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4Ecuaciones

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

Sugerencias didácticas

En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

❚❚ Calcular las soluciones de una ecuación bicuadrada.

❚❚ Obtener, por factorización, las soluciones enteras de ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que dos.

Actividades finalesSoluciones de las actividades46 Copia en tu cuaderno y empareja cada ecuación de la primera columna con aquellas de las columnas segunda y tercera

que sean equivalentes a ella.

6x − 1 = x + 9 x + 1 = 2 x + 2 = 5

2(x − 1) = 0 x = 2 2x + 7 = 15

4x = 12 8(x − 1) = 16 3x + 5 = 11

7x − 25 = 3 2(x − 2) = 8 − x 2x + 5 = 7

6x − 1 = x + 9 ↔ x = 2 ↔ 3x + 5 = 11

2(x − 1) = 0 ↔ x + 1 = 2 ↔ 2x + 5 = 7

4x = 12 ↔ 8(x − 1) = 16 ↔ x + 2 = 5

7x − 25 = 3 ↔ 2(x − 2) = 8 − x ↔ 2x + 7 = 15

¿Qué tienes que saber?

76 77

¿QUÉ4 tienes que saber? Actividades Finales 4

¿Qué edad tiene ahora Emilio si dentro de 4 años tendrá el triple de años de los que tenía hace 24 años?

¿Cómo deben repartirse 2 400 € entre dos personas de modo que la tercera parte de lo que le corresponde a la primera supere en 120 € a la mitad de lo que le corresponde a la segunda?

Las áreas de dos cuadrados difieren en 117 cm2, y sus perímetros, en 36 cm, calcula las longitudes de sus lados.

Ecuaciones de segundo grado

Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado.

a) x 7x − 2( ) = 1

b) 3x2 −5 x = 3x + 1( ) 3x −1( )

c) (2x + 1)(2x −1)

4−

x

3= x2 −5

d) x(3x − 8) = x2 + x + 1

Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado.

a) x2 − 5x − 84 = 0

b) x2 − 18x + 77 = 0

c) x2 + 3x − 18 = 0

d) 6x2 + x − 15 = 0

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) (x − 8)(x + 4) = 13

b) 2x + 5( ) 2x −5( )− 6 = ( x −7)2 + 25 xc) (x + 2)2 + (x − 2)2 = 40

Determina, sin resolver las ecuaciones, la suma y el producto de sus soluciones.

a) x2 − 2x − 13 = 0

b) x2 − 12x + 6 = 0

c) x2 + 8x − 11 = 0

d) x2 + 9x + 5 = 0

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 9x2 + 3x = 0

b) x2 + 11x = 0

c) 5x2 − 10x = 0

d) 6x2 − 15x = 0

53

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60

Ecuaciones de primer grado

Copia en tu cuaderno y empareja cada ecuación de la primera columna con aquellas de las columnas segunda y tercera que sean equivalentes a ella.

46

Encuentra el valor del número a si x =2

3 es solución

de la ecuación: a(x − 2) = x − a

Resuelve estas ecuaciones de primer grado.

a) 0,3x + 0,8 = 5(0,22x − 0,1)

b) 7(0,6x − 0,2) = 0,2(x + 5)

c) 0,3x

0,2+ 0,6 x = 1,69 − 0,52

Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones de primer grado.

a) 4

5−

3x

2=−8

1253

b) x + 2

3−

x

5= 2 +

3− x

10

c) 12x −1

3− x =

15 x + 4

3−

2x + 3

2

Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 111.

¿Cuáles son las edades de un padre y su hija si la edad actual del padre es el doble de la de la hija, pero hace 14 años la triplicaba?

¿Cuántos peldaños tiene una escalera si subiéndolos de dos en dos hay que dar tres saltos más que subiéndolos de tres en tres?

47

48

49

50

51

52

Resuelve la ecuación: x −1

4−

x + 5

9=

x −5

36

1 Para eliminar los denominadores, multiplicamos por su mínimo común múltiplo: m.c.m. (4, 9, 36) = 36

x −1

4−

x + 5

9=

x −5

36→ 9( x −1)− 4( x + 5) = x −5

2 Resolvemos los paréntesis y reducimos los términos semejantes: 9x − 9 − 4x − 20 = x − 5 → 5x − 29 = x − 53 Transponemos los términos y despejamos: 5x − x = 29 − 5 → 4x = 24 → x = 6

Ecuaciones de primer gradoTen en cuentaUna ecuación de primer grado es una igualdad de dos miembros que puede expresarse de la forma:

ax + b = 0

donde a y b son números reales conocidos, a ≠ 0, llamados coeficientes de la ecuación, y x es la incógnita, el valor desconocido.

