porcentaje: concepto y cálculos

Copyright 2012 Taina Maria Miller.

EDICIÓN 1.1

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Mamut Matemáticas Porcentaje

Índice

Introducción ...................................................................... 4 Porcentaje .........................................................................

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¿Qué porcentaje..? ........................................................... 12Porcentaje de un número ................................................ 14Porcentaje de un número: usar decimales .................... 18Rebajas ............................................................................. 21Impuesto de venta ........................................................... 23Práctica con porcentaje .................................................. 25Preguntas “al revés” con porcentaje ............................. 28Décimos de un por ciento ............................................... 29Razones, fracciones y porcentajes ................................. 31Repaso .............................................................................. 34Gráficos circulares .......................................................... 35Porcentaje de cambio ...................................................... 37Porcentaje de cambio, parte 2 ........................................ 40Porcentaje de cambio: Aplicaciones .............................. 42Comparaciones con porcentaje ...................................... 44Repaso: porcentaje .......................................................... 48 Clave .................................................................................

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Más de Mamut Matemáticas ..........................................

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Introducción Mamut Matemáticas Porcentaje enseña a los estudiantes a entender el concepto de por ciento, a calcular el porcentaje de un número, a calcular rebajas y impuesto de venta, a dibujar gráficos circulares, a diferenciar entre un porcentaje de cambio y un porcentaje de comparación y a saber cómo calcular ambos. El texto es adecuado para niños de 6º grado a 8º grado, en la que muchas veces se califica “escuela media.”

El concepto matemático de porcentaje añade al entendimiento anterior del estudiante de fracciones y decimales. Específicamente, estudiantes ya deberían estar familiarizados con la idea de hallar una parte fraccionaria de una totalidad (“¿Qué es 3/4 de $240?”). Estudiantes que han usado los libros de Mamut Matemáticas han estado practicando ese concepto desde cuarto grado. Una de las razones que yo he diseñado los libros para los grados anteriores así que recalcan tanto hallar una parte fraccionaria de una totalidad en las lecciones para enseñar división y fracciones es específicamente para preparar el terreno para presentar el concepto de porcentaje. Si el estudiante ha dominado cómo hallar una parte fraccionaria de una totalidad y puede convertir fracciones en decimales, entonces aprender a resolver problemas con porcentaje no debería ser difícil.

La primera lección, Porcentaje, presenta el concepto de un porcentaje como la fracción 1/100, y el estudiante practica escribiendo fracciones y decimales como porcentajes. La siguiente lección, ¿Qué porcentaje?, se diseña para consolidar la idea de responder a preguntas que preguntan “¿Qué porcentaje (o “¿Cuánto por ciento”) de X es Y?” Estudiantes aprenden a escribir la razón que se pide primero como una fracción y después a convertir esa fracción en un porcentaje.

La lección que sigue, Porcentaje de un número, enseña atajos para calcular rápidamente los porcentajes “en tu mente.” Algunas veces estas técnicas se llaman “matemáticas mental.” Por ejemplo, estudiantes aprenden a hallar 10% de $400 por dividir $400 por 10. En la siguiente lección, la cual es sobre el mismo tema, estudiantes aprenden a hallar un porcentaje de una cantidad por multiplicar por el decimal equivalente. Por ejemplo, para hallar 17% de 45 km, estudiantes multiplican 0.17 × 45 km. Algunos problemas también incluyen el uso de una calculadora.

Las siguientes dos lecciones presentan calcular porcentajes de rebajas y impuesto de venta, las cuales son aplicaciones importantes de porcentajes en la vida cotidiana. En la siguiente lección, Práctica con porcentaje, enseña estudiantes a diferenciar claramente entre problemas que piden un porcentaje conocido de una cantidad (“¿Qué es 70% de $380?”) y problemas donde el porcentaje es desconocido (“¿Qué porcentaje de $380 es $70?”).

También hay una lección opcional con el titulo “Preguntas al revés” con porcentaje, donde estudiantes necesitan hallar la cantidad total cuando se da una cantidad parcial y qué porcentaje esa cantidad es de la totalidad. Por ejemplo: “Trescientos veinte estudiantes, ó 40% del cuerpo estudiantil, toman clases adicionales de educación física. En total, ¿cuántos estudiantes hay en el cuerpo estudiantil?”

Hasta aquí en el texto, toda el material ha usado porcentajes enteros. Ahora sigue una lección que presenta cálculos con décimos de un por ciento (cantidades como 13.4%). De esta lección en adelante, las lecciones continuarán a usar décimos de un por ciento. En Razones, fracciones y porcentajes comparamos esas tres maneras de expresar las mismas relaciones entre miembros de un grupo. En la siguiente lección, estudiantes estudian cómo hacer un gráfico circular.

El último tema importante es porcentaje de cambio, lo cual se trata en una secuencia de tres lecciones. El concepto de porcentaje de cambio trata aumentos y reducciones de porcentajes en cantidades (especialmente precios). Por ejemplo: “Si un boleto de avión que cuesta $120 aumenta ahora 10%, ¿cuánto sería el precio nuevo?” Estudiantes también aprenderán cómo hallar un porcentaje de cambio

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desconocido cuando se saben las cantidades originales y nuevas. Por ejemplo, “Si una camisa costaba $24 y ahora está rebajada a $18, ¿de cuánto por ciento era la rebaja?”

Relacionada con porcentaje de cambio, hay una lección sobre Comparaciones con porcentaje. Estudiantes aprenden a resolver comparaciones involucrando porcentaje (tal como cuánto por ciento más (o menos) una cosa es que otra) por aplicar conceptos que aprendieron en hallar porcentaje de cambio y a diferenciar claramente entre los cuatro tipos de preguntas de comparación que se pueden preguntar.

El texto concluye con una lección de repaso minucioso de todos los conceptos que se enseñaron en las otras lecciones.

¡Le deseo muchos éxitos en su enseñanza de matemáticas!

María Miller, la autora

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Recursos útiles en el Internet

Use estos recursos gratis en línea para complementar los ejercicios en el libro como usted crea conveniente.

Juegos y herramientas

Virtual Manipulative: Percentages (Manipulativo virtual: porcentajes) Esta es una herramienta interactiva donde rellena cualquiera de las tres “cajas” (totalidad, parte, y porcentaje), y calculará la parte que falta y mostrará el resultado visualmente en dos maneras diferentes. http://matti.usu.edu/nlvm/nav/frames_asid_160_g_2_t_1.htm

Mission: Magnetite (Misión: magnetita) Un pirata informático está tratando de dejar magnetita en la placa madre. Para detenerlo, una porcentajes, fracciones e imágenes mostrando partes fraccionarias. http://pbskids.org/cyberchase/games/percent/percent.html

Fractions and Percent Matching Game (Juego de unir fracciones y porcentajes) Una fracciones y porcentajes en este juego sencillo de unir. http://www.mathplayground.com/matching_fraction_percent.html

Fraction/Decimal/Percent Jeopardy (Jeopardy de fracciones/decimales/porcentajes) Responda correctamente a las preguntas por convertir entre fracciones, decimales y porcentajes. http://www.quia.com/cb/34887.html

Percents-Fractions-Decimals Challenge Exercise (Ejercicio de reto de porcentajes-fracciones-decimales) Un examen en línea donde se dan dos de tres cantidades (fracción, decimal, o porcentaje), y hay que completar la tercera. http://www.mathgoodies.com/lessons/vol4/challenge_vol4.html

Flower Power (Poder de flores) Crezca flores y recójalas para ganar dinero en este juego adictivo de pedir. Practique pidiendo decimales, fracciones y porcentajes. El juego comienza con pedir decimales (margaritas), y procede con fracciones (tulipanes o rosas). http://www.mangahigh.com/games/flowerpower

Percent Shopping (Ir de compras con porcentajes) Escoja juguetes para comprar. En nivel 1, halla el precio rebajado cuando se saben el precio original y el porcentaje de rebaja. En nivel 2, halla el porcentaje de rebaja cuando se saben el precio original y el precio rebajado. http://www.mathplayground.com/percent_shopping.html

Penguin Waiter (Mesonero pingüino) Juego sencillo donde hay que calcular la propina correcta que va a dejar para el mesonero pingüino. http://www.funbrain.com/penguin/

Comparing Fractions, Decimals, and Percentages (Comparar fracciones, decimales y porcentajes) Este sitio tiene hojas de hechos, un buen juego de hacer pares, un examen en línea y hojas de ejercicios imprimibles. http://www.bbc.co.uk/skillswise/numbers/fractiondecimalpercentage/comparing/comparingall3/

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Proportioner (Proporcionar) Con esta herramienta interactiva (en Java), manipule imágenes y compare sus dimensiones a las dimensiones de otras imágenes. Especifique dimensiones de imágenes gráficamente, numéricamente, o por usar un factor de escala. http://seeingmath.concord.org/resources_files/Proportioner.html

Hojas de ejercicios

Percent worksheets (Hojas de ejercicios de porcentaje) Cree una cantidad ilimitada de hojas de ejercicios gratis y personalizables para imprimir. www.homeschoolmath.net/worksheets/percent-decimal.php www.homeschoolmath.net/worksheets/percent-of-number.php www.homeschoolmath.net/worksheets/percentages-words.php

Worksheets & quizzes for percentages, ratios, and proportions (Hojas de ejercicios y exámenes para porcentajes, razones y proporciones) Presente varios exámenes el línea y baje algunas hojas de ejercicios en formato de PDF sobre estos temas.www.math4children.com/Topics/Percentages

Tutoriales

A Conceptual Model for Solving Percent Problems (Un modelo conceptual para resolver problemas con porcentaje) Hay una explicación de cómo usar una cuadrícula de 10 x 10 para explicar el concepto básico de porcentaje Y resolver varios tipos de problemas con porcentaje. http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?id=L249

Percentage from Maisonet Math (Porcentaje de Matemáticas Maisonet) Este sitio tiene hojas de trabajo en formato PDF, exámenes en línea y videos sobre varios temas de porcentaje. http://www.mrmaisonet.com/Menu_Pages/percentage_page.htm

The Meaning of Percent, Writing Fractions as Percents (El significado de porcentaje, escribir fracciones como porcentajes) Lecciones gratis sobre porcentaje de Math Goodies. http://www.mathgoodies.com/lessons/vol4/meaning_percent.html http://www.mathgoodies.com/lessons/vol4/fractions_to_percents.html

Money Math (Matemáticas de dinero) Este es un tutorial muy claro sobre el interés. http://www.intmath.com/Money-Math/Money-Maths.php

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Porcentaje

1. Escribe la parte sombreada y la parte no sombreada como una fracción, decimal y porcentaje.

2. Escribe como porcentajes, fracciones y decimales.

3. Típicamente, siete de cada 100 bebes que nacen en el hospital La Fuente tienen un defecto al nacimiento, la mayoría siendo defectos leves.

a. Típicamente, ¿qué porcentaje de los bebes tienen defectos al nacimiento?

b. Típicamente, ¿qué porcentaje de los bebes no tienen defectos al nacimiento?

c. Aproximadamente, ¿cuántos bebes con defectos al nacimiento esperarías hallar en un grupo de 500 bebes?

Porcentaje (o por ciento) significa un centésimo. El símbolo para por ciento es %.

Por eso, 1% significa 1/100 ó un centésimo, y 7% significa 7/100 o siete centésimos.

Las palabras “por ciento” en realidad significan “por cien” en Latín.

Ya que porcentajes sólo son centésimas partes, podemos escribirlos muy fácilmente como fracciones y como decimales.

63% = 63

100 = 0.63 9% =

9

100 = 0.09

a.

Sombreado

= _____ = _____%

No sombreado

= _____ = _____%

b.

Sombreado

= _____ = _____%

No sombreado

= _____ = _____%

a. 28% = 28

100 = 0.28 b. 17% = = _____ c. ____% = = 0.89

d. 60% = = _____ e. ____% = 5

100 = _____ f. ____% = = 0.08

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4. Escribe qué parte de los lápices son cortos, en forma de fracción y como un porcentaje. Usa fracciones equivalentes.

5. Convierte las fracciones en fracciones equivalentes con un denominador de 100, y escríbelas como porcentajes.

6. Escribe qué parte del rectángulo está sombreada y qué parte no está, como fracciones y porcentajes.

Otras fracciones como porcentajes

¿Qué parte de los lápices son cortos?

Dos de cinco, ó 2/5 son cortos.

Vamos a reescribir 2/5 con un denominador de 100usando el método para fracciones equivalentes:

× 20

2

5 =

40

100

× 20

Ahora podemos escribir 40/100 como 40%. Entonces 40% de los lápices son cortos.

a. =

100 = ____%

b. =

100 = ____%

c. =

100 = ____%

a. 4 10

=

100 = _____% b.

11

20 =

100 = _____% c.

8

10 =

100 = _____%

d. 3 20

=

100 = _____% e.

6

25 =

100 = _____% f.

4

5 =

100 = _____%

a.

Sombreado:

= _____%

No sombreado:

= _____%

b.

Sombreado:

= _____%

No sombreado:

= _____%

c.

Sombreado:

= _____%

No sombreado:

= _____%

9

7. Escribe como fracciones, decimales y porcentajes.


9. Escribe las fracciones como porcentajes.

a. Aproximadamente 4/5 ( _______ %) de la población de los Estados Unidos tiene 14 años o más.

b. Aproximadamente 2/25 ( _______ %) de la población del mundo vive en Norteamérica.

c. El continente de África cubre aproximadamente 1/5 ( _______ %) del total de la masa terrestre de la Tierra.

10. Dos árboles están creciendo en el jardín delantero de la casa de Sandra. El árbol más alto es 5/4 tan alto como el más bajo.

a. Escribe la segunda oración usando un porcentaje en vez de una fracción.

b. Si el árbol más bajo mide 160 cm, ¿cuánto mide el árbol más alto?

Porcentajes que son mayores que 100%

La imagen muestra 1 unidad y 55/100. Como un número mixto, escribimos 1 55/100. Como un decimal, escribimos 1.55.

Ya que 55/100 es 55%, y una unidad es 100%, la imagen muestra 155%.

Entonces, podemos usar porcentajes que son mayores que 100%. Sólo acuérdate que 100% es 1, y 1% es 0.01.

200% = 200

100 = 2 308% =

308

100 = 3.08

a.

100 = _____ = _____%

b.

100 = _____ = _____%

c.

100 = _____ = _____%

a. 105% = = ______ b. 457% = = ______ c. _____% = = 2.09

d. ____% = 506

100 = _____ e. ____% =

482100

= _____ f. _____% = = 3.11

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11. Escribe las fracciones como porcentajes. Usa el algoritmo de división. Redondea tus respuestas al por ciento más cerca.

12. Escribe las fracciones como porcentajes. Redondea las respuestas al por ciento más cerca.

a. Aproximadamente 1/20 ( ________ %) de la población de India tiene 65 años o más. (estimación 2009)

b. Aprox. 13/100 ( ________ %) de la población de Australia tiene 65 años o más (estimación 2009)

c. El Océano Índico cubre aproximadamente 7/50 ( ________ %) de la superficie de la Tierra.

d. Aproximadamente 3/5 ( _________ %) de la población del mundo vive en Asia.

13. Escribe como un porcentaje. Redondea tus respuestas al por ciento más cerca.

a. 8/7

b. 1 3/8

Convierte cualquiera fracción en un porcentaje

Para escribir 1/7 como un porcentaje, puedes:

Dividir 1 por 7 usando el algoritmo de división o una calculadora. Conseguirás un número decimal. Exprésalo como un porcentaje. O,

Hallar 1/7 de 100%; en otras palabras, divide 100 por 7. Así tu respuesta ya es un porcentaje.

Dividiendo 100 por 7, conseguimos 14.28... Redondeado al por ciento entero más cerca, eso es 14%.

¿Cuánto por ciento sería 2/7? ¿Y 5/7?

0 1 4 . 2 87 ) 1 0 0 . 0 0

7 3 0

- 2 8 2 0 - 1 4 6 0 - 5 6 4

a. = ______%

b. = ______%

c. = ______%

¿Qué porcentaje de cada figura está coloreado? a. b. c.

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¿Qué porcentaje...?

Lee con cuidado las preguntas que están arriba. Nota que los problemas no te dicen el porcentaje; en otras palabras, no hay un número en el problema escrito como x%. En vez de eso, ¡pidieron que tú lo halles!

1. a. ¿Qué porcentaje de la altura de un árbol que mide 15 pies es la altura de un pimpollo de 3 pies?

b. ¿Cuánto por ciento es $12 de $16?

2. Halla cuánto por ciento la altura del objeto más bajo es de la altura del objeto más alto.

¿Que porcentaje de la altura de un árbol que mide 15 pies es un pimpollo que mide 3 pies?

Un coro tiene 22 mujeres y 18 hombres. Halla qué porcentaje de los miembros del coro son hombres.

Unos pantalones cuestan $25 y otros cuestan $28. ¿Cuánto por ciento es el precio de los pantalones más baratos del precio de los pantalones más caros?

Preguntas con “¿Qué porcentaje ... ?” o “¿Cuánto por ciento... ?”

Preguntando “¿Qué porcentaje?” o “¿Cuánto por ciento?” es lo mismo que preguntar “¿Cuántas centésimas partes?”

