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Química Cuántica I

Potenciales y efecto túnel

Prof. Jesús Hernández TrujilloFacultad de Química, UNAM

Efecto túnel/Jesús Hernández Trujillo– p. 1/29

Potenciales

Dos tipos de potenciales:

Confinante Diverge asintóticamente.

lımx→±∞

V (x) = ∞

No confinante El límite existe en al menos x = ∞ ox = −∞:

lımx→±∞

V (x) = c

convención↓= 0

Es decir, el potencial es asintótico en una o máscoordenadas


Ejemplos de potenciales confinantes

Partícula en una caja deparedes infinitas

V (x) =

{

0 : x ∈ [0, a]

∞ : x < 0 o x > a

Oscilador armónico

V (x) =1

2x2 , x ∈ (−∞,∞)

0 ax

V = ∞ V = ∞V = 0

x

V


Algunos potenciales no confinantes:

−V

−V

V

V

V

o

Voo

V V

o

x

x

x x

V

r

V

r

∼ 1/r


Un potencial no confinante genérico:

x

V (x)

E1

E2

E3

a b

c d

Análisis clásico:v = ±

√

2[E − V (x)]/m

En los puntos de retorno la velocidad vale cero, v = 0.

a, b: Puntos de retorno para el estado enlazado con E = E1.

c, d: Puntos de retorno para el estado no enlazado con E = E2.

E = E3: La partícula se alenta y se acelera al pasar sobre labarrera pero sin rebotar.


Los potenciales no confinantes describen mejor a lossistemas reales.

Cuando E > 0, la partícula es libre (no confinada) enuna porción del espacio.

EE

E

1

2

3

Continuo

E

Estados enlazados(ligados)

E=0


Pozo cuadrado

Considerar los estados ligados de una partícula bajo laacción del potencial confinante:

V (x) =

{

−Vo : −L ≤ x ≤ L

0 : |x| > L

V(x)

−L Lx

−V

O

Region IIRegion IIIRegion I

o


La función de onda satisface:

Región I:d2ψ

dx2− k2ψ = 0 solución: ψI(1)

Región II:d2ψ

dx2+ α2ψ = 0 solución: ψII(2)

Región III:d2ψ

dx2− k2ψ = 0 solución: ψIII(3)

donde

k =−√−2mE

~(4)

α =−√

−2m(Vo + E)

~(5)


Condiciones para ψ:

ψ finito en x± ∞ (cuadrático – integrable)

Condiciones a la frontera:

ψI(−L) = ψII(−L)(6)

ψII(L) = ψIII(L)(7)

ψ debe tener primeras derivadas continuas:dψI

dx

∣

∣

∣

∣

x=−L

=dψII

dx

∣

∣

∣

∣

x=−L

(8)

dψII

dx

∣

∣

∣

∣

x=L

=dψIII

dx

∣

∣

∣

∣

x=L

(9)


Solución par: Ψp(−x) = Ψp(x)

Ψp(x) =

ψI(x) =Nekx Región I

ψII(x) =Ne−kL

cosαLcosαx Región II

ψIII(x)=Ne−kx Región III

donde

k = α tan(αL)(10)

Se trata de una ecuación trascendente para E.

N es la constante de normalización.


Solución impar: Ψi(−x) = −Ψi(x)

Ψi(x) =

ψI(x) =Nekx Región I

ψII(x) =−N e−kL

senαL senαx Región II

ψIII(x)=−Ne−kx Región III

donde

k = −α cot(αL)(11)

Ésta también es una ecuación trascendente para E.


Sólo las energías E que satisfacen (10) y (11) sonpermitidas (cuantización).

Además:

n− 1 <b

π< n(12)

donde

b =

√2mVoL

~.

En consecuencia, el número de estados ligadosdepende de m, L y V0


x

Ψ(x)

-L L

⇐ ⇒no clásico no clásico

Estado basal

I II III


x

Ψ(x)

-L L

⇐ ⇒no clásico no clásico

Primer estado excitado

I II III


La densidad de probabilidad en las regionesclásicamente prohibidas decae exponencialmente conla distancia al pozo:

|ψI(x)|2 = |N |2 e2kx |ψIII(x)|2 = |N |2 e−2kx

Cuando la masa de la partícula aumenta, disminuye laprobabilidad de encontrarla fuera del pozo,pues κ ∼ √

m, ecuación (4).


Barrera cuadrada

x = 0 x = L

I II III

V0

V = 0

E

Región:

V (x) =

0, x < 0 IV0 > 0, 0 ≤ x ≤ L II0, x > 0 III


La función de onda:

ψI(x) = A1eik1x +B1e

−ik1x

ψII(x) = A2ek2x +B2e

−k2x 6= 0

ψIII(x) = Ceik1x

donde:

k1 =

√

2mE

~2

k2 =

√

2m(V0 − E)

~2

Las condiciones a la frontera proporcionan informaciónsobre las constantes.


Esquemáticamente:

Re[ψ(x)]

Tomado de:F. S. Levin, An introduction to quantumtheory, Oxford university press, 2002


La probabilidad de que la partícula se refleje en labarrera es:

R =(amplitud reflejada)2

(amplitud incidente)2=B2

1

A21

La probabilidad de que la partícula se transmita por labarrera es:

T =(amplitud transmitida)2

(amplitud incidente)2=C2

A21


Se obtiene:T =

1

1 + V 2

0

4E(Vo−E)senh2(k2L)

Nótese que:

T 6= 0 incluso cuando E < V0

(efecto túnel).

T → 0 cuando k2L ≫ 1(límite clásico).

0

1

L

T(L)


Efecto túnel

Penetración de una partícula en una región

clásicamente prohibida o su paso a través

de una barrera de potencial

Ejemplos:

Barrera de rotación interna en una molécula

∆E

φ

2.8 kcal/mol

0 60 120 180

C2

H

H

H

HC1

HH C2

H

H

H

H

C1

HH→


Cinética química

Modificación a la ecuaciónde Arrhenius:

k = σAe−Ea/RT

σ: Factor de tunelaje;importante para transfe-rencia de H


Decaimiento radiactivo

r

V (r)barrera de potencial

atracciónnuclear

repulsión culómbica

partícula α

Una aproximación:

V

rRo

Dimensiones nucleares a partirdel experimento + modelo


Microscopía de tuneleo: Sirve para caracterizarmateriales

– Consiste en la aplicación práctica del efecto túnelpara el estudio de superficies

– Proporciona evidencia directa del fenómeno– Más detalles en:

Positioning Single Atoms with a Scanning Tunnelling MicroscopeEigler, D. M.; Schweizer, E. K. Nature 1990, 344, 524–526

http://nobelprize.org/educational_games/physics/microscopes/scanning/index.html


Nature 344, 524–526 (1990)


Ver también:

http://www.research.ibm.com/articles/madewithatoms.shtml#fbid=YJgsHMzahtn

(Video sobre efecto túnel realizado por IBM)


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