Halla las soluciones de estas ecuaciones.

a) 3x2 − 48 = 0 b) 5x2 + 35x = 0 c) x2 − 13x + 36 = 0

a) Despejamos la incógnita: 3x2 = 48 → x2 = 16

Resolvemos la ecuación: x2 = 16 → x = ±4

b) Extraemos factor común: 5x2 + 35x = 0 → 5x(x + 7) = 0

Resolvemos las ecuaciones: 5 x = 0 → x = 0

x + 7 = 0 → x = −7

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) Aplicamos la fórmula: x =13 ± 169 4 1 36

2 1=

13 ± 5

2

x1 = 9

x2 = 4

Ecuaciones de segundo gradoTen en cuentaUna ecuación de segundo grado es una igualdad que puede expresarse de la forma:

ax2 + bx + c = 0

donde a, b y c son números reales conocidos, a ≠ 0, llamados coeficientes de la ecuación, y x es la incógnita, el valor desconocido.

Las soluciones se pueden obtener mediante la fórmula:

x =−b ± b2 − 4ac

2a

Resuelve la ecuación: x4 − 13x2 + 36 = 0

1 Cambiamos la variable: p = x2 → p2 = x2( )2 = x4

2 Escribimos la nueva ecuación: p2 − 13p + 36 = 0

3 Resolvemos la ecuación: p =13 ± 25

2

p1 = 9

p2 = 4

4 Deshacemos el cambio de variable: x2 = 9 → x = ± 9 = ±3

x2 = 4 → x = ± 4 = ±2

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

Ecuaciones bicuadradasTen en cuentaLas ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado de la forma:

ax4 + bx2 + c = 0

donde a, b y c son números reales conocidos y a ≠ 0.

Para resolverlas podemos realizar este cambio de variable:

p = x2

Resuelve por factorización la ecuación: 4x3 − 40x2 + 100x = 0

Sacamos factor común 4x: 4 x x2 −10 x + 25( ) = 0

Reconocemos la identidad notable: 4 x x −5( )2 = 0

Resolvemos las ecuaciones dadas por cada factor:4 x = 0 → x = 0

x −5( )2 = 0 → x −5 = 0 → x = 5

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Resolución de ecuaciones por factorizaciónTen en cuentaLas soluciones de una ecuación coinciden con las raíces del polinomio con la misma expresión algebraica.

6x − 1 = x + 9 x + 1 = 2 x + 2 = 5

2(x − 1) = 0 x = 2 2x + 7 = 15

4x = 12 8(x − 1) = 16 3x + 5 = 11

7x − 25 = 3 2(x − 2) = 8 − x 2x + 5 = 7

4 Ecuaciones

112Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

47 Encuentra el valor del número a si x =2

3 es solución de la ecuación: a(x − 2) = x − a

a2

3− 2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

2

3− a →

2a

3− 2a =

2

3− a → 2a − 6a = 2 − 3a → a = −2

48 Resuelve estas ecuaciones de primer grado.

a) 0,3x + 0,8 = 5(0,22x − 0,1)

b) 7(0,6x − 0,2) = 0,2(x + 5)

c) 0,3x

0,2+ 1,6 x = 1,69 − 0,52

a) x =13

8 b) x =

3

5 c) x =

21

6249 Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones de primer grado.

a) 4

5−

3x

2=−8

1253

b) x + 2

3−

x

5= 2 +

3− x

10

c) 12x −1

3− x =

15 x + 4

3−

2x + 3

2

a) x =4

5 b) x = 7 c) x = −

1

650 Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 111.

Si x es el segundo de los números buscados, ordenados de menor a mayor, el anterior es x − 1, y el siguiente, x + 1.

En consecuencia: x − 1 + x + x + 1 = 111 → 3x = 111 → x = 37

Los tres números son: 36, 37 y 3851 ¿Cuáles son las edades de un padre y su hija si la edad actual del padre es el doble de la de la hija, pero hace 14 años la

triplicaba?

Si x es la edad actual de la hija, expresada en años, la de su padre es 2x.

Sabemos que: 2x − 14 = 3(x − 14) → 2x − 14 = 3x − 42 → x = 28

Luego la hija tiene 28 años, y su padre, 56.52 ¿Cuántos peldaños tiene una escalera si subiéndolos de dos en dos hay que dar tres saltos más que subiéndolos de tres

en tres?

Si x es el número de peldaños de la escalera se cumple que: x

2= 3 +

x

3→ 3x = 18 + 2x → x = 18

Por tanto la escalera tiene 18 peldaños.53 ¿Qué edad tiene ahora Emilio si dentro de 4 años tendrá el triple de años de los que tenía hace 24 años?

