Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Física y Matemáticas

Laboratorio de Física III. Grupo 3FV1-B

Práctica No. 1: Instrumentación

México, D.F., México.

Fecha de entrega: 9 de septiembre de 2015 Bejarano Ochoa Jesús Enrique Dávila Fernando Hernández Sánchez Raymundo Aarón

Objetivo Calibrar la balanza de torsión mediante dos métodos distintos: estático y dinámico, con el fin de encontrar la constante de torsión κ para la balanza, que posteriormente se utilizará en la medida de fuerzas pequeñas.

Hipótesis Se prevé que el valor obtenido para la constante κ tendrá cierto margen de error, debido a la precisión de los instrumentos y el error durante las mediciones hechas, así como el error de redondeo durante los cálculos necesarios. Así también, los valores que se obtengan por medio de los distintos métodos para la constante de torsión habrán de diferir en algún orden pequeño de magnitud, por la misma naturaleza de los métodos elegidos.

Introducción Durante el estudio de los fenómenos electromagnéticos se suelen presentar situaciones en las que es necesario medir fuerzas de magnitud muy pequeña, como aquellas que se presentan durante la interacción de dos cargas eléctricas que o bien se atraen o se repelen.

Uno de los instrumentos de los que nos podemos auxiliar es la balanza de torsión, inventada por Charles-Augustin de Coulomb [1], precisamente con el fin de medir la magnitud de las fuerzas electrostáticas entre cargas. Consiste en una barra horizontal fijada al centro de un cable horizontal tenso. Las fuerzas a ser medidas son aplicadas al extremo o extremos de la barra. El giro de la barra puede ser medido por el desplazamiento de un haz de luz reflejado en un espejo sujeto a ella. Una de las más famosas aplicaciones de este instrumento fue hecho por Henry Cavendish y Charles Boys para determinar la constante gravitacional [2].

En el presente trabajo se busca explicar el proceso de calibración de la balanza que consiste encontrar mediante dos métodos diferentes el valor para la constante de torsión de la balanza, la cual nos permitirá, por medio de ciertos cálculos, obtener la magnitud de la fuerza que se desee medir.

Teoría La balanza de torsión tiene su fundamento en el péndulo de torsión [3], por lo que gran parte de la teoría relacionada a la calibración de la balanza involucra conceptos y fórmulas que derivaron del estudio del péndulo de torsión.

La balanza de torsión se compone de un alambre al cual se sujeta mediante un rotor una varilla de contraste, y un disco graduado en uno de sus extremos que permite torsionar el alambre libremente.

Al colocar una pesa en la varilla de contraste se produce una torca que afecta al alambre, torsionándolo. Dicha torca viene dada por:

휏 = 푟푤 = 푟푚 푔 (1)

Donde r denota la distancia entre el centro del rotor y la pesa colocada, y se observará que la varilla de contraste forma un ángulo φ con la horizontal.

Haciendo uso del disco graduado para equilibrar nuevamente la varilla se puede encontrar dicho ángulo.

Según la teoría conocida de la torca y su relación con la constante de torsión [4] se tiene que debe cumplirse lo siguiente:

푟푚 푔 = 휅 휃 (2)

Donde κ es la constante de torsión de un alambre y θ el ángulo φ expresado en radianes. De la ecuación (2) se obtiene:

휅 = (3)

Dado que el sistema de la balanza consta de dos alambres, la constante de torsión para la balanza viene dada por:

휅 = 2휅 (4)

Por lo que

휅 = (5)

Por otra parte, conociendo la relación de la torca con el ángulo de desplazamiento y la constante de torsión [5] y la relación de la torca con el momento de inercia de la masa y la aceleración angular que adquiere [6] se tiene:

휏 = −휅휃 (6) y 휏 = 퐼훼 = 퐼 ²² (7)

Que nos conduce a una ecuación diferencial de segundo grado, más específicamente a la ecuación:

퐼 ²²

+ 휅휃 = 0 (8)

(Donde I simboliza el momento de inercia de la barra)

La solución a dicha ecuación diferencial es de la forma siguiente:

휃(푡) = 휃 cos(휔푡 + 휑) (9)

En donde θmax es la amplitud máxima del péndulo y el valor de ω está dado por:

휔 = (10)

Y se relaciona con la frecuencia y periodo del movimiento armónico simple:

휔 = 2휋휈 = = (11)

Finalmente de las ecuaciones (10) y (11) se obtiene la expresión para la constante de torsión:

휅 = 4휋² (12)

Por ser la varilla de contraste relativamente delgada, se utiliza el momento de inercia rotacional para una varilla delgada que gira respecto a un eje en su punto medio perpendicular respecto a su longitud [6].

