quimica cuantica

Qumica Cuntica (2014)

1. Introduccin

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2. Aspectos matemticos fundamentales


2.1 Nmeros

Nmero es un concepto que expresa una cantidad

en relacin a una unidad (que defina la naturaleza

de la cantidad)

Ejemplo:

Nmeros enteros (Z)

Nmeros reales (R)

Nmeros imaginarios (i)

Nmeros complejos (C)

CiRZ


2.2 Campo

Es una estructura algebraica en la que la suma y la

multiplicacin se pueden realizar.

Cumple con la propiedad asociativa, conmutativa y

distributiva de la multiplicacin respecto a la

adicin.

Ejemplo: Los nmeros reales, los nmeros

complejos, las matrices? Y los vectores?


2.3 Espacio vectorial

Es una estructura algebraica en la que se definen

dos operaciones

Suma y producto escalar

Es un conjunto cuyos elementos no son nmeros,

sino vectores

),,(:

),(:

2

1

zyxv

yxv Espacio bidimensional

Espacio tridimensional


NOTA: Las dimensiones no necesariamente deben

ser dimensiones espaciales

2.4 Espacio de Hilbert

Generalizacin del concepto de espacio vectorial,

aplicado para un nmero n de dimensiones.

Puede ser real o complejo.

Generalizacin de la norma


22

1

2

1 ...|||| nvvvv


Pueden existir espacios vectoriales denominados

base (B) que cumplan que:

Todos sus elementos pertenezcan al espacio V

Todos los elementos de B sean linealmente

independiente

Ej.

{(1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1)}

{(1,1,0), (3,1,2) y (4,2,2)}

Son linealmente

Independientes?


Independencia lineal se logra cuando no es posible

escribir los elementos como combinacin lineal de

los otros

Combinacin lineal

nnnn fafafafaf ...2211

Se dice que f es combinacin lineal de los

elementos f1, f2, f3, fn


Base ortogonal

Es una generalizacin del concepto de

perpendicularidad (significado geomtrico)

Base ortonormal

Debe se una base ortogonal

La norma de cada uno de los vectores es igual a 1

22

1

2

1 ...|||| nvvvv

BABABA 0cos||||


2.5 Funciones

Una funcin es un ente matemtico que se utiliza

para expresar la dependencia entre dos

magnitudes.


Las funciones son herramientas que permiten la

descripcin de sistemas fsicos mediante la

asociacin de variables

Ejemplo:

t

xv

V

nC 3

3

4rV

Funciones reales: Su dominio es real y su rango (o

codominio) es real

Funciones complejas: Su dominio es complejo y su

rango es complejo


Funciones complejas de variable real: Su dominio

es real y su rango es complejo

Un conjunto de funciones pueden constituir un

espacio de Hilbert

),...,,,( 321 nffffv


Funciones ortogonales

Si el producto escalar es nulo

Funciones ortonormales

cmo se define la norma de una funcin?

b

a

dxxfxfff 0)()(),( 2121

b

a

nn dxfxf2

||)(||


La norma de una funcin es

La ortonormalidad de funciones esta dada, para

dos funciones f1 y f2, por

b

a

dxxfxfff 0)()(),( 2121

1||)(||22

b

a

nn dxfxf

b

a

nn dxxfxfxffff 0)()...()(),...,,( 2121

1||)(||22

b

a

nn dxfxf

De forma generalizada



2.6 Algebra de operadores

Un operador es un ente matemtico que transforma

una funcin en otra.

Si es un operador, su accin sobre una funcin f

se puede representar por

gfa

Donde g es la funcin que se obtiene por la accin

de sobre f


Suma de operadores

fbfafba )(

Si c es un escalar, entonces

Producto por un escalar

faccfa )(


Multiplicacin de operadores

)( fbafba

El producto de dos operadores se resuelve

mediante la aplicacin sucesiva de los operadores

empezando por la derecha

La propiedad conmutativa no se cumple

necesariamente

fabfba


Conmutador

Se entiende por conmutador a un operador definido

para ser

abbaba ],[

Si el resultado de aplicar este conmutador sobre

una funcin es cero, se dice que los conmutadores

conmutan. Caso contrario, no conmutan.

0)(],[ fabfbafabbafba


Operadores lineales

Son una clase especial de operadores que cumplen

con las siguientes propiedades

gafagfa )(

Ante una suma de funciones el operador se puede

distribuir entre cada uno de los sumandos, y

faccfa )(

Es decir, cumple el producto por un escalar


2.6 Funciones propias y valores propios

Cuando se aplica un operador sobre una funcin f

y el resultado es la funcin multiplicada por un

escalar , se dice que f es funcin propia del

operador y es su valor propio

gfa

ffa

Funcin propia

No es funcin propia


Degeneracin

Cuando se tiene dos funciones propias diferentes,

con un mismo valor propio, se dice que son

degeneradas

gagaga

fafafa

Son degeneradas

Operador lineal-funcin propia-degeneracin


Para el caso de operadores lineales, si

multiplicamos una funcin propia por un escalar, el

resultado tambin ser funcin propia y tendr el

mismo valor propio

gga

gfksi

ffa

Para operadores lineales, la combinacin lineal de

dos funciones propias degeneradas es tambin

funcin propia con el mismo valor propio

Ejemplo:


fgefdx

da x 4 2

f es funcin propia?

feedx

df

dx

dfa xx 22 22


es un operador lineal?

gafagfa )(

fdx

dkkf

dx

d

gdx

df

dx

dgf

dx

d

)(

faccfa )(

Se tiene que


Obtenga otra funcin propia del operador

xefg 255

g es funcin propia?

geeedx

dg

dx

dga xxx 2)5(2105 222

Sin multiplicar por una constante, obtenga otra

funcin propia de f


Como f y g son funciones propias del operador

que es un operador lineal, se tiene que la

combinacin lineal ser funcin propia del operador

xeg 25xef 2

x

xxxx

eba

beaeebae

bgafy

2

2222

)5(

5)5(


Dos operadores son independientes cuando

actan sobre variables diferentes

Independencia de operadores

f

ffbafba

ffyxf

yx

yxyxyx

yx

)(

)()(

),(


EJERCICIOS

Determinar si los siguientes operadores conmutan

b

fa

2

dx

db

dx

da

2

xb

dxa

1

_


EJERCICIOS

Determinar si los siguientes operadores son

lineales

b

fa

2

dx

db

dx

da

2

xb

dxa

1

_


EJERCICIOS

Halle una funcin propia para cada operador (si es

posible), demustrelo y determine su valor propio

b

fa

2

dx

db

dx

da

2

xb

dxa

1

_

Escribir una combinacin lineal de

xx egef 32 24

dx

da

Determine si la combinacin lineal escrita

por usted es funcin propia del operador


EJERCICIOS

Para las siguientes funciones

xx egef 32 24

dx

da

Determine el valor propio de cada una de

ellas para el operador


EJERCICIOS

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