Si Emilio tiene ahora x años se cumple que: x + 4 = 3(x − 24) → x + 4 = 3x − 72 → x = 38

Luego Emilio tiene 38 años.54 ¿Cómo deben repartirse 2 400 € entre dos personas de modo que la tercera parte de lo que le corresponde a la primera

supere en 120 € a la mitad de lo que le corresponde a la segunda?

Llamamos x a la cantidad, expresada en euros, que le corresponde a la primera persona, por lo que a la segunda le co-rresponden: 2 400 − x

Se cumple que: x

3= 120 +

2400− x

2→ 2x = 720 + 7 200 − 3x → 5x = 7 920 → x = 1 584

En consecuencia, la primera persona recibe 1 584 €, y la segunda: 2 400 − 1 584 = 816 €

113

4Ecuaciones


55 Las áreas de dos cuadrados difieren en 117 cm2, y sus perímetros, en 36 cm, calcula las longitudes de sus lados.

Como los perímetros difieren en 36 cm, las longitudes de los lados difieren en 9 cm.

Por tanto, si el lado del cuadrado pequeño mide x, el lado del cuadrado grande mide x + 9.

Entonces las áreas de los cuadrados miden (x + 9)2 y x2, respectivamente.

Así: x2 + 117 = (x + 9)2 → x2 + 117 = x2 + 18x + 81 → 18x = 36 → x = 2

En consecuencia los lados de estos cuadrados miden 2 y 11 cm, respectivamente.56 Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado.

a) x 7x − 2( ) = 1

b) 3x2 −5 x = 3x + 1( ) 3x −1( )

c) (2x + 1)(2x −1)

4−

x

3= x2 −5

d) x(3x − 8) = x2 + x + 1

a) Se trata de la ecuación 7x2 − 2x −1 = 0 , que es de segundo grado.

b) 3x2 − 5x = 3x2 − 1 → −5x = −1, que es de primer grado.

c) 4 x2 −1

4−

x

3= x2 −5 → 12x2 − 3 − 4x = 12x2 − 60 → −4x = −57, que es de primer grado.

d) 3x2 − 8x = x2 + x + 1→ 2x2 − 9x − 1 = 0, que es de segundo grado.57 Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado.

a) x2 − 5x − 84 = 0 c) x2 + 3x − 18 = 0

b) x2 − 18x + 77 = 0 d) 6x2 + x − 15 = 0

a) x1 = 12 y x2 = −7 c) x1 = 3 y x2 = −6

b) x1 = 11 y x2 = 7 d) x1 =3

2 y x2 = −

5

358 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) (x − 8)(x + 4) = 13

b) 2x + 5( ) 2x −5( )− 6 = ( x −7)2 + 25 x

c) (x + 2)2 + (x − 2)2 = 40

a) x1 = 9 y x2 = −5 b) x1 = 16 y x2 = −5 c) x1 = 4 y x2 = −459 Determina, sin resolver las ecuaciones, la suma y el producto de sus soluciones.

a) x2 − 2x − 13 = 0

b) x2 − 12x + 6 = 0

c) x2 + 8x − 11 = 0

d) x2 + 9x + 5 = 0

Denotamos s la suma de las soluciones y p su producto.

a) s = 2, p = −13 b) s = 12, p = 6 c) s = −8, p = −11 d) s = −9, p = 560 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 9x2 + 3x = 0 c) 5x2 − 10x = 0

b) x2 + 11x = 0 d) 6x2 − 15x = 0

a) x1 = 0 y x2 = −1

3 c) x1 = 0 y x2 = 2

b) x1 = 0 y x2 = −11 d) x1 = 0 y x2 =5

2

4 Ecuaciones


78 79

Actividades Finales 44 Ecuaciones

} Halla las soluciones de la ecuación:

x

3+ 3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−5 x

3+ 2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 0

Solución

Expresamos la diferencia de cuadrados como producto de una suma por una diferencia:

x

3+ 3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

5 x

3+ 2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

x

3+ 3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−

5 x

3+ 2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = 0

Simplificamos los factores:

(2x + 5) −4 x

3+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 0

Resolvemos las ecuaciones dadas por los factores:

2x + 5 = 0 → x = −5

2 −

4 x

3+ 1 = 0 → x =

3

4

EJERCICIO RESUELTO

Resolución de ecuaciones por factorización

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x −7( ) x + 3( ) 2x −16( ) = 0

b) x2 − 25( ) x − 36( ) x2 −1( ) = 0

c) x3 − x2( ) x + 3( ) = 0

d) x3 x2 − 225( ) = 0

Halla, factorizando previamente, las soluciones de estas ecuaciones.

a) x2 − 49 = 0 c) x2 + 32x + 256 = 0

b) x2 − 18x + 81 = 0 d) x2 − 196 = 0

Resuelve la ecuación: x5 − 15x3 − 16x = 0

Comprueba que los números 2 y −2 son soluciones de la ecuación: x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = 0

Utiliza estas pruebas para hallar todas las soluciones de la ecuación.

Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0

b) x4 + x3 − 3x2 − x + 2 = 0

90

91

92

93

94

Resuelve, por factorización, las siguientes ecuaciones.

a) 2x + 5( )2 − 4 x + 9( )2 = 0

b) 0,7 x + 1,5( )2 − 0,3x + 0,7( )2 = 0

c) x

2+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−x

3−7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 0

95

Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas.

a) x4 − 28x2 + 195 = 0

b) x4 + 3x2 + 4 = 0

c) x4 − 14x2 + 49 = 0

d) x4 + 4x2 − 4 = 0

e) x4 − 75x2 + 486 = 0

f) x4 + 10x2 + 25 = 0

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean las soluciones positivas de la ecuación x4 − 13x2 + 36 = 0.

Halla las soluciones, si existen, de las siguientes ecuaciones.

a) x2 x2 + 1( )

8=

3

2

b) x4

2− x2 − 4 = 0

c) x4 + 2

5−

x4 + x2

2=

3x2 + 1

10

d) 3 x4 −11( )

5−

2 x4 − 60( )

7= 36

Determina las soluciones, si existen, de estas ecuaciones.

a) 2x6 − 3x3 + 1 = 0

b) x8 − 76x4 − 405 = 0

Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 5 x2 = x2 + 6( ) x2 − 6( )

b) x2 + 1( ) 2x2 − 6( ) = 5 x2 − 2( )

Halla las soluciones de estas ecuaciones sin aplicar las identidades notables.

a) x2 + 1( )2 = 4

b) x2 −1( )2 −1 = 0

Encuentra los valores del número a para los que la ecuación x4 − ax2 + 16 = 0 tiene exactamente dos soluciones.

Escribe una ecuación bicuadrada cuyas soluciones

sean: − 2, 2 , − 3 y 3

Halla dos números positivos cuyos cuadrados sumen 41, si el producto de sus cuadrados es 400.

¿Cuál es el mayor número cuya cuarta potencia es 4 unidades menor que el quíntuplo de su cuadrado?

¿Cuánto vale la suma de las soluciones de una ecuación bicuadrada que tiene cuatro soluciones distintas?

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

Determina el valor de x en cada una de las siguientes figuras de modo que su área sea la indicada en cada caso.

a) Área = 78 u2

x + 1

x

b) Área = 88 u2

x

x + 2

x – 2

c) Área = 63 u2

x + 5x

El perímetro de un rectángulo mide 40 m, y su área, 51 m2. Calcula las longitudes de sus lados.

Halla el perímetro de un rectángulo de 144 m2 de área si la longitud de la base excede en 7 m a la de la altura.

Encuentra dos números enteros impares consecutivos cuyos cuadrados sumen 290.

Determina dos números enteros pares consecutivos cuyos cuadrados sumen 164.

Halla un número entero de dos cifras cuyo producto sea igual a 24 y en el que la cifra de las decenas exceda en 2 a la de las unidades.

La suma de las áreas de dos cuadrados es 100 m2, y la longitud del lado de uno de ellos es igual a la mitad más la cuarta parte de la longitud del lado del otro. ¿Cuánto miden dichos lados?

72

73

74

75

76

77

78

Halla las soluciones, si existen, de estas ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) x2 − 196 = 0

b) x2 + 3 = 0

c) 2x2 − 2 048 = 0

d) 4x2 − 36 = 0

Indica el número de soluciones de estas ecuaciones de segundo grado sin resolverlas.

a) 7x2 − 2x − 3 = 0

b) x2 − 14x + 49 = 0

c) x2 + 3x + 4 = 0

d) 11x2 + 3x − 7 = 0

e) 5x2 − 4x − 1 = 0

f) x2 − 2x + 1 = 0

g) x2 + 6x + 10 = 0

h) x2 + x − 1 = 0

Determina, si existe, un número positivo que verifique que el doble de su cuadrado menos la tercera parte de su cuadrado es igual a 60.

Halla un número natural si el cuadrado del siguiente es igual a su doble más 37 unidades.

Encuentra dos números que sumen 68 y cuyo producto sea 480.

Encuentra el valor del número a para que la ecuación 3x2 − 6x + a = 0 tenga una única solución.

¿Existe algún número real, a, tal que la ecuación x2 − ax = 2 tenga una única solución?

Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Si una ecuación de segundo grado incompleta tiene una solución igual a 0, entonces también tiene otra solución no nula.

b) Las soluciones de una ecuación de segundo grado incompleta cumplen que o bien su suma o bien su producto son iguales a 0.

Calcula dos números cuya suma sea 4 y cuyo producto sea −117.

La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 365. Calcula dichos números.

En el triángulo rectángulo de la figura, calcula las longitudes de los catetos si difieren en 7 cm.

13 cm

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

61 Halla las soluciones, si existen, de estas ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) x2 − 196 = 0 c) 2x2 − 2 048 = 0

b) x2 + 3 = 0 d) 4x2 − 36 = 0

a) x1 = 14 y x2 = −14 c) x1 = 32 y x2 = −32

b) No tiene solución. d) x1 = 3 y x2 = −362 Indica el número de soluciones de estas ecuaciones de segundo grado sin resolverlas.

a) 7x2 − 2x − 3 = 0 e) 5x2 − 4x − 1 = 0

b) x2 − 14x + 49 = 0 f) x2 − 2x + 1 = 0

c) x2 + 3x + 4 = 0 g) x2 + 6x + 10 = 0

d) 11x2 + 3x − 7 = 0 h) x2 + x − 1 = 0

a) ∆ = 88 > 0 → La ecuación tiene dos soluciones. e) ∆ = 36 > 0 → La ecuación tiene dos soluciones.

b) ∆ = 0 → La ecuación tiene una solución. f) ∆ = 0 → La ecuación tiene una solución.

c) ∆ = −7 < 0 → La ecuación no tiene solución. g) ∆ = −4 < 0 → La ecuación no tiene solución.

d) ∆ = 317 > 0 → La ecuación tiene dos soluciones. h) ∆ = 5 > 0 → La ecuación tiene dos soluciones.63 Determina, si existe, un número positivo que verifique que el doble de su cuadrado menos la tercera parte de su cuadrado

es igual a 60.

Llamamos x al número buscado.

Este número debe cumplir que: 2x2 −x2

3= 60 → 6x2 − x2 = 180 → 5x2 = 180 → x2 = 36 → x = ±6

El número positivo es 6.

115

4Ecuaciones


64 Halla un número natural si el cuadrado del siguiente es igual a su doble más 37 unidades.

Si x es el número buscado, el siguiente es: x + 1

Entonces: (x + 1)2 = 2x + 37 → x2 + 1 = 37 → x2 = 36 → x = ±6

El número natural es 6.65 Encuentra dos números que sumen 68 y cuyo producto sea 480.

Si x es uno de los números buscados, el otro es: 68 − x

Entonces: x(68 − x) = 480 → x2 − 68x + 480 = 0 → x1 = 60 y x2 = 8

Los números son 60 y 8.66 Encuentra el valor del número a para que la ecuación 3x2 − 6x + a = 0 tenga una única solución.

El discriminante ∆ = 36 − 12a ha de ser nulo, así que: a = 367 ¿Existe algún número real, a, tal que la ecuación x2 − ax = 2 tenga una única solución?

Para que la ecuación tenga una solución única su discriminante ha de ser nulo: ∆ = a2 + 8

Esto es imposible porque para todo valor del número real a la suma a2 + 8 es positiva, por tanto, no existe ningún número que verifique esta condición.

68 Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Si una ecuación de segundo grado incompleta tiene una solución igual a 0, entonces también tiene otra solución no nula.

b) Las soluciones de una ecuación de segundo grado incompleta cumplen que o bien su suma o bien su producto son iguales a 0.

a) La afirmación es falsa porque la ecuación incompleta de segundo grado x2 = 0 solo tiene la solución nula.

b) La afirmación es verdadera pues si una ecuación de segundo grado es incompleta entonces o bien una de sus solucio-nes es nula y en tal caso el producto de las soluciones es igual a 0, o bien sus soluciones son opuestas, en cuyo caso su suma es nula.

69 Calcula dos números cuya suma sea 4 y cuyo producto sea −117.

Si x es uno de los números buscados, el otro es: 4 − x

Entonces: x(4 − x) = −117 → x2 − 4x − 117 = 0 → x1 = 13 y x2 = −9

Los números son 13 y −9.70 La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 365. Calcula dichos números.

Si x es el número buscado, el siguiente es: x + 1

Entonces: x2 + (x + 1)2 = 365 → x2 + x − 182 = 0 → x1 = 13 y x2 = −14

Para que sean dos números naturales consecutivos, las soluciones son: 13 y 1471 En el triángulo rectángulo de la figura, calcula las longitudes de los catetos si difieren en 7 cm.