Podemos resolver estas preguntas en un proceso de dos partes:

1. Primero halla la parte que se pide en forma de fracción. El denominador probablemente no será 100.

2. Convierte esa fracción en un decimal. Después, ¡es fácil convertir el decimal en un porcentaje!

Ejemplo 1. Un coro tiene 22 mujeres y 18 hombres. ¿Qué porcentaje de los miembros son hombres?

1. Halla qué parte (fracción) de los miembros del coro son hombres. Esa es 18/40, ó 9/20.

2. Escribe 9/20 como un porcentaje. Usa fracciones equivalentes: 9/20 = 45/100 = 45%.

Ejemplo 2. Unos pantalones cuestan $25 y otros cuestan $28. ¿Cuánto por ciento es el precio de los pantalones más baratos del precio de los pantalones más caros?

1. Escribe qué parte el precio más barato es del precio más caro. La respuesta es 25/28.

2. Escribe 25/28 como un porcentaje. Una calculadora da 25/28 = 0.8928... Redondeado al por ciento entero más cerca, eso es 89%.

a.

6 m

8 m

b.

300 cm

120 cm

c.

4 m 5 m

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3. Un niño de dos años mide 32 pulgadas y pesa 24 libras. Un niño de 10 años mide 52 pulgadas y pesa 96 libras.

a. ¿Cuánto por ciento es la edad del niño menor de la edad del niño mayor?

b. ¿Cuánto por ciento es la altura del niño menor de la altura del niño mayor?

c. ¿Cuánto por ciento es el peso del niño menor del peso del niño mayor?

4. Escribe los porcentajes en los sectores de los gráficos circulares. ¡Piensa en fracciones!

5. El gráfico circular a la derecha da la medida del ángulo de cada sector del círculo. Halla qué porcentaje cada sector es del círculo entero, y escribe el porcentaje en el sector. Acuérdate, el círculo entero es 360°.

6. 960 personas se reunieron en una reunión médica. 450 eran doctores, 220 eran enfermeras, y los demás eran investigadores. Halla qué porcentaje de las personas eran doctores, qué porcentaje eran enfermeras y qué porcentaje eran investigadores.

a. b. c.

Dibuja un gráfico circular para representar la situación en ejercicio #6.

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Porcentaje de un número

1. Halla 10% de estos números.

2. Halla 1% de estos números.

3. Si 1% del sueldo de Soraya es $23, ¿cuánto es su sueldo?

4. Diez por ciento del costo de una piscina es $430. ¿Cuánto cuesta la piscina?

5. Marco paga 10% de su sueldo en impuestos. Su sueldo es $450. Halla cuánto le queda después de pagar impuestos.

6. Los ingresos de Erica son $2,500. Halla cuánto le queda después de donar 1% de sus ingresos a obras benéficas.

100% de algo significa todo de esa cosa. 1% de algo significa 1/100 de esa cosa.

Para calcular un porcentaje de una cantidad, usamos el mismo método que cuando calculamos una parte fraccionaria de esa cantidad porque por ciento significa una centésima parte. Por eso, porcentajes sólo son fracciones.

¿Cuánto es 1% de 200 kg? Esto significa “¿Cuánto es 1/100 de 200 kg?” Sencillamente, es 2 kg. ¡Sólo divides por 100 para hallar una centésima parte!

Para hallar 1% de algo (1/100 de algo), divide por 100.

Acuérdate cómo dividir por 100 en tu mente: Sólo mueve el punto decimal dos posiciones a la izquierda. Por ejemplo, 1% de 540 es 5.4. Y, 1% de 8.30 es 0.083.

Para hallar 10% de alguna cantidad, divide por 10.

¿Por qué funciona eso? 10% es 10/100. Y, 10/100 es igual a 1/10. Entonces, ¡sólo hallamos 1/10 de la cantidad! Por ejemplo, 10% de 340 personas es 34 personas. De forma similar, 10% de $2.30 es $0.23.(Para dividir por 10 en tu mente, sólo mueve el punto decimal una posición a la izquierda.)

a. 900 _______ b. 160 _______ c. 50 _______ d. 4,100 _______

e. 96 _______ f. 145 _______ g. 9 _______ h. 0.5 _______

a. 900 _______ b. 6,800 _______ c. 550 _______ d. 80 _______

e. 56 _______ f. 12 _______ g. 5 _______ h. 1 _______

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7. Completa la tabla. Usa matemáticas mental.

8. Completa esta guía para usar matemáticas mental con porcentaje:

9. Halla porcentajes. Usa matemáticas mental.

Para hallar 2% de una cantidad, primero halla 1% de ella, después duplícalo.

Por ejemplo, vamos a hallar 2% de $6. Ya que 1% de 6 es $0.06, entonces 2% de 6 es $0.12.

¿Puedes pensar de un método para hallar 20% de un número? (Pista: Comienza con hallar 10% de él.) ________________________________________________________________________________

porcentaje / número 400 60 78 8 4.1

1% del número

2% del número

10% del número

20% del número

Matemáticas mental y porcentaje de un número

50% es 1 2

. Para hallar 50% de un número, divide por ________.

10% es 1


1% es 1


50% de 244 es __________.

10% de 47 es __________.

1% de 530 es __________ .

Para hallar 20%, 30%, 40%, 60%, 70%, 80%, ó 90% de un número,

Primero halla _________% del número y después multiplica por 2, 3, 4, 6, 7, 8, ó 9.

10% de 120 es __________.

30 % de 120 es __________.

60 % de 120 es __________.

a. 10% de 60 kg ________

20% de 60 kg ________

b. 10% de $14 ________

30% de $14 ________

c. 10% de 5 mi ________

40% de 5 mi ________

d. 1% de $60 ________

4% de $60 ________

e. 10% de 110 cm ________

70% de 110 cm ________

f. 1% de $1,330 ________

3% de $1,330 ________

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10. David paga un impuesto sobre la renta de 20% de su sueldo de $2,100. ¿De cuántos dólares es el impuesto? ¿Cuánto dinero le queda después de pagar el impuesto?

11. Natalia paga 30% de su sueldo $3,100 en impuestos. ¿Cuánto dinero le queda después de pagarlos?

12. Halla cómo se equivocaron estos niños. Después, halla las respuestas correctas.

13. Halla porcentajes. Usa matemáticas mental.

14. Halla porcentajes de las cantidades.

a. Halla 90% de $55.

La solución de Pedro: 10% de $55 es $5.50 Entonces resta 100% − $5.50 = $94.50

b. Halla 6% de $1,400.

La solución de Patricia: 1% de $1,400 es $1.40. Entonces, 6% es seis veces eso, ó $8.40.

90% de una cantidad

Primero halla 10% de la cantidad ydespués resta ese 10% del 100%.

25% de una cantidad

25% es igual a 1/4. Entonces, para hallar25% de una cantidad, divídela por 4.

12% de una cantidad

Primero halla 10% de la cantidad. Después, halla 1% de ella, y usa ese 1% para hallar 2% de ella. Después, suma el 10% y el 2%.

75% de una cantidad

75% es 3/4. Primero halla 1/4 de la cantidad y multiplica eso por 3.

a. 25% de 48 mi ________

75% de 48 mi ________

b. 10% de $120 ________

25% de $120 ________

c. 10% de 16 km ________

75% de 16 km ________

a. 50% de 26 plg. ________ b. 25% de 40 pies ________ c. 80% de 45 m ________

d. 75% de $4.40 ________ e. 90% de 1.2 m ________ f. 25% de 120 lb ________

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15. Completa el método de matemáticas mental para hallar 12% de $65.

10% de $65 es $________. 1% de $65 es $_________. 2% de $65 es $_________.

Ahora, suma para conseguir 12% de $54: $_________ + $_________ = $_________

16. Completa el atajo de matemáticas mental para hallar 24% de 44 kg.

25% de 44 kg es ________ kg. 1% de 44 kg es _________ kg.

Resta ________ kg − ________ kg = ________ kg

17. Natalia pagó un impuesto sobre la renta de 25% de su sueldo de $2,880.

a. ¿De cuántos dólares era el impuesto?

b. ¿Cuánto dinero le queda después que ella paga el impuesto?

18. En su cuenta de teléfono celular, Ana se fijó en que de los 340 mensajes de texto que ella mandó el mes pasado, se mandaron 15% a la tasa nocturna más barata. ¿Cuántos mensajes mandó Ana en la noche? ¿Y durante el día?

19. Una universidad tiene 1,500 estudiantes, y 12% de ellos montan el autobús. Otro 25% caminan a la universidad. ¿Cuántos estudiantes ni caminan ni montan el autobús?

20. Un cartón contiene 2 litros de jugo tropical. El jugo consiste en 25% jugo de mango, 30% jugo de piña, y el resto es jugo de guayaba. Halla cuántos mililitros de cada sabor de jugo hay en el cartón de jugo de dos litros.

21. El doctor dice que Soraya debería bajar por lo menos 10% de su peso. Su peso actual es 180 lb.

a. ¿Cuánto pesaría si bajara 10% de su peso?

b. ¿Cuánto pesaría si bajara 20% de su peso?

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Porcentaje de un número: usar decimales

1. “Traduce” las expresiones a multiplicación por un decimal. Calcula.

Has aprendido que hallar 1% de un número significa hallar 1/100 de él. De forma similar, hallar 60% de un número significa hallar 60/100 (ó 6/10) de él.

En estas expresiones, la palabra “de” traduce a multiplicación:

1% de 90 → 1% × 90 Ó 60% de $700 → 60% × $700.

También podemos escribir esos porcentajes como decimales:

1% de 90 → 0.01 × 90 Ó 60% de $700 → 0.6 × $700.

Esto nos da otra manera de calcular el porcentaje de un número (o el porcentaje de alguna cantidad):

Para calcular el porcentaje de algún número, convierte el porcentaje en un decimal, y la palabra “de” en multiplicación.

Ejemplo 1. Halla 70% de 80.

Usando el atajo, escribimos esto como 0.7 × 80.

Acuérdate que en multiplicación de decimales, multiplicas como si no hubiera puntos decimales, y la cantidad de “cifras decimales” en la respuesta a la derecha del punto decimal será igual a la cantidad de cifras decimales que hay en todos los factores. Entonces, cuando multiplicas 0.7 × 80, piensa en multiplicar 7 × 80 = 560. Ya que 0.7 tiene una sola cifra decimal, y 80 no tiene ninguna, la respuesta tiene una sola cifra decimal: 56.0 Entonces, 0.7 × 80 = 56.

También puedes usar “sentido común” para razonarlo lógicamente: 0.7 × 80 debe ser menor que 80, sin embargo mayor que 1/2 de 80, lo cual es 40. Ya que 7 × 8 = 56, sabes que la respuesta debe ser 56—no 5.6 ó 560.

Ejemplo 2. Halla 3% de $4,000.

Primero escríbelo como 0.03 × $4,000. Después, multiplica 3 × $4,000 = $12,000. Por último, coloca el punto decimal donde dará la respuesta dos cifras decimales: $120.00.

Ejemplo 3. Halla 23% de 5,500 km.

Escribe la expresión como 0.23 × 5,500 km y usa una calculadora para calcular el producto. La respuesta es 1,265 km. Esta respuesta tiene sentido porque10% de 5,500 km es 550 km, entonces 20% es 1,100 km. Así, 1,265 km como 23% de 5,500 km es una respuesta razonable.

a. 20% de 70

_______ × _______ = _______

b. 90% de 50

_______ × _______ = _______

c. 80% de 400

_______ × _______ = _______

d. 60% de $8

_______ × _______ = _______

e. 9% de 3,000

_______ × _______ = _______

f. 7% de 40 L

_______ × _______ = _______

18

2. “Traduce” al revés de lo que hiciste en el ejercicio 1: escribe las multiplicaciones como expresiones de “porcentaje del número”.

3. Usa una calculadora para hallar porcentajes de estas cantidades.

4. Usa matemáticas mental para hallar porcentajes de estas cantidades.

5. a. Un lago tiene una costa de 30 km. Seis por ciento de ella es playa arenosa. ¿Qué porcentaje de la costa no es playa arenosa?

b. Halla la longitud (en km) de la costa que es playa arenosa.

6. Veinte por ciento de los 4,000 estudiantes de una universidad tienen una beca.

a. ¿Qué porcentaje de los estudiantes no tienen una beca?

b. ¿Cuántos estudiantes tienen una beca?

c. ¿Cuántos estudiantes no tienen una beca?

7. Un granjero tiene 3,000 acres de terreno. Sembró 30% con trigo, 45% con maíz, y el resto con avenas. Halla cuántos acres él sembró con cada tipo de grano.

a. 0.6 × 50

_____% de_______ = _______

b. 0.03 × $400

_____% de _______ = _______

c. 0.8 × 400 mi

_____% de _______ = _______

d. 0.08 × 6

_____% de _______ = _______

e. 0.11 × $300

_____% de _______ = _______

f. 0.2 × 70 kg

_____% de _______ = _______

a. 17% de $4500 b. 67% de 27 m c. 48% de 7.8 kg

a. 25% de 240 mi b. 80% de 30,000 km c. 75% de 3.2 kg

19

8. Identifica dónde se equivocaron estos niños. Después, halla las respuestas correctas.

9. Halla las expresiones que tienen el mismo valor que 20% de $620.

10. Aproximadamente 92% de la población de Argentina de 41 millones vive en ciudades. Aproximadamente 25% de la población de Tanzania de 41 millones vive en ciudades.

¿Cuántos más argentinos que tanzanos viven en ciudades?

11. La tabla abajo muestra el uso de tiempo de Andrés en un día.

a. Calcula el tiempo que él pasó en cada actividad. Redondea los minutos al minuto más cerca.

b. Escribe el nombre de cada actividad en las secciones del gráfico circular.

a. Halla 80% de 50.

La solución de Gladis: 80 × 50 = 4,000

b. Halla 75% de 84,000.

La solución de Guillermo: Esto es lo mismo que 84,000 ÷ 4 = 21,000.

0.02 × $620 $620 ÷ 5 $620 ÷ 10 × 2 2 × $62

1 5

× $620 0.2 × $620 20 × $620 $620 ÷ 4

Actividad Porcentaje Minutos Horas/minutos

Dormir 38%

Escuela 21%

Fútbol 10% 144 2 h 24 min

Jugar 11%

Comer 9%

Tareas domésticas

9%

Higiene 2%

TOTAL 100% 1440 24 horas

El uso de tiempo de Andrés

20

Rebajas

1. Todas estas cosas están a la venta. Calcula la rebaja en dólares y el precio de venta que resulta.

2. Un traje de baño que costaba $25 estaba de venta con una rebaja del 20%. Mónica calculó el precio de rebaja en esta manera: $25 − $20 = $5. ¿Dónde se equivocó? Halla el precio de rebaja correcto.

3. Todas las cosas están a la venta. Halla el precio de rebaja.

Además de calcular impuesto de venta, la área de vida en la cual probablemente necesitarás usar los porcentajes con más frecuencia es en calcular rebajas.

Ejemplo 1. Una computadora portátil que cuesta $600 tiene una rebaja de 20%. ¿Cuál es el precio de rebaja?

Calculamos 20% de $600. Eso es el precio de rebaja en dólares. Después, restamos eso del precio original, $600.

20% de $600 es $120. Entonces $600 − $120 = $480.

Otra manera: Ya que se ha quitado 20% del precio, queda 80% del precio. Entonces, por calcular 80% del precio original, conseguirás el nuevo precio de rebaja:

0.8 × $600 = $480

a.

Cantidad de rebaja: $ 18

Precio de venta: $____________

Precio: $90 Rebaja de 20%

b.

Cantidad de rebaja: $________

Precio de venta: $____________


c.

Cantidad de rebaja: $________

Precio de venta: $__________


Precio rebajado: $_______

a.

Precio: $1.20 Rebaja del 25%

b.


Precio: $18 Rebaja del 25%


c.


d.

Precio rebajado: $________


e.



f.

Precio rebajado: $________


21

4. Estima el precio rebajado.

5. ¿Cuál es una oferta mejor? Estima usando números redondeados y matemáticas mental.

a. Una rebaja del 75% de un reproductor de mp3 de marca que cuesta $199 O un reproductor de mp3 genérico que cuesta $44.99

b. Una rebaja del 40% de un nuevo libro de texto que cuesta $89 O una copia usada del mismo libro de texto que cuesta $39.90.

6. ¿Cuáles de estos métodos funcionan para calcular el precio rebajado de una rebaja del 25% de $46?

7. Una compañía vende un programa informático por $39.99. Estiman que podrían vender 50 copias en una semana, a ese precio. Pero, si rebajan el precio 25%, piensan que podrían vender 100 copias. Estima en cuál de las dos maneras ganarían más dinero.

8. El precio original de un teléfono era $60, y el nuevo precio rebajado es $48. ¿Cuál es el porcentaje de la rebaja?

Muchas veces, puedes usar estimación para calcular el precio rebajado, especialmente si no tienes una calculadora contigo cuando estás comprando.

Ejemplo. Una bicicleta que costaba $198.95 se rebaja 25%. ¿Cuál es el precio rebajado?

Para estimarlo, redondea el precio original de la bicicleta a $200. Veinticinco por ciento de $200 es 1/4 de $200, ó $50. Entonces, el precio rebajado es $150.

Ejemplo. Una computadora portátil que costaba $425.90 se rebaja 28%. ¿Cuál es el precio rebajado?

