quimica cuantica

QUIMICA CUANTICA

VECTORES

Vectores en R2:

Un vector en R2 es un segmento orientado del plano.

Vectores equivalentes

sentido u orientación origen

extremoa

a b

|a| = a = longitud módulo

QUIMICA CUANTICAVECTORES

OPERACIONES

1)PRODUCTO POR ESCALAR k

2)SUMA (RESTA) a+b

a-b

a

b

-a

kaa


SISTEMA DE COORDENADAS

a = ( a1 , a2 )

Notación columna o fila:

Vectores base:

a

a2

a1

j

i

y

x

2

1

a

aa 21 aaa

0

1i

1

0j

ji 21 aa a


OPERACIONES

1) Producto por un escalar k:

2) Suma (Resta):

3) Producto escalar:

Con vectores columna:

2

1

a

a

k

k k a

22

11

2

1

2

1

ba

ba

b

b

a

aba

22

11

2

1

2

1

ba

ba

b

b

a

a b)(aba

a

b θ

2211

2

1

2 1 babab

baa

b . a

)cos(..)cos(.. ba bab . a


OPERACIONES

4) Longitud:

En columnas:

5) cos (θ):

Reemplazando el módulo en producto escalar

222212211

2

1

2 1 aaaaaaaa

aaa

a . a

2221 aaa

)cos(..)cos(.. 22222121 bbaaba b . a

22222121

2211

..)cos(

bbaa

baba

ba

b . a

2aa

2.)cos(.. aaa aaa . a


CAMBIO DE SISTEMA DE COORDENADAS

S (XY) S’ (X’Y’)

i’=(cos θ, sen θ)

j’=(-sen θ, cos θ)

Para un vector cualquiera:

Matricialmente:

θj’j i’

i

y

x

y’ x’

2

1

2

1

'

'

a

a

a

aa

x’

y’

a’1

a’2

a2

a1

aθ

j’

ji’

i

y

x

cos '

cos'

212

211

asenaa

senaaa

2

1

2

1

cos

cos

'

'

a

a

sen

sen

a

a

QUIMICA CUANTICAMATRICES

Arreglo rectangular de números, ordenados en filas y columnas indicadas por los subíndices: i, j. Por ejemplo las matrices C, D y X:

2x2 2x3 2x1

Vectores en forma matricial: A’ = Q A

2221

1211

cc

ccC

232221

131211

ddd

dddD x

21

11

x

xX

21

11

2221

1211

21

11

'

'

a

a

qq

qq

a

a


OPERACIONES CON MATRICES

1) Producto por un escalar:

2) Suma (Resta) de matrices:

Matriz Cero

Bbb

bb

aka

aka

aa

aakkA

k

k

2221

1211

2221

1211

2221

1211

Ccc

cc

baba

baba

bb

bb

aa

aaBA

2221

1211

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

0 0 0

0 0

2221

1211

2221

1211

aa

aa

aa

aaAA



3) Producto de matrices: A . B = C

Restricción:

A . B = CMxN NxL MxL

CONMUTADOR:

k

kjikij bac .

Cc

cc

bb

bb

aa

aaBA

c

.

.

2221

1211

2221

1211

2221

1211

conmutan no

conmutan

ABBA

ABBABA

..0

..0,

ABBABA ..,



3) Producto de matrices: vectores

Vimos producto escalar

Con matrices:

Matriz columna y matriz fila

El producto escalar:

2211

2

1

2 1 babab

baa

b . a

kbabab

baa

21121111

21

11

12 11 b . a

21

11

a

aA a 21 11 aaA a

.21

11

12 11 kb

baaBA

b . a

QUIMICA CUANTICA

MATRICES


4) Matriz Transpuesta:

Matriz transpuesta de la matriz A es la matriz Ā que se obtiene intercambiando filas por columnas.

MATRICES CUADRADAS

5) Matriz Simétrica: La matriz A={aij} es simétrica si se cumple para todo elemento que aij = aji.