Si las longitudes de los catetos difieren en 7 cm podemos escribirlas como: x y x + 7

Aplicando el teorema de Pitágoras: x2 + (x + 7)2 = 132

x2 + 7x − 60 = 0 → x1 = 5 y x2 = −12

Como la longitud de los catetos tiene que ser un número positivo la única solución válida es 5.

Así, las longitudes de los catetos son: 5 y 12 cm13 cm

4 Ecuaciones


72 Determina el valor de x en cada una de las siguientes figuras de modo que su área sea la indicada en cada caso.

a) Área = 78 u2

x + 1

x

b) Área = 88 u2

x

x + 2

x – 2

c) Área = 63 u2

x + 5x

a) Por ser rectángulo, el área del triángulo es: x ( x + 1)

2= 78 → x2 + x − 156 = 0 → x1 = 12 y x2 = −13

Como la longitud de los catetos tiene que ser un número positivo la única solución válida es: x = 12

b) El área del trapecio es: ( x + x + 2)( x − 2)

2= 88 → x2 − x − 90 = 0 → x1 = 10 y x2 = −9

Como la longitud de los lados tiene que ser un número positivo la única solución válida es: x = 10

c) El área del rombo es: x ( x + 5)

2= 63 → x2 + 5x − 126 = 0 → x1 = 9 y x2 = −14

Como la longitud de las diagonales que ser un número positivo la única solución válida es: x = 973 El perímetro de un rectángulo mide 40 m, y su área, 51 m2. Calcula las longitudes de sus lados.

Si uno de los lados del rectángulo mide x, el otro medirá: 20 − x

Entonces: x(20 − x) = 51 → x2 − 20x + 51 = 0 → x1 = 17 y x2 = 3

Luego los lados del rectángulo miden 17 m y 3 m.74 Halla el perímetro de un rectángulo de 144 m2 de área si la longitud de la base excede en 7 m a la de la altura.

Llamamos x a la longitud de la altura del rectángulo. Entonces la base mide: x + 7

Entonces: x(x + 7) = 144 → x2 + 7x − 144 = 0 → x1 = 9 y x2 = −16

Como la longitud de la altura tiene que ser un número positivo la única solución válida es: x = 9

Luego los lados del rectángulo miden 9 m y 16 m, y el perímetro: (9 + 16) ⋅ 2 = 50 m

117

4Ecuaciones


75 Encuentra dos números enteros impares consecutivos cuyos cuadrados sumen 290.

Si 2x − 1 es un número impar, su consecutivo impar es: 2x + 1

Entonces: (2x − 1)2 + (2x + 1)2 = 290 → 8x2 − 288 = 0 → x2 = 36 → x = ±6

Así, los números buscados son 11 y 13, o bien, −13 y −11.76 Determina dos números enteros pares consecutivos cuyos cuadrados sumen 164.

Si 2x es un número par, su consecutivo par es: 2x + 2

Entonces: (2x)2 + (2x + 2)2 = 164 → x2 + x − 20 = 0 → x1 = 4 y x2 = −5

Así, los números buscados son 8 y 10, o bien, −10 y −8.77 Halla un número entero de dos cifras cuyo producto sea igual a 24 y en el que la cifra de las decenas exceda en 2 a la de

las unidades.

Si x es la cifra de las unidades, la cifra de las decenas es: x + 2

Entonces: x(x + 2) = 24 → x2 + 2x − 24 = 0 → x1 = 4 y x2 = −6

Como la cifra de las unidades tiene que ser un número positivo la única solución válida es: x = 4

Así, el número buscado es 64.78 La suma de las áreas de dos cuadrados es 100 m2, y la longitud del lado de uno de ellos es igual a la mitad más la cuarta

parte de la longitud del lado del otro. ¿Cuánto miden dichos lados?

Si x es la longitud, en metros, del lado del cuadrado mayor, la del menor es: x

2+x

4=

3x

4

La suma de las áreas es: x2 +3x

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 100 → x2 +9 x2

16= 100 → 25x2 = 1 600 → x2 = 64 → x = ±8

Como la longitud de los lados tiene que ser un número positivo la única solución válida es: x = 8

Por tanto, las longitudes de los lados de ambos cuadrados son: 8 m y 6 m79 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas.

a) x4 − 28x2 + 195 = 0 d) x4 + 4x2 − 4 = 0

b) x4 + 3x2 + 4 = 0 e) x4 − 75x2 + 486 = 0

c) x4 − 14x2 + 49 = 0 f) x4 + 10x2 + 25 = 0

a) Transformamos la ecuación: p = x2

p2 − 28p + 195 = 0 → p1 = 15 → x2 = 15 → x = ± 15

p2 = 13 → x2 = 13 → x = ± 13

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

b) Transformamos la ecuación: p = x2

p2 + 3p + 4 = 0 → No tiene solución.

c) Transformamos la ecuación: p = x2

p2 − 14p + 49 = 0 → (p − 7)2 = 0 → p = 7 → x2 = 7 → x = ± 7

d) Transformamos la ecuación: p = x2

p2 + 4p − 4 = 0 → p1 = −2+ 2 2 → x2 = −2 + 2 2 → x = ± −2 + 2 2

p2 = −2− 2 2 → x2 = −2 + 2 2 → No tiene solución.