Redondea el porcentaje de rebaja a 30%, y el precio de la computadora portátil a $430. 10% de $430 es $43. 30% de $430 es tres veces esa cantidad, ó $129. Resta usando números redondeados: $430 − $130 = $300.

a. Rebaja del 30% de un libro que cuesta $39.90

b. Rebaja del 17% de un bloque de queso que cuesta $12.50

c. Rebaja del 75% de un par de zapatos que cuesta $75.50

0.75 × $46 $46 − 0.25 × $46 $46 − 0.75 × $46 3 × $46 ÷ 4

0.25 × $46 $46 − $46

4

$46

4

$46

4 × 3

22

Impuesto de venta

1. Halla el precio final cuando se da el precio base y la tasa de impuesto de venta.

2. El impuesto de venta es 5%. Halla el precio final cuando un cliente compra los artículos indicados. Pista: Para hallar 5% de un número, primero halla 10% y quita la mitad de eso.

Impuesto de venta

Una entrada a un circo cuesta $25, con una tasa de impuesto de venta de 6%. ¿Cuál es el precio final que tienes que pagar?

Siempre se añade el impuesto de venta al precio base (el precio sin impuesto). Sólo calculamos 6% de $25, y lo sumamos al $25.

1% de $25 es $0.25. Seis veces eso es $1.50. Entonces, el precio final es $26.50.

a. Bicicleta; $100; 7% impuesto de venta.

Impuesto para añadir: $_________

Precio después del impuesto: $_________

b. Nevera; $400; 6% impuesto de venta.



c. Libro; $8; 5% impuesto de venta.



d. Corte de pelo; $50; 3% impuesto de venta.



Precio: $2

Precio: $13

Precio: $180

Precio: $70

Precio: $2

Precio: $18

a. un microscopio b. dos camisas c. creyones y un caballo de peluche

d. una maleta y una camisa e. seis botellas de agua f. dos camisas y una maleta

23

3. La familia Jaramillo compró entradas a la feria rural anual: tres entradas para niños por $10 cada uno y dos entradas para adultos por $20 cada uno. El impuesto de venta era 7%. Halla el costo final en total para todas las entradas.

4. Calcula el precio final que paga el cliente si primero se rebaja un artículo, y después se añade un impuesto de venta.

a. Sofía compró un CD de música por $12.50 que tenía una rebaja de 20%. El impuesto de venta era 7%.

b. Erica compró unos pantalones por $55 que primero estaban rebajados 40%. El impuesto de venta era 5%.

5. Pedro compró 5,000 m2 de terreno por un precio base de $200,000 (antes de añadir el impuesto).

El impuesto de venta que se añadió era 8%.

a. Halla el precio en total que pagó Pedro.

b. Luego, Pedro vendió 2,000 m2 del terreno a una vecina.

¿Cuánto debería cobrar Pedro a su vecino para recuperar la cantidad de dinero que él pagó por esta cantidad de terreno?

6. Dos hermanos, Andrés y Juan, están compartiendo el precio de una computadora nueva así que Andrés paga 4/10 y Juan paga 6/10 del precio. La computadora cuesta $459, y hay un impuesto de venta de 7% que se añadirá al precio. Calcula las porciones que pagarán Andrés y Juan.

Pista: ¿Qué necesitas calcular primero?

7. Roberto compara los precios de cuatro diferentes tipos de pasta. Un tipo cuesta $2, otro $1.50, otro $2.20 y uno más cuesta $1.70.

a. Halla el precio medio de los cuatro.

b. Si se rebajaran 10% cada una de las pastas, ¿cuál sería el precio medio?

24

Práctica con porcentaje

1. a. Halla 10% de $50.

b. ¿Qué porcentaje de $50 es $10?

2. a. Juana comió 60% de un paquete de 25 galletas. ¿Cuántas galletas comió Juana?

b. Javier comió 6 galletas de las 25 en el paquete. ¿Qué porcentaje de las galletas comió Javier?

3. Usa matemáticas mental para completar con los números que faltan:

¡Nota con cuidado la diferencia entre las dos preguntas arriba! Pregunta #1 pide una cierta parte (70/100) de $380, y la respuesta será en dólares. Pregunta #2 pide el porcentaje.

1. ¿Qué es 70% de $380? 2. ¿Qué porcentaje es $70 de $380?

1. ¿Qué es 70% de $380?

Primero hallamos 10% de $380. Eso es sólo 1/10, ó $38. Entonces, multiplicamos eso por 7 para conseguir 70% de $380: 7 × $38 = $266. Entonces $70% de $380 es $266.

Si no, podrías multiplicar 0.7 × $380 = $266.

2. ¿Qué porcentaje es $70 de $380?

Primero escribimos qué parte $70 es de $380. Es sólo 70/380 ó 7/38. Escribiendo eso como un decimal, 7/38 = 0.184210526 ≈ 0.18, lo cual es 18%.

Preguntas que piden un cierto porcentaje de un número donde SE DA el porcentaje

Escribe el porcentaje como un decimal, después multiplica el decimal y el número. O, puedes usar truquillos de matemáticas mental para hallar 1%, 10%, 20%, 30%, 25%, 50%, 75%, etc.

Preguntas que piden el porcentaje (¿Qué porcentaje? o ¿Cuánto por ciento?)

1. Calcula qué se pide como una fracción. 2. Convierte la fracción en un decimal. 3. Convierte el decimal en un porcentaje.

a. Juan anotó 17 canastas de 20 tiros.

Juan anotó canastas en , ó _____%, de sus tiros.

b. Juan anotó canastas en 56% de 50 tiros.

Juan anotó ________ canastas en total.

c. De 25 mujeres encuestadas, a 60% les gusta el chocolate.

A ______ mujeres de esas 25 se les gusta.

d. 42 de 200 ciudadanos votaron por el Sr. X.

______% de los ciudadanos votaron por él.

e. De1,000 cajas, 620 contuvieron libros.

_______% de las cajas contuvieron libros.

f. De 50 participantes, 14% llegaron tarde.

_______ participantes llegaron tarde.

25

4. Quince por ciento de los 40 empleados en una tienda son mayores de 50 años. Ahora, piensa con cuidado. ¿Cuál de los siguientes dos pares están correctos?

a. 15/40 de los empleados son mayores de 50. Ó 15/100 de los empleados son mayores de 50.

b. 6 empleados son mayores de 50. Ó 15 empleados son mayores de 50.

En problemas 5-7, puedes dibujar diagramas para ayudarte a resolver los problemas.

5. José regaló 70% de los 20 animales de peluche que él tenía. ¿Cuántos le quedan?

6. Gerardo pintó 50 pies de valla de los 80 pies que necesitan pintura nueva. ¿Qué porcentaje de su valla pintó? (Redondea tu respuesta a un por ciento entero.)

7. María perdió 30% de su $20 comprando caramelos. ¿Cuánto dinero le queda?

8. ¿Cuánto por ciento de cada figura está coloreado?

Un diagrama puede impedir que te confundas con fracciones, porcentajes, y cantidades reales.

Ejemplo. 18 de 25 nadadores en el club están practicando estilo libre. ¿Cuánto por ciento de los nadadores están practicando estilo libre?

Cada nadador está representado por un “bloque” en el diagrama. El diagrama entera representa 25 nadadores, pero también representa 100%. Por eso, un nadador representa 100% ÷ 25 = 4%, entonces 18 nadadores representan 18 × 4% = 72%.

También puedes sólo escribir la fracción 18/25 en forma de porcentaje: 18/25 = 72/100 = 72%.

a. b. c.

26

9. a. Eva mide 3 pies 9 plg y María mide 5 pies 2 plg. ¿Qué porcentaje de la altura de María es la altura de Eva?

b. Josefina mide 90% de la altura de su papá, que mide 6 pies 3 plg. ¿Cuánto mide Josefina?

10. Dos estudiantes en la universidad, Pedro y Juan, comparten una habitación. El alquiler es $450 mensual, y lo comparten igualmente. Pedro gana $900 mensual, y Juan gana $1,350.

a. Sin calcularlo, determina cuál de los dos jóvenes tiene que usar una parte más grande de sus ganancias para pagar el alquiler.

b. Ahora, halla qué porcentaje de sus ganancias cada joven usa para pagar el alquiler.

11. a. Sin calcular, determina cuál es más dinero: ¿11% de $402 ó 12% de $298?

b. Estima la diferencia aproximada entre las dos cantidades.

12. La familia Rodríguez manejó un viaje de1,200 millas en cuatro días. En el primer día manejaron 340 millas, en el segundo día 280 millas, en el tercer día 400 millas y en el cuarto día el resto de la distancia.

a. Halla su kilometraje medio diario.

b. Para cada día, halla qué porcentaje del viaje manejaron en total.

c. Supón que la familia había dividido el viaje en cuatro porciones iguales y manejado la misma distancia cada día. ¿Qué porcentaje del viaje en total habrían manejado cada día?

Ejemplo. ¿Cuánto por ciento de un árbol que mide 15 pies es un pequeño pimpollo de 11 pulgadas?

1. Halla qué parte (que fracción) de un árbol que mide 15 pies es un pimpollo que mide 11 pulgadas. No podemos comparar los dos a lo menos escribimos las alturas en las mismas unidades. 15 pies es 180 plg. Entonces, el pimpollo de 11 pulgadas es 11/180 partes del árbol de 15 pies.

2. Escribe 11/180 como un porcentaje. Usando una calculadora 11 ÷ 180 = 0.06111... o redondeado a dos cifras decimales, 0.06. Éste es un decimal. Como un porcentaje, 0.06 es 6%.

Para calcular el promedio de varios números:

Suma todos los números.

Divide la suma por la cantidadde números que hay.

27

Preguntas “al revés” con por ciento *Esta lección es opcional

1. Margarita regaló 40 canicas, lo cual era 20% de las canicas que ella tenía ¿Cuántas canicas tenía Margarita antes?

2. Cuando Edmundo compró una guitarra por $90, él usó 15% del dinero que tenía. ¿Cuánto dinero tenía antes?

3. Se rebajó 60% una entrada a un concierto. El precio rebajado es $16. ¿Cuál era el precio antes de la rebaja?

4. Se rebajó 20% el precio de un vestido 20%. El precio rebajado es $24. ¿Cuál era el precio antes de la rebaja?

5. José gastó 80% de su dinero, y ahora le queda $40. ¿Cuánto dinero tenía José al comienzo?

6. Una tienda averiguó que 10% de las personas que había comprado una cierta marca de molinillo de café estuvieron descontentos con su compra. Si hubieron 72 personas que sí estuvieron contentas con su compra, ¿cuántas personas en total había comprado esa marca?

Si 32 canicas rojas constituyen 4/5 de la cantidad de canicas en total, ¿cuántas canicas hay en total?

Mira el diagrama de barra. Las canicas han sido divididas en cinco “bloques” iguales. Cuatro de esos cinco bloques hacen un total de 32 canicas. Entonces, 1/5 de las canicas es 8 canicas, y hay 5 × 8 = 40 canicas en total.

Usamos el mismo razonamiento si la parte dada de las canicas es un porcentaje en vez de una fracción:

Si 91 canicas rojas forman 35% de la cantidad total de canicas, ¿cuántas canicas hay en total?

En el diagrama, necesitamos 100 “bloques” pequeños con 35 de ellos coloreados. (35/100 de las canicas son rojas.)

Se hace el cálculo en la misma manera: Si 35 “bloques” forman 91 canicas, entonces un “bloque” es 91 ÷ 35 = 2.6. Y ese número veces 100 nos dará la cantidad de canicas en total: 2.6 × 100 = 260.

Juan gastó 78% de su dinero, y ahora le queda $66. ¿Cuánto dinero tenía Juan antes?

28

Décimos de un por ciento


2. Escribe las fracciones como decimales, usando una calculadora. Redondéelas a tres cifras decimales. Después, escribe los decimales como porcentajes.

3. Serena realizó una encuesta de 113 personas sobre qué supermercado les gustó más. A 34 les gustó Mercado Estrella más; a 65 les gustó Tienda de Jorge más y los demás prefirieron Comida a Montones. Escribe, al décimo de un por ciento más cerca, qué porcentaje de las personas en la encuesta prefirió cada supermercado.

Por ciento significa una centésima parte.

Un décimo de un por ciento es una milésima parte. (También se llama por mil y se usa el símbolo ‰ .)

Tú sabes que 0.56 = 56%. Si añadimos un decimal más a 0.56,por ejemplo 0.564, tenemos milésimos. Ahora, 0.564 = 56.4%.

El “4” está en la posición de los milésimos, entonces se hace 4 décimos de un por ciento.

0.091 = 9.1% = 91

1000

0.387 = 38.7% = 387

1000

a. 28.2% = = ________ b. 6.7% = = _______

c. ______% = = 0.891 d. 0.9% = = _______

e. ______% = 45

1000 = _______ f. ______% =

675

1000 = _______

a. 2

3 ≈ 0.667 = 66.7 % b.

4

9 ≈ ________ = ________%

c. 6

7 ≈ ________ = ________% d.

1

12 ≈ ________ = ________%

e. 17 23

≈ ________ = ________% f. 52

98 ≈ ________ = ________%

29

4. Halla el porcentaje de la cantidad que se da.

5. Marco paga 22.5% de sus ingresos en impuestos. Si él gana $1,950 en un mes, halla cuánto paga en impuestos y cuánto le queda después de impuestos.

6. Si el impuesto de venta es 6.7%, halla el costo final de estos artículos cuando se da el costo base. Acuérdate, hay que redondear los precios al céntimo más cerca.

7. El gráfico circular muestra las áreas de cinco océanos diferentes en kilómetros cuadrados. El área total de estos

océanos es 335,258,000 km2. Al décimo de un por ciento más cerca, halla cuánto por ciento cada océano es del área en total de los océanos.

8. Jeremías consigue una rebaja de 37.5% en un paquete vacacional que normalmente cuesta $850.

Halla cuánto pagará Jeremías por el paquete vacacional.

9. La familia Bermúdez vive en una parcela de terreno rectangular que mide 40 m × 35 m. La familia Jaramillo vive en una parcela de terreno rectangular que mide 42 m × 39 m. Al décimo de un por ciento más cerca, halla cuánto por ciento el área del terreno de la familia Bermúdez es del área del terreno de la familia Jaramillo.

Para hallar un porcentaje de un número cuandoel porcentaje tiene décimos de un por ciento, usamos el mismo método: Primero escribe el porcentaje como un decimal. Después, multiplica el número por ese decimal.

Ejemplo. Halla 59.2% de $2,600.

Escribe 59.2% como un decimal: Es 0.592. Después multiplica 0.592 × $2,600 = $1,539.20

a. 9.2% de $150 b. 45.8% de 16 m c. 0.6% de 700 mi

a. una camisa por $16 b. un CD de música por $11.50 c. un teléfono celular por $48

30

Razones, fracciones y porcentajes

1. Escribe las razones. Después, escríbelas como fracciones y como porcentajes. No uses una calculadora.

2. Un tarro contiene 40 canicas, de las cuales 12 son rojas y los demás son blancas.

a. ¿Qué fracción de las canicas son rojas? Reduce tu fracción a los términos menores.

b. ¿Qué porcentaje de las canicas son rojas?

c. ¿Cuál es la razón de canicas rojas a canicas blancas? ¿Escribe esta razón en términos menores.

3. La razón de caramelos rojos a caramelos naranjas en una caja es 2:3.

a. ¿Qué fracción de los caramelos son rojos?

b. ¿Qué porcentaje de los caramelos son rojos?

c. La caja contiene 45 caramelos. ¿Cuántos son rojos?

Podemos usar razones, fracciones, o porcentajes para describir las pelotitas.

Porcentajes:

¿Qué porcentaje de las pelotas son blancas? Escribe la fracción 13/20 con un denominador de 100:

Razones: Fracciones:

La razón de pelotas blancas a pelotas rojas es 13:7.La razón de pelotas rojas a pelotas blancas es 7:13.

La razón de pelotas blancas a todas las pelotas es 13:20.La razón de pelotas rojas a todas las pelotas es 7:20.

13

20 de las pelotas son blancas.

7

20 de las pelotas son rojas.

13

20 =

65

100 . Entonces, 65% de las pelotas son blancas. Los demás, ó 35%, son rojas.

a.

La razón de triángulos blancos a todos los triángulos es _____ : ______.

_____% de los triángulos son blancos.

de los triángulos son blancos.

b.

La razón de cuadrados coloreados a todos los cuadrados es _____ : ______.

_____% de los cuadrados son coloreados.

de los cuadrados son coloreados.

31

4. Usa razones, fracciones y porcentajes para describir los grupos. Redondea los porcentajes a un décimo de un por ciento.

5. Nota con cuidado los tres grupos de personas en Ejercicio (5) arriba.

a. ¿Qué grupo—(a), (b), ó (c)—tenía el mayor porcentaje de hembras?

b. ¿Qué grupo tenía la mayor cantidad de hembras?

Aquí la razón de cuadrados a triángulos a círculos es 4 : 2 : 3. La razón de círculos a todas las figuras es 3 : 9.

¿Qué porcentaje de las figuras son círculos? Sabemos que 1/3 de ellas son círculos. Para hallar qué porcentaje son círculos, sólo divide 1 ÷ 3. Usando una calculadora, 1 ÷ 3 = 0.33333333. Este es un decimal, no un porcentaje. Hay que escribirlo como un porcentaje y también redondearlo.

¿Cómo? Acuérdate, 0.33 sería 33% (33 centésimos). Entonces, 0.333333 sería 33.3333%.

