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SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES

EJERCICIO Nº1

En la hidráulica de canales es frecuente determinar el tirante crítico del flujo con fines de análisis

y diseño. Si se sabe que el régimen critico en canales trapezoidales está gobernado por las

siguientes ecuaciones:

Función: f ( y )= A3

T−Q

2

g Derivada: f ' ( y )=3∗A−2∗z∗A

3

T2

Área:A=(b+z∗ y ) y Espejo: T=b+2∗z∗ y

Utilizando el método de Newton Raphson, determinar el tirante crítico “y” que se encuentra

implícito en las ecuaciones de régimen crítico, considerar como valor inicial en el proceso

iterativo y = 1.00 m y utilizar los siguientes datos:

Caudal (Q) = 150.40 m3/s

Base (b) = 7.4 m

Talud (z) = 3

SOLUCIÓN:

RELACION ENTRE LOS PARAMENTROS PARA UN REGIMEN CRITICO

Las condiciones teóricas en que se desarrolla el régimen critico esta dadas por la siguiente

ecuación:

Esta ecuación que dad la forma de la sección de un canal y el caudal, existe un tirante critico

único y viceversa

a.- Relación entre el tirante y el caudal

Sustituyendo valores en la ecuación tenemos

Como se observa en la ecuación se tiene una ecuación en función de Ycm es decir:

De esta manera se recurre a la solución de este tirante mediante la aplicación de los métodos

numéricos

CÓDIGO DE PROGRAMACIÓN EN MATLAB

Se opta por la aplicación de la programación mediante la el ingreso a:

New M File Ventana de Editor Escribimos el programa

clear;clc;syms y b z Qformat shortfprintf('====================================================\n');fprintf('= DETERMINACION DEL TIRANTE CRITICO Y =\n');fprintf('= EN UN REGIMEN CRITICO (METODO DE NEWTON) =\n');fprintf('====================================================\n');fprintf('Funcion: f(y)=A^3/T-Q^2/g \n');fprintf('Derivada f(y)=3*A^2-(2*z*A^3)/T^2 \n');fprintf('Area: A=(b+z*y)y Espejo: T=b+2*z*y \n');yi=input('Ingrese el tirante inicial yi: ');e=input('Ingrese el error aceptable: ');fprintf('========= DATOS HIDRAULICOS ========\n');Q=input('Ingrese el Caudal Q: ');b=input('Ingrese la Base b: ');z=input('Ingrese el Talud de Canal: ');fm=1;i=0;A=(b+z*y)*y;T=b+2*z*y;f=A^3/T-Q^2/9.81;df=3*A^2-(2*z*A^3)/T^2;Pretty (f)Pretty (df)while abs(fm)>e i=i+1; fprintf('%2d',i); fyi=subs(f,yi); dfy=subs(df,yi); y=yi-(fyi/dfy); fm=(y-yi)/(y+yi)*100; disp([yi, fyi, abs(fm)]); yi=y; if i>20 break endenddisp(y);

EJECUCION DEL PROGRAMA

Realizamos la ejecución del programa yendo al Save and run o optar presionar la tecla F5

Al realizar la ejecución del programa nos aparecerá el siguiente mensaje, en el cual nos da para

confirmas el cambio de dirección del archivo donde esta, para esto optamos por la opción

Change Directory

Introdduccion de los datos

El corrido del programa

Resultado de Yc = 2.4995

VERIFICACION DE RESULTADOS DEL PROGRAMA

Como podemos apreciar se tiene la igualdad del cálculo del tirante Y=2.4995

EJERCICIO Nº 2

La formula de Manning para un caudal de sección trapezoidal esta dado por la siguiente

ecuación:

Q=S2((b+ z∗y ) y)5 /3

n(b+2∗y √z2+1)2 /3Donde:Q = Caudal (m3/s)S = Pendiente (m/m)n = Coeficiente de rugosidadb = Base (m)y = Tirante normal (m)z = TaludEmpleando el método de la Secante, determinar el valor del tirante normal “y” al centímetro,

iniciando el proceso interativo con valores de “yo = 1.00 m” y “y1 = 1.01 m”, si se sabe que la base

b = 1.50 m, el talud z = 1.50, el coeficiente de rugosidad n = 0.014, la pendiente S = 0.002 m/m y

el caudal que conduce el canal Q = 2.00 m3/s

SOLUCIÓN:




clear;clc;syms y b z Qformat shortfprintf('====================================================\n');fprintf('= DETERMINACION DEL TIRANTE NORMAL "Y" =\n');fprintf('= EN UN REGIMEN NORMAL (METODO DE LA SECANTE) =\n');fprintf('====================================================\n');fprintf('Ecuacion de Manning \n');fprintf(' [S^(1/2)(((b+z*y)y)^(5/3)] \n');fprintf(' Q= ------------------------- \n');fprintf(' n[(b+2*y*raiz(z^2+1))^(2/3) \n');y0=input('Ingresa el valor de y0: '); y1=input('Ingresa el valor de y1: '); e =input('Ingresa el valor del error: ');fprintf('========= DATOS HIDRAULICOS ========\n');Q=input('Ingrese el Caudal (m3/2) : ');S=input('Ingrese la Pendiente (m/m) : ');n=input('Ingrese Coeficiente de rugosidad: ');b=input('Ingrese Base de Canal (m) : ');z=input('Ingrese el Talud de Canal : ');i=0;fm=1;f=(S^(1/2)*(((b+z*y)*y)^(5/3)))/(n*((b+2*y*(z^2+1)^(0.5)))^(2/3))-Q;while abs(fm)>e i=i+1; fprintf('%2d',i); f0=subs(f,y0); f1=subs(f,y1); y2=y1-(y1-y0)*f1/(f1-f0); fm=abs(y2-y1)/(y2+y1)*100; disp([y2, fm]); y0=y1; y1=y2; if i>20 break endendfprintf('==== RESULTADO DEL TIRANTE "Y" ====\n');fprintf('Y = ');disp(y2);





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Nota: No siempre aparecerá este mensaje solo si estamos trabajando de una carpeta en otros

Nos vamos a la pestaña de Matlab

Introducimos los datos que nos da en el ejercicio

VERIFICACION DE RESULTADOS DEL PROGRAMA

Como podemos apreciar se tiene la igualdad del cálculo del tirante Y=0.5366

EJERCICIO Nº 3

El factor de fricción “f” de Darcy es utilizado para obtener la pérdida de carga en tuberías con

flujo de fluido. Determinar el factor “f”, a partir de la ecuación de Colebroock – White y utilizando

el método de Newton – Raphson con un valor inicial de “f” igual a 0.01 con una aproximación de

│er│≤ 0.001%.

Para el cálculo de “f” utilizar los siguientes datos:

Caudal (Q) = 0.042 m3/s

Rugosidad de tubería de PVC (Ks) = 1.5 x 10-6 m

Diámetro (d) = 0.1524 m

Viscosidad cinemática del agua (ν) = 1.14 x 10-6 m2/s

La ecuación de Colebroock – White a utilizar está dado por:

Dónde:

Re = Número de Reynolds (adimensional y constante)

A = Área de la sección transversal (m2)

V = Velocidad del flujo en la tubería (m/s)

Formulas adicionales de la función y derivada de la ecuación de Colebroock – White:

Si hacemos que:

Algoritmo de Newton – Raphson:

SOLUCIÓN:




clear;clc;syms Ks d v Q A Re V E1 xformat shortfprintf('==========================================================\n');fprintf('= DETERMINACION DEL FATOR DE FRICCION "f" =\n');fprintf('= DE DARCY PARA LA PERDIDA DE CARGA EN TUBERIAS =\n');fprintf('= UTILIZANDO EL METODO DE NEWTON - RAPHSON =\n');fprintf('==========================================================\n');fprintf('Funcion: g(x) = -2*log *((Ks/(3.71*d))+(2.51*x/Re))\n');fprintf('Derivada g(y)= -2/(log(x)*((2.51/Re)/((Ks/(3.71*d))+(2.51*x/Re))))-1\n');fprintf('Continuidad: Q=V*A Numero de Reynolds: Re=V*d/v\n');fi=input('Ingrese el fi: ');e=input('Ingrese el error aceptable: ');fprintf('========= DATOS HIDRAULICOS ========\n');Q=input('Ingrese el Caudal Q (m3/s) : ');Ks=input('Rugosidad de Tuberia Ks (m) : ');d=input('Ingrese el diametro d (m) : ');v=input('Viscosidad Cinematica del Agua v : ');fm=1;i=0;V=Q/(3.14*(d/2)^2);Re=V*d/v;f=-2*log10((Ks/(3.71*d))+(2.51*x/Re))-x;df=-2/(log(x)*((2.51/Re)/((Ks/(3.71*d))+(2.51*x/Re))))-1;xi=1/(fi)^(0.5);while abs(fm)>e i=i+1; fprintf('%2d',i); fxi=subs(f,xi); dfx=subs(df,xi); x=xi-(fxi/dfx); fm=(x-xi)/(x+xi)*100; disp([xi, fxi, abs(fm)]); xi=x; if i>50 break endendfc=(1/x)^2;fprintf('==== FATOR DE FRICCION "f" ====\n');fprintf('f = ');disp(fc);





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Nota: No siempre aparecerá este mensaje solo si estamos trabajando de una carpeta en otros

Nos vamos a la pestaña de Matlab

Introducimos los datos que nos da en el ejercicio

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