PROYECTO ANALISIS NUMERICOCALCULO DE CAUDAL DE UNA TUBERIA CIRCULAR CON PÉRDIDASOBJETIVORealizar un programa en Matlab que calcule el caudal presente en una tubería, conociendo el fluido transportado, el diámetro, la rugosidad y la longitud de la tubería y el cambio de presión en los extremos, aplicando diferentes métodos aprendidos durante la clase de análisis numérico.El problema será resuelto por medio de dos métodos uno abierto y posteriormente uno cerrado para poder comparar el error de cada uno.MARCO TEORICOUn fluido que se transporta por una tubería, conducto o algún otro dispositivo, presenta   pérdidas de energía debido a la fricción que hay entre el líquido y la pared de la tubería; tales energías traen como resultado una disminución de la presión entre dos puntos del sistema de flujo.El método más usado en hidráulica para determinar estas pérdidas se fundamenta en la utilización de la ecuación planteada por   el francés Henry Darcy, esta consiste en:hf=f*L/D*V^2/2gDonde:hf   = pérdida de energía debida a la fricción (m).f = factor de fricción de Darcy.L = longitud de la tubería (m).D = diámetro de la tubería (m).V = velocidad media del fluido (m/s).g = aceleración de la gravedad: g = 9,81 m/s2.El factor de fricción f es adimensional y varía de acuerdo a los parámetros de la tubería y del flujo. Este puede ser conocido con una gran exactitud dentro de ciertos regímenes de flujo; sin embargo, para nuestro problema los datos de la velocidad son inicialmente desconocidos por lo que es necesario realizar múltiples iteraciones.

Para calcular el factor de fricción de Darcy utilizaremos la ecuación implícita de Colebrook-White, la cual es válida únicamente para flujos turbulentos. La expresión de la fórmula de Colebrook-White es la siguiente:1/√f=-2*log(E/(D*3,7)+2,51/(NR*√f))Donde:f =factor de fricción de Darcy.E = rugosidad de la tubería (m)D = diámetro de la tubería (m)NR = Numero de Reynolds.El número de Reynolds (NR) es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos, diseño de reactores y fenómenos de transporte para caracterizar el movimiento de un fluido. Este número recibe su nombre en honor de Osborne Reynolds (1842-1912), quien lo describió en 1883.El número de Reynolds relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y dimensión típica de un flujo en una expresión adimensional, que interviene en numerosos problemas de dinámica de fluidos. Dicho número o combinación adimensional aparece en muchos casos relacionado con el hecho de que el flujo pueda considerarse laminar o turbulento. La expresión para calcular el número de Reynolds es:NR= (V*D)/δDonde: V = velocidad media

del fluido (m/s).D = diámetro de la tubería (m).δ: viscosidad cinemática del fluido (m2/s)

Como ya dijimos el número de Reynolds permite predecir el carácter turbulento o laminar en ciertos casos. Así por ejemplo en conductos si el número de Reynolds es menor de 2000 el flujo será laminar y si es mayor de 4000 el flujo será turbulento, si se encuentra entre estos dos valores el flujo se considera un flujo de transición. Un flujo laminar se caracteriza por mantenerse estacionario, con bajas velocidades y se comporta como si estuviera formado por láminas delgadas, que interactúan sólo en función de los esfuerzos tangenciales existentes. Un flujo turbulento   es caracterizado por un movimiento desordenado, no estacionario, con altas velocidades y tridimensional.Para nuestro proyecto solo consideraremos flujos turbulentos ya que son los más usuales en la vida cotidiana, además los flujos laminares son más fáciles de determinar y no es necesario resolverlos por métodos numéricos.Para   solucionar el   proyecto y calcular el factor de fricción de Darcy utilizaremos el método de Newton Raphson que es un método para encontrar raíces de funciones, este es un método abierto ya que consiste en tomar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Posteriormente se realiza una serie de iteraciones quese supone arrojaran valores cada vez más cercanos al valor en el que la función se hace cero. La expresión del método de Newton Raphson es la siguiente:

Donde:Xn = valor inicial.f (Xn )= función evaluada en el valor inicial.f´ (Xn )= primera derivada de la función evaluada en el valor inicial.La segunda solución al proyecto utilizaremos el método de la Bisección que es un método para encontrar raíces de funciones, este método es cerrado pues aprovecha el hecho de que la función cambia de signo en la vecindad de una raíz, a diferencia del método anterior en este necesitamos dos valores iniciales que deben encerrar a la raíz. A continuación se realizaran una serie de iteraciones que arrojan valores cada vez más cercanos al valor en el que la función se hace cero. Los pasos para solucionar este método es el siguiente:Elija valores iniciales de xI y xII que encierren la raíz de tal forma que la función cambie de forma en el intervalo. Esto se verifica comprobando que:f(xI) . f(xII) < 0Realice una aproximación de la raíz haciendo:

Determine en que subintervalo está la raíz

Si f(xI) . f(xr) < 0La raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Haga       xII = xr y vuelva al paso 2Si f(xI) . f(xr) > 0La raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho.   Haga       xI = xr y vuelva al paso 2Si f(xI) . f(xr) = 0, entonces xr es la raíz de la ecuación  

DESARROLLO DE LOS METODOS

Nuestro objetivo es calcular el caudal que pasa por una tubería, para esto necesitamos hallar la velocidad promedio de flujo y el diámetro de la tubería que debe ser proporcionado por el problema.De acuerdo a la definición de caudal encontramos que:Q=A*VPara hallar las perdidas en la tubería se pide en el programa el cambio de presión y se hace esta ecuación:hf=∆p/γPara calcular la velocidad hallamos una expresión que involucre el diámetro, la rugosidad y la longitud de la tubería y   el cambio de presión en los extremos. De tal forma que al utilizar la ecuación de Darcy encontramos que:

hf=f*L/D*V^2/2gV=√(f*L/D*hf/2g)Podemos observar que en la anterior ecuación encontramos dos valores no conocidos, que son la velocidad (V) y el factor de fricción de Darcy (f), el cual también depende de la velocidad no conocida, por lo cual no es posible encontrar directamente el valor de la velocidad, para solucionar esto se supondrá un valor usual para el factor de fricción de Darcy (f) y se calculara la velocidad del flujo, a continuación se calculara el numero de Reynolds (NR) con la siguiente expresión:NR= (V*D)/δCon el número de Reynolds (NR) se obtendrá el factor de fricción de Darcy (f), para calcular este factor se hará uso de la ecuación implícita de Colebrook-White, la cual vamos a resolver utilizando el método de Newton Raphson.1/√f=-2*log(E/(D*3,7)+2,51/(NR*√f))1/√f+2*lo g(E/(D*3,7)+2,51/(NR*√f))=0El programa asignara un valor aproximado de f para que la función se haga cero, posteriormente calculará el delta error como - f (Xn) / f´ (Xn ) y realizara la corrección al valor de la raíz, este procedimiento se repetirá por medio de un ciclo hasta que el delta de error sea mínimo, esta precisión o valor mínimo será suministrado al momento de realizar la programación.Para el método de Bisección se sigue el mismo principio ya escrito anteriormente tanto para calculas las perdidas como para la velocidad, el cambio se realiza al calcular el factor de Darcy(f) es aquí donde utilizaremos el método asignamos dos valores iniciales de f tal que cumpla la primera condición del método por medio de un ciclo hacemos el algoritmo que corresponda a los pasos 2 y 3 del desarrollo del método .Una vez obtenido el factor de fricción de Darcy (f) ya sea por el método de newton como por el de la bisección se calculara de nuevo la velocidad de flujo promedio. Este procedimiento se repetirá por medio de un ciclo, el cual realizara el número de iteraciones necesarias para que al hallar la diferencia entre el valor obtenidode la velocidad y el valor de la velocidad obtenido en la iteración anterior tienda a cero o sea mínimo, esta precisión de nuevo fue suministrada al momento de la programación.Una vez se obtuvo el valor de la velocidad, se calcula el área transversal de la tubería que es este caso es circular y se multiplica por la velocidad, este será el caudal que pasa por una tubería que presenta perdidas por fricción.

EJEMPLOEn una tubería horizontal de PVC (E=1.5*10^-6m), de longitud   300 m y de sección transversal circular cuyo diámetro es 0.1 m, pasa petróleo (sg=0.9), con un cambio de presión de 700 KPa.

La viscosidad del fluido es 10^-5 m2/sCalcular el caudal de dicha tubería.Por medio de newton raphson el resultado es:Q =0.0404Error = 1.8289Por medio del método de la Bisección el resultado es:Q = 0.0403Error =1.6949

BIBLIOGRAFIA

TJALLING J, Ypma, Historical development of the Newton-Raphson method, SIAM Review 37 (4), 531–551, 1995.CROWE, Clayton; ELGER, Donald; WILLIAMS, Roberson; ROBERSON, John (2009) (en inglés). Engineering Fluid Mechanics [Mecánica de Fluidos Ingeniería]. John Wiley & Sons, Inc.AZEVEDO, J.M y Acosta, G. 1976. Manual de hidraulica. Harla, Sexta edicion, Mexico, D.F. 578 p.

STEVE C. CHAPRA, RAYMOND P. CANALE Métodos numéricos para ingenieros con programación de aplicación