Vamos a redondear esto al décimo de un por ciento más cerca: 33.3|3333% ≈ 33.3%.

Entonces, 3 9

ó 1 3

de las figuras son círculos.

¿Qué porcentaje de las figuras son triángulos?

Vamos a dividir: 2 ÷ 9 = 0.2222222 = 22.22222%. Redondeando a un por ciento entero, hallamos que aproximadamente 22% de las figuras son triángulos. Redondeando a un décimo de un por ciento, aproximadamente 22.2% de las figuras son triángulos.

a.

La razón de varones a hembras es ____ : _____ .

_______ % de las personas son hembras.

de las personas son hembras.

b.

La razón de varones a hembras es ____ : _____ .

_______ % de las personas son hembras.


c.

La razón de varones a hembras es ______ : _______ .

________ % de las personas son hembras.


32

6. De los miembros de un club de golf, 1/6 son adolescentes y los demás son adultos.

a. Mira el diagrama. ¿Cuál es la razón de adolescentes a adultos?

b. ¿Qué porcentaje de los miembros son adolescentes?

c. ¿Qué porcentaje de los miembros son adultos?

d. Si hay 125 adultos, ¿cuántos miembros tiene el club?

7. Tienes una bolsa de cuentas verdes, azules y rojas en la razón de 2 : 3 : 3.

a. Dibuja un diagrama para representar la situación.

b. Si la bolsa contiene un total de 480 cuentas, ¿cuántas son verdes, cuántas son azules y cuántas son rojas?

c. ¿Qué porcentaje de las cuentas son rojas?

8. Hay 10 zapatos para damas y 8 zapatos para caballeros en una muestra de zapatos.

a. ¿Qué fracción de los zapatos son para damas? ¿Para caballeros?

b. ¿Qué porcentaje de los zapatos son para damas? ¿Para caballeros?

9. Una fábrica tiene 1,400 trabajadores. Veintiuno de ellos son gerentes.

a. ¿Cuál es la razón de gerentes a otros trabajadores?

b. ¿Qué porcentaje del total de trabajadores no son gerentes? Redondea tu respuesta al décimo de un por ciento más cerca.

10. Soraya mezcla 150 g de sal con 1,500 g de agua.

a. ¿Cuál es la razón de sal a agua?

b. ¿Qué porcentaje de la mezcla es sal?

c. ¿Qué porcentaje de la mezcla es agua?

33

Repaso 1. Escribe como porcentajes, fracciones y decimales.

2. Escribe las fracciones como porcentajes. Usa el algoritmo de división. Redondea las respuestas al décimo de un por ciento más cerca.

3. Completa la tabla. Usa matemáticas mental.

4. a. Si 11/20 de una cierta parcela de terreno es terreno baldío, ¿qué porcentaje de ese terreno es terreno baldío?

b. El área de la parcela es 4,500 m2. Calcula cuántos

metros cuadrados del terreno es terreno baldío.

5. ¿Cuál es el precio rebajado si un calendario para la pared que cuesta $16 está rebajado 20% ?

6. Juan pesa 27 kg y Mateo pesa 45 kg. ¿Qué porcentaje del peso de Mateo es el peso de Juan?

7. Una tienda compró un cargamento de 12,000 kg manzanas rojas, amarillas y verdes. Las manzanas estaban en una razón (por peso) de 2 : 1 : 2 (rojo a amarillo a verde).

a. ¿Cuántos kilogramos de manzanas son verdes?

b. ¿Qué porcentaje (por peso) de las manzanas son verdes?

a. 44% = = _____ b. ____% = 7

100 = _____ c. ___% = = 0.21

a.

Sombreado:

= ____%

No sombreado:

= ____% b.

Sombreado:

= ____%

No sombreado:

= ____%

↓ Porcentaje / Número → 1,300 700 80 48 2.4

1% del número

3% del número

10% del número

25% del número

34

Gráficos circulares

1. Dibuja un gráfico circular que muestra ...

Un gráfico circular está compuesto de sectores, y cada sector tiene un ángulo central. Un gráfico circular que representa varios porcentajes tendrá un sector para cada porcentaje. Entonces, necesitamos calcular cuántos grados es el ángulo central para cada sector.

Para hacer eso, sólo calculamos ese porcentaje de 360 grados (el círculo entero).

Por ejemplo, 25% de algún total corresponda a 0.25 × 360º = 90º. De manera similar, 67% de algún total corresponde a 0.67 × 360º = 241.2º.

a. 50%, 25% y 25%

b. 33.3%, 33.3%, 1/6 y 1/6

c. 20%, 20%, 10% y 50%

2. La tabla muestra varios tipos de panes que pidió un supermercado. Completa la tabla. Haz un gráfico circular. (Nota: Necesitarás un transportador para dibujar los ángulos.)

TipoCanti-

dad FracciónPorcen-

tajeÁngulo central

Pan blanco 50 1/4

Pan de salvado 25

Pan de centeno 30

Pan de maíz 40

Pan de 4 granos 55

TOTAL 200 1 100% 360º

3. a. Haz un gráfico circular de las cantidades de cada tipo de pan de la tabla que está arriba. →

b. ¿Muestra porcentajes el gráfico de barras?

35

4. Piensa en fracciones. Estima cuánto por ciento representan los sectores de los gráficos circulares.

5. La tabla muestra cuántos de cada uno de los diferentes sabores de proteína en polvo vendió una compañía. Dibuja un gráfico circular que muestra los porcentajes. Necesitarás un transportador y una calculadora.

6. Marcos realizó una encuesta de los estudiantes de 6º grado sobre sus pasatiempos favoritos. Abajo están sus resultados. Dibuja un gráfico circular para mostrar los porcentajes. Redondea los ángulos a grados enteros. Necesitarás un transportador y una calculadora.

a.

b. c.

Sabor

Cantidad vendida

Porcentaje del total

Ángulocentral

Chocolate 67

Vainilla 34

Fresa 16

Arándano 26

TOTAL 100% 360º

Pasatiempo favorito Porcentaje Ángulo central

Lectura 12.3%

Televisión 24.5%

Juegos de computadora 21%

Deportes 22.3%

Mascotas 7.1%

Coleccionar 8.1%

Ningún pasatiempo 4.7%

TOTAL 100% 360º

36

Porcentaje de cambio

1. Vamos a repasar. Todos estos artículos están a la venta. Calcula el nuevo precio rebajado.

2. Se aumentan los precios de estos artículos. Halla los precios nuevos.

3. Una chaqueta cuesta $50. Primero, se aumenta su precio un 20%. Después, está rebajada 20%. Calcula el precio final. Nota: ¡NO será $50!

Porcentaje de cambio tiene que ver con situaciones donde un precio o alguna otra cantidad aumenta o disminuye (cambia) por un porcentaje. Primero, repasaremos rebajas y aumentos de precio. Después, estudiaremos cómo calcular el porcentaje de cambio — es decir, cómo hallar por cuánto por ciento cambió el precio u otra cantidad.

Ya has estudiado rebajas, donde se rebaja el precio de un artículo 10%, 15%, u otro porcentaje. De forma similar, también se puede aumentar el precio de un artículo por un cierto porcentaje.

Ejemplo. Un boleto de avión cuesta $120 ahora. La semana que viene, aumenta del 10%. ¿Cuál será el precio nuevo?

Primero, calcula 10% de $120. Son $12. Ya que el precio está aumentando, lo sumamos al precio actual: $120 + $12 = $132. Entonces, el precio nuevo es $132.

Precio nuevo: $___________

a.

Precio: $9 Rebajado 20%

Precio nuevo: $____________

b.


Precio nuevo: $__________

c.



a.

Precio: $5,000 Un aumento de 10%


b.

Precio: $110 Un aumento de 20%

Precio nuevo: $_________

c.



d.


Precio nuevo: $_________

e.



f.

Precio: $1.50 Un aumento de 50%

37

4. Rellena los espacios vacíos, y calcula de cuánto por ciento es la rebaja en cada situación.

5. Un aparato portátil para leer libros cuesta $250. Ahora está rebajado y cuesta $225. ¿Cuál es el porcentaje de rebaja?

Ejemplo. Un teléfono costaba $50 originalmente. Ahora está rebajado, y cuesta $45. ¿Cuánto por ciento bajó el precio?

Nota: El problema está pidiendo el porcentaje—¡no el precio nuevo! Se resuelve en dos pasos:

1. Hallamos cuánto se restó del precio original para conseguir el precio rebajado. Esto significa hallar la diferencia $50 − $45 = $5. Este $5 es la cantidad de la rebaja en dólares.

2. Después, hallamos cuánto por ciento esta diferencia de $5 es del precio original de $50. ¿Cuánto por ciento es $5 de $50? Es 5/50 = 1/10 = 10%.

Entonces, la rebaja era 10%.

a. Un juego de construcción cuesta $12. Está rebajado y ahora sólo cuesta $8. ¿Cuál es el porcentaje de rebaja?

1. Primero hallamos cuánto se restó de $12 para conseguir $8 (la DIFERENCIA). Es $_________

2. Después hallamos cuánto por ciento $________ es del precio original, $12:

b. Un equipo de costura cuesta $20. Está rebajado y ahora sólo cuesta $16. ¿Cuánto por ciento bajó el precio?

1. Primero hallamos cuánto se restó de $_______ para conseguir $_______ (la DIFERENCIA). Es $_________

2. Después, hallamos cuánto por ciento $________ es del precio original, $20:

Compara estos dos problemas con cuidado:

Cuando hallamos el porcentaje de rebaja de un precio rebajado (a la derecha), resolvemos “al revés”en comparación a cuando hallamos el precio rebajado de un porcentaje de rebaja (a la izquierda).

Al principio, una camisa costaba$24. Ahora está rebajada 25%. ¿Cuál es el precio nuevo?

Al principio, una camisa costaba $24.Ahora está rebajada, y cuesta $18. ¿Cuánto por ciento se la rebajó?

1. Calcula 25% de $24. Ya que 25% = 1/4, esto es 1/4 de $24, ó $6.

2. Resta $24 − $6 = $18. Eso es el precio nuevo.

1. Halla cuánto se restó de $24 para conseguir $18 (la diferencia). Es $6. Entonces, se rebajó $6.

2. Halla cuánto por ciento $6 es del precio original, $24. Es 6/24 = 1/4 = 25%. Entonces, la rebaja era 25%.

38

6. Completa con la información que falta. Halla el porcentaje de aumento.

7. Completa con la información que falta y halla el porcentaje de aumento o reducción.

Porcentaje de aumento

Cuando aumenta el precio, podemos calcular ese aumento como un porcentaje, también. Compara:

En hallar el porcentaje de aumento (a la derecha), resolvemos “al revés” en comparación a hallar el precio cuando se sabe el porcentaje de aumento (a la izquierda).

¡Nota también que usamos céntimos (¢) para calcular qué porcentaje $0.15 (15¢) es de $3 (300¢)!

Gasolina costó $3/galón la semana pasada. Ahora el precio ha aumentadopor 5%. ¿Cuál es el precio nuevo?

Gasolina costó $3 la semana pasada.Ahora cuesta $3.15. ¿Cuál es el por-centaje de aumento?

1. Calcula 5% de $3. Ya que 10% de $3 es $0.30, entonces 5% es la mitad de eso, ó $0.15.

2. Suma $3 + $0.15 = $3.15/galón. Eso es el precio nuevo.

1. Halla cuánto se sumó a $3 para conseguir $3.15 (la diferencia). Es $0.15.

2. Halla cuánto por ciento $0.15 es del precio original, $3. Es 15/300 = 5/100 = 5%. Entonces, el porcentaje de aumento era 5%.

a. Antes, un ramo de flores costaba $15, pero ahora cuesta $20. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?

1. Primero hallamos cuánto se sumó a $15 para conseguir $20 (la DIFERENCIA). Es $_________


b. Antes, una silla costaba $20, pero ahora cuesta $26. ¿Qué porcentaje aumentó su precio?

1. Primero hallamos cuánto se sumó a $20 para conseguir $26 (la DIFERENCIA). Es $_________


a. Antes, una linterna costaba $9, pero ahora cuesta $8.10. ¿Cuál es el porcentaje de rebaja?

1. La diferencia en precio es $_________

2. Halla cuánto por ciento $________ es del precio original, $9:

b. Antes, una estufa costaba $160, pero ahora cuesta $200. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?

1. La diferencia en precio es $_________

2. Halla cuánto por ciento $________ es del precio original, $________:

39

Porcentaje de cambio, parte 2

1. Completa la información que falta y halla el porcentaje de aumento o reducción.

2. En mayo, un sitio Web tuvo 500,000 visitantes. En diciembre, tuvo 700,000 visitantes. Halla el porcentaje de aumento en la cantidad de visitantes.

3. El perro de María pesaba 25 kg, pero después se enfermó y bajó 2 kg. ¿Qué porcentaje de su peso corporal bajó el perro?

Para calcular el porcentaje de cambio en alguna cantidad (o porcentaje de aumento o porcentaje de reducción):

Escribe esa fracción como un porcentaje.

Halla la fracción diferencia en la cantidad

cantidad original

Ejemplo. Un bebé pesaba 5 kg, pero ahora pesa 6 kg. ¿Cuánto por ciento aumentó su peso?

Cuando lo convertimos en una fracción (diferencia en peso) / (peso original), conseguimos1 kg / 5 kg = 1/5. Como un porcentaje, 1/5 es 20%. Entonces, su peso aumentó por 20%.

a. Este año la universidad tiene 1,200 estudiantes. El año pasado tuvo 900 estudiantes. ¿Cuál es el porcentaje de aumento en la cantidad de estudiantes?

2. Escríbela como un porcentaje:

1. Halla la fracción diferencia en la cantidad de estudiantes

cantidad original de estudiantes=

b. En mayo, una librería vendió 2,400 libros. En junio, vendió 2,000 libros. ¿Por cuánto por ciento desminuyó la venta de libros?

2. Escríbelo como un porcentaje:

1. Halla la fracción diferencia en la cantidad de libros vendidos

cantidad original de libros vendidos=

40

4. Al décimo de un por ciento más cerca, calcula por cuánto por ciento cambiaron estas cantidades.

5. a. El precio de un libro de texto de biología era $50. Después se rebajó a $45. Calcula el porcentaje de cambio en precio.

b. Se aumentó el precio de nuevo a $50. Calcula el porcentaje de aumento. ¡Ojala que esto no sea una sorpresa para ti, pero la respuesta no es lo mismo que en parte (a)!

6. El precio de un tarro de miel aumentó de $5.50 a $6.00. Después, aumentó más a $6.50.

a. Calcula por cuánto por ciento aumentó el precio primero.

b. Calcula por cuánto por ciento aumentó el precio después.

c. Si aumentara el precio por otro $0.50 (de $6.50 a $7.00), ¿sería el porcentaje de aumento más, menos o igual a lo que conseguiste en parte (b)?

7. a. Tres artículos, con precios de $50, $60 y $70, tienen sus precios aumentados por $10. ¿Para qué artículo es mayor el aumento de porcentaje?

b. Tres artículos, con precios de $50, $60 y $70, tienen sus precios rebajados 12%. ¿Cuál de los tres precios disminuye más (en dólares)?

Cuando los números son más difíciles, puedes usar una calculadora.

Ejemplo. El alquiler aumentó de $325 a $342. ¿Cuánto era el porcentaje de aumento?

Primero hallamos el aumento en realidad (diferencia) del alquiler: $342 − $325 = $17. Entonces, escribimos la fracción donde comparamos $17 al alquiler original: $17 / $325. Usando la calculadora, esta fracción es 0.0523077 como un decimal, o aproximadamente 5%.

a. El franqueo para una carta aumentó de $0.78 a $0.81.

b. Se recortaron las horas laborales semanales que trabajaba Papá de 40 horas a 37.5 horas.

c. Jaime vendió 445 periódicos la semana pasada. Esta semana él vendió 487.

d. Papas costaban $1.09 por libra pero aumentaron a $1.14 por libra.

41

Porcentaje de cambio: aplicaciones

Da tus respuestas al décimo de un por ciento más cerca:

1. Halla el porcentaje de aumento en área, cuando se aumenta el tamaño de un jardín de 10 m × 10 m así que ahora mide 15 m × 15 m.

2. Se ha impreso un boletín informativo en hojas de 21 cm × 29.7 cm. Para ahorrar dinero, será impreso el hojas de 17.6 cm × 25 cm en vez del otro tamaño. ¿Qué porcentaje desminuirá la área imprimible?

3. Un diseñador planea usar ventanas del tamaño 85 cm × 85 cm. Él cambia su opinión y usa ventanas que tienen 10 cm más de ancho y de largo. ¿Qué porcentaje cambia el área de una ventana?

4. Rellena los pasos para el siguiente problema.

Se planeó que una pintura en una pared sea del tamaño 5 m × 3 m. Si aumentaran del 20% la longitud de ambos de sus lados, ¿qué porcentaje aumentaría el área de la pintura?

Paso 1. Calcula las longitudes de los lados nuevos: La pintura medirá ________ m × ________ m.

Paso 2. Calcula el área original: Es ________ m2.

Paso 3. Calcula el área nueva: Es ________ m2.

Paso 4. Porcentaje de cambio: Compara la diferencia en área a el área original:

Área

Un parque infantil mide 10 m × 12 m. Se aumenta así que cada lado mide 3 metros más. ¿Qué porcentaje aumentó el área?

