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CURVAS INTERESANTES EN MATEMÁTICAS: CURVAS BÉZIER

MARÍA JOSÉ MENDOZA INFANTE

1. Orígenes de las curvas de Bézier

Surgen a raíz de la aparición de los polinomios de Bernstein. Se denominan curvas de Bézier a un sistema que se desarrolló hacia los años 1960, para el trazado de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y de automóviles. Bézier, el cual era ingeniero en Peugeot, desarrolla las curvas basándose en los citados polinomios de Bernstein en 1966. Asimismo, De Casteljau, ingeniero de Citroën, usa un desarrollo algorítmico en 1959. Se llegó a que ambas teorías eran equivalentes, pero mientras que uno de ellos las publicó el otro no. De hecho, el nombre de las curvas de Bezier se debe a que Bézier publicó sus trabajos, mientras que de Casteljau los mantuvo como documentos internos. Ambos buscaban un modo de construir curvas que respetasen el principio de invarianza afín, que no es más que dados los puntos p1,…,pn del plano o del espacio afín y una transformación afín f, buscar un método C() para construir curvas a partir de los puntos p1,…,pn que cumpla que f(C(p1,…,pn))= C(f(p1),…,f(pn)) El algoritmo de Casteljau está basado en la repetición sucesiva del ejemplo básico, que es el segmento entre dos puntos. El último paso del algoritmo de

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Casteljau, b0n(t), t € [0,1], se llama curva de Bézier y se denota por B[b0,…,bn; t], donde

bi

0, i=0… n, son los puntos de partida y bir(t)=(1-t)bi

r-1(t)+tbi+1r-1(t). Los puntos b0,…,bn

se llaman vértices de control y el polígono formado por los vértices de control se llama polígono de control.

2. Algunas propiedades de las Curvas de Bezier - La curva de Bezier B[b0,…,bn; t], con n+1 vértices de control tiene

grado n.

- B[b0,…,bn; t] es una combinación convexa de sus vértices de control.

- Cumple el principio de invarianza afín.

- Está contenida en la envolvente convexa de los vértices de control.

- Cumple la propiedad de la interpolación de los extremos.

3. Polinomios de Bernstein

Son polinomios de grado n y que se suelen denotar por {B0n(t), B1

n(t),…, Bnn(t)}

3.1. Propiedades de los polinomios de Bernstein

- Bi

n(t)=(1-t)Bin-1(t) + tBi-1

n-1(t)

- ∑ Bi (t)=1

- Para todo t del intervalo [0,1], Bin(t) también está en el citado

intervalo.

4. Representación de curvas y superficies: Curvas Bézier

Ilustro algunos dibujos que nos pueden hacer ver algunas aplicaciones

matemáticas con las curvas Bézier, entre otros, los siguientes, que se determinan

mediante polinomios y splines:

1. Curva Bézier nº 1: un barco, representado mediante splines

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2. Curva Bézier nº 2: un colgante, también representado mediante splines

3. Curva Bézier nº 3: curvas Bézier con tres y cuatro puntos respectivamente.

4. Curva Bézier nº 4: representación matricial de las mismas usando polinomios

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5. Curva Bézier nº 5: con siete puntos.

6. Curva Bézier nº 6: representación de las mismas con polinomios, de forma recursiva y en forma matricial.

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7. Curva Bézier nº 7: más representaciones mediantes splines, en este caso, en

un sistema de representación cartesiano.

8. Curva Bézier nº 8: representación mediante splines, en un plano cartesiano, y usando las derivadas de los polinomios que intervienen en tal representación.

9. Curva Bézier nº 9: representa la continuidad de una función mediante splines y

en el plano cartesiano.

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10. Curva Bézier nº 10: representa también la continuidad de la función que aparece dibujada

11. Curva Bézier nº 11: representación matricial de la curva Bézier de los polinomios de Hermite, en la que aparecen dos polinomios con sus derivadas respectivas. Fórmula de mucha utilidad en Matemáticas, en su rama de Cálculo numérico.

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12. Curva Bézier nº 12: representación en forma gráfica de las curva Bézier que

generan los polinomios de Hermite.

13. Curva Bézier nº 13: otras curvas generadas con los polinomios de hermite, a modo de ejemplo.

14. Curva Bézier nº 14: otro ejemplo de curvas Bézier que usan Hermite para su representación.

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15. Curva Bézier nº 15: representación gráfica cuya representación vectorial se realiza mediante los polinomios de Hermite.

16. Curva Bézier nº 16: representación en forma paramétrica (polar) de la respectiva curva Bézier representada gráficamente.

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17. Curva Bézier nº 17: representación gráfica y en forma paramétrica de otra curva Bézier

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18. Curva Bézier nº 18: forma matricial de representar la curva Bézier que da el spline natural. Esta aplicación matricial usa polinomios, sus derivadas, además de la recursión para obtener cada polinomio a partir de los anteriores.

5. Conclusión

Las curvas Bézier se usan en la vida real más de lo que nos creemos, ya que

usan polinomios y éstos se utilizan tanto en la robótica, el cálculo numérico, ingeniería, etc. Sólo hay que echar un vistazo a alguna situación en que nos podemos encontrar las curvas Bézier, como puede ser al visitar un concesionario para ver un coche para comprarlo. De hecho, las curvas Bézier las inventó un ingeniero, surgieron a raíz del concepto de automóvil.

6. Bibliografía y referencias webs

- Burden, Richard; Douglas Faires. Análisis numérico. Editorial

Iberoamérica, México, 1985. - http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_B%C3%A9zier - http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_de_Bernstein