prueba de hipotesis una y dos poblaciones

8/18/2019 Prueba de Hipotesis Una y Dos Poblaciones

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PRUEBA DE HIPOTESISValidando los supuestos de la población

Equipo de

Estadística


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UNA VISITA A LAEMPRESA

CEREALES ÁNGEL

Imagine que usted es el gerente de operaciones de laEmpresa Cereales Ángel y responsable de vigilar la cantidadempacada en cada caja de cereal. Selecciona y pesa unamuestra aleatoria de 25 cajas con el !in de calcular la mediamuestral e investigar que tanto se acercan los pesos dellenado a la especi!icación de "#5 gramos establecida por la

empresa. Esta ve$ debe tomar una decisión y concluir si elpeso medio de llenado de todo el proceso es igual a "#5gramos %o no& con el objetivo de saber si el proceso dellenado requiere ajustes. 'Cómo puede tomar esta decisión

de una manera ra$onada(


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DEFINICIONES

I. HIPOTESIS :+. Es una respuesta a priori a un problema. Es una conjetura sobreel valor concreto que tiene en realidad.

II. HIPOTESIS ESTADÍSTICA

+ Es una a!irmación que se ,ace a cerca de la distribución deuna o m-s poblaciones.

+ Es un enunciado acerca del valor de un par-metro poblacional.

III. PRUEBA DE HIPOTESIS:

+ a prueba de una ,ipótesis es una regla que cuando losvalores e/perimentales son observados nos conducen a unadecisión0 no rec,a$ar %aceptar& o rec,a$ar la ,ipótesis.

+ Entonces debemos concentrar la atención en dos ,ipótesisestad1sticas llamadas Hipótesis n!" e Hipótesis "!te#n"ti$"


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IDENTIFICACI%N DE LA HIP%TESIS

"& HIPOTESIS NULA 'H(&:

+ Es la ,ipótesis que se quiereprobar.

+ 3eneralmente es especi!icada en

una !orma e/acta)& HIPOTESIS ALTERNATIVA 'H*&:

+ Es una suposición contraria a laque se quiere probar.

+ Se acepta en caso que la primerasea rec,a$ada %es decir cuando serec,a$a la *ipótesis 4ula&.

+ Es !ormulada generalmente conmenos precisión.

H0 : = , ≤ , ≥

H1 : ≠ , > ,


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ELEMENTOS DE LA PRUEBA HIP%TESIS

ESTADÍSTICO DE PRUEBA: Es un valor determinado a partir de lain!ormación muestral que se utili$a para aceptar o rec,a$ar la ,ipótesisnula.

VALOR CRÍTICO: Es aquel valor que se obtiene en !unción del grado

de con!ian$a seleccionado.

REGLA DE DECISI%N: Se establece en base a la comparación entrelos valores cr1tico y de prueba.

REGI%N DE RECHA+O 'RR&: Contiene los resultados de la estad1sticade prueba para rec,a$ar *o.

REGI%N DE ACEPTACI%N 'RA&: Contiene los resultados de la

estad1stica de prueba para aceptar *o.


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ETAPAS BÁSICAS DE UNA PRUEBA DEHIP%TESIS

+ )lantear la ,ipótesis nula y alternativa.+ Especi!icar el nivel de signi!icancia %o con!ian$a&que se

va a utili$ar.+

Elegir el estad1stico de prueba que debe serespeci!icado en trminos de un estimador del par-metroa probar.

+ Establecer el valor o valores cr1ticos para rec,a$ar oaceptar *o.

+ 6eterminar las reglas de decisión de la prueba.+ 7omar la decisión de aceptar o rec,a$ar *o


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A& PRUEBA BILATERAL O DEAMBAS COLAS

H,: T - T,

H*: T T,

B& PRUEBA UNILATERAL DE COLADERECHA

H,: T / T,

H*: T 0 T,

C& PRUEBA UNILATERAL DE COLAI+1UIERDA

H,: T 2 T,

H*: T 3 T,

TIPOS DE PRUEBA4 REGI%N CRÍTICA 5 NIVELDE SIGNIFICACI%N


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DECISIONES SOBRE LA HIP%TESIS NULA4 CON LASPROBABILIDADES ASOCIADAS A CADA DECISI%N.