Aquí, NO hallaremos cuánto por ciento aumenta la longitud de cada lado, sino necesitamos concentrarnos en el ÁREA original y el ÁREA nueva.

El área original es 10 m × 12 m = 120 m2. La nueva área es 13 m × 15 m = 195 m2.

Ahora hallamos el porcentaje de aumento. Escribimos una fracción usando la diferencia en área y el área original: (75 m2/120 m2) = 5/8. La fracción 5/8 es igual a 0.625, y como un porcentaje, es 62.5%.

42

5. Se aumenta del 20% el precio de una aspiradora que cuesta $100. Luego se aumenta otro 10%.

a. Halla cuánto cuesta la aspiradora ahora.

b. Halla el porcentaje de aumento SI se hubiera aumentado el precio de $100 al precio final en uno sólo aumento. Nota: ¡La respuesta NO será 30%!

6. Se rebaja del 15% el precio de un exprimidor que cuesta $200. Luego, se rebaja otro 8%.

a. Halla cuánto cuesta el exprimidor ahora.

b. Halla el porcentaje de rebaja SI se hubiera rebajado el precio de $200 al precio final en una sola reducción. Nota: ¡La respuesta NO será 23%!

7. La población del estado de Kentucky era 3,038,000 en el año 1960 y 3,219,000 en el año 1970. Calcula el porcentaje de aumento en la población de Kentucky durante esa década.

8. La tabla muestra la población de Kentucky cada 10 años. El gráfico lineal muestra un formato diferente para la misma información. Tu tarea es calcular el porcentaje de aumento en cada década. Ya lo hiciste para los años 1960-1970 en el ejercicio anterior, entonces escribe esa respuesta en la fila para el año 1970.

9. La población de Kentucky creció más pronunciadamente en una de estas décadas que cualesquiera de las otras.

a. ¿Qué década? Desde _________ hasta _________.

b. ¿Por cuánto por ciento creció durante esa década?

c. ¿Cómo puedes ver qué década es en el gráfico lineal?

Año PoblaciónAumento de %

en la década

1960 3,038,000 —

1970 3,219,000

1980 3,661,000

1990 3,685,000

2000 4,042,000

2010 4,340,000

43

Comparaciones con porcentaje

1. Calcula cuánto por ciento más alto es la cosa más alta en comparación a la cosa más baja.

¿Qué porcentaje más/menos/más grande/más pequeño/más alto/más bajo ...?

Un coche pesa 2,000 kg. Otro coche pesa 2,500 kg. ¿Cuánto por ciento más pesa el coche más pesado que el coche más liviano?

Puedes hallar fácilmente cuánto más pesa el segundo coche: 500 kg más. Sin embargo, la pregunta no está pidiendo esa información —está preguntando cuánto por ciento más pesa el segundo coche. Esto se resuelve en la misma manera que el porcentaje de aumento o reducción que acabaste de aprender:

1. Halla la diferencia real (en este caso 500 kg).

2. Compara los 500 kg al peso de “referencia” (el peso del coche más liviano), 2,000 kg.

O sea, calculamos la fracción diferencia en peso

peso de referencia, y lo escribimos como un porcentaje.

Entonces, el segundo coche es 25% más pesado que el primer coche.

El peso de referencia significa el peso del coche a lo cual estás comparando. La pregunta nos pide cuánto por ciento más pesa el coche más pesado que el coche más liviano. Esto significa que el coche más liviano es el coche “de referencia”. Imagina que el coche más liviano estaba aquí primero, y estamos comparando un coche “recién llegado” a este “primer” coche.

En este caso, la fracción es 500 kg

2,000 kg =

5

20=

1

4, y 1/4 = 25%.

Ejemplo. La Universidad del Sur tiene 2,600 estudiantes y la Universidad del Oeste tiene 2,400. ¿Cuánto por ciento más de estudiantes tiene la Universidad del Sur que la Universidad del Oeste?

La diferencia en la cantidad de estudiantes es 200. Pero, ¿qué número es nuestra referencia? Estamos comparando la Universidad del Sur a la Universidad del Oeste. (Se menciona la Universidad del Oeste después de la palabra “que.”) Entonces, la cantidad de estudiantes que tiene la Universidad del Oeste es nuestro número de referencia.

Entonces, la Universidad del Sur tiene aproximadamente 7.7% más estudiantes que la del Oeste.

La fracción es diferencia en cantidad de estudiantes

cantidad de estudiantes de referencia=

200

2,400=

2

26=

1

13= 0.07692... ≈ 7.7%.

6 m

8 m

a. diferencia referencia

= b.

300 cm

120 cm

c.

4 m

5 m

44

2. Erica mide 140, y Elena mide 160 cm.

a. ¿Cuántos centímetros más alta es Elena que Erica?

b. ¿Cuánto por ciento más alta es Elena que Erica?

3. Plan de suscripción #1 cuesta $25 y Plan #2 cuesta $40. ¿Cuánto por ciento más cuesta Plan #2 que Plan #1?

4. El área de un parque es 14,000 pies cuadrados, y el área de otro parque es 10,000 pies cuadrados. ¿Cuánto por ciento más pequeño es el segundo parque en comparación al primero?

5. Los estudiantes en grupo 1 tenían un promedio de 77 puntos, y los estudiantes en grupo 2 tenían un promedio de 65 puntos. ¿Cuánto por ciento menos es el promedio del segundo grupo en comparación al promedio del primer grupo?

6. Una familia paga $40 por una comida en un restaurante. Pagan al mesonero una propina de 5% (de los $40). También, se agrega a la cuenta un impuesto de venta de 7% (de los $40).

a. ¿Cuánto es la propina en dólares?

b. ¿Cuál es el costo total para la familia?

7. Persona A come una comida que cuesta $25 y le da al mesonero una propina de 10%. Persona B come una comida que cuesta $30 y le da al mesonero una propina de 8%. ¿En qué situación gana el mesonero una propina mayor en dólares?

8. Refiere a la tabla. Calcula los porcentajes comparativos al décimo de un por ciento más cerca.

La población de Tokio es __________% más que la población de Mumbai.

La población de Tokio es __________% más que la población de Moscú.

La población de Moscú es __________% menos que la población de la Ciudad de Nueva York.

La población de Shanghai es __________% menos que la población de Seúl.

Área metropolitana País Población

(millones)

Tokio Japón 32.45

Seúl Corea del Sur 20.55

Ciudad de México México 20.45

Ciudad de Nueva York Estados Unidos 19.75

Mumbai India 19.20

Shanghai China 16.65

Moscú Rusia 15.00

45

9. Una planta de alubias mide 12 cm, y otra mide 16 cm.

¡Compara con cuidado estos cuatro tipos de preguntas sobre la misma situación!

Ejemplo. Un gato pesa 1.2 kg y otro gato pesa 1.5 kg.

Pregunta 1. ¿Cuánto por ciento es el peso del gato más pequeño del peso del gato más grande?

Solución: Escribe qué fracción el peso del gato más pequeño es del peso del gato más grande:

Pregunta 2. ¿Cuánto por ciento es el peso del gato más grande del peso del gato más pequeño?

Solución: Escribe qué fracción el peso del gato más grande es del peso del gato más pequeño:

Pregunta 3. ¿Cuánto por ciento más pesa el gato más grande que el gato más pequeño?

Solución: Escribe la fracción (diferencia / referencia):

Pregunta 4. ¿Cuánto por ciento menos pesa el gato más pequeño que el gato más grande?

Solución: Escribe la fracción (diferencia / referencia):

Es peso del gato más pequeño peso del gato más grande

= 1.2 kg 1.5 kg

= 12

15=

4

5= 80%.

Es peso del gato más grande

peso del gato más pequeño =

1.5 kg 1.2 kg

= 15

12=

5

4= 1 1/4 = 120%.

Es diferencia en peso

peso del gato más pequeño =

0.3 kg 1.2 kg

= 3

12=

1

4= 25%.

Es diferencia en peso

peso del gato más grande =

0.3 kg 1.5 kg

= 3

15=

1

5= 20%.

Son cuatro preguntas diferentes con cuatro respuestas diferentes. ¡Nota las palabras claves subrayadas!

Además, en todos tipos de preguntas es importante el orden de comparación: nota con cuidado a cuál de los dos gatos estamos comparando (es decir, qué gato es el gato “de referencia”).

Podrías que te pide, “¿Cuánto por ciento es (esto)de (eso)?”O: “¿Cuánto por ciento más/menos/más pequeño/más grande

es (esto) que (eso)?”

a. ¿Cuánto por ciento es la altura de la planta más baja de la altura de la planta más alta?

b. ¿Cuánto por ciento es la altura de la planta más alta de la altura de la planta más baja?

c. ¿Cuánto por ciento más alta es la planta más alta que la planta más baja?

d. ¿Cuánto por ciento más baja es la planta más baja que la planta más alta?

46

10. En una carrera, el Pony Viejo terminó en 120 segundos, y la Yegua Vieja terminó en 200 segundos.

11. ¿Quién tiene razón?

a. ¿Cuánto por ciento es el tiempo del Pony Viejo del tiempo de la Yegua Vieja?

b. ¿Cuánto por ciento es el tiempo de la Yegua Vieja al tiempo del Pony Viejo?

c. ¿Cuánto por ciento más rápido era el Pony Viejo que la Yegua Vieja?

d. ¿Cuánto por ciento más lenta era la Yegua Vieja que el Pony Viejo?

a. Juan hizo un torre de bloques que midió 150 cm. El torre de bloques que hizo el bebé midió 30 cm. ¿Cuánto por ciento es la altura del torre que hizo el bebé de la altura del torre que hizo Juan?

Elías: Yo resto150 − 30 = 120%.

Ángela: Yo escribo la fracción 120 cm

150 cm=

12

15=

4

5= 80% .

María: Yo escribo la fracción 30 cm

150 cm=

3

15=

1

5= 20% .

b. La orquesta de la escuela de música tiene 26 muchachos y 14 muchachas. ¿Cuánto por ciento más muchachos tiene que muchachas?

Elías: Yo resto 26 − 14 = 12%.

Ángela: Yo resto 26 − 14 = 12 y escribo la fracción

12

14=

6

7≈ 86%.

María: Yo escribo la fracción 14 26

= 7

13≈ 54%.

c. Un paquete de granola pesa 800 g y cuesta $3.60. Otro pesa 600 g y cuesta $3.00. ¿Cuánto por ciento más pesado es el primero que el segundo? ¿Cuánto por ciento más caro es el primero que el segundo?

Ángela: Yo resto 800 g − 600 g = 200 g y escribo la fracción 200

800=

1

4= 25%.

Ángela: Yo resto $3.60 − $3.00 = $0.60 y escribo la fracción 0.60

3.60=

1

6≈ 17%.

María: Yo resto 800 g − 600 g = 200 g y escribo la fracción 200

600=

1

3≈ 33%.

María: Yo resto $3.60 − $3.00 = $0.60 y escribo la fracción 0.60

3.00=

1

5= 20%.

d. ¿Cuál de los paquetes de granola es la mejor compra?

47

Repaso: porcentaje He aquí un repaso de los diferentes tipos de problemas de porcentaje que encontrarás con más frecuencia:

1. Hallar un porcentaje de un número 2. Una parte fraccionaria como un porcentaje

¿Qué es 60% de 300 millas?

Calcula 0.6 × 300 millas = 180 millas. Como un alternativo, primero calcula 10% de 300 millas, lo cual es 1/10, o 30 millas. Después multiplica 6 × 30 millas = 180 millas.

De los 15,400 trabajadores en una ciudad, 22% trabajan en una fábrica de acero. ¿Cuántos trabajadores trabajan en la fábrica?

Calcula: 0.22 × 15,400 = 3,388 trabajadores.

¿Qué porcentaje es 600 g de 2 kg?

Una mochila cuesta $18 y otra cuesta $29. ¿Qué porcentaje es el precio de la mochila más barata del precio de la mochila más cara?

Escribe la fracción 600 g

2,000 g =

6 20

= 30

100 = 30%.

Escribe la fracción $18

$29 = 0.6206... ≈ 62%.

Convierte el porcentaje en un decimal. Después, multiplica el número por ese decimal. Alternativamente, usa atajos de matemáticas mental para hallar 5%, 10%, 20%, 25%, 50%, etc. de un número.

Primero, escribe la fracción. Nota que las dos cantidades en la fracción deben estar en las mismas unidades: ambas en gramos, ambas en metros, ambas en dólares, etc. Después, convierte la fracción en un decimal y al final un porcentaje.

3. Porcentaje de cambio: se da el porcentaje 4. Porcentaje de cambio: se pide el porcentaje (También se llama porcentaje de comparación)

Se rebaja 10% una chaqueta que cuesta $30. ¿Cuál es el precio nuevo?

10% de $30 es $3. Resta: $30 − $3 = $27.

El mes que viene, el alquiler que paga la familia Martínez, lo cual ha sido $250, aumentará 7%. ¿Cuál es el alquiler nuevo?

Calcula 7% de $250, lo cual es 0.07 × $250 = $17.50. Suma eso al alquiler anterior: $250 + $17.50 = $267.50

Un programa de software para la computadora que cuesta $99 se rebaja a $74. ¿Cuál es el porcentaje de rebaja?

La diferencia en precio es $99 − $74 = $25.

240 estudiantes inscribieron en un curso de cálculo y 272 en un curso de biología. ¿Que es la diferencia porcentual entre los que inscribieron en biología y los que en cálculo?

La diferencia es 272 − 240 = 32.

Escribe la fracción diferencia original

= $25 $99

≈ 25%

Escribe la fracción diferencia referencia

= 32

240 ≈ 13%

Primero, calcula el aumento (o reducción) de la cantidad. Después, suma eso (o réstalo) a la cantidad original.

Calcula la diferencia en la cantidad o dos cantidades.

Escribe la fracción diferencia original

o diferencia

referencia , y escribe eso como un porcentaje.

48

Preguntas básicas. No uses una calculadora a lo menos está indicado con el símbolo de una calculadora.


2. Escribe como un porcentaje. Redondea tus respuestas al décimo de un por ciento más cerca. Usa el algoritmo de división.

a. 1/7

b. 2/25

c. 1 5/8

3. Marco es 95% tan alto como Enrique, que mide 200 cm. ¿Cuánto mide Marco?

4. Una compañía de queso aumentó el tamaño de su envasado de 300 g a 350 g. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?

5. Al mismo tiempo, aumentaron del 20% el precio de $4.60. ¿Cuál es el precio nuevo?

6. Un grupo de patinadores tiene 15 muchachas y 5 muchachos. ¿Qué porcentaje de los patinadores son muchachas?

7. Si Nancy mide 160 cm y Jeremías mide 184 cm, ¿cuánto por ciento más alto es Jeremías que Nancy?

8. La cantidad de estudiantes que aprobaron el examen de competencia de escuela secundaria aumentó de 40,000 (el año pasado) a 41,600 (este año). ¿Cuánto por ciento era el aumento?

9. Calcula el precio final para un producto que cuesta $20, con un impuesto de venta de 7%.

a. ____% = 68

100 = _____ b. 7% = = _____ c. ____% = = 0.15

d. 120% = = _____ e. ____% = 24

1000 = _____ f. ____% = = 0.786

49

10. Una familia compró cuatro almuerzos, por $13 cada uno, y dejó una propina de15% para el mesonero. ¿Cuánto costaron sus almuerzos en total?

11. ¿Cuál es más barato, una camisa que costaba $18 que tiene una rebaja de 20%, o una camisa que costaba $16 que tiene una rebaja de 10% ?

12. Del total del área del terreno en los EE.UU., 19.5 por ciento se usa para cultivación. Si el área en total de los EE.UU. es 2,267 millones de acres, ¿cuántos acres se usan para cultivación?

13. Andrés gana $2,100 mensual. Él paga 28% de su sueldo en impuestos. Halla los ingresos anuales de Andrés después que ha pagado los impuestos.

Aplicaciones. Cuándo necesitas redondear, da tu respuesta al décimo de un por ciento más cerca.

14. Halla cuánto por ciento más grande la primera figura es que la segunda figura.

15. a. ¿Qué porcentaje es el área del triángulo más pequeño del área del triángulo más grande?

b. ¿Qué porcentaje es el área del triángulo más grande del área del triángulo más pequeño?

a.

b.

16. a. Halla en que porcentajé creció la población de Luxemburgo entre el año 2005 y el año 2006.

b. La población creció 1.9% entre el año 2007 y el año 2008. Halla la población de Luxemburgo en el año 2008, redondeada al millar más cerca.

Población de Luxemburgo

Año Población

2005 465,000

2006 473,000

2007 480,000

2008

50

17. La tabla muestra las notas que sacaron unos estudiantes en un examen reciente de matemáticas. Haz un gráfico circular mostrando los porcentajes. Necesitarás un transportador y una calculadora.

18. Primero, una tienda aumenta con discreción sus precios del 20%, y después anuncia que todo está a la venta con una rebaja de 20%.

a. Halla el precio rebajado de una camisa que originalmente (antes del aumento de precio y rebaja posterior) tenía el precio de $15 y de un par de zapatos que originalmente costaban $40.

b. ¿Cuál es el porcentaje de rebaja cuando la calculas usando los precios originales de $15 y $40 (y no los precios intermedios de cuando la tienda los había aumentado 20%)?