퐼 = 푀퐿² (13)

Donde M, L son la masa y longitud de dicha varilla.

Experimentación Método estático El método de calibración estático consiste en primeramente medir las constantes necesarias para realizar los cálculos: la masa de la pesa y la longitud del brazo de palanca. Posteriormente tomar nota de la posición inicial del disco graduado cuando la varilla de contraste nos indica que el alambre no está torsionado, es decir, cuando la varilla de contraste está paralela a la horizontal.

Se procede entonces a colocar la pesa en uno de los extremos de la varilla para producir la torca que torsionará el alambre, y, utilizando el disco graduado, se gira en sentido contrario a la torca para alinear la varilla con la horizontal nuevamente.

Se mide entonces el ángulo φ que se desplazó el disco y se hacen los cálculos necesarios para obtener el valor de la constante κ.

Método dinámico Por otra parte para el método de calibración dinámico es necesario tener la medida de la masa y la longitud de la nueva barra a utilizar, posteriormente de verificarse, estando la balanza aún horizontal y con la varilla de contraste pequeña, que al remover la masa colocada la varilla de contraste vuelva a estar paralela a la horizontal, entonces se coloca la balanza verticalmente y se intercambia la varilla por la barra a utilizar.

el Se desplazó la barra un ángulo θ pequeño y utilizando un cronómetro se mide el tiempo que toma hacer 5 oscilaciones; este paso se repitió 5 veces para después calcular el período con ayuda de la ecuación (12).

o de oscilación de la varilla al perturbarla para generar oscilaciones pequeñas y se repite este proceso 4 veces más para obtener un valor promedio. Por último se hacen los cálculos necesarios para obtener el valor de κ.

Resultados Luego de tomar los datos necesarios, se procedió a calcular la constante de torsión de la balanza haciendo uso de la teoría expuesta anteriormente.

Primeramente por medio del método estático, en donde se midió la masa de la pesa que se colocaría, así como la distancia respecto del centro al punto en que se colocó (brazo de palanca) y el ángulo que recorrió la varilla de contraste. Todos estos resultados se registran, tanto las medidas realizadas como las conversiones necesarias para los cálculos (Tabla 1.)

No. Propiedad/Objeto Medición Conversión 1 Longitud del brazo de palanca (r) 5 cm 5x10^-2 m 2 Masa de la pesa pequeña (mpesa) 0.5 g 5x10^-4 kg 3 Ángulo de torsión (α) 135 ° 2.3562 rad

Tabla 1. Mediciones registradas para el método estático.

Para el método dinámico se registraron las propiedades de la varilla a utilizar (Tabla2), y posteriormente se midió el periodo de 5 oscilaciones pequeñas para obtener un promedio que finalmente nos dará un valor para el periodo de una oscilación (Tabla 3)

No. Propiedad/Objeto Medición Conversión 1 Longitud de la varilla de contraste (L) 24 cm 2.4x10^-1 m 2 Masa de la varilla de contraste (M) 56.5 g 5.65x10^-2 kg

Tabla 2. Mediciones registradas para el método dinámico.

No. Periodo de cinco oscilaciones (T’) Promedio (T’prom) Periodo de una oscilación (T) 1 34.8 s 34.78 s 6.956 s 2 34.5 s 3 35.0 s 4 34.8 s 5 34.8 s

Tabla 3. Periodo de las oscilaciones registradas.

Análisis de resultados Haciendo uso de la teoría expuesta y sustituyendo los valores obtenidos durante la experimentación en la ecuación (5) encontramos para la constante κ el valor:

휅 = ( . ± . )[( ± )∗ ]( . / ²). ± .