6ECISI84ES*I)97ESIS 4:;

VE β

α%4ivel de

signi!icación&

6ecisión correcta)robabilidad> ?@ β

%)otencia&


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PRUEBA DE HIP%TESIS PARA LAMEDIA 5 PROPORCI%N

POBLACIONAL


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P. HIP%TESIS PARA LA MEDIA O PROMEDIO

CASO *: Est"67sti8, 6e p#e)" :

muestra grande %nB"&

CASO 9: Est"67sti8, 6e p#e)" :

muestra pequeDa %n"&

)1,0(

/

N

n

X Z oo →

−=

σ

µ

l g nT n s

X T oo .)1(/

−→−

= µ


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EEMPLO *

a producción diaria para una planta qu1mica local ,a promediado FFtoneladas en los Gltimos aDos. ; la gerente de control de calidad legustar1a saber si este promedio ,a cambiado en meses recientes. Ellaselecciona al a$ar 5 d1as de entre la base de datos y calcula elpromedio y desviación est-ndar de las n > 5 producciones resultandoFH? toneladas en promedio y 2? toneladas de desviación. )ruebe la,ipótesis apropiada usando α > .5.S,!8ión:

H( : µ - ;;( 8,nt#" H* : µ ;;(

Estad1stico de prueba usamos C"s, *

Conclusión como A cae en la región de rec,a$o la gerente puederec,a$ar la ,ipótesis nula de que µ > FF y concluir que ,a cambiado.

@?.# ?.#+( -


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EEMPLO 9

a longitud media de una barra de equilibrio es de J" mil1metros. El

supervisor de producciones sospec,a que la maquina que produce lasbarras se ,a desajustado y le pide al departamento de ingenier1a queinvestigue esto. El departamento de ingenier1a toma una muestra de ?2barras y mide cada una. os resultados de las mediciones son

'Es ra$onable concluir que la longitud de las barras ,a variado( :se α > .2 como nivel de signi!icancia.

S,!8ión:

6atos 0 t%n@??@αK2&> t%??.& > 2.H?FH( : µ - >= 8,nt#" H* : µ >=

Estad1stico de prueba usamos C"s, 9

Conclusión como 7 cae en la


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CASO: UNA VISITA A LA EMPRESACEREALES ÁNGEL

Considerando que la media y desviación est-ndar de las 25 cajas decereal !ueron de "#F y ? gramos respectivamente. :saremos unasigni!icancia del .J para tomar la decisión mas apropiada.

S,!8ión:

6atos 0 t%n@??@α/2&> t%2J.F& > 2.?H2H( : µ - =@ 8,nt#" H* : µ =@

Estad1stico de prueba usamos C"s, 9



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P. HIP%TESIS PARA LA PROPORCI%N

CASO =: Est"67sti8, 6e p#e)" :

)ara muestras grandes y pequeDas

)1,0()1(

N

n

p p

p p Z

oo

oo →−

−=


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EEMPLO =

; cualquier edad alrededor de 2L de los peruanos adultos participan enactividades de acondicionamiento !1sico al menos dos veces a la semana. 4o

obstante estas actividades cambian a medida que las personas envejecen yocasionalmente los participantes se convierten en no participantes. En unaencuesta local de n > ? adultos de m-s de J aDos un total de ?5 personasindicaron que participaron en estas actividades al menos dos veces a la semana.'Estos datos indican que el porcentaje de participación para adultos de m-s deJ aDos de edad es considerablemente menor a la ci!ra de 2L( :se α > .5

para sacar las conclusiones apropiadas. S,!8ión:

6atos p > ?5K? > .?5 0 α > .5 0 A%α) = A%.5) = −1645

H( : p - (.9( 8,nt#" H* : p < 0 20

Estad1stico de prueba usamos C"s, =

Conclusión 4o ,ay su!iciente evidencia para concluir que el porcentaje deadultos de m-s de J aDos que participan en actividades de acondicionamiento

!1sico dos veces a la semana es menor a 2L.

@?.#J5+( -


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PRUEBA DE HIP%TESIS PARA LADIFERENCIA DE DOS MEDIAS CON

MUESTRAS INDEPENDIENTES4 DATOSPAREADOS 5 DIFERENCIA DE DOSPROPORCIONES.


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A& PRUEBA BILATERAL O DEAMBAS COLAS

H,: T* - T9 ó T* < T9 - (

H*: T* T9 ó T* < T9 (

B& PRUEBA UNILATERAL DE COLADERECHA

H,: T* / T9 ó T* < T9 / (

H*: T* 0 T9 ó T* < T9 0 (

C& PRUEBA UNILATERAL DE COLAI+1UIERDA

H,: T* 2 T9 ó T* < T9 2 (

H*

: T*

3 T9

ó T*

< T9

3 (

TIPOS DE PRUEBA4 REGI%N CRÍTICA 5 NIVELDE SIGNIFICACI%N DOS POBLACIONES


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P. HIP%TESIS PARA LA DIFERENCIAS DEMEDIAS MUESTRAS INDEPENDIENTES

CASO >: Est"67sti8, 6e p#e)" :

Muestras grandes %n? y n2 B"& yvarian$as conocidas

6istribución 4ormal Est-ndar A

CASO : Est"67sti8, 6e p#e)" :

Muestras pequeDas %n?y n2"& yvarian$as desconocidas

6istribución 7@Student con %n?Nn2O2&grados de libertad.