En consecuencia, toda matriz simétrica coincide con su transpuesta.

2221

1211

aa

aaA

2212

2111

aa

aaA

4 2

3 1

4 3

2 1 Si AA

AA

4 2

2 1

QUIMICA CUANTICA

MATRICES


6) Matriz Diagonal:

Todos los elementos fuera de la diagonal son iguales a cero.

Para todo i ≠ j dij = 0

7) Matriz Unidad:

8) Matriz Inversa:

La matriz A-1 es la inversa de A si se cumple:

0

0

22

11

d

dD

4 0

0 3D

ji si 0

ji si 1

1 0

0 1dondesea o ijijUU

U.AAA.A 11

QUIMICA CUANTICA

MATRICES

6) Matriz Ortogonal:

Sus columnas son vectores mutuamente ortogonales.

Verificar para

Cumplen:

0

22

12

2111

q

qqq

1 0

0 1

U

cos

cos

sen

senQ

0cos..cos cos

. cos

sensensen

-sen

1cos cos

. cos 22

sen-sen

-sen

1QQ UQQQQ 1..

1 0

0 1

cos

- cos.

cos

cos.

sen

sen

sen

senQQ

si ortogonal es

2221

1211

qq

qqQ


FUNCION VECTORIAL LINEAL

Produce la transformación lineal de un vector x

en otro y en el mismo sistema de coordenadas.

Es lineal:

)(XfY

y

x

x2

x1

ji

y

xy1

y1

XAY

21

11

2221

1211

21

11

x

x

aa

aa

y

y

)''()'( 2)

)()( )1

XfXfX'')f(X'

XkfkXf

QUIMICA CUANTICA

VECTORES EN R3

Se agrega el producto vectorial:

VECTORES Y MATRICES EN Rn

Se cumplen las operaciones anteriores.

1

21

11

nv

v

v

V

v

nnnn

n

n

21

2 2221

1 1211

aaa

aaa

aaa

A

tirabuzóndel regla :Sentido

de plano allar Perpendicu

..ccba ab

senbac

QUIMICA CUANTICA

MATRICES CUADRADAS: 2 USOS

1) Función Vectorial Lineal:

Transforma X en Y dentro del mismo

Sistema de coordenadas.

Corresponde también a:

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

Vale para sistemas de NxN.

XAY y

x

x2

x1y1

y1

1222112121

1212111111

xaxay

xaxay

21

11

2221

1211

21

11

x

x

aa

aa

y

y

YAX

XUYA

XAAYA

1

1

11

XAY

QUIMICA CUANTICA

1

21

11

nx

x

x

nnnn

n

n

21

2 2221

1 1211

aaa

aaa

aaa

1

21

11

ny

y

y

Ejemplo: Dado un sistema de N ecuaciones con N incógnitas

XAY

Se resuelve invirtiendo la matriz A de los coeficientes de las incógnitas:

YAX 1

QUIMICA CUANTICA

MATRICES CUADRADAS: 2 USOS

2) Transformación ortogonal:

Q permite determinar las coordenadas X’

de un vector en un nuevo sistema S’ a partir

de las coordenadas X del mismo vector en

un sistema viejo S.

XQX '

x’1

x’2

x2

x1

x

θ

S

S’

21

11

21

11

'

'x

x

x

x

x

QUIMICA CUANTICA

TENSORES

TRANSFORMACION DE SIMILITUD

Se consideran los dos casos

simultáneamente (1 y 2):

Sea f una función vectorial lineal

representada por A en el sistema

S y por A’ en el sistema S’.

Conocidas: Luego:

f es un tensor representado por una matriz cuadrada en cada sistema.