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

e) Transformamos la ecuación: p = x2

p2 − 75p + 486 = 0 → p1 =

75 + 3 409

2→ x2 =

75 + 3 409

2→ x = ±

75 + 3 409

2

p2 =75− 3 409

2→ x2 =

75− 3 409

2→ x = ±

75− 3 409

2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪f) Transformamos la ecuación: p = x2

p2 + 10p + 25 = 0 → No tiene solución.

4 Ecuaciones


80 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean las soluciones positivas de la ecuación x4 − 13x2 + 36 = 0.

Transformamos la ecuación: p = x2

p2 − 13p + 36 = 0 → p1 = 4 → x2 = 4 → x = ±2

p2 = 9 → x2 = 9 → x = ±3

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪Las soluciones positivas son: 2 y 3

Una ecuación de segundo grado con estas soluciones es: (x − 2)(x − 3) = 0 → x2 − 5x + 6 = 081 Halla las soluciones, si existen, de las siguientes ecuaciones.

a) x2 ( x2 + 1)

8=

3

2

b) x4

2− x2 − 4 = 0

c) x4 + 2

5−

x4 + x2

2=

3x2 + 1

10

d) 3( x4 −11)

5−

2( x4 − 60)

7= 36

a) x4 + x2 − 12 = 0


p2 + p − 12 = 0 → p1 = 3 → x2 = 3 → x = ± 3

p2 = −4 → x2 = −4 → No tiene solución.

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

b) x4 − 2x2 − 8 = 0


p2 − 2p − 8 = 0 → p1 = 4 → x2 = 4 → x = ±2


⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪c) 2(x4 + 2) − 5(x4 + x2) = 3x2 + 1 → 3x4 + 8x2 − 3 = 0


3p2 + 8p − 3 = 0 → p1 =

1

3→ x2 =

1

3→ x = ±

1

3p2 = −3 → x2 = −3 → No tiene solución.

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

d) 21(x4 − 11) − 10(x4 − 60) = 1 260 → 11x4 − 891 = 0 → x4 = 81 → x = ± 814 = ±382 Determina las soluciones, si existen, de estas ecuaciones.

a) 2x6 − 3x3 + 1 = 0

b) x8 − 76x4 − 405 = 0

a) Transformamos la ecuación: p = x3

2p2 − 3p + 1 = 0 → p1 = 2 → x3 = 2 → x = 23

p2 = 1→ x3 = 1→ x = 1

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

b) Transformamos la ecuación: p = x4

p2 − 76p − 405 = 0 → p1 = 81→ x4 = 81→ x = ±3


⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

119

4Ecuaciones


83 Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 5x2 = (x2 + 6)(x2 − 6)

b) (x2 + 1)(2x2 − 6) = 5(x2 − 2)

a) x4 − 5x2 − 36 = 0


p2 − 5p − 36 = 0 → p1 = 9 → x2 = 9 → x = ±3


⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪b) 2x4 − 9x2 + 4 = 0


2p2 − 9p + 4 = 0 → p1 = 4 → x2 = 4 → x = ±2

p2 =1

2→ x2 =

1

2→ x = ±

1

2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

84 Halla las soluciones de estas ecuaciones sin aplicar las identidades notables.

a) (x2 + 1)2 = 4

b) (x2 − 1)2 − 1 = 0

a) (x2 + 1)2 = 4 → x2 + 1 = ±2 → x2 = 1→ x = ±1

x2 = −3 → No tiene solución.

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

b) (x2 − 1)2 = 1 → x2 −1 = ±1→ x2 = 2 → x = ± 2

x2 = 0 → x = 0

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪85 Encuentra los valores del número a para los que la ecuación x4 − ax2 + 16 = 0 tiene exactamente dos soluciones.

x4 − ax2 +a2

4=a2

4−16 → x2 −

a

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=a2 − 64

4→ x2 −

a

2= ±

a2 − 64

2→

→ x2 =a ± a2 − 64

2→ x = ±

a ± a2 − 64

2

La ecuación tiene exactamente dos soluciones si a > 0 y si a2 − 64 = 0 → a = 8

86 Escribe una ecuación bicuadrada cuyas soluciones sean: − 2, 2,− 3 y 3

Respuesta abierta, por ejemplo: x + 2( ) x − 2( ) x + 3( ) x − 3( ) = 0→ x4 −5 x2 + 6 = 087 Halla dos números positivos cuyos cuadrados sumen 41, si el producto de sus cuadrados es 400.