Nota Estudiantes Porcentaje

del totalÁngulocentral

A 7

B 5

C 8

D 3

F 2

TOTAL 25 100% 360º

19. La etiqueta a la derecha es para un envase de yogur natural.

Un doctor le ha recomendado que Julia consuma aproximadamente 65 g de grasa, 300 g de carbohidratos y 50 g de proteína diariamente. Si ella come una taza de yogur, ¿qué porcentaje consumiría ella de su cuota diaria de...

a. carbohidratos?

b. proteína?

c. grasa?

20. Para mantener su peso, Julia necesita aproximadamente 2,000 calorías diariamente.

a. ¿Cuántas tazas (enteras) de yogur tendría que comer para consumir esa cantidad de calorías?

b. Si ella consumiera tantas tazas de yogur, ¿qué porcentaje de su cuota diaria de proteína consumiría?

51

Mamut Matemáticas Porcentaje Clave

Porcentaje p. 8

1. a. Sombreado 67/100 = 0.67 = 67%; sin sombrear 33/100 = 0.33 = 33% b. Sombreado 4/100 = 0.04 = 4%; sin sombrear 96/100 = 0.96 = 96%

2.

3. a. 7% de los bebes tienen defectos al nacimiento. b. 93% de los bebes no tienen defectos al nacimiento. c. Podría esperar a hallar aproximadamente 5 × 7 = 35 bebes con defectos al nacimiento en un grupo de 500 bebes.

4.

5.

6. a. Sombreado 3/5 = 60%; sin sombrear 2/5 = 40% b. Sombreado 3/4 = 75%; sin sombrear 1/4 = 25% c. Sombreado 8/10 = 80%; sin sombrear 2/10 = 20%

7.

8.

9. a. Aproximadamente 4/5 ( 80 %) de la población de los Estados Unidos tiene 14 años o más. b. Aproximadamente 2/25 ( 8 %) de la población del mundo vive en Norteamérica. c. El continente de África cubre aproximadamente 1/5 ( 20 %) de la masa terrestre de la Tierra en total.

10. a. El más alto es 125% tan alto como el más bajo. b. El árbol más bajo mide 160 cm, por eso el árbol más alto mide (5/4) × 160 cm = 200 cm.

Convierta cualquiera fracción en un porcentaje (caja): 2/7 = 28.57% ≈ 29%; 5/7 = 71.43% ≈ 71%.

a. 28% = 28

100 = 0.28 b. 17% =

17 100

= 0.17 c. 89% = 89

100 = 0.89

d. 60% = 60 100

= 0.60 e. 5% = 5

100 = 0.05 f. 8% =

8

100 = 0.08

a. 1 2

= 50 100

= 50% b. 1 4

= 25 100

= 25% c. 1

5 =

20

100 = 20%

a. 4

10 =

40

100 = 40% b.

11 20

= 55

100 = 55% c.

8

10 =

80

100 = 80%

d. 3

20 =

15 100

= 15% e. 6

25 =

24 100

= 24% f. 4

5 =

80

100 = 80%

a. 112

100 = 1.12 = 112% b.

109 100

= 1.09 = 109% c. 278

100 = 2.78 = 278%

a. 105% = 105 100

= 1.05 b. 457% = 457 100

= 4.57 c. 209% = 209

100 = 2.09

d. 506% = 506 100

= 5.06 e. 482% = 482 100

= 4.82 f. 311% = 311

100 = 3.11

52

11.

12. a. Aproximadamente 1/20 ( 5% ) de la población de India tiene 65 años o más. (estimación del año 2009) b. Aproximadamente 13/100 ( 13% ) de la población de Australia tiene 65 años o más (estimación del año 2009) c. El Océano Índico cubre aproximadamente 7/50 ( 14% ) de la superficie de la Tierra. d. Aproximadamente 3/5 ( 60% ) de la población del mundo vive en Asia.

13. a. 8/7 = 1.143 ≈ 114% b. 1 3/8 = 11/8 = 1.375 ≈ 138%

Rincón del misterio: a. Cada cuadrado blanco pequeño es 1/4 de 1/4 de 1/4, ó 1/64, de la totalidad. Entonces, como una fracción, el área coloreada es (1/4) − (2/64) = (16-2)/64 = 14/64 = 7/32. Como un porcentaje, eso es aproximadamente 22% (21.875%)

b. Cada triángulo pequeño coloreado es 1/4 de 1/4, ó 1/16, de la totalidad. Entonces, el área coloreada es 9/16. Como un porcentaje, eso es aproximadamente 56% (56.25%)

c. Cada triángulo pequeño coloreado es 1/4 de 1/4, ó 1/16, de la totalidad. Entonces, el área coloreada es 1/2 + 3/16 = 11/16. Como un porcentaje, esto es aproximadamente 69% (68.75%)

1. a. 20% (3/15 = 1/5 = 20/100) b. 75% (12/16 = 3/4 = 75/100)

2. a. 75% (6/8 = 3/4 = 75/100) b. 40% (120/300 = 12/30 = 2/5 = 40/100) c. 80% (4/5 = 80/100)

3. a. 20% (2/10 = 20/100) b. 62% (32/52 = 0.6154...) c. 25% (24/96 = 1/4 = 25/100)

4.

5. Divida cada ángulo en grados por 360. Por ejemplo, 66° de 360° es 66/360 = 0.18333... = 18%.

6. De las 960 personas en la reunión, 450/960 = 0.468... ≈ 47% eran doctores, 220/960 = 0.229... ≈ 23% eran enfermeras, y (960 - 450 - 220) / 960 = 290/960 = 0.302... ≈ 30% eran investigadores.

a. 3 7

= 43% b. 1 8

= 13% c. 5

9 = 56%

¿Qué porcentaje..?, p. 12

a. b. c.

Paso → ↓ Sector

Dado: tamaño del sector (°)

Convierta en grados (÷ 360°)

Convierta en porcentaje (× 100)

Redondee al % entero más cerca

1 (Gris) 15° 0.041666... 4 1/6 % 4%

2 (Marrón) 32° 0.0888... 8 8/9 % 9%

3 (Amarillo) 130° 0.36111... 36 1/9 % 36%

4 (Verde) 66° 0.18333... 18 1/3 % 18%

5 (Violeta) 117° 0.325 32 1/2 % 33%

TOTAL 360° 1 (círculo) 100 % 100%

53

Rincón del misterio: Para producir la imagen a la derecha (→), halle: 47% de 360 grados (169°), 30% de 360 grados (108°) y 23% de 360 grados (83°). Después, use esos ángulos para dibujar el gráfico circular.

Porcentaje de un número p. 14

3. El sueldo de Soraya es 100 × $23 = $2,300.

4. La piscina costó 10 × $430 = $4,300.

5. Marco paga 0.10 × $450 = $45 en impuestos, entonces la porción de su sueldo que queda sería $450 − $45 = $405.

6. Erica donó 0.01 × $2,500 = $25 a obras benéficas, entonces sus ingresos restantes serían $2,500 − $25 = $2,475.

7.

1. a. 90 b. 16 c. 5 d. 410

e. 9.6 f. 14.5 g. 0.9 h. 0.05

2. a. 9 b. 68 c. 5.5 d. 0.80

e. 0.56 f. 0.12 g. 0.05 h. 0.01

¿Puede pensar en un método para hallar 20% de un número? Respuesta: Halle 10% del número, después duplique el 10% para conseguir 20%.

porcentaje / número 400 60 78 8 4.1

1% del número 4 0.6 0.78 0.08 0.041

2% del número 8 1.2 1.56 0.16 0.082

10% del número

40 6 7.8 0.8 0.41

20% del número

80 12 15.6 1.6 0.82

8. Matemáticas mental y el porcentaje de un número

50% es 1 2

. Para hallar 50% de un número, divida por 2.

10% es 1

10 . Para hallar 10% de un número, divida por 10.

1% es 1

100 . Para hallar 1% de un número, divida por 100.

50% de 244 es 122.

10% de 47 es 4.7

1% de 530 es 5.3

Para hallar 20%, 30%, 40%, 60%, 70%, 80%, ó 90% de un número,

Primero halle 10% del número y multiplique por 2, 3, 4, 6, 7, 8, ó 9.

10% de 120 es 12.

30 % de 120 es 36.

60 % de 120 es 72.

54

10. El impuesto de 20% es 2 × $210 = $420. A él le queda $2,100 − $420 = $1,680 de su sueldo después de impuestos.

11. El total de los impuestos de Natalia es 3 × $310 = $930, entonces a ella le queda $3,100 − $930 = $2,170 después de pagar impuestos.

12. a. Pedro calculó correctamente que si él restara 10% del total, hallaría 90%. Sin embargo, Pedro restó el 10% del número 100 (100%) en vez de $55. La manera correcta de hacerlo es restar $5.50 (10%) de $55 (100%). La respuesta correcta es $49.50.

b. Patricia movió el punto decimal una posición demás a la izquierda. Uno por ciento de $1,400 en realidad es $14, no $1.40. Multiplique ese $14 por seis para hallar la respuesta correcta, $84.

14.

15. 10% de $65 es $6.50 . 1% de $65 es $0.65 . 2% de $65 es $1.30 . Ahora, sume para conseguir 12% de $54: $6.50 + $1.30 = $7.80

16. 25% de 44 kg es 11 kg. 1% de 44 kg es 0.44 kg. Reste 11 kg − 0.44 kg = 10.56 kg

17. a. El impuesto era $2,880 ÷ 4 = $720. b. Su sueldo restante era $2,880 − $720 = $2,160.

18. Ana mandó 34 + 17 = 51 mensajes en la noche. Entonces, ella mandó 340 − 51 = 289 mensajes durante el día.

19. Hay 945 estudiantes que ni caminan ni montan el autobús. Para resolver esto, primero calcule 12% de 1,500, después calcule 25% de 1,500, y reste ambas cantidades de 1,500. Para hallar 12% de 1,500, primero halle 10% de 1,500, lo cual es 150. 1% de 1,500 es 15, entonces 2% de 1,500 es el doble de eso, ó 30. En total, 12% de 1,500 es 150 + 30 = 180. Para hallar 25% de 1,500, divide por cuatro: 1,500 ÷ 4 = 375. Después, reste 1,500 − 180 − 375 = 945.

20. El jugo tropical contiene 0.25 × 2000ml = 500 ml de jugo de mango, 0.30 × 2000ml = 600 ml de jugo de piña y (1 − 0.25 − 0.30) × 2000ml = 0.45 × 2000ml = 900 ml de jugo de guayaba.

21. a. Si ella bajara 10 por ciento de su peso actual, ella pesaría 0.90 × 180 = 162 libras. b. Si ella bajara 20 por ciento de su peso actual, ella pesaría 0.80 × 180 = 144 libras.

Porcentaje de un número: usar decimales p. 18

1.

2.

9. a. 10% de 60 kg 6 kg 20% de 60 kg 12 kg

b. 10% de $14 $1.40 30% de $14 $4.20

c. 10% de 5 mi 0.5 mi 40% de 5 mi 2 mi

d. 1% de $60 $0.60 4% de $60 $2.40

e. 10% de 110 cm 11 cm 70% de 110 cm 77 cm

f. 1% de $1,330 $13.30 3% de $1,330 $39.90

13. a. 25% de 48 mi es 12 75% de 48 mi es 36

b. 10% de $120 es $12 25% de $120 es $30

c. 10% de 16 km es 1.6 km 75% de 16 km es 12 km

a. 50% de 26 plg = 13 plg b. 25% de 40 pies = 10 pies c. 80% de 45 m = 36 m

d. 75% de $4.40 = $3.30 e. 90% de 1.2 m = 1.08 m f. 25% de 120 lb = 30 lb

a. 20% de 70 0.2 × 70 = 14

b. 90% de 50 0.9 × 50 = 45

c. 80% de 400 0.8 × 400 = 320

d. 60% de $8 0.6 × $8 = $4.80

e. 9% de 3,000 0.09 × 3,000 = 270

f. 7% de 40 L 0.07 × 40 = 2.8 L

a. 0.6 × 50 60% de 50 = 30

b. 0.03 × $400 3% de $400 = $12

c. 0.8 × 400 mi 80% de 400 mi = 320 mi

d. 0.08 × 6 8% de 6 = 0.48

e. 0.11 × $300 11% de $300 = $33

f. 0.2 × 70 kg 20% de 70 kg = 14 kg

55

3. a. 0.17 × $4500 = $765 b. 0.67 × 27 m = 18.09 m c. 0.48 × 7.8 kg = 3.744 kg

4. a. 1/4 × 240 mi = 60 mi b. 0.80 × 30,000 km = 24,000 km c. 3/4 × 3.2 kg = 2.4 kg

5. a. Ya que la costa entera es 100%, el porcentaje de la costa que no es playa arenosa es 100% − 6% = 94%. b. 6% de 30 km significa 0.06 × 30 km = 1.8 km de la costa es playa arenosa.

6. a. 100% − 20% = 80% de los estudiantes no tienen becas. b. 0.20 × 4,000 = 800 estudiantes tienen becas. c. 0.80 × 4,000 = 3,200 estudiantes no tienen becas.

7. Había 900 acres sembrados con trigo, 1,350 acres con maíz y 750 acres con avenas:

8. a. Gladis no convirtió 80% en un decimal. Debería ser 0.80 × 50 = 40. b. Guillermo no fue bastantemente lejos con su solución. Él sólo halló 1/4, ó 25%, de 84,000. Después de hallar 25% de 84,000, debería haber multiplicado eso por 3 para hallar 3/4, ó 75%, de 84,000. Entonces 84,000 ÷ 4 = 21,000, y 21,000 × 3 = 63,000.

9. Cinco de las expresiones tienen el mismo valor como 20% de $620:

10. Aproximadamente 27,470,000 más argentinos que tanzanos viven en ciudades. Primero, calcule 92% de 41 millones de argentinos: 0.92 × 41,000,000 = 37,720,000 argentinos. Después, calcule 25% de 41 millones de tanzanos: 0.25 × 41,000,000 = 10,250,000 tanzanos. La diferencia es 37,720,000 − 10,250,000 = 27,470,000 más argentinos que tanzanos. También puede resolverlo por primero restar 92% − 25% = 67% y después multiplicar 0.67 × 41,000,000.

11.

Rebajas p. 21

1. a. Precio de venta: $90 − $18 = $72. b. Rebaja: 0.40 × $5 = $2. Precio rebajado: $5 − $2 = $3. c. Rebaja: 0.30 × $15 = $4.50. Precio rebajado: $15 − $4.50 = $10.50.

2. Mónica restó el porcentaje de la rebaja como una cantidad de dólares en vez de calcular la cantidad de la rebaja en dólares. Primero, ella debería haber hallado 20% de $25, lo cual es $5 (no $20). Después, ella debería haber restado $25 − $5 = $20. Entonces, el precio rebajado correcto es $20.

3. a. 0.75 × $1.20 = $0.90 b. 0.75 × $18 = $13.50 c. 0.70 × $150 = $105 d. 0.60 × $20 = $12 e. 0.90 × $2.20 = $1.98 f. 0.50 × $1.30 = $0.65

Cultivo Porcentaje Decimal Acres sembrados

Trigo 30% 0.30 900

Maíz 45% 0.45 1350

Avenas 100% − 30% − 45% = 25% 0.25 750

TOTAL 100% 1.00 3,000

0.02 × $620 (2%) $620 ÷ 5 $620 ÷ 10 × 2 2 × $621 5 × $620 0.2 × $620 20 × $620 (2000%) $620 ÷ 4 (25%)

Actividad Porcentaje Minutos Horas/minutos

Dormir 38% 547 9 h 7 min

Escuela 21% 302 5 h 2 min

Fútbol 10% 144 2 h 24 min

Jugar 11% 158 2 h 38 min

Comer 9% 130 2 h 10 min

Tareas domésticas 9% 130 2 h 10 min

Higiene 2% 29 29 min

TOTAL 100% 1440 24 horas

b.

56

4. a. Redondee $39.90 ≈ $40. Después, calcule 30% de $40 = $12. El precio rebajado estimado es $40 − $12 = $28. b. Redondee 17% a 20%. Después, calcule 20% de $12.50, lo cual es $2.50. El precio rebajado estimado es $10. O, redondee 17% a 20% y $12.50 a $13. Después, 20% de $13 es 2.60, y el precio rebajado estimado es $10.40. O, redondee 17% a 15% y $12.50 a $12. Después, 15% de $12 es $1.80, y el precio rebajado estimado es $10.20. Note: la respuesta exacta es (1 − 0.17) × $12.50 = $10.38, entonces el segundo método, lo cual calcula un precio rebajado estimado de $10.40, es el más preciso. ¿En su opinión por qué es así? * c. Redondee $75.50 a $80. Después, 75% de $80 es $60, y el precio rebajado estimado es $20.

5. a. Redondee $199 a $200. Ya que 75% de $200 es $150, el precio rebajado estimado sería $50, lo cual cuesta aproximadamente $45 más que la marca genérica de reproductor de mp3. Sin embargo, ¡puede que este a favor de pagar $5 más para conseguir una marca “mejor”! b. Redondee $89 a $90. Entonces, 40% de $90 es $36, y el precio rebajado estimado es aproximadamente $90 − $36 = $54, lo cual todavía es más que aproximadamente $40 por una copia usada. ¡Necesitará decidir si la diferencia en condición le vale $14!