6esviación

Mancomunada

+

=−−−

2

2

2

1

2

1

)()( 2121

n

S

n

S

Z

x xo

µ µ

+

=−−−

21

11

2121 )()(

nnS

T

C

o

x x µ µ

2

)1()1(

21

2

22

2

11

−+

−+−=

nn

S nS nS

C


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EEMPLO >

a empresa ; se dedica a la !abricación de

monturas de ga!as. Su producción diaria P encientos sigue una distribución normal. En laempresa Q la competencia el nGmero de ga!asproducidas R tambin se distribuye normalmente.Se e/traen muestras respectivas de tamaDos de ?#y 2# y los resultados obtenidos son los siguientes

'8!recen estos datos evidencia su!iciente paraindicar que las medias poblacionales sondi!erentes( Sea >.5.

Ep#es" A Me6i"-?( V"#i"n"-*9

Ep#es" B Me6i"-?; V"#i"n"- *


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S,!8ión:6atos 0 con α > .50 usamos el Estad1stico C"s,

H( : µ1 - µ2 8,nt#" H* : µ1 µ2

6istribución 7> t%n?@n2@2?@αK2&>

t%?#N2#@20 .H5& > t%J0 .H5& >2.2?



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EEMPLO

:n editor est- interesado en conocer los e!ectossobre unos costosos diseDos tricolor para lascubiertas de los libros de te/to. El editor planeapublicar 5 libros de te/to de econom1a y eligealeatoriamente J de ellos para colocarles las

cubiertas caras y otros J llevan la cubiertasencilla. )ara aquellos con cubiertas caras elpromedio de ventas durante el primer aDo !ue de.25J con una desviación de 2.?H. para loslibros con cubiertas sencillas el promedio de

ventas !ue de F.?#H con una desviación de?.#F?. asumiendo que las dos poblacionestienen distribución normal. Contrastar la,ipótesis de que la media de libros con diseDosde cubierta cara es mayor.


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S,!8ión:6atos 0 con α > .50 usamos el Estad1stico C"s, >

H( : µ1 / µ2 8,nt#" H* : µ1 0 µ2

6istribución A con α > .5A%.5& > ?.#J5



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P. HIP%TESIS PARA LA DIFERENCIAS DEMEDIAS DEPENDIENTES O DATOS PAREADOS

Supongamos que disponemos de una muestra aleatoria de npares de observaciones de distribuciones. 6enotamos por a lamedia muestral y a Sd la desviación est-ndar observadas paralas n di!erencias %Pi T Ri&.

a& )rueba bilateral o de ambas colas*o d >

*? d U

b& )rueba unilateral de cola derec,a

*o d *? d W

c& )rueba unilateral de cola i$quierda

*o d B

*? d


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P. HIP%TESIS PARA LA DIFERENCIAS DEMEDIAS DEPENDIENTES O DATOS PAREADOS

CASO @: Est"67sti8, 6e p#e)" T 6e St6ent:

lg.1

d

_

/s

d −→≈ nt

nt


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EEMPLO @

Se asume que se tienenpuntajes de la prueba de ?empleados antes y despus

de ,abrseles impartidocapacitación laboraladicional prubese con unnivel de signi!icancia de

.?'e/iste evidencia paradecir que la media de ladi!erencia en los puntajeantes y despus de la

capacitación es di!erente( os puntajes aparecen enla tabla


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S,!8ión: *allando el promedio y desviación est-ndar

de las di

+


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*ipótesis

*o

d >

*? d U

Estad1stico de )rueba

6istribución 7 con >.?

t%n@??@αK2&> t%.5& > ?.F""

Conclusión como 7 > @2.?J cae en la


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P. HIP%TESIS PARA LA DIFERENCIA DE DOSPROPORCIONES

CASO : Est"67sti8, 6e p#e)" :

6onde

)1,0(11

)1(

2121

21

)()( N

nn P P

o Z P P p po →

+−

= −−−

21

2211

nn

pn pn P

++

=


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EEMPLO

En un estudio diseDado para comparar un nuevo

tratamiento para la migraDa con el tratamiento est-ndar HFde ? individuos que recibieron el tratamiento est-ndarrespondieron !avorablemente y de ? del nuevotratamiento respondieron satis!actoriamente.

'8!recen estos datos evidencia su!iciente para indicar queel nuevo tratamiento es m-s e!ectivo( Sea >.5 ydetermine el valor de ).


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S,!8ión:6atos 0 con α > .50 usamos el Estad1stico C"s, H

( : P

1

2 P2

8,nt#" H* : P

1

3 P2

)? proporción de respuesta !avorable al tratamiento est-ndar > HFK? > .HF

)2 proporción de respuesta !avorable al tratamiento nuevo > K? > .

Estad1stico

Conclusión como A cae en la


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prueba de hipotesis una y dos poblaciones

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