Si x es uno de los números buscados, el otro es: 41 − x2

Entonces: x2(41 − x2) = 400 → x4 − 41x2 + 400 = 0


p2 − 41p + 400 = 0 → p1 = 25 → x2 = 25 → x = ±5

p2 = 16 → x2 = 16 → x = ±4

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪Los dos números positivos son 4 y 5.

88 ¿Cuál es el mayor número cuya cuarta potencia es 4 unidades menor que el quíntuplo de su cuadrado?

Llamamos x al número que buscamos.

Entonces: x4 = 5x2 − 4 → x4 − 5x2 + 4 = 0


p2 − 5p + 4 = 0 → p1 = 4 → x2 = 4 → x = ±2

p2 = 1→ x2 = 1→ x = ±1

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪El mayor número es 2.

4 Ecuaciones


89 ¿Cuánto vale la suma de las soluciones de una ecuación bicuadrada que tiene cuatro soluciones distintas?

Si una ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones distintas cada par de ellas son opuestas. Por tanto, la suma de las soluciones es nula.

90 Resuelve estas ecuaciones.

a) (x − 7)(x + 3)(2x − 16) = 0 c) (x3 − x2)(x + 3) = 0

b) (x2 − 25)(x − 36)(x2 − 1) = 0 d) x3(x2 − 225) = 0

a) x1 = 7, x2 = −3 y x3 = 8

b) x1 = −5, x2 = 5, x3 = 36, x4 = −1 y x5 = 1

c) x1 = 0, x2 = 1 y x3 = −3

d) x1 = 0, x2 = −15 y x3 = 1591 Halla, factorizando previamente, las soluciones de estas ecuaciones.

a) x2 − 49 = 0 c) x2 + 32x + 256 = 0

b) x2 − 18x + 81 = 0 d) x2 − 196 = 0

a) (x + 7)(x − 7) = 0 → x1 = −7 y x2 = 7

b) (x − 9)2 = 0 → x = 9

c) (x + 16)2 = 0 → x = −16

d) (x + 14)(x − 14) = 0 → x1 = −14 y x2 = 1492 Resuelve la ecuación: x5 − 15x3 − 16x = 0

x(x4 − 15x2 − 16) = 0 → x = 0

x4 −15 x −16 = 0

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪Transformamos la ecuación: p = x2

p2 −15p − 16 = 0 → p1 = 16 → x2 = 16 → x = ±4

p2 = −1→ x2 = −1→ No tiene solución.

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪93 Comprueba que los números 2 y −2 son soluciones de la ecuación: x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = 0

Utiliza estas pruebas para hallar todas las soluciones de la ecuación.

24 − 4 ⋅ 23 − 22 + 16 ⋅ 2 − 12 = 16 − 32 − 4 + 32 − 12 = 0

(−2)4 − 4(−2)3 − (−2)2 + 16(−2) − 12 = 16 + 32 − 4 − 32 − 12 = 0

Por estas pruebas sabemos que el polinomio x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 es divisible por x − 2 y por x + 2.

Factorizamos: x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = (x − 2)(x + 2)(x − 1)(x − 3)

Así, las soluciones son los números 2, −2, 1 y 3.94 Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0 b) x4 + x3 − 3x2 − x + 2 = 0

a) (x − 1)(x + 1)(x + 2)(2x − 3) = 0 → x1 = 1, x2 = −1, x3 = −2 y x4 =3

2

b) (x − 1)2(x + 1)(x + 2) = 0 → x1 = 1, x2 = −1 y x3 = −295 Resuelve, por factorización, las siguientes ecuaciones.

a) (2x + 5)2 − (4x + 9)2 = 0 c) x

2+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−x

3−7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 0

b) (0,7x + 1,5)2 − (0,3x + 0,7)2 = 0

a) ((2x + 5) + (4x + 9))((2x + 5) − (4x + 9)) = (6x + 14)(−2x − 4) = 0 → x1 = −7

3 y x2 = −2

b) ((0,7x + 1,5) + (0,3x + 0,7))((0,7x + 1,5) − (0,3x + 0,7)) = (x + 2,2)(0,4x + 0,8) = 0 → x1 = −2,2 y x2 = −2

c) x

2+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

x

3−7

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

2+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−

x

3−7

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

5 x

6− 6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

6+ 8

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ x1 =

36

5 y x2 = −48

¿qué tienes que saber? - … · en esta sección se destacan los ... 4 ¿quÉ tienes que saber?...

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