6. Las expresiones que estaban en las cajas grises no funcionarán, pero todas las otras sí.

7. Ganarían más dinero por venderlo a la rebaja de 25%. Sin la rebaja, están ganando aprox. 50 × $40 = $2,000 por semana. Rebajarlo a aproximadamente $30 haría sus ingresos estimados aprox. 100 × $30 = $3,000 por semana.

8. La rebaja era 20 por ciento. ¿Por qué? En dólares, la rebaja era $60 − $48 = $12. Ya que 12 × 5 = 60, $12 es exactamente 1/5 de $60, se rebajó 1/5 ó 20%.

* Nota para problema 4. b. (“En tu opinión, ¿por qué es así?”): Por redondear la rebaja de 17% a 20%, estamos calculando una rebaja mayor que la que recibiríamos en realidad. Entonces por redondear el precio al alza a un precio más caro, de $12.50 a $13.00, estamos contrarrestando ese error. Cuando se eliminan nuestros errores de estimación, generalmente nuestra estimación está más cerca del precio exacto.

Impuesto de venta p. 23

1. a. Impuesto para añadir: 0.07 × $100 = $7. Precio después de impuesto: $100 + $7 = $107. b. Impuesto para añadir: 0.06 × $400 = $24. Precio después de impuesto: $400 + $24 = $424. c. Impuesto para añadir: 0.05 × $8 = $0.40. Precio después de impuesto: $8 + $0.40 = $8.40 d. Impuesto para añadir: 0.03 × $50 = $1.50. Precio después de impuesto: $50 + $1.50 = $51.50

2. a. 10% × $180 = $18. $18 ÷ 2 = $9. $180 + $9 = $189. b. 2 × $18 = $36. 10% × $36 ÷ 2 = $1.80. $36 + $1.80 = $37.80. c. $2 + $13 = $15. 10% × $15 ÷ 2 = $0.75. $15 + $0.75 = $15.75. d. $70 + $18 = $88. 10% × $88 ÷ 2 = $4.40. $88 + $4.40 = $92.40. e. 6 × $2 = $12. 10% × $12 ÷ 2 = $0.60. $12 + $0.60 = $12.60. f. 2 × $18 + $70 = $36 + $70 = $106. 10% × $106 ÷ 2 = $5.30. $106 + $5.30 = $111.30.

3. Las entradas costaron 3 × $10 + 2 × $20 = $30 + $40 = $70. El impuesto era 0.07 × $70 = $4.90. Entonces el costo en total para todas las entradas era $74.90.

4. a. La rebaja es 0.20 × $12.50 = $2.50. Entonces, el precio rebajado es $12.50 - $2.50 = $10.00. El impuesto de venta es 0.70 × $10.00 = $0.70. Entonces, el costo final del CD con impuesto es $10.00 + $0.70 = $10.70. b. El precio rebajado es 0.60 × $55 = $33. Entonces, el costo final de los pantalones incluyendo impuesto de venta es 1.05 × $33 = $34.65.

5. a. El costo total que Pedro pagó era 1.08 × $200,000 = $216,000. b. $86,400. Él vendió 2,000 m2/ 5,000 m2 = 2/5 = 40% de su terreno. Entonces, para recuperar su costo, él necesita cobrar a su vecino 2/5 ó 40% de $216,000, lo cual es 0.4 × $216,000 = $86,400.

6. Primero necesitamos calcular el precio incluyendo impuesto de venta. El precio final incluyendo el impuesto es 1.07 × $459 = $491.13. A Andrés le corresponde 0.4 × $491.13 = $196.45. A Juan le corresponderá 0.6 × $491.13 = $294.68.

7. a. El precio medio es ($2 + $1.50 + $2.20 + $1.70)/4 = $7.40/4 = $1.85. b. Una rebaja de 10% reduce el costo medio a 0.9 × $1.85 = $1.67.

0.75 × $46 $46 − 0.25 × $46 3 × $46 ÷ 4

$46 − $46 4

$46

4 × 3

57

Práctica con porcentaje p. 25

1. a. 0.10 × $50 = $5. b. $10 / $50 = 1/5 = 20%

2. a. Juana comió 0.60 × 25 = 15 galletas. b. Javier comió 6/25 = 24/100 = 24% de las galletas.

3. a. Juan anotó canastas en 17/20 ó 85% de sus tiros. b. Juan anotó 0.56 × 50 = 28 canastas en total. c. 0.60 × 25 = 15 de las mujeres les gusta el chocolate. d. 42/100 = 21/100 = 21% de los ciudadanos votaron por el Sr. X. e. 620/1000 = 62/100 = 62% de las cajas contuvieron libros. f. 0.14 × 50 = 7 de los participantes llegaron tarde.

4. a. 15/100 de los trabajadores son mayores que 50. (15 por ciento es una porción de 100 por ciento, no de 40 trabajadores.) b. Seis trabajadores son mayores de 50. (15/100 × 40 trabajadores = 6 trabajadores. El 15 es un porcentaje, no una cantidad de trabajadores.)

5. Si José regaló 70% de sus animales de peluche, se quedó con 30%, entonces a él le quedan 0.30 × 20 = 6.

6. Gerardo pintó 50 pies ÷ 80 pies = 5/8 = 0.625 ≈ 63% de la valla.

7. Si María perdió 30% de su dinero, a ella le queda 70%. Ya que 0.70 × $20 = $14, a ella le queda $14.

8. a. 2/6 = 1/3 ≈ 33%. b. 1/4 + 1/8 = 3/8 = 0.375 ≈ 38%. c. 3/12 = 1/4 = 25%.

9. a. Eva mide 3 pies 9 plg = (36 + 9) plg = 45 plg. María mide 5 pies 2 plg = (60 + 2) plg = 62 plg. Entonces la altura de Eva es 45 plg / 62 plg = 0.7258... ≈ 73% de la altura de María. b. Josefina mide 90% × 6 pies 3 plg = 0.9 × 75 plg = 67.5 plg = 5 pies 7 1/2 plg.

10. a. Pedro tiene que usar una porción más grande de su sueldo porque ellos pagan la misma cantidad, pero él gana menos. b. Cada chico paga 50% de $450, ó $225, mensual en el alquiler. Entonces Pedro paga $225/$900 = 25% de su sueldo, y Juan paga $225/$1,350 = 16 2/3 % ≈ 17% de su sueldo.

11. a. 11% de $402 es más. Puede estimar que 11% de $402 es aproximadamente 10% de $400, lo cual es $40. De forma similar, 12% de $298 es aproximadamente 10% de $300, lo cual es $30. b. Ya que 10% de $400 es $40 y 10% de $300 es $30, la diferencia es aproximadamente $10.

12. a. Su promedio de millas recorridas era la distancia del viaje en total dividido por cuánto tiempo les demoró para viajarla, ó 1200 millas / 4 días = 300 millas por día.

c. Si ellos habían dividido el viaje en cuatro partes iguales, en cada uno de los cuatro días habrían manejado 1/4 = 25% del viaje en total.

Preguntas “al revés” con porcentaje p. 28

1. Margarita tenía 200 canicas. Si 20% es 40 canicas, entonces 10% es 20 canicas y 100% será 10 veces esa cantidad, ó 200 canicas.

2. Edmundo tenía $600. Si 15% es $90, entonces 5% es $30 y 100% es 20 veces esa cantidad, ó $600.

b. Día 1 340 millas / 1,200 millas = 0.2833... ≈ 28 % Día 2 280 millas / 1,200 millas = 0.2333... ≈ 23 % Día 3 400 millas / 1,200 millas = 0.3333... ≈ 33% Día 4 180 millas / 1,200 millas = 0.15 = 15%

58

3. El precio de la entrada era $40 antes de la rebaja. El precio rebajado de $16 es 40% del precio original. Entonces 10% del precio es $4. Por eso, 100% del precio es 10 veces esa cantidad, ó $40.

4. El vestido costó $30 antes de la rebaja. El precio rebajado de $24 es 80% del precio original. Entonces, 10% del precio es $3, y 100% del precio es $30.

5. José tenía $200. La cantidad que le queda ($40) es 20% de su dinero original. Entonces 10% de su dinero es $20 y 100% de su dinero es $200.

6. Había 80 personas que habían comprado esa marca de molinillo de café. Las 72 personas que estaban felices forman 90% del total. Entonces, 10% es 72 ÷ 9 = 8 y 100% es diez veces esa cantidad, ó 80 personas.

Rincón del misterio: Juan tenía $300 al comienzo. El $66 que le queda es 100% − 78% = 22% de su dinero original. Ahora podemos calcular fácilmente 1% del dinero: Es $66 ÷ 22 = $3, y 100% del dinero es 100 veces esa cantidad, ó $300.

Décimos de un por ciento p. 29

1.

2.

3. Mercado Estrella estaba preferido por 34/113 = 30.1% de los encuestados. Pero 65/113 = 57.5% prefirieron Tienda de Jorge. Y, (113 − 34 − 65)/113 = 14/113 = 12.4% le gustó mejor Comida a Montones.

4. a. 0.092 × $150 = $13.80 b. 0.458 × 16 m = 7.328 m c. 0.006 × 700 mi = 4.2 mi.

5. Marco paga 0.225 × $1,950 = $438.75 en impuestos y le queda 0.775 × $1,950 = $1511.25 después de pagarlos.

6. a. La camisa costó 1.067 × $16 = $17.07. b. El CD costó 1.067 × $11.50 = $12.27. c. El teléfono costó 1.067 × $48 = $51.22.

8. Jeremías pagará 0.625 × $850 = $531.25 por el paquete vacacional.

9. El área del terreno de la familia Bermúdez es 85.5% de la del terreno de la familia Jaramillo. El área del terreno de la familia Bermúdez es 40 m × 35 m = 1,400 m2. El área del terreno de la familia Jaramillo es 42 m × 39 m = 1,638 m2. Entonces, el área del terreno de la familia Bermúdez es 1,400/1,638 ≈ 0.8547 ≈ 85.5% del área del terreno de la familia Jaramillo.

a. 28.2% = 282 1000

= 0.282 b. 6.7% = 67

1000 = 0.067 c. 89.1% =

891

1000 = 0.891

d. 0.9% = 9

1000 = 0.009 e. 4.5% =

45

1000 = 0.045 f. 67.5% =

675

1000 = 0.675

a. 2 3

≈ 0.667 = 66.7 % b. 4

9 ≈ 0.444 = 44.4%

c. 6 7

≈ 0.857 = 85.7% d. 1

12 ≈ 0.083 = 8.3%

e. 17 23

≈ 0.739 = 73.9% f. 52

98 ≈ 0.531 = 53.1%

7. Océano Área / área en total Porcentaje Pacífico 155,557,000 km2 / 335,258,000 km2 = 0.46399... 46.4% Atlántico 76,762,000 km2 / 335,258,000 km2 = 0.22896... 22.9% Índico 68,556,000 km2 / 335,258,000 km2 = 0.20448... 20.4% Sur 20,327,000 km2 / 335,258,000 km2 = 0.06063... 6.1% Ártico 14,056,000 km2 / 335,258,000 km2 = 0.04192... 4.2%

59

Razones, fracciones y porcentajes p. 31

1.

2. a. rojo / total = 12/40 = 3/10 b. 3/10 = 0.30 = 30% son rojos. c. rojo : blanco = 12 : 28 = 3 : 7

3. a. rojo/total = 2/(2 + 3) = 2/5 b. 2/5 = 0.40 = 40% c. Hay 0.40 × 45 = 18 caramelos rojos.

4.

5. a. Con 71.4%, grupo (a) tenía el mayor porcentaje de hembras. b. Con 8 hembras, grupo (c) tenía la mayor cantidad de hembras.

6. a. La razón de adolescentes a adultos es 1 : 5. b. 1/6 = 0.1666... ≈ 16.7% de los miembros son adolescentes. c. 5/6 = 0.8333... ≈ 83.3% de los miembros son adultos. d. Si hay 125 adultos (5 bloques), entonces hay 25 adolescentes (1 bloque), y el club tiene 150 miembros.

(El diagrama a la izquierda es mejor porque él que está a la derecha podría dejar la impresión que sólo hay 8 cuentas.)

b. Hay 8 “partes” en el diagrama, entonces cada parte representa 480/8 = 60 cuentas. Por eso, la bolsa contiene 2 × 60 = 120 cuentas verdes, 3 × 60 = 180 azules, y 3 × 60 = 180 rojas. c. 180/480 = 3/8 = 37.5% de las cuentas son rojas.

8. a. 10/18 = 5/9 de los zapatos son para mujeres. 8/18 = 4/9 de los zapatos son para hombres. b. 5/9 = 0.5555... ≈ 55.6% de los zapatos son para mujeres. 4/9 = 0.4444... ≈ 44.4% de los zapatos son para hombres.

9. Ya que se incluyen los 21 gerentes en el total de trabajadores, hay 1,400 − 21 = 1,379 trabajadores que no son gerentes. a. La razón de gerentes a otros trabajadores es 21 : 1,379. b. 1,379/1,400 = 0.985 = 98.5% de los trabajadores no son gerentes.

10. Si mezclamos 150 g de sal y 1500 g de agua, el peso en total de la mezcla es 150 g + 1500 g = 1,650 g. a. La razón de sal a agua es 150 : 1500 = 1 : 10. b. 9.1% de la mezcla es sal. Peso del sal /peso en total = 150 g / 1,650 g ≈ 0.090909... ≈ 9.1%. c. 90.9% de la mezcla es agua. Peso del agua / peso en total = 1,500 g / 1,650 g ≈ 0.909090... ≈ 90.9%.

a.

La razón de triángulos blancos a todos los triángulos es 4 : 10 .

40 % de los triángulos son blancos.

4 10

de los triángulos son blancos.

b. La razón de cuadrados coloreadosa todos los cuadrados es 11 : 20.

55% de los cuadrados son coloreados..

11

20 de los cuadrados son coloreados.

a.

La razón de varones a hembras es 2 : 5 .

71.4 % de las personas son hembras.

5 7


b.

La razón de varones a hembras es 5 : 3 .


38


c. La razón de varones a hembras es 7 : 8 .


8 15


7. a. V V A A A R R R o tal vez .

60

Repaso, p. 34

1.

2.

3.

4. a. 11/20 = 0.55 = 55% es terreno baldío. b. 0.55 × 4,500 m2 = 2,475 m2 del terreno es terreno baldío.

5. El precio rebajado es $16 × 0.80 = $12.80.

6. El peso de Juan es 27 kg / 45 kg = 0.6 = 60% del peso de Mateo.

7. a. La razón manzanas verdes / total de manzanas = 2/5, entonces 2/5 × 12,000 kg = 4,800 kg de las manzanas son verdes. b. 2/5 = 0.4 = 40% de las manzanas son verdes.

Gráficos circulares p. 35

a. 44% = 44 100

= 0.44 b. 7% = 7

100 = 0.07 c. 21% =

21

100 = 0.21

a.

Sombreado: 4 5

= 80%

No sombreado: 1 5

= 20%

b.

Sombreado: 3

8 = 37.5%

No sombreado: 5

8 = 62.5%

Porcentaje / número 1,300 700 80 48 2.4

1% del número

13 7 0.8 0.48 0.024

3% del número

39 21 2.4 1.44 0.072

10% del número

130 70 8 4.8 0.24

25% del número 325 175 20 12 0.6

1. a. b. c.

2. Tipo Cantidad Fracción Porcentaje Ángulo central

pan blanco 50 1/4 25% 90º

pan de salvado 25 1/8 12.5% 45º

pan de centeno 30 3/20 15% 54º

pan de maíz 40 1/5 20% 72º

pan de 4 granos 55 11/40 27.5% 99º

TOTAL 200 1 100% 360º

61

4. Variarán las respuestas. En realidad, las respuestas abajo son los porcentajes exactos. Sin embargo, puede que varíen un poco las respuestas del estudiante de las que están aquí y todavía podrían ser completamente aceptables. (Cada círculo debería sumar a 100%.) Comenzando desde 12:00 y moviendo en el sentido de las agujas del reloj: a. Aproximadamente 45%, aproximadamente 5%; aproximadamente 40%, aproximadamente 10%. (Los primeros dos y los últimos dos deberían sumar a 50% cada uno.) b. Aproximadamente 20%, 20%, 10%; 25%, 12.5%, 12.5%. (Los primeros tres y los últimos tres deberían sumar a 50% cada uno.) c. Aproximadamente 65%, aproximadamente 20%, aproximadamente 15%.

5.

Note: En realidad, la columna “Porcentaje del total” suma a 100.1% porque los números que se redondearon al alza movieron un poco más hacia arriba que los números que se redondearon a la baja movieron hacia abajo. Eso es típico para los cálculos que redondean varios números.

6.

3. a.

b. No, no los muestra.

Sabor Cantidad

vendidaPorcentaje del total

Ángulo central

chocolate 67 46.9% 169º

vainilla 34 23.8% 86º

fresa 16 11.2% 40º

arándano 26 18.2% 65º

TOTAL 143 100% 360º

Hobby favorito Porcentaje Ángulo Central

Leer 12.3% 44º

Televisión 24.5% 88º

Juegos en la computadora 21% 76º

Deportes 22.3% 80º

Mascotas 7.1% 26º

Coleccionar 8.1% 29º

Ningún hobby 4.7% 17º

TOTAL 100% 360º

62

Porcentaje de cambio p. 37

1. a. 0.80 × $9 = $7.20. b. 0.75 × $6 = $4.50 c. 0.70 × $90 = $63

2. a. 1.10 × $5000 = $5,500 b. 1.20 × $110 = $132 c. 1.30 × $90 = $117 d. 1.15 × $3.00 = $3.45 e. 1.30 × $2.00 = $2.60 f. 1.50 × $1.50 = $2.25

3. El precio final es $48. Después del aumento en precio, el precio es $50 + $10 = $60. Cuando está rebajado, el precio se pone $60 − $12 = $48.

