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GRAFICACIN DE CURVAS EN FUNCIN DELPARMETRO "T"

Curvas en el espacio y funciones vectorial.

En la seccin de curvas paramtricas definimos una curva C en el plano como un conjunto de pares

ordenados (f (t), g (t)) junto con unas ecuaciones paramtricasx = f (t) e y = g (t);

Dondef y g son funciones continuas de t en un intervalo I.

Esta definicin admite una extensin natural al espacio tridimensional, como sigue. Una curva C en elespacio es un conjunto de tripletas ordenadas (f (t), g (t), h (t)) junto con unas ecuaciones paramtricasx = f (t) , y = g (t) y z = h (t)Donde f, g y h denotan funciones continuas de t en un intervalo I.

Antes de ver algunos ejemplos de curvas en el espacio, introduciremos un nuevo tipo de funciones,las funciones vectoriales. Aplican los nmeros reales en vectores, es decir, son funciones convalores vectoriales.

DEFINICIN DE FUNCIONES VECTORIALESSe llama funcin vectorial a cualquier funcin de la formar (t) = f(t) i + g(t) j Planor (t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k Espacio

Donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parmetro t con valores reales. Lasfunciones vectoriales se denotan con frecuencia por:r (t) =

r (t) =

Debe quedar clara la distincin entre la funcin vectorial r y las funciones de variable real f, g y h.Todas son funciones de la variable real t, pero r(t) es un vector mientras que f (t),g (t) y h (t) sonnmeros (para cada valor especificado de t ).

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Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representacin de curvas. Tomando como parmetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Ms engeneral, podemos usar una funcin vectorial para trazar la grfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posicin r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por lasecuaciones paramtricas, como muestra la figura 11.1. La flecha sobre la curva indica el sentido derecorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t.Salvo que se especifique otra cosa, se considera como dominio de una funcin vectorial r lainterseccin de los dominios de las funciones f, g y h .Por ejemplo el dominio de:

r(t) = ln (t)i +1-t j + t k

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Es el intervalo (0, 1]

(Trazado de una curva en el plano)

EJEMPLO 1: Dibujar la curva representada por la funcin vectorialR(t) = Cost i + 3 Sent j en el intervalo 0< t

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EJEMPLO 3: Hallar una funcin vectorial que represente una grfica dada por:x = 2 + t, y = 3t y z = 4 - tClaro est que si la grfica se da en forma paramtrica, la respuesta es inmediata. As, para representar la recta dada en el espacio basta utilizar la funcin vectorialr (t) = (2 + t)i + 3t j + (4 t) k

Si no se da un conjunto de ecuaciones paramtricas para la grfica en cuestin, el problema derepresentarla mediante una funcin vectorial se reduce al de hallar un conjunto de ecuaciones paramtricas

EJEMPLO 4: Esbozar la grfica C representada por la interseccin del semielipsoide

en x > 0

y el cilindro parablico y = x2 .Y hallar una funcin vectorial que represente esa grfica