horas/día3,2a)

Resolución:

DIRECTA

INVERSA

48 km. 4 h / d 6d

140km. x h / d 14d

4 6

x

14

140

48x 3,2 h /d.

R : 3,2 h / d.

Módulo 2: Proporcionalidady Porcentajes


2.3.3 Aplica conceptos y métodos de cálculo de porcentajes, para resolver problemas relacionados con fenómenos naturales,económicos y/o sociales.6) Juan le vendió a Rodrigo una caja de cambios de un Hyundai H100, año 1998, en $230.000. Tiempo

después, Rodrigo le vendió la misma caja a Alfredo, hermano de Juan, recargando el valor pagado en un15%. ¿Cuánto fue el dinero que habría ahorrado Alfredo si hubiera comprado la caja directamente a suhermano?

a) $64.500

b) $60.000

c) $34.500

d) $30.000

Resolución:

Juan a Rodrigo:

$230.000

Rodrigo aumenta 15%a Alfonso:

100% 15% 115% 1,15

Ricardo a Alfonso:

$230.000 1,15 $264.500

DIF $264.500 $200.000 $64.500

R : Habría ahorrado $64.500

razón, porporción y porcentaje

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