4.

5. Era una rebaja de 10%.

6.

7.

Porcentaje de cambio, parte 2 p. 40

2. Había un aumento de 40% en la cantidad de visitantes. 200,000/500,000 = 2/5 = 4/10 = 40%

3. El perro de María bajó 8% de su peso corporal. 2/25 = 8/100 = 8%.

4. a. El franqueo aumentó por 3/78 ≈ 3.8%. b. Se redujeron las horas laborales por 2.5/40 ≈ 6.3%. c. Las ventas de periódicos aumentaron por 42/445 ≈ 9.4%. d. El preció aumentó por 5/109 ≈ 4.6%.

5. a. Se redujo el precio del libro de texto de biología por 5/50 = 10%. b. Se aumentó el precio por 11.1%, no 10%, porque ahora estamos comparando a un precio base de $45: $5/$45 = 1/9 ≈ 11.1%.

a. 1. Primero hallamos cuánto se restó de $12 para conseguir $8 (la DIFERENCIA). Es $4.

2. Después hallamos qué porcentaje $4 es del precio original, $12:

4/12 = 1/3 = 33%

b. 1. Primero hallamos cuánto se restó de $20 para conseguir $16 (la DIFERENCIA). Es $4

2. Después hallamos qué porcentaje $4 es del precio original, $20:

4/20 = 1/5 = 20%

a. 1. Primero hallamos cuánto se sumó a $15 para conseguir $20 (la DIFERENCIA). Es $5.

2. Después, hallamos qué porcentaje $5 es del precio original, $15:

5/15 = 1/3 = 33%

b. 1. Primero hallamos cuánto se sumó a $20 para conseguir $26 (la DIFERENCIA). Es $6.

2. Después, hallamos qué porcentaje $6 es del precio original, $20:

6/20 = 30/100 = 30%

a. 1. La diferencia en precio es $0.90

2. Halla qué porcentaje $0.90 es del precio original, $9:

0.90/9 = 90/900 = 1/10 = 10%

b. 1. La diferencia en precio es $40

2. Halla qué porcentaje $40 es del precio original, $160:

40/160 = 1/4 = 25%

1. a. La fracción es diferencia en la cantidad de estudiantes

cantidad original de estudiantes (año pasado)=

300

900=

1

3. Entonces, el porcentaje es 33.3%.

b. La fracción es diferencia en la cantidad de libros vendidos

cantidad original de libros vendidos (en mayo) =

400

2400=

1

6. El porcentaje es 16.7%.

63

6. a. Primero, se aumentó por 9.1%. b. Después, se aumentó por 8.3% c. El porcentaje de aumento es menor. Aunque la cantidad real de aumento se queda igual ($0.50), el precio base a que estamos comparando ahora es mayor ($6.50) que era en parte (b). Eso hace el valor de la fracción 0.5/6.5 menor que el valor de la fracción 0.5/5.

7. a. El artículo que cuesta $50 tiene el mayor aumento de porcentaje del precio. Cuando comparamos las fracciones 10/50, 10/60, y 10/70, la fracción 10/50 es la mayor porque tiene el denominador menor. b. El precio del artículo que cuesta $70 es lo que baja más en dólares. Cuando calculamos los aumentos de dólares, 0.12 × $50, 0.12 × $60, y 0.12 × $70, el último es el mayor.

Porcentaje de cambio: Aplicaciones p. 42

1. El área aumenta por 125%. El área anterior es 10 m × 10 m = 100 m2. El área nueva es 15 m × 15 m = 225 m2. La

diferencia es 225 − 100 = 125 m2. Para hallar el aumento de porcentaje, calculamos la fracción 125/100 = 125%.

2. El área disminuirá por 29.5%. El área original es 21 cm × 29.7 cm = 623.7 cm2. El área nueva es 17.6 cm × 25 cm

= 440 cm2. La diferencia es 623.7 − 440 = 183.7 cm2. Para hallar el porcentaje de disminución, halle el valor de la fracción 183.7/623.7 = 0.2945... ≈ 29.5%.

3. El área aumenta por 24.9%. Las ventanas originales tienen el área 85 cm × 85 cm = 7225 cm2. Las ventanas nuevas

tendrán el área 95 cm × 95 cm = 9025 cm2. La diferencia es 9025 − 7225 = 1800 cm2. Para hallar el porcentaje de aumento, calcule la fracción 1800/7225 = 0.2491... ≈ 24.9%.

4. Paso 1. La pintura en la pared medirá 6 m × 3.6 m. Paso 2. Calcule el área original. Es 5 m × 3 m = 15 m2. Paso 3. Calcule la nueva área. Es 6 m × 3.6 m = 21.6 m2. Paso 4. Compare la diferencia en área a el área original: 6.6 / 15 = 0.44 = 44%.

5. a. El precio de la aspiradora ahora es $132. En el primer aumento de 20%, el precio aumentó a $120. Después el aumento de 10% más hizo el precio $120 + $12 = $132. b. El porcentaje de aumento es 32%. El precio final es $132, y el precio original es $100, entonces la diferencia es $32. Comparando la diferencia al original da la fracción 32/100 = 32%.

6. a. El precio del exprimidor ahora es $156.40. En la primera rebaja, el precio se pone $200 − $30 = $170. En la segunda rebaja, el precio se pone $170 − 0.08 × $170 = $156.40. b. El porcentaje de rebaja habría sido 21.8%. El precio original es $200, y el precio final es $156.40. La diferencia es $43.60. Comparar la diferencia al precio original da 43.6 / 200 = 0.218 = 21.8%

7. Durante esa década aumentó la población del estado Kentucky por 3,219,000 − 3,038,000 = 181,000 personas. Como un porcentaje de la población del año 1960, ese aumento es 181,000 / 3,038,000 = 0.05957... ≈ 6.0%.

9. a. ¿Qué década? Desde 1970 hasta 1980. b. 13.7% c. La inclinación de la línea es más pronunciada durante esa década.

8. Año Población Aumento para

la décadaRazón

Aumento / Población % aumento

para la década

1960 3,038,000 — — —

1970 3,219,000 181,000 0.05957... 6.0%

1980 3,661,000 442,000 0.13730... 13.7%

1990 3,685,000 24,000 0.00655... 0.7%

2000 4,042,000 357,000 0.09687... 9.7%

2010 4,340,000 298,000 0.07372... 7.4%

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Comparaciones con porcentaje, p. 44

1. a. diferencia/referencia = 2 m / 6 m = 1/3 = 33.3% b. 180 cm / 120 cm = 3/2 = 150% c. 1 m / 4 m = 25%

2. a. h (Elena) − h (Erica) = 160 cm − 140 cm = 20 cm b. diferencia/h(Erica) = 20 cm / 140 cm = 1/7 = 0.14285... ≈ 14.3%

3. La diferencia es $40 − $25 = $15, entonces Plan #2 cuesta $15/$25 = 60/100 = 60% más que Plan #1.

4. El segundo parque es 4,000/14,000 = 2/7 = 0.28571... ≈ 28.6% menor que el primero.

5. El promedio del segundo grupo es diferencia/puntos (Grupo 1) = 12/77 = 0.15584... ≈ 15.6% menos que lo del primer grupo.

6. a. La propina es 0.05 × $40 = $2. b. Ya que el impuesto de venta es 0.07 × $40 = $2.80, el costo total es $40 + $2 + $2.80 = $44.80.

7. El mesonero recibe la propina mayor de Persona A, que deja 0.10 × $25 = $2.50. Persona B deja 0.08 × $30 = $2.40.

8. a. Tokio es (Tokio − Mumbai)/(Mumbai) = (32.45 − 19.20)/19.20 = 0.69010... ≈ 69.0% más grande que Mumbai. b. Tokio es (Tokio − Moscú)/(Moscú) = (32.45 − 15.00)/15.00 = 1.16333... ≈ 116.3% más grande que Moscú. c. Moscú es (Ciudad de Nueva York − Moscú)/(Ciudad de Nueva York) = (19.75 − 15.00)/19.75 = 0.240506... ≈ 24.1% más pequeño que la Ciudad de Nueva York. d. Shanghai es (Seúl − Shanghai)/(Seúl) = (20.55 − 16.65)/20.55 = 0.18978... ≈ 19.0% más pequeño que Seúl.

9. a. La altura de la planta más baja es: (altura de planta más baja)/(altura de planta más alta) = 12 cm / 16 cm = 3/4 = 75% de la altura de la planta más alta. b. La altura de la planta más alta es: (altura de planta más alta)/(altura de planta más baja) = 16 cm / 12 cm = 4/3 = 133.3% de la altura de la planta más baja. c. La planta más alta es: (diferencia en altura)/(altura de planta más baja) = 4 cm / 12 cm = 1/3 = 33.3% más alta que la planta más baja. d. La planta más baja es: (diferencia en altura)/(altura de planta más alta) = 4 cm / 16 cm = 1/4 = 25% más baja que la planta más alta.

10. a. El tiempo de correr del Pony Viejo es 120 segundos / 200 segundos = 60/100 = 60% del tiempo de la Yegua Vieja. b. El tiempo de correr de la Yegua Vieja es 200 segundos / 120 segundos = 20/12 = 5/3 = 166.7% del tiempo del Pony Viejo. c. El Pony Viejo era 80 segundos / 200 segundos = 40/100 = 40% más rápido que la Yegua Vieja. d. La Yegua Vieja era 80 segundos / 120 segundos = 2/3 = 66.6% más lento que el Pony Viejo.

11. a. La altura del torre que hizo el bebé es: (altura del torre que hizo el bebé)/(altura del torre que hizo Juan) = 30 cm / 150 cm = 10/50 = 20/100 = 20% de la altura del torre que hizo Juan, entonces María tiene razón. Elías restó las dos alturas para conseguir un porcentaje; la diferencia en altura es 120 cm, pero eso no era la información que pidió la pregunta. Y, Ángela comparó la diferencia en altura en vez de la altura del torre que hizo el bebé. b. La orquesta de la escuela de música tiene: (diferencia)/(cantidad de muchachas) = (26 − 14)/(14) = 12/14 = 0.85714... ≈ 85.7% ≈ 86% más muchachos que muchachas, entonces Ángela tiene razón. Elías restó dos totales para conseguir un porcentaje; hay 12 muchachos más, no 12% más. Y María escribió correctamente qué porcentaje la cantidad de muchachas es de la cantidad de muchachos, eso no es la información que pidió la pregunta. c. María tiene razón. Ella usó correctamente el segundo paquete como el paquete de referencia, lo cual es lo que pidió la pregunta (“que el segundo (paquete)”). Ángela incorrectamente uso el primer paquete como su paquete de referencia. d. El primer paquete cuesta $3.60 / 0.800 kg = $4.50 /kg. El segundo paquete cuesta $3.00 / 0.600 kg = $5.00 / kg. Entonces, todas las otras cosas siendo iguales, el primer paquete es un mejor valor para el dinero.

Repaso: Porcentaje, p. 48

1.

a. 68% = 68

100 = 0.68 b. 7% =

7

100 = 0.07 c.15% =

15

100 = 0.15

d. 120% = 120

100 = 1.20 e. 2.4% =

24

1000 = 0.024 f. 78.6% =

786

1000 = 0.786

65

2. a. 1/7 = 0.14285... ≈ 14.3% b. 2/25 = 0.08 = 8% c. 1 5/8 = 13/8 = 1.625 = 162.5%

3. Marco mide 0.95 × 200 cm = 190 cm.

4. El aumento era: (aumento)/(original) = 50 g / 300 g = 1/6 = 0.16666... ≈ 16.7%.

5. El precio nuevo es: $4.60 + 20% × $4.60 = 1.20 × $4.60 = $5.52.

6. Hay 15 + 5 = 20 patinadores. Entonces 15/20 = 75% de los patinadores son muchachas.

7. Jeremías es 15% más alto que Nancy: (diferencia)/(referencia) = (184 cm − 160 cm)/(altura de Nancy) = 24 cm / 160 cm = 3/20 = 15/100 = 15%.

8. El aumento era 4 por ciento: (diferencia)/(original) = (41,600 − 40,000)/ (cantidad del año pasado) = 1,600/40,000 = 16/400 = 8/200 = 4/100 = 4%.

9. El precio final incluyendo impuestos es: $20 + 7% × $20 = 1.07 × $20 = $21.40.

10. Antes de la propina, los almuerzos costaron 4 × $13 = $52. Entonces, el costo total de sus almuerzos con la propina incluida era 1.15 × $52 = $59.80.

11. Ya que 0.80 × $18 = $14.40 y 0.90 × $16 = $14.40, ambos tienen el mismo precio.

12. Hay 0.195 × 2,267,000,000 acres = 442,065,000 acres usados para cultivación.

13. Andrés gana 0.72 × $2,100 = $1,512 mensual después de pagar impuestos, los cuales son 12 × $1,512 = $18,144 por año.

14. a. (diferencia en área)/(área de referencia) = (7 bloques − 4 bloques)/(área de la segunda figura) = (3 bloques)/(4 bloques) = 3/4 = 75%. Entonces la primera figura es 75% más grande que la segunda figura. b. (diferencia en área)/(área de la segunda figura) = (15 − 4)/(4) = 11/4 = 2 3/4 = 275%. La primera es 275% más grande.

15. El área de un triángulo es: ½ × (base) × (altura). El área del triángulo a la izquierda (más grande) entonces es ½ × 3 × 5 = 15/2 = 7.5 cuadrados. De forma similar, el área del triángulo a la derecha (más pequeño) es ½ × 3 × 3 = 9/2 = 4.5 cuadrados. a. El área del triángulo más pequeño es 60% del área del triángulo más grande. El área del triángulo más grande es 7.5 unidades cuadradas, y la del más pequeño es 4.5 unidades cuadradas. El área de referencia es el área del triángulo más grande. Calcule la fracción 4.5/7.5 = 0.6 = 60%. b. El área del triángulo más grande es 167% del área del más pequeño. Esta vez, el área de referencia es el área del triángulo más pequeño. Entonces, calcule la fracción 7.5/4.5 = 1.6666... ≈ 167%.

16. a. El porcentaje de crecimiento es: (diferencia)/(original) = (473,000 − 465,000)/(465,000) = 8/465 = 0.01720... ≈ 1.7%. Por eso, desde el año 2005 hasta el año 2006 la población de Luxemburgo aumentó 1.7%. b. La población de Luxemburgo en el año 2008 era 100% + 1.9% de su población en el año 2007. Ya que 1.019 × 480,000 = 489,120 ≈ 489,000, la población de Luxemburgo era aproximadamente 489,000 en el año 2008.

17.

Nota Estudiantes Porcentaje del total

Ángulo Central

A 7 28% 100.8º

B 5 20% 72.0º

C 8 32% 115.2º

D 3 12% 43.2º

F 2 8% 28.8º

TOTAL 25 100% 360º

66

18. a. Después del aumento en precio de 20%, sus precios eran 1.20 × $15 = $18 y 1.20 × $40 = $48. Ya que 20% de un precio más alto es mayor, después de la reducción de 20% los precios se ponen 0.80 × $18 = $14.40 y 0.80 × $48 = $38.40. Entonces el precio de oferta de la camisa es $14.40, y el precio de oferta de los zapatos es $38.40. b. El porcentaje de rebaja sería 4%. Por ejemplo, usando el precio original de la camisa de $15 y el precio rebajado de $14.40, podemos calcular la fracción (diferencia)/(original) = $0.60 / $15 = 0.04 = 4%. Entonces por usar este “truquillo,” la tienda puede rebajar sus mercancías por un porcentaje relativamente pequeño, y sin embargo anunciarlo como un gran porcentaje de rebaja.

19. a. Julia necesita 300 g de carbohidratos, y la taza de yogur proporciona 11 g. Entonces, el yogur proporciona 11 g / 300 g = 0.03666... ≈ 3.7% de su cuota de carbohidratos. b. Su doctor le recomendó a consumir aproximadamente 50 g de proteína, y la taza de yogur tiene 9 g. Entonces, proporciona 9 g / 50 g = 0.18 = 18% de su cuota de proteína. c. Su cuota de grasa es 65 g, y el yogur proporciona 8 g. Entonces, proporciona 8 g / 65 g = 0.12307... ≈ 12.3% de su cuota de grasa.

20. a. Julia necesita aproximadamente 2,000 calorías, y una taza de yogur proporciona 149. Para conseguir su cuota de calorías, ella tendría que consumir 2,000 / 149 = 13.422..., ó 14 tazas enteras de yogur. b. Cada taza de yogur le da 9 g de proteína, entonces 14 tazas la darían 14 × 9 g = 126 g de proteína. Ya que su cuota diaria recomendada de proteína es sólo 50 g, 14 tazas de yogur le daría 126/50 = 252/100 = 252% de su cuota. (Note: ¡Ya que los doctores apenas o nunca recomendarían a consumir tanta proteína, este ejercicio muestra por qué es importante comer una dieta bien equilibrada!)

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