Mecanica Cuantica IIGua de Ejercicios I

Profesor: Per SundellAyudante: Livio Maggi R

12 de Septiembre de 2015

I. Problema 1

a) Encuentre las matrices que repesentan a#

J2,#

Jz,#

J,#

Jx y#

Jy, para j = 1.

b) Encuentre los estados propios comunes J2 y Jz, y verifique la base ortonormal completa.

c) Use las matrices Jx, Jy y Jz para calcular los conmutadores[Jx, Jy

],[Jx, Jz

]y[Jy, Jz

].

d) Que valores son posibles al medir#

Jx?

e) CalculeJz

,J2

y Jz = Jz si el sistema esta en el estado jx = ~.

f) Si el sistema inicialmente se encuentra en el estado: | = 114

3223

, que valores obtendra al medir#

Jx, y con que probabilidad?

II. Problema 2

Considere un sistema cuyo estado esta dado por:

(x, y, z) =1

4pi

z

r+

13pi

x

r

a) Exprese (x, y, z) en terminos de Armonicos Esfericos, luego calcule#

J2 y Jz.

b) Calcule J y

|J|

III. Problema 3

a) Muestre que Jx y Jy transforma bajo rotaciones en un angulo con respecto al eje z. Usando el resultado,

determine cual es el operador de momento angular#

J transformado ante rotaciones.

1

b) Muestre que un vector operador#

A transforma bajo una rotacion con respecto al eje y.

c) Muestre que eipiJz~ e

iJy~ e

ipiJz~ = e

iJy~

IV. Problema 4

Usando las matrices de Pauli x =

(0 11 0

), y =

(0 ii 0

)y z =

(1 00 1

)para mostrar:

a) eix = I cos ix sin, donde I es la matriz identidad.b) eixze

ix = z cos (2) + y sin (2)

V. Problema 5

a) Encuentre los coeficientes de Clebsch-Gordan asociados al acoplamiento de spin de un electron (j1 =12 )

y un proton (j2 =12 ) de un atomo de Hidrogeno en su estado fundamental.

b) Encuentre la matriz de transformacion formada por los coeficientes de Clebsch-Gordan. Verifique que esun matriz unitaria.

VI. Problema 6

Encuentre los coeficientes de Clebsch-Gordan asociados a la adicion de dos momentos angular j1 = 1 y j2 = 1.

VII. Problema 7

a) Encuentre el spin total del sistema de tres partculas de spin 12 y los coeficientes de Clebsch-Gordan.

b) Considere un sistema de tres partculas no identicas de spin 12 cuyo Hamilton esta dado por: H =

0(

#

S1 # S3 + # S2 # S3)/~. Encuentre los niveles de energa del sistema y sus degeneraciones.

VIII. Problema 8 (Griffiths 4.55)El electron en un atomo de hidrogeno ocupa una combinacion de posicion de estado y spin:

R10

(1/3Y 01 + +

2/3Y 11

)a) Encuentre la probabilidad de medir

#

L2,#

Lz,#

S2,#

Sz,#

J2 y#

Jz

b) Encuentre la densidad de probabilidad de medir la posicion de una partcula.

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