= 2.08174 ∗ 10 푁푚 (14)

Que corresponde al valor de la constante de torsión para la balanza, obtenida según el método de calibración estático.

Por otra parte, para encontrar la constante por el método dinámico fue necesario calcular la inercia rotacional de la varilla de contraste utilizada. Puesto que tanto su masa como su longitud se obtuvieron, se sustituyen sus valores en la ecuación (13):

퐼 = (0.0565 ± 0.0001푘푔)(0.24 ± 0.001푚) = 2.712 ∗ 10 푚²푘푔 (15)

Ahora, utilizando la ecuación (12) y sustituyendo con los valores ya conocidos obtenemos el valor para la constante de torsión de la balanza:

휅 = 4휋² = 4휋² ( . ∗ )( . )

= 2.2127 ∗ 10 푁푚 (16)

Así se tienen dos valores para la constante de torsión:

휅 á = 2.08174 ∗ 10 푁푚 y 휅 á = 2.2127 ∗ 10 푁푚

Entonces notamos que los valores obtenidos para la constante de torsión de la balanza mediante ambos métodos son semejantes, las unidades en efecto corresponden a las predichas teóricamente, sin embargo difieren en un orden de magnitud de 10-5 Nm, de acuerdo a como se previó en la hipótesis.

Conclusiones Se buscó calibrar la balanza de torsión, encontrando dos valores para la constante de torsión mediante el método estático y el dinámico. Pero a pesar de haber previsto que los valores resultaran distintos, el orden de magnitud en cual difieren es relativamente importante considerando la magnitud de las cantidades, por lo cual la precisión con que se obtuvo alguno de los valores no fue la mejor.

Resumen Se pretendió calibrar una balanza de torsión y encontrar la constante de torsión κ correspondiente a la misma mediante dos métodos distintos, a saber el método estático y el dinámico, consistiendo el primero de ellos en colocar una pequeña pesa en una varilla de contraste para analizar cómo se torsiona el alambre de la balanza y con base a los conceptos de torca y su relación con dicho ángulo se deduce una fórmula que permite calcular la constante κ.

El segundo método (dinámico) consistió en trabajar la balanza como un péndulo de torsión, con una varilla de contraste distinta, cuya inercia rotacional se calculó. Entonces se midió el periodo de dicho péndulo, y, mediante la resolución de la ecuación diferencial para su movimiento armónico simple junto con los conceptos de la cinemática y dinámica rotacional, se deduce una fórmula que permite calcular el valor de la constante κ.

Se encontraron valores semejantes con ambos métodos, difiriendo únicamente en un orden de magnitud de 10-5, como se preveía en la hipótesis, considerando satisfactorio el resultado.

Bibliografía 1. “Torsion Balance”. (2013). The Columbia Electronic Encyclopedia®. Consultado en línea el 5 de

septiembre de 2015. http://global.britannica.com/technology/torsion-balance

2. Feynman, Richard P. (1963). "7. The Theory of Gravitation". The Feynman lectures on physics. Volume I. California Institute of Technology. 7–6 Cavendish’s experiment.

3. PASCO. Coulumb Balance. Model ES-9070. Consultado en línea el 5 de septiembre de 2015. http://www.pasco.com/file_downloads/product_manuals/Coulombs-Law-Apparatus-Manual-ES-9070.pdf

4. Halliday-Resnick. (2014). “An Angular Simple Harmonic Oscillator”. Fundamentals of Physics, 10ma ed. Wiley. Cap. 15-3. Pág. 423-425.

5. Halliday-Resnick. (2014). “Rotational Variables”. Fundamentals of Physics, 10ma ed. Wiley. Cap. 10-1. Pág. 261.

6. University of Colorado Boulder. Experimental Physics Department. The Torsional Pendulum and Moment of Inertia. Consultado en íneal el 5 de septiembre de 2015. http://www.colorado.edu/physics/phys1140/phys1140_sm98/Experiments/M4/M4.html

7. Halliday-Resnick. (2014). “Some Rotational Inertias”. Fundamentals of Physics, 10ma ed. Wiley. Cap. 10. Pág. 274. Tabla 10-2.