(7) '

(6) '

(5) ' ''

(4)

YQY

XQX

XAY

XAY

' ' QXAQY

' ' QXAQQYQ

' ' QXAQY

(8) ' QAQA

S

y

x

AX

Y

S’x

y A’ X’

Y’

QUIMICA CUANTICA

VECTORES, MATRICES, TENSORES

DIAGONALIZACIÓN

Sea f un tensor representado por A (simétrica) en el sistema S, entonces habrá una transformación Q que lleve a un sistema S’ en el cual el tensor está representado por una matriz diagonal D:

Luego: donde:

Entonces es

posible separar:

Cada ecuación es el Problema de Autovalores y Autovectores.

DQAQ

DQAQ

QDAQ

QDQAQQ

2 1

21

2221

1 1211

n

nnn

2

qqq

Q

qqq

qqq

qqq

Q

n

n

n

nn

22

11

qq.

qq.

qq.

22

11

nndA

dA

dA

QUIMICA CUANTICA

VECTORES, MATRICES, TENSORES

DIAGONALIZACIÓN

Problema de Autovalores y Autovectores.

Dada A simétrica, encontrar los valores de q y de d

que satisfacen las N ecuaciones.

Ejemplo:

Reordenando:

Sistema homogéneo. Determinante Secular:

Se obtiene:

MatLab: [Q, D] = EIG(A)

21

11

11

11

21

11

11

21

11

11

21

11

11

21

11

0

0

1 0

0 1.

3 1

1 2

q

q

q

q

q

qU

q

q

q

q

0. 3 1

1 2

21

11

11

11

q

q

03 1

1 2

11

11

.6183 0

0 .3821D

QUIMICA CUANTICA

NUMEROS COMPLEJOS

a y b números reales. “i” es la unidad imaginaria:

Conjugación: si

Dados :

Operaciones con conjugados:

biaz 1i

biaz biaz *

ibbbbb

iaaaaa

22

22

11

11

),(

),(

*** baba

*** .. baba

*** baba

*** baba

-b

a

z*

Eje imaginario

Eje real

z

b

y

x

MATRICES COMPLEJAS

Sus elementos son números complejos. La mismas operaciones excepto con conjugados.

MATRIZ ADJUNTA de A: Transpuesta de A:

MATRIZ HERMITICA: Simétrica:

MATRIZ UNITARIA: Ortogonal:

QUIMICA CUANTICA

A A

i i

i -A

242

321

i

i i A

24 3

221

AA AA

i

i AA

5 23

23 2

1 QQ 1QQ

ESPACIOS FUNCIONALES (ESPACIOS DE HILBERT)

ANALOGIA CON VECTORES

El conjunto base cumple

Cualquier otro vector a

Que es una Combinación Lineal de los vectores base.

También: en general:

QUIMICA CUANTICA

21, ii ijji ii .

a1

a2

i1

i2

a

y

x

1 0

1 0 1. 11

ii

0 1

0 0 1. 21

ii

ii 2211 aa a

2

1

a

aa

N

iia

1iia


FUNCIONES

Sea el conjunto base que cumple

En la notación de Dirac:

Cualquier otra función se puede expresar como

Combinación Lineal de las funciones base:

En general:

QUIMICA CUANTICA

c1

c2

1

2

y

x

21, ijjdi .*

ijji

2211 cc

N

iiic

1


ANALOGIA DE VECTORES Y FUNCIONES

QUIMICA CUANTICA

Vectores Funciones

Base Base

Ortogonal Ortogonal

Otro vector Otra función

Combinación lineal de los vectores base Combinación lineal de las funciones base

21, ii 21,

ijjdi .*

ijji ii .

N

iia

1iia

N

iiic

1


PRODUCTO ESCALAR DE FUNCIONES

Dadas las funciones

QUIMICA CUANTICA

N

iii

N

iii

xbxg

xaxh

1

1

)()(

)()(

dxbadxbadxbadxxgxhgh iiiiiiii

N

iii

N

iii

**

1

*

1

* .)().(

N

iiibagh

1

quimica cuantica

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